专题训练5相似三角形的判定与性质

相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质一、知识要点1．相似图形的概念2．相似多边形的概念3．相似三角形的判定和性质4．相似比的概念5．理解位似的概念二、典型例题见课堂讲解三、强化训练基础篇:（一）填空题1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ︰AB =1︰2，则△ADE ∽△_______，∠C =∠________，△ABC 的面积︰△ADE 的面积=___________（第1题图） （第2题图） （第3题图）2．已知：如图，直线DE 交△ABC 的两边AB 、AC 于点D 、E ，且∠1=∠B ，则)()()()()()(==. 3．如图，DE ∥BC ，则△_________∽△__________，若AD =3，BD =2，AF ⊥BC ，交DE 于G ，则AG ︰AF =_______︰_______，△AGE ∽△AFC ，且它们的相似比为_______4．如图，平行四边形ABCD 中，P 是CD 上的一点，CP ︰DP =3︰4，则三角形APB 的面积︰平行四边形ABCD 的面积=________，S △BCP ︰S △APD ︰S △APB =______︰_______︰_______5．已知：如图，梯形ABCD 的上底CD =10cm ，下底AB =28cm ，高为12cm ，点M 为腰AD 、BC 的交点，则点M 到上底CD 的距离为_________cm ，点M 到下底AB 的距离为___________cm.（第4题图） （第5题图） （第6题图）6．如图，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥AB ，BD ⊥AD ，CD ∥AB ，且BD =3，CD =2，则下底AB 的长是_________________7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且△ADE 的周长与△ABC 的周长之比为是3︰7，若DE =15cm ，则BC =__________cm ，AD ︰BD =_________（第7题图） （第8题图）8．如图，在△ABC 中，AB =12，AC =15，D 为AB 上一点，且AD =AB 32，在AC 上取一点E ，使以A 、D 、E 为顶点的三角形和△ABC 相似，则AE =_________ 9．若△ABC ∽△A 1B 1C 1，AB =3，A 1B 1=4.5，且S △ABC + S △111A B C =78，则S △111A B C =____________ 10．如图，CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高，（1）若AD =9cm ，CD =3cm ，则BD =__________；（2）已知AB =25cm ，BC =15cm ，则BD =____________（二）选择题11．下列命题中，不正确的是（ ）A ．如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形全等B ．等腰直角三角形都是相似三角形C ．有一个角为60°的两个等腰三角形相似D ．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似12．下列结论中，不正确的是（ ）A ．有一个角相等，有两条边对应成比例的两个三角形相似B ．顺次连结三角形各边中点所得的三角形与原三角形相似C ．如果三角形两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似D ．两条边长分别是7、4和14、8的两个直角三角形相似13．如图，已知：∠BAO =∠CAE =∠DCB ，则下列关系式中正确的是（ ）A ．AEBC AD AB = B ．AD BC AE AC = C ．AEBC DE AB = D ．AD AB AE AC =（第13题图） （第14题图）14．如图，直角三角形ABC 中，∠ACB =900，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，则下列说法中正确的有（ ）①图中有4个三角形与△ACB 相似；② 2DE AE EC =⋅；③∠A =∠BCD =∠CDE ；④ BD CE AC AD =；⑤ 若AC =4，BC =3，则CD =316；⑥DB AD EC AE =。

相似三⾓形的判定与性质练习题（附答案）相似三⾓形的判定与性质练习题⼀、单选题1.如果两个相似三⾓形的相似⽐是1:2, 那么这两个相似三⾓形的⾯积⽐是( ) A.2:1B. 1:2C.1:2D.1:42.如图,点D 是△ABC 的边AB 上的⼀点,过点D 作BC 的平⾏线交AC 于点E,连接BE,过点D 作BE 的平⾏线交AC 于点F,则下列结论错误的是( )A.AD AEBD EC =B. AF DF AE BE =C. AE AF EC FE =D. DE AF BC FE= 3.下列四条线段中，不能组成⽐例线段的是（） A.3,6,2,4a b c d ==== B.1,2,3,6a b c d ====C.4,6,5,10a b c d ====D.2,5,23,15a b c d ====4.如图,在ABC ?中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,下列条件中不能判断ABC AED ~△△ ( )A. AED B ∠=∠B. ADE C ∠=∠C.AD ACAE AB=D.AD AEAB AC=5.如图27-4-4,在四边形ABCD 中,BD 平分,90,ABC BAD BDC E ∠∠=∠=°为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F.若4,30BC CBD =∠=°，则DF 的长为( )A.235B.233C.334D.4356.如图,在中,E是边AD的中点,EC交对⾓线BD于点F,则:EF FC等于( )A.3:2B.3:1C.1:1D.1:27.如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1,7)，(11)，，(41)，，(61)，，以C，D，E为顶点的三⾓形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A.(60)，B.(63)，C.(65)，D.(42)，8.如图,在正⽅形⽹格上,若使△ABC∽△PBD,则点P应在处( )A.P1B.P2C.P3D.P49.如图所⽰,在平⾏四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF:FC=( )A.1:3B.1:4C.2:3D.1:210.如图,在等边三⾓形ABC 中,D 、E 分别在AC 、AB 上,且AD ︰AC=1︰3,AE=BE,则有( )A.△AED∽△BEDB.△AED∽△CBDC.△AED∽△ABDD.△BAD∽△BCD11.如图所⽰,四边形ABCD 是正⽅形,E 是CD 的中点,P 是BC 边上的⼀点,下列条件:①∠APB=∠EPC;②∠APE=∠APB;③P 是BC 的中点;④BP:BC=2:3.其中能推出△ABP∽△ECP 的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个 12.如图，在ABC △中，CB CA =，90ACB ∠?＝，点D 在边BC 上（与,B C 不重合），四边形ADEF 为正⽅形，过点F 作FG CA ⊥，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论:AC FG =；四边形1:2FAB 四边形CBFG S :S ＝△③ABC ABF ∠=∠；④2AD FQ AC =，其中正确结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个13.如图，点A 在线段BD 上.在BD 的同侧作等腰Rt ABC △和等腰Rt ADE △,CD 与BE ,AE 分别交于点,P M .对于下列结论:① BAE CAD △△;②MP MD MA ME ?=?;③22CB CP CM =?.其中正确的是( )A.①②③B.①C.①②D.②③14.如图,在平⾏四边形ABCD 中, E 为CD 上⼀点,连接AE 、BE 、BD ,且AE 、BD 交于点F ,:4:25DEF ABF S S ??=,则:?DE EC = ( )A. 2:3B. 2:5C. 3:5D. 3?:?2 ⼆、证明题15.如图，已知,,B C E 三点在同⼀条直线上，ABC △与DCE △都是等边三⾓形.其中线段BD 交AC 于点G ，线段AE 交CD 于点F ，连接GF .求证：（1）ACE BCD ?△△；（2）AG AFGC FE=. 16.如图，在等边三⾓形ABC 中，点P 是BC 边上任意⼀点，AP 的垂直平分线分别交,AB AC 于点,M N .求证：BP CP BM CN ?=?.17.如图，D BC 已知是边上的中点，且AD AC =，DE BC ⊥，DE BA E 与相交于点，EC AD F 与相交于点.（1）求证:ABCFCD △△；（2）若5FCD S =△，10BC ＝，求DE 的长18.如图，已知AD 平分BAC ∠， AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P . 求证：2.PD PB PC =?19.如图，//AB FC ，D 是AB 上⼀点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，分别延长FD 和CB 交于点G（1）求证:ADE CFE ?△△；（2）若2GB =，4BC =，1BD =，求AB 的长.20.如图，在ABCD 中，,AM BC AN CD ⊥⊥，垂⾜分别为,M N .求证：（1）AMB AND △△；（2）AM MNAB AC=. 三、解答题21.如图，在4x3的正⽅形⽅格中,ABC △和DEC △的顶点都在边长为1的⼩正⽅形的顶点上.(1) 填空:ABC ∠= ,BC = ; (2) 判断ABC △和DEC △是否相似，并证明你的结论.22.如图,在平⾯直⾓坐标系中,已知OA=12厘⽶,OB=6厘⽶,点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以1厘⽶/秒的速度移动;点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘⽶/秒的速度移动.如果P,Q 同时出发,⽤t(秒)表⽰移动的时间(0≤t≤6),那么1.设△POQ 的⾯积为y,求y 关于t 的函数关系式;2.当t 为何值时,△POQ 与△AOB 相似.23.如图，已知矩形ABCD 的⼀条边8AD =，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处.已知折痕与边BC 交于点O ，连接,,.AP OP OA(1)求证:OCP PDA △△;(2)若OCP △与PDA △的⾯积⽐为1:4，求边AB 的长.24.如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，直线3y x =-+与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点45(,)33A ,点D 的坐标为(0)1，.(1)求直线AD 的解析式;(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上⼀动点(不与点B 重合)，当BOD △与BCE △相似时，求点E 的坐标.25.如图，在矩形ABCD 中，12AB = cm ，6BC = cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P ，Q 同时出发，⽤()t s 表⽰移动的时间（06t ≤≤），那么:（1）当t 为何值时，QAP △为等腰直⾓三⾓形？（2）对四边形QAPC 的⾯积，提出⼀个与计算结果有关的结论（3）当t 为何值时，以点Q ，A ，P 为顶点的三⾓形与ABC △相似？四、填空题26.如图,在直⾓梯形ABCD 中, 90ABC ∠=,//AD BC ,4AD =,5AB =,6BC =,点P 是AB 上⼀个动点,当PC PD +的和最⼩时, PB 的长为__________.27.如图,若AB∥CD,则△__________∽△__________,__________=__________=AOCO.28.如图,在等边三⾓形ABC 中,点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上,且90ADF BED CFE ∠=∠=∠=?,则DEF ?与ABC ?的⾯积之⽐为__________29.已知578a b c==，且329a b c -+=，则243a b c +-的值为 . 30.如图，已知在Rt ABC △中，5,3AB BC ==，在线段AB 上取⼀点D ，作DE AB ⊥交AC 于E ，将ADE △沿DE 析叠，设点A 落在线段BD 上的对应点为11,A DA 的中点为,F 若1FEA FBE △△，则AD= .31.已知:如图,在△ABC 中,点A 1,B 1,C 1分别是BC 、AC 、AB 的中点,A 2,B 2,C 2分别是B 1C 1,A 1C 1,A 1B 1的中点,依此类推….若△ABC 的周长为1,则△A n B n C n 的周长为__________.32.如图，正三⾓形ABC 的边长为2，以BC 边上的⾼1AB 为边作正三⾓形11AB C ，ABC △与1ABC △公共部分的⾯积记为1S ，再以正三⾓形11AB C 的边1C 上的⾼2AB 为边作正三⾓形22AB C ，11AB C △与22AB C △公共部分的⾯积记为2S ，……，以此类推，则n S ＝ .（⽤含n 的式⼦表⽰，n 为正整数）33.如图，在正⽅形ABCD 中，点E 是BC 边上⼀点，且 : 2:1,BE EC AE =与BD 交于点F ，则AFD △与四边形DFEC 的⾯积之⽐是 .34.如图,在△ABC 中,∠C=90°,BC=16cm,AC=12cm,点P 从点B 出发,沿BC 以2 cm /s 的速度向点C 移动,点Q 从点C 出发,以1cm/s 的速度向点A 移动,若点P 、Q 分别从点B 、C 同时出发,设运动时间为ts,当t=__________时,△CPQ 与△CBA 相似.35.如图，在正⽅形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上⼀点，且1,4CF CD =下列结论: ①30BAE ∠=°; ②;ABE ECF △△③AE EF ⊥; ④ADF ECF △△.其中正确结论是 .(填序号)36.如图27-4-9,在ABC △中,90,8m 10m,C BC AB ∠===,°点 P 从B 点出发,沿BC ⽅向以2m/s 的速度移动,点Q 从C 出发,沿CA ⽅向以1m/s 的速度移动.若P Q 、同时分别从B C 、出发,经过____________s,CPQ CBA △△~.37.如图24-4-10,ABC △的两条中线AD 和BE 相交于点G ,过点E 作//EF BC 交AD 于点F ,则FGAG=________.参考答案1.答案：C 解析：2.答案：D 解析：3.答案：C解析：A 选项，因为3:62:4=，所以,,,a b c d 四条线段成⽐例B 选项，因为232,2226==，所以,,,a b c d 四条线段成⽐例C 选项，因为4:56:10≠，所以,,,a b c d 四条线段不成⽐例D 选项，因为252325,55515==，所以,,,a b c d 四条线段成⽐例故选C 4.答案：D解析：∵DAE CAB ∠=∠,∴当AED B ∠=∠或ADE C ∠=∠时,由两⾓分别相等的两个三⾓形相似,可以得出ABC AED ~△△; 当AD ACAE AB=时,由两边成⽐例且夹⾓相等的两个三⾓形相似,可得ABC AED ~△△. 只有选项D 中条件不能判断ABC AED ~△△,故选D. 5.答案：D解析：如图，在Rt BDC △中，4,30,BC CBD =∠=°2,2 3.CD BD ∴=∴=连接,90,DE BDC ∠=°，点E 是BC 中点,12.2DE BE CE C ∴====30,30,CBD BDE DBC ∠=∴∠=∠=°°,30,BD CBC ABD DBC ∠∴∠=∠=°,//,,ABD BDE DE AB DEF BAF ∴∠=∠∴∴△△~.DF DE BF AB∴=在Rt ABD △中，230,23,3,,3DF ABD BD AD BF ∠==∴=∴=°22243,23,555DF DF BD BD ∴=∴==?=故选D.6.答案：D解析：在中, //AD BC ,∴DEF BCF ?~?,∴DE EFBC CF=. ∴点E 是边AD 的中点,∴12AE DE AD ==,∴12EF CF =. 7.答案：B解析：ABC ?中, 90,6,3,:2ABC AB BC AB BC ∠====.A 、当点E 的坐标为()6,0时, 90,2,1CDE CD DE ∠===,则::,AB BC CD DE CDE ABC =?~?,故本选项不符合题意;B 、当点E 的坐标为()6,3时, 90,2,2CDE CD DE ∠===,则::,AB BC CD DE CDE ≠?与ABC ?不相似,故本选项符合题意;C 、当点E 的坐标为()6,5时, 90,2,4CDE CD DE ∠===,则::,AB BC DE CD EDC ABC =?~?,故本选项不符合题意;D 、当点E 的坐标为()4,2时, 90,2,1ECD CD CE ∠===,则::,?AB BC CD CE DCE ABC =?~?,故本选项不符合题意; 故选:B. 8.答案：C 解析：从图中可知，要使△ABC 与△PBD相似，根据勾股定理，得BC =BD =12BC AB BD BP ===,因为AB=2，那么BP=4，故选择P 3处 . 考点：相似三⾓形点评：该题主要考查学⽣对相似三⾓形概念的理解，以及对其性质的应⽤。

相似三角形判定与性质专题专题：相似三角形判定与性质1.相似三角形：具有对应角相等和对应边成比例的两个三角形。

2.三角形相似的判定方法：1) 定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

2) 平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。

3) 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

4) 判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

5) 判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。

3.直角三角形相似判定定理：1) 以上各种判定方法均适用。

2) 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

3) 垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

4.相似三角形的性质：1) 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2) 相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。

3) 相似三角形周长的比等于相似比。

4) 相似三角形面积的比等于相似比的平方。

例题1】如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，AB＝5，BC ＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ△AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分△ABC时，AP的长度为（）答案：B例题2】在△ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD 分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF是（）答案：3：4例题3】如图，为了测量一栋楼的高度OE，XXX同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果XXX眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE。

