【精准解析】2021届高考数学北师大版单元检测四 三角函数、解三角形(提升卷)

北师大版七年级数学下册第四章三角形单元测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在△ABC和△BAD中，AC＝BD，要使△ABC≌△BAD，则需要添加的条件是（）A．∠BAD＝∠ABC B．∠BAC＝∠ABD C．∠DAC＝∠CBD D．∠C＝∠D2、在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）A．2，4，7 B．1，4，9 C．3，4，5 D．5，6，123、已知ABC的三边长分别为a，b，c，则a，b，c的值可能分别是（）A．1，2，3 B．3，4，7C．2，3，4 D．4，5，104、如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（）A．B．C．D．5、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，4，7 B．3，4，8 C．3，4，5 D．3，3，76、有一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边的长可能是（）A．2 B．2.5 C．3 D．57、在下列长度的四根木棒中，能与3cm，9cm的两根木棒首尾顺次相接钉成一个三角形的是（）A．3cm B．6cm C．10cm D．12cm8、如图，△ABC中，D，E分别为BC，AD的中点，若△CDE的面积使2，则△ABC的面积是（）A．4 B．5 C．6 D．89、若三条线段中a ＝3，b ＝5，c 为奇数，那么以a 、b 、c 为边组成的三角形共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10、如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE ，BF 交于点G ，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，延长FP 交BA 延长线于点Q ，下列结论：①AE ＝BF ；②AE ⊥BF ；③QF ＝QB ；④S 四边形ECFG ＝S △ABG ．正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知：如图，AB = DB ．只需添加一个条件即可证明ABC DBC ≌△△．这个条件可以是______．（写出一个即可）．2、如图，已知AB CD ∥，21BAF FED ∠=∠=︒，17CDE ∠=︒，则AFC ∠=______°．3、如图，点E ，F 分别为线段BC ，DB 上的动点，BE ＝DF ．要使AE +AF 最小值，若用作图方式确定E ，F ，则步骤是 _____．4、如图，点A ，C 在直线l 上，AE AB ⊥且AE AB =，BC CD ⊥且BC CD =，过E ，B ，D 分别作EF l ⊥，BG l ⊥，DH l ⊥，若6EF =，3BG =，4DH =，则ABC 的面积是______．5、在新年联欢会上，老师设计了“你说我画”的游戏．游戏规则如下：甲同学需要根据乙同学提供的三个条件画出形状和大小都确定的三角形．已知乙同学说出的前两个条件是“4AB =，2BC =”．现仅存下列三个条件：①45A ∠=︒；②45B ∠=︒；③45C ∠=︒．为了甲同学画出形状和大小都确定的ABC ，乙同学可以选择的条件有： ______．（填写序号，写出所有正确答案）三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，∠B=∠C，BC=8cm，D为AB的中点．点P在线段BC上以3 cm /s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等？2、如图，已知点B，F，C，E在同一直线上，AB∥DE，BF＝CE，AB＝ED，求证：∠A＝∠D．3、如图，在ABC中，90⊥于点E，AD ACACB∠=︒，CE AB∠交CE于点F，DF的延长=，AF平分CAB线交AC于点G．求证：DF BC∥．4、下面是“作一个角的平分线”的尺规作图过程．已知：如图，钝角AOB∠．求作：射线OC，使AOC BOC∠=∠．作法：如图，①在射线OA上任取一点D；②以点О为圆心，OD长为半径作弧，交OB于点E；③分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径作弧，在AOB∠内，两弧相交于点C；④作射线OC．则OC为所求作的射线．完成下面的证明．证明：连接CD，CE由作图步骤②可知OD=______．由作图步骤③可知CD=______．∵OC OC=，∴OCD OCE≌△△．∴AOC BOC∠=∠（________）（填推理的依据）．5、已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，如果第三边长是奇数，求第三边的长-参考答案-一、单选题1、B【分析】利用全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【详解】解：∵AC=BD，而AB为公共边，A、当∠BAD=∠ABC时，“边边角”不能判断△ABC≌△BAD，该选项不符合题意；B、当∠BAC=∠ABD时，根据“SAS”可判断△ABC≌△BAD，该选项符合题意；C、当∠DAC=∠CBD时，由三角形内角和定理可推出∠D=∠C，“边边角”不能判断△ABC≌△BAD，该选项不符合题意；D、同理，“边边角”不能判断△ABC≌△BAD，该选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2、C【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进行判定即可．【详解】解：A、∵247+<，∴不能构成三角形；B、∵149+<，∴不能构成三角形；C、∵345+>，∴能构成三角形；D、∵5612+<，∴不能构成三角形．故选：C．【点睛】本题主要考查运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形的情况，理解构成三角形的三边关系是解题关键．3、C【分析】三角形的三边应满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此求解．【详解】解：A、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意；B、3+4＝7，不能组成三角形，不符合题意；C、2+3＞4，能组成三角形，符合题意；D、4+5＜10，不能组成三角形，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，满足两条较小边的和大于最大边即可．4、B【分析】根据三角形全等的判定定理（SAS定理和ASA定理）即可得．【详解】解：A、ABC中，长为,a b的两边的夹角等于5850︒≠︒，则此项不满足SAS定理，与ABC不全等，不符题意；B、此项满足SAS定理，与ABC全等，符合题意；C、ABC中，长为,a c的两边的夹角等于5058︒≠︒，则此项不满足SAS定理，与ABC不全等，不符题意；︒︒的夹边长为a b，则此项不满足ASA定理，与ABC不全等，不符题意；D、ABC中，角度为50,58故选：B．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．5、C【分析】根据组成三角形的三边关系依次判断即可．【详解】A、 3，4，7中3+4=7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．B、 3，4，8中3+4＜8，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．C、 3，4，5中任意两边之和都大于第三边，任意两边之差都小于第三边，故能组成三角形，符合题意，选项正确．D、 3，3，7中3+3＜7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．6、D【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断．【详解】解：设第三边为x，则5−2＜x＜5＋2，即3＜x＜7，所以选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．7、C【分析】设第三根木棒的长度为x cm，再确定三角形第三边的范围，再逐一分析各选项即可得到答案.【详解】解：设第三根木棒的长度为x cm，则x9393,x612,所以A，B，D不符合题意，C符合题意，故选C【点睛】本题考查的是三角形的三边的关系，掌握“利用三角形的三边关系确定第三边的范围”是解本题的关键.8、D【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可求出ABC的面积．【详解】∵AD是BC上的中线，∴12ABD ACD ABCS S S==△△△，∵CE是ACD△中AD边上的中线，∴12ACE CDE ACDS S S==，∴14CDE ABCS S=，即4ABC CDES S=，∵CDE△的面积是2，∴428ABCS=⨯=．故选：D．【点睛】本题考查的是三角形的中线的性质，三角形一边上的中线把原三角形分成的两个三角形的面积相等．9、C【分析】根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形的个数．【详解】解：c的范围是：5﹣3＜c＜5+3，即2＜c＜8．∵c是奇数，∴c＝3或5或7，有3个值．则对应的三角形有3个．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，准确分析判断是解题的关键．10、D【分析】首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE＝90°，即可得到①AE＝BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF＝QB；由Rt△ABE≌Rt△BCF得S△ABE＝S△BCF即可判定④正确．【详解】解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，在△ABE和△BCF中，AB BCABE BCF BE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，故①正确；又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF，故②正确；根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°，∵CD∥AB，∴∠CFB ＝∠ABF ，∴∠ABF ＝∠PFB ，∴QF ＝QB ，故③正确；∵Rt△ABE ≌Rt△BCF ，∴S △ABE ＝S △BCF ，∴S △ABE ﹣S △BEG ＝S △BCF ﹣S △BEG ，即S 四边形ECFG ＝S △ABG ，故④正确．故选：D ．【点睛】本题主要是考查了三角形全等、正方形的性质，熟练地综合应用全等三角形以及正方形的性质，证明边相等和角相等，是解决本题的关键．二、填空题1、AC =DC【分析】由题意可得，BC 为公共边，AB =DB ，即添加一组边对应相等，可证△ABC 与△DBC 全等．【详解】解：∵AB =DB ，BC =BC ，添加AC =DC ，∴在△ABC 与△DBC 中，AB DB BC BC AC DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DBC （SSS ），故答案为：AC =DC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．2、59【分析】如图，过F 作,FQ AB ∥证明,AB FQ CD ∥∥证明21,,AFQBAF QFC FCD 再利用三角形的外角的性质求解,FCD 从而可得答案.【详解】解：如图，过F 作,FQ AB ∥AB CD ∥，,AB FQ CD ∥∥ 而21BAF ∠=︒21,,AFQ BAF QFC FCD21FED ∠=︒，17CDE ∠=︒，211738,FCD38,213859,QFC AFCAFQ QFC 故答案为：59【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，三角形的外角的性质，过F 作,FQ AB ∥再证明AB FQ CD ∥∥是解本题的关键.3、①连接AD ，作CBM ADB ∠=∠；②以点B 为圆心、AD 长为半径画弧，交BM 于点P ；③连接AP 交BC 于点E ；④以点D 为圆心、BE 长为半径画弧，交DB 于点F【分析】按照①连接AD ，作CBM ADB ∠=∠；②以点B 为圆心、AD 长为半径画弧，交BM 于点P ；③连接AP 交BC 于点E ；④以点D 为圆心、BE 长为半径画弧，交DB 于点F 的步骤作图即可得．【详解】解：步骤是①连接AD ，作CBM ADB ∠=∠；②以点B 为圆心、AD 长为半径画弧，交BM 于点P ；③连接AP 交BC 于点E ；④以点D 为圆心、BE 长为半径画弧，交DB 于点F ；如图，点,E F 即为所求．故答案为：①连接AD ，作CBM ADB ∠=∠；②以点B 为圆心、AD 长为半径画弧，交BM 于点P ；③连接AP 交BC 于点E ；④以点D 为圆心、BE 长为半径画弧，交DB 于点F ．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角、两点之间线段最短、作线段、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握尺规作图的方法是解题关键．4、15【分析】根据AAS 证明△EFA ≌△AGB ，△BGC ≌△CHD ，再根据全等三角形的性质以及三角形的面积公式求解即可．【详解】解：（1）∵EF ⊥FG ，BG ⊥FG ，∴∠EFA =∠AGB =90°，∴∠AEF +∠EAF =90°，又∵AE ⊥AB ，即∠EAB =90°，∴∠BAG +∠EAF =90°，∴∠AEF =∠BAG ，在△AEC 和△CDB 中，AEF BAG EFA AGB AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EFA ≌△AGB （AAS ）；同理可证△BGC ≌△CHD （AAS ），∴AG =EF =6，CG =DH =4，∴S △ABC =12AC ⨯BG =12(AG +GC )⨯BG =12(6+4)⨯3=15．故答案为：15．【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5、②【分析】根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，即可求解．【详解】解：①若选45A∠=︒，是边边角，不能得到形状和大小都确定的ABC；②若选45B∠=︒，是边角边，能得到形状和大小都确定的ABC；③若选45C∠=︒，是边边角，不能得到形状和大小都确定的ABC；所以乙同学可以选择的条件有②．故答案为：②【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边及其夹角对应相等的两个三角形全等是解题的关键．三、解答题1、（1）△BPD与△CQP全等，理由见解析；（2）当点Q的运动速度为154cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．【分析】（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP；（2）可设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等，则可知PB=3tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，据（1）同理可得当BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC时两三角形全等，求x的解即可．【详解】解：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，∵△ABC 是等边三角形，D 为AB 的中点．∴∠ABC =∠ACB =60°，BD=PC =5cm ，在△BPD 和△CQP 中，BD PC ABC ACB BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BPD ≌△CQP （SAS ）；（2）设点Q 的运动速度为x （x ≠3）cm /s ，经过ts △BPD 与△CQP 全等；则可知PB =3tcm ，PC =(8-3t )cm ，CQ =xtcm ，∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，根据全等三角形的判定定理SAS 可知，有两种情况：①当BD =PC 且BP =CQ 时，△BPD ≌△CQP （SAS ），则8-3t =5且3t =xt ，解得x =3，∵x ≠3，∴舍去此情况；②BD =CQ ，BP =PC 时，△BPD ≌△CPQ （SAS ），则5=xt 且3t =8-3t ，解得：x =154； 故若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为154cm /s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等．【点睛】本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．2、见解析【分析】根据平行线的性质得出∠B ＝∠E ，进而利用SAS 证明ABC DEF ≅，利用全等三角形的性质解答即可．【详解】证明：FB CE =，FB CF CE CF ∴+=+，即BC EF =．//AB DE ，B E ∴∠=∠．在ABC 和DEF 中，AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABC DEF SAS ∴≅△△A D ∴∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证ABC DEF ≅是解题的关键．3、见解析【分析】根据已知，利用SAS 判定△ACF ≌△ADF ，从而得到对应角相等可得结论．【详解】证明：∵AF 平分CAB ∠，∴CAF DAF ∠=∠．在ΔACF 和ΔADF 中，∵AC AD CAF DAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ΔΔACF ADF SAS ≅．∴ACF ADF ∠=∠．∵90ACB ∠=︒，CE AB ⊥，∴90ACE CAE ∠+∠=︒，90CAE B ∠+∠=︒，∴ACF B ∠=∠，∴ADF B ∠=∠．∴DF //BC ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．4、OE ； CE ；全等三角形的对应角相等根据圆的半径相等可得OD=OE，CD=CE，再利用SSS可证明OCD OCE△△，从而根据全等三角形的性≌质可得结论．【详解】证明：连接CD，CE由作图步骤②可知OD=___OE___．由作图步骤③可知CD=__CE___．∵OC OC=，∴OCD OCE△△．≌∴AOC BOC∠=∠（__全等三角形对应角相等__）故答案为：OE；CE；全等三角形的对应角相等【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定和性质．5、第三边长为7cm或9cm或11cm【分析】设三角形的第三边长为x cm，根据三角形的三边关系确定x的范围，然后根据题意可求解．【详解】解：设三角形的第三边长为x cm，由三角形的两边长分别是4cm和9cm可得：9494-<<+，即为513x<<，x∵第三边长是奇数，x=或9或11．∴7本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．。

