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秘籍01 集合与常用逻辑用语1．已知集合A={（x ，y ）|22x +y 3≤，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．8C ．5D ．4【答案】A【解答】解：当x=﹣1时，得y=﹣1，0，1，当x=0时，得y=﹣1，0，1，当x=1时，得y=﹣1，0，1， 即集合A 中元素有9个，故选：A ．2．已知集合{}220A x x x =-->，则R C A =（ ）A ．{x|﹣1＜x ＜2}B ．{x|﹣1≤x ≤2}C ．{x|x ＜﹣1}∪{x|x ＞2}D ．{x|x ≤﹣1}∪{x|x ≥2}【答案】B【解答】解：集合{}220A x x x =-->，可得A={x|x ＜﹣1或x ＞2}，则：R C A ={x|﹣1≤x ≤2}． 故选：B ．集合间的基本关系在高考中时有出现，常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的值或取值范围问题，主要以选择题的形式出现，且主要有以下两种命题角度：(1)求集合的子集：若集合A 中含有n 个元素，则其子集的个数为2n 个，真子集的个数为21n -个，非空真子集的个数为22n -个.(2)根据两集合关系求参数的值或取值范围：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍.注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.3．已知命题p ：0x ∃∈R，2010x +<，则A ．p ⌝：x ∀∈R ，B ．p ⌝：x ∃∈R ，210x +> C ．p ⌝：x ∀∈R ，210x +≥ D ．p ⌝：x ∃∈R ，210x +≥【答案】C【解析】因为特称命题的否定是全称命题， 所以，命题p ：0x ∃∈R，2010x +<的否定是p ⌝：x ∀∈R ，210x +≥.故选C ．全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.4．若命题0:p x R ∃∈，20010x x -+…，命题:0q x ∀<，||x x >．则下列命题中是真命题的是( )A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】C【解答】解：Q △1430=-=-<，x R ∴∀∈，210x x -+>恒成立，故命题p 是假命题，0x ∀<Q ，||x x >恒成立，即命题q 是真命题，则()p q ⌝∧是真命题，其余为假命题，故选：C ．210x +>1．判断含逻辑联结词命题真假的方法与步骤(1)判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解，应根据组成各个命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断． (2)判断命题真假的步骤：2．含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p ∨q 真⇔p ，q 至少一个真⇔(⌝p )∧(⌝q )假． (2)p ∨q 假⇔p ，q 均假⇔(⌝p )∧(⌝q )真． (3)p ∧q 真⇔p ，q 均真⇔(⌝p )∨(⌝q )假． (4)p ∧q 假⇔p ，q 至少一个假⇔(⌝p )∨(⌝q )真． (5)⌝p 真⇔p 假；⌝p 假⇔p 真.1．对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当2211a b c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩时，b ＋c ＋d 等于 A ．1 B ．1- C ．0 D ．i【答案】B【解析】∵S ＝{a ，b ，c ，d }，∴由集合中元素的互异性可知当a ＝1时，b ＝1-，则c 2＝1-，∴c ＝±i ，由“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”知±i ∈S ，∴c ＝i ，d ＝－i 或c ＝－i ，d ＝i ，∴b ＋c ＋d ＝(1-)＋0＝1-.故选B.1．利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中的元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.2．解决集合创新型问题的方法：（1）紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．（2）用好集合的性质：集合的性质（概念、元素的性质、运算性质等）是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．2．已知集合2{|}A x ax x ==，{0B =，1，2}，若A B ⊆，则实数a 的值为( ) A ．1或2 B ．0或1 C ．0或2 D ．0或1或2【答案】D【解答】解：依题意，当0a =时，{0}A =，满足A B ⊆．当0a ≠时，若A B ⊆，则1A ∈，或者2A ∈，若1A ∈，则211a ⨯=，得1a =；若2A ∈，则222a =得2a =，综上：0a =，1或2a =．故选：D ．在进行集合的交、并、补运算中可依据元素的不同属性采用不同的方法求解： （1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图或交、并、补的定义求解； （2）点集的运算常利用数形结合的思想或联立方程进行求解；（3）连续型数集的运算，常借助数轴求解.3．已知命题“如果1a ≤，那么关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-≥的解集为∅”．它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（ ） A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】：B四种命题及其相互关系：用p 、q 表示一个命题的条件和结论，p ⌝和q ⌝分别表示条件和结论的否定，那么若原命题：若p 则q ；则逆命题：若q 则p ；否命题：若p ⌝则q ⌝；逆否命题：若q ⌝则p ⌝. 四种命题间的关系如下：4．设x 是实数，则“|1|2x -<”是“|2|1x -<”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】：B【解答】解：设x 是实数，若“|1|2x -<”则：212x -<-<， 即：321x -<-<，不能推出“|2|1x -<”若：“|2|1x -<”则：121x -<-<，即：012x <-<，能推出“|1|2x -<”由充要条件的定义可知：x 是实数，则“|1|2x -<”是“|2|1x -<”的必要不充分条件； 故选：B ．充分、必要条件的判断方法（1）命题判断法设“若p ，则q ”为原命题，那么：①若原命题为真，逆命题为假时，则p 是q 的充分不必要条件； ②若原命题为假，逆命题为真时，则p 是q 的必要不充分条件； ③若原命题与逆命题都为真时，则p 是q 的充要条件；④若原命题与逆命题都为假时，则p 是q 的既不充分也不必要条件．（2）集合判断法从集合的观点看，建立命题p ，q 相应的集合：p ：A ＝{x |p （x ）成立}，q ：B ＝{x |q （x ）成立}，那么：①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；②若A B ⊇，则p 是q 的必要不充分条件，或q 是p 的充分不必要条件； ③若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； ④若AB ，且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．（3）等价转化法利用p ⇒q 与q p ⌝⇒⌝，q ⇒p 与p q ⌝⇒⌝，p ⇔q 与q p ⌝⇔⌝的等价关系.1．已知集合{1A =，2}，2{|(1)0B x x a x a =-++=，}a R ∈，若A B =，则(a = ) A ．1 B ．2C ．1-D ．2-2已知命题0:p x R ∃∈，20010x x -+>；命题q ：若a b <，则11a b >，则下列为真命题的是( ) A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝3．已知集合2{|2}A x x x =<+，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为( ) A ．(-∞，1]- B ．(-∞，2] C ．[2，)+∞ D ．[1-，)+∞4．在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =-”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知全集3|04x U x x +⎧⎫=∈≤⎨⎬-⎩⎭Z ，集合{}|211A x x =∈+≤Z ，{}2|20B x x x *=∈--≤N ，则()U A B U ð中元素的个数是A ． 0B ． 1C ． 2D ． 36．已知集合{|}A x x a =≤，()21221{|log 4log }5B x x x =-≥，若A B =∅I ，则实数a 的取值范围为A ．()1,5-B ．[]0,4 C ．(],1-∞-D ．(),1-∞-7．在ABC ∆中，“tan tan 1A B <”是“ABC ∆为钝角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．集合{|0}A x x a =+<，，若A B B =I ，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,2)-∞- B ．(-∞，2]- C ．(0,)+∞ D ．(2,)+∞9．已知命题“0[1x ∃∈-，1]，20030x x a -++>”为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．9(4-，)+∞B ．(4,)+∞C ．(2,4)-D ．(2,)-+∞2{|20}B x x x =-≤10．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l α⊂，m β⊥，有如下的两个命题p ：若//αβ，则l m ⊥；命题q ：若//l m ，则αβ⊥．那么( )A ．p q ∧⌝是真命题B ．p q ∨⌝是假命题C ．p q ∧是真命题D ．p q ∨是假命题11．已知命题p:A ={x|x−21−x≤0}，命题q:B ={x|x −a <0}，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,+∞) B ．[2,+∞) C ．(−∞,1)D ．(−∞,1]12．“01x <<”是“2log (1)1x +<”的 条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）．1.【答案】B【解答】解：{1A =Q ，2}，2{|(1)0B x x a x a =-++=，}a R ∈， 若A B =，则1，2是方程2|(1)0x a x a -++=得两根， 则12112a a +=+⎧⎨⨯=⎩，即2a =．故选：B ． 2.【答案】B【解答】解：220001331()0244x x x -+=-+>>Q ，∴命题0:p x R ∃∈，20010x x -+>是真命题，32-<Q ，1132-<，∴命题:q a b <，则11a b>是假命题， p q ∴∧是假命题，p q ∧⌝是真命题，p q ⌝∧是假命题，p q ⌝∧⌝是假命题，故选：B ．3.【答案】C【解答】集合2{|2}A x x x =<+，解得集合{|12}A x x =-<<， 若A B ⊆，则B 集合应含有集合A 中的所有元素， 则由数形结合可知：需B 集合的端点a 满足：， 故选：C ． 4.【答案】A【解答】解：4a Q ，12a 是方程2310x x ++=的两根， 4123a a ∴+=-，4121a a =g ，4a ∴和12a 均为负值，由等比数列的性质可知8a 为负值，且284121a a a ==g ，81a ∴=-， 反之，由28841211a a a a =-⇒==g ，但是412a a +不一定等于3-，即4a ，12a 不一定是方程2310x x ++=的两根．故“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =-”的充分不必要条件， 故选A. 5．【答案】D【解析】全集}{}3{|03,2,1,0,1,2,34x U x x +=∈≤=----Z ， 集合}}{}={|211{|10=1,0A x x x x ∈+≤=∈-≤≤-Z Z ， 集合}}{}2{ |20{|121,2B x x x x x **=∈--≤=∈-≤≤=N N ，则(){}3,2,3U A B =--U ð，故集合()U A B U ð中元素的个数为3.选D ． 6．【答案】D【解析】由224045x x x x ⎧->⎪⎨-≤⎪⎩得10x -≤<或45x <≤，则()21221}{|log 4log {104}|55B x x x x x x ==-≥-≤<<≤或，又{|}A x x a =≤，A B =∅I ，所以 1.a <- 故答案为D ． 7.【答案】Ca 2≥【解答】：sin sin cos()tan tan 1100cos cos cos 0cos cos cos cos A B A B A B A B C ABC A B A B+<⇔->⇔>⇔<⇔∆为钝角三角形．∴在ABC ∆中，“tan tan 1A B <”是“ABC ∆为钝角三角形”的充要条件．故选：C ．8【答案】A【解答】解：{|}A x x a =<-，； A B B =Q I ，B A ∴⊆，2a ∴->，2a ∴<-，a ∴的取值范围为(,2)-∞-．故选：A ．9.【答案】D【解答】解：命题“0[1x ∃∈-，1]，2030x x a -++>”为真命题 等价于23a x x >-在[1x ∈-，1]上有解， 令2()3f x x x =-，[1x ∈-，1]，则等价于()min a f x f >=（1）2=-，2a ∴>-，故选：D ． 10.【答案】C【解答】解：由//αβ，m β⊥知，m α⊥，又l α⊂，则l m ⊥，从而命题p 是真命题； 由//l m ，m β⊥知，l β⊥，又l α⊂，所以αβ⊥，故命题q 也为真命题． 则p q ∧是真命题，其余为假命题，故选：C ． 11．【答案】D【解析】∵A ={x|x−21−x ≤0}={x|(x −2)(x −1)≥0且x ≠1}={x|x <1或x ≥2}，B ={x|x −a <0}={x|x <a }，又命题p 是命题q 的必要不充分条件，∴B ⊂≠A ，则a ≤1.故选D ． 12.【解答】解：22log (1)1log 2x +<=Q ， ∴1012x x +>⎧⎨+<⎩，11x ∴-<<，∴ “01x <<”是“2log (1)1x +<”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．2{|20}B x x x =-≤。
焦点在y 轴上的椭圆，那么 m 的取值范畴是—〔答：(°(谆〕2020高考数学必胜秘诀(八)圆锥曲线――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结八、圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：〔1〕第一定义中要重视”括号〃内的限制条件 ：椭圆中，与两个定点F ,, F 2的距离的和等于常数 2a ,■ ■ ■J"J- -1-■ ■ ■." ~—- -^-1" ■- ■■■且此常数2a 一定要大于 RF 2，当常数等于FT ?时，轨迹是线段卩汗2，当常数小于FT ?时，无轨迹； 双曲线中，与两定点F 1, F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2I ，定义中的”绝对值'’与2a v |F 1F 2 |不可忽视。
假设2a = |F 1F 2|，那么轨迹是以 F 1, F 2为端点的两条射线， 假设2a > |F 1F 2|，那么轨迹不存在。
假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。
女口〔 1〕定点F 1( 3,0)也(3,0),在满 足以下 条件的平 面上动点P 的轨迹中 是椭圆的是A . PF j |PF 242 2B • |PF ^ |PF 2| 6C • PF 1PF 2 10 D • PF 1 PF 2 12 〔答：C 〕；_匚2〕.方程J (x 6)2 y 2 J (x 6)2 y 2 8表示的曲线是 _________________〔答：双曲线的左支〕〔2〕第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且”点点距为分子、点线距为分母"，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的 2关系，要善于 运用第二定义对它们进行相互转化。
如点Q(2.. 2,0)及抛物线y — 上一动点P 〔x,y 〕，那4么y+|PQ|的最小值是 ______ 〔答：2〕2.圆锥曲线的标准方程 〔标准方程是指中心〔顶点〕在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程〕1 I I 12 2 2 2(3, 3)U ( -,2)〕；〔2〕假设x, y R ，且3x 2y 6，那么x y 的最大值是 _____________________ , x y 的最小值是—〔答：后2〕、x 2y 2y 2x 2〔2丨双曲线：焦点在x 轴上：—J=1，焦点在 y 轴上： 土—= 1〔 a 0,b 0〕。
