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§ 9 重积分习题与答案

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第九章 重积分A1、 填空题1）交换下列二次积分的积分次序（1）()=⎰⎰-dx y x f dy y y 102,______________________________________________ （2）()=⎰⎰dx y x f dy y y 2022,______________________________________________ （3）()=⎰⎰dx y x f dy y 100,_______________________________________________ （4）()=⎰⎰---dx y x f dy y y 101122,___________________________________________ （5）()=⎰⎰dy y x f dx ex 1ln 0,______________________________________________ （6）()()=⎰⎰---dx y x f dy y y 404214,________________________________________ 2）积分dy e dx xy ⎰⎰-2022的值等于__________________________________ 3)设(){}10,10,≤≤≤≤=y x y x D ，试利用二重积分的性质估计()σd y x xy I D⎰⎰+=的 值则 。

4)设区域D 是有x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成，根据二重积分的性质，试比较积分 ()σd y x I D 2⎰⎰+=与()σd y x I D 3⎰⎰+=的大小________________________________5）设()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,20,ππy x y x D ，则积分()dxdy y x I D⎰⎰+-=2sin 1 ___________________________________________6)已知Ω是由12,0,0,0=++===z y x z y x 所围，按先z 后y 再x 的积分次序将 ⎰⎰⎰Ω=xdxdydz I 化为累次积分，则__________________________=I7）设Ω是由球面222y x z --=与锥面22y x z +=的围面，则三重积分dxdydz z y x f I ⎰⎰⎰Ω++=)(222在球面坐标系下的三次积分表达式为2、 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值1）⎰⎰-+a x ax dy y x dx 2020222)(2）⎰⎰+ax dy y x dx 00223、利用极坐标计算下列各题1）⎰⎰+D y x d e σ22，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.2）⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.3）⎰⎰D d xy σarctan，其中D 是由圆周1,42222=+=+y x y x 及直线x y y ==,0所围成的在第一象限的闭区域.4、选用适当的坐标计算下列各题 1)⎰⎰D d yx σ22,其中D 是直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成的闭区域.2）⎰⎰+D yd x σsin )1(，其中D 是顶点分别为)2,1(),0,1(),0,0(和)1,0(的梯形闭区域.3）⎰⎰--D d y x R σ222，其中D 是圆周Rx y x =+22所围成的闭区域.4）⎰⎰+D d y x σ22，其中D 是圆环形闭区域{}2222),(b y x a y x ≤+≤.5、设平面薄片所占的闭区域D 由螺线θρ2=上一段弧⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤20πθ与直线2πθ=所围成，它的面密度为()22,y x y x +=μ，求这薄片的质量（图9-5）.6、求平面0=y ，()0>=k kx y ，0=z ，以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积（图9-6）.7、设平面薄片所占的闭区域D 由直线2=+y x ，x y =和x 轴所围成，它的面密度 ()22,y x y x +=μ，求该薄片的质量.8、计算由四个平面0=x ，0=y ，1=x ，1=y 所围成的柱体被平面0=z 及 632=++z y x 截得的立体的体积.9、求由平面0=x ，0=y ，1=+y x 所围成的柱体被平面0=z 及抛物面z y x -=+622 截得的立体的体积.10、计算以xoy 面上的圆周ax y x =+22围成的闭区域为底，而以曲面22y x z +=为顶的曲顶柱体的体积.11、化三重积分()⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ,,为三次积分，其中积分区域Ω分别是1）由双曲抛物面z xy =及平面0,01==-+z y x 所围成的闭区域.2）由曲面222y x z +=及22x z -=所围成的闭区域.12、设有一物体，占有空间闭区域(){}10,10,10,,≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ，在点()z y x ,, 处的密度为()z y x z y x ++=,,ρ，计算该物体的质量.13、计算⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32，其中Ω是由曲面xy z =，与平面1,==x x y 和0=z 所围成的闭区域.14、计算⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz ，其中Ω为球面1222=++z y x及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.15、算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω是由锥面22y x Rh z +=与平面()0,0>>=h R h z 所围成的闭区域.16、利用柱面坐标计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω是由曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的闭区域.17、利用球面坐标计算三重积分()⎰⎰⎰Ω++dv z y x 222，其中Ω是由球面1222=++z y x 所围成的闭区域.18、选用适当的坐标计算下列三重积分1）⎰⎰⎰Ωxydv ，其中Ω为柱面122=+y x 及平面1=z ，0=z 0=x ，0=y 所围成的在第一卦限内的闭区域.2）⎰⎰⎰Ωdxdydz z 2，其中Ω是两个球2222R z y x ≤++和)0(2222>≤++R Rz z y x 的公共部分.3）()⎰⎰⎰Ω+dv y x 22，其中Ω是由曲面()222254y x z +=及平面5=z 所围成的闭区域.4）()⎰⎰⎰Ω+dv y x22，其中闭区域Ω由不等式A z y x a ≤++≤<2220，0≥z 所确定.19、利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积1）226y x z --=及22y x z +=.2）()02222>=++a az z y x 及222z y x =+(含有z 轴的部分).20、球心在原点、半径为R 的球体，在其上任意一点的密度大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的的质量.21、求球面2222a z y x =++含在圆柱面ax y x =+22内部的那部分面积.22、求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面面积.23、求由抛物线2x y =及直线1=y 所围成的均匀薄片（面密度为常数μ）对于直线1-=y 的转动惯量.24、设薄片所占的闭区域D 如下，求均匀薄片的质心 D 是半椭圆形闭区域()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≤+0,1,2222y b y a x y x .25、设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线2x y =及直线x y =所围成，它在点()y x ,处的面密度()y x y x 2,=μ，求该薄片的质心.25、利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心（设密度1=ρ）1）222y x z +=，1=z2）222y x A z --=，222y x a z --=()0>>a A ,0=z26、求半径为a 高为h 的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量（设密度1=ρ）.B1、 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小1）()σd y x D ⎰⎰+2与()σd y x D⎰⎰+3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成.2）()σd y x D ⎰⎰+ln 与()[]σd y x D⎰⎰+2ln ，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为()0,1， ()1,1，()0,2 .2、计算下列二重积分1）⎰⎰+σd e y x ，其中(){}1,≤+=y x y x D2）()⎰⎰-+D d x y x σ22，其中D 是由直线2=y ，x y =及x y 2=所围成的闭区域3），()σd y x y D ⎰⎰+-+9632，其中(){}222,R y x y x D ≤+=3、化二重积分()σd y x f I D⎰⎰=,为而次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D 是 1）由x 轴及半圆周222ry x =+()0≥y 所围成的闭区域2）环形闭区域(){}41,22≤+≤y x y x4、求由曲面222y x z +=及2226y x z --=所围成的立体的体积.5、计算()⎰⎰⎰Ω+++31z y x dxdydz ，其中Ω为平面0=x ，0=y ，0=z ，1=++z y x 所围成的四面体.6、计算下列三重积分 1)dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中Ω是两个球：2222R z y x ≤++和Rz z y x 2222≤++()0>R 的公共部分.2)()dv z y x z y x z ⎰⎰⎰Ω++++++11ln 222222，其中Ω是由球面1222=++z y x 所围成的闭区域.3)()d v z y⎰⎰⎰Ω+22，其中Ω是由xoy 平面上曲线x y 22=绕x 轴旋转而成的曲面与平面5=x 所围成的闭区域.7、设球体占有闭区域(){}Rz z y x z y x 2,,222≤++=Ω，它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的球心.8、一均匀物体（密度ρ为常量）占有的闭区域Ω由曲面22y x z +=和平面0=z ，,a x =a y =所围成1）求物体的体积; 2）求物体的质心;3）求物体关于z 轴的转动.C1、利用二重积分的性质，估计积分()⎰⎰++=Dd y x I σ10，其中D 是由圆周422=+y x 所围成.2、用二重积分计算立体Ω的体积V ，其中Ω由平面0=z ，x y =，a x y +=，a y 2=和y x z 23+=所围成()0>a .3、计算二重积分⎰⎰Dydxdy ，其中D 是由直线2-=x ，0=y 以及曲线22y y x --=所围成的平面区域.4、设()y x f ,在积分域上连续，更换二次积分()⎰⎰---=yy dx y x f dy I 311102,的积分次序.5、计算二重积分dxdy x y I D⎰⎰-=2，其中积分区域D 是由20≤≤y 和1≤x 确定.6、求二重积分()dxdy xe y D y x ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22211的值，其中D 是由直线x y =，1-=y 及1=x 围成的平面区域. 7、计算⎰⎰⎰Ωdv z 2,其中Ω由曲面2222R z y x =++及()2222R r z y x =-++围成.8、计算dxdydz z xy I ⎰⎰⎰Ω=32，其中Ω是由曲面xy z =与平面1=y 及0=z 所围成的闭区域.9、设有一半径为R 的球体，0P 是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P 的距离的平方成正比（比例常数0>k ），求球体的重心的位置. 10、设有一高度为()t h （t 为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程()()()t h y x z t h z 22+-=（设长度单位为cm ，时间单位为h ），已知体积减少的速率与侧面积成正比例（比例系数9.0），问高度为130（cm ）的雪堆全部融化需多少时间？第九章 重积分答案 习 题 答 案（A ）1、 填空题 1）①()()⎰⎰⎰⎰-+2120122,,x x dy y x f dx dy y x f dx②()dy y x f dx xx ⎰⎰240, ③()dy y x f dy x⎰⎰110, ④()dy y x f dx x ⎰⎰--21011,⑤()⎰⎰ee ydx y x f dy ,10⑥()⎰⎰-+-244202,x x dy y x f dx2）()4121--e 3)20≤≤I 4)()()⎰⎰⎰⎰+≥+D Dd y x d y x σσ325)2-π 6)⎰⎰⎰---yx x xdz dy dx 21021017)()⎰⎰⎰2224020sin dr r r f d d ϕϕθππ2、1）443a π 2）()[]21ln 2613++a3、1）()14-e π2）()12ln 24-π 3）2643π4、1）49 2）2sin 22cos 1sin 1cos 23--++ 3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-34313πR 4）()3332a b -π 5、5401π 6、k R arctan 313 7、34 8、27 9、61710、4323a π 11、1）()dz z y x f dy dx xy x⎰⎰⎰-01010,, 2）()⎰⎰⎰-+----22222221111,,x y x x x dz z y x f dy dx12、23 13、3641 14、481 15、224R h π 16、π127 17、π5418、1）81 2）548059R π 3）π8 4）()55154a A -π19、1）π332 2）3a π 20、3R k π 21、()222-πa22、π2 23、μ105368=I 24、π34,0by x == 25、4835=x ，5435=y 26、⎪⎭⎫ ⎝⎛43,0,027、M a 221（ρπh a M 2=为圆柱体的质量） （B ）1、 1）()()⎰⎰⎰⎰+≤+DDd y x d y x σσ32 2）()()⎰⎰⎰⎰+≤+DDd y x d y x σσln ln 22、1）1--e e 2) 613 3) 2494R R ππ+ 3、1）()⎰⎰--=220,x r rr dy y x f dx I ，()⎰⎰---=2222,0y r y r rdx y x f dy I2）()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------------++=222222141141114412,,,x x x x x x dy y x f dx dy y x f dx dy y x f dx I()⎰⎰---+224421,x x dy y x f dx()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----------++=222222144111114421,,,y y y y y y dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy I()⎰⎰-----+224412,y y dx y x f dy4、π65、⎪⎭⎫ ⎝⎛-852ln 21 ； 6、1）548059R π 2）0 3）π3250 ； 7、⎪⎭⎫ ⎝⎛R 45,0,0 8、1）438a 2）⎪⎭⎫ ⎝⎛2157,0,0a 3）645112a ρ（C ）1、 解：令()10,++=y x y x f ，关键是求()y x f ,在D 上的最大值和最小值，在D 内部，1=x f ，1=y f ，因此()y x f ,在D 内部无驻点，最值点一定在边界上取得，作 ()()410,22-++++=y x y x y x F λ由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=+='=+='0402102122y x F y F x F y x λλλ解得驻点为()2,2，()2,2-，比较可得最小值2210-=m ，最大值为2210+=M ，而D 的面积为π4，由估值定理得()()258258+≤≤-ππI 。

