2019年中考数学试题分类汇编22：三角形(含多边形及其内角和)

2019年全国中考试题解析版分类汇编-多边形的内角和，外角和注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！1.〔2017山西，7，2分〕一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，那么该正多边形是〔〕A、正六边形B、正七边形C、正八边形D、正九边形考点：多边形的内角和与外角和专题：三角形和内角和分析：正多边形的外角和是360°，而它的每一个外角都等于45°，360°÷45°＝8、那么该正多边形是正八边形，应选C、解答：C点评：弄清正多边形的外角和与它的每一个外角的关系、多边形的外角和等于360°、2.〔2017•莱芜〕以下说法正确的选项是〔〕A、16的算术平方根是4B、方程﹣x2+5x﹣1=0的两根之和是﹣5C、任意八边形的内角和等于1080°D、当两圆只有一个公共点时，两圆外切考点：圆与圆的位置关系；算术平方根；根与系数的关系；多边形内角与外角。

分析：根据算术平方根的定义，一元二次方程根与系数的关系，多边形内角和的求解方法以及圆与圆的位置关系的性质即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用、解答：解：A、16的算术平方根是±2，故本选项错误；B、方程﹣x2+5x﹣1=0的两根之和是5，故本选项错误；C、任意八边形的内角和等于1080°，故本选项正确；D、当两圆只有一个公共点时，两圆外切或内切，故本选项错误、应选C、点评：此题考查了算术平方根的定义，一元二次方程根与系数的关系，多边形内角和的求解方法以及圆与圆的位置关系的性质、此题比较简单，解题的关键是熟记公式与性质、3.〔2017•山西7，2分〕一个正多边形，它的每一个外角都是45°，那么该正多边形是〔〕A、正六边形B、正七边形C、正八边形D、正九边形考点：多边形内角与外角。

专题：数形结合。

分析：多边形的外角和是360度，因为是正多边形，所以每一个外角都是45°，即可得到外角的个数，从而确定多边形的边数、解答：解：360÷45=8，所以这个正多边形是正八边形、应选C、点评：此题主要考查了多边形的外角和定理、外角求边数的这种方法是需要熟记的内容、正多边形的各个内角相等，各个外角也相等、4.〔2017四川眉山，5，3分〕假设一个正多边形的每个内角为150°，那么这个正多边形的边数是〔〕A、12B、11C、10D、9考点：多边形内角与外角。

三角形一、选择题1．（2019四川自贡）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A．7 B．8 C．9 D．102．（2019四川眉山）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝30°，∠ADC ＝70°，则∠C的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°3．（2019四川南充）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（）EDB CAA．8 B．11 C．16 D．174．（2019四川凉山州）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝14，则sin B的值为（）A 102B．153C．64D1045．（2019四川凉山州）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO 并延长交BC 于E ，则BE ：EC ＝（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．2：36．（2019四川自贡）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C 、F 分别 是直线x ＝﹣5和x 轴上的动点，CF ＝10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ， 当△ABE 面积取得最小值时，tan ∠BAD 的值是（ ）A ．817B ．717C ．49D ．59二、填空题7．（2019四川广安）等腰三角形的两边长分别为6cm ，13cm ，其周长为 cm ． 8．（2019四川成都）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD ＝∠CAE ， 若BD ＝9，则CE 的长为 ．A9.（2019四川乐山）如图，在△ABC 中，︒=∠30B ，2=AC ,53cos =C . 则AB 边的长为 .30°10.（2019四川绵阳）在△ABC中，若∠B=45°，AB=102，AC=55，则△ABC的面积是．11．（2019四川自贡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝．12．（2019四川自贡）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝．13．（2019四川巴中）如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝．14．（2019四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点A的坐标为（5，0），点B在x轴的上方，△OAB的面积为152，则△OAB内部（不含边界）的整点的个数为．x15．（2019四川广安）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA 3为直角边作Rt △OA 3A 4，并使∠A 3OA 4＝60°…按此规律进行下去，则点A 2019的坐标为．三、解答题16.（2019四川乐山）如图，线段AC 、BD 相交于点E ,DE AE = ,CE BE =. 求证：C B ∠=∠.AE17．