秘籍04 立体几何1．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20π B．24πC．28π D．32π【答案】C【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥底面半径均为3，高均为4，则其表面积：S=π×32+π×3×5+2π×1×2=28π．故选：C．对于体积或表面积问题，一般先根据三视图准确还原几何体，再利用常规的几何体的体积公式或表面积公式求解.2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．163B．203C．169D．209【答案】B【解答】解：由题意可知几何体是组合体，左侧是四棱锥右侧是三棱柱，如图：棱锥的高为2，底面正方形的边长为2，三棱柱的底面等腰三角形的底边长为2，高为2．所以几何体的体积为：13×2×2×2+12×2×2×2=203．故选：B．求解几何体的表面积或体积的方法：(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算．(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解.对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解．(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用．3．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为2√2，则这个四棱锥的外接球的体积为（ ） A ．16π3B ．32π3C ．16πD ．32π【答案】B【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为O ，则在直角三角形ABC 中，AC=√2×AB=4， ∴AO=CO=2，在直角三角形PAO 中，PO=√PA 2−AO 2=√(2√2)2−22=2， ∴正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为2， ∴正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径r=2， 球的体积V=43πr 3=323π.故选：B ．解决与球有关的“切”“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．4．如图所示的几何体是由以等边三角形ABC 为底面的棱柱被平面DEF 所截而得，已知FA ⊥平面ABC ，AB=2，AF=2，CE=3，O 为BC 的中点，AO ∥面EFD ． （1）求BD 的长；（2）求证：面EFD ⊥面BCED ；（3）求平面DEF 与平面ACEF 相交所成锐角二面角的余弦值．【解答】解：（1）取ED 的中点P ，连接PO ，PF ，则PO 为梯形BCED 的中位线， PO=BD+CE 2=BD+32，又PO ∥BD ，AF ∥BD ，所以PO ∥AF ，所以A ，O ，P ，F 四点共面， 因为AO ∥面EFD ，且面AOPF ∩面EFD=PF ， 所以AO ∥PF ，所以四边形AOPF 为平行四边形， PO=AF=2，所以BD=1.证明：（2）由题意可知平面ABC ⊥面BCED ，又AO ⊥BC ，且AO ⊂平面ABC ，所以AO ⊥面BCED ， 因为AO ∥PF ，所以PF ⊥面BCED ，又PF ⊂面EFD ， 所以面EFD ⊥面BCED ．解：（3）以O 为原点，OC ，OA ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，A （0，√3，0），B （﹣1，0，0），C （1，0，0）．P （0，0，2），E （1，0，3），F （0，√3，2）.设Q 为AC 的中点，则Q （12，√32，0），由题意得BQ ⊥平面ACEF ，平面ACEF 的法向量为BQ →=（32，√32，0）.设平面DEF 的法向量为n →=（x ，y ，z ）， PE →=（1，0，1），PF →=（0，√3，0），则{n →⋅PF →=√3y =0n →⋅PE →=x +z =0，取x=﹣1，得n →=（﹣1，0，1）， 所以cos ＜BQ →，n →＞=BQ →⋅n→|BQ →|⋅|n →|=﹣√64，所以平面DEF 与平面ACEF 相交所成锐角二面角的余弦值为√64．利用向量求二面角求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．注意：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角．运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量坐标；(4)结合公式进行论证、计算；(5)转化为几何结论．平面与平面的夹角计算公式设平面α，β的法向量分别为μ=(a3，b3，c3)，v=(a4，b4，c4)，平面α，β的夹角为θ(0≤θ≤π)，则|cos θ|=|μ·v| |μ||v|=|cos〈μ，v〉|.1．若一个空间几何体的三视图如图所示，且已知该几何体的体积为4√33π，则其表面积为（）A．6π+4√3 B．6πC．34π+2√3 D．34π+√3【答案】A【解答】解：几何体是半圆锥，底面半径为r，高为：√3r，该几何体的体积为4√33π，可得：12×13×r2×√3rπ=4√33π，解得r=2，半圆锥的表面积为：12×22×π+12×4×2√3+12×124π×4=6π+4√3．故选：A．此类问题对考生的空间想象能力要求较高，会根据三视图作出空间几何体的直观图，然后根据条件结合表面积公式求得空间几何体的表面积，①画三视图的原则：长对正、高平齐、宽相等.②圆锥的表面积2ππS rl r =+.2．已知三棱锥P ﹣ABC 所有顶点都在球O 的球面上，底面△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，AB=2√2，PA=PB=PC=√3，则球O 的表面积为（ ） A ．9π B ．9π4C ．4πD ．π【答案】A【解答】解析：设AB 中点为D ，则D 为△ABC 的外心，因为PA=PB=PC=√3，易证PD ⊥面ABC ， 所以球心O 在直线PD 上， 又PA=√3，AB=2√2，算得PD=1，设球半径为R ，则△AOD 中，（R ﹣1）2+2=R 2，可得：R=32． 则球O 的表面积S=4πR 2=9π， 故选：A ．对于空间几何体的外接球问题，首先根据几何体的结构特征利用勾股定理求得球的半径，然后利用公式求解，球的表面积公式24πS R =，体积公式34π3V R =.3．如图，已知多面体ABC-A 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC=120°，A 1A=4，C 1C=l ，AB=BC=B 1B=2．（Ⅰ）证明：AB 1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．【解答】（I ）证明：∵A 1A ⊥平面ABC ，B 1B ⊥平面ABC ，∴AA 1∥BB 1， ∵AA 1=4，BB 1=2，AB=2，∴A 1B 1=√(AB)2+(AA 1−BB 1)2=2√2， 又AB 1=√AB 2+BB 12=2√2，∴21AA =21AB +211A B ，∴AB 1⊥A 1B 1， 同理可得：AB 1⊥B 1C 1，又A 1B 1∩B 1C 1=B 1，∴AB 1⊥平面A 1B 1C 1．（II ）解：取AC 中点O ，过O 作平面ABC 的垂线OD ，交A 1C 1于D ， ∵AB=BC ，∴OB ⊥OC ，∵AB=BC=2，∠BAC=120°，∴OB=1，OA=OC=√3，以O 为原点，以OB ，OC ，OD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示： 则A （0，﹣√3，0），B （1，0，0），B1（1，0，2），C1（0，√3，1）， ∴AB →=（1，√3，0），BB 1→=（0，0，2），AC 1→=（0，2√3，1）， 设平面ABB1的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AB →=0n →⋅BB 1→=0，∴{x +√3y =02z =0，令y=1可得n →=（﹣√3，1，0）， ∴cos ＜n →，AC 1→＞=n →⋅AC 1→|n →||AC 1→|=√32×√13=√3913．设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ，则sinθ=|cos ＜n →，AC 1→＞|=√3913． ∴直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值为√3913．直线与平面所成角的向量公式：直线a 的方向向量与平面α的法向量分别为m u r 和n r ，若m u r 与n r的夹角不大于90︒，直线a 与平面α所成的角等于m u r 与n r 夹角的余角，若m u r 与n r 的夹角大于90︒，直线a 与平面所成的角等于m u r 与n r夹角的补角的余角，所以直线a 与平面α所成的角θ的正弦值为m n m n⋅u r r u r r ．1．设 m ，n ，l 是三条不同的直线，α 是一个平面，l ⊥m ，则下列说法正确的是 ( ) A. 若 m ⊄α，l ⊥α，则 m ∥α B. 若 l ⊥n ，则 m ⊥nC. 若 l ⊥n ，则 m ∥nD. 若 m ∥n ，n ⊂α，则 l ⊥α2．已知 m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线 l 满足 l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则 ( ) A. α∥β，且 l ∥αB. α⊥β，且 l ⊥βC. α 与 β 相交，且交线垂直于 lD. α 与 β 相交，且交线平行于 l3．已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的顶点都在球O 的球面上，AB =AC=2，BC =2√2，若球O 的表面积为72π，则这个直三棱柱的体积是A．16 B．15C．8√2D．834．已知三棱锥P−ABC的高为PO，O为垂足，若P到底面△ABC三边所在的直线的距离相等，则O （假设O在△ABC内部）是△ABC的( )A. 外心B. 内心C. 垂心D. 重心5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( )A. A1E⊥DC1B. A1E⊥BDC. A1E⊥BC1D. A1E⊥AC6．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=√2，AA1=2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为A．23B．56C 3D67．如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为( )A.锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为（）A．4 B．3√2 C．2√2 D．2√39．中国古代第一部数学名著《九章算术》中，将一般多面体分为阳马、鳖臑、堑堵三种基本立体图形，其中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥Q ABC -为鳖臑，QA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥， 3QA BC ==， 5AC =，则三棱锥Q ABC -外接球的表面积为A ．16πB ．20πC ．30πD ．34π10．如图所示，扇形AOB 的半径为2，圆心角为90︒，若扇形AOB 绕OA 旋转一周，则图中阴影部分绕OA 旋转一周所得几何体的体积为( )A ．3πB ．5πC ．83πD ．163π11．用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中梯形的上底是下底的12，若原平面图形的面积为32OA 的长为( )A ．2B 2C 3．3212．已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱PA ⊥平面ABCD ，PA =2，若在四棱锥P −ABCD 的内部有一个半径为R 的球，则R 的最大值为A ．2−√2B ．1C ．√2−1D ．2√313.如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是( )A．①②B．②④ C．①③ D．②③14．如图，AB是Oe的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，则四面体P ABC-的四个面中，直角三角形的个数有()A．4个B．3个C．2个D．1个15．已知球O半径为3√2，设S、A、B、C是球面上四个点，其中∠ABC=90°，AB=BC=4√2，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为（）A．64√23 B．64√29C．32√23D．32√2916．已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱与底面垂直，底面是边长为√3的正三角形，且该三棱柱外接球的表面积为7π，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为_________.17．如图，正方形ABCD的边长为3，点E , F分别在边AD , CD上，且AE=DF=2．将此正方形沿BE,BF,EF切割得到四个三角形，现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，则该三棱锥的内切球的体积为_________．18．如图，在几何体ABC﹣A1B1C1中，点A1，B1，C1在平面ABC内的正投影分别为A，B，C，且AB⊥BC，AA1=BB1=4，AB=BC=CC1=2，E为AB1中点，（Ⅰ）求证；CE∥平面A1B1C1，（Ⅱ）求证：求二面角B1﹣AC1﹣C的大小．19．如图，梯形ABCD中，AD=BC，AB∥CD，AC⊥BD，平面BDEF⊥平面ABCD，EF∥BD，BE⊥BD．（1）求证：平面AFC⊥平面BDFE；（2）若AB=2CD=2√2，BE=EF=2，求BF与平面DFC所成角的正弦值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，PA=PD=AD=2．（1）求证：EF∥平面PBC；（2）求二面角F﹣ED﹣P的正弦值；（3）在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．21．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为√2的正方形，PA ⊥BD ． （Ⅰ）求证：PB=PD ；（Ⅱ）若E ，F 分别为PC ，AB 的中点，EF ⊥平面PCD ，求点B 到平面PCD 的距离．22．如图①所示，已知四边形SBCD 是由Rt SAB △和直角梯形ABCD 拼接而成的，其中AD DC ⊥，且点A 为线段SD 的中点，21,AD DC AB SD ===，现沿AB 进行翻折，使得二面角S AB C --的大小为90o ，连接,SC SD ，得到的图形如图②所示，点E 、F 分别在线段SB 、SC 上.（1）证明：BD AF ⊥；（2）若三棱锥E ABC -的体积是四棱锥S ABCD -体积的25，求二面角E AC B --的余弦值.1. 【答案】 A 【解析】若l⊥m，l⊥n，则m与n可能平行，也可能相交或异面，即B、C都不正确；由l⊥m，m∥n，可得l⊥n，不一定有l⊥α，即D不正确；对A，可在l上取一点P，过P作mʹ∥m，则mʹ⊥l，mʹ与l确定一个平面β，β∩α=a，由l⊥α，得l⊥a，又mʹ，a，l同在平面β内，则由l⊥mʹ，l⊥a得mʹ∥a，于是m∥a，又m⊄α，所以m∥α．2.【答案】D【解析】由题意作图得故选D．3．【答案】A【解析】设球O的半径为r，由题意知S=4πr2=72π,r=3√2，△为等腰直角三角形，因为AB=AC=2，BC=2√2，易知ABCBC)2=8，故三棱柱的高ℎ=2√r2−(12×2×2×8=16.故这个直三棱柱的体积是V=12故选A.【名师点睛】对于求解球的组合体问题常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径.4.【答案】B【解析】因为P到△ABC三边所在直线的距离相等，所以O点到三边的距离相等，所以O为△ABC的内心．故选B．5．【答案】C【解析】：连B1C，由题意得BC1⊥B1C，因为A1B1⊥平面B1BCC1，且BC1⊂平面B1BCC1，所以A1B1⊥BC1，因为A1B1∩B1C=B1，所以BC1⊥平面A1ECB1，因为A1E⊂平面A1ECB1，所以A1E⊥BC1．故选C6．【答案】A【解析】画出图形，如图所示．连接AD1,B1D1，则AD1//BC1，所以∠B1AD1即为AB1与BC1所成的角或其补角．在∆B1AD1中，AB1=AD1=√6，B1D1=2，所以由余弦定理得cos∠B1AD1=6+6−42×6=23，所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为23．故选A．7.【答案】B【解析】由 PB ⊥α，AC ⊂α 得 PB ⊥AC ，又 AC ⊥PC ，PC ∩PB =P ，所以 AC ⊥平面PBC ，AC ⊥BC ，故选B ． 8【答案】D【解答】解：利用“三线交汇得顶点”的方法，该几何体位四棱锥P ﹣ABCD 如图所示，其中，正方体棱长为2， 所以最长棱为PC=2√3． 故选：D ．9．【答案】D【解析】将三棱锥Q ABC -补全为长方体，如图，则外接球的直径为2223534R =+,所以34R =，故外接球的表面积为24π34πR =.【名师点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法：(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．10.【答案】C【解答】解：扇形AOB 的半径为2，圆心角为90︒， 扇形AOB 绕OA 旋转一周，图中阴影部分绕OA 旋转一周所得几何体为：半径为2R =的半球去掉一个底面半径为2r =，高为2h =的圆锥，∴图中阴影部分绕OA 旋转一周所得几何体的体积为：3214182222333V πππ=⨯⨯-⨯⨯⨯=．故选：C ． 11.【答案】B【解答】解：由题意，原平面图形与斜二测画法得到的直观图的面积比为2，设OA x =，则直观图的面积为213()224x x x x +=g ， 2322324x ∴=∴2x =故选：B ．12．【答案】A【解析】根据题意，当满足R 最大时，对应的球是四棱锥的内切球，根据条件可以求得该四棱锥的表面积为S =2×2+2×(12×2×2)+2×(12×2×2√2)=8+4√2， 而该四棱锥的体积为V =13×2×2×2=83，结合13SR =V ， 解得R =3×838+4√2=2+√2=2−√2.故选A.【名师点睛】该题考查的是有关几何体的内切球半径的求解问题，在解题的过程中，需要时刻关注各个量之间的关系，最关键的就是等量关系从哪里入手来寻找，即V =13S 表R 是解决该题的根本，注意对题的条件的转化和有效利用. 13.【答案】B【解答】解：在①中，AB 与CE 的夹角为45︒，∴直线AB 与平面CDE 不垂直，故①错误； 在②中，AB BC ⊥，AB CD ⊥，AB ∴⊥平面CDE ，故②正确；在③中，AB 与EC 的夹角为60︒，∴直线AB 与平面CDE 不垂直，故③错误； 在④中，AB DE ⊥，AB CE ⊥，AB ∴⊥平面CDE ，故④正确．故选：B ． 14.【答案】A【解答】证明：AB Q 是圆O 的直径90ACB ∴∠=︒即BC AC ⊥，三角形ABC 是直角三角形又PA ⊥Q 圆O 所在平面，PAC ∴∆，PAB ∆是直角三角形．且BC 在这个平面内， PA BC ∴⊥ 因此BC 垂直于平面PAC 中两条相交直线， BC ∴⊥平面PAC ，PBC ∴∆是直角三角形．从而PAB ∆，PAC ∆，ABC ∆，PBC ∆中，直角三角形的个数是：4． 故选：A ． 15.【答案】A【解答】解：当S 在经过AC 与球心的连线上时，由于：AC=√(4√2)2+(4√2)2=8，球心到AC 的中点的连线，d=√(3√2)2−42=√2， 所以：锥体的最大高度为：h=3√2+√2=4√2，所以：V=13⋅12⋅4√2⋅4√2⋅4√2=64√23．故选：A ．16．【答案】π3【解析】如图所示，P 为正三角形A 1B 1C 1的中心，设O 为ΔABC 的中心，由题意知：PO ⊥平面ABC ，连结OA ，则∠PAO 即为PA 与平面ABC 所成的角.由题易知OP 中点为外接球的球心，设三棱柱外接球的半径为r ， ∵7π=4πr 2，∴r 2=74， ∴AO 2+(OP 2)2=74.在正三角形ABC 中，AB =BC =AC =√3， ∴AO =√33×√3=1，∴PO =√3.∴tan∠PAO =POAO =√3， ∴∠PAO =π3.17．【答案】4π81【解析】如图所示，在长、宽、高分别为1,2,3的长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中， 三棱锥B 1−ABC 即为题中所给的四个面组成的三棱锥， 该三棱锥的体积：V =13×(12×1×2)×3=1，在△AB 1C 中，由勾股定理易得AC =√5,AB 1=√13,CB 1=√10， 由余弦定理可得：cos∠B 1CA =25×10=√210， 则sin∠B 1CA =√1−(√210)2=7√210，故S △B 1CA =12×√5×√10×7√210=72，该三棱锥的表面积为：S =12×(1×2+1×3+2×3)+72=9， 设三棱锥B 1−ABC 内切球的半径为R ,则V =13SR ，即：1=13×9×R,∴R =13，该三棱锥B 1−ABC 内切球的体积为V =43πR 3=4π81.【名师点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.18.【解答】（Ⅰ）证明：∵点A 1，B 1，C 1在平面ABC 内的正投影分别为A ，B ，C ， ∴AA 1∥BB 1∥CC 1，取A 1B 1中点F ，连接EF ，FC ，则EF ∥12A 1A ，EF=12A 1A ， ∵AA 14，CC 1=2，∴CC 1∥12A 1A ，CC 1=12A 1A ，∴CC 1∥EF ，CC 1=EF ，∴四边形EFC 1C 为平行四边形，∴CE ∥C 1F ， ∵CE ⊄平面A 1B 1C 1，C 1F ⊂平面A 1B 1C 1， ∴CE ∥平面A 1B 1C 1；（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，则A （2，0，0），C （0，2，0），B 1（0，0，4），C 1（0，2，2）， ∴AC →=（﹣2，2，0），CC 1→=（0，0，2），AB 1→=（﹣2，0，4），B 1C 1→=（0，2，﹣2）．设平面ACC 1的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{−2x +2y =02z =0，令x=1，则n →=（1，1，0）．同理可得平面AB 1C 1的法向量为m →=（2，1，1）， ∴cos ＜n →，m →＞=m →⋅n→|m →||n →|=√32．由图可知二面角B 1﹣AC 1﹣C 为钝角， ∴二面角B 1﹣AC 1﹣C 的大小为150°．19.【解答】解：（1）证明：∵平面BDFE ⊥平面ABCD ，平面BDFE ∩平面ABCD=BD ，AC ⊂平面ABCD ，AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面BDFE ．