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西工大—高数答案—重积分

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第九章 重积分第一节 重积分的概念与性质1.选择设21()d DI x y =+σ⎰⎰,32()d DI x y =+σ⎰⎰,（1）若D 由x 轴、y 轴与直线1x y +=围成,则在D 上B . A .23()()x y x y +≤+; B .23()()x y x y +≤+; 由二重积分的性质可知,A .A .12I I ≥;B .12I I ≤;C .12I I =; （2）若D 由圆周22(2)(1)2x y -+-=围成,则B . A .12I I ≥; B .12I I ≤; C .12I I =; 2.填空设(,)d DI f x y =σ⎰⎰,（1）若(,)1f x y x y =++,域D 为01x ≤≤,02y ≤≤,则在D 上,(,)f x y 的最小值为1,最大值为4;由二重积分的性质可知,28I ≤≤;（2）若22(,)49f x y x y =++,域D 为224x y +≤,则在D 上,(,)f x y 的最小值为9,最大值为25,因此36100I π≤≤π.3.设12231()d D I x y =+σ⎰⎰,其中1D 是矩形闭区域：11x -≤≤,22y -≤≤;22232()d D I x y =+σ⎰⎰,其中2D 是矩形闭区域：01x ≤≤,02y ≤≤,试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系.解 设函数223(,)()f x y x y =+,则积分1(,)d D f x y σ⎰⎰的几何意义是在矩形域1D 上以曲面(,)z f x y =为曲顶的曲顶柱体体积. 由于域1D 关于0x =（即y 轴）对称,而函数(,)f x y 是x 的偶函数（即曲面(,)z f x y =关于yOz 面对称）,因此1(,)d D f x y σ⎰⎰=2(,)d D f x y *σ⎰⎰ ,其中域D *为01x ≤≤,2y ≤. 同理,D *关于0y =对称,(,)f x y 是y 的偶函数,因此,(,)d D f x y *σ⎰⎰=22(,)d D f x y σ⎰⎰于是1(,)d D f x y σ⎰⎰=42(,)d D f x y σ⎰⎰,即124I I =.第二节 二重积分的计算1.填空（1）改变积分次序 eln 10d (,)d x x f x y y ⎰⎰=14d (,)d y ey f x y x ⎰⎰.（2）改变积分次序 I =22200d (,)d x x f x y y ⎰⎰+2(,)d x f x y y ⎰⎰2若(,)f x y xy =,则I =103. （3）设D ：15y ≤≤,5y x ≤≤,则应把二重积分d d ln Dx yI y x=⎰⎰化为先对y 后对x 的二次积分I =5111d d ln x x y y x⎰⎰=4. （4）二重积分20d xx f y ⎰⎰=π2sec 3π04d ()d f r r r θθ⎰⎰.（5）二重积分211222d ()d xxx x y y -+⎰⎰=2πsin 4cos1d d r r rθθθ⋅⎰⎰ =π42sin d cos θθθ⎰1. 2.画出积分区域,并计算下列二重积分.（1）22()d Dx y -σ⎰⎰,其中D 是闭区域0sin y x ≤≤,0πx ≤≤.解 原式=πsin 22d ()d x x x y y -⎰⎰=3π2sin (sin )d 3xx x x -⎰=2πππ3π000011cos 2sin 2cos [cos cos ]33x x x x x x x -+++-=240π9-. （2）d Dx y ⎰⎰,其中D 是由直线y x =,1x =-,1y =所围成的闭区域.解 将D 视为X -型区域,则D ：1x y ≤≤,11x -≤≤. 原式=111d xx y -⎰⎰=31222111(1)d 3xx y x --+-⎰=1302(1)d 3x x --⎰=12.（3）e d d x y Dx y +⎰⎰,其中D 是由不等式1x y +≤,0x ≥所确定的闭区域. 解 原式=1101d e d x x y x x y -++-⎰⎰=111d x yy x y x e x +=-+=-⎰=1210(e e )d x x --⎰=e 122e+.易犯的错误是：认为积分区域D 是关于x 轴对称的,因此原积分等于在域D 内第一象限 部分域上积分的2倍,即原式=21e d x y D +σ⎰⎰ , 1D =01,01.x y x ≤≤⎧⎨≤≤-⎩此解错在没有被积函数的奇偶性,只有积分区域的对称性,就乱用对称性简化计算. （4）cos d Dx x σ⎰⎰,其中D 是由曲线0y =,y x =和π6x =围成的闭区域. 解 cos d Dx x σ⎰⎰=π600cos d d x x x y x ⎰⎰=π60cos d x x ⎰=12. 3.计算积分222d e d y xx y -⎰⎰的值.解 由于函数2e y -的原函数不是初等函数,故需交换积分次序,积分区域D 为由0,2,x y y x ===所围成的区域,故原式=2ed d y Dx y -⎰⎰=220d ed yy y x -⎰⎰=220e d y y y -⎰=221e 2y--=41(1e )2--. 4.设D 为以点(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形,1D 为D 在第一象限部分,试将(cos sin )dd Dxy x y x y+⎰⎰化为1D 上的积分. 解 如图9.1所示,将积分区域分为1D '与2D '两部分,其中1D '为三角形AOB ,2D '为三角形BOC .显然1D '关于y 轴对称,2D '关于x 轴对称,又因为 函数xy 关于x ,y 均为奇函数,所以1d d D xy x y '⎰⎰=0, 2d d D xy x y '⎰⎰=0.故 d d Dxy x y ⎰⎰=1d d D xy x y '⎰⎰+2d d D xy x y '⎰⎰=0.又函数cos sin x y 关于x 为偶函数,关于y数, 所以1cos sin d d D x y x y '⎰⎰=21cos sin d d D x y x y ⎰⎰,2cos sin d d D x y x y '⎰⎰=0.综上所述,(cos sin )d d Dxy x y x y +⎰⎰=21cos sin d d D x y x y ⎰⎰.5.证明：()0d e ()d a y m a x y f x x -⎰⎰=()0()e ()d am a x a x f x x --⎰.分析 因为欲证等式的左端为累次积分,等式右端为定积分,因此,应从左端出发证明， 作一次积分,化为定积分,使之与右端定积分相等. 但原累次积分的被积函数含有抽象函数,无法关于x 先积分,故考虑改变积分次序.解 ()0d e ()d aym a x y f x x -⎰⎰=()0e ()d d aam a x xf x x y -⎰⎰=()0()e ()d am a x a x f x x --⎰.6.求下列空间域Ω的体积.（1）由四个平面0,0,1,1x y x y ====所围成的柱体被平面0z =及236x y z ++=截得的立体.解 曲顶柱体以{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤为底,以623z x y =--为顶面,故所求立体体积(623)d d DV x y x y =--⎰⎰=1100d (623)d x x y y --⎰⎰=103(62)d 2x x --⎰=6-1-32=72.（2）由曲面222z x y =+及2262z x y =--围成的立体. 解 两曲面的交线满足方程组 消去z ,得222x y +=.所求立体的体积21()d DV z z =-σ⎰⎰=2222[(62)(2)]d Dx y x y ---+σ⎰⎰图 9.1=322(2)d Dx y --σ⎰⎰=32π20d )d θ-ρρρ⎰⎰=426π(4ρ⋅ρ-=6π.7.画出积分区域,并且把积分(,)d d Df x y x y ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域D 是：（1） 20y x ≤≤, 01x ≤≤;解 积分区域如图9.2(a)所示,其边界曲线2y x =及1x =在极坐标下的方程分别为2sin cos θρ=θ及1cos ρ=θ. 原积分=2π14cos sin 0cos d (cos ,sin )d f θθθθρθρθρρ⎰⎰易犯的错误是：积分区域如图9.2(b)所示.原积分=π14cos 00d (cos ,sin )d f θθρθρθρρ⎰⎰.此错误是由作图不准确造成的.（2）由曲线y =,y =y x =-围成的闭区域（0a >）.解 积分区域如图9.3所示,曲线y =及y =在极坐标下的方程分别为r a =及cos r a =θ. 原积分=π20cos d (cos ,sin )d a a f θθρθρθρρ⎰⎰+3π4π02d (cos ,sin )d af θρθρθρρ⎰⎰.图 9.2（a ） 图 9.2（b ）图 9.3易犯的错误是：原积分=3π40cos d (cos ,sin )a a f d θθρθρθρρ⎰⎰.8.计算()d d DI x y x y =+⎰⎰,其中D ：224x y +≤.解 积分区域关于x 轴,y 轴均对称,被积函数x y +关于x ,y 均为偶函数,故 I =41()d d D x y x y +⎰⎰（1D 为D 位于第一象限的部分）=4π2220d (cos sin )d θθ+θρρ⎰⎰=643. 9.选择适当的坐标计算下列各题.（1）d Dx y ⎰⎰,其中D 是圆环形闭区域：2222π4πx y ≤+≤.解 原式=2π2ππd sin d θρ⋅ρρ⎰⎰=2ππ2[cos sin ]π-ρρ+ρ=26π-.（2）2d d y Dxe x y -⎰⎰,其中D 是由曲线24y x =和29y x =在第一象限所围成的区域.解 2d d y Dxex y -⎰⎰=2d d y y xe x +∞-⎰=201()d 249y y y e y +∞--⎰ =205d 72y ye y +∞-⎰=5144. （3）arctan d d Dyx y x ⎰⎰,D 是由圆周22224,1x y x y +=+=,及直线0,y y x ==所围成的在第一象限内的区域.解 arctan d d Dy x y x ⎰⎰=2401d d πθθ⋅ρρ⎰⎰=23π64.（4） 22()d d Dx y x y +⎰⎰,其中D 是由直线y x =,y x a =+,y a =,3(0)y a a =>所围成的闭区域.