（2019四川南充）如图，点O 是线段AB 的中点，OD ∥BC 且OD ＝BC ． （1）求证：△AOD ≌△OBC ；（2）若∠ADO ＝35°，求∠DOC 的度数．45°COBD18．（2019四川眉山）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，点E 是CD 的中点，AE ＝BE ． 求证：∠D ＝∠C ．19．（2019四川达州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝3． （1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹． ①作∠ACB 的平分线，交斜边AB 于点D ；②过点D作BC的垂线，垂足为点E．（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．20．（2019四川巴中）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．①求证：EC＝BD；②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．21．（2019四川巴中）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC＝414m，AB＝300m，求出点D到AB的距离．（参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）22．（2019四川眉山）如图，在岷江的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i＝1：2的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB 的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了205米到达点D 处，此时在D处测得楼顶A的仰角为30°，求楼AB的高度．23．（2019四川成都）2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）24．（2019四川广安）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．（1）求古树BH的高；（2）求教学楼CG的高．（参考数据：2＝1.4，3＝1.7）25．（2019四川达州）渠县賨人谷是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40°，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60°，CB＝5m，CD＝2.7m．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84.2≈1.41，3≈1.73）26．（2019四川资阳）如图，南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处．（1）求渔船B航行的距离；（2）此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西60°方向，A 渔船在点D的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．（注：结果保留根号）27．（2019四川遂宁）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：5梯，结果保留根号）28．（2019四川凉山州）如图，∠ABD ＝∠BCD ＝90°，DB 平分∠ADC ，过点B 作BM ∥ CD 交AD 于M ．连接CM 交DB 于N ． （1）求证：BD 2＝AD •CD ；（2）若CD ＝6，AD ＝8，求MN 的长．29.（2019四川广安）在△ABC 中，已知D 是BC 边的中点，G 是△ABC 的重心，过G 点的直线分别交AB 、AC 于点E 、F . （1）如图1，当EF ∥BC 时，求证：1=+AFCFAE BE ； （2）如图2，当EF 和BC 不平行，且点E 、F 分别在线段AB 、AC 上时，（1）中的结 论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.（3）如图3，当点E 在AB 的延长线上或点F 在AC 的延长线上时，（1）中的结论是否成 立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.30．（2019四川成都）如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝20，tan B ＝34，点D 为BC 边上的动点（点D 不与点B ，C 重合）．以D 为顶点作∠ADE ＝∠B ，射线DE 交AC 边于点E ，过点A 作AF ⊥AD 交射线DE 于点FGD B CE图3FGE图2F GE 图1F，连接CF．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．。