相似三角形的性质与判定1．[2011·北京] 如图J22－1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，若AD ＝1，BC ＝3，则OA OC的值为( ) A.12 B.13 C.14 D.19图J22－1 图J22－22．[2010·北京] 如图J22－2，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若AD ∶AB ＝3∶4，AE ＝6，则AC 等于( ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 81．[2015·朝阳二模] 如图J22－3，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，DE ∥BC 交AC 于点E .若AD DB ＝23，AE ＝6，则EC 的长为( ) A ．6 B ．9C ．15 D ．18图J22－3 图J22－42．[2015·石景山一模] 如图J22－4，△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接B D.要使△ABD ∽△ACB ，需要补充的一个条件为________．3．[2014·东城二模] 如图J22－5，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AC 上，将△BCD 沿BD 翻折，点C 落在斜边AB 上，若AC ＝12 cm ，DC ＝5 cm ，则BC ∶AB 的值为________．图J22－54．[2013·大兴一模] 已知：如图J22－6，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长AB 到点D ，使BD ＝AB ，取AB 的中点E ，连接CD 和CE .求证：CD ＝2CE .图J22－6一、选择题1．[2015·西城二模] 如图J22－7，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，且DE ∥B C.如果AD AB ＝23，AC ＝6，那么AE 的长为( ) A ．3 B ．4 C ．9 D ．12图J22－7 图J22－82．[2012·海淀一模] 如图J22－8，在△ABC 中，∠C ＝90°， 点D 在CB 上，DE ⊥AB 于点E .若DE ＝2, CA ＝4，则DB AB的值为( ) A.14 B.13 C.12 D.233．[2015·昌平] 如图J22－9，在△ABC 中，DE ∥BC ，分别交AB ，AC 于点D ，E .若AD ＝1，DB ＝2，则△ADE 的面积与△ABC 的面积的比等于( )A.12B.14C.18D.19图J22－9 图J22－104．如图J22－10，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且FC ＝14B C.图中相似三角形共有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对5.如图J22－11，在矩形AOBC 中，点A 的坐标是(－2，1)，点C 的纵坐标是4，则B ，C 两点的坐标分别是( )图J22－11A ．(32，3)，(－23，4)B ．(32，3)，(－12，4) C ．(74，72)，(－23，4) D ．(74，72)，(－12，4) 6．如图J22－12，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝16.点P 是斜边AB 上一点，过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC (或边CB )于点Q .设AP ＝x ，△APQ 的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为( )图J22－12图J22－13二、填空题7．[2015·石景山] 如图J22－14，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，点D 在AC 上且AD ＝2，如果要在AB 上找一点E ，使△ADE 与△ABC 相似，那么AE ＝________．图J22－14 图J22－158．如图J22－15，跷跷板AB 的支柱OD 经过它的中点O ，且垂直于地面BC ，垂足为D ，OD ＝45 cm.当它的一端B 着地时，另一端A 离地面的高度AC 为________cm.9．如图J22－16，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，D 是边BC 上一动点(不与点B ，C 重合)，∠ADE＝∠B ＝α，DE 交AC 于点E ，且cos α＝45.下列结论：①△ADE ∽△ACD ；②当BD ＝6时，△ABD 与△DCE 全等；③△DCE 为直角三角形时，BD ＝8或252；④0<CE ≤6.4.其中正确的结论是________．(把你认为正确结论的序号都填上)图J22－16三、解答题10．如图J22－17，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E.(1)求证：△ACD≌△CBE；(2)已知AD＝4，DE＝1，求EF的长．图J22－17参考答案北京真题演练1．B2．D [解析] 本题主要考查平行线分线段成比例定理，对应线段一定要找准确．∵DE ∥BC ，∴AD ∶AB ＝AE ∶AC ，∴3∶4＝6∶AC ，∴AC ＝8.故选D.北京模拟训练1．B2．答案不唯一，如∠ABD ＝∠C 等3.574．证明：由E 是AB 的中点，可设AE ＝BE ＝x .∵AB ＝AC ，BD ＝AB ，则有AC ＝2x ，AD ＝4x ，∴AE AC ＝AC AD ＝12. 又∵∠A ＝∠A ，∴△AEC ∽△ACD ，∴CE CD ＝12，∴CD ＝2CE . 北京自测训练1．B 2.C 3.D4．C [解析] △ADE ∽△ECF ，△ADE ∽△AEF ，△AEF ∽△ECF .5．B [解析] 如图，作BE ⊥x 轴于点E ，AF ∥x 轴，CF ⊥AF ，交AF 于点F ，AD ⊥x 轴于点D.∵四边形AOBC 是矩形，∴AC ∥OB ，AC ＝OB ，∴∠CAF ＝∠BOE .在△ACF 和△OBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠BEO ＝90°，∠CAF ＝∠BOE ，AC ＝OB ，∴△CAF ≌△BOE (AAS )，∴BE ＝CF ＝4－1＝3.∵∠AOD ＋∠BOE ＝∠BOE ＋∠OBE ＝90°，∴∠AOD ＝∠OBE .∵∠ADO ＝∠OEB ＝90°，∴△AOD ∽△OBE ，∴AD OE ＝OD BE ，即1OE ＝23，∴OE ＝32，即点B (32，3)，∴AF ＝OE ＝32，∴点C 的横坐标为－(2－32)＝－12，∴C (－12，4)． 6．B [解析] 分点Q 在AC 上和BC 上两种情况进行讨论即可．当点Q 在AC 上时(0≤x ≤12)，∵∠A ＝30°，AP ＝x ，∴PQ ＝x tan30°＝33x ，∴y ＝12AP ·PQ ＝12x ·33x ＝36x 2；当点Q 在BC 上时(x >12)，∵AP ＝x ，AB ＝16，∠A ＝30°，∴BP ＝16－x ，∠B ＝60°，∴PQ ＝BP ·tan60°＝3(16－x )．∴S △APQ ＝12AP ·PQ ＝12x ·3(16－x )＝－32x 2＋8 3x .∴该函数图象前半部分是抛物线，开口向上，后半部分也为抛物线，开口向下．故选B. 7.83或328．909．①②③④ [解析] ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.又∵∠ADE ＝∠B ，∴∠ADE ＝∠C ，∴△ADE ∽△ACD ，故①正确．∵AB ＝AC ＝10，∠ADE ＝∠B ＝α，cos α＝45，∴BC ＝2AB ·cos B ＝2×10×45＝16.∵BD ＝6，∴DC ＝10，∴AB ＝DC.在△ABD 与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAD ＝∠CDE ，∠B ＝∠C ，AB ＝DC ，∴△ABD ≌△DCE (ASA )．故②正确．当∠AED ＝90°时，由①可知：△ADE ∽△ACD ，∴∠ADC ＝∠AED .∵∠AED ＝90°，∴∠ADC ＝90°，即AD ⊥B C.∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，∴∠ADE ＝∠B ＝α且cos α＝45，AB ＝10，BD ＝8.当∠CDE ＝90°时，易知△CDE ∽△BAD ，∵∠CDE ＝90°，∴∠BAD ＝90°.∵∠B ＝α且cos α＝45，AB ＝10，∴cos B ＝ABBD ＝45，∴BD ＝252.故③正确．易证得△CDE ∽△BAD ，由②可知BC ＝16，设BD ＝y ，CE ＝x ， ∴ABDC ＝BDCE ，∴1016－y ＝yx ， 整理得y 2－16y ＋64＝64－10x ，即(y －8)2＝64－10x ，∴0<x ≤6.4，故④正确．10．解：(1)证明：∵AD ⊥CE ，∴∠2＋∠3＝90°.又∵∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3.又∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ， ∴∠E ＝∠ADC ＝90°.在△ACD 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠E ，∠3＝∠1，AC ＝CB ，∴△ACD ≌△CBE .(2)∵△ACD ≌△CBE ，∴CE ＝AD ＝4，∴CD ＝CE －DE ＝4－1＝3＝BE . ∵∠E ＝∠ADF ，∠BFE ＝∠AFD ， ∴△BEF ∽△ADF ，∴BE AD ＝EF DF .设EF ＝x ，则DF ＝1－x ， ∴34＝x1－x ，解得x ＝37.∴EF ＝37.。

专题-相似三角形判定与性质专题典型训练题1．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

2．三角形相似的判定方法:（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。

（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。

3．直角三角形相似判定定理:①以上各种判定方法均适用②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

4．相似三角形的性质:（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

专题典型题考法及解析【例题1】如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ△AB 交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分△ABC时，AP的长度为（）B．C．D．A.【例题2】在△ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF是．【例题3】如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．【例题4】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC的延长线于点E，F；连接DF，过点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H．（1）求DE的长；（2）求证：∠1＝∠DFC．【例题5】如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF＝CF；（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．专题典型训练题一、选择题1.如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（）A．3对B．5对C．6对D．8对2.如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是（）A．1B．2C．3D．43.如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，DE △BC ，若AD ＝2，AB ＝3，DE ＝4，则BC 等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．84.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，∠ACD ＝∠B ，若AD ＝2BD ，BC ＝6，则线段CD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．55.如图，在▱ABCD 中，点E 在对角线BD 上，EM ∥AD ，交AB 于点M ，EN ∥AB ，交AD 于点N ，则下列式子一定正确的是（ ）A ．＝ B ．＝ C ．＝ D ．＝6. 如图，在ABC 中，点D 为BC 边上的一点，且2AD AB ==，AD AB ⊥，过点D 作DE AD ⊥，DE 交AC 于点E ，若1DE =，则ABC 的面积为（ ） A．B ．4 C． D ．8D ABC7.如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D等于（）A．2B．3C．4D．8.如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG ＝（）A．2：3B．3：2C．9：4D．4：99.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线于点H，连接BD交PC于点Q，下列结论：①∠BPD＝135°；②△BDP∽△HDB；③DQ：BQ＝1：2；④S△BDP＝．其中正确的有（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④二、填空题10.如图所示，Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的△P与△ABC的一边相切时，AP的长为．11. 一张直角三角形纸片ABC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当△BDE 是直角三角形时，则CD 的长为________．12．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝12，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将△AEF 沿EF 折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF的长是 ．13.如图，在矩形ABCD 中，AD ＝3AB ＝310．点P 是AD 的中点，点E 在BC 上，CE ＝2BE ，点M 、N 在线段BD 上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等，则MN ＝__________．14.如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分∠BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ．下列结论：①EO ⊥AC ；②S △AOD ＝4S △OCF ；③AC ：BD ＝：7；④FB 2＝OF •DF ．其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）15.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15，点E 在边CB 上，CE ＝2EB ，点D 在边AB 上，CD ⊥AE ，垂足为F ，则AD 的长为 ．P EDA三、解答题16.如图，△ABD＝△BCD＝90°，DB平分△ADC，过点B作BM△CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2＝AD•CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．17．在矩形ABCD中，AE△BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分△ABD，交AE于点G，PF△BD于点F，如图△，证明四边形AGFP是菱形；（2）若PE△EC，如图△，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．18．如图，Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且△APB＝△BPC＝135°．（1）求证：△P AB△△PBC；（2）求证：P A＝2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2•h3．19.如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG．（1）求证：△DOG≌△COE；（2）若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM＝，求正方形OEFG 的边长．。