解 原式=322d ()d ay a y ay x y x -+⎰⎰=232d []3a a y a ax y y x -+⎰=23321[()]d 33a ay y a y a y --+⎰=4433()[]12123aa y y a a y --+ =414a.易犯的错误时：认为积分区域如图9.4 所示. 原式=220d ()d ax a ax x y y ++⎰⎰+3322d ()d a aaxx x y y +⎰⎰.此错误是由画图不准确造成的.（5） d d Dy x y ⎰⎰,其中D 是直线2x =-,0y =,2y =及曲线x =区域.解1 区域D 及1D 如图9.5所示,有 d d Dy x y ⎰⎰=1d d D D y x y +⎰⎰-1d d D y x y ⎰⎰ =02π2sin π22d d d sin x y y d θ--θρθ⋅ρρ⎰⎰⎰⎰=4-428sin d 3ππθθ⎰=4-2811cos 4(1cos 2)d 342ππ+θ⋅-θ+θ⎰ =4-2π. 解2 如图9.5所示,{(,)|22}D x y x y =-≤≤≤≤, d d Dy x y ⎰⎰=202d y y x -⎰⎰=222d y y y -⎰⎰=4-2y ⎰令y-1=s i nt π22π24(1sin )cos d t t t --+⎰=4-π2. 10.求由圆2ρ=和心形线2(1cos )ρ=+θ所围图形（在圆外部分）的面积.解 由2(1cos )2ρ=+θ⎧⎨ρ=⎩得交点：0π2θ=±,02ρ=.面积A =d d Dρρθ⎰⎰=π2(1+cos θ)2π22d d -θρρ⎰⎰图 9.4图 9.5=π22π22[cos θ+2cos ]d -θθ⎰=1π4[2]22⋅+=8π+.11.设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线2ρ=θ上一段弧π(0)2≤θ≤与直线π2θ=所围成,它的面密度22(,)x y x y μ=+.求此薄片的质量.解 质量M =(,)d Dx y μσ⎰⎰=22()d Dx y +σ⎰⎰=π2320d d θθρρ⎰⎰=π4204d θθ⎰=5π40. 第三节 三重积分的计算1.化(,,)d d d I f x y z x y z Ω=⎰⎰⎰为三次积分,其中积分区域Ω分别是：（1）由双曲抛物面xy z =及平面10x y +-=,0z =所围成的闭区域. （2）由曲面22z x y =+,2y x =及平面1y =,0z =所围成的闭区域.解 （1）由0z xyz =⎧⎨=⎩消去z ,得0xy =,即0x =或0y =.因此空间域是以0z =为下曲面,z xy =为上曲面,侧面是柱面0x =,0y =,10x y +-=.因此原式=1100d d (,,)d x xy x y f x y z z -⎰⎰⎰.（2）积分区域Ω可表示为220z x y ≤≤+,21x y ≤≤,11x -≤≤ 所以222111(,,)d d d d d (,,)d x y xf x y z x y z x y f x y z z +-Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2.计算cos()d d d y x z x y z Ω+⎰⎰⎰,其中Ω由y =,0y =,0z =和π2x z +=所围成的闭区域.解 将积分区域Ω向xOy 平面投影得xy D ：π02x ≤≤,0y ≤≤,则Ω可表示成π02z x ≤≤-,(,)xy x y D ∈,故 cos()d d d y x z x y z Ω+⎰⎰⎰=π20d d cos()d xyx D x y y x z z -+⎰⎰⎰=(1sin )d d xyD y x x y -⎰⎰=π20d (1sin )d x y x y -⎰⎰=π201(1sin )d 2x x x -⎰=2π1162-.3.计算d d d z x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由锥面z =与平面(0,0)z h R h =>>所围成的闭区域.解1 积分区域Ω如图9.6所示,用竖 坐标为z 的平面截域Ω,得圆域22222():R z D z x y h+≤,其面积为222πR z h,采用“先二后一法”计算.d d d z x y z Ω⎰⎰⎰=0()d d h D z z z σ⎰⎰⎰=2220πd h R z z z h⋅⎰=242π4hR z h ⋅=22π4R h .解2 积分域Ω的边界曲面在柱面坐标下的方程分别为z h =及h z R=ρ. 利用柱面坐标计算.原式=2π0d d d R h h R z z ρθρρ⎰⎰⎰=2222012π[]d 2R h h Rρ-ρρ⎰=224202π[]24R h h R ρρ-⋅=22π4R h . 易犯的错误是：（1）在柱面坐标下,原式=2π0d d d hRR z z ρθρρ⎰⎰⎰.关于z 的积分上、下限错误.（2）采用“先二后一法”.d d d z x y z Ω⎰⎰⎰=222d d d h x y R z zx y +≤⎰⎰⎰=2d h Rz z π⎰=222R h π. 关于x ,y 积分的积分域错误,积分域应为22222R z x y h+≤. 特别注意,将被积函数z用表达式z =. 4.计算d d d xz x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由平面0z =,z y =,1y =以及抛物柱面2y x =所围成的闭区域.图 9.6解1 按先z 再x 后y 积分. 原式=100d d d 0yy x z z =⎰⎰⎰其中xdx ⎰为奇函数再对称区间上的积分,其值为0.解2 按先x 再y 后z 积分. 原式=11d d d 0zz z y x =⎰⎰⎰其中d 0x =⎰.解3 按先x 再z 后y 积分. 原式=1d d d 0yy z z x =⎰⎰⎰5填空题.设Ω由球面z =与锥面z =围成,则三重积分 在三种坐标系下分别可化为三次积分如下： 直角坐标系下： 柱面坐标系下： 球面坐标系下：π2π240d d sin d I f r r θϕϕ=⎰⎰⎰.6.利用柱面坐标计算下列三重积分. （1）22e d d d xy x y z --Ω⎰⎰⎰,其中Ω为由221x y +≤,01z ≤≤所确定. 解 22e d d d xy x y z --Ω⎰⎰⎰=22π11ρ0d ρd ρde z θ-⎰⎰⎰=21ρ02πρd ρe -⎰=21ρ20πe d ρ-⎰=21ρ0πe--=1π(e 1)---=1π(1)e-. （2）d z v Ω⎰⎰⎰,其中Ω为由曲面z =及223x y z +=所围成的闭区域.解由223z x y z ⎧⎪=⎨+=⎪⎩z ,得223x y +=， zdv Ω⎰⎰⎰=d ρd d zr z θΩ⎰⎰⎰=22π03d d ρd r z z θ⎰⎰⎰=4212π(4ρ)d ρ29r ⋅--⎰=13π4. （3）d d x y z Ω⎰⎰⎰, 其中Ω为由曲面y =,0z =,z a =(0)a >,0y =所围成的闭区域.解 原式=π2cos 220d ρd ρd a z z θθ⎰⎰⎰=π23204cos d 3a θθ⎰=289a .7.利用球面坐标计算下列三重积分：（1）d d x y z Ω,其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成的闭区域.解 球面222x y z z ++=在球面坐标下的方程为cos r ϕ=. 原式=π2πcos 320d sin d d r r ϕθϕϕ⎰⎰⎰=π420πsin cos d 2ϕϕϕ⎰=π520πcos 10ϕ-=π10. （2）d d d z x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由不等式：2222()x y z a a ++-≤,22x y +2(0)z a ≤>所确定.解 曲面2222()x y z a a ++-=及222(0)x y z a +=>在球面坐标下的方程分别为2cos r a ϕ=及π4ϕ=. 原式=π2π2cos 340d sin d cos d a r r ϕθϕϕϕ⎰⎰⎰=π45402π4cos sin d a ϕϕϕ⎰=π640cos 8π6ϕ-⋅=47π6a . 8.选择适当的坐标计算下列三重积分.（1）2(1)d x v Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面222x z y =+,2x =,4x =所围成的闭区域.解 采用“先二后一法”计算.2(1)d x v Ω+⎰⎰⎰=422d (1)d d Dxx x y z +⎰⎰⎰=422(1)d d d Dxx x y z +⎰⎰⎰=4222(1)(π)d x x x +⎰=3256π15. （2）d d x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω由不等式：2221x y z ++≤,z ≥.解1 曲面2221x y z ++=及z =1r =及π6ϕ=.原式=π2π126000d sin d r cos r r drθϕϕϕ⋅⋅⎰⎰⎰=π125600sinρ2π25ϕ⋅⋅π20=.解2曲面2221x y z++=及z=在柱面坐标下的方程为z=及z=.原式=12π200d rdr zθ⎰⎰=12r2π2⎰π20=.（3）2d d dz x y zΩ⎰⎰⎰,其中Ω是2222x y z R++≤和2222(0)x y z Rz R++≤>的公共部分.解1球面2222x y z R++=及2222x y z Rz++=在球面坐标下的方程分别为r R=及2cosr Rϕ=.由2cosr Rr Rϕ=⎧⎨=⎩解得3πϕ=.原式=π2π2223000d d cos sin dRr r rθϕϕϕ⋅⎰⎰⎰+π2π2cos2222π003d d cos sin dRr r rϕθϕϕϕ⋅⎰⎰⎰=ππ525732π3232cos dcos2πcos dcos55R Rπϕϕϕϕ--⋅⎰⎰=557ππ60160RR+559π480R=.解2 采用“先二后一法”计算.原式=222222222222d d d d d dRRRx y Rz z x y R zz z x y z z x y+≤-+≤-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰=2222222π(2)dπ()dRRRz Rz z z z R z z-+-⎰⎰559π480R=.第四节重积分的应用1.求锥面z=被柱面22z x=所割下部分的曲面面积.解由22zz x⎧⎪=⎨=⎪⎩消去z,得D的边界：222x y x+=.所求曲面面积DSσ==dDx ydDσ.2.求底圆半径相等的两个直交圆柱面222x y R+=及222x z R+=所围成立体的表面积.解1所求曲面在第一卦限内的图形如图9.7所示.面积为2016d 16RR x R ==⎰⎰.