知识专题3_角度计算的专项训练

关于四年级角度的计算题一、基础计算类（1 - 10题）1. 已知一个直角三角形，其中一个锐角是30°，求另一个锐角的度数。

- 解析：直角三角形有一个角是90°，三角形内角和是180°。

所以另一个锐角的度数为180° - 90°-30° = 60°。

2. 一个平角减去120°，还剩多少度？- 解析：平角是180°，180° - 120° = 60°。

3. 计算35°+145°的和。

- 解析：35°+145° = 180°。

4. 160° - 70°等于多少度？- 解析：160° - 70° = 90°。

5. 一个三角形的三个内角分别是40°、60°、x°，求x的值。

- 解析：三角形内角和是180°，所以x = 180°-(40° + 60°)=80°。

6. 求25°角的补角是多少度？- 解析：两角之和为180°时互为补角，所以补角为180° - 25° = 155°。

- 解析：两角之和为90°时互为余角，90° - 110°不存在余角（在四年级范围内可简单说明这个角没有余角）。

8. 把一个周角平均分成8份，每份是多少度？- 解析：周角是360°，360°÷8 = 45°。

9. 一个角比45°大30°，这个角是多少度？- 解析：45°+30° = 75°。

10. 75°角与105°角的和是多少度？- 解析：75°+105° = 180°。

小学数学角度的计算练习题在小学数学学习中，角度的计算是一个重要的部分。

通过练习题的形式，可以帮助学生巩固相关知识，并提高计算能力。

本文将为大家呈现一系列关于小学数学角度计算的练习题，帮助学生更好地掌握这一知识点。

1. 认识角度(1) 一个角度可以用两条射线的端点来表示。

请将下列角度的表示方法写出来：a) 直角b) 钝角c) 锐角答案：a) 直角：用一个小方块来表示，两条射线相互垂直b) 钝角：用一个小弧线来表示，两条射线的夹角大于90°c) 锐角：用一个小角标来表示，两条射线的夹角小于90°(2) 在下列图形中，找出角度并写出它的类型：a) 下图中的角度是什么类型？（直角、钝角还是锐角）[图1]答案：直角b) 下图中的角度是什么类型？（直角、钝角还是锐角） [图2]答案：钝角c) 下图中的角度是什么类型？（直角、钝角还是锐角） [图3]答案：锐角2. 角度的度量和计算(1) 请计算下列角度的度量：a) 30°b) 45°c) 90°答案：a) 30°b) 45°c) 90°(2) 利用已知的角度计算下列角度的度量：a) 如果一个角度是直角，它的度量是多少？b) 如果一个角度是钝角，它的度量是多少？c) 如果一个角度是锐角，它的度量是多少？答案：a) 直角的度量是90°b) 钝角的度量大于90°c) 锐角的度量小于90°3. 角度的比较(1) 请填入适当的符号（>, <, =）来比较下列角度的大小：a) 30° ____ 45°b) 90° ____ 180°c) 60° ____ 60°答案：a) 30° < 45°b) 90° < 180°c) 60° = 60°(2) 根据下列描述，找出正确的角度：a) 找一个锐角。

人教版七年级数学《角度换算》计算题专项练习(含答案)人教版七年级数学《角度换算》计算题专项练1.计算：13°58′+28°37′×2．解答】13°58′+28°37′×2=13°58′+57°14′=71°12′．2.计算（结果用度、分、秒表示）：22°18′20″×5﹣28°52′46″．解答】22°18'20''×5﹣28°52'46''=110°90'100''﹣28°52'46''=82°38'54''．3.计算：1）90°﹣36°12'15″2）32°17'53“+42°42'7″3）25°12'35“×5；4）53°÷6．解答】（1）90°﹣36°12'15″=53°′45″；2）32°17'53“+42°42'7″=74°59′60″=75°；3）25°12'35“×5=125°60′175″=126°2′55″；4）53°÷6=8°50′．5.计算：1）27°26′+53°48′2）90°﹣79°18′6″．解答】（1）27°26′+53°48′=81°14′；2）90°﹣79°18′6″=10°41′54″．6.计算1）25°34′48″﹣15°26′37″2）105°18′48″+35.285°．解答】（1）25°34′48″﹣15°26′37″=10°8′11″；2）105°18′48″+35.285°=140°28′48″．7.计算：1）40°26′+30°30′30″÷6；2）13°53′×3﹣32°5′31″．解答】（1）40°26′+30°30′30″÷6=45°31′；2）13°53′×3﹣32°5′31″=41°32′59″．8.计算：180°﹣48°39′40″．解答】180°﹣48°39′40″=131°20′20″．9.计算：26°21′30″+42°38′30″．解答】26°21′30″+42°38′30″=69°60′=70°．10.（1）180°﹣（34°55′+21°33′）；2）（180°﹣91°31′24″）÷2．解答】（1）180°﹣（34°55′+21°33′）=123°12′；2）（180°﹣91°31′24″）÷2=44°14′18″．11.计算：72°35′÷2+18°33′×4．解答】72°35′÷2+18°33′×4=36°17′30″+74°12′=110°29′30″．12.计算：48°39′+67°41′．解答】48°39′+67°41′=116°20′．13.计算：18°20′32″+30°15′22″．解答】18°20′32″+30°15′22″=48°35′54″．14.计算：180°﹣22°18′×5．解答】180°﹣22°18′×5=67°30′．15.计算：56°31′+29°43′×6．解答】56°31′+29°43′×6=245°19′．16.计算：49°28′52″÷4．解答】49°28′52″÷4=12°22′13″．4.计算：(1) 27°26′+53°48′。

三角形的角度计算练习题1. 已知一个三角形的两个角分别为60度和80度，求第三个角的度数。

解析：根据三角形内角和为180度的性质，我们可以得到第三个角的度数为180度减去已知两个角的度数之和。

第三个角的度数 = 180度 - (60度 + 80度) = 40度2. 已知一个三角形的一个角为75度，另外两个角的度数互补，求这两个角各自的度数。

解析：由于两个角的度数互补，即它们的和为90度，则可设其中一个角的度数为x度，那么另一个角的度数为90度减去x度。

根据已知角度的信息，我们得到方程x + (90度 - x) = 75度，解这个方程可以得到第一个角的度数为45度，第二个角的度数为90度 - 45度 = 45度。