相似三角形性质专项练习30题（有答案）1．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．2．如图，AD=2，AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=107°，△ABC∽△DAC（1）求AB的长；（2）求CD的长；（3）求∠BAD的大小．3．如图，△ABC与△A′B′C′相似，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，求证：=．4．如图所示，已知∠ACB=∠CBD=90°，AC=b，CB=a，BD=k，若△ACB∽△CBD，写出a、b、k之间满足的关系式．5．如图，AD、BE是△ABC的两条高，A′D′、B′E′是△A′B′C′的两条高，△ABD∽△A′B′D′，∠C=∠C′，求证：=．6．已知，如图，△AOB∽△DOC，BD⊥AC，∠AOB是直角．求证：AD2+BC2=AB2+CD2．7．已知如图△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE=45°，△ABD∽△DCE．当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．8．如图，△ABC与△ADB相似，AD=4，CD=6，求这两个三角形的相似比．9．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，求BF的长度．10．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？11．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上的一点，AE交BD于O，△AOB∽△EOD，若DE=AB，AB=9，AO=6，求DE和AE的长．12．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．（1）求∠APB的大小．（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．13．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE△∽△DEF，AB=6，AE=8，DE=2，求EF的长．14．如图，△ABC∽△DAB，AB=8，BC=12，求AD的长．15．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间是多少秒？16．如图，△ABC∽△FED，若∠A=50°，∠C=30°，求∠E的度数．17．如图，已知△ABC∽△AED，且∠B=∠AED，点D、E分别是边AB、AC上的点，如果AD=3，AE=6，CE=3．根据以上条件你能求出边AB的长吗？请说明理由．18．如图，在△ABC中，AB=8cm，AC=16cm，点P从点B开始沿BA边向点A以每秒2cm的速度移动，点Q从点A开始沿AC边向点C以每秒4cm的速度移动．如果P、Q分别从B、A同时出发，经过几秒钟△APQ与△ABC 相似？试说明理由．19．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E，设AP=x．（1）求AC的长；（2）如果△ABP和△BCE相似，请求出x的值；（3）当△ABE是等腰三角形时，求x的值．20．已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35cm和14cm（1）已知他们的周长相差60cm，求这两个三角形的周长．（2）已知它们的面积相差588cm2，求这两个三角形的面积．21．如图，已知△ACE∽△BDE，∠A=117°，∠C=37°，AC=6，BD=3，AB=12，CD=18，（1）求∠B和∠D的度数；（2）求AE和DE的长．22．一个钢筋三角架三边长分别是20厘米、50厘米、60厘米，现在再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30厘米和50厘米的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的截法有多少种？写出你的设计方案，并说明理由．23．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边长分别可以为多少？24．如图，已知等边△ABC的边长为8，点D、P、E分别在边AB、BC、AC上，BD=3，E为AC中点，当△BPD 与△PCE相似时，求BP的值．25．如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD、A′D′分别是边BC、B′C′上的中线，求证：．26．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为20cm和25cm，且BC=5cm，DF=4cm，求EF和AC的长．27．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C 出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．28．Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，P、Q分别为AC，AB上的两动点，P从点C开始以1cm/s的速度向点A运动，Q从点A开始以2cm/s的速度向点B运动，当一点到达终点时，P、Q两点就同时停止运动．设运动时间为ts．（1）用t的代数式分别表示AQ和AP的长；（2）设△APQ的面积为S，①求△APQ的面积S与t的关系式；②当t=2s时，△APQ的面积S是多少？（3）当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？29．如图所示，∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q 从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？30．如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1．（1）若c=a1，求证：a=kc；（2）若c=a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；（3）若b=a1，c=b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2？请说明理由．相似三角形专项练习30题参考答案: 1．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，∵AB=6，AE=9，∴BE===，∵△ABE∽△DEF，∴=，即=，解得EF=．2．解：（1）∵△ABC∽△DAC，∴，∴，解得：AB=3；（2）∵△ABC∽△DAC，∴，∴，解得：CD=；（3）∵△ABC∽△DAC，∴∠BAC=∠D=107°，∠CAD=∠B=36°，∵∠B=36°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=107°+36°=143°3．证明：∵△ABC与∽A′B′C′，∴∠ABD=∠A′B′D′，∵AD和A′D′是高，∴∠ADB=∠A′D′B′，∴△ABD∽△A′B′D，∴=，同理可得=，∴=．4．解：∵△ACB∽△CBD，∴=，∵AC=b，CB=a，BD=k，∴=，即a2=bk．5．证明：∵△ABD∽△A′B′D′，∴∠ABC=∠A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，∵AD是△ABC的高，A′D′是△A′B′C′的，∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，∴△ABD∽△A′B′D′，∴=，同理可求△ABE∽△A′B′E′，∴=，∴=．6．解：∵BD⊥AC，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠DEC=90°，∴在Rt△AED中，AD2=AE2+DE2，在Rt△AEB中，AB2=AE2+BE2，在Rt△BEC中，BC2=BE2+CE2，在Rt△CED中，CD2=CE2+DE2，∴AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2．7．解：分三种情况：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意；②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是AB=AC=1，BC=，AE=AC﹣EC=1﹣BD=1﹣（﹣1）=2﹣；③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如图所示，易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=．综上所述，当△ADE是等腰三角形时，AE的长为2﹣或．8．解：∵△ABC与△ADB相似，∴△ABC∽△ADB，∴=，∴AB2=AC•AD=10×4=40，∴△ABC与△ADB的相似比为==．9．解：设BF=x，则CF=4﹣x，由翻折的性质得B′F=BF=x，当△B′FC∽△ABC，∴=， 即=，解得x=，即BF=．当△FB ′C ∽△ABC ， ∴AB FB /'=AC FC即，解得：x=2．∴BF 的长度为：2或．10．解：设运动了ts ，根据题意得：AP=2tcm ，CQ=3tcm ，则AQ=AC ﹣CQ=16﹣3t （cm ），当△APQ ∽△ABC 时，，即，解得：t=；当△APQ ∽△ACB 时，，即，解得：t=4； 故当以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间是：s 或4s11．解：∵△AOB ∽△EOD ， ∴DE ：AB=OA ：OE ，∵DE=AB ，AB=9，AO=6，∴DE=×9=6，OE=OA=4，∴AE=OA+OE=6+4=10．12．解：（1）∵△PCD 是等边三角形，∴∠PCD=60°，∴∠ACP=120°，∵△ACP ∽△PDB ，∴∠APC=∠B ，∵∠A=∠A ，∴∠ACP∽∠APB，∴∠APB=∠ACP=120°；（2）∵△ACP∽△PDB，∴AC：PD=PC：BD，∴PD•PC=AC•BD，∵△PCD是等边三角形，∴PC=PD=CD，∴CD2=AC•BD．13．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，∵AB=6，AE=8，∴BE===10，∵△ABE∽△DEF，∴=，即=，解得EF=．14．解：∵△ABC∽△DAB，∴，∵AB=8，BC=12，∴，∴AD=．15．解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC则，即解之得t=1.2；②若Rt△ABC∽Rt△PQC则，解之得t=；由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．所以可知要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间为1.2或秒．16．解：∵△ABC中，∠A=50°，∠C=30°，∴∠B=180°﹣50°﹣30°=100°，∵△ABC∽△FED，∴∠E=∠B=100°．17．解：∵△ABC∽△AED，且∠B=∠AED，∴．又AD=3，AE=6，CE=3，∴AB==18．18．解：设经过t秒两三角形相似，则AP=AB﹣BP=8﹣2t，AQ=4t，①AP与AB是对应边时，∵△APQ与△ABC相似，∴=，即=，解得t=2，②AP与AC是对应边时，∵△APQ与△ABC相似，∴=，即=，解得t=，综上所述，经过或2秒钟，△APQ与△ABC相似19．解：（1）过点A作AF⊥BC于F（1分）在Rt△AFB中，∠AFB=90°，∠ABF=60°∴AF=ABsin∠ABF=4sin60°=4×=，BF=ABcos∠ABF=4cos60°=4×在Rt△AFC中，∠AFC=90°∴（1分）（2）过点P作PG⊥BC于G，在Rt△BPG中，∠PGB=90°，∴（1分）如果△ABP和△BCE相似，∵∠APB=∠EBC又∵∠BAP=∠BCD＞∠ECB（1分）∴∠ABP=∠ECB∴即解得（不合题意，舍去）∴x=8（1分）（3）①当AE=AB=4时∵AP∥BC，∴即，解得，②当BE=AB=4时∵AP∥BC，∴，即，解得（不合题意，舍去）③在Rt△AFC中，∠AFC=90°∵，在线段FC上截取FH=AF，∴∠FAE＞∠FAH=45°∴∠BAE＞45°+30°＞60°=∠ABC＞∠ABE∴AE≠BE．综上所述，当△ABE是等腰三角形时，或20．解：（1）∵相似三角形的对应边长分别是35cm和14cm∴这两个三角形的相似比为：5：2∴这两个三角形的周长比为：5：2∵他们的周长相差60cm∴设较大的三角形的周长为5xcm，较小的三角形的周长为2xcm ∴3x=60∴x=20cm∴5x=5×20=100cm，2x=2×20=40cm∴较大的三角形的周长为100cm，较小的三角形的周长为40cm（2）∵这两个三角形的相似比为：5：2∴这两个三角形的面积比为：25：4∵他们的面积相差588cm2∴设较大的三角形的面积为25xcm2，较小的三角形的面积为4xcm2∴（25﹣4）x=588，∴x=28cm2∴25x=25×28=700cm2，4x=4×28=112cm2∴较大的三角形的面积为700cm2，较小的三角形的面积为112cm2 21．解：（1）∵△ACE∽△BDE，∠A=117°，∠C=37°，∴∠B=∠A=117°，∠C=∠D=37°；（2）∵△ACE∽△BDE，AC=6，BD=3，AB=12，CD=18，∴设AE=x，DE=y，则BE=12﹣x，CE=18﹣y，∴==，即==，解得x=8，y=6，∴AE=8，DE=622．解：①当把30厘米的钢筋作为最长边，把50厘米的钢筋按10厘米与25厘米两部分截，则有；②当30厘米的钢筋作为中长边，把50厘米分截出12厘米和36厘米两部分，则有．③当30cm作为最短边：则另两边都会超过50cm，此时不合题意，∴一共有两种截法．23．解：题中没有指明边长为2的边与原三角形的哪条边对应，所以应分别讨论：（1）若边长为2的边与边长为4的边相对应，则另两边为和3；（2）若边长为2的边与边长为5的边相对应，则另两边为和；（3）若边长为2的边与边长为6的边相对应，则另两边为和．故三角形框架的两边长可以是：和3或和或和．24．解：设BP=x，∵等边△ABC的边长为8，∴CP=8﹣x，∵E为AC中点，∴CE=AC=×8=4，①BD和PC是对应边时，△BDP∽△CPE，∴=，即=，整理得，x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6，即BP的长为2或6，②BD和CE是对应边时，△BDP∽△CEP，∴=，即=，解得x=，即BP=，综上所述，BP的值是2或6或．25．证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴===K．又∵AD、A′D′分别是边BC、B′C′上的中线，∴==．∴，∵∠B=∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′．∴．26．解：∵相似三角形周长的比等于相似比，∴，∴，同理，∴．答：EF的长是cm，AC的长是cm．27．解：存在t=3秒或4.8秒，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似（无此过程不扣分）设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，此时，AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t（0≤t≤6），（1）当MN∥BC时，△AMN∽△ABC，（1分）则，即，（3分）解得t=3；（5分）（2）当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC，（6分）则，即，（8分）解得t=4.8；（10分）故所求t的值为3秒或4.8秒．（11分）28．解：（1）用t的代数式分别表示AQ=2t，AP=6﹣t；（2分）（2）设△APQ的面积为S，①△APQ的面积S与t的关系式为：S=AQ•AP=×2t×（6﹣t）=6t﹣t2，即S=6t﹣t2，②当t=2s时，△APQ的面积S=×AQ•AP=×[2×2×（6﹣2）]=8（cm2）；（6分）（3）当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当=时=，∴t=2.4（s）；②当=时=，∴t=（s）；综上所述，当t为2.4秒或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．29．解：∵∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，∴设AC=3xcm，AB=5xcm，则BC==4x（cm），即4x=8，解得：x=2，∴AC=6cm，AB=10cm，∴BC=8cm，设过t秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，则BP=2tcm，CP=BC﹣BP=8﹣2t（cm），CQ=tcm，∵∠C是公共角，∴①当，即时，△CPQ∽△CBA，解得：t=2.4，②当，即时，△CPQ∽△CAB，解得：t=，∴过2.4或秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．30．（1）证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k（k＞1），∴=k，a=ka1；又∵c=a1，∴a=kc；（2）解：取a=8，b=6，c=4，同时取a1=4，b1=3，c1=2；此时=2，∴△ABC∽△A1B1C1且c=a1；（3）解：不存在这样的△ABC和△A1B1C1，理由如下：若k=2，则a=2a1，b=2b1，c=2c1；又∵b=a1，c=b1，∴a=2a1=2b=4b1=4c；∴b=2c；∴b+c=2c+c＜4c，4c=a，b+c＜a，而应该是b+c＞a；故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k=2．。

专题02 相似三角形的判定与性质（六大类型）【题型1 相似三角形的概念】【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】【题型4 两角对应相等，两三角形相似】【题型5 相似三角形的性质】【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】【题型1 相似三角形的概念】1．（2023春•阳信县月考）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．2．（2022秋•道外区期末）下列三角形一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个等边三角形C．两个直角三角形D．有一角为70°的两个等腰三角形3．（2022秋•武城县期末）下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（）A．2组B．3组C．4组D．5组4．（2022秋•承德县期末）如图所示，网格中相似的两个三角形是（）A．①与②B．①与③C．③与④D．②与③5．（2022秋•襄都区校级期末）下列判断中，不正确的有（）A．三边对应成比例的两个三角形相似B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】6．（2022秋•常州期末）如图，△ABC∽△DEF，则DF的长是（）A．B．C．2D．3 7．（2023•陇南模拟）两个相似三角形的相似比是4：9，则其面积之比是（）A．2：3B．4：9C．9：4D．16：81 8．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，AB＝4，则CD的长是（）A．1B．2C．3D．49．（2022秋•鼓楼区期末）已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三边分别长为6，8，10，△DEF的面积为96，则△DEF的周长为．10．（2023•惠城区校级一模）若△ABC∽△DEF，△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，且AB＝12cm，则DE＝cm．11．（2022秋•于洪区期末）两个相似三角形的周长比是3：4，其中较小三角形的面积为18cm2，则较大三角形的面积为cm2．12．（2022秋•鸡西期末）如果两个相似三角形的周长比为1：6，那么这两个三角形的面积比为．13．（2023•长宁区一模）如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是．14．（2022秋•内乡县期末）如图，已知△ABC∽△ADE，AD＝6，BD＝3，DE ＝4，则BC＝．15．（2022秋•零陵区期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC 的面积为12cm2，则△A′B′C′的面积为cm2．【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】16．（2022秋•仓山区校级月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝8，BD＝5，AC＝6，CE＝2，求证：△ADE∽△ACB．17．（2021秋•武陵区期末）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．18．（2022秋•丰泽区校级期中）如图，E是△ABC的边BC上的点，已知∠BAE ＝∠CAD，，AB＝18，AE＝15．求证：△ABC∽△AED．19．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，CF＝5，DE＝15，DF＝25．求证：△ABC∽△DEF．【题型4 两角对应相等，两三角形相似】20．（2022秋•蚌山区月考）已知：如图D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠A＝40°，∠C＝80°，∠AED＝60°，求证：△ADE∽△ACB．21．（2022秋•龙胜县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．求证：△ABC∽△CBD．22．（2022•江夏区模拟）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求证：△ABC∽△DEC．23．（2021秋•晋江市校级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．求证：△AED∽△ADC．24．（2022•南昌模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC 的平分线．求证：△ABC∽△BDC．【题型5 相似三角形的性质】25．（2020秋•思南县校级月考）判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．26．（大观区校级期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF的顶点都在格点上，请判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】27．（2022秋•历城区校级月考）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝4，AE＝2，AC＝8．（1）求CD的长；（2）求证：△ABE∽△ACB．28．（2023•殷都区一模）如图，O是直线MN上一点，∠AOB＝90°，过点A 作AC⊥MN于点C，过点B作BD⊥MN于点D．（1）求证：△AOC∽△OBD；（2）若OA＝5，OC＝OD＝3，求BD的长．29．（2023•西湖区校级二模）如图，在菱形ABCD中，点M为对角线BD上一点，连接AM并延长交BC于点E，连接CM．（1）求证：CM＝AM．（2）若∠ABC＝60°，∠EMC＝30°，求的值．30．（2023•港南区四模）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD＝AC，求的值．31．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，点C是△ABD边AD上一点，且满足∠CBD＝∠A．（1）证明：△BCD∽△ABD；（2）若BC：AB＝3：5，AC＝16，求BD的长．32．（2022秋•顺平县期末）矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝4，AD＝8，求CE的长．33．（2022秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD 上，AE，BF交于点G．（1）若＝，求证AE⊥BF；（2）若E，F分别是BC，CD的中点，则的值为．34．（2023•桐乡市校级开学）如图，已知△ABC和△AED，边AB，DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）若BD＝3，BF＝2，求AB的长．35．（2022秋•海陵区校级期末）如图，矩形DEFG的四个顶点分别在等腰三角形ABC的边上．已知△ABC的AB＝AC＝10，BC＝16，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．（1）求S关于x的函数表达式；（2）当S＝24时，求x的值．36．（2022秋•平城区校级期末）如图，已知在△ABC中，边BC＝6，高AD＝3，正方形EFGH的顶点F，G在边BC上，顶点E，H分别在边AB和AC上，求这个正方形的边长．。