一、选择题1．若函数()sin 2f x x =与()2cos g x x =都在区间(),a b 上单调递减，则b a -的最大值是（ ） A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π32．已知实数a ，b 满足0<2a <b <3-2a ，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．sin sin2b a < B ．()2cos >cos 3a b -C ．()2sin sin3a b +<D ．23cos >sin 2b a ⎛⎫-⎪⎝⎭3．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]32ππ上具有单调性，且()(),23f f ππ=-2()()23f f ππ=，则ω=（ ） A ．6 B ．3 C ．2D ．14．我国著名数学家华罗庚先生曾倡导“0.618优选法”，0.618是被公认为最具有审美意义的比例数字，我们称为黄金分割．“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，华先生认为底与腰之比为黄金分割比51510.61822⎛⎫--≈ ⎪ ⎪⎝⎭的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形．例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的．如图，在其中一个黄金ABC 中，黄金分割比为BCAC．试根据以上信息，计算sin18︒=（ ）A 51- B 51- C ．514D 355．若函数()()sin 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=（ ） A ．34B ．14C ．32D ．126．己知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且图象向右平移12π个单位后得到的函数为偶函数，则下列说法错误的有（ ） A ．()f x 关于点5(,0)12π对称 B ．()f x 关于直线6x π=对称C ．()f x 在,]1212π5π[-单调递增 D ．()f x 在7[,]1212ππ单调递减7．对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数()sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列说法错误的是（ ） A ．3π是函数()f x 的一个周期 B ．函数()f x 的图象关于,13π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数的一条对称轴为712x π= D ．函数图象向左平移6π个单位后关于y 轴对称 9．675︒用弧度制表示为（ ） A ．114π B ．134π C ．154π D ．174π 10．函数()13cos313xxf x x -=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设函数()tan 3f x x π=-，()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是（ ） A ．4B ．5C ．12D ．1312．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象（如图所示），则下列有关函数()f x 的结论错误的是（ ）A ．图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 B ．最小正周期是π C ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3二、填空题13．某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第n 个月的月平均最高气温()G n 可近似地用函数()()cos G n A n k ωϕ=++来刻画，其中正整数n 表示月份且[]1,12n ∈，例如1n =表示1月份，n 和k 是正整数，0>ω，()0,πϕ∈.统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律：①该地区月平均最高气温最高的7月份与最低的1月份相差30摄氏度； ②1月份该地区月平均最高气温为3摄氏度，随后逐月递增直到7月份达到最高； ③每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同. 根据已知信息，得到()G n 的表达式是______.14．已知函数()cos (0)f x a x b a =+>的最大值为3，最小值为1，则函数(2)2()([,]3y f x f xx ππ=-∈的值域为_________.15．sin 75=______．16．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0,0ωϕπ><<）的图象关于点M 5(,0)12π成中心对称,且与点M 相邻的一个最低点为2(,3)3π-，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②函数()3y f x π=-为偶函数；③函数1y =与35()()1212y f x x ππ=-≤≤的图象的所有交点的横坐标之和为7π.其中正确的判断是__________________．（写出所有正确判断的序号）17．已知函数f （x ）＝A sin （3πx +φ），x ∈R ，A ＞0，0＜φ＜2π．y ＝f （x ）的部分图象，如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为（1，A ），点R 的坐标为（1，0），∠PRQ ＝23π，则sin ∠PQR ＝_____．18．关于函数()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，有下列命题： ①函数()y f x =的表达式可以改写为4cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②函数()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ④函数()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中正确的序号是______.19．实数x ，y 满足121log sin 303yx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则cos 24x y +的值为________.20．如图所示为函数()sin 2y A x ωϕ=++，()ϕπ<的图像的一部分，它的解析式为________.三、解答题21．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，02πϕ<<)的部分图象如图所示，其中最高点以及与x 轴的一个交点的坐标分别为,16π⎛⎫⎪⎝⎭，5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的解析式；（2）设M ，N 为函数y t =的图象与()f x 的图象的两个交点(点M 在点N 左侧)，且3MN π=，求t 的值.22．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为()g x ，若不等式()0g x m -≤在[]0,6x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.23．下图是函数()()sin()0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象.（1）求ϕ的值及()f x 单调递增区间.（2）若()f x 的图象横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，然后再将所得图象向右平移3π个单位，最后向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象，若()g x 在[0,](0)b b >上恰有10个零点，求b 的取值范围.24．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中π0,(0,)2ωϕ>∈．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求： （Ⅰ）()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）()f x 在区间[0,]2π的最大值和最小值．条件①：函数()f x 最小正周期为π； 条件②：函数()f x 图象关于点π(,0)6-对称； 条件③： 函数()f x 图象关于π12x =对称． 25．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到()g x 的图象.又()14g θ=求2114sin sin 63ππθθ⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 26．已知向量a ＝(cosωx －sinωx ，sinωx)，b ＝(－cosωx －sinωx,2cosωx)．设函数f(x)＝a b ⋅＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若y ＝f(x)的图象经过点,04π⎛⎫⎪⎝⎭，求函数f(x)在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据题意求出(),()f x g x 原点附近的单调递减区间，根据递减区间分析可得max 3π4b =，min π4a =，相减即可. 【详解】 解：由题意函数()sin 2f x x =在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数()2cos g x x =在()0,π上单调递减， 所以则max 3π4b =，min π4a =，所以b a -的最大值为3πππ442-=. 故选：C.求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.2．D解析：D 【分析】对各个选项一一验证：对于A.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出2ba <，借助于正弦函数的单调性判断； 对于B.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b <-，借助于余弦函数的单调性判断； 对于C.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b +<，借助于正弦函数的单调性判断； 对于D.先用诱导公式转化为同名三角函数，借助于余弦函数的单调性判断； 【详解】 因为0<2a <b <3-2a 对于A. 有0<2b a <， 若22b a π<<，有sin sin 2b a <；若22b a π<<，有sin sin 2ba >，故A 错； 对于B.有 23ab <-，若232a b π<<-，有()2cos >cos 3a b -，故B 错；对于C. 23a b +<，若232a b π<+<，有()2sin sin 3a b +>，故C 错；对于D. 222333sin cos cos 2222a a a ππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为b <3-2a <3，所以2cos >cos(3)b a - ∵22332a a π+-<-∴()223cos 3cos 2a a π+⎛⎫->-⎪⎝⎭∴()22233cos cos 3cos sin 22a a b a π+⎛⎫⎛⎫>->-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 对. 故选：D. 【点睛】利用函数单调性比较大小，需要在同一个单调区间内．3．B解析：B由2()()23f f ππ=求出函数的一条对称轴，结合()f x 在区间[,]32ππ上具有单调性，且()()23f f ππ=-，可得函数的四分之一周期，即可求出ω的值．【详解】解：由2()()23f f ππ=，可知函数()f x 的一条对称轴为2723212x πππ+==， 则2x π=离最近对称轴距离为712212πππ-=． 又()()23f f ππ=-，则()f x 有对称中心5,012π⎛⎫⎪⎝⎭， 由于()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性， 则1232T ππ-，所以3T π≥，从而7512124Tππ-=，所以23T π=，因为2T πω=，所以3ω=．故选：B 【点睛】本题考查()sin()f x A x ωϕ=+型函数图象的应用，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力．4．B解析：B 【分析】先由ABC 是一个顶角为36°的等腰三角形，作其底边上的高，再利用sin18sin DAC ︒=∠，结合腰和底之比求其结果即可.【详解】依题意可知，黄金ABC 是一个顶角为36°的等腰三角形，如图，51,2BC AB AC AC -==，36BAC ∠=︒，过A 作AD BC ⊥于D ，则AD 也是三角形的中线和角平分线，故11112sin18sin 224BCDC DAC AC AC ︒=∠===⋅=. 故选：B. 【点睛】本题解题关键在于读懂题意，将问题提取出来，变成简单的几何问题，即突破结果.5．C解析：C 【分析】由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出x ω的取值范围，可得出0,0,32πωπ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，再由函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可得出关于ω的等式，由此可解得实数ω的值. 【详解】0ω>，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0,3x πωω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 由于函数()()sin 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则0,0,32πωπ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以，032πωπ<≤，由于函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以，函数()f x 在3x π=处取得最大值，则()232k k N πωππ=+∈，又032πωπ<≤，所以，32πωπ=，解得32ω=. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题通过正弦型函数在区间上的单调性求参数值，解题的就是将函数在区间上的单调性转化为两个区间的包含关系，并且分析出函数()f x 的一个最大值点，进而列出关于ω的等式求解.6．A解析：ABD 【分析】由周期可求出ω，再由平移后为偶函数求出ϕ，即得()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求出512f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断A ；求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断B ；令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈求出单调递增区间可判断C ；由C 选项可判断D. 【详解】()f x 的最小正周期为π，22πωπ∴==，()sin(2)f x x ϕ=+， 向右平移12π个单位后得到sin 26y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数， ,62k k Z ππϕπ∴-=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈， ||2πϕ<，3ϕπ∴=-，()sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭， 对于A ，55sin 2sin 10121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 不关于点5(,0)12π对称，故A 错误； 对于B ，sin 2sin 001663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误； 对于C ，令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 当0k =时，51212x ππ-≤≤，故()f x 在,]1212π5π[-单调递增，故C 正确； 对于D ，由C 选项可知，()f x 在5[,]1212ππ单调递增，故D 错误.故选：ABD.【点睛】 本题考查正弦型函数的性质，可通过代入验证的方法判断对称轴和对称中心，利用整体换元可求单调区间.7．B解析：B【分析】求出函数的最值，对称中心坐标，对称轴方程，以及函数的单调区间，即可判断正误． 【详解】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭， 当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确； 当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，故②错误；当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误； 当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即252,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④正确. 故选：B【点睛】 关键点点睛：函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭的递增区间转化为sin 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的递减区间. 8．D解析：D【分析】根据正弦函数性质周期，对称性，图象变换判断各选项．【详解】函数()f x 的最小正周期为π，故3π是函数()f x 的一个周期，A 正确； 当3x π=时，sin 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故B 正确； 当712x π=时，函数()f x 取得最小值，712x π=为对称轴，C 正确； 函数图象向左平移6π个单位后函数解析式为sin 2163y x ππ⎡⎤⎛⎫=+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2sin 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，不是偶函数，图象不关于y 轴对称，D 错误． 故选：D.【点睛】 本题考查正弦型函数的性质，考查周期的概念，对称轴与对称中心、奇偶性等性质，属于基础题．9．C解析：C【分析】根据弧度制与角度制的关系求解即可.【详解】因为180π︒=弧度， 所以156756751804ππ︒=⨯=， 故选：C 10．A解析：A【分析】先判断奇偶性，可排除C ，D ，由特殊值()fπ，可排除B ，即可得到答案.【详解】 因为()()()1331cos 3cos31331x x x x f x x x f x -----=⋅-=⋅=-++，所以函数()f x 为奇函数，排除C ，D ；又()13cos3013f ππππ-=>+，排除B ， 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．11．A解析：A【分析】由题意知函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数，作出两个函数图象，数形结合即可求解.【详解】令()()()0h x f x g x =-=可得()()f x g x =，所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数. 分别作出()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象，由图知两个函数图象在区间[]2,2ππ-上有4个交点，所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是4，故选：A【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接法：令()0f x =，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，并且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数，()h x 和()g x 的形式，根据()()()0f x h x g x =⇔=，则函数()f x 的零点个数就是函数()y h x =和()y g x =的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.12．C解析：C【分析】首先根据题中所给的函数图象，从最值、周期和特殊点着手将解析式确定，之后结合函数的性质对选项逐一分析，得到结果.【详解】根据图象得到：2A =，311341264T πππ=-=，所以T π=，所以2ππω=，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+． 将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入，得到2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则()232k k Z ππϕπ+=+∈，得()26k k Z πϕπ=+∈， 又2πϕ<，所以6π=ϕ， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 对于A ，20126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则函数()f x 关于,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故A 正确； 对于B ，函数的周期22T ππ==，故B 正确； 对于C ，当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时函数()f x 为增函数，故C 错误； 对于D ，当0,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 262x π⎡⎛⎫+∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 26x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，故()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 正确． 故选：C ．【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有根据图象确定函数解析式，正弦型函数的相关性质，属于简单题目. 二、填空题13．是正整数且【分析】根据最值列出等式求再根据最高点和最低点对应的月份求周期并求以及利用最高点求【详解】由题意可知解得：解得：当时得：所以的表达式是是正整数且故答案为：是正整数且【点睛】方法点睛：形如一解析：()π5π15cos 1866G n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，n 是正整数且[]1,12n ∈ 【分析】根据最值列出等式求,A k ，再根据最高点和最低点对应的月份求周期，并求ω，以及利用最高点求ϕ.【详解】由题意可知()()330A k A k A k -+=⎧⎨+--+=⎩，解得：1518A k =⎧⎨=⎩， 12712πω-=⋅，解得：6π=ω， 当7x =时，72,6k k Z πϕπ⨯+=∈， 得：726k ϕππ=-+ ()0,ϕπ∈，56ϕπ∴=，所以()G n 的表达式是()515cos 1866G n n ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，n 是正整数且[]1,12n ∈. 故答案为：()515cos 1866G n n ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，n 是正整数且[]1,12n ∈ 【点睛】 方法点睛：形如()sin y A x k ωϕ=++ ()0,0A ω>>，一般根据最值求,A k ，利用最值，零点对应的自变量的距离求周期和ω，以及“五点法”中的一个点求ϕ.14．【分析】根据三角函数性质列方程求出得到进而得到利用换元法即可求出的值域【详解】根据三角函数性质的最大值为最小值为解得则函数则函数令则令由得所以的值域为故答案为：【点睛】关键点睛：解题关键在于求出后利 解析：7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据三角函数性质，列方程求出,a b ，得到()cos 2f x x =+，进而得到22cos 2cos 3(2)2()y x f x f x x =-=--，利用换元法， 即可求出(2)2()([,]3y f x f x x ππ=-∈的值域 【详解】根据三角函数性质，()cos (0)f x a x b a =+>的最大值为3a b +=，最小值为1b a -=，解得2,1b a ==，则函数()cos 2f x x =+，则函数(2)2()cos 222cos 4y f x f x x x =-=+--cos22cos 2x x =--22cos 2cos 3x x =--，3x ππ≤≤，令cos t x =，则112t -≤≤， 令2()223g t t t =--，由112t -≤≤得，7(),12g t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以，(2)2()([,]3y f x f x x ππ=-∈的值域为7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】 关键点睛：解题关键在于求出()cos 2f x x =+后，利用换元法得出2()223g t t t =--，112t -≤≤，进而求出()g t 的范围，即可求出所求函数的值域，难度属于中档题 15．【解析】试题分析：将非特殊角化为特殊角的和与差是求三角函数值的一个有效方法考点：两角和的正弦解析：【解析】试题分析：232162sin 75sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 302︒︒︒︒︒︒︒+=+=+==将非特殊角化为特殊角的和与差，是求三角函数值的一个有效方法.考点：两角和的正弦 16．②③【分析】根据已知条件确定函数的解析式进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程对称中心及各个交点的特点进一步确定答案【详解】函数（其中）的图象关于点成中心对称且与点相邻的一个最低点为则：所以进一步解解析：②③【分析】根据已知条件确定函数的解析式，进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程，对称中心及各个交点的特点，进一步确定答案．【详解】函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0,0ωϕπ><<）的图象关于点M 5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称,且与点M 相邻的一个最低点为2,33π⎛⎫-⎪⎝⎭，， 则：2543124T πππ-＝＝ ， 所以T π=： ，326f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（）． 进一步解得：223A πωπ=＝＝， 由于()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0,0ωϕπ><<）的图象关于点M 5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称,，所以：5212k k Z πϕπ⋅+∈＝（），解得：5,6k k Z πϕπ-∈＝ ，由于0ϕπ<<， 所以：当1k = 时，6πϕ＝． 所以：①当2x π=时，33262f sin πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（）．故错误． ②3232633f x sin x cos x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝． 则3y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭为偶函数，故正确． ③由于：351212x ππ-≤≤， 则：0266x ππ≤+≤，所以函数()f x 的图象与1y =有6个交点．根据函数的交点设横坐标为123456x x x x x x 、、、、、，根据函数的图象所有交点的横标和为7π．故正确．故答案为②③【点睛】本题考查的知识要点：正弦型函数的解析式的求法，主要确定A ，ω、φ的值，三角函数诱导公式的变换，及相关性质得应用，属于基础题型．17．【分析】根据周期求出再由直角三角形的边角关系以及勾股定理求出最后由正弦定理求出【详解】过点作延长线的垂线垂足为连接如下图所示则由正弦定理可知则故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦型函数图象的性质的应解析：14【分析】 根据周期求出32T DQ ==，再由直角三角形的边角关系以及勾股定理求出,PR PQ ，最后由正弦定理求出sin PQR ∠. 【详解】过点Q 作PR 延长线的垂线，垂足为D ，连接PQ ，如下图所示263T ππ==，则32T DQ ==6xRQ RQD π∠=∠=3tan 336DR DQ π∴=⋅=⨯= 223,23,12921PR DP PQ PD PQ ∴===+=+=由正弦定理可知sin sin PQ PR PRQ PQR=∠∠ 则33sin 212sin 21PR PRQ PQR PQ ⋅⋅∠∠===21 【点睛】 本题主要考查了正弦型函数图象的性质的应用，涉及了正弦定理解三角形，属于中档题. 18．①③【分析】利用诱导公式化简函数判断①正误；求出函数周期判断②；求出函数的对称中心判断③；求出函数的对称轴判断④【详解】解：对于①所以①正确；对于②最小正周期所以②不正确；对于③因为所以为的对称中心解析：①③【分析】利用诱导公式化简函数()f x ,判断①正误；求出函数()f x 周期判断②；求出函数()f x 的对称中心判断③；求出函数()f x 的对称轴判断④.【详解】解：对于①，()4sin 24cos 2323f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4cos 24cos 2326x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以①正确； 对于②，最小正周期222T πππω===，所以②不正确； 对于③，因为4sin 4sin 00633f πππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 的对称中心，故③正确；对于④，()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的对称直线满足2,32x k k Z πππ+=+∈，6x π=-不满足条件，所以④不正确.故答案为：①③.【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查基本概念、基本知识的理解掌握程度，属于基础题. 19．【分析】由实数满足可得从而求出结果【详解】实数xy 满足且故答案为：【点睛】本题考查函数与方程的关系属于基础题 解析：54【分析】 由实数满足121log sin 303yx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭可得sin 1,1x y ==-，从而求出结果 【详解】 实数x ，y 满足121log sin 303y x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 且120sin 1,log sin 0x x <≤∴≥， 121log sin 0,303yx ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭ ∴sin 1,1x y ==-，cos 0x ∴=， 0cos 1421524414x y -=++=+= 故答案为：54【点睛】 本题考查函数与方程的关系，属于基础题20．【分析】由两最值点对应横坐标可求周期由波峰波谷可求将代入可求【详解】由图可知即将得即又当时故故答案为：【点睛】本题考查由三角函数图像求解具体解析式属于中档题解析：33sin 224y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【分析】由两最值点对应横坐标可求周期，由波峰波谷可求,A 将,16π⎛⎫⎪⎝⎭代入可求ϕ【详解】 由图可知，522663T ππππ=-=，即43T π=，24332ππωω=⇒=， 3112A -==，将,16π⎛⎫⎪⎝⎭3sin 22y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭得2,42k k Z ππϕπ+=-+∈，即32,4k k Z πϕπ=-+∈，又ϕπ<，当0k =时，34πϕ=-，故33sin 224y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 故答案为：33sin 224y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查由三角函数图像求解具体解析式，属于中档题三、解答题21．（1）()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）12±. 【分析】（1）由周期求出ω，取点,16π⎛⎫⎪⎝⎭求出ϕ，进而得出()f x 的解析式； （2）设()0,M x t ，0,3N x t π⎛⎫+⎪⎝⎭，解方程005sin 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得出0()2k x k π=∈Z ，再由0sin 26t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求出t 的值.【详解】解：（1）由题意易知1A =，周期524126T πππω⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以2ω=，所以()sin(2)f x x ϕ=+.将最高点,16π⎛⎫⎪⎝⎭代入()sin(2)f x x ϕ=+中可得1sin 3πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得2()32k k ππϕπ+=+∈Z ，即2()6k k πϕπ=+∈Z .又因为02πϕ<<，所以6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）设()0,M x t ，0,3N x t π⎛⎫+⎪⎝⎭，则005sin 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以001sin 2cos 222x x ⋅+⋅001sin 2cos 222x x ⎛=⋅-+⋅ ⎝⎭所以0sin 20x =，所以02()x k k π=∈Z ，即0()2k x k π=∈Z 所以1sin 62t k ππ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：由图象求函数()sin y A x ωϕ=+的解析式时，有如下步骤： 1、由最值得出A 的值； 2、由周期结合2T πω=得出ω；3、取点求出ϕ. 22．（1）()2cos 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）[)2,+∞.【分析】（1）由图象得出函数()f x 的最小正周期，可求得ω的值，再将点()1,0的坐标代入函数()f x 的解析式，结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，由此可得出函数()f x 的解析式；（2）利用三角函数图象变换求得()2cos 84g x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由已知可得()max m g x ≥，利用余弦函数的基本性质求出函数()g x 在区间[]0,6上的最大值，进而可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）()f x 的周期为()2518T =⨯-=，所以284ππω==， 又因为函数()f x 的图象过点()1,0，则有2cos 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且函数()f x 在1x =附近单调递减， 所以()242k k Z ππϕπ+=+∈，所以()24k k Z πϕπ=+∈，又因为0ϕπ<<，所以4πϕ=，所以()2cos 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）将函数()2cos 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得函数2cos 84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将2cos 84y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移4个单位长度， 得()()2cos 42cos 8484g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 不等式()0g x m -≤在[]0,6x ∈恒成立，即()max g x m ≤， 因为[]0,6x ∈，所以,8442x ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以当084x ππ-=，即2x =时，()g x 取最大值，最大值为2，即2m ≥.综上可得，实数m s 的取值范围实数[)2,+∞. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++或()()cos f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值. 23．（1）23ϕπ=，7[,],1212k k k Z ππππ--∈；（2）59671212b ππ≤<. 【分析】（1）依题意求出函数的周期T ，再根据2Tπω=，求出ω，再根据函数过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭，求出ϕ，即可求出函数解析式，再令222+2,232k x k k Z πππππ-≤≤+∈，求出x 的取值范围，即可求出函数的单调区间；（2）根据三角函数的变换规则求出()g x 的解析式，令()0g x =即可求出函数的零点，要使()g x 在[0,](0)b b >上恰有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标，小于第11个零点的横坐标即可，即可得到不等式，解得即可； 【详解】解：（1）由图易知22362T πππ=-=，则T π=，22T πω==，所以()()sin 2f x x ϕ=+ 因为函数过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭所以sin 2066f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2,6k k Z πϕπ⨯+=∈，又0ϕπ<<，故23ϕπ=， 则()2sin(2)3f x x π=+ 令：222+2,232k x k k Z πππππ-≤≤+∈，整理得7,1212k x k k Z ππππ-≤≤-∈， 所以()f x 的单调增区间是7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦. （2）若()f x 的图象横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，然后再将所得图象向右平移3π个单位，最后向上平移1个单位，得到函数()2sin 21g x x =+ 令()0g x =，得712x k ππ=+或11()12x k k Z ππ=+∈. 所以在[0,]π上恰好有两个零点，若()g x 在[0,]b 上恰有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标，小于第11个零点的横坐标即可，即b 的范围为：115941212b πππ≥+=.且1111767412121212b ππππππ<++-+= 即59671212b ππ≤< 【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.24．答案见解析. 【分析】若选择条件①②，（Ⅰ）根据最小正周期求出ω，根据对称中心求出ϕ，根据正弦函数的单调递增区间可求出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）根据正弦函数的图象可求得结果. 若选择条件①③，（Ⅰ）根据最小正周期求出ω，根据对称轴求出ϕ，根据正弦函数的单调递增区间可求出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）根据正弦函数的图象可求得结果.若选择②③，不能确定函数最小正周期，无法确定ω，所以无法确定函数解析式． 【详解】若选择条件①②，（Ⅰ）由函数()f x 最小正周期2π=πT ω=，得2ω=.因为()f x 图象关于点π(,0)6-对称，所以πsin[2()]06ϕ⨯-+=， 所以3k πϕπ-=，k Z ∈，所以3k πϕπ=+，k Z ∈，又已知π(0,)2ϕ∈，故π3ϕ=． 因此π()sin(2)3f x x =+． πππ2π22π,232k x k k -+≤+≤+∈Z 由，解得5,1212k x k ππππ-+≤≤+k Z ∈. 所以()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π]()1212k k k -++∈Z ． （Ⅱ）因为02x π≤≤，所以ππ4π2333x ≤+≤．当ππ2=32x +，即π12x =时，()f x 取得最大值1；当π4π2=33x +，即π2x =时，()f x 取得最小值．若选择条件①③，（Ⅰ）由函数()f x 最小正周期2π=πT ω=，得2ω=. 又函数()f x 图象关于π12x =对称，所以有πsin(2)112ϕ⨯+=±，所以62k ππϕπ+=+，k Z ∈，即3k πϕπ=+，k Z ∈，又已知π(0,)2ϕ∈，故π3ϕ=．因此π()sin(2)3f x x =+．πππ2π22π,232k x k k -+≤+≤+∈Z 由，解得5,1212k x k ππππ-+≤≤+k Z ∈. 所以()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π]()1212k k k -++∈Z ． （Ⅱ）因为02x π≤≤，所以ππ4π2333x ≤+≤．当ππ2=32x +，即π12x =时，()f x 取得最大值1；当π4π2=33x +，即π2x =时，()f x 取得最小值．若选择②③，不能确定函数最小正周期，无法确定ω，所以无法确定函数解析式．【点睛】关键点点睛：根据函数性质确定函数解析式是解题关键. 25．（1）()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；（2）1116. 【分析】（1）由顶点及周期可得1A =，2ω=，再由sin 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得6π=ϕ，从而得解；（2）根据条件得1sin 64πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再结合诱导公式和同角三角函数关系可得解. 【详解】（1）由图可知1A =， 由311341264T πππ=-=，得2T ππω==，所以2ω=， 所以()()sin 2f x x ϕ=+，因为sin 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈，则2,6k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以6π=ϕ， ()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，（2）由题意，()sin 6g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由()14g θ=，得1sin 64πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，221143sin sin sin[2()]sin [()]63662πππππθθπθθ⎛⎫⎛⎫-+-=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111sin()cos ()sin()1sin ()1666641616ππππθθθθ=-+++=-++-+=-+-=.【点睛】方法点睛：确定()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>的解析式的步骤： (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则2M mA ，2M mB +=； (2)求ω，确定函数的周期T ，则2Tπω=； (3)求ϕ，常用方法有以下2种方法：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.26．(1)65π；(2)1222⎡⎤---⎣⎦, . 【解析】 试题分析：(1)整理函数的解析式可得：56ω=，利用最小正周期公式可得函数的最小正周期为65π ； (2)化简三角函数的解析式()52sin 236f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，结合函数的定义域可得函数的取值范围是12,22⎡⎤---⎣⎦ .试题(1)因为f(x)＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋2sinωx·cosωx ＋λ＝－cos2ωx ＋sin2ωx ＋λ ＝2sin＋λ.由直线x ＝π是y ＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin ＝±1，所以2ωπ－＝kπ＋ (k ∈Z)，即ω＝＋ (k ∈Z)． 又ω∈，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝.所以f(x)的最小正周期是. (2)由y ＝f(x)的图象过点，得f ＝0， 即λ＝－2sin ＝－2sin ＝－，即λ＝－.故f(x)＝2sin －，由0≤x≤，有－≤x －≤，所以－≤sin≤1，得－1－≤2sin x－－≤2－.故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－]．。