解2 由222222x y R x z R ⎧+=⎨+=⎩消去x ,得z y =±.对于曲面x =y x =0z x =,所求曲面的面积为8d 8Ry R R y z R y -==⎰⎰⎰12222082()|16RR R y R =-⋅-=.3.设平面薄片所占的闭区域D 由曲线2y x =,2x y +=围成,求该均匀薄片的重心. 解 y M x M=,xM y M=. 212120000229d d d (2)d 2x x DM x y x x x ρσρρρ---===--=⎰⎰⎰⎰⎰,212120000229d d d (2)d 4x y x DM x x x y x x x x ρσρρρ---===--=-⎰⎰⎰⎰⎰,2121240002236d d [(2)]d 25x x x M x y y x x x ρρρ---==--=⎰⎰⎰, 因此，12yM x M ==-，85x M y M ==，故重心坐标为(,)x y =18(,)25-. 4.设平面薄片所占的闭区域D 由直线2x y +=,y x =和x 轴所围成,它的面密度22(,)x y x y ρ=+,求该薄片的质量. 解 质量为1222220()d d ()d y yDM x y y x y x σ-=+=+⎰⎰⎰⎰12323410088842(44)d [2]33333y y y y y y y y =-+-=-+-⎰43=. 5.利用三重积分计算.(1)由曲面z =224x y z +=所围成的立体体段. 解 采用柱面坐标计算232242002π2π(5ρ)ρπ4)383=---=. （2）由曲面z =0)z A a =>>,0z =所围匀质物体的重心.图 9.7解 匀质物体的重心即形心,且形心在对称轴-z 轴上,因此0x =,0y =,d d z vz vΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.其中332d π()3v A a Ω=-⎰⎰⎰. d z v Ω⎰⎰⎰=π2π320d cos sin d d A ar r θϕϕϕ⎰⎰⎰=π24420sin 2π24A a ϕ-⋅⋅=44π()4A a -. 于是44333()8()A a z A a -=-.重心坐标为（44333()0,0,8()A a A a --）. 6.求半径为R 、高为h 的均匀圆柱体绕过中心而垂直于母线的轴的转动惯量（设密度1ρ=）.解 建立坐标系,使圆柱体的对称轴在z 轴上,且原点在其中心.则所求转动惯量为 y I =2π22222202()d d ρd ρ(ρcos )d hRh x y v z z θθ-Ω+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰4322π20[cos ]d 424hR h R θθ=+⎰=342ππ412h h R R + 22()43M h R =+ （其中2πM R h =为圆柱体质量） 第九章 重积分（总习题）1.计算d DI x y =⎰⎰,22222:,D x y a x y ay +≤+≥.解1 2()d ρd D D I ρθ=+⎰⎰⎰⎰下上π2π220sin πd ρd ρd ρd ρa aa θθθ=+⎰⎰⎰⎰33π3(1sin )d π33a a θθ=-+⎰π3333202222πsin d (π)3333a a a θθ=+=-⎰.解222222x y a x y ayI σσ+≤+≤=-⎰⎰⎰⎰3π3330222πsin d (π)3333a a a θθ=-=-⎰. 2.计算()d DI x y σ=+⎰⎰,其中D 由2y x =,24y x =及1y =围成. 解11100d )d d )d I y x y x y x y x =+++⎰⎰13/202d 5y y ==⎰. 解2 ()()d D D I x y σ=-+⎰⎰⎰⎰大小14212221121116[(1)]d [(14)]d 22x x x x x x x x ----=-+--+⎰⎰25=.3.计算211d d x y I y x x y ≤≤=-⎰⎰解1 1222()d ()d D D I y x x y σσ=-+-⎰⎰⎰⎰ （图9.8）2211122110d ()d d ()d x x x y x y x x y y --=-+-⎰⎰⎰⎰4411224111[(1)]d []d 22x x x x x x x ---=--+-⎰⎰1115=. 亦可利用对称性简化计算.由于1D 、2D 均关于0x =（即y 轴）对称,又(,)f x y 关于x 为偶函数（即(,)(,)f x y f x y -=）,因此221112202d ()d 2d ()d x xI x y x y x x y y =-+-⎰⎰⎰⎰.4.计算2(369)d Dy x y σ+-+⎰⎰,其中D 是闭区域222x y R +≤.解 原式222200d ρ[ρsin 3ρcos 6ρsin ]d ρ9πRR πθθθθ=+-+⎰⎰442π2229πsin d 009ππ44R R R R θθ=+++=+⎰.亦可利用对称性简化计算.由于积分Dxd σ⎰⎰及Dyd σ⎰⎰均为零,故原积分再利用极坐标计算.5.计算22()d d d y z x y z Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由xOy 平面上曲线22y x =绕x 轴旋转而成的曲面与平面5x =所围成的闭区域.解 Ω在yOz 面投影域yz D 为：2210y z +≤,所以22()d d d y z x y z Ω+⎰⎰⎰=22π5202d ρd ρd r x θ⋅⎰⎰⎰51150010002502π[1001000]2ππ412123-=⨯-⨯==. 图 9.86.计算d d x y z Ω,其中Ω为由2221x y z ++≤,1z ≥所确定.解 投影区域D ：2224()5x y +≤,用柱面坐标得d d x y z Ω=42π50212d ρd ρd ρr z z θ-⎰⎰⎰42250642π[1ρ(2ρ1)]d ρπ75=---=⎰. 7.计算()d d d x z x y z Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面z =与z =所围成的区域.解 d d d 0x x y z Ω=⎰⎰⎰（因为被积函数是x 的奇函数,积分区域Ω关于0x =对称）,所以有()d d d x z x y z Ω+⎰⎰⎰=d d d z x y z Ω⎰⎰⎰;又由于d d d z x y z Ω⎰⎰⎰的被积函数只是z 的函数,用平面z z =去截Ω所得闭区域()D z 的面积很容易求,因此可选用“先二后一”方法求解.()d d d x z x y z Ω+⎰⎰⎰=d d d z x y z Ω⎰⎰⎰=1210()()d d d d d d D z D z z zx y z zx y +⎰⎰⎰⎰⎰=122πd π(1)d z z z z z +-⎰=π8. 8.计算22()d I x y v Ω=+⎰⎰⎰,其中Ω是由222x y z +=,2z =,8z =围成的闭区域.解1 22()()d I x y v ΩΩ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰外柱22π282π48330222d ρd ρd d ρd ρd z z ρθθ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰2432ρ62π42πρ(8)d ρ2=⋅⋅+-⎰48π288π336π=+=.解2 22()()d I x y v ΩΩ=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰大小222π482π2222ρρ022d ρd ρρd d ρd ρρd z z θθ=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰42353500112π(8ρρ)d ρ2π(2ρρ)d ρ22=---⎰⎰336π=.解3 采用“先二后一法”计算.I=22882π223222d ()d d d d d ρx y zzx y x y z θ+≤+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=8222πd z z ⎰336π=.易犯的错误是：将222x y z +=代入被积表达式,得 388222π2d 4π|672π3z z z z =⋅⋅==⎰.9.计算2221d x y z v Ω++-⎰⎰⎰,其中Ω是球体2224x y z ++≤.解 被积函数含有绝对值2221x y z ++-,用曲面22210x y z ++-=将Ω分成1Ω和2Ω,其中1Ω：2221x y z ++≤ ,2Ω：22214x y z ≤++≤. 于是采用球面坐标计算1222(1)d x y z v Ω---⎰⎰⎰=2ππ1220d d (1)sin d r r r θϕϕ-⎰⎰⎰=8π15, 2222(1)d x y z v Ω++-⎰⎰⎰=2ππ22201d d (1)sin d r r r θϕϕ-⎰⎰⎰=232π15, 所以 2221d x y z v Ω++-⎰⎰⎰=8π15+232π15=16π. 10.半球面z =220x y Ry +-=,22x y +0(0)Ry R +=>割出两个窗口,求在这半球面上剩下部分的面积.解d d S x y σ==.sin 4d R R R θθ=-⎰=π2204cos d 4R R R θθ=⎰.11.在底半径为R ,高为H 的圆柱体上面,拼加一个同半径的半球体,使整个立体的重心位于球心处,求R 和H 的关系（设体密度1μ=）.解 建立坐标系如图9.9所示,由题意知,物体重心的竖坐标 d 0d z vZ vΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,222π(2)02R R H =-=.R =.12.设一个上、下底半径各为b 、a ,高为H 的圆锥台,其体密度1μ=,试求其关于中心轴的转动惯量（b a <）. 解1 建立坐标系下如图9.10432π2πρ(ρ)d ρ4a bb H H a a b =⋅⋅+--⎰=55π()10()H a b a b --.解2 采用“先二后一法”.用竖坐标为z 的平面截闭区域圆域()D z ,设其半径为()z ρ,则ρ()z b H z a b H --=-,ρ()a bz a z H-=-.原式=2π2230()d ()d d d ρd ρa bHHa z HD z z x y z σθ--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰45540π1π[()]d ()210()H H aH a b z z a b H a b =--=--⎰. 图 9.9。