又AC ⊂平面AFC ，∴平面AFC ⊥平面BDFE ．（2）设AC ∩BD=O ，∵四边形ABCD 为等腰梯形，AC ⊥BD ，AB=2CD=2√2，∴OD=OC=1，OB=OA=2， ∵EF ∥OB 且EF=OB ，∴四边形FEBO 为平行四边形， ∴OF ∥BE ，且OF=BE=2，又∵BE ⊥平面ABCD ，∴OF ⊥平面ABCD ．以O 为原点，向量OA →，OB →，OF →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则B （0，2，0），D （0，﹣1，0），F （0，0，2），C （﹣1，0，0）， ∴DF →=（0，1，2），CD →=（1，﹣1，0），BF →=（0，﹣2，2），设平面DFC 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则有{n →⋅DF →=0n →⋅CD →=0，即{y +2z =0x −y =0， 不妨设z=1，得x=y=﹣2．即n →=（﹣2，﹣2，1）， 于是cos ＜n →，BF →＞=n →⋅BF→|n →||BF →|=2√2×3=√22． 设BF 与平面DFC 所成角为θ，则sin θ=|cos ＜n →，BF →＞|=√22． ∴BF 与平面DFC 所成角的正弦值为√22．20.【解答】证明：（1）如图，连结AC ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC 与BD 互相平分，又∵F 是BD 中点，F 是AC 中点， ∴EF ∥PC ，又∵在△PAC 中，E 是PA 中点，F 是AC 中点， ∴EF ∥PC ，又∵EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ， ∴EF ∥平面PBC ．解：（2）取AD 中点O ，在△PAD 中， ∵PA=PD ，∴PO ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD=AD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，∵OF ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥OF ， ∵F 是AC 的中点，∴OF ⊥AD ，如图，以O 为原点，OA ，OF ，OP 分别为x ，y ，z 轴， |OA →|为单位长度建立空间直角坐标系， ∵PA=PD=AD=2，∴OP=√3，则O （0，0，0），A （1，0，0），B （1，2，0），C （﹣1，2，0），D （﹣1，0，0），P （0，0，√3），E （12，0，√32），F （0，1，0）， ∴AB →=（0，2，0），DE →=（32，0，√32），DF →=（1，1，0）， ∵OF ⊥平面PAD ，∴OF →=（0，1，0）是平面PAD 的一个法向量， 设平面EFD 的一个法向量是n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅DF →=x +y =0n →⋅DE →=32x +√32y =0，取x=1，得n →=（1，﹣1，﹣√3）， ∴|cos ＜DF →，n →＞|=|OF →⋅n →||OF →|⋅|n →|=√5=√55，∴二面角F ﹣ED ﹣P 的正弦值为：(√55)=2√55． （3）假设在棱PC 上存在一点G ，使得GF ⊥平面EDF ， 设G （x 1，y 1，z 1），则FG →=（x 1，y 1﹣1，z 1），由（2）知平面EDF 的一个法向量n →=（1，﹣1，﹣√3）， ∵GF ⊥平面EDF ，∴设FG →=λn →=（λ，−λ，−√3λ），则x 1=λ，y 1=1−λ，z 1=−√3λ， ∵点G 在棱PC 上，∴CG →与PC →共线，∵PC →=（﹣1，2，﹣√3），CG →=（x 1+1，y 1﹣2，z 1）， ∴x 1+2−1=y 1−22=1−√3，即1+λ−2=−λ−12=√3λ−√3，无解，∴在棱PC 上不存在一点G ，使得GF ⊥平面EDF ．21.【解答】证明：（1）连接AC ，BD 交于点O ，连结PO ．解：（1）连接AC ，BD 交于点O ，连结PO ． ∵底面ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OB=OD ．又PA ⊥BD ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA ∩AC=A ， ∴BD ⊥平面PAC ，∵PO ⊂平面PAC ，∴BD ⊥PO ． 又OB=OD ，∴PB=PD ．解：（2）设PD 的中点为Q ，连接AQ ，EQ ， 则EQ ∥CD ，EQ=12CD ，又AF ∥CD ，AF=12AB=12CD ， ∴EQ ∥AF ，EQ=AF ，∴四边形AQEF 为平行四边形，∴EF ∥AQ ， ∵EF ⊥平面PCD ，∴AQ ⊥平面PCD ， ∴AQ ⊥PD ，∵Q 是PD 的中点， ∴AP=AD=√2．∵AQ ⊥平面PCD ，∴AQ ⊥CD ， 又AD ⊥CD ，AQ ∩AD=A ， ∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA ． 又BD ⊥PA ，BD ∩CD=D ， ∴PA ⊥平面ABCD ．以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B （√2，0，0），P （0，0，√2），A （0，0，0），Q （0，√22，√22）， ∵AQ ⊥平面PCD ，∴AQ →=（0，√22，√22）为平面PCD 的一个法向量． ∴PB →=（﹣√2，0，√2）， ∴点B 到平面PCD 的距离：d=|PB →⋅AQ →||AQ →|=√2+2=1．22．【解析】（1）因为二面角S AB C --的大小为90o ，且SA AB ⊥，平面SAB I 平面ABCD AB =，所以SA ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以SA BD ⊥；在直角梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=o ，21AD CD ==，2AB =， 所以1tan tan 2ABD CAD ∠=∠=，即ABD CAD ∠=∠. 又90CAD BAC ∠+∠=o ，所以90ABD BAC ∠+∠=o ，即AC BD ⊥； 又AC SA A =I ， 所以BD ⊥平面SAC ， 因为AF ⊂平面SAC ， 所以BD AF ⊥.（2）如图，分别以,,AD AB AS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,0,1)S ，(0,2,0)B ，1(1,,0)2C ，(1,0,0)D . 设三棱锥E ABC -的高为h ，因为25E ABC S ABCD V V --=，所以511215321122132ABCD S ABCDE ABC ABC S SA V V S h h --⨯⋅⨯===⋅⨯⨯⨯四边形△，故12h =， 故E 为SB 中点，即1(0,1,)2E . 设平面EAC 的法向量为(,,)x y z =m ，又1(1,,0)2AC =u u u r ，1(0,1,)2AE =u u u r ，由0,0,AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m 得10,210,2x y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取2y =-，得平面EAC 的一个法向量为(1,2,4)=-m ，又(0,0,1)AS ==u u u rn 是平面ABCD 的一个法向量，所以421cos ,||||21⋅==⋅m n m n m n ， 由图可知二面角E AC B --为锐角， 所以二面角E AC B --的余弦值为42121.。
[基础题组练]1．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：选C.因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 2．(2019·福州模拟)曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．2 B.32 C.12D.14解析：选D.f ′(x )＝1＋1x ，则f ′(1)＝2，故曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫12，0，则切线与坐标轴围成的三角形的面积为12×1×12＝14，故选D.3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D. 12解析：选A.因为y ′＝x 2－3x ，令y ′＝12，解得x ＝3，即切点的横坐标为3.4．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )解析：选D.由y ＝f ′(x )的图象知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故排除A 、C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故排除B.5．函数g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R )在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b 的值为( )A.72B.52 C.32D.12解析：选B.当x ＝1时，g (1)＝1＋52＋b ＝72＋b ，又g ′(x )＝3x 2＋5x ＋3x，所以切线斜率k ＝g ′(1)＝3＋5＋3＝11， 从而切线方程为y ＝11x －5，由于点⎝⎛⎭⎫1，72＋b 在切线上，所以72＋b ＝11－5， 解得b ＝52.故选B.6．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝________． 解析：因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7， 所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8. 答案：87．(2019·广州市调研测试)若过点A (a ，0)作曲线C ：y ＝xe x 的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是________．解析：设切点坐标为(x 0，x 0ex 0)，y ′＝(x ＋1)e x ，y ′|x ＝x 0＝(x 0＋1)ex 0，所以切线方程为y －x 0ex 0＝(x 0＋1)ex 0(x －x 0)，将点A (a ，0)代入可得－x 0ex 0＝(x 0＋1)ex 0(a －x 0)，化简，得x 20－ax 0－a ＝0，过点A (a ，0)作曲线C 的切线有且仅有两条，即方程x 20－ax 0－a ＝0有两个不同的解，则有Δ＝a 2＋4a ＞0，解得a ＞0或a ＜－4，故实数a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞)8．(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ， 所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e9．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.(2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， 所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8， 所以x 0＝－2，所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， 所以x 0＝±1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.[综合题组练]1．(应用型)在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选C.因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.故选C. 2．(应用型)(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.3．(创新型)(2019·黑龙江伊春质检)曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是________．解析：设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在M 点处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，M 点到直线的距离即为曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离．因为y ′＝22x －1，所以22x 0－1＝2，解得x 0＝1，所以M (1，0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的距离为d ，则d ＝|2＋8|4＋1＝2 5.答案：2 54．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋92x 1－4，② －2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)． 所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线， 其方程为y ＝－2x ＋5.④ 将④代入抛物线方程得， x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9，所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4. 5．(2019·福州质检)设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.。
秘籍06 三角函数与解三角形1．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在射线4y ,(0)3x x =-<上，则sin2α= A ．2425- B ．725- C ．1625D ．85【答案】A【解析】在角终边上取一点()3,4P -，所以43sin ,cos 55αα==-， 所以4324sin22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭. 所以选A.三角函数定义：设α是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，点(),P x y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离()0OP r r =>，那么角α的正弦、余弦、正切分别是sin ,cos ,tan y x yr r xααα===． （1）利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x 、纵坐标y 、该点到原点的距离r .若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．（2）已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．2．已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么()tan π-α的值等于 A ．43- B ．34-C ．34D ．43【答案】D 【解析】∵4sin 5α=，并且α是第二象限的角，3cos 5α∴=-， ∴4tan 3α=-，则()4tan π--tan 3αα==.故选D ．【名师点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式，诱导公式的应用，熟练掌握基本关系及诱导公式是解题的关键，诱导公式的口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.由题设条件可得cos α，再根据同角三角函数关系式可得tan α，然后根据诱导公式即可得解. 3．已知sin （π4+α）=35，则sin （3π4−α）=（ ） A ．45B ．−45C ．35D ．−35【答案】C【解析】：∵已知sin （π4+α）=35，则sin （3π4−α）=sin[π﹣（π4+α）]=sin （π4+α）=35， 故选：C ．【名师点睛】该题考查的是利用和角公式并借助于三角函数值求角的大小的问题，在解题的过程中，需要利用整体思维将角进行配凑求值1．同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：22sin +cos 1αα=，可以实现角α的正弦、余弦的互化； 商的关系：sin cos tan ααα=，可以实现角α的弦切互化． （2）sin ,cos αα的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin ,cos αα的齐次式，或含有22sin ,cos αα及sin cos αα的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“22sin +cos 1αα=”代换后转化为“切”后求解. 2．诱导公式公式一二三四五六角 2k π+α（k ∈Z ） π+α −α π−α2π−α 2π+α 正弦 sin α −sin α −sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α −cos α cos α −cos α sin α −sin α 正切 tan αtan α−tan α−tan α口诀函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值． 3．三角恒等变换（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式①cos()αβ±=cos cos sin sin αβαβm ②sin()αβ±=sin cos cos sin αβαβ± ③tan()αβ±=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ±±≠+∈Z m（2）二倍角公式 ①sin2α=2sin cos αα②cos2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=- ③tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且1．已知曲线C 1：y =sinx ，C 2：y =cos(12x −5π6)，则下列说法正确的是（ ）A ．把C 1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移π3，得到曲线C 2B ．把C 1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移2π3，得到曲线C 2C ．把C 1向右平移π3，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线C 2D ．把C 1向右平移π6，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线C 2【答案】B【解析】：根据曲线C 1：y =sinx ，C 2：y =cos(12x −5π6)=sin （12x ﹣π3），把C 1上各点横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin （12x ）的图象；再把得到的曲线向右平移2π3，得到曲线C 2：y=sin （12x ﹣π3） 的图象， 故选：B ．函数图象的平移变换解题策略：（1）对函数y =sin x ，y =A sin(ωx ＋φ)或y =A cos(ωx ＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为ωx ±|φ|.如下图：（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.2．函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为π2，若角φ的终边经过点(3，√3)，则f(π4)的值为（ ） A ．