单元检测四 三角函数、解三角形(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·许昌期末)下列说法正确的是( ) A ．小于90°的角是锐角 B ．钝角是第二象限的角C ．第二象限的角大于第一象限的角D ．若角α与角β的终边相同，则α＝k π＋β，k ∈Z2．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45，则sin(π－α)等于( ) A ．－45 B.45 C ．－35 D.353．已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫π6－2α等于( ) A.79 B ．－79 C ．±79 D ．－294．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，若f (2 017)＝－1，则f (2 020)等于( )A ．1B ．2C ．0D ．－15．(2020·阜阳模拟)若曲线y ＝sin(4x ＋φ)(0<φ<2π)关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称，则φ等于( ) A.2π3或5π3 B.π3或4π3 C.5π6或11π6 D.π6或7π66．(2019·安徽省皖南八校联考)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π4上递减的是( )A ．f (x )＝cos |2x |B ．f (x )＝sin |2x |C ．f (x )＝2|sin x cos x |D ．f (x )＝|2sin 2x －1|7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1＋tan A tan B ＝2cb ，则角A 的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.2π38．设a ＝tan 35°，b ＝cos 55°，c ＝sin 23°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b9．已知函数f (x )＝23sinωx 2cos ωx 2＋2cos 2ωx2－1(ω>0)的周期为π，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，方程f (x )＝m 恰有两个不同的实数解x 1，x 2，则f (x 1＋x 2)等于( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－210．已知外接圆半径为6的△ABC 的三边为a ，b ，c ，sin B ＋sin C ＝43，△ABC 面积为S ，且S ＝b 2＋c 2－a 2，则面积S 的最大值为( ) A.81717 B.161717 C.1281717 D.64171711．(2019·安徽省江淮六校联考)将函数f (x )＝cosωx 2·⎝⎛⎭⎫2sin ωx 2－23cos ωx 2＋3(ω>0)的图像向左平移π3ω个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数，则ω的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．412．(2020·咸阳期末)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的图像过点⎝⎛⎭⎫0，－32，且f (x )在⎝⎛⎭⎫3π17，7π17上单调，f (x )的图像向左平移π2个单位长度后得到的图像与原图像重合，若存在两个不相等的实数x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫π24，7π24，满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( )A ．－32B ．－32 C.32 D.32第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．(2019·天水市一中期末)函数y ＝sin 2x ＋2cos 2x －sin x －3的最大值是________． 14．(2019·扶余市第一中学期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a 2＋b 2＝2 019c 2，则tan A tan Btan C (tan A ＋tan B )的值为________．15．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2，x ∈R ，两相邻的对称轴的距离为π2，f ⎝⎛⎭⎫π6为最大值，则函数f (x )在区间[0，π]上的递增区间为______________________．16．(2019·驻马店市期末)在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝π3，a ＝7，现有以下判断：①△ABC 的外接圆面积是49π3；②b cos C ＋c cos B ＝7； ③b ＋c 可能等于16；④作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大值是7 3. 请将所有正确的判断序号填在横线上________．三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)(2020·洛阳市开学考试)在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P (1,2)． (1)求cos 2α＋sin 2α的值； (2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求角β的值． 18.(12分)(2020·芜湖市第一中学质检)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋cos 2x －1. (1)求函数f (x )的值域；(2)求f (x )在[0,2π]上的所有零点．19.(13分)(2020·江西省奉新县第一中学质检)如图，四边形ABCD 中∠BAC ＝π2，∠ABC ＝π6，AD ⊥CD ，设∠ACD ＝θ.(1)若△ABC 面积是△ACD 面积的4倍，求sin 2θ； (2)若∠ADB ＝π6，求tan θ.20.(13分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)确定函数f (x )在[0，π]上的单调性；(3)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝32，b ＋c ＝7，△ABC 的面积为23，求边a 的长．答案精析1．B [对于B ，钝角是大于90°而小于180°的角，是第二象限的角，故正确；其余均错误．] 2．A [角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45，则sin(π－α)＝sin α＝－45.]3．B [∵sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝13， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π6－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－2α ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6＋α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π6＋α－1 ＝2×19－1＝－79.]4．A [由题知，f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，若f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－1，则a sin α＋b cos β＝1，所以 f (2 020)＝a sin(2 020π＋α)＋b cos(2 020π＋β)＝a sin α＋b cos β＝1，故选A.]5．A [因为曲线y ＝sin(4x ＋φ)(0<φ<2π)关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称，所以4×π12＋φ＝k π(k ∈Z )， 又0<φ<2π，所以k ＝1时，φ＝2π3，k ＝2时，φ＝5π3.]6．D [A 项，f (x )＝cos |2x |＝cos 2x ，周期为π，排除；B 项，f (x )＝sin |2x |，不具有周期性，排除；C 项，f (x )＝2|sin x cos x |＝|sin 2x |，周期为π2，在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π4上递增，排除；D 项，f (x )＝|2sin 2x －1|＝|cos 2x |，周期为π2，在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π4上递减．故选D.] 7．C [由题意及正弦定理可得，1＋tan A tan B ＝2sin C sin B ，则sin B cos A ＋sin A cos B sin B cos A ＝2sin C sin B ，sin C cos A sin B ＝2sin C sin B ，∵A ，B ，C 为△ABC 的内角，则sin C ≠0，sin B ≠0， ∴cos A ＝12，即A ＝π3.]8．A [由题意可知b ＝cos 55°＝sin 35°，因为sin 35°>sin 23°， 所以b >c ，利用三角函数线比较tan 35°和sin 35°， 易知tan 35°>sin 35°，所以a >b . 综上，a >b >c ，故选A.] 9．B [f (x )＝23sinωx 2cos ωx 2＋2cos 2ωx2－1 ＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6， 由T ＝2πω＝π，得ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 作出函数f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上的图像如图：由图可知，x 1＋x 2＝π3，∴f (x 1＋x 2)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π6 ＝2×12＝1.]10．C [因为外接圆的半径为R ＝6， 所以sin B ＋sin C ＝43可化为2R sin B ＋2R sin C ＝16，即b ＋c ＝16，由余弦定理可得b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ， S ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝12bc sin A ，因为bc >0，故4cos A ＝sin A ，即tan A ＝4，而A ∈(0，π)，故sin A ＝41717，由b ＋c ＝16可以得到16≥2bc ，故bc ≤64， 当且仅当b ＝c ＝8时等号成立， 所以S max ＝12×64×41717＝1281717.]11．B [f (x )＝2sinωx 2cos ωx 2－23cos 2ωx2＋ 3 ＝sin ωx －3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3， 所以g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋π3ω－π3＝2sin ωx ， 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2ω≤x ≤2k π＋π2ω(k ∈Z )，令k ＝0可得函数的一个递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2ω，π2ω， y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数，则π2ω≥π4， 据此可得ω≤2，则ω的最大值为2.] 12．A [由已知得sin φ＝－32， 又|φ|<π2，所以φ＝－π3；f (x )的图像向左平移π2单位长度后得到的图像与原函数图像重合，则kT ＝π2，k ∈Z ，即k ·2πω＝π2，k ∈Z ，化简可知ω＝4k ，k ∈Z ，①又f (x )在⎝⎛⎭⎫3π17，7π17上单调，所以12T ≥7π17－3π17，得πω≥4π17，化简可得ω≤174，② 由①②和ω>0，可知ω＝4，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3， 结合函数图形，因为x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫π24，7π24， 当x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2)， 结合图像可知x 1＋x 2＝5π24×2＝5π12，则f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫5π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫4×5π12－π3＝－32.] 13．－34解析 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则y ＝sin 2x ＋2cos 2x －sin x －3＝－t 2－t －1＝－⎝⎛⎭⎫t ＋122－34， 所以当t ＝－12时，y max ＝－34.14．1 009解析 由a 2＋b 2－2ab cos C ＝c 2得2ab cos C ＝2 018c 2， 即2sin A sin B cos C ＝2 018sin 2C ， 所以2sin A sin B ＝2 018sin(A ＋B )tan C ， 故tan A tan B tan C (tan A ＋tan B )＝sin A sin B sin (A ＋B )tan C＝2 0182＝1 009.15.⎣⎡⎦⎤0，π6和⎣⎡⎦⎤2π3，π 解析 由已知T 2＝π2，解得T ＝π，∴ω＝2，又f ⎝⎛⎭⎫π6为最大值，可得φ＝π6＋2k π，k ∈Z ， 由|φ|<π2得φ＝π6，∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ， 当k ＝0时，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6，当k ＝1时，x ∈⎣⎡⎦⎤2π3，7π6，∴f (x )在区间[0，π]上的递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6和⎣⎡⎦⎤2π3，π. 16．①②④解析 ①设△ABC 的外接圆半径为R ，根据正弦定理a sin A ＝2R ，可得R ＝733，所以△ABC 的外接圆面积是S ＝πR 2＝49π3，故①正确；②根据正弦定理，利用边化角的方法，结合A ＋B＋C ＝π，则b cos C ＋c cos B ＝2R sin B cos C ＋2R sin C cos B ＝2R sin(B ＋C )＝2R sin A ＝a ，故②正确；③b ＋c ＝2R (sin B ＋sin C )＝2R ⎣⎡⎦⎤sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝14⎝⎛⎭⎫12cos B ＋32sin B ＝14sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6，所以b ＋c ≤14，故③错误；④设A 到直线BC 的距离为d ，根据面积公式可得12ad ＝12bc sin A ，即d ＝bc sin A a≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22·sin A a＝49×327＝732(当且仅当b ＝c ＝7时，等号成立)，则AA ′＝2d ≤73，故④正确．综上，答案为①②④. 17．解 (1)∵角α的终边上有一点P ， ∴sin α＝25＝255，cos α＝15＝55∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×255×55＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35，∴sin 2α＋cos 2α＝45－35＝15.(2)由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2得α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∵sin(α－β)＝1010， ∴cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫10102＝31010，则sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝255×31010－55×1010＝22， ∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则β＝π4.18．解 (1)f (x )＝3cos x ＋2cos 2x －2＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋342－258， 由于cos x ∈[－1,1]，则f (x )在cos x ＝－34时取得最小值－258，在cos x ＝1取得最大值3，所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－258，3. (2)f (x )＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋342－258＝0， 得cos x ＝12或cos x ＝－2(舍)，所以x ＝π3＋2k π或x ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，因为x ∈[0,2π]，所以零点为π3或5π3.19．解 (1)设AC ＝a ，则AB ＝3a ，AD ＝a sin θ，CD ＝a cos θ， 由题意得S △ABC ＝4S △ACD ， 则12a ·3a ＝4·12a cos θ·a sin θ， 所以sin 2θ＝32. (2)由正弦定理，在△ABD 中，BD sin ∠BAD ＝ABsin ∠ADB ，即BD sin (π－θ)＝3asin π6，①在△BCD 中，BD sin ∠BCD ＝BCsin ∠CDB ，即BD sin ⎝⎛⎭⎫π3＋θ＝2asin π3，② ①÷②得，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋θ＝3sin θ， 化简得3cos θ＝2sin θ，所以tan θ＝32. 20．解 (1)f (x )＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋1－cos 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.11 (2)令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6(k ∈Z )， ∴f (x )的递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )．同理f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )，故f (x )在⎣⎡⎦⎤π3，5π6上递减，在⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π上递增．(3)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1，f ⎝⎛⎭⎫A 2＝32，∴sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12，又－π6<A －π6<5π6，∴A －π6＝π6，∴A ＝π3.∵△ABC 的面积为23， ∴12bc sin π3＝23，解得bc ＝8. ∵b ＋c ＝7，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc ＝25，∴a ＝5.。

第四章三角形单元综合测试一．选择题1．已知三条线段长分别为2cm、4cm、acm，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，那么a的取值可以是（）A．1cm B．2cm C．4cm D．7cm2．全等形是指两个图形（）A．大小相等B．完全重合C．形状相同D．以上都不对3．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（）A．B．C．D．4．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC ＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA5．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（）A．45°B．60°C．90°D．100°6．如图，已知△ABC≌△CDE，其中AB＝CD，那么下列结论中，不正确的是（）A．AC＝CE B．∠BAC＝∠ECD C．∠ACB＝∠ECD D．∠B＝∠D7．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC＝DC，∠A＝∠D B．BC＝EC，AC＝DCC．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD D．BC＝EC，∠B＝∠E8．下列判断正确的个数是（）（1）能够完全重合的两个图形全等；（2）两边和一角对应相等的两个三角形全等；（3）两角和一边对应相等的两个三角形全等；（4）全等三角形对应边相等．A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙、丁四个三角形中一定和△ABC全等的图形是（）A．甲、丁B．甲、丙C．乙、丙D．乙10．如图，AB＝AC，角平分线BF、CE交于点O，AO与BC交于点D，则图中共有（）对全等三角形．A．8B．7C．6D．5二．填空题11．已知三角形的三边长为3、7、a，则a的取值范围是．12．如图，测量三角形中线段AB的长度为cm；判断大小关系：AB+AC BC（填“＞”，“＝”或“＜”）．13．如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起做成卡钳，可测量工件内槽的宽，已知AC的长度是6cm，则工件内槽的宽BD是cm．14．如图，已知点B、E、F、C在同一直线上，BE＝CF，AF＝DE，则添加条件，可以判断△ABF≌△DCE．15．如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是．16．下列说法正确的是（填写语句的序号）：①形状相同的图形是全等图形；②边长相等的等边三角形是全等图形；③面积相等的三角形是全等三角形；④平移前后的两个图形一定是全等形；⑤全等图形的对应边和对应角都相等．17．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝100，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为2：3，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为．18．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝．19．如图，已知线段AB与CD相交于点E，AC＝AD，CE＝ED，则图中全等三角形有对．20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F，若BF ＝AC，CD＝3，BD＝8，则线段AF的长度为．三．解答题21．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝7，若第三边BC的长为偶数，求△ABC的周长．22．下面图形中有哪些是全等图形？23．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B 分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．24．如图，在五边形ABCDE和五边形A′B′C′D′E′中，如果AB＝A′B′，BC＝B′C′，CD＝C′D′，DE＝D′E′，EA＝E′A′．请添加尽可能少的条件，使它们全等（写出添加的条件，不需要说明理由）25．阅读下题及其证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB＝EC，∠ABE＝∠ACE，求证：∠BAE＝∠CAE．证明：在△AEB和△AEC中，．∴△AEB≌△AEC（第一步）．∴∠BAE＝∠CAE（第二步）．问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程．26．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，E是对角线AC上一点，连接BE，DE．（1）求证：BE＝DE．（2）当BE∥CD，∠BAD＝78°时，求∠BED的度数．27．已知：在△ABC和△DBE中，AB＝DB，BC＝BE，其中∠ABD＝∠CBE．（1）如图1，求证：AC＝DE；（2）如图2，AB＝BC，AC分别交DE，BD于点F，G，BC交DE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四对全等三角形．参考答案一．选择题1．解：依题意有4﹣2＜a＜4+2，解得：2＜a＜6．只有选项C在范围内．故选：C．2．解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，故选：B．3．解：A、两个图形属于全等形，故此选项符合题意；B、两个图形不属于全等形，故此选项不符合题意；C、两个图形不属于全等形，故此选项不符合题意；D、两个图形不属于全等形，故此选项不符合题意；故选：A．4．解：在△ABC和△MBC中，∴△MBC≌△ABC（ASA），故选：D．5．解：∵在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED（SAS），∴∠1＝∠AED，∵∠AED+∠2＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故选：C．6．解：∵△ABC≌△CDE，AB＝CD∴∠ACB＝∠CED，AC＝CE，∠BAC＝∠ECD，∠B＝∠D∴第三个选项∠ACB＝∠ECD是错的．故选：C．7．解：A．AB＝DE，BC＝DC，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEC，故本选项符合题意；B．AC＝DC，AB＝DE，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；C．∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，即∠ACB＝∠DCE，∵∠B＝∠E，AB＝DE，∴△ABC≌△DEC（AAS），故本选项不符合题意；D．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；故选：A．8．解：（1）能够完全重合的两个图形全等，正确；（2）两边和一角对应相等的两个三角形全等，必须是SAS才可以得出全等，错误；（3）根据“ASA”或“AAS”定理，有两角和一边对应相等的两个三角形，比如一边是两角的夹边和一角对边相等，则这两个三角形就不全等，故原说法错误；（4）全等三角形对应边相等，正确．所以有2个判断正确．故选：B．9．解：A、△ABC和甲两个三角形根据SAS可以判定全等，△ABC与丁三角形根据ASA可以判定全等，故本选项正确；B、△ABC与丙两个三角形的对应角不一定相等，无法判定它们全等，故本选项错误；C、△ABC与乙、丙都无法判定全等，故本选项错误；D、△ABC与乙无法判定全等，故本选项错误；故选：A．10．解：∵AB＝AC，角平分线BF、CE交于点O，∴AO平分∠BAC，点D为BC的中点，在△BAD和△CAD中，，∴△BAD≌△CAD（SSS）；同理可证：△OBD≌△OCD，△OBE≌△OCE，△OEA≌△OF A，△OBA≌△OCA，△BEC ≌△CFB，△ABF≌△ACF，由上可得，图中共有7对全等的三角形，故选：B．二．填空题11．解：根据三角形的三边关系，得7﹣3＜a＜7+3，即：4＜a＜10．故答案为：4＜a＜10．12．解：测量可知，三角形中线段AB的长度为2cm；判断大小关系：AB+AC＞BC．故答案为：2，＞．13．解：∵把两根钢条AB，CD的中点连在一起做成卡钳，∴AO＝BO，CO＝DO，在△BOD和△AOC中，∴△BOD≌△AOC（SAS），∴BD＝AC＝6cm，故答案为：6．14．解：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∴若添加∠AFB＝∠DEC，可以利用“SAS”证明△ABF≌△DCE，若添加AB＝DC，可以利用“SSS”证明△ABF≌△DCE，所以，添加的条件为∠AFB＝∠DEC或AB＝DC．故答案为：∠AFB＝∠DEC或AB＝DC．15．解：∵四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，∴∠D＝∠D′＝130°，∴∠A＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠D＝360°﹣75°﹣60°﹣130°＝95°，故答案为：95°．16．解：①形状相同，大小相等的图形是全等图形，故本小题错误；②边长相等的等边三角形是全等图形，正确；③面积相等的三角形是全等三角形，错误；④平移前后的两个图形一定是全等形，正确；⑤全等图形的对应边和对应角都相等，正确．所以，正确的说法有②④⑤．故答案为：②④⑤．17．解：设BE＝2t，则BF＝3t，因为∠A＝∠B＝90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，∵BF＝AE，AB＝60，∴3t＝100﹣2t，解得：t＝20，∴AG＝BE＝2t＝2×20＝40；情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，∵BE＝AE，AB＝60，∴2t＝100﹣2t，解得：t＝25，∴AG＝BF＝3t＝3×25＝75，综上所述，AG＝40或AG＝75．故答案为：40或75．18．解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠2＝∠ABD＝30°，∵∠1＝28°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝28°+30°＝58°，故答案为：58°．19．解：在△ACE和△ADE中，，∴△ACE≌△ADE（SSS），∴∠CAE＝∠DAE，在△CAB和△DAB中，∴△CAB≌△DAB（SAS），∴BC＝BD，在△BCE和△BDE中，∴△BCE≌△BDE（SSS）．∴图中全等三角形有3对．故答案为：3．20．解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，∴∠ADC＝∠BDF＝∠AEB＝90°，∴∠DAC+∠C＝90°，∠C+∠DBF＝90°，∴∠DAC＝∠DBF，在△ADC和△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴CD＝FD＝3，AD＝BD＝8，∵CD＝3，BD＝8，∴AD＝8，DF＝3，∴AF＝AD﹣FD＝8﹣3＝5，故答案为：5．三．解答题21．解：∵在△ABC中，AB＝3，AC＝7，∴第三边BC的取值范围是：4＜BC＜10，∴符合条件的偶数是6或8，∴当BC＝6时，△ABC的周长为：3+6+7＝16；当BC＝8时，△ABC的周长为：3+7+8＝18．∴△ABC的周长为16或18．22．解：如图所示：（1）和（8）是全等图形．23．（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：AD＝2×3＝6cm，BE＝7×2＝14cm，∵△ADC≌△CEB，∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），答：两堵木墙之间的距离为20cm．24．解：如图：，连接AC，AD，A′C′，A′D′，AC＝A′C′，AD＝A′D′，五边形ABCDE≌五边形AB′C′D′E′．25．解：上面证明过程不正确；错在第一步．正确过程如下：∵BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，又∵∠ABE＝∠ACE，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，在△AEB和△AEC中，，∴△AEB≌△AEC（SSS），∴∠BAE＝∠CAE．26．（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，在△BAE和△DAE中，，∴△BAE≌△DAE（SAS），∴BE＝DE；（2）解：由（1）得：△BAE≌△DAE，∴∠BEA＝∠DEA，∴∠BEC＝∠DEC，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝78°，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝×78°＝39°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝×（180°﹣39°）＝70.5°，∵BE∥CD，∴∠BEC＝∠ACD＝70.5°，∴∠BEC＝∠DEC＝70.5°，∴∠BED＝2×70.5°＝141°．27．证明：（1）∵∠ABD＝∠CBE，∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC，即∠ABC＝∠DBE，在△ABC与△DBE中，，∴△ABC≌△DBE（SAS），∴AC＝DE；（2）由（1）得△ABC≌△DBE，∴∠A＝∠D，∠C＝∠E，AB＝DB，BC＝BE，∴AB＝BE，∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∴∠A＝∠E，在△ABG与△EBH中，，∴△ABG≌△EBH（ASA），∴BG＝BH，在△DBH与△CBG中，，∴△DBH≌△CBG（SAS），∴∠D＝∠C，∵DB＝CB，BG＝BH，∴DG＝CF，在△DFG与△CFH中，，∴△DFG≌△CFH（AAS）．1、三人行，必有我师。