中考专题训练——相似三角形的判定和性质1．如图，E是菱形ABCD对角线AC上一点，四边形BGFE是矩形．点F，G分别在DC，BC上．（1）求证：∠CFG＝∠ABE．（2）若BE＝4，，求FM的长．2．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝2，求．3．如图，已知正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b（b＜a），点E在CD 边上，点G在BC延长线上，点H为BC上的点，连接DF，DH．（1）当DH⊥DF时，求证：△DEF∽△HCD．（2）若点H为BC的中点，在（1）的条件下，求出a与b满足的关系式．4．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、AD上，DE与CF 相交于点G．CD2＝CG•CF，∠AED＝∠CFD．（1）求证：AB＝CD；（2）延长AD至点M，联结CM，当CF＝CM时，求证：EA•AB＝AD•MD．5．北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，该图被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如图为“弦图”的一部分，在正方形ABCD中，DE⊥AF，BF⊥AF．（1）求证：EF＝DE﹣BF；（2）连接BE，若BF2＝EF•DE，求证：∠1＝∠2．6．如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，其中点D在边BC上，点F是AB边上一点，且BF＝CD．（1）求证：DE∥CF；（2）联结DF，设AD、CF的交点为M，如果DF2＝FM•FC，求证：DF∥AC．7．如图，△ABC中，AB＝AC．（1）尺规作图：作AB的垂直平分线DE，分别交AB、AC于点E和点D．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接BD，若BD＝BC＝2，求AC的长．（3）在（2）的条件下，cos C＝．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P 与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边与AB交于点E．（1）求证：Rt△AEP∽Rt△DPC；（2）当∠CPD＝30°时，求AE的长．9．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A 作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，联结EF交边AB于点G，连接AC．（1）求证：△AEF∽△DAC；（2）如果FE平分∠AFB，联结CG，求证：四边形AGCE为菱形．10．已知：如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E为对角线BD的中点，点F 在边AD上，CF交BD于点G，CF∥AE，CF＝BD．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）如果∠DCG＝∠DEC，求证：AE2＝AD•DC．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E．连接CE，点F是BE上一动点，过点F作FG∥CE交BC于点G．将△BFG绕点B旋转得到△BF'G'．（1）连接CG'，EF'，求证：△BEF'∽△BCG'；（2）当点G'恰好落在直线AE上时，若BF＝3，求EG'的值．12．如图，正方形ABCD，E、F分别是边AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N．（1）求证：AF＝DE，AF⊥DE．（2）求AM：MN：NF的值．13．问题背景如图1，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，2∠EDB+∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，求证：AE＝BE．变式迁移如图2，在四边形DEBC中，2∠EDB+∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，DF∥EB，DF分别交CE，BC于点G，F，求证：DG＝FG．拓展应用如图3，在四边形DECB中，2∠DBE+∠EBC＝180°，∠EDB＝∠DCB，，且n ＞1，直接写出的值．14．问题提出（1）如图①正三角形ABC，边长为4，D、E是边AB、AC的中点，P在BC边上，则△PDE的面积为；问题解决（2）如图②，某小区有一块五边形空地ABCDE，CD⊥DE，AE∥CD，CB＝CD＝40m，AE＝10米，∠ABC＝∠BCD＝120°，物业想在这块空地中划出一块△MNP区域来种植草皮，其他区域种植花卉．已知种植花卉每平方米200元，种植草皮每平方米100元．要求M，N，P分别位于AB，ED，CD边上，且MN∥CD，要使种植费用的造价最低，种植草皮的△MNP的面积应该满足什么条件？并求出费用的最小值．15．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，在BC延长线上作EF＝AE，连接AF交CD于点G，设CE：EB＝λ（λ＞0）．（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．（2）连接EG，若G点为CD的中点，①求证：EG⊥AF．②求λ的值．16．如图，已知△ABC，点D，E分别在BC，CA上，且满足AD＝AB，EB＝EC．（1）用直尺和圆规确定点D，E；（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接AD，EB，AD与EB交于点F．①求证：△BDF∽△CBA；②若∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，则DF的长为．17．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE⊥DF，∠DEF＝45°，DF的延长线与BC的延长线相交于点G．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）若AD＝1，AF＝2，求EC的长；（3）若，求的值．18．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点（不与A、D重合），点F在边DC 延长线上，CF＝AE，连接BE、BF、EF，EF交BC于点M，交对角线BD于N．（1）求证：∠BEF＝45°；（2）若BE平分∠ABD，求证：BE2＝AB•BM；（3）若DE：EA＝3：2，则EN：NM：MF＝（直接写答案）．19．如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，过点A作AE∥DC交BC边于点E，过点E作EF∥AB交CD边于点F，连接AF，过点C作CH∥AF交AE于点H，连接BH．（1）求证：△ABH≌△EAF；（2）如图2，若BH的延长线经过AF的中点M，求的值．20．如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E在边CD上，tan∠BAE＝2，点F是线改AE上一点，连接CF．（1）连接BF，请用尺规作图法作FG⊥AB，垂足为G点（保留作图痕迹，不要求写出作法）．若tan∠ABF＝，求线段AF的长．（2）如图2，若CF＝BC，AE的延长线与BC的延长线交于点H，求△CEF的面积．参考答案与试题解析1．如图，E是菱形ABCD对角线AC上一点，四边形BGFE是矩形．点F，G分别在DC，BC上．（1）求证：∠CFG＝∠ABE．（2）若BE＝4，，求FM的长．【分析】（1）根据菱形的性质可得AB∥CD，从而可得∠CAB＝∠DCA，根据矩形的性质可得BE∥FG，从而可得∠BEM＝∠FME，然后利用三角形的外角可得∠BEM＝∠BAE+∠ABE，∠FME＝∠ACD+∠CFG，即可解答；（2）根据矩形的性质可得EB＝FG＝4，∠EFG＝∠FGB＝90°，EF∥BG，再利用（1）的结论在Rt△FGC中，利用锐角三角函数的定义和勾股定理求出CG，CF的长，根据菱形的性质可得AD∥BC，AD＝DC，从而可得AD∥EF，∠DAC＝∠DCA，进而可得∠FEC＝∠DCA，然后利用等角对等边可得FE＝FC＝5，最后证明8字模型相似三角形△EFM∽△CGM，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∵四边形BGFE是矩形，∴BE∥FG，∴∠BEM＝∠FME，∵∠BEM＝∠BAE+∠ABE，∠FME＝∠ACD+∠CFG，∴∠CFG＝∠ABE；（2）解：∵四边形BGFE是矩形，∴EB＝FG＝4，∠EFG＝∠FGB＝90°，EF∥BG，∴∠FGC＝180°﹣∠FGB＝90°，∵，∠CFG＝∠ABE，∴tan∠CFG＝，∴CG＝FG•tan∠CFG＝4×＝3，∴FC＝＝＝5，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝DC，∴AD∥EF，∴∠DAC＝∠FEC，∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∴∠FEC＝∠DCA，∴FE＝FC＝5，∵∠EFG＝∠FGC＝90°，∠EMF＝∠CMG，∴△EFM∽△CGM，∴＝，∴＝，∴FM＝，∴FM的长为．2．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝2，求．【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF＝90°即可；（2）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】（1）证明：∵CF＝BE，∴CF+EC＝BE+EC．即EF＝BC．在▱ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，∴AD∥EF且AD＝EF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°．∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形AEFD是矩形，∴∠AEC＝∠DFC＝90°，AE＝DF＝4，∴∠EAC+∠ECA＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠ECA+∠DCF＝90°，∴∠EAC＝∠DCF，∴△AEC∽△CFD，∴＝＝，∴EC＝2AE＝8，解法一：∴＝＝＝4．解法二：∴＝（）2＝（）2＝4．3．如图，已知正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b（b＜a），点E在CD 边上，点G在BC延长线上，点H为BC上的点，连接DF，DH．（1）当DH⊥DF时，求证：△DEF∽△HCD．（2）若点H为BC的中点，在（1）的条件下，求出a与b满足的关系式．【分析】（1）证明∠EDF＝∠DHC，再结合90°角可以证明△DEF∽△HCD；（2）根据（1）中的相似得到对应边成比例，可以得到关于a和b的等式即可得解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD，CEFG都是正方形，∴∠HCD＝90°，∠CEF＝∠DEF＝90°，∴∠DEF＝∠HCD＝90°，∴∠HDC+∠DHC＝90°，又∵DH⊥DF，∴∠HDF＝90°，∴∠HDC+∠EDF＝90°，∴∠EDF＝∠DHC，∴△DEF∽△HCD．（2）解：∵点H为BC的中点，∴HC＝，∵CD＝a，CE＝EF＝b，∴DE＝a﹣b，由（1）可知△DEF∽△HCD，∴，∴，∴，即a与b满足的关系式为a＝．4．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、AD上，DE与CF 相交于点G．CD2＝CG•CF，∠AED＝∠CFD．（1）求证：AB＝CD；（2）延长AD至点M，联结CM，当CF＝CM时，求证：EA•AB＝AD•MD．【分析】（1）根据已知可得＝，从而可得△CDG∽△CFD，然后利用相似三角形的性质可得∠CDG＝∠CFD，从而可得∠CDG＝∠AED，进而可得AB∥CD，最后证明四边形ABCD是平行四边形，从而利用平行四边形的性质即可解答；（2）根据等腰三角形的性质可得∠CFD＝∠M，从而可得∠AED＝∠M，然后利用平行线的性质可得∠A＝∠CDM，从而可证△AED∽△DMC，进而利用相似三角形的性质即可解答．【解答】证明：（1）∵CD2＝CG•CF，∴＝，∵∠DCG＝∠DCF，∴△CDG∽△CFD，∴∠CDG＝∠CFD，∵∠AED＝∠CFD，∴∠CDG＝∠AED，∴AB∥CD，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD；（2）如图：∵CF＝CM，∴∠CFD＝∠M，∵∠AED＝∠CFD，∴∠AED＝∠M，∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，∴△AED∽△DMC，∴＝，∴AE•DC＝AD•DM，∵AB＝DC，∴EA•AB＝AD•MD．5．北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，该图被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如图为“弦图”的一部分，在正方形ABCD中，DE⊥AF，BF⊥AF．（1）求证：EF＝DE﹣BF；（2）连接BE，若BF2＝EF•DE，求证：∠1＝∠2．【分析】（1）利用正方形的性质可得AB＝AD，∠BAD＝90°，从而可得∠BAF+∠DAE ＝90°，根据垂直定义可得∠AED＝∠F＝90°，从而可得∠BAF+∠ABF＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠DAE＝∠ABF，从而可证△ABF≌△DAE，D进而可得DE＝AF，AE＝BF，即可解答；（2）利用（1）的结论可得DE＝AF，∠BAF＝∠ADE＝∠2，从而可得＝，进而可得△FBE∽△F AB，然后利用相似三角形的性质可得∠1＝∠BAF，即可解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAF+∠DAE＝90°，∵DE⊥AF，BF⊥AF，∴∠AED＝∠F＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠DAE＝∠ABF，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴DE＝AF，AE＝BF，∵EF＝AF﹣AE，∴EF＝DE﹣BF；（2）∵△ABF≌△DAE，∴DE＝AF，∠BAF＝∠ADE＝∠2，∵BF2＝EF•DE，∴＝，∴＝，∵∠F＝∠F，∴△FBE∽△F AB，∴∠1＝∠BAF，∴∠1＝∠2．6．如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，其中点D在边BC上，点F是AB边上一点，且BF＝CD．（1）求证：DE∥CF；（2）联结DF，设AD、CF的交点为M，如果DF2＝FM•FC，求证：DF∥AC．【分析】（1）由等边三角形的性质证明△ACD≌△CBF，得出∠CAD＝∠BCF，由等边三角形的性质及三角形外角的性质得出∠BDE＝∠CAD，进而得出∠BDE＝∠BCF，即可证明DE∥CF；（2）先证明△DFM∽△CFD，得出∠FDM＝∠FCD，由∠CAD＝∠BCF，得出∠FDM ＝∠CAD，即可证明DF∥AC．【解答】证明：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，在△ACD和△CBF中，，∴△ACD≌△CBF（SAS），∴∠CAD＝∠BCF，∵△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝∠ACB＝60°，∵∠ADE+∠BDE＝∠ACB+∠CAD，∴∠BDE＝∠CAD，∴∠BDE＝∠BCF，∴DE∥CF；（2）如图2，∵DF2＝FM•FC，∴，∵∠DFM＝∠CFD，∴△DFM∽△CFD，∴∠FDM＝∠FCD，∵∠CAD＝∠BCF，∴∠FDM＝∠CAD，∴DF∥AC．7．如图，△ABC中，AB＝AC．（1）尺规作图：作AB的垂直平分线DE，分别交AB、AC于点E和点D．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接BD，若BD＝BC＝2，求AC的长．（3）在（2）的条件下，cos C＝．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）求出证明∠A＝36°，再利用相似三角形的性质证明即可；（3）过点B作BH⊥CD于点H．求出CH，可得结论．【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求；（2）如图，∵点D在AB的垂直平分线上，∴DA＝DB，∴∠A＝∠DBA，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠C，∵∠BDC＝∠A+∠DBA＝2∠A，∴∠C＝2∠A，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2∠A，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°，∴∠CBD＝∠ABD＝∠A＝36°，∵∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB，∴CB2＝CD•CA，∴22＝CD•（CD+2），∴CD＝﹣1（负值已经舍去），∴AC＝CD+AD＝+1；（3）过点B作BH⊥CD于点H．∵BC＝BD，BH⊥CD，∴CH＝DH＝，∴cocC＝＝．故答案为：．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P 与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边与AB交于点E．（1）求证：Rt△AEP∽Rt△DPC；（2）当∠CPD＝30°时，求AE的长．【分析】（1）利用“一线三直角”模型，即可证明Rt△AEP∽Rt△DPC；（2）由矩形的性质结合已知条件得出CD＝AB＝4，利用含30度角的直角三角形的性质得出PC＝8，利用勾股定理求出PD的长度，进而求出AP的长度，再利用相似三角形的性质即可求出AE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝90°，∴∠PCD+∠DPC＝90°，∵∠CPE＝90°，∴∠EP A+∠DPC＝90°，∴∠PCD＝∠EP A，∴Rt△AEP∽Rt△DPC；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，∴CD＝AB＝4，在Rt△PCD中，∠CPD＝30°，CD＝4，∴PC＝8，∴，∴，∵Rt△AEP∽Rt△DPC，∴，即，∴．9．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A 作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，联结EF交边AB于点G，连接AC．（1）求证：△AEF∽△DAC；（2）如果FE平分∠AFB，联结CG，求证：四边形AGCE为菱形．【分析】（1）根据矩形的性质可得AB∥CD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D ＝90°，根据垂直定义可得∠F AE＝90°，从而可得∠BAF＝∠DAE，进而可得△ABF ∽△ADE，然后利用相似三角形的性质可得＝，再利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明，即可解答；（2）根据角平分线的定义可得∠AFE＝∠CFE，从而证明△AFE≌△CFE，进而可得AF ＝CF，AE＝EC，然后再证△AFG≌△CFG，从而可得∠F AG＝∠FCG，再结合（1）的结论可得∠DAE＝∠FCG，最后利用等角的余角相等可得∠DCG＝∠AED，从而可得AE∥CG，进而利用菱形的判定方法即可解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝90°，∵AE⊥AF，∴∠F AE＝90°，∴∠F AE﹣∠BAE＝∠DAB﹣∠BAE，∴∠BAF＝∠DAE，∵∠D＝∠ABF＝90°，∴△ABF∽△ADE，∴＝，∴＝，∵∠D＝∠F AE＝90°，∴△AEF∽△DAC；（2）如图：∵FE平分∠AFB，∴∠AFE＝∠CFE，∵∠F AE＝∠BCD＝90°，EF＝EF，∴△AFE≌△CFE（AAS），∴AF＝CF，AE＝EC，∵FG＝FG，∴△AFG≌△CFG（SAS），∴∠F AG＝∠FCG，∵∠BAF＝∠DAE，∴∠DAE＝∠FCG，∵∠DAE+∠AED＝90°，∠BCG+∠DCG＝90°，∴∠DCG＝∠AED，∴AE∥CG，∵AB∥CD，∴四边形AGCE是平行四边形，∵AE＝EC，∴四边形AGCE为菱形．10．