√32B ．√3C ．2D ．2√3【答案】A【解析】：由题意相邻对称轴的距离为π2，可得周期T=π，那么ω=2， 角φ的终边经过点(3，√3)，在第一象限．即tanφ=√33，∴φ=π6故得f （x ）=sin （2x+π6）则f(π4)=sin （π2+π6）=cos π6=√32．故选：A ． 3．已知函数()1π3sin cos cos 223f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 图象的对称轴方程； （2）将函数()f x 图象向右平移π4个单位长度，所得图象对应的函数为()g x .当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数()g x 的值域.【解析】（1）()1π313sin cos cos 2sin 2cos 22344f x x x x x x ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭1πsin 226x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令ππ2π62x k k -=+∈Z ，， 解得ππ32k x =+,k ∈Z . ∴函数()f x 图象的对称轴方程为ππ32k x =+,k ∈Z . （2）易知()12πsin 223g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ∵π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴2π2ππ2333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，， ∴2π3sin 2132x ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，， ∴()12π13sin 22324g x x ⎡⎤⎛⎫=-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，， 即当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()g x 的值域为1324⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.【名师点睛】对三角函数的考查是近几年高考考查的一大热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题时，对两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解.对于本题，（1）利用二倍角的正弦公式、诱导公式以及两角差的正弦公式将函数()f x 化为1π()=sin 226f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用ππ2π62x k k -=+∈Z ，，可解得函数()f x 图象的对称轴方程；（2）将函数()f x 图象向右平移π4个单位长度，可得()g x 的函数解析式，再利用正弦函数的性质结合正弦函数的图象可得函数()g x 的值域.（1）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的定义域均为R ；函数tan()y A x ωϕ=+的定义域均为ππ{|,}2k x x k ϕωωω≠-+∈Z .（2）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最大值为||A ，最小值为||A -；函数tan()y A x ωϕ=+的值域为R .（3）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最小正周期为2πω；函数tan()y A x ωϕ=+的最小正周期为πω．（4）对于()sin y A x ωϕ=+，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为奇函数，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为偶函数；对于()cos y A x ωϕ=+，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为奇函数，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为偶函数；对于()tan y A x ωϕ=+，当且仅当()π2k k ϕ=⋅∈Z 时为奇函数． （5）函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式ππ2π2π22k x k ωϕ-≤+≤+()k ∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()π3π2π2π22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 来确定；函数()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()2ππ2πk x k k ωϕ-≤+≤∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()2π2ππk x k k ωϕ≤+≤+∈Z 来确定；函数()()tan 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()ππππ22k x k k ωϕ-<+<+∈Z 来确定．4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b =2，c =2√2，且C =π4，则△ABC 的面积为（ ） A ．√3+1 B ．√3−1C ．4D ．2【答案】A【解析】：由正弦定理bsinB=c sinC⇒sinB =bsinC c=12，又c ＞b ，且B ∈（0，π）， 所以B =π6， 所以A =7π12，所以S =12bcsinA =12×2×2√2sin 7π12=12×2×2√2×√6+√24=√3+1．故选：A ．【名师点睛】解三角形问题，主要是确定选用什么公式：正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，一般可根据已知条件和要求的问题确定.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且（2a ﹣b ）•cosC=c•cosB ． （1）求角C 的大小；（2）若c=2，△ABC 的面积为√3，求该三角形的周长． 【解析】：（1）在△ABC 中，由正弦定理知asinA =bsinB =csinC=2R ，又因为（2a ﹣b ）•cosC=c•cosB ， 所以2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC ， 即2sinAcosC=sinA ； ∵0＜A ＜π，∴sinA ＞0； ∴cosC=12；又0＜C ＜π，∴C=π3；（2）∵S △ABC =12absinC=√34ab=√3，∴ab=4又c 2=a 2+b 2﹣2abcosC=（a+b ）2﹣3ab=4， ∴（a+b ）2=16， ∴a+b=4； ∴周长为6【名师点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意对正弦定理和余弦定理的正确使用，建立关于边或角所满足的关系，在求角的时候，必须将角的范围写上.1．正弦定理：sin sin sin a b c ==A B C. 常见变形：（1）sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c====== （2）;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C +++++======+++++ （3）::sin :sin :sin ;a b c A B C =（4）正弦定理的推广：===2sin sin sin a b c R A B C，其中R 为ABC △的外接圆的半径. 2．余弦定理：2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，常见变形：222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===. 3．三角形的面积公式：111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===. 4．利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．6．已知函数f(x)=√3sin x2cos x2−cos 2x2+12． （1）求函数f （x ）的单调递减区间；（2）若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f(A)=12，a =√3，sinB=2sinC ，求c ．【解析】：（1）f(x)=√32sinx −12cosx =sin(x −π6)， 由π2+2kπ≤x −π6≤3π2+2kπ，k ∈Z ，解得2π3+2kπ≤x ≤5π3+2kπ，k ∈Z ；∴函数f（x）的单调递减区间为[2π3+2kπ，5π3+2kπ]，k∈Z；（2）∵f(A)=sin(A−π6)=12，A∈（0，π），∴A=π3；∵sinB=2sinC，∴由正弦定理bsinB =csinC，得b=2c；又由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，a=√3，得3=4c2+c2−4c2×12，解得c=1．三角恒等变换与三角函数的图象及性质、解三角形、向量相结合的综合问题比较常见，首先利用向量的坐标运算将其转化为三角函数问题，再利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y=A sin(ωx ＋φ)＋t或y=A cos(ωx＋φ)＋t的形式，然后利用其性质进行解题，涉及的解三角形问题常需利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解.1．在直角坐标系中，若角α的终边经过点P(sin2π3，cos2π3)，则sin（π﹣α）=（）A．12B．√32C．−12D．−√322．已知α为第二象限的角，且tanα=﹣34，则sinα+cosα=（）A．﹣75B．﹣34C．﹣15D．153．已知tanα=3，则sin2α1+cos2α=（）A．﹣3 B．−1 3C ．13D ．34．设函数()11πsin 3cos ()222f x x x θθθ⎛⎫⎛⎫=+-+<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象关于原点对称，则θ的值为A ．π6- B ．π6 C ．π3-D ．π35．已知cos （π4−θ2）=23，则sinθ=（ ）A ．79B ．19C ．﹣19D ．﹣796．为了得到函数y =2cos2x 的图象，可以将函数y =cos2x −√3sin2x 的图象 A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度 D ．向右平移π3个单位长度 7.函数f(x)=2sin(ωx +φ)(0＜ω＜12，|φ|＜π2)，若f(0)=−√3，且函数f （x ）的图象关于直线x =−π12对称，则以下结论正确的是（ ） A ．函数f （x ）的最小正周期为π3B ．函数f （x ）的图象关于点(7π9，0)对称C ．函数f （x ）在区间(π4，11π24)上是增函数D ．由y=2cos2x 的图象向右平移5π12个单位长度可以得到函数f （x ）的图象8．函数f (x )=A cos(ωx +φ)(ω>0,−π<φ<0)的部分图象如图所示，则关于函数g (x )=A sin(ωx −φ)的下列说法正确的是A ．图象关于点π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，成中心对称 B ．图象关于直线π6x =对称 C ．图象可由2cos 2y x =的图象向左平移π6个单位长度得到 D ．在区间5π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 9．已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)，f （x 1）=2，f （x 2）=0，若|x 1﹣x 2|的最小值为12，且f(12)=1， 则f （x ）的单调递增区间为（ ） A ．[−16+2k ，56+2k]，k ∈Z B ．[−56+2k ，16+2k]，k ∈ZC ．[−56+2kπ，16+2kπ]，k ∈ZD ．[16+2k ，76+2k]，k ∈Z10．将函数f （x ）=2√3cos2x ﹣2sinxcosx ﹣√3的图象向左平移t （t ＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ）A ．2π3B ．π3C ．π2D ．π611．若将函数y =sin2x +√3cos2x 的图象向左平移π6个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（ ） A ．x =kπ2−π12(k ∈Z) B ．x =kπ2+π2(k ∈Z)C ．x =kπ2(k ∈Z) D ．x =kπ2+π12(k ∈Z)12．已知sinα−cosα=43，则cos 2(π4−α)=（ ） A ．19B ．29C ．49D ．5913．已知cos （π﹣α）=13，sin(π2+β)=23（其中，α，β∈（0，π）），则sin （α+β）的值为（ ）A ．4√2+√59B ．4√2−√59 C ．−4√2+√59D ．−4√2−√5914．设α∈(0，π2)，β∈(0，π4)，且tanα=1+sin2βcos2β，则下列结论中正确的是（ ）A ．2α﹣β=π4 B ．2α+β=π4 C ．α﹣β=π4 D ．α+β=π415.已知△ABC 满足AB →2=AB →⋅AC →+BA →⋅BC →+CA →⋅CB →，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形16.已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosB b+cosC c=sinA√3sinC，则b 的值为（ ）A ．√3B ．2√3C ．√32D ．√617.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若(a −b)(sinA +sinB)=c(sinC +√3sinB)，则角A 等于（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π618.在△ABC 中，设a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的边长，且直线bx+ycosA+cosB=0与ax+ycosB+cosA=0平行，则△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形19.若△ABC 的角A ，B ，C 对边分别为a 、b 、c ，且a=1，∠B=45°，S △ABC =2，则b=（ ）A ．5B ．25C ．√41D ．5√220.在△ABC 中，已知a=14，b=16，A=45°，则此三角形（ ）A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定21．ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其中b =c ，若m =(a 2,2b 2)，n =(1,sinA −1)，0⋅=m n ，则A 等于____________．22．在ΔABC 中，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，ΔABC 的面积S 满足4√3S =b 2+c 2−a 2，若a =2，则ΔABC 外接圆的面积为___________.23．在△ABC 中，a ：b ：c=4：5：6，则tanA= ．24.函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）在R 上的部分图象如图所示，则f （2018）的值为 ．25.将函数y=5sin （2x+π4）的图象向左平移φ（0＜φ＜π2）个单位后，所得函数图象关于y 轴对称，则φ= ．26．已知函数f （x ）=2sinx （sinx+cosx ）﹣a 的图象经过点（π2，1），a ∈R ． （1）求a 的值，并求函数f （x ）的单调递增区间；（2）若当x ∈[0，π2]时，不等式f （x ）≥m 恒成立，求实数m 的取值范围．27．已知函数f （x ）=2√2sinxcos （x+π4）．（△）若在△ABC 中，BC=2，AB=√2，求使f （A ﹣π4）=0的角B ．（△）求f （x ）在区间[π2，17π24]上的取值范围．28．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且（2a ﹣b ）•cosC=c•cosB ． （1）求角C 的大小；（2）若c=2，△ABC 的面积为√3，求该三角形的周长．29.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知asinB +√3bcosA =0． （1）求A ；（2）若a=√3，求△ABC 面积S 的最大值．30．已知A ，B ，C 为锐角ABC △的三个内角，向量m =(2−2sinA,cosA +sinA)，n =(1+sinA,cosA −sinA)，且⊥m n . （1）求A 的大小； （2）求y =2sin 2B +cos(2π3−2B)取最大值时角B 的大小.31．已知函数()π4sin cos 6g x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()y g x =的图象向左平移π6个单位长度得到()y f x =的图象.（1）求函数()g x 的最小正周期；（2）在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3b =，且()3f B =-，求ABC △面积的最大值.32．已知向量()2sin2,2cos2x x =a ，()πcos ,sin ()2ϕϕϕ=<b ，若()f x =⋅a b ，且函数()f x 的图象关于直线π6x =对称.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2f A =，且5b =，23c =，求ABC △外接圆的面积.1.【答案】C【解答】：∵角α的终边经过点P(sin 2π3，cos2π3)，可得cosα=sin2π3=√32，sinα=cos2π3=﹣12，∴sin （π﹣α）=sinα=﹣12， 故选：C ． 2.【答案】C 【解答】：tanα=sinαcosα=﹣34，①，sin2α+cos2α=1，②，又α为第二象限的角， ∴sinα＞0，cosα＜0，联立①②，解得sinα=35，cosα=−45， 则sinα+cosα=−15． 故选：C ． 3.【答案】D【解答】：∵tan α=3，则sin2α1+cos2α=2sinαcosα1+2cos 2α−1=tan α=3，故选：D ．4．【答案】D【解析】因为()111πsin 3cos 2sin 2223f x x x x θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又函数()f x 的图象关于原点对称，所以()ππ3k k θ-=∈Z ，即()ππ3k k θ=+∈Z ， 因为π2θ<，所以π3θ=. 故选D. 5.【答案】C【解答】：∵cos （π4−θ2）=23，∴cos （π2﹣θ）=2cos 2(π4−θ2)﹣1=﹣19=sinθ， 即sinθ=﹣19， 故选：C ． 6．【答案】B【解析】πcos23sin22cos 23y x x x ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭， 为了得到函数2cos2y x =的图象，可以将函数π2cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度. 故选B ． 7.【答案】D【解答】：函数f(x)=2sin(ωx +φ)(0＜ω＜12，|φ|＜π2)， ∵f(0)=−√3，即2sin φ=−√3， ∵−π2＜φ＜π2∴φ=−π3又∵函数f （x ）的图象关于直线x =−π12对称， ∴−ω×π12−π3=π2+k π，k ∈Z ．