一、选择题1．如图，一个质点在半径为1的圆O 上以点P 为起始点，沿逆时针方向旋转，每2s 转一圈，由该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是（ ）A ．2sin()3y t ππ=+ B ．2sin()3y t ππ=- C ．2sin()3y t ππ=-D ．2sin()3y t ππ=+2．已知函数()cos 2y x ϕ=+()πϕπ-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ϕ的值为（ ）A ．56πB ．56π-C ．6π D ．6π-3．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移ϕ(02πϕ<≤)个单位，得到函数()g x 的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 4．函数()()12cos 20211f x x x π=++⎡⎤⎣⎦-在区间[]3,5-上所有零点的和等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．85．函数1sin3y x =-的图像与直线3x π=，53x π=及x 轴所围成的图形的面积是（ ） A ．23π B ．πC ．43π D ．53π 6．下列结论正确的是（ ） A ．sin1cos1< B ．2317cos cos 54ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()tan 52tan 47->-D ．sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．已知函数()tan()0,02f x x πωϕϕω⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭最小正周期为2π，且()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，则方程()sin 2([0,])3f x x x π⎛⎫=+∈π ⎪⎝⎭所有解的和为（ ）A ．76πB ．56π C ．2πD ．3π 8．已知曲线1C ：sin y x =，2C ：cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C 9．函数3cos 2cos 2sin cos cos510y x x x ππ=-的递增区间是（ ） A ．2[,]105k k ππππ-+（k Z ∈） B ．2[,]510k k ππππ-+ （k Z ∈） C ．3[,]510k k ππππ-- （k Z ∈） D ．37[,]2020k k ππππ-+ （k Z ∈） 10．下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞上是增函数的是（ ） A ．()22xxf x -=- B ．()23f x x =-C ．()2ln =-f x xD ．()cos3=f x x x11．已知函数()tan()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≠<⎪⎝⎭，点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是其相邻的两个对称中心，且在区间54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ϕ=（ ） A ．6π B ．6π-C ．3π D ．3π-12．函数()sin ln ||f x x x =⋅的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．将函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像先向右平移8π个单位，再将横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）后，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的解析式为_________.14．已知函数273(0)()323(0)x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩，()3cos 4g x x x =++，若对任意[3,3]t ∈-，总存在0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f t a g s +≤成立，则实数a 的取值范围为__________.15．若函数π()sin()cos()3f x x x ωω=++的一个周期是π，则常数ω的一个取值可以为__________.16．已知函数()cos (0)f x a x b a =+>的最大值为3，最小值为1，则函数(2)2()([,]3y f x f x x ππ=-∈的值域为_________.17．如图，从气球A 上测得正前方的B ，C 两点的俯角分别为75︒，30，此时气球的高是60m ，则BC 的距离等于__________m .18．已知函数f （x ）＝A sin （3πx +φ），x ∈R ，A ＞0，0＜φ＜2π．y ＝f （x ）的部分图象，如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为（1，A ），点R 的坐标为（1，0），∠PRQ ＝23π，则sin ∠PQR ＝_____．19．已知函数()3sin(2)cos(2)(||)2f x x x πϕϕϕ---<的图象关于y 轴对称,则()f x 在区[6π-,5]12π上的最大值为__.20．已知定义在R 上的函数()f x 满足3()2f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，且(2)3f -=，则(2020)f =________.三、解答题21．已知函数1()sin 22,23f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间； （3）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值 22．已知函数()22sin cos 2cos ,x x R f x x x =+∈. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在[]0,π上的单调递减区间； （3）令()18g x f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若()2g x a <-对于,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.23．已知函数1()2sin cos 62f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间[]0,π上的单调递增区间. 24．把()cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图象纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得()g x 的图象，已知()g x 图象如图所示（1）求函数()f x 的解析式； （2）若()()2()6h x f x g x π=-+，求()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域． 25．已知函数()2sin 1f x x =-.（1）求函数f (x )的最大值，并求此时x 的值； （2）写出()0f x >的解集. 26．已知712sin cos 2225ππαα⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求tan α的值；（2）求3sin sin 3cos ααα-的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】首先根据图象理解t 秒后23POx t ππ∠=+，再根据三角函数的定义求点P 的纵坐标和该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式. 【详解】由题意可知点P 运动的角速度是22ππ=（弧度/秒） 那么点P 运动t 秒后23POx t ππ∠=+， 又三角函数的定义可知，点P 的纵坐标是2sin 3t ππ⎛⎫+⎪⎝⎭， 因此该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是2sin 3y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解三角函数的定义，并正确表示点23POx t ππ∠=+，即可表示函数的解析式.2．A解析：A 【分析】根据三角函数的平移变换得到cos(2)y x ϕπ=+-后，再根据诱导公式变为sin(2)2y x πϕ=+-，然后利用图象重合列式可得结果.【详解】函数()cos 2y x ϕ=+()πϕπ-≤<的图象向右平移2π个单位后,得到cos[2()]cos(2)2y x x πϕϕπ=-+=+-sin(2)2x πϕπ=+-+sin(2)2x πϕ=+-，依题意可得223k ππϕπ-=+()k ∈Z ，所以526k πϕπ=+()k ∈Z 因为πϕπ-≤≤，所以0k =，56πϕ=. 故选：A. 【点睛】关键点点睛；经过平移变换后，利用诱导公式化为同名函数是解题关键，属于中档题. 3．C解析：C【分析】由图可知，172482g f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据函数图象的平移变化法则可知()()sin 2x g x ϕ=-，于是推出1717sin 22424g ππϕ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1722124k ππϕπ-=+或324k ππ+，k Z ∈，再结合02πϕ<≤，解之即可得ϕ的值.【详解】由图可知，17sin 224882g f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为()f x 的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()g x 的图象，所以()()sin 2x g x ϕ=-，所以171717sin 2sin 22424122g πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1722124k ππϕπ-=+或17322124k ππϕπ-=+，k Z ∈， 解得712k πϕπ=-或3k πϕπ=-，k Z ∈，因为02πϕ<≤，所以3πϕ=.故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.4．D解析：D 【分析】由图可得函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，画出函数图象，可得出()f x 在[]3,5-有8个零点，且关于1x =对称，即可求出.【详解】()()112cos 20212cos 11f x x x x x ππ=++=-⎡⎤⎣⎦--， 令()0f x =，则12cos 1x x π=-， 则函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，可得11y x =-和2cos y x π=的函数图象都关于1x =对称，则交点也关于1x =对称， 画出两个函数的图象，观察图象可知，11y x =-和2cos y x π=在[]3,5-有8个交点， 即()f x 有8个零点，且关于1x =对称，故所有零点的和为428⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查求函数的零点之和，解题的关键是将题目化为找11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，从而通过函数图象求解.5．C解析：C 【分析】作出函数1sin3y x =-的图像，利用割补法，补成长方形，计算面积即可. 【详解】作出函数1sin3y x =-的图象，如图所示，利用割补法，将23π到π部分的图象与x 轴围成的图形补到图中3π到23π处阴影部分，凑成一个长为3π，宽为2的长方形，后面π到53π，同理；∴1sin3y x =-的图象与直线3x π=，53x π=及x 轴所围成的面积为24233ππ⨯=，故选：C. 【点睛】用“五点法”作()sin y A ωx φ=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ωϕ=+，由z 取0，2π，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． 6．D解析：D 【分析】利用正弦函数的单调性可判断AD 选项的正误；利用正切函数的单调性可判断C 选项的正误；利用余弦函数的单调性可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，因为正弦函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 且01122ππ<-<<，则sin1sin 1cos12π⎛⎫>-=⎪⎝⎭，A 选项错误； 对于B 选项，因为余弦函数cos y x =在()0,π上为减函数，23233cos cos cos 555πππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，1717cos cos cos 444πππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 3045πππ<<<，则3cos cos 54ππ<，即2317cos cos 54ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 选项错误； 对于C 选项，当900x -<<时，正切函数tan y x =单调递增， 因为9052470-<-<-<，所以，()()tan 52tan 47-<-，C 选项错误；对于D 选项，因为正弦函数sin y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，因为021018πππ-<-<-<，所以，sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 选项正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答.7．A解析：A 【分析】先根据()f x 的最小正周期计算出ω的值，再根据图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭结合ϕ的范围求解出ϕ的值，再根据条件将方程变形，先确定出tan 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后即可求解出方程的根，由此确定出方程所有解的和. 【详解】因为()f x 的最小正周期为2π，所以22πωπ==，又因为()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2tan 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以2,3k k Z ϕππ+=∈，又因为02πϕ<<，所以3πϕ=且此时1k =，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即tan 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即tan 2cos 21033x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又因为tan 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，sin 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 213x π⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以tan 2cos 210tan 2=0333x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=⇔+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为[]0,x π∈，所以72,333x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 当tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭时，23x ππ+=或223x ππ+=，解得3x π=或56x π=， 所以方程()[]()sin 20,3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭所有解的和为57366πππ+=. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过分析方程得到tan 2=03x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此处需要注意不能直接约去tan 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭，因为需要考虑tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭的情况. 8．C解析：C 【分析】由题意利用诱导公式得1sin cos :2C y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】已知曲线1sin cos :2C y x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，2cos 23:C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移 12π个单位长度，得到曲线2cos 2cos 263:2C x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选C ．【点睛】本题主要考查函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．9．C解析：C 【分析】利用三角恒等变换的公式，化简得由函数cos(2)5y x π=+，再根据余弦型函数的性质，即可求解函数的单调递增区间，得到答案. 【详解】由函数3cos 2cos2sin cos cos cos 2cos sin 2sin cos(2)510555y x x x x x x πππππ=-=-=+， 令222,5k x k k Z ππππ-+≤+≤∈，整理得3,510k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈， 所以函数的单调递增区间为3[,],510k k k Z ππππ-+-+∈，故选C. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简，以及三角函数的性质的应用，其中解答中根据三角恒等变换的公式，化简得到函数的解析式，再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10．C解析：C 【分析】利用奇偶性的定义判断函数奇偶性，判断AD 错误，结合常见基本初等函数的单调性判断B 错误，C 正确即可. 【详解】选项A 中，()22xxf x -=-，定义域R ，()()()2222xx x x f x f x ---=-=--=-，则()f x 是奇函数，不符合题意；选项D 中，()cos3=f x x x ，定义域R ，()()()cos 3cos3f x x x x x f x -=--=-=-，则()f x 是奇函数，不符合题意；选项B 中，()23f x x =-，定义域R ，()()()2233x x f x f x -=--=-=，则()f x 是偶函数，但二次函数()23f x x =-在在(),0-∞上是减函数，在()0,∞+上是增函数，故不符合题意；选项C 中，()2ln =-f x x ，定义域为(),0-∞()0,+∞，()()2ln 2ln f x x x f x -=--=-=，则()f x 是偶函数.当()0,x ∈+∞时，()2ln f x x =-是减函数，所以由偶函数图象关于y 轴对称可知，()f x 在(),0-∞上是增函数，故符合题意. 故选：C. 【点睛】 方法点睛：定义法判断函数()f x 奇偶性的方法： （1）确定定义域关于原点对称； （2）计算()f x -；（3）判断()f x -与()f x 的关系，若()()f x f x -=，则()f x 是偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 是奇函数；若两者均不成立，则()f x 是非奇非偶函数.11．A解析：A 【分析】由正切函数的图象性质，得出相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出T ，然后由T πω=求出ω，然后再代点讨论满足题意的ϕ，即可得出答案. 【详解】由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为2T ，得72263T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 则由1T πω==得1ω=，即得1ω=±. 由2πϕ<，且在区间54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则可得1ω=-， ∴()()()tan tan f x x x ϕϕ=-+=--.由2,32k k Z ππϕ-=∈得2,32k k Z ππϕ=-∈，因2πϕ<，可得6π=ϕ或3π-，当3πϕ=-时，()tan +3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由+,232k x k k Z πππππ-<<+∈，得5,66k x k k Z ππππ-<<+∈， 则函数()f x 的单调减区间为5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， 令1k =，由54,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭⊄，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调递减， 所以3πϕ=-不满足题意；当6π=ϕ时，()tan 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由,262k x k k Z πππππ-<-<+∈，得2,33k x k k Z ππππ-<<+∈， 则函数()f x 的单调减区间为2,,33k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， 令1k =，由25,3354,63ππππ⎛⎫⊂⎛⎫ ⎪⎝ ⎪⎝⎭⎭，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 所以6π=ϕ满足题意； 综上可得：6π=ϕ满足题意. 故选：A.【点睛】关键点睛：正切型函数的对称中心和单调性的问题，通常采用代入检验法，注意正切函数的对称中心为0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭，. 12．D解析：D 【分析】先根据函数的奇偶性，可排除A ，C ，根据当01x <<时，()0f x <即可排除B ．得出答案. 【详解】因为()sin ln ||(0)f x x x x =⋅≠，所以()sin()ln ||sin ln ||()f x x x x x f x -=-⋅-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除A ，C ．当01x <<时，sin 0x >，ln ||0x <，则()0f x <，故排除B ， 故选:D ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.二、填空题13．【分析】利用函数的图象变换规律即可得到的解析式【详解】函数的图像先向右平移个单位后解析式变为：再将横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）后解析式变为：所以故答案为：【点睛】方法点睛：函数的图像与函数的 解析：cos4x -【分析】利用函数()()sin f x A x =+ωϕ的图象变换规律，即可得到()g x 的解析式． 【详解】函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像先向右平移8π个单位后解析式变为：sin 2sin 2co 288s 2y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）后解析式变为：()cos 22x y -=⨯，所以()cos 4g x x =-. 故答案为：cos4x -. 【点睛】方法点睛：函数sin ωφf xA xB 的图像与函数sin y x =的图像两者之间可以通过变化A ，ω，φ，B 来相互转化，A 、ω影响图像的形状，φ、B 影响图像与x 轴交点的位置，由A 引起的变换称为振幅变换，由ω引起的变换称为周期变换，它们都是伸缩变换；由φ引起的变换称为相位变换，由B 引起的变换称为上下平移变换，它们都是平移变换.三角函数图像变换的两种方法为先平移后伸缩和先伸缩后平移.14．【分析】求出f （t ）和g （s ）的值域根据存在性和恒成立问题转化为求出a 的范围【详解】对于函数f （x ）当x≤0时f （x ）单调递增由﹣3≤t≤0可得f （t ）∈﹣43当x ＞0时f （x ）＝﹣x2+2x+3＝ 解析：(],2-∞【分析】求出f （t ）和g （s ）的值域，根据存在性和恒成立问题，转化为()()()maxmaxf t ag s +≤求出a 的范围． 【详解】对于函数f （x ），当x ≤0时，f （x ）733x =+单调递增，由﹣3≤t ≤0，可得f （t ）∈[﹣4，3]，当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，由0＜t ≤3，可得f （t ）∈[0，4]， ∴对任意t ∈[﹣3，3]，f （t ）∈[﹣4，4]，对于函数g （x ）=x +cos x +4＝2sin （x 6π+）+4， ∵s ∈[0，2π]，∴s 6π+∈[6π，23π]， ∴g （s ）∈[5，6]，∴对于s ∈[0，2π]，使得g （s ）∈[5，6]，∵对任意t ∈[﹣3，3]，总存在s ∈[0，2π]，使得f （t ）+a ≤g （s ）成立，故()()()max maxf t ag s +≤∴a +4≤6，解得a ≤2， 故答案为：(],2-∞ 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．15．2（答案不唯一）【分析】把函数化为一个角的一个三角函数形式然后利用正弦函数的周期求解注意题中已知条件是函数的一个周期是并没有说是最小正周期因此只要函数的最小正周期是除以一个正整数都可满足题意【详解】解析：2（答案不唯一） 【分析】把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的周期求解，注意题中已知条件是函数的一个周期是π，并没有说π是最小正周期．因此只要函数的最小正周期是π除以一个正整数，都可满足题意． 【详解】1()sin cos cossin sin(1)sin cos 3322f x x x x x x ππωωωωω=+-=-+，令cosϕ=sin ϕ=，且ϕ为锐角，则()sin()f x x ωϕ=+，由2T ππω==，得2ω=，实际上，由2T ππω==得2ω=±，或者2kππω=（k Z ∈且0k ≠），2k ω=（k Z ∈且0k ≠），ω可为任意一个非零点的偶数． 故答案为：2．（填任一非0的偶数都可以）． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的周期，求解三角函数周期，一般是把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的周期性求解．而我们一般说周期通常是求最值正周期，若题中强调某个数是函数的一个周期，则这个周期不一定是最小正周期．16．【分析】根据三角函数性质列方程求出得到进而得到利用换元法即可求出的值域【详解】根据三角函数性质的最大值为最小值为解得则函数则函数令则令由得所以的值域为故答案为：【点睛】关键点睛：解题关键在于求出后利解析：7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据三角函数性质，列方程求出,a b ，得到()cos 2f x x =+， 进而得到22cos 2cos 3(2)2()y x f x f x x =-=--，利用换元法， 即可求出(2)2()([,]3y f x f x x ππ=-∈的值域【详解】根据三角函数性质，()cos (0)f x a x b a =+>的最大值为3a b +=，最小值为1b a -=，解得2,1b a ==，则函数()cos 2f x x =+，则函数(2)2()cos 222cos 4y f x f x x x =-=+--cos22cos 2x x =--22cos 2cos 3x x =--，3x ππ≤≤，令cos t x =，则112t -≤≤， 令2()223g t t t =--，由112t -≤≤得，7(),12g t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以，(2)2()([,]3y f x f x x ππ=-∈的值域为7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点睛：解题关键在于求出()cos 2f x x =+后，利用换元法得出2()223g t t t =--，112t -≤≤，进而求出()g t 的范围，即可求出所求函数的值域，难度属于中档题 17．【分析】由题意画出图形由两角差的正切求出的正切值然后通过求解两个直角三角形得到和的长度作差后可得答案【详解】由图可知在中在中河流的宽度等于故答案为：【点睛】本题给出实际应用问题求河流在两地的宽度着重解析：1)【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15︒的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC 和DB 的长度，作差后可得答案． 【详解】由图可知，15DAB ∠=︒ ()tan 45tan 30tan15tan 453021tan 45tan 30︒-︒︒=︒-︒==-+︒︒在Rt ADB 中，60AD =(tan15602120DB AD ∴=⋅︒=⨯=-在Rt ADC 中，60,60DAC AD ∠=︒=tan 60DC AD ∴=⋅︒=()()1201201BC DC DB m ∴=-=-=∴河流的宽度BC 等于)1201m故答案为：1) 【点睛】本题给出实际应用问题，求河流在,B C 两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．18．【分析】根据周期求出再由直角三角形的边角关系以及勾股定理求出最后由正弦定理求出【详解】过点作延长线的垂线垂足为连接如下图所示则由正弦定理可知则故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦型函数图象的性质的应【分析】根据周期求出32TDQ ==，再由直角三角形的边角关系以及勾股定理求出,PR PQ ，最后由正弦定理求出sin PQR ∠.【详解】过点Q作PR 延长线的垂线，垂足为D ，连接PQ ，如下图所示263T ππ==，则32T DQ == 6xRQ RQD π∠=∠=3tan336DR DQ π∴=⋅=⨯= 223,23,12921PR DP PQ PD PQ ∴===+=+=由正弦定理可知sin sin PQ PRPRQ PQR=∠∠则33sin 212sin 1421PR PRQPQR PQ⋅⋅∠∠===21【点睛】本题主要考查了正弦型函数图象的性质的应用，涉及了正弦定理解三角形，属于中档题.19．【分析】利用辅助角公式化简可得再根据图象关于轴对称可求得再结合余弦函数的图像求出最值即可【详解】因为函数的图象关于轴对称所以即又则即又因为所以则当即时取得最大值故答案为：【点睛】判定三角函数的奇偶性 3【分析】利用辅助角公式化简可得()2sin(2)6f x x πϕ=--,再根据图象关于y 轴对称可求得()2cos2f x x =-,再结合余弦函数的图像求出最值即可.【详解】因为函数()()()2cos 2f x x x ϕϕ=---2sin(2)6x πϕ=--的图象关于y 轴对称,所以πππ62k ϕ--=+,即()2ππ,3k k Z ϕ=--∈. 又2πϕ<,则π3ϕ=,即()2sin(2)2cos22f x x x π=-=-.又因为π5π612x -≤≤,所以π5π236x -≤≤,则当5π26x =,即5π12x =时,()f x 取得最大值5π2cos6-=.【点睛】判定三角函数的奇偶性时,往往与诱导公式进行结合,如： 若()sin y x ωϕ=+为奇函数,则π,Z k k ϕ=∈；若()sin y x ωϕ=+为偶函数,则ππ+,Z 2k k ϕ=∈； 若()cos y x ωϕ=+为偶函数,则π,Z k k ϕ=∈；若()cos y x ωϕ=+为奇函数,则ππ+,Z 2k k ϕ=∈. 20．3【分析】由已知可得是函数的一个周期所以再由可求得可得答案【详解】由已知可得则有则是函数的一个周期所以又所以所以故答案为：3【点睛】本题考查了函数的周期性及其应用准确理解周期性的定义是解题的关键属于解析：3 【分析】由已知可得，3是函数()f x 的一个周期，所以(2020)(1)f f =，再由(2)3f -=， 可求得()13f =，可得答案. 【详解】由已知可得，3()2f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则有333(3)++()222f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫+==-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3是函数()f x 的一个周期， 所以(2020)(67331)(1)f f f =⨯+=， 又(2)3f -=，所以()()123f f =-=， 所以(2020)3f =，故答案为：3. 【点睛】本题考查了函数的周期性及其应用，准确理解周期性的定义是解题的关键,属于中档题.三、解答题21．（1）π；（2）()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）最小值为32；最大值为94. 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期； （2）解不等式()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，可得出函数()f x 的单调递减区间；（3）由44x ππ-≤≤求出23x π-的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()f x 的最小值和最大值. 【详解】（1）因为1()sin 2223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==； （2）由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得()5111212k x k k Z ππππ+≤≤+∈.即函数()f x 的单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （3）因为44x ππ-≤≤，所以52636πππ-≤-≤x ，所以， 当232x ππ-=-即12x π=-时，函数()f x 取最小值，()min 13sin 2222f x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭； 当236x ππ-=即4x π=时，函数()f x 取最大值，()max 19sin 2264f x π=+=. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.22．（1）T π=；（2）5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）()2+∞. 【分析】（1）化简函数()214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）由正弦函数的单调性可得答案；（3）化简()2g x x =，根据,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求得()g x ，再根据题意，得到2a ->，即可求解． 【详解】（1）由题意，函数()sin 2cos21214f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， 可得其最小正周期是22T ππ==. （2）由3222,242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得 5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 又∵[]0,x π∈，∴5,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 故单减区间为5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）由()122844g x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则1cos 2,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()22g x x ⎡=∈-⎢⎣，若()2g x a <-对于,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，则()max 2a g x ->所以2a >+，即求实数a 的取值范围()2+∞.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质综合应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，求得函数的解析式，结合三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．23．（1）π；（2）单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）先根据二倍角公式、辅助角公式化简函数，再根据正弦函数的周期公式求周期； （2）根据正弦函数性质求单调区间，再取对应区间即得结果.【详解】（1）11()2sin sin 22f x x x x ⎫=+-⎪⎪⎝⎭1cos21222x x -=+-12cos 2sin 2226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. （2）令26z x π=-，[]0,x π∈，则11,66z ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 因为sin y z =，11,66z ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的单调增区间是,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，311,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 由2662x πππ-≤-≤或3112266x πππ≤-≤， 得：03x π≤≤或56x ππ≤≤， 所以()f x 在[]0,π内的单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数性质，解题关键是要熟练掌握三角函数的性质，考查分析求解能力，属基础题.24．（1）1()cos(2)3f x x π=-；（2）3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）由伸缩变换得1()cos()2g x x ωϕ=+，由()g x 的图像的周期为54()263T πππ=-=，解得2ω=，由()g x 图像过点(,1)3π，求得ϕ，进而得到()g x ，()f x 的解析式.（2）易得()22cos ()2cos()166h x x x ππ=----，令cos()6t x π=-，利用二次函数的性质求解.【详解】（1）由题意1()cos()2g x x ωϕ=+，由()g x 的图像可得：函数()g x 的周期为54()263T πππ=-=， 解得2ω=，∴()cos )(g x x ϕ=+，由图知()g x 图像过点(,1)3π， 所以cos()13πϕ+=， 则23k πϕπ=-+，k Z ∈， 因为||2ϕπ<，取0k =得3πϕ=-， 所以()cos()3g x x π=-，从而函数()f x 的解析式为()cos(2)3f x x π=-． （2）()()2()cos(2)2cos()636h x f x g x x x πππ=-+=---， 22cos ()2cos()166x x ππ=----， 令cos()6t x π=-， 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则22132212()22y t t t =--=--，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 当12t =时，y 有最小值32-， 此时，1cos()62x π-=，63x ππ-=，即2x π=， 当1t =时有最大值1-，此时cos()16x π-=，06x π-=，即6x π=． 所以函数()h x 的值域为3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 【点睛】方法点睛：求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．25．（1）最大值1，2,2x k k Z ππ=+∈；（2）5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 【分析】（1）当sin 1x =时，函数取最大值得解；（2）根据三角函数的图象解不等式得解集.【详解】（1）当sin 1x =即2,2x k k Z ππ=+∈时，()2111max f x =⨯-=； （2）由题得1sin 2x >，所以不等式的解集为5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 【点睛】关键点睛：解答这类题的关键是熟练掌握三角函数的图象和性质，再灵活利用其解题. 26．（1）3tan 4α=；（2）3sin 3sin 3cos 25ααα=--. 【分析】（1）利用诱导公式可得出12cos sin 25αα=，根据题意可得出关于cos α、sin α的值，求出cos α、sin α的值，利用同角三角函数的商数关系可求得tan α的值； （2）将所求代数式变形为()()3322sin sin sin 3cos sin 3cos sin cos αααααααα=--+，在分式的分子和分母中同时除以3cos α，利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】（1）712sin cos 2225ππαα⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由诱导公式可得123sin cos cos sin 2522ππαααα⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos sin 0αα∴>>，由已知可得2212cos sin 25cos sin 1cos sin 0αααααα⎧=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩，解得4cos 53sin 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因此，sin 3tan cos 4ααα==； （2）()()3322sin sin sin 3cos sin 3cos sin cos αααααααα=--+()()332223sin tan 325sin sin tan 3tan 131cos cos cos ααααααααα===-⎛⎫-+⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】方法点睛：三角函数求值问题中已知tan α，求关于sin α、cos α的代数式的值时，一般利用弦化切公式后直接代入tan α的值，在关于sin α、cos α的齐次式中，常常利用弦化切的方程转化为含tan α的代数式.。