西工大高数答案重积分

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第九章 重积分第一节 重积分的概念与性质1.选择 设21()d DI x y =+σ⎰⎰,32()d DI x y =+σ⎰⎰, 1若D 由x 轴、y 轴与直线1x y +=围成,则在D 上B . A .23()()x y x y +≤+; B .23()()x y x y +≤+; 由二重积分的性质可知,A .A .12I I ≥;B .12I I ≤;C .12I I =; 2若D 由圆周22(2)(1)2x y -+-=围成,则B . A .12I I ≥; B .12I I ≤; C .12I I =; 2.填空 设(,)d DI f x y =σ⎰⎰,1若(,)1f x y x y =++,域D 为01x ≤≤,02y ≤≤,则在D 上,(,)f x y 的最小值为1,最大值为4;由二重积分的性质可知,28I ≤≤;2若22(,)49f x y x y =++,域D 为224x y +≤,则在D 上,(,)f x y 的最小值为9,最大值为25,因此36100I π≤≤π.3.设12231()d D I xy =+σ⎰⎰,其中1D 是矩形闭区域：11x -≤≤,22y -≤≤;22232()d D I x y =+σ⎰⎰,其中2D 是矩形闭区域：01x ≤≤,02y ≤≤,试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系.解 设函数223(,)()f x y x y =+,则积分1(,)d D f x y σ⎰⎰的几何意义是在矩形域1D 上以曲面(,)z f x y =为曲顶的曲顶柱体体积. 由于域1D 关于0x =即y 轴对称,而函数(,)f x y 是x 的偶函数即曲面(,)z f x y =关于yOz 面对称,因此1(,)d D f x y σ⎰⎰=2(,)d D f x y *σ⎰⎰ ,其中域D *为01x ≤≤,2y ≤. 同理,D *关于0y =对称,(,)f x y 是y 的偶函数,因此,(,)d D f x y *σ⎰⎰=22(,)d D f x y σ⎰⎰于是1(,)d D f x y σ⎰⎰=42(,)d D f x y σ⎰⎰,即124II =.第二节 二重积分的计算1.填空 1改变积分次序e ln 1d (,)d x x f x y y ⎰⎰=14d (,)d y ey f x y x ⎰⎰.2改变积分次序 I =2220d (,)d x x f x y y ⎰⎰+2(,)d x f x y y ⎰⎰2 若(,)f x y xy =,则I =103. 3设D ：15y ≤≤,5y x ≤≤,则应把二重积分d d ln Dx yI y x=⎰⎰化为先对y 后对x 的二次积分I =5111d d ln x x y y x⎰⎰=4. 4二重积分20d xx f y ⎰⎰=π2sec 3π04d ()d f r r r θθ⎰⎰.5二重积分211222d ()d xxx x y y -+⎰⎰=2πsin 4cos 01d d r r rθθθ⋅⎰⎰=π420sin d cos θθθ⎰1. 2.画出积分区域,并计算下列二重积分. 122()d Dxy -σ⎰⎰,其中D 是闭区域0sin y x ≤≤,0πx ≤≤.解 原式=πsin 22d ()d x x x y y -⎰⎰=3π2sin (sin )d 3xx x x -⎰=2πππ3π000011cos 2sin 2cos [cos cos ]33x x x x x x x -+++-=240π9-.2d Dx y ⎰⎰,其中D 是由直线y x =,1x =-,1y =所围成的闭区域.解 将D 视为X -型区域,则D ：1x y ≤≤,11x -≤≤. 原式=111d xx y -⎰⎰=31222111(1)d 3xx y x --+-⎰=1302(1)d 3x x --⎰=12. 3e d d x yDx y +⎰⎰,其中D 是由不等式1x y +≤,0x ≥所确定的闭区域.解 原式=1101d ed x x yx x y -++-⎰⎰=111d x y y x y x ex +=-+=-⎰=1210(e e )d x x --⎰=e 122e+.易犯的错误是：认为积分区域D 是关于x 轴对称的,因此原积分等于在域D 内第一象限 部分域上积分的2倍,即原式=21e d x yD +σ⎰⎰ , 1D =01,01.x y x ≤≤⎧⎨≤≤-⎩ 此解错在没有被积函数的奇偶性,只有积分区域的对称性,就乱用对称性简化计算. 4cos d Dx x σ⎰⎰,其中D 是由曲线0y =,y x =和π6x =围成的闭区域. 解 cos d Dx x σ⎰⎰=π600cos d d x x x y x ⎰⎰=π60cos d x x ⎰=12. 3.计算积分222d ed y x x y -⎰⎰的值.解 由于函数2e y -的原函数不是初等函数,故需交换积分次序,积分区域D 为由0,2,x y y x ===所围成的区域,故原式=2e d d y Dx y -⎰⎰=2200d e d y y y x -⎰⎰=220e d y y y -⎰=221e 2y --=41(1e )2--. 4.设D 为以点(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形,1D 为D 在第一象限部分,试将(cos sin )d d Dxy x y x y +⎰⎰化为1D 上的积分.解 如图所示,将积分区域分为1D '与2D '两部分,其中1D '为三角形AOB ,2D '为三角形BOC .显然1D '关于y 轴对称,2D '关于x 轴对称,又因为 函数xy 关于x ,y 均为奇函数,所以1d d D xy x y '⎰⎰=0, 2d d D xy x y '⎰⎰=0.故d d Dxy x y ⎰⎰=1d d D xy x y '⎰⎰+2d d D xy x y '⎰⎰=0.又函数cos sin x y 关于x 为偶函数,关于y 为奇函 数, 所以1cos sin d d D x y x y '⎰⎰=21cos sin d d D x y x y ⎰⎰,2cos sin d d D x y x y '⎰⎰=0.综上所述,(cos sin )d d Dxy x y x y +⎰⎰=21cos sin d d D x y x y ⎰⎰.5.证明：()0d e ()d a y m a x y f x x -⎰⎰=()0()e ()d am a x a x f x x --⎰.分析 因为欲证等式的左端为累次积分,等式右端为定积分,因此,应从左端出发证明, 作一次积分,化为定积分,使之与右端定积分相等. 但原累次积分的被积函数含有抽象函数,无法关于x 先积分,故考虑改变积分次序.解()0d e ()d a y m a x y f x x -⎰⎰=()0e ()d d a a m a x xf x x y -⎰⎰=()0()e ()d am a x a x f x x --⎰.6.求下列空间域Ω的体积.1由四个平面0,0,1,1x y x y ====所围成的柱体被平面0z =及236x y z ++=截得的立体.解 曲顶柱体以{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤为底,以623z x y =--为顶面,故所求立体体积 (623)d d DV x y x y =--⎰⎰=1100d (623)d x x y y --⎰⎰=103(62)d 2x x --⎰=6-1-32=72. 2由曲面222z x y =+及2262z x y =--围成的立体. 解 两曲面的交线满足方程组 消去z ,得222x y +=.所求立体的体积 21()d DV z z =-σ⎰⎰=2222[(62)(2)]d Dx y x y ---+σ⎰⎰ =322(2)d Dx y --σ⎰⎰=32π20d )d θ-ρρρ⎰⎰=426π(4ρ⋅ρ-=6π.7.画出积分区域,并且把积分(,)d d Df x y x y ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域D 是：图1 20y x ≤≤, 01x ≤≤;解 积分区域如图a 所示,其边界曲线2y x =及1x =在极坐标下的方程分别为2sin cos θρ=θ及1cos ρ=θ. 原积分=2π14cos sin 0cos d (cos ,sin )d f θθθθρθρθρρ⎰⎰易犯的错误是：积分区域如图b 所示.原积分=π14cos 0d (cos ,sin )d f θθρθρθρρ⎰⎰.此错误是由作图不准确造成的.2由曲线22y a x =-,2y ax x =-及y x =-围成的闭区域0a >.解 积分区域如图所示,曲线22y a x =-及2y ax x =-在极坐标下的方程分别为r a =及cos r a =θ. 原积分=π20cos d (cos ,sin )d a a f θθρθρθρρ⎰⎰+3π4π02d (cos ,sin )d af θρθρθρρ⎰⎰.易犯的错误是：原积分=3π40cos d (cos ,sin )a a f d θθρθρθρρ⎰⎰.8.计算()d d DI x y x y =+⎰⎰,其中D ：224xy +≤.解 积分区域关于x 轴,y 轴均对称,被积函数x y +关于x ,y 均为偶函数,故 I =41()d d D x y x y +⎰⎰1D 为D 位于第一象限的部分图 a图 b图=4π2220d (cos sin )d θθ+θρρ⎰⎰=643. 9.选择适当的坐标计算下列各题. 122sin d d Dx y x y +⎰⎰,其中D 是圆环形闭区域：2222π4πx y ≤+≤. 解 原式=2π2ππd sin d θρ⋅ρρ⎰⎰=2ππ2[cos sin ]π-ρρ+ρ=26π-.22d d yDxe x y -⎰⎰,其中D 是由曲线24y x =和29y x =在第一象限所围成的区域. 解2d d y Dxex y -⎰⎰=2203d d y y y y xe x +∞-⎰⎰=201()d 249y y y e y +∞--⎰ =205d 72y ye y +∞-⎰=5144. 3arctan d d Dy x y x ⎰⎰,D 是由圆周22224,1x y x y +=+=,及直线0,y y x ==所围成的在第一象限内的区域.解 arctan d d Dy x y x ⎰⎰=2401d d πθθ⋅ρρ⎰⎰=23π64.422()d d Dx y x y +⎰⎰,其中D 是由直线y x =,y x a =+,y a =,3(0)y a a =>所围成的闭区域. 解 原式=322d ()d a y ay ay x y x -+⎰⎰=232d []3a a y a ax y y x -+⎰=23321[()]d 33a ay y a y a y --+⎰=4433()[]12123aa y y a a y --+ =414a . 