2019年普通高等学校春季招生考试数学试卷(北京、安徽卷)理(附解答)
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2019年普通高等学校春季招生考试（北京、安徽卷）数 学（理工农医类）一、 选择题：本大题共14小题；第（1）—（10）题每小题4分，第（11）—（14）题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1） 复数,1,321i z i z -=+=则21z z z ⋅=在复平面内的对应点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限 （2） 设全集{},,,,,e d c b a I =集合{},,,,d c a M ={},,,e d b N =那么N M ⋂是 （A ）φ （B ）{}d （C ）{a,c } （D ）{b,e }（3）双曲线12222=-ay b x 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）23（4）曲线1=xy 的参数方程是（A ）⎪⎩⎪⎨⎧==-.,2121t y t x （B ）⎩⎨⎧==.csc ,sin ααy x （C ）⎩⎨⎧==.sec ,cos ααy x （D ）⎩⎨⎧==.,ααctg y tg x （5）一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（A ）3:1 （B ）3:2 （C ）2:1 （D ）9:2 （6）直线a =θ和直线()1sin =-a θρ的位置关系是（A ）垂直 （B ）平行 （C ）相交但不垂直 （D ）重合 （7）函数x y lg =（A ）是偶函数，在区间()0,∞-上单调递增（B ）是偶函数，在区间()0,∞-上单调递减 （C ）是奇函数，在区间()+∞,0上单调递增（D ）是奇函数，在区间()+∞,0上单调递减（8）从单词“equation ”选取5个不同的字母排成一排，含有“qu ”（其中“qu ”相连且顺序不变）的不同排列共有（A ）120个 （B ）480个 （C ）720个 （D ）840个 （9）椭圆短轴长是2，长轴长是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是（A ）558 （B ）554 （C ）338 （D ）334 （10）函数xx y cos sin 21++=的最大值是（A ）122- （B ）122+ （C ）221- （D ）221--（11）设复数⎪⎭⎫ ⎝⎛<<+=24cos sin 21πθπθθi z 在复平面上对应向量1OZ ，将1OZ 按顺时针方向旋转π43后得到向量2OZ ，2OZ 对应的复数为()ϕϕsin cos 2i r z += ，则=ϕtg （A ）1212-+θθtg tg （B ）1212+-θθtg tg （C ）121+θtg （D ）121-θtg（12）设βα,是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是 （A ）1<βαtg tg （B ）2sin sin <+βα（C ）1cos cos >+βα （D ）()221βαβα+<+tg tg（13）已知等差数列{}n a 满足,0101321=++++a a a a Λ则有（A ）01011>+a a （B ）01002<+a a （C ）0993=+a a （D ）5151=a （14）已知函数()d cx bx ax x f +++=23的图象如右图，则（A ）()0,∞-∈b （B ）()1,0∈b （C ）()2,1∈b （D ）()+∞∈,2b二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16（15）函数⎪⎭⎫⎝⎛+=432cos ππx y 的最小正周期是__________（16）右图是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E 、F ，则线段EF 的长是_________（17）1031⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中的常数项是___________（18）在空间，下列命题正确的是____________（注：把你认为正确的命题 的序号都填上）①如果两条直线a 、b 分别与直线l 平行，那么a ∥b②如果两条直线a 与平面β内的一条直线b 平行，那么a ∥β ③如果直线a 与平面β内的一条直线b 、c 都有垂直，那么a ⊥β ④如果平面β内的一条直线a 垂直平面γ，那么β⊥γ三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤在ABC ∆中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c 证明：().sin sin 222CB A c b a -=-（20）（本小题满分12分）在直角梯形ABCD 中，∠D=∠BAD=ο90，AD=DC=21AB=a （如图一）将 ADC ∆沿AC 折起，使D 到D 记面D AC '为α，面ABC 为β，面D BC '为γ（I ）若二面角βα--AC 为直二面角（如图二），求二面角γβ--BC 的 大小；（II ）若二面角βα--AC 为ο60（如图三），求三棱锥ABC D -'的体积（21）（本小题满分12分）设函数()x x f lg =，若b a <<0，且()()b f a f >，证明：.1<ab如图，设点A 和B 为抛物线()042>=p px y 上原点以外的两个动点， 已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线（23）（本小题满分12分）某地区上年度电价为8.0元/kW h ⋅，年用电量为a kW h ⋅55.0元/kW h ⋅至75.0元/kW h ⋅之间，而用户期望电价为4.0元/kW h ⋅经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K ）该地区电力的成本为3.0元/kW h ⋅（I ）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；（II ）设a k 2.0=，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （注：收益=实际用电量×（实际电价-成本价））（24）（本小题满分14分）已知函数()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈=,1,21,,21,0,21x x f x x f x f其中()().22,1212221+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x