专题04 三角形一、选择题1．（2019山东枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°【答案】C ．【解析】解：如图，∵∠ACD ＝90°、∠F ＝45°，∴∠CGF ＝∠DGB ＝45°，则∠α＝∠D +∠DGB ＝30°+45°＝75°，故选：C ．2．（2019山东淄博）如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD ＝∠B ．若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为（ ）A ．2aB ．52aC ．3aD ．72a 【答案】C ．【解析】解：∵∠CAD ＝∠B ，∠ACD ＝∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA ， ∴2()ACD BCA S AC S AB = ，即14BCA a S = ， 解得，△BCA 的面积为4a ，∴△ABD 的面积为：4a ﹣a ＝3a ，故选：C ．3．（2019山东青岛）如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，垂足为F ．若∠ABC ＝35°，∠C ＝50°，则∠CDE 的度数为（ ）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】A．【解析】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD，∠AFB＝∠EFB，∵BF＝BF，∴△ABF∽△EBF（ASA），∴AF＝EF，AB＝BE，∴AD＝DE，∵∠ABC＝35°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，∴△ABD≌△EAD（SSS），∴∠BED＝∠BAD＝95°，∴∠ADE＝360°﹣95°﹣95°﹣35°＝145°，∴∠CDE＝180°﹣∠ADE＝35°，故选：A．4．（2019山东临沂）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B．【解析】解：∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF＝3，∵AB＝4，∴DB＝AB﹣AD＝4﹣3＝1．故选：B．5．（2019山东枣庄）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D等于（）A ．2B ．3C ．4D ．32 【答案】B ．【解析】解：∵S △ABC ＝16、S △A ′EF ＝9，且AD 为BC 边的中线，∴S △A ′DE ＝12S △A ′EF ＝92，S △ABD ＝12S △ABC ＝8， ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A 'B 'C '，∴A ′E ∥AB ，∴△DA ′E ∽△DAB ， 则2()A DE ABD S A D AD S ''= ，即2992()1816A D A D '=='+， 解得A ′D ＝3或A ′D ＝﹣37（舍）， 故选：B ． 6．（2019山东泰安）如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行2km 至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C 港在A 港北偏东20°方向，则A ，C 两港之间的距离为（ ）km ．A ．3B ．3C ．3D ．3【答案】B ．【解析】解：根据题意得，∠CAB ＝65°﹣20°，∠ACB ＝40°+20°＝60°，AB ＝2，如图，过B 作BE ⊥AC 于E ，∴∠AEB ＝∠CEB ＝90°，在Rt △ABE 中，∵∠ABE ＝45°，AB ＝∴AE＝BE＝2AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE BE＝，∴AC＝AE+CE＝3∴A，C两港之间的距离为（3km，故选：B．7．（2019山东聊城）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，下列结论中错误的是（）A．AE+AF＝AC B．∠BEO+∠OFC＝180°C．OE+OF＝22BC D．S四边形AEOF＝12S△ABC【答案】C．【解析】解：连接AO，如图所示．∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∠BAO＝∠ACO＝45°．∵∠EOA+∠AOF＝∠EOF＝90°，∠AOF+∠FOC＝∠AOC＝90°，∴∠EOA＝∠FOC．∴△EOA≌△FOC（ASA），∴EA＝FC，∴AE+AF＝AF+FC＝AC，选项A正确；∵∠B +∠BEO +∠EOB ＝∠FOC +∠C +∠OFC ＝180°，∠B +∠C ＝90°，∠EOB +∠FOC ＝180°﹣∠EOF ＝90°，∴∠BEO +∠OFC ＝180°，选项B 正确；∵△EOA ≌△FOC ，∴S △EOA ＝S △FOC ，∴S 四边形AEOF ＝S △EOA +S △AOF ＝S △FOC +S △AOF ＝S △AOC ＝12S △ABC ，选项D 正确． 故选：C ．8．（2019山东淄博）如图，在以A 为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC 中，将B 角折起，使点B 落在AC 边上的点D （不与点A ，C 重合）处，折痕是EF ．如图1，当CD ＝12AC 时，tan α1＝34； 如图2，当CD ＝13AC 时，tan α2＝512； 如图3，当CD ＝14AC 时，tan α3＝724；…… 依此类推，当CD ＝11n +AC （n 为正整数）时，tan αn ＝ ． 【答案】22122n n n ++． 【解答】解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n +1，分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n +1，2(21)12n +-，2(21)12n ++中的中间一个． ∴tan αn ＝221(21)12n n ++-＝22122n n n++． 故答案为：22122n n n ++． 9．（2019山东滨州）如图，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，OA ＞OC ，∠AOB ＝∠COD ＝40°，连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC ＝BD ；②∠AMB ＝40°；③OM 平分∠BOC ；④MO 平分∠BMC ．