可得ω=12k ﹣10， ∵0＜ω＜12．∴ω=2．∴f （x ）的解析式为：f （x ）=2sin （2x ﹣π3）．最小正周期T=2π2=π，∴A 不对．当x=7π9时，可得y ≠0，∴B 不对．令﹣π2≤2x ﹣π3≤π2，可得−π12≤x ≤5π12，∴C 不对．函数y=2cos2x 的图象向右平移5π12个单位，可得2cos2（x ﹣5π12）=2cos （2x ﹣5π6）=2sin （2x ﹣5π6+π2）=2sin（2x ﹣π3）．∴D 项正确． 故选：D ． 8．【答案】D【解析】由图象可知π2,,22T A ==故=2ω， 又过点π,23⎛⎫⎪⎝⎭，所以2πcos 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且π0ϕ-<<，所以2π=3ϕ-， 因此函数为()2π2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2π2sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 显然当5π012x ≤≤时，2π2π3π2332x ≤+≤，所以函数()g x 是减函数. 故选D ． 9.【答案】B【解答】：由f （x 1）=2，f （x 2）=0，且|x 1﹣x 2|的最小值为12可知：T 4=12，∴T=2⇒ω=π，又f(12)=1，则φ=±π3+2kπ，k ∈Z ，∵0＜φ＜π2，∴φ=π3，f （x ）=2sin （πx+π3），2k π−π2≤πx+π3≤2k π+π2，k ∈Z ，故可求得f （x ）的单调递增区间为：[﹣56+2k ，16+2k]，k ∈Z ， 故选：B ． 10.【答案】D【解答】：将函数f （x ）=2√3cos2x ﹣2sinxcosx ﹣√3=√3cos2x ﹣sin2x=2cos （2x+π6）的图象向左平移t （t ＞0）个单位，可得y=2cos （2x+2t+π6）的图象．由于所得图象对应的函数为奇函数，则2t+π6=kπ+π2，k ∈Z ，则t 的最小为π6，故选：D ． 11.【答案】A【解答】：将函数y =sin2x +√3cos2x =2sin （2x+π3）的图象向左平移π6个单位长度，可得y=2sin （2x+π3+π3）=2sin （2x+2π3）的图象，令2x+2π3=kπ+π2，可得x=kπ2﹣π12，k ∈Z ，则平移后图象的对称轴方程为x=kπ2﹣π12，k ∈Z ，故选：A ． 12.【答案】A【解答】：由sinα−cosα=43，得sin 2α−2sinαcosα+cos 2α=169，∴sin2α=−79，∴cos 2(π4−α)=1+cos(π2−2α)2=1+sin2α2=1−792=19．故选：A ． 13.【答案】B【解答】：由cos （π﹣α）=13，sin(π2+β)=23，得cosα=﹣13，cosβ=23， ∵α，β∈（0，π），∴sinα=2√23，sinβ=√53． ∴sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=2√23×23−13×√53=4√2−√59． 故选：B ． 14.【答案】C 【解答】：tanα=1+sin2βcos2β=(sinβ+cosβ)2cos 2β−sin 2β=sinβ+cosβcosβ−sinβ=1+tanβ1−tanβ=tan(β+π4)．因为α∈(0，π2)，β+π4∈（π4，π2），所以α=β+π4． 故选：C ． 15.【答案】C【解答】：∵△ABC 中，AB →2=AB →⋅AC →+BA →⋅BC →+CA →⋅CB →， ∴AB →2=AB →⋅AC →−AB →⋅BC →+CA →⋅CB →=AB →（AC →﹣BC →）+CA →•CB →=AB →•AB →+CA →•CB →即AB →2=AB →2+CA →•CB →，得CA →•CB →=0∴CA →⊥CB →即CA ⊥CB ，可得△ABC 是直角三角形 故选：C ． 16.【答案】A 【解答】：△cosB b+cosC c=sinA√3sinC ，△ccosB+bcosC=a√3cbc=ab√3，△由正弦定理可得：sinCcosB+sinBcosC=bsinA √3，可得：sinA=bsinA √3，△A 为锐角，sinA≠0，解得：b=√3． 故选：A ． 17.【答案】D【解答】：∵(a −b)(sinA +sinB)=c(sinC +√3sinB)， ∴（a ﹣b ）（a+b ）=c （c+√3b ）， ∴a 2﹣c 2﹣b 2=√3bc ， 由余弦定理可得cosA=b 2+c 2−a 22bc =﹣√32，∵A 是三角形内角，∴A=5π6．故选：D ． 18.【答案】C【解答】：∵直线bx+ycosA+cosB=0与ax+ycosB+cosA=0平行， ∴ba =cosA cosB，解得bcosB=acosA ，∴利用余弦定理可得：b ×a 2+c 2−b 22ac=a ×b 2+c 2−a 22bc，整理可得：c 2（b 2﹣a 2）=（b 2+a 2）（b 2﹣a 2），∴解得：c 2=a 2+b 2或b=a ，而当a=b 时，两直线重合，不满足题意； 则△ABC 是直角三角形． 故选：C ． 19.【答案】A【解答】：S △ABC =12acsinB=12c ⋅√22=2，c=4√2 ∴b=√a 2+c 2−2accosB =√1+32−2×4√2×√22=5 故选：A ． 20.【答案】C【解答】：△ABC 中，a=14，b=16，A=45°， 由正弦定理得，14sin45°=16sinB ，sinB=4√27＜1，且b ＞a ，∴B 可以有两个值，此三角形有两解． 故选：C ．21．【答案】π4【解析】在ΔABC 中，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA ，因为b =c ，所以a 2=2b 2−2b 2cosA =2b 2(1−cosA)，又由()222sin 10a b A ⋅=+-=m n ，解得a 2=2b 2(1−sinA)， 所以1−sinA =1−cosA ，则tanA =1，由0<A <π，得A =π4.22．【答案】4π 【解析】由余弦定理得：cosA =b 2+c 2−a 22bc ⇒b 2+c 2−a 2=2bc ⋅cosA ， 由面积公式得S =12bc ⋅sinA ，又ΔABC 的面积S 满足4√3S =b 2+c 2−a 2，可得tanA =√33 ，A =π6，即sinA =12， 再由正弦定理得a sinA =2R ⇒R =2，所以外接圆面积S =πR 2=4π.23.【解答】：△ABC 中，a ：b ：c=4：5：6，设a=4k ，b=5k ，c=6k ，k ＞0，则cosA=b 2+c 2−a 22bc =25k 2+36k 2−16k 22×5k×6k=34， ∴sinA=√1−cos 2A =√1−(34)2=√74；∴tanA=sinA cosA =√73．故答案为：√73．24.【答案】2【解答】：由函数f （x ）=Asin （ωx+φ）的部分图象知，3T 4=11﹣2=9，解得T=12，ω=2πT=π6； 又f （0）=Asin φ=1，∴sin φ=1A ；f （2）=Asin （π6×2+φ）=A ，∴φ=π6，∴1A =sin π6=12，∴A=2，∴f （2018）=f （168×12+2）=f （2）=A=2．故答案为：2．25.【答案】π8【解答】：△y=5sin （2x+π4）的图象向左平移φ（0＜φ＜π2）个单位后得： g （x ）=f （x+φ）=2sin （2x+2φ+π4），△g （x ）=2sin （2x+2φ+π4）的图象关于y 轴对称，△g （x ）=2sin （2x+2φ+π4）为偶函数，△2φ+π4=kπ+π2，k△Z ，△φ=12kπ+π8，k△Z ． △0＜φ＜π2，△φ=π8．故答案为：π8．26【解答】：（1）函数f （x ）=2sinx （sinx+cosx ）﹣a 的图象经过点（π2，1）， ∴2sin π2（sin π2+cos π2）﹣a=1，即2﹣a=1，解得a=1；∴函数f （x ）=2sinx （sinx+cosx ）﹣1=2sin2x+2sinxcosx ﹣1=2×1−cos2x 2+sin2x ﹣1=sin2x ﹣cos2x =√2sin （2x ﹣π4）；令﹣π2+2kπ≤2x ﹣π4≤π2+2kπ，k ∈Z ，解得﹣π8+kπ≤x ≤3π8+kπ，k ∈Z ；∴f （x ）的单调递增区间为[﹣π8+kπ，3π8+kπ]，k ∈Z ；（2）当x ∈[0，π2]时，2x ﹣π4∈[﹣π4，3π4]，∴√2sin （2x ﹣π4）≥√2×（﹣√22）=﹣1；又不等式f （x ）≥m 恒成立，∴实数m 的取值范围是m ≤﹣1．27.【解答】：（I ）∵f(A −π4)=2√2sin(A −π4)cosA =0，∴sin(A −π4)=0或cosA =0，∴在三角形中，得A =π4或π2． ∵△ABC 中，BC=2，AB=√2，∴当A=π2时，△ABC 为等腰直角三角形，B=π4； 当A=π4时，由正弦定理可得2sin π4=√2sinC ， 求得sinC=12，∴C=π6 或C=5π6（舍去），∴B=π﹣A ﹣C=7π12．综上可得，B=π4 或B=7π12．（II ）f(x)=2√2sinx(√22cosx −√22sinx)=2sinxcosx −2sin 2x =sin2x +cos2x −1=√2(√22sin2x +√22cos2x)−1=√2sin(2x +π4)−1，∵π2≤x ≤17π24，∴5π4≤2x +π4≤5π3，∴−√2≤√2sin(2x +π4)≤−1，∴﹣√2﹣1≤sin （2x ﹣π4）≤﹣2． 由正弦函数的性质可知，当2x +π4=3π2，即x =5π8时，f(x)取最小值−√2−1；当2x +π4=5π4，即x =π2时，f(x)取最大值−2．所以，f （x ）在区间[π2，17π24]上的取值范围是[−√2−1，−2]．28【解答】：（1）在△ABC 中，由正弦定理知a sinA =b sinB =c sinC =2R ，又因为（2a ﹣b ）•cosC=c•cosB ，所以2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC ，即2sinAcosC=sinA ；∵0＜A ＜π，∴sinA ＞0；∴cosC=12；又0＜C ＜π，∴C=π3；（2）∵S △ABC =12absinC=√34ab=√3，∴ab=4，又c 2=a 2+b 2﹣2abcosC=（a+b ）2﹣3ab=4， ∴（a+b ）2=16，∴a+b=4；∴周长为629.【解答】：（1）在△ABC 中，由正弦定理得sinAsinB +√3sinBcosA =0，即sinA +√3cosA =0，故tanA =−√3，又A ∈（0，π）故A =23π（2）在△ABC 中，由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，又a=√3，所以3=b 2+c 2+bc ≥2bc+bc=3bc ，即bc ≤1，当且仅当b=c=1时，等号成立则S △ABC =12bcsinA =√34bc ≤√34， 所以△ABC 面积S 的最大值为√3430．【解析】（1）∵ m n ，∴(2−2sinA)(1+sinA)+(cosA +sinA)(cosA −sinA)=0，即2(1−sin 2A)=sin 2A −cos 2A ，即2cos 2A =1−2cos 2A ，即cos 2A =14，∵△ABC 是锐角三角形，∴cosA =12，即A =π3.（2）∵△ABC 是锐角三角形，且A =π3，∴π6<B <π2， ∴y =2sin 2B +cos(2π3−2B) =1−cos2B −12cos2B +√32sin2B =√32sin2B −32cos2B +1 =√3sin(2B −π3)+1， 当y 取最大值时，2B −π3=π2，即B =512π.31．【解析】（1）∵()π4sin cos 6g x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴()223sin cos 2cos g x x x x =-，∴()π3sin 2cos 212sin 216g x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， ∴()g x 的最小正周期为2ππ2T ==. （2）∵()πππ2sin 212sin 21666f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴()π2sin 2136f B B ⎛⎫=+-=-⇒ ⎪⎝⎭πsin 216B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∵ππ13π2,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴π3π262B +=⇒2π3B =. 由余弦定理得2222π32cos3a c ac =+-⇒229a c ac ++=， 22923a c ac ac ac ac =++≥+=，即3ac ≤，当且仅当a c =时取等号.∴ABC △的面积12π33sin 234ABC S ac =≤△， ∴ABC △面积的最大值为334. 【名师点睛】本题考查三角函数的图象和解析式，涉及三角函数图象变换，正弦定理，余弦定理以及基本不等式等知识，属于中档题．对于本题，（1）利用二倍角的正弦、余弦公式，两角差的正弦公式化简解析式，得到函数()π2sin 216g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由周期公式求出f （x ）的最小正周期.（2）由题意得()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据()3f B =-可得πsin 216B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，从而可得2π3B =.然后由余弦定理得229a c ac ++=，结合基本不等式得到3ac ≤，即可求出ABC △面积的最大值.32．【解析】（1）()2sin2cos f x x ϕ=⋅=a b ()2cos2sin 2sin 2x x ϕϕ+=+，∵函数()f x 的图象关于直线π6x =对称，∴ππ2π62k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，∴ππ6k ϕ=+，k ∈Z ， 又2πϕ<，∴π6ϕ=.∴()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 由ππ3π2π22π,262k x k k +≤+≤+∈Z ，得π2πππ,63k x k k +≤≤+∈Z ． ∴()f x 的单调递减区间为π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . （2）∵()π2sin 226f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴πsin 216A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∵()0,πA ∈，∴ππ13π2,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴ππ262A +=，∴π6A =. 在ABC △中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-π25122523cos 76=+-⨯⨯=，∴7a =. 由正弦定理得2sin a R A =72712==，∴7R =， ∴ABC △外接圆的面积2π7πS R ==．。
微专题十九 函数应用题在近三年的高考题中，实际应用题每年必考，常见的有与经济有关即利润最大化和成本最小化为背景的应用题，也有以平面几何图形、空间几何体为背景的图形应用题．主要涉及的函数模型有分段函数、三次函数、三角函数等，难度为中档题为主．目标1 分段函数及分式函数模型例1 为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：mg·m －3)随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为 y ＝⎩⎨⎧ 168－x －1， 0≤x ≤4，5－12x ， 4<x ≤10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4 mg·m－3时，它才能起到净化空气的作用． (1) 若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2) 若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a (1≤a ≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值．(精确到0.1，参考数据：2取1.4)点评：【思维变式题组训练】某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作时间的平均用时，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中x %(0＜x ＜100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧30， 0<x ≤30，2x ＋1 800x －90， 30<x <100(单位：分钟)， 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1) 当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2) 求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式；试讨论g (x )的单调性，并说明其实际意义． 目标2 高次函数模型例2 从旅游景点A 到B 有一条100 km 的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目．已知游轮每小时使用的燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3 240元，游轮最大时速为50 km/h ，当游轮速度为10 km/h 时，燃料费用为每小时60元，单程票价定为150元/人．(1) 若一艘游轮单程以40 km/h 的速度航行，所载游客为180人，则轮船公司获利是多少？(2) 如果轮船公司要获取最大利润，游轮的航速为多少？点评：【思维变式题组训练】某小微企业日均用工人数a 与日营业利润f (x )(元)、日人均用工成本x (元)之间的函数关系为f (x )＝－13x 3＋5x 2＋30ax －500(x ≥0)． (1) 若日均用工人数a ＝20，求日营业利润f (x )的最大值；(2) 由于政府的减税、降费等一系列惠及小微企业政策的扶持，该企业的日人均用工成本x 的值在区间[10,20]内，求该企业在确保日营业利润f (x )不低于24000元的情况下，该企业平均每天至少可供多少人就业．。