3. 已知一个三角形的两个角分别为55度和65度，求第三个角的度数。

解析：与第一题类似，我们可以利用三角形内角和为180度的性质，计算第三个角的度数。

第三个角的度数 = 180度 - (55度 + 65度) = 60度4. 已知一个三角形的一个角为30度，另外一个角为120度，求第三个角的度数。

解析：根据三角形内角和为180度的性质，我们可以得到第三个角的度数为180度减去已知两个角的度数之和。

第三个角的度数 = 180度 - (30度 + 120度) = 30度5. 已知一个三角形的两个角分别为45度和60度，求第三个角的度数。

解析：与第一题和第三题相似，我们可以利用三角形内角和为180度的性质，计算第三个角的度数。

第三个角的度数 = 180度 - (45度 + 60度) = 75度通过以上题目的解析，我们可以进一步加深对三角形角度计算的理解和应用。

三角形的角度计算是数学中的基础知识，掌握了角度计算的方法，对于解决与三角形相关的问题将会更加游刃有余。

通过不断练习解答类似的题目，我们可以提高解决问题的能力和角度计算的准确性。

总结：本篇文章通过五道三角形的角度计算练习题，介绍了解决该类问题的思路和方法。

专题11.7 角度计算的综合大题专项训练（30道）考卷信息：本套训练卷共30题，培优篇15题，拔尖篇15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，渗透角度计算由一般到特殊的思想！1．（2021春•平顶山期末）如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E，∠B＜∠C．（1）若∠B＝44°，∠C＝72°，求∠DAE的度数；（2）若∠B＝27°，当∠DAE＝21度时，∠ADC＝∠C．【解题思路】（1）利用三角形的内角和求出∠BAC，再利用内角与外角的关系先求出∠ADC，再求出∠DAE；（2）利用三角形的内角和定理及推论，用含∠C的代数式表示出∠BAC、∠ADC，根据∠C＝∠ADC得到关于∠C的方程，先求出∠C，再求出∠DAE的度数．【解答过程】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E，∴∠BAD＝∠CAD=12∠BAC，∠AED＝90°．（1）∵∠B＝44°，∠C＝72°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣44°﹣72°＝64°．∴∠BAD=12×64°＝32°．∵∠ADC＝∠B+∠BAD ＝44°+32°＝76°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADC＝90°﹣76°＝24°．（2））∵∠B＝27°，∠C＝∠ADC，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣27°﹣∠C＝153°﹣∠C．∴∠BAD=12×（153°﹣∠C）＝76.5°−12∠C．∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝27°+76.5°−12∠C＝103.5°−12∠C．∵∠ADC＝∠C，∴103.5°−12∠C＝∠C．∴∠ADC＝∠C＝69°．∴∠DAE＝∠AED﹣∠ADC＝90°﹣69°＝21°．故答案为：21．2．（2021春•长春期末）如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．解决问题：（1）若∠OBA＝80°，∠OAB＝40°，则∠ACG＝60°；（直接写出答案）（2）若∠MON＝100°，求出∠ACG的度数．【解题思路】（1）由角平分线的定义可求出∠CBA和∠CAB的度数，再根据三角形外角的性质求出∠ACG的度数即可；（2）先根据三角形内角和定理求出∠OBA+∠OAB的度数，然后再根据角平分线的定义求出∠CBA+∠CAB的度数，最后根据三角形外角的性质求出结果即可．【解答过程】解：（1）∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=12∠BAO，∵∠OBA＝80°，∠OAB＝40°，∴∠CBA＝40°，∠CAB＝20°，∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝60°．故答案为：60°．（2）∵∠MON＝100°，∴∠BAO+∠ABO＝180°﹣100°＝80°，∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=12∠BAO，∴∠CBA+∠CAB=12（∠ABO+∠BAO）=12×80°＝40°，∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝40°．3．（2021春•兴化市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE、CD相交于点F．（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度数；（2）求证：∠CEF＝∠CFE．【解题思路】（1）根据直角三角形的性质得到∠DCB+∠B＝90°，∠CAB+∠B＝90°，进而得到∠CAB ＝∠DCB，根据角平分线的定义计算即可；（2）根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠CAE，根据直角三角形的性质得到∠CEF＝∠AFD，根据对顶角相等证明结论．【解答过程】（1）解：∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠B＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴∠CAB＝∠DCB＝50°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=12∠CAB＝25°，∴∠CEF＝90°﹣∠CAE＝65°；（2）证明：∵AE平分∠CAB，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠CAE+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AFD＝90°，∴∠CEF＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFD，∴∠CEF＝∠CFE．4．（2021春•海陵区期末）如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）若∠A＝45°，∠BDC＝70°，求∠CED的度数；（2）若∠A﹣∠ACD＝34°，∠EDB＝97°，求∠A的度数．【解题思路】（1）利用三角形内角和定理求出∠ACB，再求出∠ECD，∠EDC，可得结论．（2）设∠A＝x，则∠ACD＝x﹣34°，根据∠EDB＝∠A+∠AED，构建方程求解即可．【解答过程】解：（1）∵∠CDB＝∠A+∠ACD，∴∠ACD＝70°﹣45°＝25°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACB＝25°，∵DE∥CB，∴∠EDC＝∠BCD＝25°，∴∠DEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°．（2）设∠A＝x，则∠ACD＝x﹣34°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2x﹣68°，∵DE∥CB，∴∠AED＝∠ACB＝2x+68°，∵∠EDB＝∠A+∠AED，∴97°＝x+2x﹣68°，∴x＝55°，∴∠A＝55°．5．（2021春•宽城区期末）如图，在△ABC中，点E是边AC上一点，∠AEB＝∠ABC．（1）如图1，作∠BAC的平分线交CB、BE于D、F两点．求证：∠EFD＝∠ADC．（2）如图2，作△ABC的外角∠BAG的平分线，交CB的延长线于点D，延长BE、DA交于点F，试探究（1）中的结论是否成立？请说明理由．【解题思路】（1）首先根据角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAC，再根据内角与外角的性质可得∠EFD ＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，进而得到∠EFD＝∠ADC；（2）首先根据角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAG，再根据等量代换可得∠F AE＝∠BAD，然后再根据内角与外角的性质可得∠EFD＝∠AEB﹣∠F AE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，进而得∠EFD＝∠ADC．【解答过程】解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，又∵∠AEB＝∠ABC，∴∠EFD＝∠ADC；（2）探究（1）中结论仍成立；理由：∵AD平分∠BAG，∴∠BAD＝∠GAD，∵∠F AE＝∠GAD，∴∠F AE＝∠BAD，∵∠EFD＝∠AEB﹣∠F AE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，又∵∠AEB＝∠ABC，∴∠EFD＝∠ADC．6．（2021春•镇江期中）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部A'的位置，且A'与点C在直线AB的异侧，折痕为DE，已知∠C＝90°，∠A＝30°．（1）求∠1﹣∠2的度数；（2）若保持△A′DE的一边与BC平行，求∠ADE的度数．