其中正确的个数为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B．【解析】解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；∴∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴MO平分∠BMC，④正确；正确的个数有3个；故选：B．二、填空题10．（2019山东枣庄）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【答案】9.5．【解析】解：过D 作DE ⊥AB ，∵在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53°，∴∠ADE ＝53°，∵BC ＝DE ＝6m ，∴AE ＝DE •tan53°≈6×1.33≈7.98m ，∴AB ＝AE +BE ＝AE +CD ＝7.98+1.5＝9.48m ≈9.5m ，故答案为：9.511．（2019山东德州）如图，一架长为6米的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时测得∠ABO =70°，如果梯子的底端B 外移到D ，则梯子顶端A 下移到C ，这时又测得∠CDO =50°，那么AC 的长度约为 米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）【答案】1.02．【解析】解：由题意可得：∵∠ABO =70°，AB =6m ，∴sin70°=6AO AO AB ≈0.94， 解得：AO =5.64（m ），∵∠CDO =50°，DC =6m ，∴sin50°=6CO ≈0.77， 解得：CO =4.62（m ），则AC =5.64-4.62=1.02（m ），答：AC 的长度约为1.02米．故答案为：1.02．12．（2019山东临沂）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC ⊥BC ，则△ABC 的面积是 ．【答案】【解析】解：∵DC ⊥BC ，∴∠BCD ＝90°，∵∠ACB ＝120°，∴∠ACD ＝30°，延长CD 到H 使DH ＝CD ，∵D 为AB 的中点，∴AD ＝BD ，∴△ADH ≌△BCD （SAS ），∴AH ＝BC ＝4，∠H ＝∠BCD ＝90°，∵∠ACH ＝30°，∴CH 3＝3∴CD ＝3∴△ABC 的面积＝2S △BCD ＝2×12×4×33 故答案为：313．（2019山东枣庄）把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A ，且另外三个锐角顶点B ，C ，D 在同一直线上．若AB ＝2，则CD ＝ ．62【解析】解：如图，过点A 作AF ⊥BC 于F ，在Rt △ABC 中，∠B ＝45°，∴BC 2AB ＝2BF ＝AF ＝AB 2∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD ＝BC ＝2在Rt △ADF 中，根据勾股定理得，DF 226AD AF -=∴CD ＝BF +DF ﹣BC ﹣14．（2019山东聊城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，DE为△ABC的中位线，延长BC至F，使CF＝12BC，连接FE并延长交AB于点M．若BC＝a，则△FMB的周长为．【答案】92 a．【解析】解：在Rt△ABC中，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝2a，AC3．∵DE是中位线，∴CE 3 a．在Rt△FEC中，利用勾股定理求出FE＝a，∴∠FEC＝30°．∴∠A＝∠AEM＝30°，∴EM＝AM．△FMB周长＝BF+FE+EM+BM＝BF+FE+AM+MB＝BF+FE+AB＝92 a．故答案为92 a．三、解答题15．（2019山东淄博）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．【答案】见解析【解析】证明：∵∠BAE＝∠DAC∴∠BAE+∠CAE＝∠DAC+∠CAE∴∠CAB＝∠EAD，且AB＝AD，AC＝AE∴△ABC≌△ADE（SAS）．∴∠C＝∠E．16．（2019山东菏泽）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A 处时，测得小岛B 位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里再航行一段时间后到达C 处，测得小岛B 位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC 的长．【答案】（26【解析】解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，由题意，得：∠BAD ＝60°，∠BCD ＝45°，AC ＝80，在Rt △ADB 中，∠BAD ＝60°，∴tan60°＝3BD AD∴AD 3在Rt △BCD 中，∠BCD ＝45°，∴BD ＝CD ，∴AC ＝AD +CD 3BD ＝80， ∴BD ＝120﹣3∴BC 2BC ＝26答：BC 的距离是（26）海里．17．（2019山东聊城）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，CD 部分），在起点A 处测得大楼部分楼体CD 的顶端C 点的仰角为45°，底端D 点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B 处，测得顶端C 的仰角为63.4°（如图②所示），求大楼部分楼体CD 的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00 1.41 1.73）【答案】17米．