已知：如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E为对角线BD的中点，点F 在边AD上，CF交BD于点G，CF∥AE，CF＝BD．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）如果∠DCG＝∠DEC，求证：AE2＝AD•DC．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线可得AE＝DE＝BD，CE＝BD，再结合已知CF＝BD，从而可得AE＝CF，进而可得四边形AECF是平行四边形，然后再根据AE＝CE，即可解答；（2）利用（1）的结论可得AE＝CF＝DE，AD∥CE，从而可得∠ADE＝∠DEC，进而可得∠ADE＝∠DCG，再利用平行线的性质可得∠EAD＝∠CFD，然后证明△ADE∽△FCD，利用相似三角形的性质即可解答．【解答】证明：（1）∵∠BAD＝90°，E为BD的中点，∴AE＝DE＝BD，∵CF＝BD，∴AE＝CF＝DE，∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠BCD＝90°，E为BD的中点，∴CE＝BD，∴AE＝CE，∴四边形AECF为菱形；（2）∵四边形AECF为菱形，∴AD∥CE，∴∠ADE＝∠DEC，∵∠DCG＝∠DEC，∴∠ADE＝∠DCG，∵AE∥CF，∴∠EAD＝∠CFD，∴△ADE∽△FCD，∴＝，∴CF•DE＝AD•CD，∵AE＝CF＝DE，∴AE2＝AD•DC．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E．连接CE，点F是BE上一动点，过点F作FG∥CE交BC于点G．将△BFG绕点B旋转得到△BF'G'．（1）连接CG'，EF'，求证：△BEF'∽△BCG'；（2）当点G'恰好落在直线AE上时，若BF＝3，求EG'的值．【分析】（1）可证得∠F′BE＝∠CBG′，＝，从而证明了结论；（2）先求得BG的长，进而求得BG′，然后解直角三角形ABG′求得结果．【解答】（1）证明：∵FG∥CE，∴△BFG∽△BEC，∴＝，∴＝，∵∠F′BG′＝∠EBC，∴∠FBG′+∠EBG′＝∠EBC+∠EBG′，即∠F′BE＝∠CBG，∴△BEF′∽△BCG′；（2）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝45°，∴∠AEB＝90°﹣∠ABE＝45°，∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB＝3，∴BE＝3，由（1）知：＝，∴＝，∴BG＝，∴BG′＝BG＝，在Rt△ABG′中，由勾股定理得，AG′＝＝＝，∴EG′＝AE﹣AG′＝3﹣＝，EG″＝，综上所述：EG′＝．12．如图，正方形ABCD，E、F分别是边AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N．（1）求证：AF＝DE，AF⊥DE．（2）求AM：MN：NF的值．【分析】（1）根据SAS证明△ADE≌△BAF，即可得AF＝DE，∠ADE＝∠BAF，故∠ADE+∠AED＝∠BAF+∠AED＝90°，AF⊥DE；（2）设正方形ABCD的边长为2x，则AE＝BF＝x，由勾股定理和面积法可得AM＝＝x，证明△NAD∽△NFB，可得NF＝AF＝x，即可得到答案．【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，∴AB＝DA，∠ABC＝∠BAD＝90°，∵E、F为边AB、BC的中点，∴BF＝AE，在△ADE与△BAF中，，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴AF＝DE，∠ADE＝∠BAF，∴∠ADE+∠AED＝∠BAF+∠AED＝90°，∴∠AME＝90°，∴AF⊥DE；（2）解：设正方形ABCD的边长为2x，则AE＝BF＝x，在Rt△ADE中，DE＝＝x，由（1）知DE＝AF，∴AF＝x，∵2S△ADE＝AE•AD＝DE•AM，∴AM＝＝x，∵AD∥BC，∴∠ADN＝∠NBF，∠NAD＝∠NFB，∴△NAD∽△NFB，∴＝＝2，∴AN＝2FN，∴NF＝AF＝x，∴MN＝AF﹣AM﹣NF＝，∴AM：MN：NF＝x：x：x＝6：4：5．13．问题背景如图1，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，2∠EDB+∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，求证：AE＝BE．变式迁移如图2，在四边形DEBC中，2∠EDB+∠BDC＝180°，∠DEB＝90°，DF∥EB，DF分别交CE，BC于点G，F，求证：DG＝FG．拓展应用如图3，在四边形DECB中，2∠DBE+∠EBC＝180°，∠EDB＝∠DCB，，且n ＞1，直接写出的值．【分析】问题背景：由2∠EDB+∠BDC＝180°，∠ADB+∠BDC＝180°，得出∠ADE ＝∠EDB，由∠DEB＝90°，得出∠DEA＝∠DEB＝90°，即可得出△DEA≌△DEB，进而证明AE＝BE；变式迁移：延长CD，BE交于点M，则ME＝BE，由DF∥BE，得出△CDG∽△CME，△CFG∽△CBE，进而得出，即可证明DG＝FG；拓展应用：在CB的延长线上截取BP＝BE，连接DP，由“问题背景”可知：∠DBP＝∠DBE，进而得出△DBE≌△DBP，得出∠EDB＝∠PDB，由∠EDB＝∠DCB，得出∠PDB＝∠DCB，继而证明△DPB∽△CPD，得出＝＝＝，设BP＝1，则PD ＝n，得出PC＝n2，求出BC＝n2﹣1，继而得出＝n2﹣1．【解答】问题背景：证明：如图1，∵2∠EDB+∠BDC＝180°，∠ADB+∠BDC＝180°，∴∠ADB＝2∠EDB，∴∠ADE+∠EDB＝2∠EDB，∴∠ADE＝∠EDB，∵∠DEB＝90°，∴∠DEA＝∠DEB＝90°，在△DEA和△DEB中，，∴△DEA≌△DEB（ASA），∴AE＝BE；变式迁移：证明：如图2，延长CD，BE交于点M，则ME＝BE，∵DF∥BE，∴∠CDG＝∠M，∠CGD＝∠CEM，∠CGF＝∠CEB，∠CFG＝∠CBE，∴△CDG∽△CME，△CFG∽△CBE，∴，，∴，∵ME＝BE，∴DG＝FG；拓展应用：解：如图3，在CB的延长线上截取BP＝BE，连接DP，由“问题背景”可知：∠DBP＝∠DBE，在△DBE和△DBP中，，∴△DBE≌△DBP（SAS），∴∠EDB＝∠PDB，∵∠EDB＝∠DCB，∴∠PDB＝∠DCB，∵∠P＝∠P，∴△DPB∽△CPD，∴＝＝，∵，∴＝＝＝，设BP＝1，则PD＝n，∴，∴PC＝n2，∴BC＝PC﹣BP＝n2﹣1，∴＝＝＝n2﹣1．14．问题提出（1）如图①正三角形ABC，边长为4，D、E是边AB、AC的中点，P在BC边上，则△PDE的面积为2；问题解决（2）如图②，某小区有一块五边形空地ABCDE，CD⊥DE，AE∥CD，CB＝CD＝40m，AE＝10米，∠ABC＝∠BCD＝120°，物业想在这块空地中划出一块△MNP区域来种植草皮，其他区域种植花卉．已知种植花卉每平方米200元，种植草皮每平方米100元．要求M，N，P分别位于AB，ED，CD边上，且MN∥CD，要使种植费用的造价最低，种植草皮的△MNP的面积应该满足什么条件？并求出费用的最小值．【分析】（1）过点A作AH⊥BC于H，根据三角函数求出AH，由中位线定理得出DE的长度，再根据三角形面积公式求出面积即可；（2）延长AB交DC延长线于点G，要使种植费用最低，则种植草皮的面积最大，即△MNP面积最大，作MF⊥DC于点F，设QH＝m，用m的代数式表示出△MNP的面积，利用二次函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于H，∵△ABC是等边三角形，D、E是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC＝2，∵AH＝tan∠ABC•AB＝4，∴△PDE的高为AH＝2，∴△PDE的面积为×2×2＝2，故答案为：2；（2））延长AB交DC延长线于点G，要使种植费用最低，则种植草皮的面积最大，即△MNP面积最大，作MF⊥DC于点F，∵∠ABC＝∠BCD＝120°，∴∠GBC＝∠BCG＝60°，∴△GBC为等边三角形，即GC＝BC＝40m，GD＝GC+CD＝80m，作MF⊥CD于F，设GF＝x，则MF＝GF•tan60°＝x，∵MN∥CD，MF⊥CD，ND⊥CD，∴四边形MNDF是矩形，∴MN＝FD＝GD﹣GF＝80﹣m，∴S△MNP＝（80﹣m）×m＝﹣（m﹣40）2+800，∵﹣＜0，∴当m＝40时，△MNP的面积最大为800，作AQ⊥MN于Q，则MQ＝MN﹣NQ＝MN﹣AE＝80﹣40﹣10＝30，∴AQ＝MQ•tan60°＝30，此时花卉种植面积为S梯形AEDG﹣S△BCG﹣S△MNP＝（10+80）×（30+40）﹣×40×20﹣800＝1950，∴总费用为800×100+1950×200＝470000（元），即要使种植费用的造价最低，种植草皮的△MNP的面积最大，费用的最小值为470000元．15．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，在BC延长线上作EF＝AE，连接AF交CD于点G，设CE：EB＝λ（λ＞0）．（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．（2）连接EG，若G点为CD的中点，①求证：EG⊥AF．②求λ的值．【分析】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；（2）①要证明点G为CD边的中点，只要证明△ADG≌△FGC即可，然后根据题目中的条件，可以得到△ADG≌△FGC的条件，从而可以证明结论成立；②根据题意和三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值．【解答】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAG＝∠F，又∵AG平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAG，∴∠EAG＝∠F，∴EA＝EF，∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点，∴BE＝EC＝1，∴AE＝＝，∴EF＝，∴CF＝EF﹣EC＝﹣1；（2）①证明：∵EA＝EF，点G为CD的中点，∴DG＝CG，在△ADG和△FCG中，∴△ADG≌△FCG（AAS），∴AG＝FG，∵AE＝EF，∴EG⊥AF；②设CD＝2a，则CG＝a，由①知，CF＝DA＝2a，∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，∴∠EGC＝∠F，∴△EGC∽△GFC，∴＝，∵GC＝a，FC＝2a，∴＝，∴＝，∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，∴λ＝＝＝．16．如图，已知△ABC，点D，E分别在BC，CA上，且满足AD＝AB，EB＝EC．（1）用直尺和圆规确定点D，E；（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接AD，EB，AD与EB交于点F．①求证：△BDF∽△CBA；②若∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，则DF的长为．【分析】（1）以A点为圆心AB长为半径画弧交BC于点D，作BC的垂直平分线交AC 于E即可；（2）①根据等腰三角形的性质得出两组对应角相等即可证明三角形相似；②过点A作AH⊥BD于点H，根据勾股定理求出BC的长度，刘勇三角函数求出BH，根据等腰三角形的性质得出BD，再根据相似三角形对应边成比例求出DF即可．【解答】解：（1）作图如下：（2）①如下图：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵EB＝EC，∴∠EBD＝∠C，∴△BDF∽△CBA；②过点A作AH⊥BD于点H，∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝＝5，∵cos∠ABH＝，∴＝，∴BH＝，∵AB＝AD，∴BD＝2BH＝，由①知△BDF∽△CBA，∴，即，解得DF＝，故答案为：．17．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE⊥DF，∠DEF＝45°，DF的延长线与BC的延长线相交于点G．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）若AD＝1，AF＝2，求EC的长；（3）若，求的值．【分析】（1）根据已知可得∠B＝∠C＝45°，再根据∠DEF＝45°，然后利用一线三等角模型证明，即可解答；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，根据已知可得DE＝DF，然后证明一线三等角模型全等△ADF≌△HED，从而可得AD＝EH＝1，AF＝DH＝2，进而可求出BH，BE，AB，BC的长，进行计算即可解答；（3）过点C作MC⊥AC，交DG于点M，可得AB∥CM，根据已知在Rt△DHE中，设EH＝m，则DH＝2m，利用（2）的结论可得EH＝AD＝BH＝m，DH＝AF＝2m，BE＝BH＝m，从而求出BE，BC，CF的长，进而可得AF＝CF，然后证明△ADF≌△CMF，利用全等三角形的性质可得AD＝CM＝m，最后证明△BDG∽△CMG，利用相似三角形的性质进行计算可求出CG的长，从而求出EG的长，即可解答．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝135°，∵∠DEF＝45°，∴∠BED+∠FEG＝180°﹣∠DEF＝135°，∴∠BDE＝∠FEG，∴△BDE∽△CEF；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，∵∠DEF＝45°，∴DE＝DF，∵∠ADF+∠EDB＝90°，∠ADF+∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠EDB，∵∠A＝∠EHD＝90°，∴△ADF≌△HED（AAS），∴AD＝EH＝1，AF＝DH＝2，∵∠BHE＝90°，∠B＝45°，∴BH＝HE＝1，∴BE＝BH＝，AB＝AD+DH+BH＝4，∵BC＝AB＝4，∴EC＝BC﹣BE＝3；（3）过点C作MC⊥AC，交DG于点M，∴∠A＝∠MCA＝90°，∴CM∥AB，在Rt△DHE中，，∴＝，设EH＝m，则DH＝2m，由（2）得：EH＝AD＝BH＝m，DH＝AF＝2m，BE＝BH＝m，∴AC＝AB＝AD+DH+BH＝4m，∴BC＝AB＝4m，CF＝AC﹣AF＝4m﹣2m＝2m，∴AF＝CF，∵∠A＝∠MCF＝90°，∠AFD＝∠MFC，∴△ADF≌△CMF（ASA），∴AD＝CM＝m，∵CM∥AB，∴∠B＝∠MCG，∠BDG＝∠CMG，∴△BDG∽△CMG，∴＝，∴＝，∴CG＝2m，∴EG＝BC+CG﹣BE＝5m，∴＝＝5，∴的值为5．18．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点（不与A、D重合），点F在边DC 延长线上，CF＝AE，连接BE、BF、EF，EF交BC于点M，交对角线BD于N．（1）求证：∠BEF＝45°；（2）若BE平分∠ABD，求证：BE2＝AB•BM；（3）若DE：EA＝3：2，则EN：NM：MF＝21：29：20（直接写答案）．【分析】（1）先证明△ABD≌△BCF，进而便可得∠BEF的度数；（2）证明BD＝AB，再证明△EBD∽△MBF，得BE•BF＝BD•MB，进而便可得出结论；（3）设正方形ABCD的边长为a，用a表示AE、CF、DE，证明△FMC∽△MED，用a 表示CM，进而用a表示BM，再证明△EDN∽△MBN，便可求得EN：MN，进而便可求得结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°＝∠BCF，∵AE＝CF，∴△ABD≌△BCF（SAS），∴BE＝BF，∠ABE＝∠CBF，∴∠ABF＝∠EBC+CBF＝∠EBC+∠ABE＝∠ABC＝90°，∴∠BEF＝∠BFE＝45°；（2）证明：由（1）知，∠BFE＝∠BEF＝45°，BE＝BF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EDB＝∠ABD＝45°，∠ABC＝90°，∴BD＝AB，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠EBD，∴∠CBF＝90°﹣∠EBC＝∠ABE＝∠EBD，∵∠EDB＝∠NFB＝45°，∴△EBD∽△MBF，∴，∴BE•BF＝BD•MB，∵BE＝BF，BD＝AB，∴；（3）解：设正方形ABCD的边长为a，∵DE：EA＝3：2，∴AE＝AD＝，DE＝a，∴CF＝AE＝＝，∵CD＝AD＝a，∴CF：DF＝2：7，∵CM∥DE，∴△FMC∽△FED，∴＝，∴CM＝DE＝，∴BM＝BC﹣CM＝a﹣＝a，∵DE∥BM，∴△EDN∽△MBN，∴，设EN＝21k，则MN＝29k，∵，∴MF＝，∴MF＝20k，∴EN：NM：MF＝21k：29k：20k＝21：29：20．故答案为：21：29：20．19．如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，过点A作AE∥DC交BC边于点E，过点E作EF∥AB交CD边于点F，连接AF，过点C作CH∥AF交AE于点H，连接BH．（1）求证：△ABH≌△EAF；（2）如图2，若BH的延长线经过AF的中点M，求的值．【分析】（1）由∠ABC＝∠BCD和AE∥DC可得AB＝AE，由EF∥AB可得∠BAH＝∠AEF，由AE∥DC，CH∥AF可得四边形AHCF为平行四边形，从而可得AH＝CF，再由EF∥AB可得∠ABC＝∠CEF，从而可得EF＝CF，即可得出EF＝AH，即可证明；（2）延长BM，EF交于点G，由EF∥AB可得∠ABE＝∠FEC，由AE∥CF可得∠AEB ＝∠FCE，从而可得△ABE∽△FEC，设EF＝CF＝a，AB＝AE＝ax，由点M为AF中点可得AM＝FM，由EF∥AB可得∠ABM＝∠FGM，可证△ABM≌△FGM（AAS），则FG ＝AB＝ax，则EG＝EF+FG＝a+ax，由（1）可知四边形AHCF为平行四边形，可得AH ＝CF＝a，则EH＝AE﹣AH＝ax﹣a，由AB∥EG可得△ABH∽△EGH，从而可得＝，即＝，解得x＝1±，由x＞0可得x＝1+，即＝x＝1+．【解答】（1）证明：∵AE∥DC，∵∠AEB＝∠BCD，∵∠ABC＝∠BCD，∴∠AEB＝∠ABC，∴AB＝AE，∵EF∥AB，∴∠BAH＝∠AEF，∵AE∥DC，CH∥AF，∴四边形AHCF为平行四边形，∴AH＝CF，∵EF∥AB，∴∠ABC＝∠CEF，∵AE∥CF，∴∠ECF＝∠AEB＝∠ABC，∴∠ECF＝∠CEF，∴EF＝CF，∴EF＝AH，∴△ABH≌△EAF（SAS）；（2）如图，延长BM，EF交于点G，∵EF∥AB，∴∠ABE＝∠FEC，∵AE∥CF，∴∠AEB＝∠FCE，∴△ABE∽△FEC，设EF＝CF＝a，AB＝AE＝ax，∵点M为AF中点∴AM＝FM，∵EF∥AB∴∠ABM＝∠FGM，∴△ABM≌△FGM（AAS），FG＝AB＝ax，∴EG＝EF+FG＝a+ax，由（1）可知四边形AHCF为平行四边形，∴AH＝CF＝a，∴EH＝AE﹣AH＝ax﹣a，∵AB∥EG∴△ABH∽△EGH，∴＝，即＝，解得x＝1±，∵x＞0，∴x＝1+，即＝x＝1+．20．如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E在边CD上，tan∠BAE＝2，点F是线改AE上一点，连接CF．（1）连接BF，请用尺规作图法作FG⊥AB，垂足为G点（保留作图痕迹，不要求写出作法）．若tan∠ABF＝，求线段AF的长．（2）如图2，若CF＝BC，AE的延长线与BC的延长线交于点H，求△CEF的面积．【分析】（1）根据垂线的画法画图即可；设AG＝x，则BG＝5﹣x，在Rt△AFG中，tan ∠BAE＝＝2，可得FG＝2x，在Rt△BFG中，tan∠ABF＝，求得x＝2，由勾股定理可得AF＝，即可得出答案．（2）过点C作CM⊥AH于点M，在Rt△ABH中，tan∠BAE＝＝2，可得BH＝10，CH＝BH﹣BC＝2，根据AB∥CD，可得∠CEH＝∠BAE，则tan∠CEH＝＝2，可得CE＝1，在Rt△CEM中，tan∠CEM＝＝2，设EM＝a，则CM＝2a，由勾股定理可得CE2＝EM2+CM2，即可求得a＝，则CM＝，在Rt△CFM中，CF＝BC＝2，由勾股定理可得FM＝＝，进而可得EF＝FM﹣EM＝，则根据EF•CM可得出答案．【解答】解：（1）如图，FG即为所求．设AG＝x，则BG＝5﹣x，在Rt△AFG中，tan∠BAE＝＝2，∴FG＝2x，在Rt△BFG中，tan∠ABF＝，解得x＝2，∴AG＝2，FG＝4，AF＝＝2．（2）过点C作CM⊥AH于点M，在Rt△ABH中，tan∠BAE＝＝2，∴BH＝10，则CH＝BH﹣BC＝2，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠CEH＝∠BAE，则tan∠CEH＝＝2，∴CE＝1，在Rt△CEM中，tan∠CEM＝＝2，设EM＝a，则CM＝2a，由勾股定理可得CE2＝EM2+CM2，即a2+（2a）2＝12，解得a＝，∴CM＝，在Rt△CFM中，CF＝BC＝2，由勾股定理可得FM＝＝，∴EF＝FM﹣EM＝．∴EF•CM＝．。