【解题思路】（1）先求出∠B的度数，在根据四边形内角和求出∠1+∠BFD的度数，由∠BFD＝∠A′FE和∠A’的度数可求出答案．（2）分EA'∥BC和DA'∥BC两种情况讨论．当DA'∥BC时，先求出∠A′DA＝90°，再根据折叠可得出∠ADE＝45°；当EA'∥BC时，根据平行线的性质求出∠2＝∠ABC＝60°，由（1）得出∠1＝120°，再根据折叠可求出∠ADE的度数．【解答过程】解：（1）由折叠可知，∠A′＝∠A＝30°，在△A′EF中，∠A′+∠2+∠A′FE＝180°，∴∠2＝180°﹣∠A′﹣∠A′FE＝150°﹣∠A′FE，在△ABC中，∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝60°，在四边形BCDF中，∠1+∠C+∠B+∠BFD＝360°，∴∠1＝360°﹣∠C﹣∠B﹣∠BFD＝210°﹣∠BFD，∵∠BFD＝∠A′FE，∴∠1﹣∠2＝210°﹣150°＝60°；（2）当DA'∥BC时，如图，∠A′DA＝∠ACB＝90°，∵△ADE沿DE折叠到△A′DE，∴∠ADE＝∠A′DE=12∠ADA′＝45°，当EA'∥BC时，如图，∠2＝∠ABC＝60°．由（1）知，∠1﹣∠2＝60°，∴∠1＝∠2+60°＝120°，∵△ADE沿DE折叠到△A′DE，∴∠ADE＝∠A′DE=12∠ADA′＝（180°﹣∠1）＝30°．综上所述∠ADE的度数为：45°或30°．7．（2021春•常熟市期中）已知△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，过点A作直线GH∥BC，且∠GAB＝60°，∠C＝40°．（1）求△ABC的外角∠CAF的度数；（2）求∠DAE的度数．【解题思路】（1）根据平行线的性质、对顶角相等计算即可；（2）根据角平分线的定义得到∠BAE＝40°，根据平行线的性质求出∠GAD＝90°，结合图形计算，得到答案．【解答过程】解：（1）∵GH∥BC，∠C＝40°，∴∠HAC＝∠C＝40°，∵∠F AH＝∠GAB＝60°，∴∠CAF＝∠HAC+∠F AH＝100°；（2）∵∠HAC＝40°，∠GAB＝60°，∴∠BAC＝80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝40°，∵GH∥BC，AD⊥BC，∴∠GAD＝90°，∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°．8．（2020秋•红桥区期末）如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的大小．【解题思路】根据三角形高线可得∠ADC＝90°，利用三角形的内角和定理可求解∠DAC的度数；由三角形的内角和可求解∠B的度数，再根据角平分线的定义可求出∠BAO和∠ABO的度数，再利用三角形的内角和定理可求解．【解答过程】解：∵AD是△ABC的高线，∴∠ADC＝90°，∵∠ADC+∠C+∠CAD＝180°，∠C＝70°，∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵∠ABC+∠C+∠CAB＝180°，∠C＝70°，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∵AE，BF分别平分∠BAC，∠ABC，AE，BF相交于点O，∴∠BAO=12∠BAC＝25°，∠ABO=12∠ABC＝30°，∵∠ABO+∠BAO+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝180°﹣25°﹣30°＝125°．9．（2020秋•涪城区期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3．（1）证明：∠BAC＝∠DEF；（2）∠BAC＝70°，∠DFE＝50°，求∠ABC的度数．【解题思路】（1）利用三角形的外角的性质解决问题即可．（2）利用三角形的外角的性质解决问题即可．【解答过程】（1）证明：∵∠BAC＝∠1+∠CAE，∠DEF＝∠3+∠CAE，∠1＝∠3，∴∠BAC＝∠DEF．（2）∵∠ABC＝∠2+∠ABD，∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠1+∠ABD＝∠EDF，由（1）可知∠DEF＝∠BAC＝70°，∴∠ABC＝∠1+∠ABD＝∠EDF＝180°﹣∠DEF﹣∠DFE＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∴∠ABC＝60°．10．（2021春•苏州期末）如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD 于点F．（1）求证：∠AEF＝∠AFE；（2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数．【解题思路】（1）由角平分线定义得∠ABE＝∠CBE，再根据三角形的外角性质得∠AEF＝∠AFE；（2）由角平分线定义得∠AFE＝∠GFE，进而得∠AEF＝∠GFE，由平行线的判定得FG∥AC，再根据平行线的性质求得结果．【解答过程】解：（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABF+∠BAD＝∠CBE+∠C，∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，∴∠AEF＝∠AFE；（2）∵FE平分∠AFG，∴∠AFE＝∠GFE，∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠GFE，∴FG∥AC，∵∠C＝30°，∴∠CGF＝180°﹣∠C＝150°．11．（2020秋•恩施市期末）已知：如图，△ABC中，∠BAD＝∠EBC，AD交BE于F．（1）试说明：∠ABC＝∠BFD；（2）若∠ABC＝35°，EG∥AD，EH⊥BE，求∠HEG的度数．【解题思路】（1）根据三角形的外角性质即可得出结论；（2）根据三角形内角和和互余进行分析解答即可．【解答过程】解：（1）∵∠BFD＝∠ABF+∠BAD，∠ABC＝∠ABF+∠FBC，∵∠BAD＝∠EBC，∴∠ABC＝∠BFD；（2）∵∠BFD＝∠ABC＝35°，∵EG∥AD，∴∠BEG＝∠BFD＝35°，∵EH⊥BE，∴∠BEH＝90°，∴∠HEG＝∠BEH﹣∠BEG＝55°．12．（2020秋•白银期末）（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．【解题思路】（1）作射线OA，由三角形外角的性质可知∠1+∠B＝∠3，∠2+∠C＝∠4，两式相加即可得出结论；（2）连接AD，由（1）的结论可知∠F+∠2+∠3＝∠DEF，∠1+∠4+∠C＝∠ABC，两式相加即可得出结论．【解答过程】解：（1）作射线OA，∵∠3是△ABO的外角，∴∠1+∠B＝∠3，①∵∠4是△AOC的外角，∴∠2+∠C＝∠4，②①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，即∠BOC＝∠A+∠B+∠C；（2）连接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④，③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，即∠A+∠C+∠D+∠F＝230°．13．（2021春•新蔡县期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB ＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．【解题思路】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．【解答过程】解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．14．（2020春•香坊区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝40°，AE、BF分别为△ABC的角平分线，它们相交于点O．（1）求∠EOF的度数．（2）AD是△ABC的高，∠AFB＝80°时，求∠DAE的度数．【解题思路】（1）先根据三角形内角和定理得∠C＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）的度数，由角平分线的定义和三角形内角和定理可得结论；（2）先根据垂直的定义及三角形内角和可得到∠CAD的度数，再求出∠1的度数，最后根据三角形内角和即可求解．【解答过程】解：（1）∵∠CAB+∠ABC＝180°﹣∠C，∵AE、BF是角平分线，∴∠EAB=12∠BAC，∠FBA=12∠ABC，∴∠EAB+∠FBA=12（∠BAC+∠ABC）=12（180°﹣∠C）＝90°−12∠C，∴∠AOB＝180°﹣（90°−12∠C）＝90°+12∠C，∵∠C＝40°，∴∠AOB＝110°，∴∠EOF＝∠AOB＝110°．（2）∵AD⊥BC，∠C＝40°，∴∠CAD＝50°，∵∠AFB＝80°，∴∠1＝180°﹣50°﹣80°＝50°，∴∠DAE＝180°﹣∠1﹣∠AOB＝180°﹣50°﹣110°＝20°．15．（2021春•海陵区校级月考）如图1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，CF∥AD．（1）如图1，∠B＝30°，∠ACB＝70°，求∠CFE的度数；（2）若（1）中的∠B＝α，∠ACB＝β（α＜β），则∠CFE＝12β−12α；（用α、β表示）（3）如图2，（2）中的结论还成立么？请说明理由．【解题思路】（1）求∠CFE的度数，求出∠DAE的度数即可，只要求出∠BAE﹣∠BAD的度数，由平分和垂直易得∠BAE和∠BAD的度数即可；（2）由（1）类推得出答案即可；（3）类比以上思路，把问题转换为∠CFE＝90°﹣∠ECF即可解决问题．