【解析】解：设楼高CE为x米，∵在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，∴AE＝CE＝x，∵AB＝20，∴BE＝x﹣20，在Rt△CEB中，CE＝BE•tan63.4°≈2（x﹣20），∴2（x﹣20）＝x，解得：x＝40（米），在Rt△DAE中，DE＝AE tan30°＝40×3403 33，∴CD＝CE﹣DE＝40403≈17（米），答：大楼部分楼体CD的高度约为17米．18．（2019山东临沂）鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝4km，∠ABD＝105°，求BD的长．【答案】．【解析】解：作BE⊥AD于点E，∵∠CAB＝30°，AB＝4km，∴∠ABE＝60°，BE＝2km，∵∠ABD＝105°，∴∠EBD＝45°，∴∠EDB＝45°，∴BE＝DE＝2km，∴BD＝2，即BD的长是2km．19．（2019山东潍坊）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为13AB 的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）【答案】8017【解析】解：∵∠AEB＝90°，AB＝200，坡度为13∴tan∠ABE3 3=∴∠ABE＝30°，∴AE＝12AB＝100，∵AC＝20，∴CE＝80，∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为1：4，∴14CEDE=，即8014ED=，解得，ED＝320，∴CD=答：斜坡CD的长是20．（2019山东青岛）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行．在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向．已知CD＝120m，BD＝80m，求木栈道AB的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin32°≈1732，cos32°≈1720，tan32°≈58，sin42°≈2740，c os42°≈34，tan42°≈9 10）【答案】134米．【解析】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB交AB的延长线于F，则CE∥DF，∵AB∥CD，∴四边形CDFE是矩形，∴EF＝CD＝120，DF＝CE，在Rt△BDF中，∵∠BDF＝32°，BD＝80，∴DF＝cos32°•BD＝80×1720≈68，BF＝sin32°•BD＝80×1732≈852，∴BE＝EF﹣BF＝1552，在Rt△ACE中，∵∠ACE＝42°，CE＝DF＝68，∴AE＝CE•tan42°＝68×910＝3065，∴AB＝AE+BE＝1552+3065≈134m，答：木栈道AB的长度约为134m．21．（2019山东威海）如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG＝2米，货厢底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝35，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．【答案】不会触碰到汽车货厢顶部，理由见解析．【解析】解：∵BH＝0.6米，sinα＝35，∴AB＝0.613sin5BHα==米，∴AH＝0.8米，∵AF＝FC＝2米，∴BF＝1米，作FJ⊥BG于点J，作EK⊥FJ于点K，∵EF＝FB＝AB＝1米，∠EKF＝∠FJB＝∠AHB＝90°，∠EFK＝∠FBJ＝∠ABH，∴△EFK≌△FBJ≌△ABH，∴EK＝FJ＝AH，BJ＝BH，∴BJ+EK＝0.6+0.8＝1.4＜2，∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．22．（2019山东菏泽）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）如图1，连接BE，CD，BE的廷长线交AC于点F，交CD于点P，求证：BP⊥CD；（2）如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD的延长线交BE于点P，若BC＝2，AD＝3，求△PDE的面积．【答案】（1）见解析；（2）9 10．【解析】解：（1）∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE ＝90°．∴AD＝AE，AB＝AC，∠BAC﹣∠EAF＝∠EAD﹣∠EAF，即∠BAE ＝∠DAC ，∴△ABE ≌△ADC （SAS ），∴∠ABE ＝∠ACD ，∵∠ABE +∠AFB ＝∠ABE +∠CFP ＝90°，∴∠CPF ＝90°，∴BP ⊥CD ；（2）在△ABE 与△ACD 中，90AE AD EAB CAB AB AC =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴∠ABE ＝∠ACD ，BE ＝CD ，∵∠PDB ＝∠ADC ，∴∠BPD ＝∠CAB ＝90°，∴∠EPD ＝90°，∵BC ＝2，AD ＝3，∴DE ＝2AB ＝6，∴BD ＝6﹣3＝3，CD 2235AD AC += ∵△BDP ∽△CDA ， ∴BD PD PB CD AD AC==， 3635PD PB ==， ∴PD 5，PB 65∴PE ＝356595， ∴△PDE 的面积＝19559210=． 23．（2019山东枣庄）在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN2．【答案】（1233；（2）证明见解析；（3）见解析．