易犯的错误时：认为积分区域如图 所示. 原式=220d ()d a x a ax x y y ++⎰⎰+3322d ()d a aaxx x y y +⎰⎰.此错误是由画图不准确造成的. 5d d Dy x y ⎰⎰,其中D 是直线2x =-,0y =,2y =及曲线22x y y =--所围成的平面图区域.解1 区域D 及1D 如图所示,有d d Dy x y ⎰⎰=1d d D D y x y +⎰⎰-1d d D y x y ⎰⎰ =02π2sin π22d d d sin x y y d θ--θρθ⋅ρρ⎰⎰⎰⎰=4-428sin d 3ππθθ⎰=4-2811cos 4(1cos 2)d 342ππ+θ⋅-θ+θ⎰ =4-2π. 解2 如图所示,{(,)|22}D x y x y =-≤≤≤≤,d d Dy x y ⎰⎰=202d y y x -⎰⎰=222d y y y -⎰⎰=4-2y ⎰令y-1=s i nt π22π24(1sin )cos d t t t --+⎰=4-π2.10.求由圆2ρ=和心形线2(1cos )ρ=+θ所围图形在圆外部分的面积.解 由2(1cos )2ρ=+θ⎧⎨ρ=⎩得交点：0π2θ=±,02ρ=.面积A =d d Dρρθ⎰⎰=π2(1+cos θ)2π22d d -θρρ⎰⎰=π22π22[cos θ+2cos ]d -θθ⎰=1π4[2]22⋅+=8π+.11.设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线2ρ=θ上一段弧π(0)2≤θ≤与直线π2θ=所围成,它的面密度22(,)x y x y μ=+.求此薄片的质量.解 质量M =(,)d Dx y μσ⎰⎰=22()d Dxy +σ⎰⎰=π2320d d θθρρ⎰⎰=π4204d θθ⎰=5π40.第三节 三重积分的计算1.化(,,)d d d I f x y z x y z Ω=⎰⎰⎰为三次积分,其中积分区域Ω分别是：图1由双曲抛物面xy z =及平面10x y +-=,0z =所围成的闭区域. 2由曲面22z x y =+,2y x =及平面1y =,0z =所围成的闭区域.解 1由0z xy z =⎧⎨=⎩消去z ,得0xy =,即0x =或0y =.因此空间域是以0z =为下曲面,z xy =为上曲面,侧面是柱面0x =,0y =,10x y +-=.因此原式=110d d (,,)d x xy x y f x y z z -⎰⎰⎰.2积分区域Ω可表示为220z x y ≤≤+,21x y ≤≤,11x -≤≤ 所以222111(,,)d d d d d (,,)d x y xf x y z x y z x y f x y z z +-Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2.计算cos()d d d y x z x y z Ω+⎰⎰⎰,其中Ω由y =0y =,0z =和π2x z +=所围成的闭区域.解 将积分区域Ω向xOy 平面投影得xy D ：π02x ≤≤,0y ≤≤则Ω可表示成π02z x ≤≤-,(,)xy x y D ∈,故 cos()d d d y x z x y z Ω+⎰⎰⎰=π20d d cos()d xyx D x y y x z z -+⎰⎰⎰=(1sin )d d xyD y x x y -⎰⎰=π20d (1sin )d x y x y -⎰⎰=π201(1sin )d 2x x x -⎰=2π1162-.3.计算d d d z x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由锥面z =(0,0)z h R h =>>所围成的闭区域.解1 积分区域Ω如图所示,用竖 坐标为z 的平面截域Ω,得圆域22222():R z D z x y h+≤,其面积为222πR z h,采用“先二后一法”计算.d d d z x y z Ω⎰⎰⎰=0()d d h D z z z σ⎰⎰⎰=2220πd h R z z z h⋅⎰=242π4hR z h ⋅=22π4R h .解2 积分域Ω的边界曲面在柱面坐标下的方程分别为z h =及h z R=ρ. 利用柱面坐标计算.原式=2π0d d d R h h R z z ρθρρ⎰⎰⎰=2222012π[]d 2R h h Rρ-ρρ⎰=224202π[]24R h h R ρρ-⋅=22π4R h . 易犯的错误是： 1在柱面坐标下,原式=2π0d d d hRR z z ρθρρ⎰⎰⎰.关于z 的积分上、下限错误.2采用“先二后一法”.d d d z x y z Ω⎰⎰⎰=222d d d hx y R z zx y +≤⎰⎰⎰=2d h Rz z π⎰=222R h π. 关于x ,y 积分的积分域错误,积分域应为22222R z x y h +≤. 特别注意,将被积函数z用表达式z =. 4.计算d d d xz x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由平面0z =,z y =,1y =以及抛物柱面2y x =所围成的闭区域.解1 按先z 再x 后y 积分. 原式=10d d d 0yy x z z =⎰⎰⎰其中⎰为奇函数再对称区间上的积分,其值为0.解2 按先x 再y 后z 积分. 原式=110d d d 0zz z y x x =⎰⎰⎰其中d 0x =⎰.解3 按先x 再z 后y 积分.图原式=10d d d 0y y z z x =⎰⎰⎰5填空题.设Ω由球面z =与锥面z =围成,则三重积分在三种坐标系下分别可化为三次积分如下： 直角坐标系下： 柱面坐标系下： 球面坐标系下：π2π240d d sin d I f r r θϕϕ=⎰⎰⎰.6.利用柱面坐标计算下列三重积分. 122e d d d x y x y z --Ω⎰⎰⎰,其中Ω为由221x y +≤,01z ≤≤所确定.解22e d d d xy x y z --Ω⎰⎰⎰=22π11ρ0d ρd ρd ez θ-⎰⎰⎰=21ρ02πρd ρe-⎰=21ρ20πe d ρ-⎰=21ρ0πe --=1π(e 1)---=1π(1)e-.2d z v Ω⎰⎰⎰,其中Ω为由曲面z =及223x y z +=所围成的闭区域.解由223z x y z⎧⎪=⎨+=⎪⎩z ,得223x y +=,zdv Ω⎰⎰⎰=d ρd d zr z θΩ⎰⎰⎰=22π03d d ρd r z z θ⎰⎰⎰=4212π(4ρ)d ρ29r ⋅--⎰=13π4.3d d x y z Ω⎰⎰⎰, 其中Ω为由曲面y =,0z =,z a = (0)a >,0y =所围成的闭区域.解 原式=π2cos 220d ρd ρd a z z θθ⎰⎰⎰=π23204cos d 3a θθ⎰=289a .7.利用球面坐标计算下列三重积分：1d d x y z Ω,其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成的闭区域.解 球面222x y z z ++=在球面坐标下的方程为cos r ϕ=.原式=π2πcos 320d sin d d r r ϕθϕϕ⎰⎰⎰=π420πsin cos d 2ϕϕϕ⎰=π520πcos 10ϕ-=π10. 2d d d z x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由不等式：2222()xy z a a ++-≤,22x y +2(0)z a ≤>所确定.解 曲面2222()x y z a a ++-=及222(0)x y z a +=>在球面坐标下的方程分别为2cos r a ϕ=及π4ϕ=. 原式=π2π2cos 340d sin d cos d a r r ϕθϕϕϕ⎰⎰⎰=π45402π4cos sin d a ϕϕϕ⎰=π640cos 8π6ϕ-⋅=47π6a . 8.选择适当的坐标计算下列三重积分. 12(1)d x v Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面222x z y =+,2x =,4x =所围成的闭区域. 解 采用“先二后一法”计算.2(1)d x v Ω+⎰⎰⎰=422d (1)d d Dxx x y z +⎰⎰⎰=422(1)d d d Dxx x y z +⎰⎰⎰=4222(1)(π)d x x x +⎰=3256π15.2d d x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω由不等式：2221x y z ++≤,z ≥定.解1 曲面2221x y z ++=及z =在球面坐标下的方程分别为1r =及π6ϕ=.原式=π2π12600d sin d r cos r r dr θϕϕϕ⋅⋅⎰⎰⎰=π125600sin ρ2π25ϕ⋅⋅π20=. 解2 曲面2221x y z ++=及z =z =z =.原式=12π20d rdr z θ⎰⎰=120r 2π2⎰π20=.32d d d z x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω是2222xy z R ++≤和2222(0)x y z Rz R ++≤>的公共部分.解1 球面2222x y z R ++=及2222x y z Rz ++=在球面坐标下的方程分别为r R =及2cos r R ϕ=.由2cos r R r Rϕ=⎧⎨=⎩解得 3πϕ=.原式=π2π22230d d cos sin d Rr r r θϕϕϕ⋅⎰⎰⎰+π2π2cos 2222π03d d cos sin d R r r r ϕθϕϕϕ⋅⎰⎰⎰=ππ525732π03232cos dcos 2πcos dcos 55R R πϕϕϕϕ--⋅⎰⎰=557ππ60160R R +559π480R =. 解2 采用“先二后一法”计算. 原式=2222222222022d d d d d d RRR x y Rz z x y R z z zx y z zx y +≤-+≤-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰=22222202π(2)d π()d R RR z Rz z z z R z z -+-⎰⎰559π480R =. 第四节 重积分的应用1.求锥面z =被柱面22z x =所割下部分的曲面面积.解由22z z x⎧⎪=⎨=⎪⎩消去z ,得D 的边界：222x y x +=.所求曲面面积DS σ=⎰⎰=d Dx yd Dσ.2.求底圆半径相等的两个直交圆柱面222x y R +=及222x z R +=所围成立体的表面积.