【解答过程】解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝40°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°∴∠BAE＝60°∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°，∵CF∥AD，∠B＝α，∠ACB＝β，∴∠CFE＝∠DAE＝20°；（2）∵∠BAE＝90°﹣∠B，∠BAD=12∠BAC=12（180°﹣∠B﹣∠ACB），∵CF ∥AD ，∴∠CFE ＝∠DAE ＝∠BAE ﹣∠BAD ＝90°﹣∠B −12（180°﹣∠B ﹣∠BCA ）=12（∠ACB ﹣∠B ）=12β−12α， 故答案为：12β−12α； （3）（2）中的结论成立．∵∠B ＝α，∠ACB ＝β，∴∠BAC ＝180°﹣α﹣β，∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC =12∠BAC ＝90°−12α−12β，∵CF ∥AD ，∴∠ACF ＝∠DAC ＝90°−12α−12β，∴∠BCF ＝β+90°−12α−12β＝90°−12α+12β，∴∠ECF ＝180°﹣∠BCF ＝90°+12α−12β，∵AE ⊥BC ，∴∠FEC ＝90°，∴∠CFE ＝90°﹣∠ECF =12β−12α．16．（2021春•市北区期末）阅读并填空将三角尺（△MPN ，∠MPN ＝90°）放置在△ABC 上（点P 在△ABC 内），如图1所示，三角尺的两边PM 、PN 恰好经过点B 和点C ．我们来探究：∠ABP 与∠ACP 是否存在某种数量关系．（1）特例探索：若∠A ＝50°，则∠PBC +∠PCB ＝ 90 度；∠ABP +∠ACP ＝ 40 度；（2）类比探索：∠ABP、∠ACP、∠A的关系是∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A；（3）变式探索：如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．【解题思路】（1）利用三角形内角和定理即可解决问题．（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可证明．（3）不成立；存在结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可解决问题．【解答过程】解：（1）∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∵∠P＝90°，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠ABP+∠ACP＝130°﹣90°＝40°，故答案为：90，40；（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．证明：∵（∠PBC+∠PCB）+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，∴90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，∴∠ABP+∠ACP+∠A＝90°，∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．故答案为：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A；（3）结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，理由是：设AB交PC于O，如图2：∵∠AOC＝∠POB，∴∠ACO+∠A＝∠P+∠PBO，即∠ACP+∠A＝90°+∠ABP，∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，故答案为：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．17．（2021春•东海县期末）如图1．△ABC的外角平分线BF、CF交于点F．（1）若∠A＝50°．则∠F的度数为65°；（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M、N．若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A与a+β满足的数量关系是α+β−12∠A＝90°；（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间满足的数量关系，并说明理由；②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出三者之间满足的数量关系．【解题思路】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠F的度数；（2）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠BFC的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠A与α+β的数量关系；（3）①根据（2）中的结论∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定义，即可得到∠A与α，β之间的数量关系；②分两种情况进行讨论，根据（2）中的结论∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定义，即可得到∠A与α，β之间的数量关系．【解答过程】解：（1）如图1，∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∴∠DBC﹣∠ECB＝360°﹣130°＝230°，又∵△ABC的外角平分线交于点F，∴∠FBC+∠FCB=12（∠DBC+∠ECD）=12×230°＝115°，∴△BCF中∠F＝180°﹣115°＝65°，故答案为65°；（2）如图2，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，又∵△ABC的外角平分线交于点F，∴∠FBC+∠FCB=12（∠DBC+∠ECB）=12×（180°+∠A）＝90°+12∠A，∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°−12∠A，又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，∴α+β+90°−12∠A＝180°，即α+β−12∠A＝90°，故答案为：α+β−12∠A＝90°；（3）①α+β−12∠A＝90°，理由如下：如图3，由（2）可得，∠BFC＝90°−12∠A，∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，∴α+β+90°−12∠A＝180°，即α+β−12∠A＝90°，②当直线MN与线段BC有交点时，①中∠A与α，β之间的数量关系不成立，分两种情况：如图4，当M在线段AB上，N在AC延长线上时，由（2）可得，∠BFC＝90°−12∠A，∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，∴90°−12∠A﹣α+β＝180°，即β﹣α−12∠A＝90°；如图5，当M在AB的延长线上，N在线段AC上时，由（2）可得，∠BFC＝90°−12∠A，∴∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，∴90°−12∠A﹣β+α＝180°，即α﹣β−12∠A＝90°；综上所述，∠A与α，β之间的数量关系为β﹣α−12∠A＝90°或α﹣β−12∠A＝90°．18．（2021春•宽城区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）如图1，点P在斜边AB上运动．①若∠α＝70°，则∠1+∠2＝160度．②写出∠α、∠1、∠2之间的关系，并说明理由．（2）如图2，点P在斜边AB的延长线上运动（CE＜CD），BE、PD交于点F，试说明∠1﹣∠2＝90°+∠α．（3）如图3，点P在△ABC外运动（只需研究图③的情形），直接写出∠α、∠1、∠2之间的关系．【解题思路】（1）①求出∠CEP+∠CDP，可得结论．②结论：∠1+∠2＝90°+∠α．连接PC，利用三角形的外角的性质解决问题即可．（2）利用三角形的外角的性质以及三角形内角和定理证明即可．（3）利用基本结论∠C+∠3＝∠P+∠4，构建关系式，可得结论．【解答过程】解：（1）①∵∠C＝90°，α＝70°，∴∠CEP+∠CDP＝360°﹣（90°+70°）＝200°，∴∠1+∠2＝360°﹣200°＝160°，故答案为：160．②结论：∠1+∠2＝90°+∠α．理由：如图1中，连结CP．∵∠1＝∠DCP+∠CPD，∠2＝∠ECP+∠CPE，∴∠1+∠2＝∠DCP+∠CPD+∠ECP+∠CPE，∵∠DCP+∠ECP＝∠ACB＝90°，∠CPD+∠CPE＝∠DPE＝∠α，∴∠1+∠2＝90°+∠α．（2）如图2中，∵∠1＝∠ACB+∠CFD，∠CFD＝∠2+∠α，∴∠1＝∠ACB+∠2+∠α．∵∠ACB＝90°，∴∠1＝90°+∠2+∠α．∴∠1﹣∠2＝90°+∠α．（3）结论：∠2﹣∠1＝90°﹣∠α．理由：如图3中，∵∠C+∠3＝∠P+∠4，∠C＝90°，∠P＝α，∴90°+（180°﹣∠2）＝α+（180°﹣∠1），∴∠2﹣∠1＝90°﹣∠α．19．