f x x f（I ） 在下面坐标系上画出()x f y =的图象；（II ） 设()⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=1,212x x f y 的反函数为()()Λ,,1,121a g a a x g y ===，(),1-=n n a g a 求数列{}n a 的通项公式，并求n n a ∞→lim ；（III ）若()()01010,,21,0x x f x f x x ==⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈，求.0x2019年普通高等学校春季招生考试（北京、安徽卷）数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本题解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本题考查基础知识和基础运算第（1）—（10）每小题4分，第（11）—（14）题每小题5分，满分60分（1）D （2）A （3）C （4）D （5）C （6）B （7）B （8）B （9）D （10）B （11）A （12）D （13）C （14）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分16分（15） （16）22 （17）210（18）①，④ 三、解答题（19）本小题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理等基础知识，考查三角函数简单的变形技能满分12分证明：由余弦定理 ,cos 2222A bc c b a -+=,cos 2222B ac c a b -+= ———3分 ∴ B ac A bc a b b a cos 2cos 22222+--=-整理得 cAb B ac b a cos cos 222-=- ———6分 依正弦定理，有 ,sin sin ,sin sin CB c bC A c a == ———9分∴ C A B B A c b a sin cos sin cos sin 222-=- ().sin sin CB A -= —12分（20）本小题主要考查空间线间关系，及运算、推理、空间想象能力满分12 分解：（I ）在直角梯形ABCD 中， 由已知∆DAC 为等腰直角三角形，∴ ο45,2=∠=CAB a AC 过C 作CH ⊥AB ，由AB=2a ， 可推得 AC=BC=.2a∴ AC ⊥BC ———2分 取 AC 的中点E ，连结E D '， 则 E D '⊥AC又 ∵ 二面角β--AC a 为直二面角， ∴ E D '⊥β 又 ∵ ⊂BC 平面β∴ BC ⊥E D '∴ BC ⊥a ，而a C D ⊂'，∴ BC ⊥C D ' ———4分 ∴ CA D '∠为二面角γβ--BC 的平面角由于ο45='∠CA D ，∴二面角γβ--BC 为45 ———6分（II ）取AC 的中点E ，连结E D '，再过D '作β⊥'O D ，垂足为O ，连结 OE∵ AC ⊥E D '， ∴ AC ⊥OE∴ EO D '∠为二面角β--AC a 的平面角，∴ EO D '∠ο60= ———9分 在OE D Rt '∆中，a AC E D 2221=='， ∴O D S V ABC ABC D '⋅=∆-'31， O D BC AC '⋅⋅⨯=2131a a a 462261⨯⨯⨯=.1263a = ———12分（21）本小题主要考查函数的单调性、对数函数的性质、运算能力，考查分析问题解决问题的能力满分12分 证明：由已知()()()⎩⎨⎧<<-+∞<≤==.10,lg ,1,lg lg x x x x x x f ———2分∵ b a <<0，()()b f a f >，∴ a 、b 不能同时在区间[)+∞,1 上，又由于b a <<0，故必有()1,0∈a ；———6分 若 ()1,0∈b ，显然有1<ab ———8分 若 [)+∞∈,1b ，由()()0>-b f a f ， 有 0lg lg >--b a ， 故 0lg <ab ，∴ .1<ab ———12分（22）本小题主要考查直线、抛物线的基础知识，考查由动点求轨迹方程的基 本方法以及方程化简的基本技能满分12分 解：如图，点A ，B 在抛物线px y 42=上，设 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B B A A y p y B y p y A ,4,,422，OA 、OB 的斜率分别为OA k 、OB k∴ B OBA A A OA y pk y p py y k 4,442===———2分 由OA ⊥AB ，得1162-==⋅BA OBOA y y p k k ① ———4分 依点A 在AB 上，得直线AB 方程()(),442⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-+p y x p y y y y A A B A ② ———6分由OM ⊥AB ，得直线OM 方程 x py y y BA 4-+=③ ———8分 设点M ()y x ,，则y x ,满足②、③两式，将②式两边同时乘以px4-，并利用③式整理得 ().04222=+-+y x yy y px A A ④ ———10分 由③、④两式得().0422=+--y x y y pxB A 由①式知， 216p y y B A -= ∴ 0422=-+px y x因为A 、B 是原点以外的两点，所以.0≠x所以M 的轨迹是以（2p ，0）为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点 ——12分（23）本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数 学知识、思想和方法解决实际问题的能力满分12分解：（I ）：设下调后的电价为x 元/h kw ⋅，依题意知用电量增至a x k+-4.0，电力部门的收益为()()75.055.03.04.0≤≤-⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x a x k y ———5分 （II ）依题意有()()[]()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-⨯≥-⎪⎭⎫⎝⎛+-.75.055.0,%2013.08.03.04.02.0x a x a x a ———9分 整理得⎩⎨⎧≤≤≥+-75.055.003.01.12x x x解此不等式得 75.060.0≤≤x答：当电价最低定为6.0x 元/h kw ⋅仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%。