解1 所求曲面在第一卦限内的图形如图所示.面积为2016d 16R Rx R ==⎰⎰.解2 由222222x y R x z R⎧+=⎨+=⎩消去x ,得z y =±.对于曲面x =y x =,0z x =,所求曲面的面积为图8d 8R y R Ry z R y -==⎰⎰⎰12222082()|16RR R y R =-⋅-=.3.设平面薄片所占的闭区域D 由曲线2y x =,2x y +=围成,求该均匀薄片的重心. 解 y M x M=,xM y M=. 212120000229d d d (2)d 2x x DM x y x x x ρσρρρ---===--=⎰⎰⎰⎰⎰,212120000229d d d (2)d 4x y x DM x x x y x x x x ρσρρρ---===--=-⎰⎰⎰⎰⎰,2121240002236d d [(2)]d 25x x x M x y y x x x ρρρ---==--=⎰⎰⎰, 因此,12yM x M ==-,85x M y M ==,故重心坐标为(,)x y =18(,)25-. 4.设平面薄片所占的闭区域D 由直线2x y +=,y x =和x 轴所围成,它的面密度22(,)x y x y ρ=+,求该薄片的质量.解 质量为1222220()d d ()d y yDM xy y x y x σ-=+=+⎰⎰⎰⎰12323410088842(44)d [2]33333y y y y y y y y =-+-=-+-⎰43=. 5.利用三重积分计算.1由曲面z =224x y z +=所围成的立体体段.解 采用柱面坐标计算232242002π2π(5ρ)ρπ4)383=---=.2由曲面z =,0)z A a =>>,0z =所围匀质物体的重心.解 匀质物体的重心即形心,且形心在对称轴-z 轴上,因此0x =,0y =,d d z vz vΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.其中332d π()3v A a Ω=-⎰⎰⎰.d z v Ω⎰⎰⎰=π2π320d cos sin d d A ar r θϕϕϕ⎰⎰⎰=π24420sin 2π24A a ϕ-⋅⋅=44π()4A a -. 于是44333()8()A a z A a -=-.重心坐标为44333()0,0,8()A a A a --. 6.求半径为R 、高为h 的均匀圆柱体绕过中心而垂直于母线的轴的转动惯量设密度1ρ=.解 建立坐标系,使圆柱体的对称轴在z 轴上,且原点在其中心.则所求转动惯量为 y I =2π22222202()d d ρd ρ(ρcos )d hRh x y v z z θθ-Ω+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰4322π20[cos ]d 424hR h R θθ=+⎰=342ππ412h h R R + 22()43M h R =+ 其中2πM R h =为圆柱体质量 第九章 重积分总习题1.计算d D I x y =,22222:,D x y a x y ay +≤+≥.解1 2()d ρd D D I ρθ=+⎰⎰⎰⎰下上π2π220sin πd ρd ρd ρd ρa aa θθθ=+⎰⎰⎰⎰33π3(1sin )d π33a a θθ=-+⎰π3333202222πsin d (π)3333a a a θθ=+=-⎰.解222222x y a x y ayI σσ+≤+≤=-⎰⎰⎰⎰3π3330222πsin d (π)3333a a a θθ=-=-⎰. 2.计算()d DI x y σ=+⎰⎰,其中D 由2y x =,24y x =及1y =围成. 解11100d )d d )d I y x y x y x y x =+++⎰⎰13/202d 5y y ==⎰. 解2 ()()d D D I x y σ=-+⎰⎰⎰⎰大小14212221121116[(1)]d [(14)]d 22x x x x x x x x ----=-+--+⎰⎰25=.3.计算2101d d x y I y x x y ≤≤≤=-⎰⎰解1 1222()d ()d D D I y x x y σσ=-+-⎰⎰⎰⎰ 图 221112211d ()d d ()d x xx y x y x x y y --=-+-⎰⎰⎰⎰4411224111[(1)]d []d 22x x x x x x x ---=--+-⎰⎰1115=. 亦可利用对称性简化计算.由于1D 、2D 均关于0x =即y 轴对称,又(,)f x y 关于x 为偶函数即(,)(,)f x y f x y -=,因此 221112202d ()d 2d ()d x xI x y x y x x y y =-+-⎰⎰⎰⎰.4.计算2(369)d Dy x y σ+-+⎰⎰,其中D 是闭区域222x y R +≤. 解 原式222200d ρ[ρsin 3ρcos 6ρsin ]d ρ9πRR πθθθθ=+-+⎰⎰442π2229πsin d 009ππ44R R R R θθ=+++=+⎰.亦可利用对称性简化计算.由于积分Dxd σ⎰⎰及Dyd σ⎰⎰均为零,故原积分再利用极坐标计算.5.计算22()d d d y z x y z Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由xOy 平面上曲线22y x =绕x 轴旋转而成的曲面与平面5x =所围成的闭区域.解 Ω在yOz 面投影域yz D 为：2210y z +≤,所以22()d d d yz x y z Ω+⎰⎰⎰=22π522d ρd ρd r x θ⋅⎰⎰⎰51150010002502π[1001000]2ππ412123-=⨯-⨯==. 6.计算d d x y z Ω,其中Ω为由2221x y z ++≤,1z ≥所确定.解 投影区域D ：2224()5x y +≤,用柱面坐标得d d x y z Ω=42π50212d ρd ρd ρr z z θ-⎰⎰⎰图42250642π[1ρ(2ρ1)]d ρπ75=---=⎰. 7.计算()d d d x z x y z Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面z =与z =所围成的区域.解d d d 0x x y z Ω=⎰⎰⎰因为被积函数是x 的奇函数,积分区域Ω关于0x =对称,所以有()d d d x z x y z Ω+⎰⎰⎰=d d d z x y z Ω⎰⎰⎰;又由于d d d z x y z Ω⎰⎰⎰的被积函数只是z 的函数,用平面z z =去截Ω所得闭区域()D z 的面积很容易求,因此可选用“先二后一”方法求解.()d d d x z x y z Ω+⎰⎰⎰=d d d z x y z Ω⎰⎰⎰=1210()()d d d d d d D z D z z zx y z zx y +⎰⎰⎰⎰⎰=1220πd π(1)d z z z z z z +-⎰=π8.8.计算22()d I x y v Ω=+⎰⎰⎰,其中Ω是由222x y z +=,2z =,8z =围成的闭区域. 解1 22()()d I x y v ΩΩ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰外柱22π282π48330222d ρd ρd d ρd ρd z z ρθθ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰2432ρ62π42πρ(8)d ρ2=⋅⋅+-⎰48π288π336π=+=.解2 22()()d I xy v ΩΩ=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰大小222π482π2222ρρ022d ρd ρρd d ρd ρρd z z θθ=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰42353500112π(8ρρ)d ρ2π(2ρρ)d ρ22=---⎰⎰336π=. 解3 采用“先二后一法”计算. I=22882π223222d ()d d d d d ρx y zzx y x y z θ+≤+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=8222πd z z ⎰336π=.易犯的错误是：将222x y z +=代入被积表达式,得 388222π2d 4π|672π3z z z z =⋅⋅==⎰.9.计算2221d xy z v Ω++-⎰⎰⎰,其中Ω是球体2224x y z ++≤.解 被积函数含有绝对值2221x y z ++-,用曲面22210x y z ++-=将Ω分成1Ω和2Ω,其中1Ω：2221x y z ++≤ ,2Ω：22214x y z ≤++≤. 于是采用球面坐标计算1222(1)d x y z v Ω---⎰⎰⎰=2ππ1220d d (1)sin d r r r θϕϕ-⎰⎰⎰=8π15, 2222(1)d x y z v Ω++-⎰⎰⎰=2ππ22201d d (1)sin d r r r θϕϕ-⎰⎰⎰=232π15, 所以2221d x y z v Ω++-⎰⎰⎰=8π15+232π15=16π. 10.半球面z =220x y Ry +-=,22x y +0(0)Ry R +=>割出两个窗口,求在这半球面上剩下部分的面积.解d d S x y σ==.sin 4d R R Rθθ=-⎰=π2204cos d 4R R R θθ=⎰.11.在底半径为R ,高为H 的圆柱体上面,拼加一个同半径的半球体,使整个立体的重心 位于球心处,求R 和H 的关系设体密度1μ=.解 建立坐标系如图所示,由题意知,物体重心的竖坐标 d 0d z vZ vΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,222π(2)02R R H =-=.R =.12.设一个上、下底半径各为b 、a ,高为H 的圆锥台,轴的转动惯量b a <. 解1 建立坐标系下如图432π2πρ(ρ)d ρ4a b b H H a a b=⋅⋅+--⎰=55π()10()H a b a b --.解2 采用“先二后一法”.用竖坐标为z 的平面截闭区域Ω,得到 圆域()D z ,设其半径为()z ρ,则ρ()z b H z a b H --=-,ρ()a bz a z H-=-.原式=2π2230()d ()d d d ρd ρa bH Ha z HD z z x y z σθ--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰45540π1π[()]d ()210()H H aH a b z z a b H a b =--=--⎰.。