（2021春•延庆区期末）在三角形ABC中，点D在线段AC上，ED∥BC交AB于点E，点F在线段AB上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点F作FG⊥FD交射线CB于点G．（1）如图1，点F在线段BE上，用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，并证明；（2）如图2，点F在线段BE上，求证：∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（3）当点F在线段AE上时，依题意，在图3中补全图形，请直接用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，不需证明．【解题思路】（1）结论：∠EDF+∠BGF＝90°．如图1中，过点F作FH∥BC交AC于点H．利用平行线的性质求解即可．（2）如图2中，过点F作FH∥BC交AC于点H．利用平行线的性质求解即可．（3）作出图形，利用平行线的性质求解即可．【解答过程】（1）解：结论：∠EDF+∠BGF＝90°．理由：如图1中，过点F作FH∥BC交AC于点H．∵ED∥BC，∴ED∥FH．∴∠EDF＝∠1．∵FH∥BC，∴∠BGF＝∠2．∵FG⊥FD，∴∠DFG＝90°．∴∠1+∠2＝90°．∴∠EDF+∠BGF＝90°．（2）证明：如图2中，过点F作FH∥BC交AC于点H．∴∠ABC＝∠AFH．∴∠ABC＝∠1+∠3．∴∠3＝∠ABC﹣∠1．∵∠EDF＝∠1，∴∠3＝∠ABC﹣∠EDF．∵FG⊥FD，∴∠DFG＝90°．∴∠BFG+∠3＝90°．∴∠3＝90°﹣∠BFG．∴90°﹣∠BFG＝∠ABC﹣∠EDF．∴∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°．（3）解：结论：∠BGF﹣∠EDF＝90°．理由：设DE 交FG 于J ．∵DE ∥BC ，∴∠BGF ＝∠FJE ，∵∠FJE ＝∠DEJ +∠EDF ，∠DEJ ＝90°，∴∠BGF ﹣∠EDF ＝90°20．（2021春•中山市期末）同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很多数学问题，请你解答：（1）如图1，∠α和∠β具有怎样的数量关系？请说明理由；（2）如图2，∠DFC 的平分线与∠EGC 的平分线相交于点Q ，求∠FQG 的大小；（3）如图3，点P 是线段AD 上的动点（不与A ，D 重合），连接PF 、PG ，∠DFP+∠FPG ∠EGP 的值是否变化？如果不变，请求出比值；如果变化，请说明理由．【解题思路】（1）如图1，延长AM 交EG 于M ．由题意知：DF ∥EG ，∠ACB ＝90°，故∠α＝∠GMC ，∠ACB ＝∠GMC +∠CGM ＝90°．进而推断出∠β+∠α＝90°．（2）如图2，延长AC 交EG 于N ．由题意知：DF ∥EN ，∠ACB ＝90°，得∠1＝∠GNC ，∠CGN +∠GNC ＝90°，故∠1+∠CGN ＝90°．因为∠DFC 的平分线与∠EGC 的平分线相交于点Q ，所以∠QFC =12∠DFC =12(180°−∠1)=90°−12∠1，∠GQC ＝90°−12∠CGN ．那么，∠FQG ＝360°﹣∠QFC ﹣∠QGC﹣∠ACB ＝135°．（3）由题意知：DF ∥EG ，得∠FOG ＝∠EGO ，故∠DFP+∠FPG ∠EGP =∠GOF ∠EGP =1．【解答过程】解：（1）如图1，延长AM 交EG 于M ．∠β+∠α＝90°，理由如下：由题意知：DF ∥EG ，∠ACB ＝90°．∴∠α＝∠GMC ，∠ACB ＝∠GMC +∠CGM ＝90°．∵∠EGB 和∠CGM 是 对顶角，∴∠β＝∠CGM ．∴∠β+∠α＝90°．（2）如图2，延长AC 交EG 于N ．由题意知：DF ∥EN ，∠ACB ＝90°．∴∠1＝∠GNC ，∠CGN +∠GNC ＝90°．∴∠1+∠CGN ＝90°．∵QF 平分∠DFC ，∴∠QFC =12∠DFC =12(180°−∠1)=90°−12∠1．同理可得：∠GQC ＝90°−12∠CGN ．∵四边形QFCG 的内角和等于360°．∴∠FQG ＝360°﹣∠QFC ﹣∠QGC ﹣∠ACB ＝360°﹣（90°−12∠1）﹣（90°−12∠CGN ）﹣90°． ∴∠FQG ＝135°．（3）如图3，由题意知：DF ∥EG ．∴∠FOG ＝∠EGO ．∴∠DFP+∠FPG ∠EGP =∠GOF ∠EGP =1． ∴∠DFP+∠FPG ∠EGP 的值不变．21．（2021春•禅城区期末）△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AE 是△ABC 的高．（1）如图1，若∠B ＝40°，∠C ＝60°，求∠DAE 的度数；（2）如图2（∠B ＜∠C ），试说明∠DAE 与∠B 、∠C 的数量关系；（3）拓展：如图3，四边形ABDC 中，AE 是∠BAC 的角平分线，DA 是∠BDC 的角平分线，猜想：∠DAE 与∠B 、∠C 的数量关系是否改变．说明理由．【解题思路】（1）根据三角形的内角和定理可求得∠BAC ＝80°，由角平分线的定义可得∠CAD 的度数，利用三角形的高线可求∠CAE 得度数，进而求解即可得出结论；（2）根据（1）的推理方法可求解∠DAE、∠B、∠C的数量关系；（3）连接BC交AD于F，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，根据角平分线的定义得到∠EAM=12（∠ACB﹣∠ABC），同理，∠ADN=12（∠BCD﹣∠CBD），求得∠MAD＝∠ADN，根据角的和差即可得到结论．【解答过程】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝80°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD＝∠BAD=12∠BAC＝40°，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°；（2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD＝∠BAD=12∠BAC，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠C，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE=12∠BAC﹣（90°﹣∠C）=12（180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C=12∠C−12∠B，即∠DAE=12∠C−12∠B；（3）不变，理由：连接BC交AD于F，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，∵AE是∠BAC的角平分线，AM是高，∴∠EAM=12（∠ACB﹣∠ABC），同理，∠ADN=12（∠BCD﹣∠CBD），∵∠AFM＝∠DFN，∠AMF＝∠DNF＝90°，∴∠MAD＝∠ADN，∴∠DAE＝∠EAM+∠MAD＝∠EAM+∠ADN=12（∠ACB﹣∠ABC）+12（∠BCD﹣∠CBD）=12（∠ACD﹣∠ABD）．22．（2021春•侯马市期末）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数．（3）如图（3），直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是∠P＝90°+12（∠B+∠D）；（4）如图（4），直线AP平分∠BAD的外角∠F AD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是∠P＝180°−12（∠B+∠D）．【解题思路】（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；（2）根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；（3）表示出∠P AD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；（4）根据四边形的内角和等于360°可得（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B＝360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D＝360°，然后整理即可得解．【解答过程】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，∴∠BAP＝∠P AD，∠BCP＝∠PCD，由（1）的结论得，∠P+∠BCP＝∠ABC+∠BAP，①，∠P+∠P AD＝∠ADC+∠PCD②，①+②得，2∠P+∠BCP+∠P AD＝∠BAP+∠PCD+∠ABC+∠ADC，∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，∵∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，∴∠P＝26°．（3）∵直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠P AB＝∠P AD，∠PCB＝∠PCE，∴2∠P AB+∠B＝180°﹣2∠PCB+∠D，∴180°﹣2（∠P AB+∠PCB）+∠D＝∠B，∵∠P+∠P AD＝∠PCB+∠AOC＝∠PCB+∠B+2∠P AD，∴∠P＝∠P AD+∠B+∠PCB＝∠P AB+∠B+∠PCB，∴∠P AB+∠PCB＝∠P﹣∠B，∴180°﹣2（∠P﹣∠B）+∠D＝∠B，即∠P＝90°+12（∠B+∠D）．故答案为：∠P＝90°+12（∠B+∠D）．