阶段提升课第二课解三角形思维导图·构建网络考点整合·素养提升题组训练一由正、余弦定理解三角形1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos(B-).(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理=,可得bsin A=asin B.又由bsin A=acos(B-),得asin B=acos(B-),即sin B=cos(B-),sin B=cos Bcos +sin Bsin ,得sin B=cos B,tan B=,又因为B∈(0,π),可得B=.(亦可由sin B=cos(B-),得cos(-B)=cos(B-),可得-B=B-,解得B=.)(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=.由bsin A=acos(B-),可得sin A=.因为a<c,故cos A=.因此sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=2cos2A-1=.所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=×-×=.2.(2020·宜春高一检测)如图,在平面四边形ABCD中,∠ABC=,∠BAC=∠DAC,CD=2AB=4.(1)若AC=2,求△ABC的面积;(2)若∠ADC=,求AC.【解析】(1)因为∠ABC=,AB=2,AC=2,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC,所以20=4+BC2+4×BC×,所以BC2+2BC-16=0,所以BC=2或BC=-4(舍去),S△ABC=AB·BC·sin∠ABC=×2×2×=2.(2)设∠BAC=∠CAD=θ,则0<θ<,∠BCA=-θ,在△ABC中,=,即=,所以AC=.在△ACD中,=,即=,所以AC=.由=解得2sin θ=cos θ,又0<θ<,所以sin θ=,所以AC==2.解三角形常见类型及解法在三角形的六个元素中要知三个(除三角外)才能求解,常见类型及其解法见下表: 已知条件应用定理一般解法一边和二角(如a,B,C) 正弦定理由A+B+C=180°,求A;由正弦定理求出b与c两边和夹角(如a,b,C) 余弦定理由余弦定理求第三边c;由正弦定理求出一边所对的角,再由A+B+C=180°求出另一角三边(a,b,c) 余弦定理由余弦定理求出A,B,再利用A+B+C=180°求出C两边和其中一边的对角(如a,b,A) 正弦定理由正弦定理求出B,由A+B+C=180°求出C;再利用正弦定理求出c边题组训练二三角形中的最值或取值范围1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B.(1)求B;(2)若b=2,求△ABC的面积的最大值.【解析】(1)由正弦定理知,a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,得2Rsin A=2Rsin Bcos C+2Rsin Csin B,即sin A=sin Bcos C+sin Csin B.又A=π-(B+C),所以sin [π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B, 即sin Bcos C+cos Bsin C=sin Bcos C+sin Csin B,所以cos Bsin C=sin Csin B.因为sin C≠0,所以cos B=sin B,又B为三角形的内角,所以B=.(2)S△ABC=acsin B=ac,由正弦定理得a==·sin A=2sin A,同理得c=2sin C,所以S△ABC=×2sin A×2sin C=2sin Asin C=2sin Asin=2sin A=2(sin Acos A+sin2A)=sin 2A+1-cos 2A=sin +1,所以当2A-=,即A=时,S△ABC有最大值+1.2.(2020·开封高一检测)在锐角三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且a-2csin A=0.(1)求角C的大小;(2)若c=2,求a+b的取值范围.【解析】(1)由正弦定理得sin A-2sin Csin A=0,因为△ABC为锐角三角形,所以A∈,C∈,所以sin A≠0,所以-2sin C=0,即sin C=,所以C=.(2)由正弦定理得====,所以a+b=(sin A+sin B)=[sin A+sin(A+C)]=(sin A+sin Acos C+cos Asin C)==4sin.因为△ABC为锐角三角形,C=,所以A∈,所以A+∈,所以sin∈,所以4sin∈(2,4],即a+b∈(2,4].三角形中最值与取值范围的解题技巧(1)利用正弦定理或余弦定理实现边角的转化,将问题转化为三角函数问题.(2)结合角的值或范围,求三角函数的最大值、最小值或值域.(3)三角形中常用的等式或不等式:①A+B+C=π;0<A,B,C<π;②<a<b+c;③求三角形中最值和取值范围常用辅助角公式:asin θ+bcos θ=sin(θ+φ). 其中tan φ=(a≠0),且角φ的终边过点(a,b).题组训练三判断三角形的形状1.(2020·枣庄高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos2=,则△ABC的形状一定是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【解析】选A.因为cos2=,所以=,化简得sin Acos C=sin B.因为B=π-(A+C),所以sin Acos C=sin(A+C),即cos Asin C=0.因为sin C≠0,所以cos A=0,即A=90°,所以△ABC是直角三角形.2.(2020·南昌高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b=c·(cos A+cos B),则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能判断【解析】选B.运用正弦定理,得到sin A+sin B=sin C·(cos A+cos B),因为sin A=sin(B+C),sin B=sin(A+C),所以sin(B+C)+sin(A+C)=sin C·(cos A+cos B),即sin Bcos C+cos Bsin C+sin Acos C+cos Asin C=sin C·(cos A+cos B),整理得cos C(sin A+sin B)=0,因为A,B为三角形内角,所以sin A>0,sin B>0,所以cos C=0,即C=,故该三角形为直角三角形.1.确定三角形的形状主要的途径及方法途径一:化边为角途径二:化角为边主要方法(1)通过正弦定理实现边角互化(2)通过余弦定理实现边角互化(3)通过三角变换找出角之间的关系(4)通过三角函数值的符号的判断以及正、余弦函数有界性的讨论2.解三角形时的常用结论(1)在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.(2)在△ABC中,A+B+C=π,A+B=π-C,=-,则cos(A+B)=-cos C,sin(A+B)=sin C,sin =cos .题组训练四解三角形的实际应用1.(2020·广州高一检测)如图,为了测量某湿地A,B两点之间的距离,观察者找到在同一条直线上的三点C,D,E.从D点测得∠ADC=67.5°,从C点测得∠ACD=45°,∠BCE=75°,从E点测得∠BEC=60°.若测得DC=2,CE=(单位:百米),则A,B两点之间的距离为 ( )A.百米B.2百米C.3百米D.2百米【解析】选C.在△ADC中,∠ACD=45°,∠ADC=67.5°,则∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5°,所以AC=DC=2.在△BCE中,∠BCE=75°,∠BEC=60°,则∠EBC=180°-75°-60°=45°,由正弦定理=得BC===.在△ABC中,AC=2,BC=,∠ACB=180°-∠ACD-∠BCE=60°,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=9,所以AB=3.2.如图所示,某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室,已知已有的两面墙的夹角为60°(即C=60°且两面墙的长度足够大),现有可供建造第三面围墙的材料6米(即AB长为6米),记∠ABC=θ.当θ=105°时,求所建造的三角形露天活动室的面积.【解析】在△ABC中,==,化简得AC=4·sin θ(米),BC=4·sin(θ+60°)(米).当θ=105°时,AC=4·sin θ=4·sin 105°=4cos 15°(米),BC=4·sin(θ+60°)=4sin 165°=4sin 15°(米),所以S△ABC=AC·BC·sin 60°=3(平方米).应用正、余弦定理解三角形应用题的一般步骤(1)理解题意,分清已知与未知,画出示意图(一个或几个三角形).(2)构建三角形,把实际问题中的长度、角度看作三角形相应的边和角,把实际问题转化为数学问题.(3)应用正弦定理、余弦定理等数学知识解三角形.(4)对所解的数学问题得出结论,给出实际问题的答案.。

阶段性测试题四(三角函数、三角恒等变形、解三角形)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·辽宁五校联考)已知cos(π2＋α)＝35，且α∈(π2，3π2)，则tanα＝( ) A ．43 B ．34 C ．－34 D ．±34[答案] B[解析] 因为cos(π2＋α)＝35，所以sinα＝－35，显然α在第三象限，所以cosα＝－45，故tanα＝34.2．(2015·襄阳四中、荆州中学、龙泉中学联考)已知角x 的终边上一点的坐标为(sin 5π6，cos 5π6)，则角x 的最小正值为( ) A ．5π6 B ．5π3 C ．11π6 D ．2π3 [答案] B[解析] ∵sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，∴角x 的终边经过点(12，－32)，tanx ＝－3， ∴x ＝2kπ＋5π3，k ∈Z. ∴角x 的最小正值为5π3.3．(文)已知tan α2＝2，则6sinα＋cosα3sinα－2cosα的值为( )A ．76 B ．7 C ．－67 D ．－7 [答案] A[解析] 由已知得tanα＝2tan α21－tan2α2＝－43，故6sinα＋cosα3sinα－2cosα＝6tanα＋13tanα－2＝76.(理)已知函数f(x)＝sinx －cosx 且f ′(x)＝2f(x), f ′(x)是f(x)的导函数，则sin2x ＝( ) A ．13 B ．－35 C ．35 D ．－13[答案] C[解析] 由f(x)＝sinx －cosx 且f ′(x)＝2f(x)得 cosx ＋sinx ＝2sinx －2cosx ，所以tanx ＝3，sin2x ＝2sinxcosx sin2x ＋cos2x ＝2tanx 1＋tan2x＝610＝35，故选C ．4．下列函数中，其中最小正周期为π，且图像关于直线x ＝π3对称的是( ) A ．y ＝sin(2x －π3) B ．y ＝sin(2x －π6) C ．y ＝sin(2x ＋π6) D ．y ＝sin(x 2＋π6)[答案] B[解析] ∵T ＝π，∴ω＝2，排除D ，把x ＝π3代入A 、B 、C 只有B 中y 取得最值，故选B ． 5．(文)(2015·黄山模拟)为了得到函数y ＝sin(2x －π3)的图像，只需把函数y ＝sin(2x ＋π6)的图像( )A ．向左平移π4个长度单位 B ．向右平移π4个长度单位 C ．向左平移π2个长度单位 D ．向右平移π2个长度单位 [答案] B[解析] y ＝sin(2x ＋π6)＝sin[2(x ＋π12)]， y ＝sin(2x －π3)＝sin[2(x －π6)]，∴只需将y ＝sin(2x ＋π6)向右平移π12＋π6＝π4个长度单位．(理)(2015·黄山模拟)将函数y ＝sin2x 的图像向右平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得函数图像对应的解析式为( ) A ．y ＝sin(2x －π4)＋1 B ．y ＝2cos2xC ．y ＝2sin2xD ．y ＝－cos2x[答案] C[解析] 函数y ＝sin2x 的图像向右平移π4个单位得到y ＝sin2(x －π4)＝sin(2x －π2)＝－cos2x ，再向上平移1个单位，所得函数图像对应的解析式为 y ＝－cos2x ＋1＝－(1－2sin2x)＋1＝2sin2x ，选C ． 6.3cos10°－1sin170°＝( ) A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 [答案] D[解析] 3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10° ＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin 10°－30°sin10°cos10°＝2sin －20°sin10°cos10°＝－2sin20°12sin20°＝－4，选D ．7．(2014·合肥调研)在△ABC 中，若sin(A －B)＝1＋2cos(B ＋C)sin(A ＋C)，则△ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形 [答案] D[解析] sin(A －B)＝1＋2cos(B ＋C)sin(A ＋C)＝1－2cosAsinB ， sin(A －B)＝sinAcosB －cosAsinB ＝1－2cosAsinB ， 所以sinAcosB ＋cosAsinB ＝1，即sin(A ＋B)＝1， 所以A ＋B ＝π2，故三角形为直角三角形．8．(2015·河南八校联考)将函数y ＝3cosx ＋sinx(x ∈R)的图像向左平移m(m ＞0)个长度单位后，所得到的图像关于原点对称，则m 的最小值是( ) A ．π12 B ．π6 C ．π3 D ．2π3 [答案] D[解析] y ＝3cosx ＋sinx ＝2sin(x ＋π3)，向左平移m 个单位得到y ＝2sin(x ＋m ＋π3)，此函数为奇函数，∴m ＋π3＝kπ，k ∈Z ，∵m>0，∴m 的最小值为2π3.9．(2015·济南一模)△ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝3，BC ＝1，则△ABC 的面积等于( ) A ．32 B ．34C ．32或3 D ．32或34[答案] D[解析] 由余弦定理cosA ＝AB2＋AC2－BC22AB·AC，代入各值整理可得AC2－3AC ＋2＝0，解得AC ＝1或AC ＝2三角形面积S ＝12AB·AC·sinA 所以面积为32或34.10．(2015·洛阳统考)设函数f(x)＝|cosx|＋|sinx|，下列四个结论正确的是( ) ①f(x)是奇函数；②f(x)的图像关于直线x ＝3π4对称； ③当x ∈[0,2π]时，f(x)∈[1，2]；④当x ∈[0，π2]时，f(x)单调递增． A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③[答案] D[解析] 对于①，注意到f(－x)＝f(x)，因此函数f(x)是偶函数，①不正确；对于②，注意到f(3π2－x)＝|cos(3π2－x)|＋|sin(3π2－x)|＝|sinx|＋|cosx|＝f(x)，因此函数f(x)的图像关于直线x ＝3π4对称，②正确；对于③④，注意到f(x ＋π2)＝|cos(x ＋π2)|＋|sin(x ＋π2)|＝|sinx|＋|cosx|＝f(x)，因此函数f(x)是以π2为周期的函数，当x ∈[0，π2]时，f(x)＝|sinx|＋|cosx|＝sinx ＋cosx ＝2sin(x ＋π4)的值域是[1，2]，故当x ∈[0,2π]时，f(x)∈[1，2]，又f(π4)＝2>1＝f(π2)，因此f(x)在[0，π2]上不是增函数，故③正确，④不正确．综上所述，其中正确的结论是②③，选D ． 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．已知α为第二象限角，则cosα1＋tan2α＋sinα1＋1tan2α＝________.[答案] 0[解析] 原式＝cosαsin2α＋cos2αcos2α＋sinαsin2α＋cos2αsin2α＝cosα1|cosα|＋sinα1|sinα|，因为α是第二象限，所以sinα>0，cosα<0， 所以cosx 1|cosα|＋sinα1|sinα|＝－1＋1＝0，即原式等于0. 12．(2014·新课标Ⅱ)函数f(x)＝sin(x ＋2φ)－2sinφcos(x ＋φ)的最大值为________． [答案] 1[解析] 本题考查两角和正弦公式、二倍角公式，三角函数的最值的求法． ∵f(x)＝sin(x ＋2φ)－2sinφcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)·cosφ＋cos(x ＋φ)·sinφ－2sinφcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)·cosφ－cos(x ＋φ)·sinφ ＝sinx≤1.∴最大值为1.13．(2015·九江模拟) 已知函数f(x)＝sin(2x ＋π6)，其中x ∈[－π6，α]．当α＝π3时，f(x)的值域是________；若f(x)的值域是[－12，1]，则α的取值范围是________． [答案] [－12，1] [π6，π2][解析] 若－π6≤x≤π3，则－π3≤2x≤2π3，－π6≤2x ＋π6≤5π6，此时－12≤sin(2x ＋π6)≤1， 即f(x)的值域是[－12，1]． 若－π6≤x≤α，则－π3≤2x≤2α， －π6≤2x ＋π6≤2α＋π6.因为当2x ＋π6＝－π6或2x ＋π6＝7π6时，sin(2x ＋π6)＝－12，所以要使f(x)的值域是[－12，1]， 则有π2≤2α＋π6≤7π6，即π3≤2α≤π，所以π6≤α≤π2，即α的取值范围是[π6，π2]．14．△ABC 中，A 满足条件3sinA ＋cosA ＝1，AB ＝2cm ，BC ＝23cm ，则A ＝________，△ABC 的面积等于________cm2. [答案] 2π33[解析] 由3sinA ＋cosA ＝1得2sin(A ＋π6)＝1，∴A ＋π6＝5π6， 即A ＝23π，由BC sinA ＝AB sinC 得 sinC ＝ABsinA BC ＝2×3223＝12，所以C ＝π6，则B ＝π6.S △ABC ＝12AB×BCsinB ＝3(cm2)．15．把函数y ＝sin2x 的图像沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f(x)图像，对于函数y ＝f(x)有以下四个判断： ①该函数的解析式为y ＝2sin(2x ＋π6)；②该函数图像关于点(π3，0)对称； ③该函数在[0，π6]上是增函数；④函数y ＝f(x)＋a 在[0，π2]上的最小值为3，则a ＝2 3. 其中，正确判断的序号是________． [答案] ②④[解析] 将函数向左平移π6得到y ＝sin2(x ＋π6)＝sin(2x ＋π3)，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin(2x ＋π3)，即y ＝f(x)＝2sin(2x ＋π3)，所以①不正确．y ＝f(π3)＝2sin(2×π3＋π3)＝2sinπ＝0，所以函数图像关于点(π3，0)对称，所以②正确．由－π2＋2kπ≤2x ＋π3≤π2＋2kπ，k ∈Z ，得－5π12＋kπ≤x≤π12＋kπ，k ∈Z, 即函数的单调增区间为[－5π12＋kπ，π12＋kπ]，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为[－5π12，π12]，所以③不正确. y ＝f(x)＋a ＝2sin(2x ＋π3)＋a ，当0≤x≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，所以当2x ＋π6＝4π3时，函数值最小为y ＝2sin 4π3＋a ＝－3＋a ＝3，所以a ＝23，所以④正确．所以正确的命题为②④.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(文)已知关于x 的方程2x2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sinθ和cosθ，且θ∈(0,2π)，求：(1)sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－tanθ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．[解析] (1)原式＝sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－sinθcosθ＝sin2θsinθ－cosθ＋cos2θcosθ－sinθ ＝sin2θ－cos2θsinθ－cosθ＝sinθ＋cosθ.由条件知sinθ＋cosθ＝3＋12，故sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－tan θ＝3＋12.(2)由sin2θ＋2sinθcosθ＋c os2θ＝1＋2sinθcosθ ＝(sinθ＋cosθ)2，得1＋m ＝(3＋12)2，即m ＝32.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧sinθ＋cosθ＝3＋12，sinθ·cosθ＝34得⎩⎪⎨⎪⎧sinθ＝32，cosθ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧sinθ＝12，cosθ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π6或θ＝π3. (理)已知函数f(x)＝－cos2x －sinx ＋1. (1)求函数f(x)的最小值； (2)若f(α)＝516，求cos2α的值． [解析] (1)因为f(x)＝－cos2x －sinx ＋1 ＝sin2x －sinx ＝(sinx －12)2－14， 又sinx ∈[－1,1]，所以当sinx ＝12时， 函数f(x)的最小值为－14. (2)由(1)得(sinα－12)2－14＝516， 所以(sinα－12)2＝916.于是sinθ＝54(舍)或sinα＝－14. 故cos2α＝1－2sin2α＝1－2(－14)2＝78.17．(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)＝3sin2x ＋2sinxcosx ＋cos2x －2. (1)求f(π4)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间． [解析] (1)依题意f(x)＝2sin2x ＋sin2x －1 ＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)． 则f(π4)＝2sin(2×π4－π4)＝1. (2)f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π. 当2kπ－π2≤2x －π4≤2kπ＋π2时， 即kπ－π8≤x≤kπ＋3π8时，f(x)为增函数．则函数f(x)的单调增区间为[kπ－π3，kπ＋3π8]，k ∈Z.(理)已知向量a ＝(2sinx ，3cosx)，b ＝(sinx,2sinx)，函数f(x)＝a·B ．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若不等式f(x)≥m 对x ∈[0，π2]都成立，求实数m 的最大值． [解析] (1)f(x)＝2sin2x ＋23sinxcosx ＝1－cos2x ＋23sinxcosx＝3sin2x －cos2x ＋1＝2sin(2x －π6)＋1 由2kπ－π2≤2x －π6≤2kπ＋π2(k ∈Z)． 得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k ∈Z)，∴f(x)的单调增区间是[kπ－π6，kπ＋π3](k ∈Z) (2)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. ∴－12≤sin(2x －π6)≤1，∴f(x)＝2sin(2x －π6)＋1∈[0,3]，∴m≤0，m 的最大值为0.18．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asinA ＝(2b ＋c)sinB ＋(2c ＋b)sinC ． (1)求A 的大小；(2)若sinB ＋sinC ＝1，试判断△ABC 的形状． [解析] (1)由已知，根据正弦定理，得 2a2＝(2b ＋c)b ＋(2c ＋b)c ， 即a2＝b2＋c2＋bC ．由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA ， 故cosA ＝－12，A ＝120°.(2)由a2＝b2＋c2＋bc ，得sin2A ＝sin2B ＋sin2C ＋sinBsinC ． 又sinB ＋sinC ＝1，故sinB ＝sinC ＝12. 因为0°<B<90°，0°<C<90°，故B ＝C ． 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的图像与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．(1)求函数f(x)的解析式及x0的值；(2)若锐角θ满足cosθ＝13，求f(4θ)的值．[解析] (1)∵由题意可得A ＝2，T2＝2π，即T ＝4π， ∴2πω＝4π，∴ω＝12. ∴f(x)＝2sin(12x ＋φ)． 由图像经过点(0,1)得，f(0)＝2sinφ＝1，又|φ|<π2，∴φ＝π6. 故f(x)＝2sin(12x ＋π6)． 又f(x0)＝2sin(12x0＋π6)＝2， ∴12x0＋π6＝2kπ＋π2(k ∈Z)， ∴x0＝4kπ＋2π3(k ∈Z)，根据图像可得x0是最小的正数， ∴x0＝2π3.(2)由(1)知，f(4θ)＝2sin(2θ＋π6) ＝3sin2θ＋cos2θ.∵θ∈(0，π2)，cosθ＝13，∴sinθ＝223，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－79，sin2θ＝2sinθcosθ＝429， ∴f(4θ)＝3×429－79＝469－79＝46－79.20．(本小题满分13分)(文)(2014·重庆高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cosC 的值；(2)若sinAcos2B 2＋sinBcos2A 2＝2sinC ，且△ABC 的面积S ＝92sinC ，求a 和b 的值． [解析] (1)∵a ＋b ＋c ＝8，a ＝2，b ＝52， ∴c ＝8－2－52＝72.由余弦定理，得cosC ＝a2＋b2－c22ab ＝4＋254－4942×2×52＝－15.(2)由sinAcos2B 2＋sinBcos2A2＝2sinC ，可得 sinA·1＋cosB 2＋sinB·1＋cosA2＝2sinC ， 化简得：sinA ＋sinB ＋sin(A ＋B)＝4sinC ， 即sinA ＋sinB ＝3sinC ，由正弦定理可得 a ＋b ＝3C ．又a ＋b ＋c ＝8，∴a ＋b ＝6 ① 又面积S ＝12absinC ＝92sinC ，∴ab ＝9②解①②得a ＝3，b ＝3.(理)(2014·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知a≠b ，c ＝3，cos2A －cos2B ＝3sinAcosA －3sinBcosB ． (1)求角C 的大小；(2)若sinA ＝45，求△ABC 的面积．[解析] (1)由已知cos2A －cos2B ＝3sinAcosA －3sinBcosB 得． 12(1＋cos2A)－12(1＋cos2B)＝32sin2A －32sin2B ， ∴12cos2A －32sin2A ＝12cos2B －32sin2B ， 即sin(－π6＋2A)＝sin(－π6＋2B)，∴－π6＋2A ＝－π6＋2B 或－π6＋2A －π6＋2B ＝π， 即A ＝B 或A ＋B ＝2π3， ∵a≠b ，∴A ＋B ＝2π3，∴∠C ＝π3. (2)由(1)知sinC ＝32，cosC ＝12，∴sinB ＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ＝33＋410 由正弦定理得：a sinA ＝csinC ， 又∵c ＝3，sinA ＝45. ∴a ＝85.∴S △ABC ＝12acsinB ＝18＋8325.21．(本小题满分14分)(文)已知函数g(x)＝34－12sinxcosx －32sin2x ，将其图像向左移π4个单位，并向上移12个单位，得到函数f(x)＝acos2(x ＋φ)＋b(a>0，b ∈R ，|φ|≤π2)的图像．(1)求实数a ，b ，φ的值；(2)设函数φ(x)＝g(x)－3f(x)，x ∈[0，π2]，求函数φ(x)的单调递增区间和最值．[解析] (1)依题意化简得g(x)＝12sin(π3－2x)，平移g(x)得f(x)＝12sin(π3－2(x ＋π4))＋12＝12sin(－2x －π6)＋12＝12cos(2x ＋2π3)＋12＝cos2(x ＋π3)∴a ＝1，b ＝0，φ＝π3.(2)φ(x)＝g(x)－3f(x)＝12sin(2x ＋2π3)－32cos(2x ＋2π3)－32＝sin(2x ＋π3)－ 32，由－π2＋2kπ≤2x ＋π3≤π2＋2kπ(k ∈Z)得 －π12＋kπ≤x≤π12＋kπ，(k ∈Z)，因为x ∈[0，π2]，所以当k ＝0时，在[0，π12]上单调增， ∴ φ(x)的单调增区间为[0，π12]，值域为[－3，1－32]，故φ(x)的最小值为－3，最大值为1－32.(理)已知函数f(x)＝2cosxsin(x ＋π3)－32.(1)求函数f(x)的最小正周期T ；(2)若△ABC 的三边a ，b ，c 满足b2＝ac ，且边b 所对角为B ，试求cosB 的取值范围，并确定此时f(B)的最大值．[解析] (1)f(x)＝2cosx·sin(x ＋π3)－32＝2cosx(sinxcos π3＋cosxsin π3)－32＝2cosx(12sinx ＋32cosx)－32＝sinxcosx ＋3cos2x －32 ＝12sin2x ＋3·1＋cos2x 2－32 ＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3)． ∴T ＝2π|ω|＝2π2＝π.(2)由余弦定理cosB ＝a2＋c2－b22ac 及b2＝ac 得，cosB ＝a2＋c2－ac2ac＝a2＋c22ac －12≥2ac 2ac －12＝12， ∴12≤cosB<1，而 0<B<π，∴0<B≤π3.函数f(B)＝sin(2B ＋π3)， ∵π3<2B ＋π3≤π，∴当2B ＋π3＝π2，即B ＝π12时，f(B)max ＝1.。