【解析】（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，∵AB＝2，∴AD＝BD＝DC2∵∠AMN＝30°，∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠MBD＝30°，∴BM＝2DM，由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，即（2DM）2﹣DM222，解得，DM＝33，∴AM＝AD﹣DM223；（2）证明：∵AD⊥BC，∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF（ASA）∴BE＝AF；（3）证明：过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，∴∠AME＝90°，则AE2AM，∠E＝45°，∴ME＝MA，∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，∴∠BME＝∠AMN，∴△BME≌△AMN（ASA），∴BE＝AN，∴AB+AN＝AB+BE＝AE．专题05 四边形一、选择题1．（2019山东淄博）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）A B ．2 C ． D ．6【答案】B ．【解析】解：由题意可得， 822 2222，故选：B ．2．（2019山东临沂）如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM 、MC 、CN 、NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是（ ）A ．OM ＝12ACB ．MB ＝MOC ．BD ⊥AC D ．∠AMB ＝∠CND【答案】A ．【解析】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD∵对角线BD 上的两点M 、N 满足BM ＝DN ，∴OB ﹣BM ＝OD ﹣DN ，即OM ＝ON ，∴四边形AMCN 是平行四边形，∵OM ＝12AC ，∴MN ＝AC ， ∴四边形AMCN 是矩形．故选：A ．3．（2019山东枣庄）如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置．若四边形AECF 的面积为20，DE ＝2，则AE 的长为（ ）A ．4B ．C ．6D ．【答案】D ． 【解析】解：∵△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置．∴四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 的面积等于20，∴AD ＝DC ＝5∵DE ＝2，∴Rt △ADE 中，AE 2226AD DE +=故选：D ．4．（2019山东威海）如图，E 是▱ABCD 边AD 延长线上一点，连接BE ，CE ，BD ，BE 交CD 于点F ．添加以下条件，不能判定四边形BCED 为平行四边形的是（ ）A ．∠ABD ＝∠DCEB ．DF ＝CFC ．∠AEB ＝∠BCD D ．∠AEC ＝∠CBD【答案】C ．【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴DE ∥BC ，∠ABD ＝∠CDB ，∵∠ABD ＝∠DCE ，∴∠DCE ＝∠CDB ，∴BD ∥CE ，∴BCED 为平行四边形，故A 正确；∵DE ∥BC ，∴∠DEF ＝∠CBF ，∴△DEF ≌△CBF （AAS ），∴EF ＝BF ，∵DF ＝CF ，∴四边形BCED 为平行四边形，故B 正确；∵AE ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBF ，∵∠AEB ＝∠BCD ，∴∠CBF ＝∠BCD ，∴CF ＝BF ，同理，EF ＝DF ，∴不能判定四边形BCED 为平行四边形；故C 错误；∵AE ∥BC ，∴∠DEC +∠BCE ＝∠EDB +∠DBC ＝180°，∵∠AEC ＝∠CBD ，∴∠BDE ＝∠BCE ，∴四边形BCED 为平行四边形，故D 正确，故选：C ．5．（2019山东潍坊）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，动点P 沿折线BCD 从点B 开始运动到点D ．设运动的路程为x ，△ADP 的面积为y ，那么y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）A．B．C．D．【答案】D．【解析】解：由题意当0≤x≤3时，y＝3，当3＜x＜5时，y＝12×3×（5﹣x）＝32x+152．故选：D．6．（2019山东菏泽）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为y cm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）A．B． C．D．【答案】A．【解析】解：①当0≤x≤2时，∵正方形的边长为2cm，∴y＝S△APQ＝12AQ•AP＝12x2；②当2≤x≤4时，y＝S△APQ＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D，＝2×2﹣12（4﹣x）2﹣12×2×（x﹣2）﹣12×2×（x﹣2）＝﹣12x2+2x所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合．故选：A．7．（2019山东泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C2D．22【答案】D．【解析】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝12 CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝12 CF∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2 ∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°∴∠DP2P1＝90°∴∠DP1P2＝45°∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长，在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2，∴BP1＝∴PB的最小值是故选：D ．