（4）∵直线AP平分∠BAD的外角∠F AD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠F AP＝∠P AO，∠PCE＝∠PCB，在四边形APCB中，（180°﹣∠F AP）+∠P+∠PCB+∠B＝360°①，在四边形APCD中，∠P AD+∠P+（180°﹣∠PCE）+∠D＝360°②，①+②得：2∠P+∠B+∠D＝360°，∴∠P＝180°−12（∠B+∠D）．故答案为：∠P＝180°−12（∠B+∠D）．23．（2020春•西城区校级期末）在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，且BD，CE相交于点M，MN⊥BC于点N．将∠MBN记为∠1，∠MCN记为∠2，∠CMN记为∠3．（1）如图1，若∠A＝110°，∠BEC＝130°，则∠2＝20°，∠3﹣∠1＝55°；（2）如图2，猜想∠3﹣∠1与∠A的数量关系，并证明你的结论；（3）若∠BEC＝α，∠BDC＝β，用含α和β的代数式表示∠3﹣∠1的度数．（直接写出结果即可）解：（2）∠3﹣∠1与∠A的数量关系是：∠3﹣∠1=12∠A．（3）∠3﹣∠1＝α+β3−30°．【解题思路】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACE＝∠BEC﹣∠A，再根据角平分线的定义可得∠2＝∠ACE；根据角平分线的定义求出∠ACB，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC，然后求出∠1，根据直角三角形两锐角互余求出∠3，然后相减即可得解；（2）根据角平分线的定义可得∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，再根据直角三角形两锐角互余表示出∠3，然后表示出∠3﹣∠1＝90°−12∠ACB−12∠ABC，再根据三角形的内角和定理可得∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A，然后代入整理即可得解；（3）在△BCE和△BCD中，根据三角形内角和定理列式整理得到∠1+∠2，再根据三角形的内角和定理和角平分线的定义用∠A表示出∠1+∠2，然后根据∠3﹣∠1=12∠A整理即可得解．【解答过程】（1）解：在△ACE中，∠ACE＝∠BEC﹣∠A＝130°﹣110°＝20°，∵CE平分∠ACE，∴∠2＝∠ACE＝20°，∴∠ACB＝2∠2＝2×20°＝40°，在△ABC中，∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣110°﹣40°＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠1=12∠ABC=12×30°＝15°，∵MN⊥BC，∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣20°＝70°，∴∠3﹣∠1＝70°﹣15°＝55°，故答案为：20，55；（2）∠3﹣∠1与∠A的数量关系是：∠3﹣∠1=12∠A．证明：在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，∵MN⊥BC于点N，∴∠MNC＝90°，在△MNC中，∠3＝90°﹣∠2，∴∠3﹣∠1＝90°﹣∠2﹣∠1，＝90°−12∠ACB−12∠ABC，＝90°−12（∠ACB+∠ABC），∵在△ABC中，∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A，∴∠3﹣∠1＝90°−12（180°﹣∠A）=12∠A；故答案为：∠3﹣∠1=12∠A ；（3）∵BD ，CE 是△ABC 的两条角平分线， ∴∠ABC ＝2∠1，∠ACB ＝2∠2，在△BCE 和△BCD 中，∠1+2∠2+β＝180°， ∠2+2∠1+α＝180°， ∴∠1+∠2＝120°−α+β3，∵∠1+∠2=12（∠ACB +∠ABC ）=12（180°﹣∠A ）， ∴120°−α+β3=12（180°﹣∠A ）， 整理得，12∠A =α+β3−30°，∴∠3﹣∠1=α+β3−30°． 故答案为：α+β3−30°．24．（2020春•福山区期中）直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧！ 【问题探究】（1）如图1，请直接写出∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝ 180° ；（2）将图1变形为图2，∠A +∠DBE +∠C +∠D +∠E 的结果如何？请写出证明过程； （3）将图1变形为图3，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的结果如何？请写出证明过程． 【变式拓展】（4）将图3变形为图4，已知∠BGF ＝160°，那么∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数是 320° ．【解题思路】（1）根据三角形外角的性质，得到∠2＝∠C+∠E，∠1＝∠A+∠2，根据三角形内角和等于180°即可求解．（2）根据三角形外角的性质，得到∠ABE＝∠C+∠E，∠DBC＝∠A+∠D，即可证明此结论．（3）根据三角形外角的性质，得到∠DFG＝∠B+∠E，∠FGD＝∠A+∠C，即可证明此结论；（4）根据三角形外角的性质，得到∠BGF＝∠B+∠2＝160°，∠2＝∠D+∠F，∠BGF＝∠1+∠E＝160°，∠1＝∠A+∠C，即可得到结论．【解答过程】（1）解：如图1，∵∠2＝∠C+∠E，∠1＝∠A+∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠1+∠B+∠D＝180°，故答案为：180°；（2）证明：∵∠ABE＝∠C+∠E，∠DBC＝∠A+∠D，∠ABE+∠DBE+∠DBC＝180°，∴∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E＝180°∴将图①变形成图②∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E仍然为180°；（3）证明：∵在△FGD中，∠DFG+∠FGD+∠D＝180°，∠DFG＝∠B+∠E，∠FGD＝∠A+∠C，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，∴将图①变形成图③，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E还为180°；（4）解：∵∠BGF＝∠B+∠2＝160°，∠2＝∠D+∠F，∴∠B+∠D+∠F＝160°，∵∠BGF＝∠1+∠E＝160°，∠1＝∠A+∠C，∴∠A+∠C+∠E＝160°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝320°，故答案为：320°．25．（2020春•蓬溪县期末）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝122°；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC 与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝119°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝29°．【解题思路】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）由角平分线得出∠ECB=12∠ACB，∠EBD=12∠ABD．由三角形外角的性质知∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，根据∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB可得答案；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠QBC与∠QCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得．【解答过程】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB（角平分线的定义），∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠A）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A＝90°+12×64°＝122°．故答案为：122°；（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB=12∠ACB，∠EBD=12∠ABD．∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，∴∠BEC=12∠A=12α；（3）结论：∠BQC＝90°−12∠A．理由如下：∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠A+∠ABC）．∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB，＝180°−12（∠A+∠ACB）−12（∠A+∠ABC），＝180°−12∠A−12（∠A+∠ABC+∠ACB），＝180°−12∠A﹣90°＝90°−12∠A；（4）由（3）可知，∠BQC＝90°−12∠A＝90°−12×64°=58°，由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°+12×58°=119°；由（2）可知，∠R=12∠BQC＝29°故答案为119，29．