人教版九年级数学上册期中专题复习课件：二次函数

别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
二次项
常数项
分别指出下列二次函数解析式的自变量、各项 及各项系数。
①y=6x2 ,
②m 1 n2 1 n ,
22
③ y=20x2+40x+20 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
出题角度一 二次函数的识别
下列函数中是二次函数的有 ①⑤⑥ 。
①√ y= 2x2 2
×③y x2(1 x2 ) 1 最高次数是4
⑤√ y=x( x 1)
×②y 2x2 x(1 2x) a=0
×④y
1 x2
x2
√⑥y
x4 x2 x2 1
=x2
二次函数：y=ax²+bx+c （a，b，c为常数，a≠0）
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的 步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代 数式，左边是函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0.
产品原产量是20t，一年后的产量是原产量的 (1+x) 倍； 两年后的产量是一年后的产量的 (1+x) 倍.于是两年后的产 量y与增加的倍数x的关系式为 y=20(1+x)2 .
y=20(1+x)2
y=20x2+40x+20 y是x的函数吗？
y=20x2+40x+20表示两年后的产量y与计划增产的倍数x的关
6. 一辆汽车的行驶距离s（单位：m）与行驶时间t（单位：s） 的函数关系式为s=9t+0.5t2，则经过12s汽车行驶了 180 m，行 驶380m 需 20 s.

反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的 值为0，求自变量 x 的值．
新课讲解
新课讲解
练一练
已知二次函数 y=-x2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 -x2+2x=-m 的解为 x1=-1，x2=3 .
分析：由图可知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x
轴的一个交点的横坐标为3， 所以另一个交点的横坐标为2×1-3=-1，
所以关于x的一元二次方程-x2+2x=-m， 即-x2+2x+m=0的解为x1=-1，x2=3．
新课讲解
知识点2 公共点的问题
例 2 下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点 的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？ 由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ (1) y=x2-x+1； (2) y=x2-6x+9； (3) y=x2+x-2.
当球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m.
即0 s时球从地面飞出，4 s时球落回地面.
新课讲解
从上面发现，一般地，当 y 取定值且 a≠0 时，二次函数为一元二次方程. 如：y=5 时，5=ax2+bx+c 就是一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数 y=-x2＋4x 的值为 3，求自变量 x 的值，可以解一 元二次方程 -x2＋4x=3(即x2－4x+3=0)．
第二十二章 二次函数 二次函数与一元二次方程
学习目标
1.通过探索，理解二次函数及其图象、性质确定方程的解
或不等式的解集.

数学·新课标（RJ）
解：(1)过点 C 作 CM⊥x 轴，垂足为 M.由抛物线的对称性可 知 AM＝BM.
在 Rt△AOD 和 Rt△BMC 中， ∵OD＝MC，AD＝BC， ∴△AOD≌△BMC. ∴OA＝MB＝MA. 设菱形的边长为 2m，在 Rt△AOD 中， m2＋( 3)2＝(2m)2，解得 m＝1.
数学·新课标（RJ）
方法技巧 二次函数的图象中，a 决定开口方向，即 a>0⇔开口向上， a<0⇔开口向下；a 与 b 决定对称轴位置，即 a，b 同号⇔对称轴 在 y 轴左侧，a，b 异号⇔对称轴在 y 轴右侧；c 决定抛物线与 y 轴交点的位置，即 c>0⇔交点在 y 轴的正半轴上，c＝0⇔交点在 原点，c<0⇔交点在 y 轴的负半轴上．此外，还要注意抛物线与 坐标轴的交点坐标．
是(0， 3)，以点 C 为顶点的抛物线 y＝ax2＋bx＋c 恰好经过 x 轴上 A、B 两点．
图 26－4
数学·新课标（RJ）
(1)求A、B、C三点的坐标； (2)求经过A、B、C三点的抛物线解析式． [解析] 利用菱形的四条边相等及对边平行结合直角坐标系可 求出A、B、C三点的坐标，根据三点的坐标可以通过设一般式y ＝ax2＋bx＋c来求抛物线的解析式，因为点C是抛物线的顶点， 所以也可以通过设顶点式y＝a(x－h)2＋k来求抛物线的解析式．
数学·新课标（RJ）
图象与x轴只有一个交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 有 两个相等的实数根 ；
图象与x轴没有交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 没有实 数根 .
[注意] 当二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有交点 时，其交点横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根．

二次函数 y= ax2+bx+c (a≠0) 的图象和性质
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性
最值
y= ax2+bx+c (a>0)
y= ax2+bx+c (a<0)
向上
a 的值越大时，开口越小，y 变化越快
直线x b
2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
在对称轴的左侧, y随着x的增大而减小.
（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定
开口向上
a>0
开口向下
a<0
（2）C的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在x轴上方
c>0
交点在x轴下方
c<0
经过坐标原点
c=0
（3）b的符号： 由对称轴的位置确定
对称轴在y轴左侧
a、b同号
对称轴在y轴右侧
a、b异号
对称轴是y轴
b=0
（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定
知识点三 二次函数的图象和性质
问题1：一般用什么方法画函数的图象？
问题2：描点法画函数图象的一般步骤是哪些？
1.列---列表（表中给出一些自变量的值及其对 应的函数值）；
2.描---描点（在直角坐标系中描出表中数值对 应的各点）；
3.连---连线（按照横坐标由小到大的顺序把所 描各点用平滑的曲线连接起来）.
函数y=ax2+c的图象大致为（ B）
x
y
y
y
y
O
x
A
O
x
O
B
C
O
x
D
3、抛物线 y ax2 bx c 向右平移1个单位，再向下平