重积分_期末复习题_高等数学下册_(上海电机学院)

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第九章 重积分一、选择题1.I=222222(),:1x y z dv x y z Ω++Ω++=⎰⎰⎰球面部， 则I= [ C ]A. ⎰⎰⎰ΩΩ=dv 的体积 B.⎰⎰⎰142020sin dr r d d θϕθππC.⎰⎰⎰104020sin dr r d d ϕϕθππD.⎰⎰⎰104020sin dr r d d θϕθππ2. Ω是x=0, y=0, z=0, x+2y+z=1所围闭区域， 则⎰⎰⎰Ω=xdxdydz [ B ]A. ⎰⎰⎰---yx x dz x dy dx 21021010 B.⎰⎰⎰---y x xdz x dy dx 21021010C.⎰⎰⎰-10210210dz x dx dy yD.⎰⎰⎰---yx y dz x dx dy 21021010 3. 设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =所围闭区域，1D 是D 位于第一象限的部分，则[B ]（A ）()()1cos d d 2d d DD xy x xy x y xy x y +=⎰⎰⎰⎰（B ）()()()1cos d d 2cos d d DD xy x xy x y x xy x y +=⎰⎰⎰⎰（C ）()()1cos d d 2(cos())d d DD xy x xy x y xy x xy x y +=+⎰⎰⎰⎰（D ）()()cos d d 0Dxy x xy x y +=⎰⎰4. Ω:1222≤++z y x ， 则⎰⎰⎰Ω=++++++dxdydz z y x z y x z 1)1ln(222222 [ C ]A. 1B. πC. 0D.34π 5．222{(,),0}D x y x y a y =+≤≥，其中0a >，则Dxy d σ=⎰⎰ D A.220sin cos a d r dr πθθθ⎰⎰ B.30sin cos ad r dr πθθθ⎰⎰C.3(sin cos )ad r dr πθθθ-⎰⎰ D.320sin cos ad r dr πθθθ⎰⎰-302sin cos ad r dr ππθθθ⎰⎰6．设,010,()()0,a x a f x g x ≤≤⎧>==⎨⎩其余，D 为全平面，则()()D f x g y x dxdy -=⎰⎰ CA.aB.212a C. 2a D.+∞ 7．积分cos 20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可写为 DA. 10(,)dy f x y dx ⎰B.10(,)dy f x y dx ⎰ B.11(,)dx f x y dy ⎰⎰D.100(,)dx f x y dy ⎰8.交换二次积分22(,)x dx f x y dy ⎰⎰的积分顺序为（ A ）.(A) 420(,)dy f x y dx ⎰(B)400(,)dy f x y dx ⎰ (C)242(,)xdy f x y dx ⎰⎰(D)402(,)dy f x y dx ⎰9.设平面区域D 由140,0,,1x y x y x y ==+=+=围成，若31[ln()],DI x y dxdy =+⎰⎰32(),DI x y dxdy =+⎰⎰ 33[sin()],DI x y dxdy =+⎰⎰ 则123,,I I I 的大小顺序为（ C ）.(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 132I I I << (D) 312I I I << 10．221x y ≤+≤⎰⎰的值 （ B ）.(A) 大于零 (B) 小于零 (C) 0 (D) 不能确定 11．设积分区域D 由||,||(0)x a y a a ==>围成，则Dxydxdy =⎰⎰（ C ）.(A)1 (B) 14 (C) 0 (D) A, B, C 都不对12．221x y ≤+≤⎰⎰的值 （ B ）.(A) 大于零 (B) 小于零 (C) 0 (D) 不能确定 13.把二次积分2210x y dx dy +⎰化为极坐标形式的二次积分（B ）.(A)221r d re dr πθ⎰⎰ (B)2221rd re dr ππθ-⎰⎰(C)2221r d e dr ππθ-⎰⎰ (D) 221r d e dr πθ⎰⎰14. 设积分区域D 是由直线y=x,y=0,x=1围成，则有⎰⎰=Ddxdy （ A ）（A ）⎰⎰x dydx 01（B ）⎰⎰ydxdy 01（C ）⎰⎰01xdydx （D ）⎰⎰yxdxdy 115. 设D 由1,2,===y x y x y 围成，则⎰⎰=Ddxdy （ B ）（A ）21 （B ）41 （C ）1 （D ）2316．根据二重积分的几何意义，下列不等式中正确的是( B )； (A) D x D,0d )1(⎰⎰>-σ：x ≤1，y ≤1；(B) D x D,0d )1(⎰⎰>+σ：x ≤1，y ≤1；(C)D y x D,0d )(22⎰⎰>--σ：22y x +≤1；(D) D y x D,0d )ln(22⎰⎰>-σ：x +y ≤1 17．=+⎰⎰y x y x Dd d 22( C )，其中D ：1≤22y x +≤4；(A)2π4201d d r r θ⎰⎰； (B)2π41d d r r θ⎰⎰；(C)2π221d d r r θ⎰⎰； (D)2π21d d r r θ⎰⎰18. 二重积分⎰⎰=≤≤≤≤1010y x xydxdy （ C ）（A ）1 （B ）21 （C ）41（D ）219.dxdy y x y x ⎰⎰≤++132222 的值等于（ A ）A.π43； B. π76； C. π56； D. π23 20. 二重积分⎰⎰=≤≤≤≤1010y x xydxdy （ C ）（A ）1 （B ）21 （C ）41（D ）221. 设D 是区域(){}()π8 ,|,22222=⎰⎰+≤+dxdy y x a y xy x D又有，则a=（ B ）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）822. 若D 是平面区域(){}e y x y x ≤≤≤≤1 ,10|,，则二重积分=⎰⎰dxdy y xD （ B ）（A ）2e （B ）21（C ）e （D ）1 23. 设D 由1,2,===y x y x y 围成，则⎰⎰=Ddxdy （ B ）（A ）21 （B ）41 （C ）1 （D ）23二、填空题 1．变换积分次序(,)f x y dx =1(,)(,)f x y dy f x y dy +2．比较大小：其中D 是以(0,0),(1,1),(1,1)-为顶点的三角形22()Dx y dxdy -⎰⎰ <D3．变换积分次序2142(,)ydy f x y dx -=⎰⎰1411(,)(,)dx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰⎰4．交换二次积分的积分次序()2211,x dx f x y dy ⎰⎰=()421,dy f x y dx ⎰5. 交换dx e dy yx ⎰⎰112的积分次序后的积分式为210xx dx dy e ⎰⎰，其积分值为()112e - 6、交换二次积分的积分次序后，)(110y x ，f dx x⎰⎰-dy=⎰⎰-1010),(ydx y x f dy7、交换二次积分的次序⎰⎰-=ax ax xdy y x f dx 022),(0(,)a ya dy f x y dx ⎰⎰三、计算与证明1. 计算⎰⎰Ddxdy xy 2, 其中D 是抛物线2y =2x 与直线x=21所围闭区域解：⎰⎰Ddxdy xy 2=⎰⎰--11212122y dx xy dy=⎰--1162)8181(dy y y=2112. 计算I=⎰⎰+Ddxdy y x 22sin , D={(x, y)22224ππ≤+≤y x }解：令x=rcos θ, y=rsin θ则I=⎰⎰πππθ220sin rdr r d=26π-3. 设G(x)在10≤≤x 上有连续的)(''x G , 求I=dxdy y x xyG D⎰⎰+)(22'', 其中D 为122≤+y x 的第一象限部分解：在极坐标下计算积分，D={(r,θ)20,10πθ≤≤≤≤r }I=θθθ⎰⎰Drdrd r G r )(cos sin 2''2=⎰⎰202''13)(cos sin πθθθdr r G r d=dr r G r )(212''103⎰ =du u G u )(41''1⎰ =)]1(0)1([41'G G G -+）（ 4.xy dxdy Ω⎰⎰,其中Ω是以a 为半径，坐标原点为圆心的圆。

(整理)第九讲重积分

(整理)第九讲重积分

精品文档第九章 重积分一、学习目的与要求1、加深理解二重积分与三重积分的概念，熟悉重积分的性质。

2、熟练掌握二重积分的计算方法（包括直角坐标与极坐标系下的计算）。

3、熟练掌握三重积分的计算方法（包括直角坐标、柱坐标以及球坐标系下的计算）。

4、能用重积分来表达一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量等）。

二、学习重点二重积分和三重积分的计算法三、内容提要1、重积分的定义⎰⎰∑=→∆=Dni iiif d y x f 1),(lim ),(σηξσλ（与D 的划分及),(i i ηξ取法无关），其中D 为平面有界闭区域，}{max ),,,2,1(),(1的直径i ni i i i n i σλσηξ∆==∆∈≤≤ 。

⎰⎰⎰∑Ω=→∆=ni i iiiV f dV z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ（与Ω的划分及),,(i i i ζηξ取法无关，其中Ω为空间有界闭区域，}{max ),,,2,1(),,(1的直径i ni i i i i V n i V ∆==∆∈≤≤λζηξ 。

2、重积分的几何意义当0),(≥y x f 时，⎰⎰Dd y x f σ),(表示以区域D 为底，以曲面z =f (x,y )为顶的曲顶柱体体积。

当1),(≡y x f 时，⎰⎰Dd σ表示平面区域D 的面积。

当1),,(≡z y x f 时，⎰⎰⎰ΩdV表示空间区域Ω的体积。

3、重积分的可积性若),(y x f （或),,(z y x f ）在有界闭区域D （或Ω）上分块连续，则),(y x f （或),,(z y x f ）在D （或Ω）上可积。

4、重积分的性质二重积分与三重积分具有类似的性质，现以二重积分为例，并假设所有被积函数都是可积的。

（Ⅰ）线性性质⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+DDDd y x g k d y x f k d y x g k y x f kσσσ),(),()],(),([2121，其中k 1,k 2为常数。