相似三角形的判定与性质教学内容一、知识要点1、相似三角形的判定及性质(1) 相似三角形的判定方法：预备定理、AA 、SSS 、ASA 、HL 、传递性 (2)相似三角形的性质相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方。

2、三角形相似的基本模型：(1)平行型：如图，“A”型即公共角对的边平行，“X”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似；常见条件：①//DE BC ，①::AD AB AE AC =，①AD AC AE AB ⋅=⋅，①ADE B ∠=∠(2)相交线型：如图，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角(或对顶角)的两边成比例，就可以判定两个三角形相似.常见条件：①AD AB AE AC ⋅=⋅①::AD AC AE AB =① ADE C ∠=∠ (3)旋转型：常见条件：已知①BAC①①DAE ， 求证：①BAD①①CAE.EABCDDCB AFEBCD(4)嵌入型：已知①ABC 是等腰直角三角形，①BAC=90°，①DAE=45°.找出相似的三角形. 已知①ABC 是等边三角形，①DAE=120°.找出相似的三角形.常见条件：① 已知①B=①C=①EDF ，找出相似的三角形.② 已知①B=①C=①EDF ，D 为BC 的中点，找出相似的三角形. (5)一线三等角：常见条件：B C EDF ∠=∠=∠ (6)子母三角形：(相交线型推广)常见条件：①，2AC AD AB =⋅①2BC BD BA =⋅①2CD AD BD =⋅(7)双高型推广：左图两对相似三角形：ABD①①①ACE ①OCD①①OBE 中图六对相似三角形：ABD①①①ACE①①OCD①①OBE右图八对相似三角形：ABD①①①ACE①①OCD①①OBE ①ADE①①ABC ①ODE①①OBC (后两个相似写出证明过程)常见条件：①ABD ACE ∠=∠，①，①. 3、常见的三角形面积比(1)如图一：①ABC 中，若BD ：CD=m ：n ， 则S ①ABD ：S ①ACD=m ：n(2)如图二：①ABC 和①BCD 同底，则两个三角形面积之比 等于两个三角形BC 边上的高之比.(3)蝴蝶定理：在梯形ABCD 中，若AO ：OC=m ：n ，则： 1) S ①AOD ：S ①COD=S ①AOB ：S ①BOC=m ：n 2) S ①AOD ：S ①AOB=S ①COD ：S ①BOC=m ：n 3)S ①COD=S ①AOB 4)S ①AOD ：S ①BOC=22:m n二、例题讲解例1.如图，梯形ABCD 中，AD ①BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，2AOD S p ∆=，2BOC S q ∆=，试求梯形ABCD 的面积。

考向5.6 相似三角形的判定和性质【知识要点】1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。

2、相似比：相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或叫做相似系数）。

3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。

4、三角形相似的判定定理：（1）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

（2）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（3）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。

（4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。

第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。

第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形．相似。

5、相似三角形的性质：（1）相似三角形性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

相似三角形性质和判定专项练习30题（有答案）1．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠CDG=∠BAD．（1）求证：=；（2）当GC⊥BC时，求证：∠BAC=90°．2．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足．（1）求证：AC2=AF•AD；（2）联结EF，求证：AE•DB=AD•EF．3．如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC．（1）求证：△APC∽△ACB；（2）若AP=2，PC=6，求AC的长．4．如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．5．已知：如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC．求证：AB•BC=AC•CD．6．已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S，说明AF•BE=2S的理由．7．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF；①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；②若AE=2，试求AP•AF的值；（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．8．如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：=．9．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF．10．如图，△ABC、△DEF都是等边三角形，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2，问E在处时CH的长度最大？11．如图，AB和CD交于点O，当∠A=∠C时，求证：OA•OB=OC•OD．12．如图，已知等边三角形△AEC，以AC为对角线做正形ABCD（点B在△AEC，点D在△AEC外）．连接EB，过E作EF⊥AB，交AB的延长线为F．（1）猜测直线BE和直线AC的位置关系，并证明你的猜想．（2）证明：△BEF∽△ABC，并求出相似比．13．已知：如图，△ABC中，点D、E是边AB上的点，CD平分∠ECB，且BC2=BD•BA．（1）求证：△CED∽△ACD；（2）求证：．14．如图，△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，点G是BE边上一点，且∠BAD=∠BGD=∠C，联结AG．（1）求证：BD•BC=BG•BE；（2）求证：∠BGA=∠BAC．15．已知：如图，在△ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD⊥BC，BE⊥AC，BE，AD相交于点G，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，DF=6．（1）求AE的长；（2）求的值．16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，M是CD中点，且∠AMD=∠BMD，AP∥CD交BC延长线于P点，延长BM交PA于N点，且PN=AN．（1）求证：MN=MA；（2）求证：∠CDA=2∠ACD．17．已知：如图，在△ABC中，已知点D在BC上，联结AD，使得∠CAD=∠B，DC=3且S△ACD：S△ADB﹦1﹕2．（1）求AC的值；（2）若将△ADC沿着直线AD翻折，使点C落点E处，AE交边BC于点F，且AB∥DE，求的值．18．在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．19．如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作∠ADE=60°，DE与△ABC的外角平分线CE交于点E．（1）求证：∠BAD=∠FDE；（2）设DE与AC相交于点G，连接AE，若AB=6，AE=5时，求线段AG的长．20．如图所示，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC 边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，使△PCQ的面积等于12.6cm2？21．已知：如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED 交AC于点F，连接DC、AE．（1）求证：△ADE≌△DFC；（2）过点E作EH∥DC交DB于点G，交BC于点H，连接AH．求∠AHE的度数；（3）若BG=，CH=2，求BC的长．22．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，BE∥BC交AC于点E．（1）求证：AE•BC=AC•CE；（2）若S△ADE：S△CDE=4：3.5，BC=15，求CE的长．23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．24．在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．25．如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F．（1）求证：BF=2FP；（2）设△ABC的面积为S，求△NEF的面积．26．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E、F分别是AC，BC边上一点，且CE=AC，BF=BC，（1）求证：；（2）求∠EDF的度数．27．如图，△ABC是等边三角形，且AB∥CE．（1）求证：△ABD∽△CED；（2）若AB=6，AD=2CD，①求E到BC的距离EH的长．②求BE的长．28．如图，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F．（1）若AC=3，AB=4，求；（2）证明：△ACE∽△FBE；（3）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．29．如图，△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，求证：（1）△ABD∽△ECA；（2）BC2=DB•CE．30．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，且AC=CD=，又E，D为CB的三等分点．（1）证明：△ADE∽△BDA；（2）证明：∠ADC=∠AEC+∠B；（3）若点P为线段AB上一动点，连接PE，则使得线段PE的长度为整数的点P的个数有几个？请说明理由．相似三角形性质和判定专项练习30题参考答案：1．解：（1）∵∠ADC=∠B+∠BAD，且∠CDG=∠BAD，∴∠ADG=∠B；∵∠BAC=∠DAG，∴△ABC∽△ADG，∴=．（2）∵∠BAC=∠DAG，∴∠BAD=∠CAG；又∵∠CDG=∠BAD，∴∠CDG=∠CAG，∴A、D、C、G四点共圆，∴∠DAG+∠DCG=°；∵GC⊥BC，∴∠DCG=90°，∴∠DAG=90°，∠BAC=∠DAG=90°．2．解：（1）如图，∵∠ACB=90°，CF⊥AD，∴∠ACD=∠AFC，而∠CAD=∠FAC，∴△ACD∽△AFC，∴，∴AC2=AF•AD．（2）如图，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC=∠AFC=90°，∴A、E、F、C四点共圆，∴∠AFE=∠ACE；而∠ACE+∠CAE=∠CAE+∠B，∴∠ACE=∠B，∠AFE=∠B；∵∠FAE=∠BAD，∴△AEF∽△ADB，∴AE：AD=BD：EF，∴AE•DB=AD•EF．3．解：（1）∵PB=PC，∴∠B=∠PCB；∵PC平分∠ACB，∴∠ACP=∠PCB，∠B=∠ACP，∵∠A=∠A，∴△APC∽△ACB．（2）∵△APC∽△ACB，∴，∵AP=2，PC=6，AB=8，∴AC=4．∵AP+AC=PC=6，这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾，∴该题无解．4．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠C+∠ADE=°，∵∠BFE=∠C，∴∠AFB=∠EDA，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠AED，∴△ABF∽△EAD；（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，∴∠ABE=90°，∵AB=4，∠BAE=30°，∴AE=2BE，由勾股定理可求得AE=5．证明：∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠C，∴BD=CD，在△ABD和△ACB中，，∴△ABD∽△ACB，∴=，即AB•BC=AC•BD，∴AB•BC=AC•CD．6．证明：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°，∵∠ECF=45°，∴∠ECF=∠B=45°，∴∠ECF+∠1=∠B+∠1，∵∠BCE=∠ECF+∠1，∠2=∠B+∠1；∴∠BCE=∠2，∵∠A=∠B，∴△ACF∽△BEC．∴，∴AC•BC=BE•AF，∴S△ABC=AC•BC=BE•AF，∴AF•BE=2S．7．（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，又∵AE=CF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．∴∠APB=°﹣∠APE=120°．②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴，即，所以AP•AF=12（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况．①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP 为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，∴∠AOB=120°，又∵AB=6，∴OA=，点P的路径是．②当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径为：．所以，点P经过的路径长为或3．8．证明：∵AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，∴∠D=∠E=90°，∵∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴=．9．证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ABC+∠BDE=°，∠ACB+∠CED=°．∴∠BDE=∠CED，∵∠EDF=∠ABE，∴△DEF∽△BDE；（2）由△DEF∽△BDE，得．∴DE2=DB•EF，由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE．∵∠GDE=∠EDF，∴△GDE∽△EDF．∴，∴DE2=DG•DF，∴DG•DF=DB•EF．10．解：设EC=x，CH=y，则BE=2﹣x，∵△ABC、△DEF都是等边三角形，∴∠B=∠DEF=60°，∵∠B+∠BDE=∠DEF+∠HEC，∴∠BDE=∠HEC，∴△BED∽△CHE，∴，∵AB=BC=2，点D为AB的中点，∴BD=1，∴，即：y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1．∴当x=1时，y最大．此时，E在BC中点11．解：∵∠A=∠C，∠AOD=∠BOC，∴△OAD∽△OCB，∴=，∴OA•OB=OC•OD．12．解：（1）猜测BE和直线AC垂直．证明：∵△AEC是等边三角形，∴AE=CE，∵四边形ABCD是正形，∴AB=CB，∵BE=BE，∴△AEB≌△CEB（SSS）．∴∠AEB=∠CEB，∵AE=CE，∴BE⊥AC；（2）∵△AEC是等边三角形，∴∠EAC=∠AEC=60°，∵BE⊥AC，∴∠BEA=∠AEC=30°，∵四边形ABCD是正形，∴∠BAC=45°，∴∠BAE=15°，∴∠EBF=45°，∵EF⊥BF，∴∠F=90°，∴∠EBF=∠BAC，∠F=∠ABC，∴△BEF∽△ACB，延长EB交AC于G，设AC为2a，则BG=a，EB=a﹣a，∴相似比是：===13．证明：（1）∵BC2=BD•BA，∴BD：BC=BC：BA，∵∠B是公共角，∴△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A，∵CD平分∠ECB，∴∠ECD=∠BCD，∴∠ECD=∠A，∵∠EDC=∠CDA，∴△CED∽△ACD；（2）∵△BCD∽△BAC，△CED∽△ACD，∴=，=，∴．14．证明：（1）∵∠DBG=∠EBC，∠BGD=∠C，∴△BDG∽△BEC，∴=，则BD•BC=BG•BE；（2）∵∠DBA=∠ABC，∠BAD=∠C，∴△DBA∽△ABC，∴=，即AB2=BD•BC，∵BD•BC=BG•BE，∴AB2=BG•BE，即=，∵∠GBA=∠ABE，∴△GBA∽△ABE，∴∠BGA=∠BAC．15．解：（1）∵在△ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD⊥BC，BE⊥AC，∴AC=AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，∵BF∥AC，∴∠CBF=∠C=60°，∵AD⊥BC，∴∠FDB=90°，∴∠F=30°，∵DF=6，∴BD=2，∵AE=EC=BD=DC，∴AE=2；（2）∵∠BDF=90°，∠F=30°，BD=2，∴BF=2DB=4，∵AC∥BF，∴△AEG∽△FBG，∴=（）2=．16．证明：（1）∵AP∥CD，∴∠AMD=∠MAN，∠BMD=∠MNA，∵∠AMD=∠BMD，∴∠MAN=∠MNA，∴MN=MA．（2）如图，连接NC，∵AP∥CD，且PN=AN．∴==，∴MC=MD，∴CN为直角△ACP斜边AP的中线，∴CN=NA，∠NCA=∠NAC，∵AP∥CD，∴∠NAC=∠ACD，∴∠NCM=2∠ACD，∵∠CMN=∠DMB，∠DMA=∠BMD，∴∠CMD=∠DMA，在△CMN和△DMA中，，∴△CMN≌△DMA（SAS），∠ADM=∠NCM=2∠ACD．即：∠CDA=2∠ACD．17．解：（1）∵S△ACD：S△ADB﹦1：2，∴BD=2CD，∵DC=3，∴BD=2×3=6，∴BC=BD+DC=6+3=9，∵∠CAD=∠B，∠C=∠C，∴△ABC∽△DAC，∴=，即=，解得AC=3；（2）由翻折的性质得，∠E=∠C，DE=CD=3，∵AB∥DE，∴∠B=∠EDF，∵∠CAD=∠B，∴∠EDF=∠CAD，∴△EFD∽△ADC，∴=（）2=（）2=18．（1）证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴BE=CE，∴∠B=∠DCF，∵AD=AC，∴∠FDC=∠ACB，∴△ABC∽△FCD；（2）解：过A作AG⊥CD，垂足为G．∵AD=AC，∴DG=CG，∴BD：BG=2：3，∵ED⊥BC，∴ED∥AG，∴△BDE∽△BGA，∴ED：AG=BD：BG=2：3，∵DE=3，∴AG=，∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴=（）2=．∵S△ABC=×BC×AG=×8×=18，∴S△FCD=S△ABC=．19．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，由三角形的外角性质得，∠ADE+∠FDE=∠BAD+∠B，∵∠ADE=60°，∴∠BAD=∠FDE；（2）解：如图，过点D作DH∥AC交AB于H，∵△ABC为等边三角形，∴△BDH是等边三角形，∴∠BHD=60°，BD=BH，∴∠AHD=°﹣60°=120°，∵CE是△ABC的外角平分线，∴∠ACE=（°﹣60°）=60°，∴∠DCE=60°+60°=120°，∴∠AHD=∠DCE=120°，又∵AH=AB﹣BH，CD=BC﹣BD，∴AH=CD，在△AHD和△DCE中，，∴△AHD≌△DCE（ASA），∴AD=DE，∵∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE=∠DEA=60°，AE=AD=5，∵∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=60°﹣∠CAD，∠EAG=∠DAE﹣∠CAD=60°﹣∠CAD，∴∠BAD=∠EAG，∴△ABD∽△AEG，∴=，即=，解得AG=．20．解：（1）设x秒时，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ面积为8cm2，由题意得（6﹣x）•2x=8，解之，得x1=2，x2=4，经过2秒时，点P到距离B点4cm处，点Q到距离B点4cm处；或经4秒，点P到距离B点2cm处，点Q到距离B点8cm处，△PBQ的面积为8cm2，综上所述，经过2秒或4秒，△PBQ的面积为8cm2；（2）当P在AB上时，经x秒，△PCQ的面积为：×PB×CQ=×（6﹣x）（8﹣2x）=12.6，解得：x1=（不合题意舍去），x2=，经x秒，点P移动到BC上，且有CP=（14﹣x）cm，点Q移动到CA上，且使CQ=（2x﹣8）cm，过Q作QD⊥CB，垂足为D，由△CQD∽△CAB得，即QD=，由题意得（14﹣x）•=12.6，解之得x1=7，x2=11．经7秒，点P在BC上距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使△PCQ的面积等于12.6cm2．经11秒，点P在BC上距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14cm处，14＞10，点Q已超出CA的围，此解不存在．综上所述，经过7秒和秒时△PCQ的面积等于12.6cm221．（1）证明：如图，∵线段DB顺时针旋转60°得线段DE，∴∠EDB=60°，DE=DB．∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°．∴∠EDB=∠B．∴EF∥BC．∴DB=FC，∠ADF=∠AFD=60°．∴DE=DB=FC，∠ADE=∠DFC=120°，△ADF是等边三角形．∴AD=DF．∴△ADE≌△DFC．（2）解：由△ADE≌△DFC，得AE=DC，∠1=∠2．∵ED∥BC，EH∥DC，∴四边形EHCD是平行四边形．∴EH=DC，∠3=∠4．∴AE=EH．∴∠AEH=∠1+∠3=∠2+∠4=∠ACB=60°．∴△AEH是等边三角形．∴∠AHE=60°．（3）解：设BH=x，则AC=BC=BH+HC=x+2，由（2）四边形EHCD是平行四边形，∴ED=HC．∴DE=DB=HC=FC=2．∵EH∥DC，∴△BGH∽△BDC．∴．即．解得x=1．∴BC=3．22．（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AEC=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴=，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠DCE，∴∠DCE=∠EDC，∴DE=CE，∴=，即AE•BC=AC•CE；（2）∵S△ADE：S△CDE=4：3.5，∴AE：CE=4：3.5，∴=，∵由（1）知=，∴=，解得DE=6，∵DE=CE，∴CE=8．23．（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．24．（1）证明：如图1，在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，∵点E为AB的中点，∴AB=2BE，∴AC=BE．在△ACD与△BEF中，，∴△ACD≌△BEF，∴CD=EF，即EF=CD；（2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四边形EQDH是矩形，∴∠QEH=90°，∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，又∵∠EQF=∠EHG=90°，∴△EFQ∽△EGH，∴EF：EG=EQ：EH．∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，∴∠B=30°．在△BEQ中，∵∠BQE=90°，∴sinB==，∴EQ=BE．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH==，∴EH=AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：=：3．25．（1）证明：如图1，连接PN，∵N、P分别为△ABC边BC、CA的中点，∴PN∥AB，且．∴△ABF∽△NPF，∴．∴BF=2FP．（2）解：如图2，取AF的中点G，连接MG，∴MG∥EF，AG=GF=FN．∴△NEF∽△NMG，∴S△NEF=S△MNG=×S△AMN=××S△ABC=S．26．（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ADC∽△CDB，∴=；（2）解：∵CE=AC，BF=BC，∴===，又∵∠A=∠BCD，∴∠ACD=∠B，∴△CED∽△BFD，∴∠CDE=∠BDF，∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠BDF+∠CDF=∠CDB=90°．27．解；（1）∵AB∥CE，∴∠A=∠DCE，又∵∠ADB=∠EDC，∴△ABD∽△CED；（2）①过点E作EH⊥BF于点H，∵△ABC是等边三角形，△ABD∽△CED，AB=6，AD=2CD，∴==，∠A=∠ACB=60°，∴CE=3，∵AB∥CE，∴∠A=∠DCE=60°，∴∠ECH=°﹣∠ACB﹣∠DCE=°﹣60°﹣60°=60°，∴EH=CE•sin60°=3×=；②在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，CE=3，∴CH=CE•cos60°=3×=，∴BH=BC+CH=6+=，∴BE===3．28．（1）解：∵AC=AC′，AB=AB′，∴由旋转可知：∠CAB=∠C′AB′，∴∠CAB+∠EAC′=∠C′AB′+∠EAC′，即∠CAC′=∠BAB′，又∵∠ACB=∠AC′B′=90°，∴△ACC′∽△ABB′，∵AC=3，AB=4，∴==；（2）证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，（1分）∴∠CAC′=∠BAB′，∴∠ABB′=∠AB′B=∠ACC′=∠AC′C，∴∠ACC′=∠ABB′，（3分）又∵∠AEC=∠FEB，∴△ACE∽△FBE．（4分）（3）解：当β=2α时，△ACE≌△FBE．理由：在△ACC′中，∵AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C====90°﹣α，（6分）在Rt△ABC中，∠ACC′+∠BCE=90°，即90°﹣α+∠BCE=90°，∴∠BCE=90°﹣90°+α=α，∵∠ABC=α，∴∠ABC=∠BCE，（8分）∴CE=BE，由（2）知：△ACE∽△FBE，∴△ACE≌△FBE．（9分）29．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，∴∠DAB+∠CAE=60°，∵∠ABC是△ABD的外角，∴∠DAB+∠D=∠ABC=60°，∴∠CAE=∠D，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACE=120°，∴△ABD∽△ECA；（2）∵△ABD∽△ECA，∴=，即AB•AC=BD•CE，∵AB=AC=BC，∴BC2=BD•CE30．（1）证明：∵AC=CD=DE=EB=，又∠C=90°，∴AD=2，∴=，==，∴=，又∵∠ADE=∠BDA，∴△ADE∽△BDA；（2）证明：∵△ADE∽△BDA，∴∠DAE=∠B，又∵∠ADC=∠AEC+∠DAE，∴∠ADC=∠AEC+∠B；（3）解：∵点P为线段AB上一动点，根据勾股定理得：AE==，BE=，∴PE的最大值为．作EF⊥AB，则EF=，则PE的最小值为∴≤EP≤，∵EP为整数，即EP=1，2，3，结合图形可知PE=1时有两个点，所以PE长为整数的点P个数为4个．。