2
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶 点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
顶点都是原点(0，0)， 顶点是抛物线的最 高点；
增减性相同： 当 x<0时，y随x增大 而增大；当x>0时， y随x增大而减小.
y O -3
3x
开口都向下； 对称轴都是y轴；
y = ax2（a＜0）
（0，0） y轴
在x轴的下方（除顶点外） 向下
当x<0时，y随着x的增大而增大. 当x>0时，y随着x的增大而减小.
当x = 0时，最大值为0.
Thank you!
A．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1
B．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3
综合应用
3.已知y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x 的增大而减小． (1)求m的值； (2)画出该函数的图象．
解：(1)∵y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，∴m2＋m＝2且m ＋1≠0.则m＝－2或m＝1.又∵x＞0时，y随x的增大而减小，∴m＋ 1＜0，m＜－1，故m＝－2 (2)画图略
单调性
当x<0 (在对称轴 的左侧)时，y随
着x的增大而减小.
y 9 6 3
-3 O 3 x
当x>0 (在对
称轴的右侧) 时，y随着x的
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增大而增大.
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2 ，y =2x2的图象.
2
解：分别列表，再画出它们的图象，如图.
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
函数 y=1 x2，y=2x2 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点

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思维导图 例题示范
例1
如图，已知二次函数 y 1 x2 bx c 的图象经过A（2，0）、 2
B（0，-6）两点。
（1）求这个二次函数的解析式；
解：（1）将点A（2，0）、B（0，-6）代入得：c226b c 0 ，
解得：bc
4 6
解：（3）存在，点P的坐标为 (0, 2) 。 3
AD长度固定，只需找到点P使AP+PD最小即可，找到点A关于y轴的 对称点A'，连接A'D，则A'D与y轴的交点即是点P的位置。
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思维导图 例题示范
例2
某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/ 千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量 就减少10千克。 （1）写出月销售利润y与售价x之间的函数关系式。
人教版九年级上册 数学 课件 第二十二章 二次函数 复习课件(共20张PPT)
思维导图 例题示范
例2
某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/ 千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量 就减少10千克。 （2）销售单价定为55元时，计算月销售量与销售利润。

解：因为第1档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件， 所以第 x 档次，提高了(x−1)档，利润增加了 2(x−1)元． 所以 y＝[6＋2(x−1)][95−5(x−1)]， 即 y＝−10x2＋180x＋400(其中 x 是正整数，且1≤x≤10)．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．

温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二 次项.
2.
y＝ax2
二
图象
次
a>0 y
O x
a<0 yx
O
函 位置开
数
口方向 开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
的 对称性
7.二次函数的应用
1．二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问
题)； (2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解．
2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间 的函数关系；(2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质 解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．
∵x1<x2<1，∴y1<y2 . 故选B.
下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ D ）
A. y= x2
B.y=x-1 C. y 3 x
4
D.y=-3x2
3 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与系数a，b，c的关系
【例3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①abc＞
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
图
顶点坐标是原点（0，0）
象 顶点最值
与
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
性 增减性 质
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
2.二次函数的图象与性质
y=ax2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标

y 1 x2 2
从二次函数 y 1 x2，y 2x2 2
和 y x2的图象可以看出：
24 x
当x 0时，y有最小值0. 当 x 0时，y随x的增大而减小； 当 x 0时，y随x的增大而增大.
y 2x2
y 8 6 4 2
4 2 O
1. 函数 y 1 x2，y 2x2的图象与函数 y x2 2
3
3
们的图象开口按从小到大的顺序排列为：__①_③__②__.
解析：由二次函数解析式可知，点(1,3)在抛物线 y 3x2
上，点(1, 2) 在抛物线 y 2 x2上，点 (1, 4) 在抛物
线
y
4
3 x2 上.
3
3
3
3 4 2 抛物线开口从小到大分别为①③② .
33
三、课堂例题
例
3
已知抛物线
布置作业
1. y=(m2－9)x3+(m－3)x2+2x－5是二次函数. (1)求m的值和函数解析式； (2)指出二次项系数、一次项系数和常数项.
2.某畅销书现价30元，月销量200本，调查发 现售价每降低一元，月销量可以增加20本. (1) 降价3元时，销售额是多少？ (2) 写出降x元后，销售额y与x的关系式.
第二步：描点.
y 9
6
3
3 O
3x
x … 3 2 1 0 1 2 3 … y x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
第三步：连线.
y
y x2
9
6
3
3 O
3x
y 9 6
3
3 O
二次函数 y x2的图象和性质: y x2
x0
3x
x0

解：(1) y = x2 − 2x + 1 = (x − 1)2，顶点坐标为(1，0). (2) y = 2x2 − 4x + 6 = 2(x −1)2 + 4，顶点坐标为(1，4).
问题1 你能说出 y 1 (x 6)2 3 的对称轴及顶点坐标吗
？答：对称轴是直线
2 x=
6，顶点坐标是
(6，3).
（1）a、b 同号；
（2）当 x = -1 和 x = 3 时，函数值相
等；
（3）4a + b = 0；
–1 O
（4）当 y = -2 时，x 的值只能取 0. –2
其中正确的是 （2） .
x 3
x=1
4. 已知抛物线 y = 2x2 - 12x + 13. （1）当 x 为何值时，y 有最小值？最小值是多少？ （2）当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？ （3）将该抛物线向右平移 2 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，请直接写出新抛物线的解析式. 解：∵ y = 2x2 − 12x + 13 = 2(x − 3)2 − 5， ∴抛物线开口向上，顶点为(3，−5)，对称轴为直线x =为 −5. （2）当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小. （3）新抛物线的解析式为 y = 2(x − 5)2 − 3．
5 当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大.
O
5 10 x
要点归纳 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
1.一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 可以通过配方化成
y = a(x - h)2 + k 的形式，即
y ax2 bx c
a