2021版高考北师大版文科数学一轮复习单元评估检测（四）（第九章）含解析温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例,答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块.单元评估检测（四）（第九章）（120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B。

以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C。

棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线【解析】选D。

A错误.如图①所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形,但它不是棱锥。

B错误.如图②，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边所在直线,所得的几何体都不是圆锥。

C错误。

由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长.D正确。

2.设x，y,z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x，y，z均为直线;②x,y是直线,z是平面；③z是直线,x,y是平面；④x，y,z均为平面。

其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y"为真命题的是（)A。

③④B.①③ C.②③D。

①②【解析】选C.由正方体模型可知①④为假命题；由线面垂直的性质定理可知②③为真命题。

3.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E,C1的平面截去该正方体的下半部分,则剩余几何体的主视图是()【解析】选A.正方体ABCD-A1B1C1D1中,过点A,E,C1的平面截去该正方体的下半部分后,剩余部分的直观图如图:则该几何体的主视图为选项A.4.关于空间两条直线a，b和平面α，下列命题正确的是() A。

若a∥b,bα，则a∥αB。

若a∥α,bα,则a∥bC。

4.3 三角恒等变形中心考点·精确研析考点一三角函数式的化简求值1.(2020 ·阜阳模拟 ) 若 sin( α - β)sinβ- cos(α -β)cosβ=, 且α为第二象限角, 则 tan=()A.7B.C.-7D.-2.(2019 ·全国卷Ⅱ ) 已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1, 则 sinα=()A. B. C. D.3.化简 :=.【分析】 1. 选 B. 由于 sin( α- β )sin β -cos(α- β )cos β = ,即 -cos( α - β +β )=-cosα = , 所以 cos α =- .又由于α为第二象限角, 所以 tan α =-,所以 tan== .2.选 B. 由 2sin2α=cos 2α +1 得 4sinα cosα =2cos 2α, 即 2sinα =cos α , 联合 sin 2α +cos 2α=1, 解得sin α =.3.原式 ====1.答案 :11.三角函数式的化简要按照“三看”原则2.三角函数式化简的方法弦切互化 , 异名化同名 , 异角化同角 , 降幂或升幂 .在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律, 根号中含有三角函数式时, 一般需要升次 .【一题多解】倍角降次解T3, 原式 =====1.三角形法解T2, 由于α∈, 所以 sinα>0,cosα>0,由2sin2α=cos 2α+1 得 4sinαcosα=2cos2α,即2sinα=cosα,tanα=, 画直角三角形如图,不如设角α对边为 1, 邻边为 2, 则斜边为,sinα=.考点二条件求值问题1.考什么 : (1) 给角求值 , 给值求值 , 给值求角等 .命题(2) 考察逻辑推理 , 数学运算等中心修养, 以及转变与化归的思想.精解读2.怎么考 : 引诱公式与三角函数性质联合考察求三角函数值, 角的值等 .条件求值的四个必备结论(1)降幂公式 :cos 2α=,sin2α=.学霸(2)升幂公式 :1+cos 2α=2cos 2α,1 -cos 2α=2sin 2α.好方法(3)公式变形 :tan α± tanβ=tan( α±β )(1 ?tanαtanβ).(4)协助角公式 :asin x+bcos x=sin(x+ φ)此中 sinφ=,cosφ=给角求值【典例】 (2019 ·沈阳四校联考 ) 化简 :-=.【分析】-====4.答案 :4给角求值怎样求解 ?提示 :(1)察看角 , 剖析角之间的差别 , 巧用引诱公式或拆分 .(2) 察看名 , 尽可能使函数一致名称 .(3) 察看构造 , 利用公式 , 整体化简 .给值求值【典例】 1.(2018 ·全国卷Ⅱ ) 已知 sin α+cos β=1,cos α+sinβ=0, 则 sin( α+β)=.2.(2018 ·全国卷Ⅱ ) 已知 tan= , 则 tanα=.【分析】 1. 由 sinα+cosβ=1 与 cos α+sin β=0分别平方相加得 sin2α+2sinαcosβ+cos2β+cos2α+2cosαsinβ+sin2β=1,即2+2sinαcosβ+2cos αsinβ=1,所以sin(α+β)= -.答案 :-2. 由于 tan=tan=,所以= , 解得 tanα=.答案 :给值求值问题怎样求解?提示 :(1)化简所求式子.(2)察看已知条件与所求式子之间的联系( 从三角函数名及角下手 ).(3)将已知条件代入所求式子 , 化简求值 .给值求角【典例】 (2020 ·长春模拟 ) 已知 sinα=,sin(α -β)= -,α, β均为锐角 , 则角β值是.【分析】由于α, β均为锐角 , 所以 -<α - β<.又 sin( α - β )=-, 所以 cos( α - β)=.又 sinα =, 所以 cosα=,sinβ =sin[α -(α -β )]=sinα cos(α -β )-cosα sin(α -β )=×-×=, 所以β =.答案 :怎样选用适合的三角函数求角?提示 :(1)已知正切函数值, 选正切函数 .(2) 已知正、余弦函数值, 选正弦或余弦函数. 若角的范围是, 选正、余弦函数皆可; 若角的范围是(0, π ), 选余弦函数较好; 若角的范围为, 选正弦函数较好.(3)由角的范围 , 联合所求三角函数值写出要求的角.1.(2020 ·滁州模拟 ) 若锐角α, β知足 tanα+tanβ=-tanαtanβ,则α+β=.【分析】由已知可得=, 即 tan( α+β)=. 又由于α+β∈ (0, π), 所以α+β= .答案 :2.(2019 ·福州模拟 ) 已知 A,B 均为钝角 ,sin 2+cos=, 且sin B=, 则 A+B= ()A. B. C. D.【分析】选 C. 由于 sin 2+cos=,所以+ cos A-sin A=,即-sin A=, 解得 sin A=.由于 A 为钝角 , 所以 cos A=-=-=-. 由 sin B=, 且 B 为钝角 ,得 cos B=-=-=-. 所以 cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=×-×=. 又 A,B 都为钝角 , 即A,B∈, 所以 A+B∈ ( π ,2 π ), 所以 A+B=.3.(2020 ·佛山模拟 ) 已知 cos α=, α∈ (- π,0), 则 cos= ()A.-B.-C.D.【分析】选 A. 由于 cos α =, α∈ (- π ,0),所以 sinα =-=-,所以 cos=cos α cos +sinα sin=×+×=-.1.(2019 ·贵阳模拟 )sin 415° -cos 415°= ()A. B.- C. D.-【分析】选 D.sin 415° -cos 4 15°=(sin 215° -cos 215°)(sin215°+cos215°)=sin 215° -cos 215°=-cos 30°=-.2. 定义运算=ad-bc. 若 cos α = ,=,0< β<α <, 则β =.【分析】由已知得sinα cosβ -cosα sinβ=sin(α-β )=. 又0<β<α < , 所以 0<α - β< , 所以 cos( α - β )==, 而 cos α = , 所以sinα =, 于是 sinβ =sin[α -(α -β )]=sinα cos(α -β )-cos α sin( α - β )=×-×=, 所以β=.答案 :考点三三角恒等变换的综合应用【典例】 1. 如图 , 在矩形 OABC中 ,AB=1,OA=2, 以 B 为圆心 ,BA 为半径在矩形内部作弧, 点 P 是弧上一动点 ,PM ⊥ OA,垂足为 M,PN⊥OC,垂足为 N, 求四边形OMPN的周长的最小值.【分析】连结BP, 设∠ CBP=α,此中 0≤α <,则 PM=1-sin α ,PN=2-cos α,则周长 C=6-2(sinα +cosα)=6-2sin,故当α + = , 即α =时,周长C有最小值6-2.2.(2019 ·浙江高考 ) 设函数 f(x)=sin x,x∈ R.(1)已知θ∈ [0,2 π), 函数 f(x+ θ) 是偶函数 , 求θ的值 .(2) 求函数 y=+的值域.【解题导思】序号联想解题(1)看到“ f(x+ θ) 是偶函数” , 想到偶函数的性质 , 即 f(-x+ θ )=f(x+ θ )看到“求函数y=+的值域” ,想到先化简(2)y=+【分析】 (1) 由于 f(x+ θ )=sin(x+θ )是偶函数,所以,对随意实数x 都有sin(x+ θ )=sin(-x+θ ),即 sin xcosθ +cos xsinθ=-sin xcosθ +cos xsinθ ,故 2sin xcosθ =0,所以 cos θ =0.又θ∈ [0,2 π ), 所以θ =或.(2)y=+=sin 2+sin 2=+=1-=1-cos.所以 , 函数的值域是.1.三角函数应用题的办理方法(1)联合详细图形引进角为参数 , 利用三角函数的相关公式进行化简, 解决最优化问题 .(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题同样 , 先建模 , 再议论变量的范围 , 最后得出结论并回答下列问题 .2. 三角恒等变换在研究三角函数图像和性质中的应用(1) 图像变换问题: 先依据和角公式、倍角公式把函数表达式变成正弦型函数y=Asin+b 或余弦型函数y=Acos(ωx+φ)+b的形式,再进行图像变换.(2) 函数性责问题: 求函数周期、最值、单一区间的方法步骤①利用三角恒等变换及协助角公式把三角函数关系式化成y=Asin( ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的形式 ;②利用公式T=( ω>0) 求周期 ;③依据自变量的范围确立ωx+φ的范围 , 依据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值, 此外求最值时 , 根据所给关系式的特色, 也可换元转变成求二次函数的最值;④依据正、余弦函数的单一区间列不等式求函数y=Asin( ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的单一区间.1. 如图是半径为 1 的半圆 , 且四边形 PQRS是半圆的内接矩形, 设∠ SOP=α, 求α为什么值时矩形的面积最大,并求出最大值 .【分析】由于∠ SOP=α, 所以PS=sin α,SR=2cosα,故S矩形PQRS=SR· PS=2cos α· sinα=sin2α, 故当α=时,矩形的面积有最大值 1.- 9 -(1)求 f(x) 的最小正周期 .(2) 求 f(x) 在区间上的最大值和最小值.【分析】 (1) 由已知得f(x)=-=-cos 2x =sin 2x-cos 2x=sin.所以 f(x) 的最小正周期T==π .(2) 由 (1) 知 f(x)=sin.由于 -≤ x≤, 所以 -≤ 2x-≤,所以当 2x-=-,即 x=-时,f(x)有最小值-;当 2x-= , 即 x=时,f(x)有最大值.所以 f(x) 在上的最大值为, 最小值为 -.。

单元综合测试一(第一章综合测试)时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题(每小题5分，共50分) 1．与－π6角终边相同的角是( C ) A.π6 B.π3 C.11π6D.4π3解析：∵与－π6角终边相同的角的集合为A ＝{α|α＝－π6＋2k π，k ∈Z }，取k ＝1，得α＝11π6.∴与－π6角终边相同的角是11π6.故选C. 2．sin(－1 920°)的值为( D ) A.12 B ．－12 C.32D ．－32解析：sin(－1 920°)＝sin(－1 800°－120°)＝－sin120°＝－32. 3．已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为( A )A ．4 cm 2B ．6 cm 2C ．8 cm 2D ．16 cm 2解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋l ＝8，l ＝2r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝4.故S ＝12lr ＝12×4×2＝4(cm 2)．4．已知f (x )＝a sin x ＋bx 3c cos x ＋3，若f (5)＝－2，则f (－5)等于( C ) A ．2 B ．5 C ．8 D ．－3解析：设g (x )＝a sin x ＋bx 3c cos x ，则g (－x )＝a sin (－x )＋b (－x )3c cos (－x )＝－a sin x ＋bx 3c cos x＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．由f (5)＝－2得f (5)＝g (5)＋3＝－2，∴g (5)＝－5. ∴f (－5)＝g (－5)＋3＝－g (5)＋3＝8.5．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5的单调递增区间是( B ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π10＋k π，3π10＋k π，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫－3π10＋k π，7π10＋k π，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5＋k π，π5＋k π，k ∈Z 解析：由－π2＋k π<x ＋π5<π2＋k π(k ∈Z )，解得－7π10＋k π<x <3π10＋k π(k ∈Z )． 6．将函数y ＝sin2x 的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的图像对应的函数是( B )A ．y ＝cos2xB ．y ＝1＋cos2xC ．y ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4D ．y ＝cos2x －1解析：将函数y ＝sin2x 的图像向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 的图像，再向上平移1个单位长度，所得到的图像对应的函数为y ＝1＋cos2x .7．将函数y ＝cos(x －π3)的图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位长度，所得函数图像的一个对称中心为( A )A ．(7π12，0) B ．(π3，0) C ．(11π6，0)D ．(3π2，0)解析：将函数y ＝cos(x －π3)的图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，可得函数y ＝cos(2x －π3)的图像；再向右平移π6个单位长度，可得函数y ＝cos[2(x －π6)－π3]＝cos(2x －2π3)的图像，故所得图像的对称中心的横坐标满足2x －2π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π2＋712π，k ∈Z ，故所得图像的对称中心为(k π2＋712π，0)k ∈Z . 结合所给的选项，故选A.8．已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，34D ．(0,2]解析：由2k π≤ωx ＋π4≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k πω－π4ω≤x ≤2k πω＋3π4ω，k ∈Z ，令k ＝0可得－π4ω≤x ≤3π4ω，又函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω≤π2，π≤3π4ω，又ω>0，故0<ω≤34.当k 取非零整数时，不符合．故ω的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，34.故选C.9．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，A >0，ω>0，若f (x )在区间[π6，π2]上单调，且f (π2)＝f (2π3)＝－f (π6)，则f (x )的最小正周期为( D )A.π2 B ．2π C ．4πD ．π解析：因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上单调，ω>0，所以π2－π6≤T2＝12·2πω＝πω，即0<ω≤3，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，所以x ＝π2＋2π32＝7π12为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一条对称轴，且π2＋π62＝π3，则⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个对称中心，由于0<ω≤3，所以x ＝7π12与⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0为同一周期里相邻的对称轴和对称中心，则T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，故选D.10．已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2，g (x )＝k (x －3)，已知当A ＝1时，函数h (x )＝f (x )－g (x )的所有零点的和为9，则当A ＝2时，函数h (x )＝f (x )－g (x )的所有零点的和为( A )A ．15B ．12C ．9D ．与k 的取值有关解析：如图，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图像均过点(3,0)，且均关于点(3,0)对称，∴h (x )的零点关于x ＝3对称．∵当A ＝1时，h (x )所有零点的和为9，∴函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图像有三个公共点，此时f (6)<g (6)，∴sin 5π2<3k ，解得k >13.当A ＝2时，f (6)>g (6)，且g (9)＝6k >2＝f (x )max ，∴h (x )有五个零点x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，且x 1＋x 5＝x 2＋x 4＝6，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＝6＋6＋3＝15.第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题(每小题5分，共25分)11．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为(－1，3)．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°， ∠BOx ＝120°，所以x ＝2cos120°＝－1，y ＝2sin120°＝3， 即B (－1，3)．故★答案★为(－1，3)． 12．函数y ＝lg(cos x －sin x )的定义域是 ⎝⎛⎭⎪⎫2k π－34π，2k π＋π4(k ∈Z )．解析：由cos x －sin x >0，得cos x >sin x .利用正弦函数、余弦函数的图像可得2k π－34π<x <2k π＋π4(k ∈Z )，故函数y ＝lg(cos x －sin x )的定义域为⎝⎛2k π－34π，⎭⎪⎫2k π＋π4(k ∈Z )．13．已知f (x )是以π为周期的偶函数，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝1－sin x ，则当x ∈[52π，3π]时，f (x )＝1－sin x .解析：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π.14．函数y ＝cos(2x －π3)的单调递减区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )． 解析：∵对于函数y ＝cos(2x －π3)的单调减区间为2k π≤2x －π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，故函数f (x )的单调减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )，故★答案★为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．15．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像为C ，下列结论中正确的是①②③(写出所有正确结论的编号)．①图像C 关于直线x ＝1112π对称；②图像C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称； ③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12上是增加的；④由函数y ＝3sin2x 的图像向右平移π3个单位长度可以得到图像C . 解析：①图像C 的对称轴方程满足2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )．当k ＝1时，图像C 关于直线x ＝1112π对称，①正确．对称中心的横坐标满足2x －π3＝k π(k∈Z )，即x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．当k ＝1时，x ＝2π3，②正确．③当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12时，2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12上是增加的，③正确．④由函数y ＝3sin2x 的图像向右平移π3个单位长度可以得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图像，得不到图像C ，④错误．故正确的结论有①②③.三、解答题(本题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知α为第三象限角，且f (α)＝sin (3π2－α)cos (π2－α)＋tan (－α＋π)sin (π2＋α)tan (2π－α). (1)化简f (α)；(2)若α＝－323π，求f (α)的值． (3)若f (α)＝－265，求cos(π＋α)的值． 解：(1)由于α为第三象限角，则f (α)＝ sin (3π2－α)cos (π2－α)＋tan (－α＋π)sin (π2＋α)tan (2π－α) ＝－cos α·sin α－tan αcos α·(－tan α)＝sin αcos α＋tan αsin α ＝sin αcos 2α＋sin αsin αcos α＝cos α＋1cos α. (2)f (α)＝f (－32π3)＝cos(－32π3)＋1cos (－323π)＝cos 32π3＋1cos 323π＝cos 2π3＋1cos 2π3＝－cos π3－1cos π3＝－52.(3)若f (α)＝－265 ，则f (α)＝cos α＋1cos α＝－265， ∴cos α＝－15或cos α＝－5(舍去)， 故cos(π＋α)＝－cos α＝15. 17．(本小题满分12分)已知f (x )＝A sin(2x ＋π6)( A ＞0)的部分图像如图所示． (1)写出f (x )的最小正周期及 A ，x 0的值； (2)求f (x )在(－π4 ，π3)上的取值范围．解：(1)根据f (x )＝A sin(2x ＋π6)( A ＞0)的部分图像，可得A ＝3，T ＝2π2＝π，令2x ＋π6＝π2，求得x ＝π6，故f (x )位于y 轴右侧的第一条对称轴方程为x ＝π6，∴x 0＝2×π6＝π3.(2)由x ∈(－π4，π3)，可得2x ＋π6∈(－π3 ，5π6)，sin(2x ＋π6)∈(－32，1]，故f (x )＝3sin(2x ＋π6)∈(－32，3]．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图像关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．解：因为f (x )在R 上是偶函数，所以当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值，即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z .又0≤φ≤π，所以φ＝π2.由f (x )的图像关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，可知sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4ω＋π2＝0，解得ω＝43k －23，k ∈Z . 又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π，所以0<ω≤2，所以当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2.综上，φ＝π2，ω＝23或2.19.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示．(1)试确定f (x )的解析式；(2)若f (α2π)＝12，求cos(2π3＋α2)的值．解：(1)由题图可知A ＝2，T 4＝56－13＝12，则T ＝2，ω＝2πT ＝π. 将点P (13，2)代入f (x )＝2sin(πx ＋φ)，得sin(π3＋φ)＝1， 又|φ|<π2，所以φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin(πx ＋π6)(x ∈R )．(2)由(1)和f (α2π)＝12，得2sin(α2＋π6)＝12，即sin(α2＋π6)＝14，所以cos(2π3＋α2)＝cos(π2＋π6＋α2)＝－sin(π6＋α2)＝－14.20．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2，其图像经过点M (0，22)，且函数f (x )的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于π3.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求最小正实数m ，使得函数f (x )的图像向左平移m 个单位长度后所得图像对应的函数是偶函数．解：(1)因为函数f (x )的图像经过点M (0，22)，所以sin φ＝22.又|φ|<π2，从而φ＝π4.又函数f (x )的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，所以T2＝2π2ω＝π3，即ω＝3，从而f (x )＝sin(3x ＋π4)．(2)函数f (x )的图像向左平移m 个单位长度后所得图像对应的函数为g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π4]，g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )，从而，最小正实数m ＝π12.21．(本小题满分14分)设函数f (x )＝－sin 2x ＋a sin x －a 4＋12(0≤x ≤π2)． (1)用a 表示f (x )的最大值M (a )；(2)当M (a )＝2时，求a 的值，并求此时f (x )的最小值．解：(1)∵f (x )＝－sin 2x ＋a sin x －a 4＋12(0≤x ≤π2)，令t ＝sin x ，t ∈[0,1]，则f (t )＝－t 2＋at －a 4＋12，对称轴为直线t ＝a 2，∴当a2≤0，即a ≤0时，f (t )max＝f (0)＝－a 4＋12；当0<a 2<1，即0<a <2时，f (t )max ＝f (a 2)＝a 24－a 4＋12；当a2≥1时，即a ≥2时，f (t )max ＝f (1)＝34a －12.由于f (t )max ＝M (a )，∴M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a 4＋12，a ≤0，a 24－a 4＋12，0<a <2，(*)34a －12，a ≥2.(2)将M (a )＝2代入(*)式， 得a ＝－6或a ＝103.当a ＝－6时，有f (x )＝－(sin x ＋3)2＋11， ∴f (x )min ＝－5；当a＝103时，有f(x)＝－(sin x－53)2＋229，∴f(x)min＝－1 3.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