相似三角形的判定和性质知识讲解1. 比例线段：对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a cb d =（或a:b=c:d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项． 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项． 比例的性质（1）基本性质①a ：b=c ：d ad=bc②a ：b=b ：c（2）更比性质（交换比例的内项或外项） （交换内项） （交换外项） （同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）：（4）合比性质：（5）等比性质：ba n f db m ec a n fd b n m fe d c b a =++++++++⇒≠++++==== )0( 黄金分割把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=AB 0．618AB cb b a =⇔ac b =⇔2db c a =⇒=d c b a ac bd =ab c d =cd a b d c b a =⇒=dd c b b a d c b a ±=±⇒=215-≈如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．2. 平行线分线段成比例定理： ① 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3．AB BC =DE EF ;AB AC =DE DF ;BC AC =EF DF. ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．3. 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．4. 相似三角形的概念：对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．5. 相似三角形的性质（1）对应角相等，对应边的比相等；（2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；（3）相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方．6. 相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似．7. 相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法．8.相似三角形的判定方法（1）三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1（AA）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似．④判定定理2（SAS）：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．⑤判定定理3（SSS）：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似（2）直角三角形相似的判定方法①以上各种判定方法均适用②定理（HL）：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似①垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．9. 相似三角形中的基本图形：（1） 平行型：（2）交错型：（3）旋转型：（4）子母型：（5）其他：10. 双垂直条件下的计算与证明问题：“双垂直”指：“Rt △ABC 中，∠BCA=90°，CD ⊥AB 于D”（如图），结论有：（1）△ADC ∽△CDB ∽△ACB（2）由△ADC ∽△CDB 得CD2=AD·BD（3）由△ADC ∽△ACB 得AC2=AD·AB（4）由△CDB ∽△ACB 得BC2=BD·AB（5）由面积得AC·BC=AB·CD（6）勾股定理AB C D EA B C D A B C D E DAB C ED A BC第一部分：比例线段例题精讲【例1】 下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的是（ ）A ．1、2、3、4B ．1、2、2、4C ．3、5、9、13D ．1、2、2、3【例2】 若b m m a 2,3==，则_____:=b a ．【例3】 已知c b a ,,是△ABC 的三条边，对应高分别为,,a b c h h h ，且6:5:4::=c b a ，那么,,a b c h h h 等于（ ）A ．4：5：6B ．6：5：4C ．15：12：10D ．10：12：15【例4】 已知754z y x ==，则下列等式成立的是（ ） A ．91=+-y x y x B ．167=++z z y x C ．38=-+++z y x z y x D ．x z y 3=+【例5】 如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）A ．AD AE AB AC = B ．CE EA CF FB =C ．DE AD BC BD = D ．EF CF AB CB =【例6】 已知：如图，F 是四边形ABCD 对角线AC 上一点，EF ∥BC ，FG ∥AD ．求证：AB AE ＋CDCG ＝1．课堂练习1. 若a ， x ， b ， y 是比例线段，则比例式为_________；若a=1，x= -2， b=-2．5， 则y=_______．2. 若ab=cd ，则有a ∶d=_______；若m ∶x=n ∶y ， 则x ∶y=_______．3. 已知△ABC 中三边长分别为a ，b ，c ，对应边上的高分别为4,5,3ab c h h h ===．则a ：b ：c=____________． 4. 若0234x y z ==≠，则23______x y z+=. 5. 如图，△ABC 中，，且DE=12，BC=15，GH=4，求AH ．6. 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，():():()(2):7:1,24a c a b c b a b c -+-=-++= .① 求a 、b 、c 的值．②判断△ABC 的形状．第二部分：相似三角形判定类型一(平行法、‘AA’)例题精讲【例7】 如图，已知△ADE ∽△ABC ，且∠ADE=∠B ，则对应角为______________________________________________，AG DE AH BC=对应边为________________________________________________．【例8】已知：如图，D、E是△ABC的边AC、AB上的点，且∠ADE=∠B．（1）求证：△ADE∽△ABC（2）求证：AD·AC=AE·AB【例9】已知：如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且CE=CD，∠DAC=∠B．求证：△AEC∽△BDA【例10】已知:如图，ΔABC中，AD=DB，∠1=∠2．求证:ΔABC∽ΔEAD．【例11】如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，12DE CD．（1）求证：△ABF∽△EDF （2）求证：△EFD∽△EBC；（3）若DF=4，求BC的长课堂练习7. 图，若∠ACD=∠B，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________，∠ADC=________8. 如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，试说明:2.AB AD AC9. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB＝4，AD＝33，AE＝3，求AF的长．10. 已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD，求证：△DBE∽△ABC．11. 如图，平行四边形ABCD中，E是DC的中点，连接BE交对角线AC于F．（1）求证：△ABF∽△CEF；（2）若AC=9，求AF的长．第三部分：相似三角形判定类型二(‘SAS’、‘SSS’)例题精讲【例12】如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④【例13】已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．【例14】已知:如图，ΔABC中，CE⊥AB，BF⊥AC．求证:ΔAEF∽ΔACB．课堂练习12. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请在图中画出一个与△ACB相似且相的三角形．13. 如图，O是△ABC内任一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，求证：△DEF∽△ABC．14. 如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．求证：DFDEAC AB．第四部分：相似三角形判定类型三（直角三角形） 例题精讲【例15】 如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 点，则图中相似三角形有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 【例16】 已知：如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高．求证：△ABC ∽△CBD ∽△ACD ．课堂练习15. 如图，锐角△ABC的高BD，CE交于O点，则图中与△BOE相似的三角形的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．416. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，根据下列各条件分别求出未知所有线段的长：（1）AC=3，BC=4；（2）AC=52，AD=2；（3）AD=5，DB=1445；（4）BD=4，AB=29．第五部分：相似三角形判定类型四（特殊三角形）例题精讲【例17】下列说法正确的个数是( )①有一个角相等的两个等腰三角形相似②有一个底角相等的两个等腰三角形相似③所有的等腰三角形相似④顶角相等的两个等腰三角形相似A．1 B．2 C．3 D．4【例18】已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD．ADB C【例19】如图，△ABC和△DEF均为正三角形，D，E分别在AB，BC上，请找出一个与△DBE相似的三角形并证明．课堂练习17. 下列说法正确的个数是( )①所有的等腰三角形都相似②所有等边三角形都相似③所有直角三角形都相似④所有等腰直角三角形都相似A．1 B．2 C．3 D．418. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE=DF，∠EDF=∠A．（1）找出图中相似的三角形，并证明；（2）求证：BD AB CE BC．19. 如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC．第六部分：解决实际问题例题精讲【例20】2012黔南州）如图，夏季的一天，身高为1．6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3．2m，CA=0．8m，于是得出树的高度为（）A．8m B．6．4m C．4．8m D．10m【例21】 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知丁轩同学的身高是1．5m ，两个路灯的高度都是9m ，则两路灯之间的距离是（ ）A ．24mB ．25mC ．28mD ．30m【例22】 如图，A ﹑B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A ﹑B 间的距离，但绳子不够，于是他想了一个办法：在地上取一点C ，使它可以直接到达A ﹑B 两点，在AC 的延长线上取一点D ，使CD=21CA ，在BC 的延长线上取一点E ，使CE=21CB ，测得DE 的长为5米，则AB 两点间的距离为（ ）A ．6米B ．8米C ．10米D ．12米【例23】 如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m 的竹竿的影长是0．8m ，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1．2m ，又测得地面的影长为2．6m ，请你帮她算一下，树高是（ ）A ．3.25mB ．4.25mC ．4.45mD ．4.75m【例24】 如图，有一所正方形的学校，北门（点A ）和西门（点B ）各开在北、西面围墙的正中间．在北门的正北方30米处（点C ）有一颗大榕树．如果一个学生从西门出来，朝正西方走750米（点D ），恰好见到学校北面的大榕树，那么这所学校占地平方米．课堂练习20. 如图所示，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上．已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片BC 的距离为0．1米，胶片的高BC为0．038米，若需要投影后的图象DE高1．9米，则投影机光源离屏幕大约为（）A．6米B．5米C．4米D．3米21. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E 处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1．5米，那么路灯A的高度AB等于（）A．4．5米B．6米C．7．2米D．8米22. 如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（）A ．61cmB ．31cmC ．21cmD ．1cm23. 一个油桶高0．8m ，桶内有油，一根长1m 的木棒从桶盖小口插入桶内，一端到达桶底，另一端恰好在小口处，抽出木棒量得浸油部分长0．8m ，则油桶内的油的高度是（ ）A ．0．8mB ．0．64mC ．1mD ．0．7m24. 汪老师要装修自己带阁楼的新居（下图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯AC 时，为避免上楼时墙角F 碰头，设计墙角F 到楼梯的竖直距离FG 为1．75m ．他量得客厅高AB=2．8m ，楼梯洞口宽AF=2m ．阁楼阳台宽EF=3m ．请你帮助汪老师解决下列问题：（1）要使墙角F 到楼梯的竖直距离FG 为1．75m ，楼梯底端C 到墙角D 的距离CD 是多少米? （2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶高小于20cm ，每个台阶宽要大于20cm ，问汪老师应该将楼梯建几个台阶?为什么?课堂练习诊断结果课后作业1.下列各组中的四条线段成比列的是（ ） A ．1cm 、2cm 、20cm 、30cm B ．1cm 、2cm 、3cm 、4cm C ．4cm 、2cm 、1cm 、3cmD ．5cm 、10cm 、10cm 、20cm2.已知：32+a =4b =65+c ，且2a-b+3c=21，a 、b 、c 的值分别为________，________，_________．3. 如图，△ADE ∽△ACB ，其中∠1=∠B ，则AB BC AD)()()(==．4. 如图，画一个三角形，使它与已知△ABC 相似，且原三角形与所画三角形的相似比为2∶1．5. △ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为32，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，相似比为45，则△ABC ∽△A 2B 2C 2，其相似比为____________．6. 分别根据下列已知条件，写出各组相似三角形的对应比例式．图1 图2 图3(1)如图1，△ABC ∽△ADE ，其中DE ∥BC ，则_________=_________=_________．(2)如图2，△AOB ∽△DOE ，其中DE ∥AB ，则_________=_________=_________．(3)如图3，△ABC ∽△ADE ，其中∠ADE=∠B ，则_________=_________=_________．7. 如图．从下面这些三角形中，选出相似的三角形____________________．8.画符合要求的相似三角形在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画出一个△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC(相似比不为1)，且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上．（1）（2）9.如图，已知⊿ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点A，交BC边于点E，DC⊥BC于点C，与AD交于点D，（1）求证：⊿ACE ∽⊿ADC；（2）如果CE＝1，CD＝2，求AC的长．10.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DE为AC的中线，延长线交AB的延长于F，求证：AB·AF=AC·DF．11.如图；已知梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC．（1）△ABD 和△DCB 相似吗?说明理由．（2）BD2和AD·BC相等吗?说明理由．12.如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则球拍击球的高度h为（）A．0.6m B．1.2m C．1.3m D．1.4m13.三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子（如图所示）．现测得OA=20cm，OA′=50cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是_________．14.如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是_______mm．15.如图，△ABC是一张直角三角形彩色纸，AC=30cm，BC=40cm．问题1：将斜边上的高CD五等分，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条．则这4张纸条的面积和是________cm2．问题2：若将斜边上的高CD n等分，然后裁出（n-1）张宽度相等的长方形纸条．则这（n-1）张纸条的面积和是____________cm2．16.如图，点D、E分别是等边三角形ABC的BC、AC边上的点，且BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）BD2=AD•DF吗?为什么?17.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：（1）AE=CG；（2）AN•DN=CN•MN．课后作业诊断结果学习札记。