秘籍09 不等式、推理与证明1．已知0＜c ＜1，a ＞b ＞1，下列不等式成立的是（ ）A ．c a ＞c bB ．a c ＜bcC ．aa−c＞bb−c D ．log a c ＞log b c【答案】D【解答】：根据题意，依次分析选项：对于A 、构造函数y=c x，由于0＜c ＜1，则函数y=c x是减函数，又由a ＞b ＞1，则有c a＞c b，故A 错误； 对于B 、构造函数y=x c，由于0＜c ＜1，则函数y=x c是增函数，又由a ＞b ＞1，则有a c＞b c，故B 错误； 对于C 、a a−c﹣bb−c=ab−ac−ab+bc (a−c)(b−c)=c(b−a)(a−c)(b−c)，又由0＜c ＜1，a ＞b ＞1，则（a ﹣c ）＞0、（b ﹣c ）＞0、（b ﹣a ）＜0，进而有aa−c ﹣bb−c ＜0，故有aa−c ＜bb−c ，故C 错误；对于D 、log a c ﹣log b c=lgc lga ﹣lgc lgb =lgc （lgb−lgalga⋅lgb ），又由0＜c ＜1，a ＞b ＞1，则有lgc ＜0，lga ＞lgb ＞0，则有log a c ﹣log b c=lgc lga ﹣lgc lgb =lgc （lgb−lgalga⋅lgb ）＞0，即有log a c ＞log b c ，故D 正确； 故选：D ．2．若实数a 、b 、c 同时满足：①a 2＞b 2；②1+ac ＜a+c ；③log b a ＞c ．则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．b ＞a ＞c B ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞c【答案】D【解答】：实数a 、b 、c 同时满足：①a 2＞b 2；②1+ac ＜a+c ；③log b a ＞c ． 由③可得：a ，b ＞0，b ≠1，又由①可得a ＞b ＞0． 由②可得：（a ﹣1）（c ﹣1）＜0，则{a ＞1c ＜1或{a ＜1c ＞1． 由{a ＞1c ＜1，及其③可得，若a ＞b ＞1，则log b a ＞1， 由c ＜1，可得a ＞b ＞c ；若0＜b ＜1，则log b a ＜0，c ＜0，可得a ＞b ＞c ；由{a ＜1c ＞1，及其③可得log b a ＞1，可得a ＜b ＜1，与a ＞b 矛盾， 综上可得a ＞b ＞c ， 故选：D ．两个实数比较大小的方法 （1）作差法，其步骤为：作差⇒变形⇒定号（确定正负号，即判断差与0的大小）⇒得出结论． 含根号的式子作差时一般先乘方再作差．（2）作商法，其步骤为：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论． （3）构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．（4）赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．3．若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是（ ） A ．ac 2＜bc 2B ．1a ＜1bC ．ba＞abD ．a 2＞ab ＞b 2【答案】D【解答】解：选项A ，∵c 为实数，∴取c=0，ac 2=0，bc 2=0，此时ac 2=bc 2，故选项A 不成立； 选项B ，1a −1b =b−aab ，∵a ＜b ＜0，∴b ﹣a ＞0，ab ＞0，∴b−aab ＞0，即1a ＞1b ，故选项B 不成立； 选项C ，∵a ＜b ＜0，∴取a=﹣2，b=﹣1，则ba =−1−2=12，ab =2，∴此时ba ＜ab ，故选项C 不成立；选项D，∵a＜b＜0，∴a2﹣ab=a（a﹣b）＞0，∴a2＞ab．∴ab﹣b2=b（a﹣b）＞0，∴ab＞b2．故选项D正确，故选：D．4.已知a＞b＞0，c≥d＞0，则下列不等式成立的是（）A．√ad ＞√bcB．√ad≥√bcC．√ad ＜√bcD．√ad≤√bc【答案】A【解答】解：∵a＞b＞0，c≥d＞0，∴ad ＞bc，∴√ad ＞√bc，故选：A．【名师点睛】本题主要考查不等式的基本性质，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.不等式的性质1．（1）a>b，ab>0⇒1a<1b；（2）a<0<b⇒1a<1b；（3）a>b>0，d>c>0⇒ac>bd．2．若a>b>0，m>0，则（1）ba<b ma m++；ba>b ma m--（b–m>0）；（2）ab>a mb m++；ab<a mb m--（b–m>0）．5．已知集合A={x|(x−1)(x−4)≤0}，B={x|x−5x−2≤0}，则A∩B= A．{x|1≤x≤2}B．{x|1≤x<2}C．{x|2≤x≤4}D．{x|2<x≤4}【答案】D【解析】依题意A=[1,4],B=(2,5]，故A∩B=(2,4]，故选D.1．一元一次不等式的解法不等式ax>b的解：（1）当a>0时，x>ba．（2）当a<0时，x<ba．（3）当a=0时，若b≥0，则无解；若b<0，则x∈R．2．一元二次不等式的解法（1）对于常系数一元二次不等式，可以用分解因式法或判别式法求解．（2）解含参数的一元二次不等式的步骤①若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．②判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．③确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集．（3）三个“二次”间的关系Δ=b2–4acΔ>0 Δ=0 Δ<0y=ax2+bx+c（a>0）的图象ax 2+bx+c =0 （a>0）的根有两个相异的实数 根x 1，x 2（x 1<x 2）有两个相等的实数 根x 1=x 2=–2ba没有实数根ax 2+bx+c>0（a>0）的解集{x|x<x 1或x>x 2}{x|x ≠–2b a} Rax 2+bx+c<0（a>0）的解集{x|x 1<x<x 2}φφ3．分式不等式的解法分式不等式进行等价转化的方向有两个，一是根据符号法则（同号商为正，异号商为负）将其转化为不等式组；二是根据商与积的符号之间的关系直接转化为整式不等式． （1）f xg x （）（）>0⇔f （x ）g （x ）>0；（2）f x g x （）（）<0⇔f （x ）g （x ）<0； （3）f xg x （）（）≥0⇔00f x g x g x ≥⎧⎨≠⎩（）（），（）； （4）f x g x （）（）≤0⇔00f x g x g x ≤⎧⎨≠⎩（）（），（）．4．高次不等式的解法（穿针引线法）：设123()()()()()n F x k x a x a x a x a =----L (0)k >，解不等式()0F x >（或()0F x <）时，将方程()0F x =的根123,,,,n a a a a L 从小到大依次标到数轴上，作为针眼．用一根线，从数轴的右上方开始穿针引线，每见到一个针眼，便穿过数轴一次，直到穿过全部针眼．数轴上方的部分为正，即为不等式()0F x >的解；数轴下方的部分为负，即为不等式()0F x <的解．注意：（1）要求x 的最高次项系数为正；（即：每一个x 的系数为正，且0k >，若0k <，则不等式两边同时乘以1-，并改变不等号的方向）（2）二重根时，按两个针眼对待，即穿过数轴两次；（奇过偶不过） （3）()0()()0()f x f x g x g x >⇔>，()0()()0()f x f xg x g x <⇔<；()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≥⎧≥⇔⎨≠⎩，()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≤⎧≤⇔⎨≠⎩； （或()0()0()()0()0()f x f x f x g x g x g x =⎧≤⇔<⎨≠⎩或）； （4）2()h x ax bx c =++，当240b ac ∆=-<时，()h x 的符号是确定的； （5）永远从数轴右上方开始；（6）最后结果数轴上方的部分为不等式()0F x >的解，数轴下方的部分为不等式()0F x <的解； （7）不等式右边须为0，否则先移项，使右边为0；（8）穿针引线法可以用于解高次不等式，也可以用于解一次、二次不等式，或可以转化为高次不等式的分式不等式等．6．设变量x ，y 满足约束条件：{y ≥xx +2y ≤2x ≥−2，则z=x ﹣3y+2的最小值为（ ）A ．﹣2B ．﹣4C ．﹣6D ．﹣8【答案】C【解答】：设变量x 、y 满足约束条件：{y ≥xx +2y ≤2x ≥−2，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线x ﹣3y=0经过点A （﹣2，2）时，z=x ﹣3y+2最小，最小值为：﹣6， 则目标函数z=x ﹣3y+2的最小值为﹣6． 故选：C ．线性规划的目标函数主要有三种形式：（1）截距式：z ax by =+，主要根据目标函数对应的直线的纵截距判断最值； （2）斜率式：y bz x a-=-，主要根据可行域内的点与定点(,)a b 的连线的斜率判断最值； （3）距离式：22()()z x a y b =-+-，主要根据可行域内的点与定点(,)a b 的距离的平方判断最值．7．已知函数94(1)1y x x x =-+>-+，当x a =时，y 取得最小值b ，则23a b +等于( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ．3【答案】B【解答】：1x >-Q ，10x ∴+>，9941511y x x x x ∴=-+=++-++ 92151x x +-+g …1=，当且仅当911x x +=+，即2x =时取等号， y ∴取得最小值1b =，此时2x a ==， 237a b ∴+=．故选：B ．【名师点睛】本题考查基本不等式取得最值的条件，多次用不等式求最值时要注意不等式取等的条件要同时满足.均值不等式：222a b ab +≥，2a b ab +≥（0a >，0b >），当且仅当a b =时等号成立．使用均值不等式，注意一正二定三相等的条件；求最值时，要注明等号成立条件．8．已知√2+23=2√23，√3+38=3√38，√4+415=4√415，…，若√6+at =6at ，（a ，t 均为正实数），则类比以上等式，可推测a ，t 的值，则a +t = A ．35 B ．40C ．41D ．42【答案】C【解析】由已知归纳总结，可知规律为：当n ≥2且n ∈N ∗时，√n +n(n−1)(n+1)=n √n(n−1)(n+1)，∴√6+65×7=6√635 ，∴a =6，t =35，∴a +t =41.故选C.【名师点睛】本题考查归纳推理问题，关键是观察出数字与式子之间的规律，属于基础题.9．设函数f （x ）=12x +√2，类比课本推导等差数列的前n 项和公式的推导方法计算f （﹣5）+f （﹣4）+f （﹣3））+…+f （0））+f （1））+…+f （5）+f （6）的值为（ ） A ．3√22B ．5√22C ．3√2D ．√22【答案】C【解答】：∵f （x ）=12x +√2∴f （x ）+f （1﹣x ）=12x +√2+121−x +√2=12x +√2+2x 2+√2×2x=2x +√2√2(2x +√2)=√22，即 f （﹣5）+f （6）=√22，f （﹣4）+f （5）=√22，f （﹣3）+f （4）=√22， f （﹣2）+f （3）=√22，f （﹣1）+f （2）=√22，f （0）+f （1）=√22， ∴所求的式子值为3 √2． 故选：C ．归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象．也具有这些特征的推理．特点由部分到整体，由个别到一般的推理． 由特殊到特殊的推理一般 步骤（1）通过观察个别对象发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题（猜想）．（1）找出两类对象之间的相似性或一致性；（2）用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，得出一个明确的命题（猜想）．1．已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，若m ，n ∈N *，满足a m a 2n =a 24，则21m n+的最小值为 A ．1 B ．32 C ．2D ．92【答案】A【解析】根据题意，设数列{a n }的首项和公比均为q （q ≠0），则44m n m n a q a q a q ===，，．由224m n a a a =得：q m +2n =q 8，∴m +2n =8，∴218m n +=．又m ，n ∈N *，∴()2221288m n m n m n m n +++=+=114284n m m n +++≥1121216+=，当28n m m n =，即m =2n =4时取“=”，∴21m n+的最小值为1．故选A ．数列与不等式的交汇问题．解决此类问题要熟记数列的公式，结合均值不等式，要注意均值不等式成立的条件：一正二定三相等．2．当103x <≤时，8x <log a x ，则a 的取值范围是A ．303⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B ．313⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， C ．()13， D ．（3+∞，）【答案】B【解析】∵103x <≤，∴8x ∈（1，2]，又当103x <≤时，8x <log a x ，∴当103x <≤时，2<log a x ，恒成立．∵331log 23=，∴a ∈313⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，．故选B ．不等式恒成立问题，与函数的知识点交汇，可以借助图象，数形结合解决问题．3．已知数列{a n }满足：a 1=32，且a n =3na n−12a n−1+n−1（n ≥2，n ∈N *）．证明：{1﹣na n}为一个等比数列，求数列{a n }的通项公式． 【解答】证：∵a n =3na n−12a n−1+n−1，两边取倒数得，∴1a n=2a n−1+n−13na n−1，两边乘以n ，并裂项得，na n =23+13•n−1a n−1，两边减1得，n a n﹣1=﹣13+13•n−1an−1=13（n−1an−1﹣1），因此，1﹣na n =13•[1﹣n−1a n−1]，故数列{1﹣na n}是以1﹣1a 1为首项，以13为公比的等比数列，所以，1﹣n a n=（1﹣1a 1）•(13)n−1，其中a 1=32，解得，a n =n⋅3n3n −1．1．直接证明（1）综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立（2）分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止． 2．间接证明——反证法 （1）定义假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫作反证法． （2）适用范围 ①否定性命题；②命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语．4．ΔABC 的三边长分别为a,b,c ，ΔABC 的面积为S ，则ΔABC 的内切圆半径为r =2Sa+b+c .将此结论类比到空间四面体：设四面体S −ABC 的四个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4，体积为V ，则四面体的内切球半径为r = A ．VS1+S 2+S 3+S 4B ．2VS1+S 2+S 3+S 4C．3VS1+S2+S3+S4D．4VS1+S2+S3+S4【答案】C【解析】设四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为：V=13（S1+S2+S3+S4）r，∴r=3VS1+S2+S3+S4．故选：C．【名师点睛】本题考查四面体的内切球半径的求法及三棱锥体积公式的应用，考查推理论证能力，是基础题．5．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】C【解答】：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．故获奖的歌手是丙故选：C．1．运用归纳推理的思维步骤：①发现共性，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；②归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）．一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧． 2．类比推理应用的题型及相应方法（1）类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助定义．（2）类比性质：对于由一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质提出的类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程．（3）类比方法：一些处理问题的方法类似，可以把这种方法类比应用到其他问题中，注意知识的迁移． 求解类比推理题的关键：①会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；②会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个命题（猜想）．1.不等式2-xx+1<1的解集是( )A.{x|x>1}B.{x|-1<x<2}C.{x |x <-1或x >12} D.{x |-1<x <12}2．已知一元二次不等式ax 2+bx+1>0的解集为{x|-2<x<1},则a,b 的值为( )A.a=-1,b=-2B.a=-2,b=-1C.a=b=-12 D.a=1,b=23．已知0a >，0b >，且22a b +=，则ab 的最大值为( ) A ．12 B ．22C ．1D ．24．已知正数a ，b 满足3ab a b =++，则ab 的最小值是( ) A ．9B ．10C ．11D ．125．已知0a >，0b >，42a b +=，则11ab+的最小值是( ) A ．4 B ．92C ．5D ．96．函数225()()4x f x x R x +=∈+的最小值为( )A ．2B ．3C ．22D ．2.57．已知305x <<，则(35)x x -取最大值时x 的值为( ) A ．310 B ．910C ．95D ．128．设x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +2y −2≥04x −y −8≤0，则z=|x+3y|的最大值为（ ）A ．15B ．13C ．3D ．29．设x ，y 满足约束条件{2x −y ≥0x +13y ≤1y ≥0，若z=﹣ax+y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A ．2或﹣3B ．3或﹣2C ．﹣13或12D ．﹣13或210．设x ，y 满足约束条件{x −2y ≥−23x −2y ≤3x +y ≥1，若x 2+4y 2≥m 恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．12B ．34C ．45D ．5611.已知不等式组{y ≤−x +2y ≤kx +1y ≥0所表示的平面区域为面积等于94的三角形，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．﹣2C ．1或﹣2D ．−2912.若实数x ，y 满足{x −y −1≤0x +2y +2≤0x ≥−2，则z =y−3x−2的取值范围是（ ）A ．[34，+∞)B ．[32，+∞)C ．[34，2]D ．[32，2]13.已知变量x 、y 满足约束条件{x +y −3≥0x −2y +3≥0x ≤3，则y x+1≥12的概率是（ ）A ．25B ．35C ．59D ．4914．若x ，y 满足{x ≥0x +y ≤3y ≥2x +1，表示的平面区域为Ω，直线y=kx ﹣k 与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[﹣1，+∞） B ．（﹣∞，﹣7]∪[﹣1，+∞）C ．[﹣7，﹣1]D ．（﹣∞，﹣7]15.若b ＜a ＜0，则下列不等式：①|a|＞|b|；②a+b ＞ab ；③a b +ba ＞2；④a 2b ＜2a ﹣b 中正确的不等式有（ ）个．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16.已知0<a <b <1，则a b ,log b a,log 1ab 的大小关系是A ．log 1ab <a b <log b aB ．log 1ab <log b a <a bC ．log b a <log 1ab <a bD ．a b <log 1ab <log b a17．设正实数a ，b ，c 满足a 2–3ab +4b 2–c =0，则当ab c取得最大值时，212a b c +-最大值为A ．0B ．1C ．94D ．318．利用数学归纳法证明不等式1+12+13+ (1)2n −1＜f （n ）（n ≥2，n ∈N *）的过程中，由n=k 变到n=k+1时，左边增加了（ ） A ．1项 B ．k 项C ．2k ﹣1项D ．2k项19.设x 、y 、z 为正数，且2x=3y=5z，则（ ） A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜2x ＜3yC ．3y ＜5z ＜2xD ．3y ＜2x ＜5z20．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为a i,j ，比如a 3,2=9，a 4,2=15，a 5,4=23，若a i,j =2019，则i +j =A ．72B ．71C ．66D ．6521．用圆的下列性质，类比球的有关性质：圆：①圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦；②与圆心距离相等的两弦长相等；③圆的周长为C =2πr ；④圆的面积为S =πr 2．球：①球心与截面圆（不过球心）的圆心的连线垂直于截面；②与球心的距离相等的两个截面的面积相等；③球的表面积为S =4πr 2；④球的体积为V =43πr 3． 其中，类比所得结论正确的有 A ．①②③B ．②③④C ．①②③④D ．①③④22．