6讲 正弦定理和余弦定理课时作业1．(2020·广东广雅中学模拟)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b cos C ＝c (1－3cos B )，则sin C ∶sin A ＝( )A ．2∶3B ．4∶3C ．3∶1D ．3∶2答案 C解析 由正弦定理得3sin B cos C ＝sin C －3sin C cos B,3sin(B ＋C )＝sin C ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＋C ＝π－A ，所以3sin A ＝sin C ，所以sin C ∶sin A ＝3∶1，故选C.2．(2019·南昌模拟)在△ABC 中，已知C ＝π3，b ＝4，△ABC 的面积为23，则c ＝( )A ．27B ．7C ．2 2D ．2 3答案 D解析 由S ＝12ab sin C ＝2a ×32＝23，解得a ＝2，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝12，故c ＝2 3.3．(2019·兰州市实战考试)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24B ．－24C.34 D ．－34答案 B解析 由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，所以b ＝2a ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24，故选B. 4．(2019·广西南宁模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.12 B ．32 C ．1 D ．34答案 A解析 ∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理得sin A ＝3sin B sin A ，∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12.故选A.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B ＜c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 C解析 根据正弦定理可得a 2＋b 2＜c 2.由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，故C 是钝角．6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝( ) A.π6 B ．π4C.π3D ．3π4答案 C 解析 因为c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ，所以c －b c －a ＝a c ＋b，即(c －b )(c ＋b )＝a (c －a )，所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.7．(2019·大连双基测试)△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，B ＝60°，则cos C ＝( ) A.33 B ．±63C ．－63D ．63答案 D解析 由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴sin C ＝AB ·sin B AC ＝2×sin60°3＝33，又AB <AC ，∴0<C <B ＝60°，∴cos C ＝1－sin 2C ＝63.故选D. 8．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B ．π3C.π4 D ．π6答案 C解析 由题可知S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C .由余弦定理得a2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，∴sin C ＝cos C .∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.故选C.9．(2019·江西新八校第二次联考)我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222，若a 2sin C ＝2sin A ，(a ＋c )2＝6＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( )A.32B ． 3 C.12 D ．1答案 A解析 因为a 2sin C ＝2sin A ，所以a 2c ＝2a ，所以ac ＝2， 因为(a ＋c )2＝6＋b 2，所以a 2＋c 2＋2ac ＝6＋b 2， 所以a 2＋c 2－b 2＝6－2ac ＝6－4＝2， 从而△ABC 的面积为S △ABC ＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝32，故选A. 10．(2019·南阳模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则C ＝( )A.π3 B ．3π4C.5π6D ．2π3答案 D解析 因为3sin A ＝5sin B ，所以由正弦定理可得：3a ＝5b ，所以a ＝5b3.又b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －b ＝7b3，不妨取b ＝3，则a ＝5，c ＝7，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝52＋32－722×5×3＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3. 11．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，b ＝2，则△ABC 的面积的最大值是( )A ．1B ． 3C ．2D ．4答案 B解析 ∵2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，∴2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B .∵0<B <π，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，b ＝2，∴a 2＋c 2－4＝ac .∵a 2＋c 2≥2ac ，∴2ac －4≤ac ，即ac ≤4，当且仅当a ＝c 时等号成立，∴S △ABC ＝12ac sin B≤12×4×32＝3，故△ABC 的面积的最大值为 3. 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( )A. 5 B ．3 C.10 D ．4答案 B解析 由正弦定理可得2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝c sin C ，∵2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，∴2sin C ＝c sin C ，∵sin C >0，∴c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a ＝3.故选B.13．(2020·北京海淀模拟)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________.答案 1解析 由题意知sin 2π3＝3sin C ，∴sin C ＝12，又0<C <π3，∴C ＝π6，从而B ＝π6，∴b ＝c ，故b c＝1.14．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________. 答案π3解析 解法一：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理， 得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A . ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B . ∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B . 又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π3.解法二：∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ， ∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝12.又0<B <π，∴B ＝π3.15．(2019·杭州模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，则△ABC 的面积的最大值为________．答案3解析 因为a ＝2，(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，所以根据正弦定理，得(a ＋b )(a－b )＝(c －b )c ，所以a 2－b 2＝c 2－bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝12，因为A ∈(0，π)，故A ＝π3.因为b 2＋c 2－bc ＝4，所以4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (当且仅当b ＝c ＝2时取等号)，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝3，所以△ABC 的面积的最大值为 3.16．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.答案152104解析 依题意作出图形，如图所示， 则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2， 则sin ∠ABC ＝154，cos ∠ABC ＝14. 所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin∠DBC＝12×2×2×154＝152.因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝8－CD 28，所以CD ＝10.由余弦定理，得cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104. 17．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sinB sinC .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .解 (1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ， 故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°. (2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理，得2sin A ＋s in(120°－C )＝2sin C ， 即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ， 可得cos(C ＋60°)＝－22. 因为0°<C <120°，所以sin(C ＋60°)＝22， 故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos60°－cos(C ＋60°)sin60°＝6＋24. 18．(2019·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C .(1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值． 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C ，得b sin C ＝c sin B .由3c sin B ＝4a sin C ， 得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a ，所以b ＝43a .因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14.(2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154， 从而sin2B ＝2sin B cos B ＝－158， cos2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin2B cos π6＋cos2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716. 19．(2019·河南安阳一模)如图，在圆内接四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，3BC ＝3BD cos α＋CD sin β.(1)求角β的大小；(2)求四边形ABCD 周长的取值范围． 解 (1)∵3BC ＝3BD cos α＋CD sin β， ∴3sin ∠BDC ＝3sin βcos α＋sin αsin β， ∴3sin(α＋β)＝3sin βcos α＋sin αsin β， ∴3(sin αcos β＋sin βcos α) ＝3sin βcos α＋sin αsin β，∴3sin αcos β＝sin αsin β，∴tan β＝3， 又β∈(0，π)，∴β＝π3.(2)根据题意，得∠BAD ＝2π3，由余弦定理，得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD＝4＋1－2×2×1×cos 2π3＝7，又BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD cos β ＝(CB ＋CD )2－3CB ·CD ≥(CB ＋CD )2－3(CB ＋CD )24＝(CB ＋CD )24，∴CB ＋CD ≤27，又CB ＋CD >7，∴四边形ABCD 的周长AB ＋BC ＋CD ＋DA 的取值范围为(3＋7，3＋27]．20．(2019·河南联考)如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ，D ，E 分别为线段BC 上的点，且BD ＝CD ，∠BAE ＝∠CAE .(1)求线段AD 的长； (2)求△ADE 的面积．解 (1)因为c ＝4，b ＝2,2c cos C ＝b ，所以cos C ＝b 2c ＝14.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋4－164a ＝14，所以a ＝4，即BC ＝4. 在△ACD 中，CD ＝2，AC ＝2，所以AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos∠ACD ＝6，所以AD ＝ 6. (2)因为AE 是∠BAC 的平分线，所以S △ABE S △ACE ＝12AB ·AE ·sin∠BAE12AC ·AE ·sin∠CAE ＝AB AC＝2，又S △ABE S △ACE ＝BE EC ，所以BEEC＝2， 所以EC ＝13BC ＝43，DE ＝2－43＝23.又cos C ＝14，所以sin C ＝1－cos 2C ＝154.所以S △ADE ＝12DE ·AC ·sin C ＝156.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

5 角恒等变换1．化简sin 235°－12cos 10°cos 80°等于( )(A)－2 (B)－12(C)－1(D)1C 解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.故选C.2．(2020湛江模)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，cos2α＝45，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )(A)15 (B)25 (C)35(D)45D 解析：α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则2α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，结合同角角函数基本关系可得：sin 2α＝1－cos 22α＝35.据此由题意可得：sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1＋sin 2α2＝1＋352＝45.故选D.3．(2020湖南衡阳检测)若sin α－cos αsin α＋cos α＝16tan α，则7tan α－2tan 2α＝( )(A)－5 (B)－5或7 (C)5(D)5或7C 解析：由sin α－cos αsin α＋cos α＝16tan α得tan α－1tan α＋1＝16tan α，即tan 2α－5tan α＋6＝0， ∴tan α＝2或3，∴7tan α－2tan 2α＝7tan α－1－tan 2αtan α＝6＋tan 2αtan α＝5，故答案C. 4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－cos α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3的值为( )(A)－518(B)518 (C)－79(D)79D 解析：由sin(α＋π6)－cos α＝13，可得sin α cos π6＋sin π6cos α－cos α＝13，即sin αcos π6－sin π6cos α＝13，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－29＝79，选D.5．(2020河北省市高次联考)若2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝3sin(π－θ)，则tan θ等于( )(A)－33(B)32(C)233(D)2 3B 解析：由已知得sin θ＋3cos θ＝3sin θ，即2sin θ＝3cos θ，所以tan θ＝32，故选B. 6．(2020河南省实验中学质检)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝17，那么sin α＋cos α的值为( )(A)－15(B)75 (C)－75(D)34A 解析：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝17＞0，α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－152，所以sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－15，故选A.7．(2020成都外国语学校)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝23，则sin 2x ＝( )(A)－459(B)－19(C)459(D)19D 解析：sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝1－89＝19.故选D. 8．(2020南昌中月考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213，则cos(α＋β)＝__________.A 解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45， ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14π＋β＝1213，∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫14π＋β＝513，∴cos(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35×513－45×1213＝－3365.9．设tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β＝________.解析：因为tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两根， 所以tan α＋tan β＝56，tan αtan β＝16，所以tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1.因为0<α<π2，π<β<3π2，所以π<α＋β<2π，所以α＋β＝5π4.答案：5π410．(2020烟台模)若非零常数是直线y ＝－x 与正切曲线y ＝tan x 交点的横坐标，则(a 2＋1)(1＋cos 2α)的值为________．解析：由题意非零常数a 是直线y ＝－x 与正切曲线y ＝tan x 交点的横坐标，可得，tana ＝－a ，可得(a 2＋1)(1＋cos 2α)＝(1＋tan 2α)(2cos 2α)＝2cos 2α×⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2αcos 2α＋1＝2. 故答案为：2. 答案：211．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．解析：(1)由T ＝2πω＝10π得ω＝15.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，得⎩⎪⎨⎪⎧2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＋π6＝－65，2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＋π6＝1617，整理得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35cos β＝817.∵α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝45，sin β＝1－cos 2β＝1517.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.12．(2020新余模)若tan π12cos 5π12＝sin 5π12－m sin π12，则实数m 的值为( )(A)2 3 (B) 3 (C)2(D)3A 解析：由tan π12cos 5π12＝sin 5π12－m sin π12得，12m sin π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π12⇒m ＝23，故选A.13．设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )(A)3α－β＝π2(B)2α－β＝π2(C)3α＋β＝π2(D)2α＋β＝π2B 解析：由条件得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α，因为－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.14．化简：2sin π－α＋sin 2α2cos 2α2＝________.解析：2sin π－α＋sin 2α2cos2α2＝2sin α＋sin 2α1＋cos α＝2sin α1＋cos α1＋cos α＝2sinα.答案：2sin α15．(2020烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.解析：依题设及角函数的定义得：cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.又∵0＜β＜π，∴π2＜β＜π，π2＜α＋β＜π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35，∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋45×223＝3＋8215.答案：3＋821516．(2020安中)已知向量m ＝(3sin 2x ＋2，cos x )，n ＝(1,2cos x )，设函数f (x )＝m ·n .(1)求f (x )的最小正周期与单调递减区间；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若f (A )＝4，b ＝1，△ABC 的面积为32，求a 的值． 解：(1)∵m ＝(3sin 2x ＋2，cos x )，n ＝(1,2cos x )， ∴f (x )＝m ·n ＝3sin 2x ＋2＋2cos 2x ＝3sin2x ＋cos 2x ＋3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3 ∴T ＝2π2＝π令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，∴k π＋π6≤x ≤k π＋23π(k ∈Z )∴f (x )的单调区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋23π，k ∈Z(2)由f (A )＝4得，f (A )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋3＝4，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12又∵A 为△ABC 的内角，∴π6＜2A ＋π6＜13π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.∵S △ABC ＝32，b ＝1，∴12bc sin A ＝32，∴c ＝2 ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，∴a ＝ 3.。

单元检测九 解析几何(提升卷B)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知过点P (－2，m )，Q (m,6)的直线的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．经过点P (1,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条3．已知A (1,4)，B (－3,2)，直线l ：ax ＋y ＋2＝0，若直线l 过线段AB 的中点，则a 等于( ) A ．－5 B ．5 C ．－4 D ．44．一束光线从点A (－1,1)发出，并经过x 轴反射，到达圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上一点的最短路程是( )A ．4B ．5C ．32－1D ．2 65．已知椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，并且焦距为6，则实数m 的值为( )A ．4 B.34 C ．4或34 D ．56．若直线2ax ＋by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0截得的弦长为4，则4a ＋1b 的最小值是( ) A.12 B ．4 C ．9 D.147．(2019·郑州统考)已知双曲线C 1：x 28－y 24＝1，双曲线C 2的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线C 1相同，则双曲线C 2的离心率为( ) A. 2 B.5－1 C ．23－1 D. 38．已知直线y ＝ax 与圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1交于A ，B 两点，且∠ACB ＝60°，则圆的面积为( )A ．6πB ．36πC ．7πD ．49π9．(2020·江西省南昌市第二中学月考)如图，已知F 1，F 2是椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆T 上任意一点，过F 2作△F 1PF 2中∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线10．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1，F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1与e 2满足的关系是( ) A.1e 1＋1e 2＝2 B.1e 1－1e 2＝2 C ．e 1＋e 2＝2D ．e 2－e 1＝211．已知直线l ：kx －y －2k ＋1＝0与椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，与圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1交于C ，D 两点．若存在k ∈[－2，－1]，使得AC →＝DB →，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎣⎡⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎦⎤0，22 D.⎣⎡⎭⎫22，112．(2019·河南省南阳市第一中学模拟)已知抛物线y 2＝16x 的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线于M ，N 两点，则|NF |9－4|MF |的最小值为( )A.23 B ．－23 C ．－13 D.13第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________. 14．已知平面直角坐标系内定点A (－1,0)，B (1,0)，M (4,0)，N (0,4)和动点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，若AP →·BP →＝1，OQ →＝⎝⎛⎭⎫12－t OM →＋⎝⎛⎭⎫12＋t ON →，其中O 为坐标原点，则|QP →|的最小值是________． 15.如图，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，点M ⎝⎛⎭⎫4，－p 2，N ⎝⎛⎭⎫－1，－p2，射线MO ，NO 分别交抛物线C 于异于点O 的点A ，B ，若A ，B ，F 三点共线，则p 的值为________．16．已知A ，B 分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，两不同点P ，Q 在椭圆C 上，且关于x 轴对称，设直线AP ，BQ 的斜率分别为m ，n ，则当2b a ＋a b ＋12mn ＋ln|m |＋ln|n |取最小值时，椭圆C 的离心率为________．三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知过点P (0，－2)的圆M 的圆心(a,0)在x 轴的非负半轴上，且圆M 截直线x ＋y －2＝0所得弦长为2 2. (1)求圆M 的标准方程；(2)若过点Q (0,1)且斜率为k 的直线l 交圆M 于A ，B 两点，若△P AB 的面积为372，求直线l的方程．18.(12分)(2019·安庆期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝16，过点M (0,1)的直线l 与圆O 交于A ，B 两点． (1)若|AB |＝37，求直线l 的方程；(2)若直线l 与x 轴交于点N ，设NA →＝mMA →，NB →＝nMB →，m ，n ∈R ，求m ＋n 的值． 19．(13分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫1，32，过椭圆C 的左顶点A 作直线交椭圆C 于另一点P ，交直线l ：x ＝m (m >a )于点M ，已知点B (1,0)，直线PB 交l 于点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)若MB 是线段PN 的垂直平分线，求实数m 的值．20.(13分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为6，且椭圆C 与圆M ：(x －2)2＋y 2＝409的公共弦长为4103.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P (0,1)作斜率为k (k >0)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得△ADB 为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．答案精析1．B [由题意可知，tan 45°＝m －6－2－m ，即m －6－2－m ＝1，故m －6＝－2－m ，解得m ＝2.]2．C [若直线过原点，则过P (1,3)的直线方程为y ＝3x ，满足题意； 若直线不过原点，设直线为x ＋y ＝a ， 代入P (1,3)，解得a ＝4， ∴直线方程为x ＋y －4＝0， ∴满足题意的直线有2条．]3．B [因为A (1,4)，B (－3,2)，所以线段AB 的中点为(－1,3)，因为直线l 过线段AB 的中点，所以－a ＋3＋2＝0，解得a ＝5.]4．A [依题意可得，点A 关于x 轴的对称点为A 1(－1，－1)，圆心C (2,3)，|A 1C |＝(2＋1)2＋(3＋1)2＝5，所以到圆上的最短路程为5－1＝4，故选A.] 5．C [∵椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，椭圆的焦距为2c ＝6，c ＝3，∴当椭圆的焦点在x 轴上时，25－m 2＝9，解得m ＝4； 当椭圆的焦点在y 轴上时，m 2－25＝9，解得m ＝34. 综上所述，m 的值是4或34.]6．C [将圆的一般方程x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0， 化为标准式可得(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4，结合直线2ax ＋by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0截得的弦长为4，可得直线2ax ＋by ＋2＝0(a >0，b >0)过圆的圆心(－1，－2)， 即－2a －2b ＋2＝0，则a ＋b ＝1(a >0，b >0)， 则4a ＋1b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝5＋4b a ＋ab≥5＋24b a ·ab＝9，当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝23，b ＝13时取等号．]7．D [双曲线C 1：x 28－y 24＝1，双曲线C 2的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线C 1相同，设双曲线C 2的方程为y 22－x 24＝λ(λ>0)，则双曲线C 2的离心率为4λ＋2λ2λ＝ 3.] 8．A [由题意可得圆心C (a,1)，半径R ＝a 2－1(a 2>1)，∵直线y ＝ax 和圆C 相交，△ABC 为等边三角形， ∴圆心C 到直线ax －y ＝0的距离为 R sin 60°＝32×a 2－1，即d ＝|a 2－1|a 2＋1＝3(a 2－1)2，解得a 2＝7， ∴圆C 的面积为πR 2＝π(7－1)＝6π. 故选A.] 9．B[延长F 2Q 与F 1P 的延长线交于点M ，连接OQ .因为PQ 是△F 1PF 2中∠F 1PF 2的外角的角平分线，且PQ ⊥F 2M ， 所以在△PF 2M 中，|PF 2|＝|PM |，且Q 为线段F 2M 的中点． 又O 为线段F 1F 2的中点，由三角形的中位线定理，得 |OQ |＝12|F 1M |＝12(|PF 1|＋|PF 2|)．由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝a ，点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2， 所以点Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为a 的圆．] 10．B [由椭圆与双曲线的定义得e 1＝2c 10＋2c ，e 2＝2c10－2c， 所以1e 1－1e 2＝4c2c＝2，故选B.]11．C [直线l 过圆C 2的圆心，∵AC →＝DB →，∴|AC 2→|＝|C 2B →|， ∴圆C 2的圆心(2,1)为A ，B 两点的中点． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2，化简可得－2·b 2a2＝k ，又∵a >b ，∴b 2a 2＝－k 2∈⎣⎡⎭⎫12，1， 所以e ＝1－b 2a 2∈⎝⎛⎦⎤0，22.] 12．D [由题意知，抛物线y 2＝16x 的焦点坐标为(4,0)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 将l ：x ＝my ＋4代入抛物线方程，可得y 2＝16(my ＋4)，且有y 1＋y 2＝16m ，y 1y 2＝－64， 所以x 1＋x 2＝my 1＋4＋my 2＋4＝m (y 1＋y 2)＋8＝16m 2＋8，又因为x 1x 2＝y 2116·y 2216＝16.由抛物线的定义可得|MF |＝x 1＋4，|NF |＝x 2＋4. 故1|MF |＋1|NF |＝1x 1＋4＋1x 2＋4＝x 1＋x 2＋8(x 1＋4)(x 2＋4)＝14，(*) 由(*)可得1|MF |＝14－1|NF |， 从而有－4|MF |＝4|NF |－1，|NF |9－4|MF |＝|NF |9＋4|NF |－1≥43－1＝13，当且仅当|NF |＝6时取等号．] 13．2解析 设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2， ∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴，∴|BF |＝|AF |＝2. 14. 2解析 ∵定点A (－1,0)，B (1,0)，动点P (x 1，y 1)，AP →·BP →＝1，∴(x 1＋1，y 1)·(x 1－1，y 1)＝1，∴x 21＋y 21＝2，∴P 的轨迹是半径为2、圆心在原点的圆． ∵OQ →＝⎝⎛⎭⎫12－t OM →＋⎝⎛⎭⎫12＋t ON →， ∴Q ，M ，N 三点共线， ∵M (4,0)，N (0,4)，∴Q 的轨迹方程为直线MN ：x ＋y －4＝0，∴|QP →|的最小值是圆心到直线的距离减去半径，即42－2＝ 2.15．2解析 直线OM 的方程为y ＝－p8x ，将其代入x 2＝2py ，解方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－p 24，y ＝p 332，故A ⎝⎛⎭⎫－p 24，p 332. 直线ON 的方程为y ＝p2x ，将其代入x 2＝2py ，解方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2，y ＝p 32，故B ⎝⎛⎭⎫p 2，p 32.又F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，所以k AB ＝3p 8，k BF ＝p 2－12p ，因为A ，B ，F 三点共线，所以k AB ＝k BF ，即3p 8＝p 2－12p，解得p ＝2(舍负)． 16.22解析 设P (x 0，y 0)，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，所以mn ＝b 2a2，从而2b a ＋a b ＋12mn ＋ln|m |＋ln|n |＝2b a ＋a b ＋a 22b 2＋ln b 2a 2，设b 2a 2＝x ，令f (x )＝12x＋ln x (0<x <1)， 则f ′(x )＝2x －12x 2，所以当0<x <12时，f (x )递减，当12<x <1时，f (x )递增，故f (x )min＝f ⎝⎛⎭⎫12， 即b 2a 2＝12.因为2b a ＋ab≥22， 当且仅当2b a ＝a b ，即b 2a 2＝12时取等号，取等号的条件一致，此时e 2＝1－b 2a 2＝12，所以e ＝22.17．解 (1)设圆M 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a ≥0)， 则圆心M 到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|a －2|2，由题意得⎩⎨⎧a ≥0，a 2＋4＝r 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －2|22＋2＝r 2，解得a ＝0，r 2＝4，∴圆M 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 则圆心M 到直线l 的距离为1k 2＋1，∴|AB |＝24－1k 2＋1＝24k 2＋3k 2＋1， 又点P (0，－2)到直线l 的距离为d ＝3k 2＋1，∴S △P AB ＝12|AB |d ＝12×24k 2＋3k 2＋1×3k 2＋1＝372，解得k 2＝1，∴k ＝±1，则直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.18．解 (1)当直线l 的斜率不存在时，|AB |＝8，不符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 所以圆心O 到直线l 的距离d ＝1k 2＋1，因为|AB |＝37，所以216－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋12＝37，解得k ＝±3，所以直线l 的方程为±3x －y ＋1＝0.(2)当直线l 的斜率不存在时，不妨设A (0,4)，B (0，－4)，N (0,0)， 因为NA →＝mMA →，NB →＝nMB →，所以(0,4)＝m (0,3)，(0，－4)＝n (0，－5)， 所以m ＝43，n ＝45，所以m ＋n ＝3215.当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ， 则直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为直线l 与x 轴交于点N ，所以N ⎝⎛⎭⎫－1k ，0. 直线l 与圆O 交于点A ，B ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝16，y ＝kx ＋1，得(k 2＋1)x 2＋2kx －15＝0， Δ＝(2k )2－4(k 2＋1)×(－15)＝64k 2＋60>0，所以x 1＋x 2＝－2k k 2＋1，x 1x 2＝－15k 2＋1，因为NA →＝mMA →，NB →＝nMB →，所以⎝⎛⎭⎫x 1＋1k ，y 1＝m (x 1，y 1－1)，⎝⎛⎭⎫x 2＋1k ，y 2＝n (x 2，y 2－1)，所以m ＝x 1＋1kx 1＝1＋1kx 1，n ＝x 2＋1k x 2＝1＋1kx 2，所以m ＋n ＝2＋1k ⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2＋1k ·x 1＋x 2x 1x 2＝2＋1k ·－2kk 2＋1－15k 2＋1＝2＋215＝3215.综上可得，m ＋n ＝3215.19．解 (1)因为椭圆C 的离心率为32，所以a 2＝4b 2.又因为椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫1，32， 所以1a 2＋34b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)方法一 设P (x 0，y 0)，－2<x 0<2，x 0≠1，则x 204＋y 20＝1.因为MB 是PN 的垂直平分线，所以P 关于B 的对称点为N (2－x 0，－y 0)，所以2－x 0＝m .由A (－2,0)，P (x 0，y 0)，可得直线AP 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，令x ＝m ，得y ＝y 0(m ＋2)x 0＋2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，y0(m ＋2)x 0＋2.设直线PB ，MB 的斜率分别为k PB ，k MB .因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，所以k PB ·k MB ＝y 0x 0－1·y 0(m ＋2)x 0＋2m －1＝－1，因为x 204＋y 20＝1，所以(x 0－2)(m ＋2)4(x 0－1)(m －1)＝1.又x 0＝2－m ，所以化简得3m 2－10m ＋4＝0，解得m ＝5±133.因为m >2，所以m ＝5＋133.方法二 ①当AP 的斜率不存在或为0时，不满足条件．②当AP 的斜率存在且不为0时，设AP 的斜率为k ，则AP ：y ＝k (x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x24＋y 2＝1，y ＝k (x ＋2)，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，且Δ＝(16k 2)2－4×(16k 2－4)(4k 2＋1)>0.设A (x A,0)，P (x P ，y P )，因为x A ＝－2，所以x P ＝－8k 2＋24k 2＋1，所以y P ＝4k 4k 2＋1，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2＋24k 2＋1，4k 4k 2＋1.因为PN 的中点为B ，所以m ＝2－－8k 2＋24k 2＋1＝16k 24k 2＋1.(*) 因为AP 交直线l 于点M ，所以M (m ，k (m ＋2))，因为直线PB 与x 轴不垂直，所以－8k 2＋24k 2＋1≠1，即k 2≠112. 设直线PB ，MB 的斜率分别为k PB ，k MB ，则k PB ＝4k4k 2＋1－8k 2＋24k 2＋1－1＝－4k 12k 2－1，k MB ＝k (m ＋2)m －1. 因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，所以－4k 12k 2－1·k (m ＋2)m －1＝－1.(**) 将(*)代入(**)，化简得48k 4－32k 2＋1＝0，解得k 2＝4±1312， 所以m ＝16k 24k 2＋1＝5±133. 又因为m >2，所以m ＝5＋133. 20．解 (1)由题意可得2a ＝6，所以a ＝3.由椭圆C 与圆M ：(x －2)2＋y 2＝409的公共弦长为4103，恰为圆M 的直径，可得椭圆C 经过点⎝⎛⎭⎫2，±2103， 所以49＋409b2＝1，解得b 2＝8. 所以椭圆C 的方程为x 29＋y 28＝1. (2)直线l 的解析式为y ＝kx ＋1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为E (x 0，y 0)．假设存在点D (m,0)，使得△ADB 为以AB 为底边的等腰三角形，则DE ⊥AB . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 29＋y 28＝1得，(8＋9k 2)x 2＋18kx －63＝0， Δ>0恒成立，所以x 1＋x 2＝－18k 8＋9k 2， 所以x 0＝－9k 8＋9k 2，y 0＝kx 0＋1＝88＋9k 2. 因为DE ⊥AB ，所以k DE ＝－1k， 即88＋9k 2－0－9k 8＋9k 2－m ＝－1k ， 所以m ＝－k 8＋9k 2＝－19k ＋8k. 当k >0时，9k ＋8k≥29×8＝122， 所以－224≤m <0. 综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点D ，且点D 的横坐标的取值范围为⎣⎡⎭⎫－224，0.。