相似三角形的判定与性质练习一．选择题（共14小题）1．（2011•义乌市）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD•AE=EF•CG；一定正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2011•遵义）如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为（）A．5 B．6 C．7 D．123．（2011•乌鲁木齐）如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（）A．B．C．D．14．（2011•威海）在▱ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF=（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：55．（2011•潼南县）如图，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC 于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：①AO=BO；②OE=OF；③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④6．（2011•铜仁地区）已知：如图，在△ABC中，∠AED=∠B，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．8．（2011•台湾）如图为梯形纸片ABCD，E点在BC上，且∠AEC=∠C=∠D=90°，AD=3，BC=9，CD=8．若以AE为折线，将C折至BE上，使得CD与AB交于F点，则BF长度为何（）A．B．5 C．D．69．（2011•遂宁）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，下列说法中正确的个数是（）①AC•BC=AB•CD②AC2=AD•DB③BC2=BD•BA④CD2=AD•DB．A．1个B．2个C．3个D．4个10．（2011•锦州）如图，四边形ABCD，M为BC边的中点．若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8，CD=9，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．611．（2011•河北）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D，E 分别在AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（）A．B．2 C．3 D．412．（2011•大连）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF等于（）A．B．1 C．D．2二．填空题（共12小题）15．（2011•牡丹江）在△ABC中，AB=6，AC=9，点D在边AB所在的直线上，且AD=2，过点D作DE∥BC交边AC所在直线于点E，则CE的长为_________．16．（2010•梧州）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线BD上的点，且EF∥AB，DE：EB=2：3，EF=4，则CD的长为_________．17．（2009•烟台）如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC=∠C；②DE=CF；③△ADE∽△FDB；④∠BFD=∠CAF其中正确的结论是_________．18．（2009•黄石）在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：BE=_________．21．（2007•厦门）如图，在平行四边形ABCD中，AF交DC于E，交BC的延长线于F，∠DAE=20°，∠AED=90°，则∠B=_________度；若=，AD=4厘米，则CF=_________厘米．23．（2006•绵阳）如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F．若BG：GA=3：1，BC=10，则AE的长为_________．28．（2011•眉山）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于F．（1）求证：∠DCP=∠DAP；（2）若AB=2，DP：PB=1：2，且PA⊥BF，求对角线BD的长．30．（2011•岳阳）如图1，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．（1）操作：如图2，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．求证：BH•GD=BF2（2）操作：如图3，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．探究：FD+DG=_________．请予证明．。

初中数学相似三角形的判定与性质专题练习1．定义各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．当相似比为1时，两个三角形就称为全等．2．判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)两角对应相等，两三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(4)三边对应成比例，两三角形相似；3．性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；(3)相似三角形周长的比等于相似比；(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．4.相似三角形中常见的基本图形：条件：DE∥BC，∠1=∠B，∠1=∠B条件：AB∥DE ∠A=∠D CD是斜边AB上的高如图，添加一个条件：，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）【答案】∠ADE=∠ACB,答案不唯一【名师指南】此类问题是开放型问题，考查了相似三角形的判定，答案不唯一，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.【例1】如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）①② ③ ④A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④【答案】C【解析】试题分析：本题主要应用两三角形相似的判定定理，有两个对应角相等的三角形相似，即可完成题目．：①和③相似，∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；210由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，25∴，，22222=225210=即，22222=5210=∴两三角形的三边对应边成比例，∴①③相似．故选C ．考点: 相似三角形的判定．【例2】在直角坐标系中，已知点A （－2，0）、B （0，4）、C （0，3），过点C 作直线交x 轴于点D ，使得以D 、O 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似，这样的直线最多可以作（）A ．2条B ．3条C ．4条D ．6条【答案】C ．考点：1．坐标与图形性质；2．相似三角形的判定．【名师指南】此类问题实际上考查了相似三角形的判定，学生容易错误选2条或3条，一般三角形满足条件的直线最多可以作4条，直角三角形满足条件的直线最多可以作3条.【例3】如图，下列条件中不能判定的是（）A ．B．C ．D．【答案】A考点：三角形相似的判定．【例4】如图，在四边形ABCD中，AD、BD相交于点F，点E在BD上，且,（1）∠1与∠2相等吗？为什么？（2）判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．【答案】（1）∠1=∠2；（2）△ABE∽△ACD．【解析】试题分析：（1）由，得到△ABC∽△AED，推出∠BAC=∠EAD，即可得到∠1=∠2；（2）由，得，根据两边对应成比例且夹角相等得到△ABE∽△ACD．试题解析：（1）∠1与∠2相等．在△ABC和△AED中，∵，∴△ABC∽△AED，∴∠BAC=∠EAD，∴∠1=∠2．（2）△ABE与△ACD相似．由，得，在△ABE和△ACD中，∵，∠1=∠2，∴△ABE∽△ACD．考点：相似三角形的判定与性质．【例5】如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE=________.【答案】8.5【解析】试题分析：因为△ADE∽△ABC，所以, 又因为AD=3，DC=4，AE=2，所以,解得BE=8.5.考点：相似三角形的性质.【例6】如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB＋∠EDC＝120°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若BD＝3，CE＝2，求△ABC的边长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）9．考点：1．等边三角形的性质；2．相似三角形的判定与性质．【名师指南】备考兵法：1．证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定， 要注意基本图形的应用，如“A型”“X型”“母子型”等．2．用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题， 关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意．3．用直角坐标系中的点描述物体的位置， 用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要注意训练．注意问题：1.在探索三角形是否相似时，我可以参照学习全等的方法（全等是相似的一种特殊情况）：（1）寻找：缺什么找什么，例如已经知道有两边对应成比例，证明其夹角相等，则必定是证第三边也成比例；已知一组角相等，要证明夹这个角的两边成比例，则必定是再找一组角相等；等等．（2）构造：对于在题目中不能直截找到相似三角形的问题，我们还可以通过作辅助线的方法构造相似三角形，实现线段或角的转化将问题解决．当然这种情况要有一定的想象力与比较扎实的基础．（3）学会灵活转化：角的替换、比例式的替换、相等线段的替换，可以让我们更快捷地寻找证明相似的条件．2.在利用相似三角形的性质解题时注意下面几点常见的转化方法与解题的思路：（1）比例式的转化，利用不同的相似三角形所得到的比例式相互替代（或比例式中的相等的线段的替换），实现比例式的变更从而产生新的比例式．（2）利用比例式来求出线段之间的函数关系，用方程来求解．（3）应当根据求解的问题的形式，灵活把所得到比例式进行加减乘除运算，实现问题的转化．（4）在图形中注意添加辅助线的方法构造相似三角形或相似三角形的对应量．相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法1、证明四条线段成比例的常用方法： (1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系2、证明题常用方法归纳：（1）总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似” (2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。

相似三角形的性质与判定相似三角形是初中数学中的一个重要概念，它在几何学知识体系中有着重要的地位。

相似三角形是指两个或更多个三角形在形状上相似的特殊三角形。

它们的边长比例相等，对应的角度也相等。

通过研究相似三角形的性质和判定条件，我们可以在解决实际问题时更好地应用相似三角形的概念。

首先，我们来介绍一些相似三角形的性质。

相似三角形具有以下性质：1. 对应角相等性质。

如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似三角形。

具体而言，如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们一定是相似三角形。

这是相似三角形的性质中最重要的一条。

2. 对应边比例相等性质。

如果两个三角形的对应边的长度比例相等，那么它们是相似三角形。

具体而言，如果两个三角形的三条边的对应长度比例相等，那么它们一定是相似三角形。

这个性质可以直接从三角形的定义和角相等性质推导出来。

其次，我们来介绍一些相似三角形的判定条件。

判定两个三角形是否相似主要有以下几种方法：1. AA 判定法。

如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们一定是相似三角形。

2. SSS 判定法。

如果两个三角形的三个边的长度比例相等，那么它们一定是相似三角形。

3. SAS 判定法。

如果两个三角形的一个角相等，而且两个边的长度比例相等，那么它们一定是相似三角形。

4. 等腰三角形判定法。

如果两个三角形的两条边长比例相等且夹角相等，那么它们一定是相似三角形。

相似三角形的性质和判定条件在解决实际问题时非常有用。

例如，在测量高楼的高度时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量实际的距离和角度，计算出高楼的高度。

又如，在地图上测量两个城市之间的直线距离时，我们可以利用相似三角形的判定条件，通过测量两个城市之间的实际距离和角度，计算出直线距离。

这些都是利用相似三角形的性质和判定条件解决实际问题的典型例子。

总的来说，相似三角形是一个重要的几何概念，它涉及到对角、边长比例的研究。

相似三角形的性质和判定条件在解决实际问题时非常有用，能够帮助我们计算出实际的距离和角度，解决实际问题。

相似三角形的性质与判定（专项提高）一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=24，则△EFC的周长为（）A．11B．10 C．9 D．8第（1）题第（2）题第（3）题第（4）题2．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm3. 如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF∶S四边形BCED的值为（）A．1∶3 B．2∶3 C．1∶4 D．2∶54．在平行四边形ABCD中E为CD上一点，DE∶EC=1∶2，连接AE、BE、BD，且AE、BD 交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF=（）A．1∶3∶9 B．1∶5∶9 C．2∶3∶5 D．2∶3∶95. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，那么下列结论中错误的是（）A．AC2•BD=BC2•AD B．BC2•BD=CD2•ABC．AD•BC=AC•CDD．CD•BC=AC•BD6. 如图，已知在△ABC中，边BC=6，高AD=3，正方形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB和AC上，那么这个正方形的边长等于（）A．3 B．2.5 C．2 D．1.5第（5）题第（6）题第（7）题第（8）题7. 如图，在□ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF∶S△ABF=4∶25，则DE∶EC=（）A．2∶5 B．2∶3 C．3∶5 D．3∶28. 在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为高，F是BC的中点，连接DE、EF、FD，则以下结论中一定正确的个数有（）①EF=FD；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等边三角形．A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题9. 如图，已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 和AC 上，且DE ∥BC ，S △AED ∶S 梯形EDBC =1∶2，则AE ∶AC 的比值是 ．第（9）题 第（10）题 第（11）题 第（12）题10. 如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC 的边长为 ．11. 如图，在□ABCD 中，E 在AB 上，CE 、BD 交于F ，若AE ：BE=4：3，且BF=2，则DF= ．12. 如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB=2，CD=3，则GH 的长为 ．13. 如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则AE 的长为 ．第（13）题 第（14）题 第（15）题 第（16）题14. 将一副三角板如图所示叠在一起，则的CEBE 值是 ． 15. 如图△ABC 中，DE ∥BC ，CD 、BE 交于点F ，若DF=1，CF=3，AD=2，则线段BD 的长等于 ．16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，顶点A 、C 分别在x ，y 轴的正半轴上．点Q 在对角线OB 上，且QO=OC ，连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P ．则点P 的坐标为 ．三、解答题17. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是BC 边上一点，AD ⊥DE ，且DE 交AB 于点E ，CF ⊥AB 交AD 于点G ，F 为垂足，（1）求证：△ACG ∽△DBE ；（2）当CD=BD ，BC=2AC 时，求ADDE .18. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点P 为AC 边上的一点，将线段AP 绕点A 顺时针方向旋转（点P 对应点P′），当AP 旋转至AP′⊥AB 时，点B 、P 、P′恰好在同一直线上，此时作P′E ⊥AC 于点E ．（1）求证：∠CBP=∠ABP ；（2）当23=PE CP ，55'=BP 时，求线段AB 的长．19. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，在边AB 的延长线上截取BE=AB ，点F 在AE 的延长线上，CE 和DF 交于点M ，BC 和DF 交于点N ．（1）求证：四边形DBEC 是平行四边形；（2）如果AD 2=AB•AF ，求证：CM•AB=DM•CN ．20. 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AB=DC ，AC 与BD 交于点O ，廷长BC 到E ，使得CE=AD ，连接DE ．（1）求证：BD=DE ．（2）若AC ⊥BD ，AD=4，S △BOC =16，求AB 的长．。