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等． A ．①③B ．②③C ．①②D ．①②③23．周末，某高校一学生宿舍甲、乙、丙、丁四位同学正在做四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自在做的事情的一些判断： ①甲不在看书，也不在写信； ②乙不在写信，也不在听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在看书； ④丙不在看书，也不在写信．已知这些判断都是正确的，依据以上判断，请问乙同学正在做的事情是 A ．玩游戏 B ．写信 C ．听音乐 D ．看书24．不等式2243xx -->（12）3（x –1）的解集为__________．25.设函数f （x ）={e x−1，x ＜1x 13，x ≥1，则使得f （x ）≤2成立的x 的取值范围是 ．26.若实数x ，y 满足{2x −y ≥0y ≥x y ≥−x +b且z=2x+y 的最小值为3，则实数b 的值为 ．27.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC=120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD=1，则4a+c 的最小值为 ．28.已知12x >，则函数2121x x y x ++=-的最小值为 ．1.C 【解答】:原不等式等价于2-x x+1-1<0⇔1-2x x+1<0⇔(x+1)·(1-2x)<0⇔(2x-1)(x+1)>0,解得x<-1或x>12. 故选：C2.C 【解答】:由题知a<0且-2,1为方程ax2+bx+1=0的两根,由根与系数的关系可求得a=b=-12. 故选：C3.A 【解答】：0a >Q ，0b >，且22a b +=，则21121(2)()2222a b ab a b +=⨯⨯=g„， 当且仅当2a b =且22a b +=即12a =，1b =时取得最大值12． 故选：A ．4.A 【解答】：Q 正数a ，b 满足3ab a b =++，323ab a b ab ∴=+++…，∴3ab …，9ab ∴…，当且仅当3a b ==时取等号，ab ∴的最小值为9．故选：A ．5.B 【解答】：0a >Q ，0b >，42a b +=，∴11111()(4)2a b a b a b +=++ 14(5)2b aa b =++149(52)22b a a b +=g …，当且仅当4b a a b =，即13a =，23b =时取等号， 故选：B ．6.D 【解答】：令24(2)t x t =+…，则1y t t=+在[2，)+∞上单调递增，2t ∴=，即0x =，函数225()()4x f x x R x +=∈+的最小值为2.5，故选：D ．7.A 【解答】：305x <<Q ， 则2115359(35)5(35)()55220x x x x x x +--=⨯-⨯=„， 当且仅当535x x =-即310x =时取最大值 故选：A ．8.A 【解答】：由约束条件{x −y +1≥0x +2y −2≥04x −y −8≤0作出可行域如图，联立{x −y +1=04x −y −8=0，解得A （3，4），由图可知，z=|x+3y|=x+3y ，化为y=﹣x3+z3．当直线y=﹣x3+z3过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为15． 故选：A ．9.A 【解答】：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB ）． 由z=y ﹣ax 得y=ax+z ，即直线的截距最大，z 也最大．若a=0，此时y=z ，此时，目标函数只在A 处取得最大值，不满足条件，若a ＞0，目标函数y=ax+z 的斜率k=a ＞0，要使z=y ﹣ax 取得最大值的最优解不唯一， 则直线y=ax+z 与直线2x ﹣y=0平行，此时a=2，若a ＜0，目标函数y=ax+z 的斜率k=a ＜0，要使z=y ﹣ax 取得最大值的最优解不唯一， 则直线y=ax+z 与直线x+13y=1平行，此时a=﹣3， 综上a=﹣3或a=2， 故选：A ．10.C 【解答】：设a=x ，b=2y ，则不等式x 2+4y 2≥m 等价为a 2+b 2≥m ， 则约束条件等价为{a −b ≥−23a −b ≤32a +b ≥2，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=a 2+b 2，则z 的几何意义是区域内的点到原点的距离， 由图象知O 到直线2a+b=2的距离最小， 此时原点到直线的距离d=|2|√22+1=2√5，则z=d 2=45，即m ≤45，即实数m 的最大值为45， 故选：C ．11.A 【解答】：∵不等式组{y ≤−x +2y ≤kx +1y ≥0所表示的平面区域为面积等于94的三角形，如图：平面为三角形所以过点（2，0）， ∵y=kx+1，与x 轴的交点为（﹣1k ，0）， y=kx+1与y=﹣x+2的交点为（1k+1，2k+1k+1），三角形的面积为：12×（2+1k ）×2k+1k+1=94， 解得：k=1． 故选：A ．12.C 【解答】：作出实数x ，y 满足{x −y −1≤0x +2y +2≤0x ≥−2的可行域如图阴影部分所示：目标函数z =y−3x−2可以认为是D （2，3）与可行域内一点 （x ，y ）连线的斜率．当连线过点A 时，其最小值为：0−3−2−2=34， 连线经过B 时，最大值为：−1−30−2=2， 则z =y−3x−2的取值范围是：[34，2].故选：C ．13.C 【解答】：由约束条件{x +y −3≥0x −2y +3≥0x ≤3画出可行域如图，则y x+1≥12的几何意义是可行域内的点与Q （﹣1，0）连线的斜率超过12，由图形可知：直线x=3与直线x ﹣2y+1=0的交点为：（3，2）， 直线x ﹣2y+3=0与x=3的交点（3，3）， ∴则yx+1≥12的概率：AB 2AC 2=49， 则y x+1≥12的概率是：1﹣49=59．故选：C ．14.C 【解答】：作出x ，y 满足{x ≥0x +y ≤3y ≥2x +1对应的平面区域如图：y=k （x ﹣1）过定点P （1，0），由{y =2x +1x +y =3交点A （23，73），由图象可知当直线经过点A （23，73），时，直线的斜率最小，此时k=73−023−1=﹣7，由{x =0y =2x +1解得B （0，1） 当直线经过点B 时，直线的斜率最大，此时k=﹣1， ∴k 的取值范围是：[﹣7，﹣1] 故选：C ．15.B 【解答】：∵b ＜a ＜0，∴|a|＜|b|，故①错误； a+b ＜0，ab ＞0，则a+b ＜ab ，故②错误； ∵b ＜a ＜0，∴ab＞0，ba＞0，则a b +ba≥2√ab⋅ba=2，当且仅当a b =ba ，即a=b 时，取等号，∵b ＜a ，∴等号不成立， 故a b +ba ＞2，故③正确，若a 2b ＜2a ﹣b 成立，则等价为a2＞2ab ﹣b2，即a2﹣2ab+b2＞0，即（a ﹣b ）2＞0， ∵b ＜a ＜0，∴（a ﹣b ）2＞0成立，故④正确， 故正确的命题是③④， 故选：B ．16．A 【解析】由题意，可知0<a <b <1，所以log b a >log b b =1,1>a b >0,log 1ab <0，所以log 1ab <a b <log b a ，故选A.【名师点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的单调性的应用，其中解答中合理利用指数函数与对数函数的性质是解答关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 17.B 【解析】正实数a ，b ，c 满足a 2–3ab +4b 2–c =0，可得c =a 2–3ab +4b 2，2214343ab ab a b c a ab b b a==-++-，由a b +4b a ≥24a b b a ⋅=4，当且仅当a =2b 取得等号，则a =2b 时，ab c取得最大值，且c =2b 2，221221–a b c b b +-==–（1b –1）2+1，当b =1时，212a b c+-取得最大值，且为1．故选B ．18.D 【解答】：用数学归纳法证明等式1+12+13+…+12n −1＜f （n ）（n ≥2，n ∈N *）的过程中，假设n=k 时不等式成立，左边=1+12+13+…+12k −1，则当n=k+1时，左边=1+12+13+…+12k −1+12k +12k +1+…+12k+1−1，∴由n=k 递推到n=k+1时不等式左边增加了：12k +12k +1+…+12k+1−1， 共（2k+1﹣1）﹣2k+1=2k项， 故选：D ．19.D 【解答】：x 、y 、z 为正数， 令2x=3y=5z=k ＞1．lgk ＞0．则x=lgk lg2，y=lgk lg3，z=lgklg5． ∴3y=lgklg √33，2x=lgk lg √2，5z=lgklg √55．∵√33=√96＞√86=√2，√2=√3210＞√2510=√55． ∴lg √33＞lg √2＞lg √55＞0． ∴3y ＜2x ＜5z ． 另解：x 、y 、z 为正数， 令2x=3y=5z=k ＞1．lgk ＞0． 则x=lgklg2，y=lgklg3，z=lgklg5．∴2x 3y =23×lg3lg2=lg9lg8＞1，可得2x ＞3y ， 5z 2x =52×lg2lg5=lg25lg52＞1．可得5z ＞2x ． 综上可得：5z ＞2x ＞3y ．解法三：对k 取特殊值，也可以比较出大小关系． 故选：D ． 20．【答案】B【解析】奇数2019为第1010个奇数,按照蛇形排列，第1行到第i 行末共有1+2+⋯+i =i (1+i )2个奇数，则第1行到第44行末共有990个奇数，第1行到第45行末共有1035个奇数，则2019位于第45行； 而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数； 故2019位于第45行，从右到左第20列， 则i =45,j =26⇒i +j =71， 故选B. 21．【答案】C【解析】由类比的规则可得点类比线，线类比面，面类比体，长度类比面积，面积类比体积，由圆：①圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦；②与圆心距离相等的两弦长相等；③圆的周长为C =2πr ；④圆的面积为S =πr 2．可得，球：①球心与截面圆（不过球心）的圆心的连线垂直于截面；②与球心的距离相等的两个截面的面积相等；③球的表面积为S =4πr 2；④球的体积为V =43πr 3．其中正确答案为①②③④．故选C．22．【答案】D【解析】在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质；或是将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，故类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，推断：①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．都是恰当的．故选D．23．【答案】D【解析】由①甲不在看书，也不在写信及④丙不在看书，也不在写信，知当甲在听音乐时，丙在玩游戏；因为②乙不在写信，也不在听音乐，所以乙在看书；从而丁在写信．可列表如下：当甲在听音乐时，则乙在看书，如表1；看书写信听音乐玩游戏甲××△乙△××丙××△丁△由①甲不在看书，也不在写信及④丙不在看书，也不在写信，知当甲在玩游戏时，丙在听音乐；因为②乙不在写信，也不在听音乐，所以乙在看书；从而丁在写信．可列表如下：当甲玩游戏时，则乙在看书，如表2．看书写信听音乐玩游戏甲××△乙△××丙××△丁△故选D．24．【答案】（–∞，–2）∪（3，+∞）【解析】不等式2243xx -->（12）3（x –1）化为2243x x -->23–3x ，即x 2–4x –3>3–3x ，∴x 2–x –6>0，解得x <–2或x >3，∴原不等式的解集为（–∞，–2）∪（3，+∞）．故答案为：（–∞，–2）∪（3，+∞）． 25. x ≤8【解答】：x ＜1时，ex ﹣1≤2，∴x ≤ln2+1，∴x ＜1；x ≥1时，x 13≤2，∴x ≤8，∴1≤x ≤8，综上，使得f （x ）≤2成立的x 的取值范围是x ≤8． 故答案为：x ≤8．26. 94【解答】：由约束条件作出可行域（如图），当平行直线系y=﹣2x+z 经过可行域内的点A （b 3，2b3）时，z 取得最小值，即2×b 3+2b 3=3，解之得b=94．故答案为：94．27.9【解答】：由题意得12acsin120°=12asin60°+12csin60°，即ac=a+c ，得1a +1c =1， 得4a+c=（4a+c ）（1a +1c ）=c a +4ac +5≥2√ca ⋅4a c+5=4+5=9，当且仅当c a=4ac ，即c=2a 时，取等号，故答案为：9． 28.712+【解答】：12x >Q ，210x ∴->，2217(21)(21)11744(21)1212144(21)x x x x y x x x x -+-+++∴===-++---． 1772(21)1144(21)2x x -+=+-g …． 当且仅当17(21)44(21)x x -=-，即172x +=时取得最小值．故答案为：712+．。
秘籍02 函数的概念与基本初等函数I1．已知函数f(x)={(1−2a)x +3a ，x ＜1lnx ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是（ ）A ．[−1，12) B ．(−1，12) C ．（﹣∞，﹣1] D ．(−∞，12)【答案】A【解答】解：∵f （x ）={(1−2a)x +3a ，x ＜1lnx ，x ≥1，∴x ≥1，lnx ≥0， ∵值域为R ，∴（1﹣2a ）x+3a 必须取到所有的负数，即满足：{1−2a ＞01−2a +3a ≥0，即为﹣1≤a ＜12，即﹣1≤a ＜12， 故选：A ．解决分段函数问题的注意事项分段函数易被误认为是多个函数，其实质是一个函数，其定义域为各段的并集，其最值是各段函数最值中的最大者与最小者，处理分段函数问题时，首先确定自变量的取值属于哪个区间，再选取相应的对应关系，离开分段区间讨论分段函数是毫无意义的.2．函数y=xln|x|的大致图象是（ ）A．B．C． D．【答案】C【解答】解：令f（x）=xln|x|，易知f（﹣x）=﹣xln|﹣x|=﹣xln|x|=﹣f（x），所以该函数是奇函数，排除选项B；又x＞0时，f（x）=xlnx，容易判断，当x→+∞时，xlnx→+∞，排除D选项；令f（x）=0，得xlnx=0，所以x=1，即x＞0时，函数图象与x轴只有一个交点，所以C选项满足题意．故选：C．函数图象的识别与判断技巧1．方法1：性质检验法已知函数解析式，判断其图象的关键：由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体的分析和判断，即可得出正确选项．若能熟记基本初等函数的性质，则此类题就不攻自破．2．方法2：导数法判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数和原函数的定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．3．方法3：图象变换法有关函数y ＝f (x )与函数y ＝af (bx ＋c )＋h 的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可顺利破解此类问题．3．已知a=0.40.3，b=0.30.4，c=0.3﹣0.2，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．a ＜b ＜c【答案】A【解答】解：∵1＞a=0.40.3＞0.30.3＞b=0.30.4， c=0.3﹣0.2＞1，∴b ＜a ＜c ， 故选：A ．4．已知2log 6a =，3log 2b =，3log 6c =，则( ) A ．a b c << B ．b c a << C ．a c b << D ．c b a <<【答案】B【解答】解：22log 6log 42>=Q ，330log 2log 31<<=，3331log 3log 6log 92=<<=； b c a ∴<<．故选：B ．利用指数函数与对数函数的性质比较大小（1）底数相同、指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同、真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较．（2）底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较．5．函数f （x ）=ln （x+1）﹣2x 的零点所在的大致区间是（ ）A．（3，4）B．（2，e）C．（1，2）D．（0，1）【答案】【解答】解：∵f(x)=ln(x+1)−2在（0，+∞）单调递增x∵f（1）=ln2﹣2＜0，f（2）=ln3﹣1＞0，∴f（1）f（2）＜0∴函数的零点在（1，2）之间，故选：C．确定函数的零点(方程的根)所在的区间时，可以利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号来确定，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与x轴的交点来确定.6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且对于定义域内任意的x均满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2e x（e为自然对数的底数），则f（ln e4）=（）4A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4【答案】A【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）=f（x），∴4是f（x）的周期；又x∈（0，2）时，f（x）=2e x，∴f（ln e4）=f（lne4﹣ln4）=f（4﹣ln4）=f（﹣ln4）=﹣f（ln4）=﹣2eln4=﹣2×4=﹣8．4故选：A．7．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f（4）=0，若f（x﹣3）≤0，则x的取值范围为．【答案】[﹣1，3）∪[7，+∞）【解答】解：f（x）为奇函数，在（0，+∞）上单调递减；∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；又f（4）=0；∴f（﹣4）=0；∵f（x﹣3）≤0；∴①x﹣3＞0，即x＞3时：f（x﹣3）≤f（4）；∵f（x）在（0，+∞）上单调递减；∴x﹣3≥4；∴x≥7；②x﹣3＜0，即x＜3时：f（x﹣3）≤f（﹣4）；∵f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；∴x﹣3≥﹣4；∴﹣1≤x＜3；综上得，x的取值范围为[﹣1，3）∪[7，+∞）．故答案为：[﹣1，3）∪[7，+∞）．将函数的周期性与奇偶性、单调性综合在一起考查逐渐成为高考的一个热点，解决此类问题需掌握：1．判断函数单调性的一般规律对于选择、填空题，若能画出图象一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．2．函数的奇偶性(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．3．记住几个周期性结论(1)若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(2)若函数f(x)满足1()()axf xf=+(a＞0)，则f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．1．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f (2−x )=f (2+x )，且当x ∈[−2,0]时，f (x )=(12)x−1，若关于x 的方程f (x )−log a (x +2)=0(a >1)在区间(−2,6]内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是 A ．(√34,√84) B ．(√43,2) C ．(√34,2]D ．(√43,2]【答案】B【解析】因为f (x )为偶函数，所以f (2−x )=f (x −2)，所以f (x +2)=f (x −2)， 故函数f (x )的周期为4，当x ∈[−2,0]时，f (x )=(12)x−1， 故f (x )在(−2,6]上的图像如图所示：因为f (x )−log a (x +2)=0在区间(−2,6]内恰有三个不同实根，即在区间(−2,6]内有3个不同的解，所以f (x )的图像与y =log (x +2)a 的图像有3个不同的交点，故{f (2)>log a (2+2)f (6)<log a (6+2)，即{3>log a 43<log a 8，解得413<a <2.