2021年高考数学 3.3三角函数的图像与性质课时提升作业理北师大版一、选择题1.(xx·福州模拟)已知函数f(x)=3cos(2x-)在[0,]上的最大值为M,最小值为m,则M+m等于( )(A)0 (B)3+(C)3- (D)2.(xx·岳阳模拟)函数y=-cos2x+的递增区间是( )(A)(kπ,kπ+)(k∈Z)(B)(kπ+,kπ+π)(k∈Z)(C)(2kπ,2kπ+π)(k∈Z)(D)(2kπ+π,2kπ+2π)(k∈Z)3.已知函数f(x)=sin(2x-),若存在a∈(0,π),使得f(x+a)=f(x-a)恒成立,则a的值是( )(A) (B) (C) (D)4.(xx·咸阳模拟)已知函数y=Asin(ωx+φ)在同一周期内,当x=时有最大值2,当x=0时有最小值-2,那么函数的解析式为( )(A)y=2sinx (B)y=2sin(3x+)(C)y=2sin(3x-) (D)y=sin3x5.(xx·景德镇模拟)下列命题正确的是( )(A)函数y=sin(2x+)在区间(-,)内单调递增(B)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期为2π(C)函数y=cos(x+)的图像是关于点(,0)成中心对称的图形(D)函数y=tan(x+)的图像是关于直线x=成轴对称的图形6.(xx·铜川模拟)已知函数f(x)=f(π-x),且当x∈(-,)时,f(x)=x+sinx,设a=f(1),b=f(2),c=f(3),则( )(A)a<b<c (B)b<c<a (C)c<b<a (D)c<a<b7.函数y=2sin(2x+)的图像关于点P(x0,0)对称,若x0∈[-,0],则x0等于( )(A)- (B)- (C)- (D)-8.函数y=lg(sinx)+的定义域为( )(A)(2kπ,2kπ+](k∈Z) (B)(2kπ,2kπ+](k∈Z)(C)(2kπ,2kπ+](k∈Z) (D)[2kπ,2kπ+](k∈Z)9.(xx·抚州模拟)设f(x)=xsinx,x∈[-,],若f(x1)>f(x2),则( )(A)x1+x2>0 (B)> (C)x1>x2(D)x1<x210.(xx·西安模拟)已知函数y=sin(-2x),则其图像的下列结论中,正确的是( )(A)关于点(-,1)中心对称(B)关于直线x=轴对称(C)向左平移后得到奇函数(D)向左平移后得到偶函数二、填空题11.(xx·宿州模拟)若函数y=a-bsin(4x-)(b>0)的最大值是5,最小值是1,则a2-b2= .12.(能力挑战题)已知直线y=b(b<0)与曲线f(x)=sin(2x+)在y轴右侧依次的三个交点的横坐标成等比数列,则b的值是.13.给出如下五个结论:①存在α∈(0,),使sinα+cosα=;②存在区间(a,b),使y=cosx为减少的而sinx<0;③y=tanx在其定义域内为增加的;④y=cos2x+sin(-x)既有最大值和最小值,又是偶函数;⑤y=sin|2x+|的最小正周期为π.其中正确结论的序号是.14.对于函数f(x)=给出下列四个命题:①该函数是以π为最小正周期的周期函数;②当且仅当x=π+kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值-1;③该函数的图像关于x=+2kπ(k∈Z)对称;④当且仅当2kπ<x<+2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤.其中正确命题的序号是.(请将所有正确命题的序号都填上)三、解答题15.(能力挑战题)已知a>0,函数f(x)=-2asin(2x+)+2a+b,当x∈[0,]时,-5≤f(x)≤1.(1)求常数a,b的值.(2)设g(x)=f(x+)且lgg(x)>0,求g(x)的单调区间.答案解析1.【解析】选C.由x∈[0,]得2x-∈[-,],故M=f()=3cos 0=3,m=f()=3cos=-,故M+m=3-.2.【解析】选A.由2kπ<2x<2kπ+π,k∈Z得,kπ<x<kπ+,k∈Z.所以函数y=-cos2x+的递增区间是(kπ,kπ+)(k∈Z).3.【解析】选D.因为函数满足f(x+a)=f(x-a),所以函数是周期函数,且周期为2a,又a∈(0,π),所以2a=,所以a=.【方法技巧】对周期函数的理解(1)周期函数定义中的等式:f(x+T)=f(x)是定义域内的恒等式,即对定义域内的每个x值都成立,若只是存在个别x满足等式的常数T不是周期.(2)每个周期函数的定义域是一个无限集,其周期有无穷多个,对于周期函数y=f(x),T是周期,则kT(k∈Z,k≠0)也是周期,但并非所有周期函数都有最小正周期.【变式备选】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)满足条件f(x+)+f(x)=0,则ω的值为( )(A)2π(B)π (C) (D)【解析】选A.由f(x+)+f(x)=0得f(x+)=-f(x),所以f(x+1)=f(x),故函数的周期是1,又由=1得ω=2π.4.【解析】选C.由条件知A=2,=,所以T=,因此ω==3,所以f(x)=2sin(3x+φ).把x=0,y=-2代入上式得-2=2sinφ,得sinφ=-1,所以φ=2kπ-(k∈Z),因此f(x)=2sin(3x+2kπ-)(k∈Z)=2sin(3x-).5.【解析】选 C.对于A,当x∈(-,)时,2x+∈(-,),故函数y=sin(2x+)不单调,故A错误;对于B,y=cos4x-sin4x=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)=cos2x-sin2x=cos2x,最小正周期为π,故错误;对于C,当x=时,cos(+)=0,所以(,0)是对称中心,故C正确;对于D,正切函数的图像不是轴对称图形,故错误.6.【思路点拨】利用函数y=f(x)的单调性比较.【解析】选D.由条件知f(x)=x+sinx在(-,)上是增加的,又b=f(2)=f(π-2),c=f(3)=f(π-3),而1,π-2,π-3∈(-,),且π-3<1<π-2,所以f(π-3)<f(1)<f(π-2),即c<a<b.7.【解析】选B.由题意可知2x0+=kπ,k∈Z,故x0=-,k∈Z,故k=0时,x0=-∈[-,0],故选B.8.【解析】选C.由得所以,2kπ<x≤2kπ+,k∈Z,故函数的定义域为(2kπ,2kπ+](k∈Z).9.【思路点拨】根据f(x)=xsinx的奇偶性和在[0,]上的单调性求解.【解析】选B.由f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x)知,函数y=f(x)为偶函数.又f'(x)=sinx+xcosx,当x∈(0,)时,f'(x)>0,故f(x)在[0,]上是增加的.因为f(x1)>f(x2),故f(|x1|)>f(|x2|),所以|x1|>|x2|,因此>.10.【解析】选C.对于A,由题意知函数图像的对称中心应在x轴上,故A不正确.对于B,由-2x=kπ+(k∈Z),得x=--(k∈Z),故B不正确.对于C,将函数向左平移后得到f(x)=sin[-2(x+)]=sin(-2x)=-sin2x,为奇函数,故C正确.从而D不正确.11.【解析】∵-1≤sin(4x-)≤1,b>0,∴-b≤-bsin(4x-)≤b,∴a-b≤a-bsin(4x-)≤a+b,由题意知解得∴a2-b2=5.答案:512.【思路点拨】化简函数式之后数形结合可解.【解析】设三个交点的横坐标依次为x1,x2,x3,由图及题意有:f(x)=sin(2x+)=cos2x.且解得x2=,所以b=f()=-.答案:-13.【解析】①中α∈(0,)时,如图,由三角函数线知OM+MP>1,得sinα+cos α>1,故①错.②由y=cosx的减区间为(2kπ,2kπ+π)(k∈Z),故sinx>0,因而②错.③正切函数的单调区间是(kπ-,kπ+),k∈Z.故y=tanx在定义域内不单调,故③错.④y=cos2x+sin(-x)=cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1=2(cosx+)2-.y max=2,y min=-.故函数既有最大值和最小值,又是偶函数,故④正确.⑤结合图像可知y=sin|2x+|不是周期函数,故⑤错.答案:④14.【解析】画出函数f(x)的图像.由图像可得函数的最小正周期为2π,故①错误;当x=π+2kπ(k∈Z)或x=+ 2kπ(k∈Z)时,函数取得最小值-1,故②不正确;结合图像可得③④正确.答案:③④15.【解析】(1)∵x∈[0,],∴2x+∈[,].∴sin(2x+)∈[-,1],∴-2asin(2x+)∈[-2a,a].∴f(x)∈[b,3a+b].又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.(2)由(1)得a=2,b=-5,∴f(x)=-4sin(2x+)-1,g(x)=f(x+)=-4sin(2x+)-1=4sin(2x+)-1,又由lgg(x)>0得g(x)>1,∴4sin(2x+)-1>1,∴sin(2x+)>,∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,其中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时,g(x)是增加的,即kπ<x≤kπ+,k∈Z.∴g(x)的递增区间为(kπ,kπ+],k∈Z.又∵当2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z时,g(x)是减少的,即kπ+<x<kπ+,k∈Z.∴g(x)的递减区间为(kπ+,kπ+),k∈Z.Q21616 5470 呰 21254 5306 匆527505 6B71 歱40369 9DB1 鶱N38945 9821 頡37243 917B 酻Y29737 7429 琩`W。

第九章 章末质量检测(一) 解三角形本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B＝( )A.53B.54C.55D.563．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A.6B ．2 C.3D.24．在△ABC 中，∠C ＝π4，AB ＝2，AC ＝6，则cos B 的值为( )A.12 B ．－32 C.12或－32 D.12或－125.△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“△ABC 为锐角三角形”是“a 2＋b 2>c 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1) mB ．180(2－1) mC ．120(3－1) mD ．30(3＋1) m7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A8．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且a ＝4，b ＋c ＝5, tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则△ABC 的面积为( )A.32B ．33C.332D.39．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积为( )A ．3B.932C.332D ．3310．将一根长为12m 的铁管AB 折成一个60°的角∠ACB ，然后将A 、B 两端用木条封上，从而构成三角形ACB ，在不同的折法中，△ACB 面积S 的最大值为( )A ．9B ．93C ．18D ．18311．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC 的外接圆的面积为3π，且cos 2A －cos 2B ＋cos 2C ＝1＋sin A sin C ，则△ABC 的最大边长为( )A ．2B ．3C.3D ．2312．如图，有四座城市A ，B ，C ，D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360km/h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有( )A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．603km第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝________.14．如图，在离地面高200m的热气球M上，观察到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为________m.15．如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．16．在△ABC中，∠ACB＝60°，BC>2，AC＝AB＋1，当△ABC的周长最短时，BC的长是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－1 2 .(1)求b，c的值；(2)求sin(B＋C)的值．18. (本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A ＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.(1)求角A和边长c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos A a＋cos Bb＝sin Cc.(1)证明：sin A sin B＝sin C；(2)若b2＋c2－a2＝65bc，求tan B.20．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a sin B ＝3b cos A.(1)求角A；(2)若△ABC的面积为23，a＝5，求△ABC的周长．21．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且3⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin C －c cos B tan C ＝a .(1)求角A ；(2)若△ABC 的内切圆面积为4π，求△ABC 面积S 的最小值．22．(本小题满分12分)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？第九章章末质量检测(一) 解三角形1．解析：余弦定理AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC cos C将各值代入得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)，故选A.答案：A2．解析：∵在△ABC中a＝52b，∴由正弦定理可得sin A＝52sin B①，又∵A＝2B，∴sin A＝sin2B＝2sin B cos B②，由①②可得52sin B＝2sin B cos B，可得cos B＝54，故选B.答案：B3．解析：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，则6＝a2＋2＋2a，即a2＋2a－4＝0，解得a＝2或a＝－22(舍)．故选D.答案：D4．答案：D5．解析：当△ABC为锐角三角形时，C一定为锐角，此时a2＋b2>c2成立，当a2＋b2>c2成立时，由余弦定理可得cos C＞0，即C为锐角，但此时△ABC形状不能确定，故△ABC 为锐角三角形”是“a2＋b2>c2”的充分不必要条件，故选A.答案：A6．解析：AC＝120，AB＝60sin75°，ABsin30°＝BCsin45°，所以BC＝AB sin45°sin30°＝60×2sin30°＋45°＝120(3－1)．故选C.答案：C7．解析：sin(A＋C)＋2sin B cos C＝2sin A cos C＋cos A sin C 所以2sin B cos C＝sin A cos C⇒2sin B＝sin A⇒2b＝a，故选A.答案：A8．解析：因为tan A＋tan B＋3＝3tan A·tan B，所以tan A＋tan B＝－3(1－tan A·tan B)，即tan(A＋B)＝tan A＋tan B1－tan A·tan B＝－3，所以A＋B＝2π3，C＝π3，又因为a＝4，b＋c＝5.所以(5－b )2＝42＋b 2－2×4b ×12.解得b ＝32，则△ABC 的面积为S ＝12×4×32×32＝332.故选C.答案：C9．解析：因为c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，所以由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即－2ab ＋6＝－ab ，ab ＝6，因此△ABC 的面积为12ab sin C ＝3×32＝332，故选C.答案：C10．解析：设AC ＝x,0<x <12，则BC ＝12－x ，S ＝12x (12－x )sin60°＝34x (12－x )≤34×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－x 22＝93，当且仅当x ＝12－x ，即x ＝6时取等号．∴S 的最大值为9 3.故选B. 答案：B11．解析：△ABC 的外接圆的面积为πR 2＝3π，∴R ＝ 3.cos 2A －cos 2B ＋cos 2C ＝1＋sin A sin C 则1－sin 2A －1＋sin 2B ＋1－sin 2C ＝1＋sin A sin C ，sin 2A －sin 2B ＋sin 2C ＋sin A sin C ＝0， 根据正弦定理：a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0根据余弦定理：a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ＝－ac ，∴cos B ＝－12，∴∠B ＝120°故b 为最长边：b ＝2R sin B ＝3 故选B. 答案：B12．答案：D解析：取AB 的中点E ，连DE ，设飞机飞行了15分钟到达F 点，连BF ，如图所示：则BF 即为所求．因为E 为AB 的中点，且AB ＝120km ，所以AE ＝60km ，又∠DAE ＝60°，AD ＝60km ，所以三角形DAE 为等边三角形，所以DE ＝60km ，∠ADE ＝60°，在等腰三角形EDB 中，∠DEB ＝120°，所以∠EDB ＝∠EBD ＝30°， 所以∠ADB ＝90°，由勾股定理得BD 2＝AB 2－AD 2＝1202－602＝10800，因为∠CBE ＝90°＋30°＝120°，∠EBD ＝30°，所以∠CBD ＝90°， 所以CD ＝BD 2＋BC 2＝10800＋602×13＝240km ，所以cos∠BDC ＝BD CD ＝603240＝34，因为DF ＝360×14＝90km ，所以在三角形BDF 中，BF 2＝BD 2＋DF 2－2BD ·DF ·cos∠BDF＝(603)2＋902－2×603×90×34＝10800，所以BF ＝603km.故一架飞机从城市D 出发以360km/h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有603km.故选D. 答案：D13．解析：由正弦定理，得sin B sin A ＋sin A cos B ＝0.∵A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，∴sin A ≠0，得sin B ＋cos B ＝0，即tan B ＝－1，∴B ＝3π4.答案：3π414．解析：在Rt△DAM 中DM ＝200，∠MAD ＝45° ∴AM ＝2002，∵△AMC 中，∠MAC ＝75°，∠AMC ＝60°，∴∠ACM ＝45°∵AM sin45°＝ACsin60°，∴AC ＝2003，∴BC ＝300.答案：300 15.解析：如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合于E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B ＝∠C ＝75°，∠E ＝30°，BC ＝2，由正弦定理可得BC sin∠E ＝BEsin∠C，即2＝BE ，解得BE ＝6＋2；平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B ＝∠BFC ＝75°，∠FCB ＝30°，由正弦定理知，BFsin∠FCB＝BC sin∠BFC ，即BF sin30°＝2sin75°，解得BF ＝6－2，所以AB 的取值范围为(6－2，6＋2)．答案：(6－2，6＋2)16．解析：设A ，B ，C 所对的边a ，b ，c ，根据余弦定理可得a 2＋b 2－c 22ab ＝cos C ＝12，所以a 2＋b 2－c 2＝ab将b ＝c ＋1代入上式，可得a 2＋2c ＋1＝ac ＋a,化简可得c ＝a 2－a ＋1a －2，所以△ABC 的周长L ＝a ＋b ＋c ＝a ＋2c ＋1＝a ＋1＋2a 2－a ＋1a －2.设a －2＝t (t >0)，则a ＝t ＋2，可得L ＝t ＋3＋2t ＋22－t ＋2＋1t ＝3t ＋6t ＋9≥23t ·6t＋9＝9＋62，当且仅当3t ＝6t，即t ＝2此时a ＝2＋2，可得周长的最小值为9＋62，BC 的长是2＋ 2. 故答案为2＋ 2. 答案：2＋217．解析：(1)由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，因为a ＝3，所以c 2－b 2＋3c ＋9＝0，因为b －c ＝2，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝7c ＝5.(2)由(1)知a ＝3，b ＝7，c ＝5，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1314；因为A 为△ABC 的内角，所以sin A ＝1－cos 2A ＝3314.因为sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ＝3314.18．解析：(1)∵sin A ＋3cos A ＝0，∴tan A ＝－3，∵0<A <π，∴A ＝2π3，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即28＝4＋c 2－2×2c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)或c ＝4，故c ＝4.(2)∵c 2＝b 2＋a 2－2ab cos C ，∴16＝28＋4－2×27×2×cos C ，∴cos C ＝27，∴CD ＝AC cos C ＝227＝7，∴CD ＝12BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin∠BAC ＝12×4×2×32＝23，∴S △ABD ＝12S △ABC ＝ 3. 19．解析：(1)根据正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k (k >0)． 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C， 变形可得sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C .(2)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35. 所以sin A ＝1－cos 2A ＝45. 由(1)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ， 故tan B ＝sin B cos B＝4. 20．解析：(1)由题意，在△ABC 中，因为a sin B ＝3b cos A ，由正弦定理，可得sin A sin B ＝3sin B cos A ，又因为B ∈(0，π)，可得sin B ≠0， 所以sin A ＝3cos A ，即tan A ＝3，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3； (2)由(1)可知A ＝π3，且a ＝5， 又由△ABC 的面积23＝12bc sin A ＝34bc ，解得bc ＝8， 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得25＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(b ＋c )2－24，整理得(b ＋c )2＝49，解得b ＋c ＝7，所以△ABC 的周长a ＋b ＋c ＝5＋7＝12.21．解析：(1)因为3⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin C －c cos B tan C ＝a 所以3(sin B sin C －cos B cos C )＝sin A即－3cos(B ＋C )＝sin A ，所以3cos A ＝sin A ，即tan A ＝3，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3； (2)由题意知△ABC 内切圆的半径为2，如图，内切圆的圆心为I ，M ，N 为切点，则AI ＝4，AM ＝AN ＝23，从而a ＝b ＋c －43，由余弦定理得(b ＋c －43)2＝b 2＋c 2－bc ，整理得3bc ＋48＝83(b ＋c )≥163bc ，解得bc ≥48或bc ≤163(舍去)， 从而S ＝12bc sin A ≥12×48×32＝123， 即△ABC 面积S 的最小值为12 3.22．解析：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35， 所以sin A ＝513，sin C ＝45， 从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝12606365×45＝1040(m)． 所以索道AB 的长为1040m.(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)＝200⎣⎢⎡⎦⎥⎤37⎝⎛⎭⎪⎫t －35372＋62537，由于0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8， 故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短． (3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B， 得BC ＝AC sin B ×sin A ＝12606365×513＝500(m)． 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得125043≤v ≤62514， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤125043，62514(单位：m/min)范围内．。