26．（2021春•鄂州期末）探究知：任何一个三角形都满足三角形三内角和等于180°，我们把这个结论称之为三角形三内角和定理．如图1，AB∥CD，且∠BED+∠CDE＝120°，请根据题目条件，结合三角形三内角和定理，探究下列问题：（1）如图2，在图1基础上作：∠BEF=12∠DEF，∠CDE＝3∠CDF，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数；（2）如图3，在图1基础上作：过B作BG⊥AB，交CD于点F，且∠CDG=34∠CDE，求∠G∠E的值．【解题思路】（1）设∠BEF＝α，∠CDF＝β，根据角之间的比例关系可得∠DEF＝2α，∠DEB＝3α，∠CDE＝3β，∠EDF＝2β，进而可得∠DEF+∠EDF＝80°，所以可得答案；（2）根据垂直可得∠CDG ＝90°﹣∠G ，再根据∠E +∠CDE ＝120°经过整理得3∠E ＝4∠G ，进而可得答案．【解答过程】解：（1）∵∠BEF =12∠DEF ， ∴∠DEF ＝2∠BEF ， 又∵∠CDE ＝3∠CDF ， ∴设∠BEF ＝α，∠CDF ＝β，∴∠DEF ＝2α，∠DEB ＝3α，∠CDE ＝3β，∠EDF ＝2β， ∵∠BED +∠CDE ＝120°， ∴3α+3β＝120°， ∴α+β＝40°， ∴2α+2β＝80°，∴∠EFD ＝180°﹣∠DEF ﹣∠EDF ＝180°﹣（2α+2β）＝180°﹣80°＝100°， 答：∠EFD 的度数为100°； （2）∵BF ⊥AB ， ∴∠ABG ＝90°， ∵AB ∥CD ，∴∠ABG +∠BFC ＝180°， ∴∠BFC ＝∠GFD ＝90°，在△GFD 中，∠GFD +∠CDG +∠G ＝180°， ∴∠CDG ＝90°﹣∠G ，∵∠E +∠CDE ＝120°，∠CDG =34∠CDE ，∴∠E +43∠CDG =120°，∠E +43（90°﹣∠G ）＝120°， 整理得：3∠E ＝4∠G ， ∴∠G ∠E=34．27．（2020秋•南昌期中）【问题探究】将三角形ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处（1）如图1，当点A 落在四边形BCDE 的边CD 上时，直接写出∠A 与∠1之间的数量关系； （2）如图2，当点A 落在四边形BCDE 的内部时，求证：∠1+∠2＝2∠A ；（3）如图3，当点A落在四边形BCDE的外部时，探索∠1，∠2，∠A之间的数量关系，并加以证明；【拓展延伸】（4）如图4，若把四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部点A′、D′的位置，请你探索此时∠1，∠2，∠A，∠D之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由．【解题思路】（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题；（2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题；（3）运用三角形的外角性质即可解决问题；（4）根据三角形的内角和和四边形的内角和即可得到结论．【解答过程】解：（1）如图1，∠1＝2∠A．理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D＝∠A；∵∠1＝∠A+∠EA′D，∴∠1＝2∠A；（2）如图2，2∠A＝∠1+∠2．理由如下：∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，由折叠知识可得：∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1+∠2；（3）如图3，∠1﹣∠2＝2∠A，理由：∵∠1+2∠AED＝180°，2∠ADE﹣∠2＝180°，∴∠1﹣∠2+2∠AED+2∠AED＝360°，∵∠A+∠AED+∠ADE＝180°，∴2∠A+2∠AED+2∠ADE＝360°，∴∠1﹣∠2＝2∠A；（4）∠1+∠2＝2（∠A+∠D）﹣360°，理由：∵∠1+2∠AEF＝180°，∠2+2∠DFE＝180°，∴∠1+∠2+2∠AEF+2∠DFE＝360°，∵∠A+∠D+∠AEF+∠DFE＝360°，∴2∠A+2∠D+2∠AEF+2∠DFE＝720°，∴∠1+∠2＝2（∠A+∠D）﹣360°．28．（2021春•桥西区期末）请认真思考，完成下面的探究过程．已知在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，∠B＝60°，∠C＝40°．【解决问题】如图1，若AD⊥BC于点D，求∠DAE的度数；【变式探究】如图2，若F为AE上一个动点（F不与E重合），且FD⊥BC于点D时，则∠DFE＝10°；【拓展延伸】如图2，△ABC中，∠B＝x°，∠C＝y°，（且∠B＞∠C），若F为线段AE上一个动点（F不与E重合），且FD⊥BC于点D时，试用x，y表示∠DFE的度数，并说明理由．【解题思路】（1）由∠B＝60°，∠C＝40°，得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．由角平分线的定义，得∠EAC＝40°．根据三角形外角的性质，得∠FED＝80°．由FD⊥BC，根据三角形内角和定理，故可求得∠DFE．（2）与（1）同理．（3）与（1）同理．【解答过程】解：（1）解决问题：∵∠B＝60°，∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．又∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠EAC=12∠BAC=40°．∴∠AED＝∠C+∠EAC＝40°+40°＝80°．∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°．∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣90°﹣80°＝10°．（2）变式探究：由（1）知：∠AED＝80°．∵FD⊥BC，∴∠FDE＝90°．∴∠DFE＝180°﹣∠FDE﹣∠FED＝180°﹣90°﹣80°＝10°．故答案为：10°．（3）拓展延伸：∠DFE=12x°−12y°，理由如下：∵∠B＝x°，∠C＝y°，∴∠BAC＝180°﹣x°﹣y°．又∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠CAE=12∠BAC=12(180°−x°−y°)=90°−12x°−12y°．∴∠AED＝∠C+∠CAE＝y°+90°−12x°−12y°=90°−12x°+12y°．∵FD⊥BC，∴∠FDE＝90°．∴∠DFE＝180°﹣∠FDE﹣∠FED＝180°﹣90°﹣（90°−12x°+12y°）=12x°−12y°．29．（2021春•庐江县期末）如图1，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．（1）求证：∠EAB＝∠CED；（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，则∠F的度数是45°（直接写出答案即可）；（3）如图3，EH平分∠CED，EH的反向延长线交∠BAE的平分线AF于点G．求证：EG⊥AF．（提示：三角形内角和等于180°）【解题思路】（1）根据垂直得到直角三角形，由直角三角形两锐角互余利用等量代换证明结论；（2）通过作FM∥AB∥CD可证∠DF A＝∠CDF+∠BAF，因为∠CDE+∠BAE＝90°和角平分线的定义可得∠F=12（∠CDE+∠BAE），继而得到答案；（3）根据角平分线的定义得∠CEH＝∠DEH＝∠GEB＝∠BAG＝∠EAF，由于∠B＝90°，∠BAE+∠BEA ＝90°，在△AEG中，可证得∠EAG+∠AEG＝90°，从而证得结论．【解答过程】（1）证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB+∠CED＝90°，∴∠BAE＝∠CED．（2）解：答案为45°；过点F作FM∥AB，如图，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∵∠C＝90°，∴∠CED+∠CDE＝90°，∵∠BAE＝∠CED，∴∠BAE+∠CDE＝90°，∵AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，∴∠CDF=12∠CDE，∠BAF=12∠BAE，∴∠CDF+∠BAF=12（∠BAE+∠CDE）＝45°，∵FM∥AB∥CD，∴∠CDF＝∠DFM，∠BAF＝∠AFM，∴∠AFD＝∠CDF+∠BAF＝45°．（3）∵EH平分∠CED，∴∠CEH=12∠CED，∴∠BEG=12∠CED，∵AF平分∠BAE，∴∠BAG=12∠BAE，∵∠BAE＝∠CED，∴∠BAG＝∠BEG，∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠BAG+∠GAE+∠AEB＝90°，即∠GAE+∠AEB+∠BEG＝90°，∴∠AGE＝90°，∴EG⊥AF．30．（2021春•崇川区期末）在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，E为边AC上一点，EF⊥BC，垂足为F，EG平分∠AEF交BC于点G．（1）如图1，若∠BAC＝90°，延长AB、EG交于点M，∠M＝α．①用含α的式子表示∠AEF为180°﹣2α；②求证：BD∥ME；（2）如图2，∠BAC＜90°，延长DB，EG交于点N，请用等式表示∠A与∠N的数量关系，并证明．。