故选B ．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步： ①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．2．函数f（x）=x3−xe x+e−x的图象是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：f（﹣x）=−x3+xe−x+e x=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B；令f（x）=0得x3﹣x=0，解得x=0或x=±1，排除C.故选：D．用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点，从而得正确的选项．在求函数值的过程中运算一定要认真，从而准确进行判断．3．已知a=2−13,b=log213,c=log1213,则A．a>b>c B．c>a>b C．a>c>b D．c>b>a 【答案】B【解析】1>a =2−13>0>b =log 213,即1>a >b .又c =log 1213=log 23>1,所以c >a >b .选B ．比较幂值大小的常见类型及解决方法：（1）同底不同指，可以利用指数函数单调性进行比较. （2）同指不同底，可以利用幂函数单调性进行比较.（3）既不同底又不同指，常常找到一个中间值，通过比较幂值与中间值的大小来判断.4．已知函数262,0()1,0x x x f x x x ⎧-⎪=⎨<⎪⎩…，若函数()()3g x f x x m =-+有3个零点，则实数m 的取值范围为()A ．9(,0]8-B ．9[0,)8C ．9[0,)4D ．9(,0]4-【答案】A【解答】解：函数()()3g x f x x m =-+有3个零点，即函数()y f x =的图象与3y x m =-的图象有3个交点． 如图，由图可知，当直线3y x m =-过原点O 时，满足题意； 联立2362y x m y x x =-⎧⎨=-⎩，得2230x x m --=．由△980m =+=，得98m =-．∴若函数()()3g x f x x m =-+有3个零点，则实数m 的取值范围为9(8-，0]．故选：A ．利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法（1）利用零点存在性定理构建不等式求解．（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．1．若函数()f x 的定义域为[0，4]，则函数()1g x x=-的定义域为( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．(0,1)D ．[0，1)(1⋃，4]2．已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)10f -=，那么f （2）等于( ) A ．26-B ．18-C ．10-D ．103．已知f （x ）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f （1﹣x ）=f （1+x ），若f （1）=2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （50）=（ ） A ．﹣50B ．0C ．2D ．504．若函数244y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为[8-，4]-，则m 的取值范围是( ) A ．(0，2]B ．(2，4]C ．[2，4]D ．(0,4)5．若函数()log 42(0a y x a =++>且1)a ≠的图象恒过点A ，且点A 在角θ的终边上，则sin2θ=A ．513-B ．513C ．1213-D ．12136．如图可能是下列哪个函数的图象（ ）A ．y=2x ﹣x 2﹣1B ．y=2x sinx 4x+1C ．y=（x 2﹣2x ）e xD ．y=xlnx7．设a =log 212，b =log √2√3，c =(14)23，则A ．c <a <bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．c <b <a8．已知函数23,0()1,0x a x f x x ax x --⎧=⎨-+<⎩…是(,)-∞+∞上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，1]3B ．1(0,)3C ．(0，1]3D ．[0，1)39．若函数()f x 是定义在[2-，2]上的减函数，且(1)(31)f a f a +<+，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞B ．[1-，0)C ．(0，1]3D ．(0,)+∞10．下列函数中既是奇函数又存在零点的是（ ） A ．y=2x −2−xx 2B ．y=x+2xC ．y=12x −1+12D ．y=sin2（x ﹣π4）﹣1211．已知点（m ，8）在幂函数f （x ）=（m ﹣1）x n 的图象上，设a =f(√33)，b =f(lnπ)，c =f(√22)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[x ]称为高斯函数，例如： [−2.1]=−3， [3.1]=3，已知函数()1212x xf x +=+，则函数y =[f(x)]的值域是 A ．{0,1} B ．(0，2) C ．(0，1)D ．{−1,0,1}13．已知f （x ）是R 上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递减，则不等式f （lnx ）＞f （1）的解集为（ ） A ．（e ﹣1，1）B ．（e ﹣1，e ）C ．（0，1）∪（e ，+∞）D ．（0，e ﹣1）∪（1，+∞）14．函数f(x)=(e x −e −x )cosxx 2的部分图象大致是A ．B ．C ．D ．15．设f （x ）是定义在实数集R 上的函数，且y=f （x+1）是偶函数，当x ≥1时，f （x ）=2x ﹣1，则f （23），f （32），f （13）的大小关系是（ ） A ．f （23）＜f （32）＜f （13） B ．f （13）＜f （23）＜f （32）C ．f （13）＜f （32）＜f （23）D ．f （32）＜f （13）＜f （23）16．若函数f （x ）=a x ﹣k ﹣1（a ＞0，a ≠1）过定点（2，0），且f （x ）在定义域R 上是减函数，则g （x ）=log a （x+k ）的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．17．函数f （x ）对于任意实数x 满足条件f(x +4)=1f(x)，且当x ∈[2，10）时，f （x ）=log2（x ﹣1），则f （2010）+f （2011）的值为（ ） A ．﹣2 B ．﹣1C ．1D ．218．函数f （x ）=|x ﹣2|﹣lnx 在定义域内零点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．319．若函数f （x ）=2x ﹣a 2﹣a 在（﹣∞，1]上存在零点，则正实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1]B ．[0，1]C ．（0，2]D ．[0，2]20．已知f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f （x ）=log 2x ﹣1，则满足不等式（x ﹣l ）f （x ）＜0的实数x 的取值范围是 ．21．已知函数()()122,2log 12,2x x f x x x -⎧<-⎪=⎨-+≥-⎪⎩，且()4f a =，则()f a -=___．22．．设函数f(x)={2−x −1，x ≤0x 12，x ＞0，若f （x ）＞1，则x 的取值范围是 ．23．已知函数f(x)=log a x 2+a |x |（a >0，且a ≠1），若f(−3)<f(4)，则不等式f(x 2−3x)<f(4)的解集为__________．24．若4x =9y =6，则1x+1y = ．25．已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞+∞U 上的奇函数，在()0,+∞上单调递减，且()40f =，若()30f x -≤，则x 的取值范围为__________．26．．函数f(x)=(12)−x2+4x的单调增区间为 ．27．已知函数f （x ）=log a （1﹣x ）+log a （x+3）（0＜a ＜1）. （1）求函数f （x ）的定义域； （2）求函数f （x ）的零点；（3）若函数f （x ）的最小值为﹣4，求a 的值．1.【答案】B【解答】解：()f x Q 的定义域为[0，4]；()g x ∴满足：02410x x ⎧⎨->⎩剟；解得01x <…；()g x ∴的定义域为[0，1)．故选：B ． 2.【答案】A【解答】解：令53()g x x ax bx =++，由函数奇偶性的定义，易得其为奇函数； 则()()8f x g x =- 所以(2)(2)810f g -=--= 得(2)18g -=又因为()g x 是奇函数，即g （2）(2)g =-- 所以g （2）18=-则f （2）g =（2）818826-=--=- 故选：A ．3.【答案】C【解答】解：∵f （x ）是奇函数，且f （1﹣x ）=f （1+x ）， ∴f （1﹣x ）=f （1+x ）=﹣f （x ﹣1），f （0）=0， 则f （x+2）=﹣f （x ），则f （x+4）=﹣f （x+2）=f （x ）， 即函数f （x ）是周期为4的周期函数， ∵f （1）=2，∴f （2）=f （0）=0，f （3）=f （1﹣2）=f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2， f （4）=f （0）=0，则f （1）+f （2）+f （3）+f （4）=2+0﹣2+0=0，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （50）=12[f （1）+f （2）+f （3）+f （4）]+f （49）+f （50） =f （1）+f （2）=2+0=2， 故选：C ． 4.【答案】C【解答】解：函数2()44f x x x =--的图象是开口向上，且以直线2x =为对称轴的抛物线(0)f f ∴=（4）4=-，f （2）8=-Q 函数2()44f x x x =--的定义域为[0，]m ，值域为[8-，4]-，24m ∴剟即m 的取值范围是[2，4] 故选：C ． 5．【答案】C【解析】对于函数()log 42(0a y x a =++>且1)a ≠，令41x +=，求得3x =-，此时2y =，可得函数的图象恒过点()3,2A -，且点A 在角θ的终边上，2tan 3y x θ∴==-，则2222sin cos 2tan 12sin2sin cos tan 113θθθθθθθ===-++. 故选C ． 6.【答案】C【解答】解：A 中，∵y=2x ﹣x 2﹣1，当x 趋向于﹣∞时，函数y=2x 的值趋向于0，y=x 2+1的值趋向+∞， ∴函数y=2x ﹣x 2﹣1的值小于0，∴A 中的函数不满足条件； B 中，∵y=sinx 是周期函数，∴函数y=2x sinx 4x+1的图象是以x 轴为中心的波浪线，∴B 中的函数不满足条件；C 中，∵函数y=x 2﹣2x=（x ﹣1）2﹣1，当x ＜0或x ＞2时，y ＞0，当0＜x ＜2时，y ＜0； 且y=e x ＞0恒成立，∴y=（x 2﹣2x ）e x 的图象在x 趋向于﹣∞时，y ＞0，0＜x ＜2时，y ＜0，在x 趋向于+∞时，y 趋向于+∞； ∴C 中的函数满足条件；D 中，y=xlnx 的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x ∈（0，1）时，lnx ＜0， ∴y=xlnx ＜0，∴D 中函数不满足条件． 故选：C ． 7．【答案】C【解析】由题意，根据对数的运算，可得a =log 212 <log 21=0，b =log √2√32log 21>=，根据指数幂的运算，可得0<c =(14)23<(14)0=1，则a <c <b .故选C ． 8. 【答案】A【解答】解：由题意，()f x Q 在R 上是减函数，0x ∴<时2()1f x x ax =-+，其过定点(0,1)，且0x <时是减函数，∴对称轴02a x =…，① 又0x Q …时，()3f x x a =--，是减函数，函数23,0()1,0x a x f x x ax x --⎧=⎨-+<⎩…是(,)-∞+∞上的减函数，31a ∴„，②又①②得103a 剟． 故选：A ． 9. 【答案】B【解答】解：根据题意，函数()f x 是定义在[2-，2]上的减函数，若(1)(31)f a f a +<+，则有23112a a -+<+剟， 解可得：10a -<…，即a 的取值范围为[1-，0)； 故选：B ． 10. 【答案】D 【解答】解：A.y =2x −2−xx 2满足，x ≠0；∴2x ﹣2﹣x ≠0；∴y ≠0；即该函数不存在零点；B.y =x +2x 的值域为(−∞，−2√2]∪[2√2，+∞)； ∴该函数不存在零点； C.y =12x −1+12的值域为(−∞，−12)∪(12，+∞)； ∴该函数不存在零点；D.y =sin 2(x −π4)−12=1−cos(2x−π2)2−12=−sin2x ；∴该函数为奇函数，且存在零点x=0． 故选：D ． 11. 【答案】A【解答】解：点（m ，8）在幂函数f （x ）=（m ﹣1）x n 的图象上， 可得m ﹣1=1，即m=2， 2n =8，可得n=3，则f （x ）=x 3，且f （x ）在R 上递增，由a=f （√33），b=f （ln π），c=f （√22），0＜√33＜√22＜1，ln π＞1，可得a ＜c ＜b ，故选：A ． 12．【答案】A【解析】()()1122222202121212x x x x xf x +++-===-∈+++，． ∴当f (x )∈(0，1)时，y =[f (x )]=0； 当f (x )∈[1，2)时，y =[f (x )]=1， ∴函数y =[f(x)]的值域是{0,1}． 故选A ． 13.【答案】B【解答】解：∵f （x ）是R 上的偶函数，且在[0，+∞）单调递减， ∴不等式f （lnx ）＞f （1）等价为f （|lnx|）＞f （1）， 即|lnx|＜1， 即﹣1＜lnx ＜1， 得e ﹣1＜x ＜e ，即不等式的解集为（e ﹣1，e ） 故选：B ． 14．【答案】A【解析】由题知，f (x )的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)， 且f (−x )=(e −x −e x )cos (−x )(−x)2=−(e x −e −x )cosxx 2,∴f(−x)=−f (x )，所以f (x )是奇函数，排除C 和D ， 将x =π代入f (x )得f (π)=(e π−e −π)cosππ2=−(e π−e −π)π2<0，排除B ，故选A ． 15.【答案】A【解答】解：∵y=f （x+1）是偶函数， ∴f （﹣x+1）=f （x+1）， 即函数f （x ）关于x=1对称．∵当x ≥1时，f （x ）=2x ﹣1为增函数， ∴当x ≤1时函数f （x ）为减函数．∵f （32）=f （12+1）=f （﹣12+1）=f （12），且13＜12＜23，∴f （13）＞f （32）＞f （23）， 故选：A ． 16.【答案】A【解答】解：由题意可知f （2）=0，解得k=2， 所以f （x ）=a x ﹣2﹣1， 又因为是减函数， 所以0＜a ＜1．此时g （x ）=log a （x+2）也是单调递减的，且过点（﹣1，0）．故选A 符合题意． 故选：A ． 17.【答案】C【解答】解：由f （x+4）=1f(x)得f[（x+8）]=1f(x+4)=f （x ），T=8 ∵x ∈[2，10），f （x ）=log 2（x ﹣1） ∴f （2010）+f （2011）=f （2）+f （3） =log 21+log 2（3﹣1）=1． 故选：C ． 18.【答案】C【解答】解：由题意，函数f （x ）的定义域为（0，+∞）；由函数零点的定义，f （x ）在（0，+∞）内的零点即是方程|x ﹣2|﹣lnx=0的根． 令y 1=|x ﹣2|，y 2=lnx （x ＞0），在一个坐标系中画出两个函数的图象： 由图得，两个函数图象有两个交点， 故方程有两个根，即对应函数有两个零点． 故选：C ．19.【答案】A【解答】解：在（﹣∞，1]上2x ∈（0，2]． 函数f （x ）=2x ﹣a 2﹣a 在（﹣∞，1]上存在零点，可得0＜a 2+a ≤2，解得a ∈（0，1]． 故选：A ．20.【答案】（﹣2，0）∪（1，2） 【解答】解：∵f （x ）是奇函数，∴当x ＜0，则﹣x ＞0，则f （﹣x ）=log 2（﹣x ）﹣1=﹣f （x ）， 即f （x ）=1﹣log 2（﹣x ），x ＜0，当x ＞0时，由f （x ）=log 2x ﹣1=0，得log 2x=1，得x=2， 作出函数f （x ）的图象如图：则不等式（x ﹣l ）f （x ）＜0等价为{x −1＞0f(x)＜0或{x −1＜0f(x)＞0，即{x ＞1x ＜−2或0＜x ＜2或{x ＜1x ＞2或−2＜x ＜0， 得1＜x ＜2或﹣2＜x ＜0，即不等式的解集为（﹣2，0）∪（1，2）， 故答案为：（﹣2，0）∪（1，2）．21．【答案】16【解析】Q 函数()()122,2log 12,2x x f x x x -⎧<-⎪=⎨-+≥-⎪⎩，且()4f a =，∴当2a <-时，()f a 24a -==，解得2a =-，不成立；当2a -…时，()f a ()12log 124a =-+=，解得4a =．()()44216f a f ∴-=-==．故答案为16．22.【答案】（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：①当x ≤0时，可得2﹣x ﹣1＞1，即2﹣x ＞2，所以﹣x ＞1，得x ＜﹣1； ②当x ＞0时，可得x ＞1．故答案为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 23．【答案】(−1,0)∪(0,3)∪(3,4)【解析】∵函数f(x)=log a x 2+a |x |，∴f (−x )=f(x). 故函数()f x 为偶函数， 当x >0时，f(x)=log a x 2+a x∵f (−3)=f(3)<f(4)，故a >1，函数()f x 在(0，+∞)上为增函数， 由偶函数的性质可知f(x)在(−∞，0)上为减函数∵f(x 2−3x)<f(4)，则−4<x 2−3x <0或0<x 2−3x <4 解得−1<x <4，且x ≠0，x ≠3则不等式f(x 2−3x)<f(4)的解集为(−1，0)∪(0，3)∪(3，4). 24.【答案】2【解答】解：∵4x =9y =6，∴x=lg6lg4，y=lg6lg9．则1x +1y =lg4lg6+lg9lg6=lg62lg6=2．故答案为：2．25．【答案】13x -≤<或7x ≥【解析】由于奇函数()f x 在()0,+∞上单调递减，且()40f =，所以函数()f x 在(),0-∞上是减函数，()40.f -=所以不等式()0f x ≤的解为440,x x ≥-≤<或所以由(3)0f x -≤知-34430.x x ≥-≤-<或所以71 3.x x ≥-≤<或故填13x -≤<或7x ≥.26.【答案】[2，+∞）【解答】解：令t=﹣x 2+4x=﹣（x 2﹣4x ）=﹣（x ﹣2）2+4，则f （x ）=(12)t ，再根据复合函数的单调性可得，本题即求函数t 的减区间．再利用二次函数的性质可得t=﹣（x ﹣2）2+4 的减区间为[2，+∞）， 故答案为[2，+∞）．27.【解答】解：（1）要使函数有意义：则有{1−x ＞0x +3＞0，解之得：﹣3＜x ＜1，则函数的定义域为：（﹣3，1）（2）函数可化为f（x）=log a（1﹣x）（x+3）=log a（﹣x2﹣2x+3）由f（x）=0，得﹣x2﹣2x+3=1，即x2+2x﹣2=0，x=−1±√3∵−1±√3∈(−3，1)，∴函数f（x）的零点是−1±√3（3）函数可化为：f（x）=log a（1﹣x）（x+3）=log a（﹣x2﹣2x+3）=log a[﹣（x+1）2+4] ∵﹣3＜x＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，∵0＜a＜1，∴log a[﹣（x+1）2+4]≥log a4，即f（x）min=log a4，由log a4=﹣4，得a﹣4=4，∴a=4−14=√22.。