小学数学《角度的计算》练习题(含答案)知识要点角度计算是指平面图形中，不知道大小的角，可以通过已知角的大小根据角与角的关 系计算出来。

小于90°的角叫做锐角，直角等于90°，大于90°而小于180°的角叫钝角；平角 等于180°，周角等于360°.三角形内角和是180°，在一个三角形中最多有一个钝角，最多有一个直角。

可以有 三个锐角。

直角三角形的两个锐角的度数和是90°。

等腰三角形的两个锐角度数相等，等边三 角形的三个内角相等，都是60°；平行四边形，梯形、正方形、长方形的内角和都是360°。

正方形和长方形每个角都 是 90°。

两条直线相交，形成的对角度数相等，与相邻的角相加等于180°.Z1=Z2 Z3=Z4 Z1+Z3=180° Z2+Z4=180°解题指导1答：N a 是 85° . 总结：同学们要牢记三角形的内角和是180°。

【变式题1】下图中x 是多少度？-142°,也就是N a+57° 【解题过程】180° -142 180° -57° =142 =38180°,根据图形可以看出，180° - (N a+57°) =180° 就可以求出Na 的度数。

-38° =85°【例1】求下图中N a 的度【思路点拨】三角形的内角和O解题指导2【例2】在下面的图中，Z1=Z2=Z3,在这个图中所有锐角的和是150°。

ZAOB是多少度? 【思路点拨】图中所有锐角的和是150°,图中一共有几个锐角呢，观察图形可知，除了Z AOB=Z1+Z2+Z3,Z1=Z2=Z321X10=150°N1=150°：10=15°2AOB=15°X3=45°答：2AOB=45°.总结：在本题中利用了数图形的规律知识。

七年级数学角度计算专项练习题及答案1. 角度的定义和计算角度是指由两条射线或线段所围成的部分，可以用度进行表示。

角度的计算主要有以下几个方面：(1) 同界角：同界角是指角的顶点和两边分别相等的角。

如果两个角是同界角，那么它们的度数也相等。

(2) 互补角：互补角是指两个角的度数加起来等于90度。

例如，30度的互补角是60度。

(3) 补角：补角是指两个角的度数加起来等于180度。

例如，80度的补角是100度。

(4) 相邻补角：相邻补角是指两个角的度数加起来等于180度，并且这两个角共享一条边。

例如，120度和60度是相邻补角。

2. 角度计算的基本步骤计算角度时，我们需要根据给定的信息进行分析，然后采取适当的计算方法。

下面是角度计算的基本步骤：(1) 首先，仔细观察题目中给出的图形和信息，理解题目所求的具体内容。

(2) 其次，在图形上标出已知的角度和线段长度。

(3) 根据已知信息，应用与角度计算相关的定理和公式进行计算。

(4) 最后，检查计算结果是否符合题目要求，并进行合理的解释。

3. 角度计算专项练习题及答案：现在我们来进行一些角度计算的练习，解答如下：题目一：在直线AB上，两点C和D分别位于B的两侧，且∠ACD = 40度，∠CBD = 70度，求∠ABC的度数。

解答：根据角度相加定理，可以得知∠ABC = ∠ACD + ∠CBD = 40度 + 70度 = 110度。

题目二：在平行线AB和CD之间，直线AC和BD相交于点O，如果∠AOC = 50度，求∠DOB的度数。

解答：由于直线AC和BD是平行线AB和CD的交线，所以根据同位角定理可知∠AOC = ∠DOB。

因此，∠DOB的度数也是50度。

题目三：在平行四边形ABCD中，∠C = 110度，求∠A和∠B的度数。

解答：根据平行四边形的性质可知，对角线是互补角。

所以，∠A + ∠C = 180度，∠B + ∠C = 180度。

由此可得，∠A = 180度 - ∠C = 180度 - 110度 = 70度，∠B = 180度 - ∠C = 180度 - 110度 = 70度。

四年级数学上册典型例题系列第三单元：角度计算问题“拓展型”专项练习（解析版）一、填空题。

1．图中∠1＝70°，那么∠2＝( )°。

【答案】40【分析】由图可知，∠1、∠2和∠3构成了一个平角，根据折叠的特性可知，∠1与∠3的度数相等，用平角的度数减去∠1和∠3的度数，即可算出∠2的度数。

据此解答。

如图：【详解】180°－70°－70°＝110°－70°＝40°图中∠1＝70°，那么∠2＝40°。

【点睛】本题主要考查学生对平角的认识，掌握折叠后角大小不变这一特性是解决此题的关键。

2．看图计算。

如图，已知∠1＝50°，那么∠2＝( )。

【答案】80°【分析】在图中添加∠3；如图：∠1是∠3折上去的，∠1与∠3相等，且∠1＋∠2＋∠3＝平角＝180°，已知∠1的度数，只要用180°－∠1－∠3＝∠2，据此解答。

【详解】因为∠1＝∠3＝50°，∠1＋∠2＋∠3＝180°，所以∠2＝180°－50°－50°＝130°－50°＝80°。

如图，已知∠1＝50°，那么∠2＝（80°）。

【点睛】本题主要考查了学生对折叠角的求法，关键是清楚哪些角的度数和是180°。

3．将长方形的一个角按下图所示的方式折叠。

已知140∠=︒，那么2∠=( )°。

【答案】10【分析】长方形中有四个直角，因此∠1＋∠1＋∠2＝90°，由此可知，用90°减2个∠1的度数即可，依此计算。

【详解】90°–40°－40°＝50°–40°＝10°，即∠2＝10°。

【点睛】解答此题的关键是应熟练掌握直角的特点，以及图形的折叠特点。

求角度数必考100题
（原创实用版）
目录
1.角度数的概念和重要性
2.角度数的求法
3.角度数的应用
4.求角度数必考的 100 题
正文
一、角度数的概念和重要性
角度数是几何学中的一个基本概念，表示两条射线之间的旋转程度。

在数学、物理、工程等领域中，角度数都有着重要的应用。

掌握角度数的概念和计算方法，对于解决实际问题具有重要意义。

二、角度数的求法
1.利用角度制：角度制是表示角度的一种方法，通常用度、分、秒表示。

一个圆被分为 360 等份，每一份被称为一度，60 度为一分，60 分为一秒。

2.利用弧度制：弧度制是另一种表示角度的方法，用弧长与半径之比表示角度。

一个圆的弧度制角度为 2π。

三、角度数的应用
1.解决几何问题：在几何学中，角度数常用于计算三角形、四边形的面积和周长等。

2.解决物理问题：在物理学中，角度数常用于计算力矩、功等。

3.解决工程问题：在工程领域，角度数常用于建筑、机械制造等领域。

四、求角度数必考的 100 题
1.求一个角的度数。

2.求一个角的弧度数。

3.已知一个角的度数，求其弧度数。

4.已知一个角的弧度数，求其度数。

5.求两个角的和的度数。

6.求两个角的和的弧度数。

......
95.求一个多边形的内角和。

96.求一个多边形的外角和。

97.求一个多边形的一个内角的度数。

98.求一个多边形的一个外角的度数。

99.求一个圆的周长。

100.求一个圆的面积。

小学数学关于角度计算的练习题角度计算是小学数学中的重要内容之一。

通过练习题的形式，可以帮助学生巩固并提高他们在角度计算方面的能力。

本文将为你提供一些关于小学数学角度计算的练习题，以帮助你提升解决问题的能力。

练习题1：1. 请根据下图，判断并回答以下问题：图片：（描述图片，例如：两条直线相交，形成一个角。

）a) 这个角的名称是什么？b) 这个角的度数是多少？c) 这个角是锐角、直角还是钝角？练习题2：2. 请根据下图中给出的度数，判断并回答以下问题：图片：（描述图片，例如：一个角的两边分别与一条直角边相交，另一条边与水平线平行。

）a) 这个角的名称是什么？b) 这个角的度数是多少？c) 这个角是锐角、直角还是钝角？练习题3：3. 请根据下图，计算并回答以下问题：图片：（描述图片，例如：一个正方形被划分成四个小三角形。

）a) 这四个小三角形中，哪些角是相等的？b) 这个正方形的每个内角的度数是多少？练习题4：4. 请根据下图中给出的度数，计算并回答以下问题：图片：（描述图片，例如：一个四边形，其中一个内角的度数为90度。

）a) 这个四边形的另外三个内角的度数分别是多少？b) 这个四边形是什么类型的？练习题5：5. 在下图中，AB和CD是两条平行线，EF是一条过这两条平行线的直线。

图片：（描述图片，例如：两条平行线上各有一个角为x度的相邻内角。

）a) 这两个相邻内角的度数分别是多少？b) 这两个相邻内角之和是多少？通过完成这些练习题，你可以巩固对角度计算的理解，并提高解决问题的能力。

希望这些练习题对你有所帮助，加油！。