8．（2019山东德州）如图，正方形ABCD ，点F 在边AB 上，且AF ：FB =1：2，CE ⊥DF ，垂足为M ，且交AD 于点E ，AC 与DF 交于点N ，延长CB 至G ，使BG =12BC ，连接CM ．有如下结论：①DE =AF ；②AN AB ；③∠ADF =∠GMF ；④S △ANF ：S 四边形CNFB =1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A.①②B.①③C.①②③D.②③④【答案】C ．【解析】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB=CD=BC ，∠CDE =∠DAF =90°，∵CE ⊥DF ，∴∠DCE +∠CDF =∠ADF +∠CDF =90°，∴∠ADF =∠DCE ，∴△ADF ≌△DCE （ASA ），∴DE=AF ；故①正确；∵AB ∥CD ，∴AF AN CD CN=， ∵AF ：FB =1：2，∴AF ：AB=AF ：CD =1：3， ∴13AN CN =，∴14AN AC =， ∵AC 2142AB =，∴AN =24AB ；故②正确； 如图，作GH ⊥CE 于H ，设AF=DE=a ，BF =2a ，则AB=CD=BC =3a ，EC 10，由△CMD ∽△CDE ，可得CM 910，由△GHC ∽△CDE ，可得CH 910， ∴CH=MH=12CM ， ∵GH ⊥CM ，∴GM=GC ，∴∠GMH =∠GCH ，∵∠FMG +∠GMH =90°，∠DCE +∠GCM =90°，∴∠FEG =∠DCE ，∵∠ADF =∠DCE ，∴∠ADF =∠GMF ；故③正确，设△ANF的面积为m，∵AF∥CD，∴13AF FNCD DN==，△AFN∽△CDN，∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，∴△ADC的面积=△ABC的面积=12m，∴S△ANF：S四边形CNFB=1：11，故④错误，故选：C．二、填空题9．（2019山东济宁）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是．【答案】140°．【解析】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，则每个内角的度数＝12609＝140°．故答案为：140°．10．（2019山东枣庄）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝度．【答案】36．【解析】解：∵∠ABC＝(52)1805-⨯＝108°，△ABC是等腰三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝36度．11．（2019山东威海）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，连接BE，∠BEC＝∠DEC，若AB＝6，则CD＝．B【答案】3．【解析】解：如图，延长BC 、AD 相交于点F ，B ∵CE ⊥BC ，∴∠BCE ＝∠FCE ＝90°，∵∠BEC ＝∠DEC ，CE ＝CE ，∴△EBC ≌△EFC （ASA ），∴BC ＝CF ，∵AB ∥DC ，∴AD ＝DF ，∴DC ＝116322AB =⨯=． 故答案为：3．12．（2019山东威海）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，连接AC ，BD ．若∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝BD ，则∠ADC ＝°．【答案】105．【解析】解：作DE ⊥AB 于E ，CF ⊥AB 于F ，如图所示：则DE ＝CF ，∵CF ⊥AB ，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴CF ＝AF ＝BF ＝12AB ， ∵AB ＝BD ，∴DE ＝CF ＝12AB ＝12BD ，∠BAD ＝∠BDA ， ∴∠ABD ＝30°，∴∠BAD ＝∠BDA ＝75°，∵AB ∥CD ，∴∠ADC +∠BAD ＝180°，∴∠ADC ＝105°；故答案为：105°．13．（2019山东菏泽）如图，E ，F 是正方形ABCD 的对角线AC 上的两点，AC ＝8，AE ＝CF ＝2，则四边形BEDF 的周长是 ．【答案】5【解析】解：如图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，OD ＝OB ＝OA ＝OC ，∵AE ＝CF ＝2，∴OA ﹣AE ＝OC ﹣CF ，即OE ＝OF ，∴四边形BEDF 为平行四边形，且BD ⊥EF ，∴四边形BEDF 为菱形，∴DE ＝DF ＝BE ＝BF ，∵AC ＝BD ＝8，OE ＝OF ＝842-＝2， 由勾股定理得：DE 222242OD OE +=+5 ∴四边形BEDF 的周长＝4DE ＝4×255故答案为：514．（2019山东青岛）如图，在正方形纸片ABCD 中，E 是CD 的中点，将正方形纸片折叠，点B 落在线段AE 上的点G 处，折痕为AF ．若AD ＝4cm ，则CF 的长为 cm ．【答案】6﹣25【解析】解：设BF ＝x ，则FG ＝x ，CF ＝4﹣x ．在Rt △ADE 中，利用勾股定理可得AE ＝根据折叠的性质可知AG ＝AB ＝4，所以GE ＝4．在Rt △GEF 中，利用勾股定理可得EF 2＝（4）2+x 2，在Rt △FCE 中，利用勾股定理可得EF 2＝（4﹣x ）2+22，所以（4）2+x 2＝（4﹣x ）2+22，解得x ＝2．则FC ＝4﹣x ＝6﹣故答案为6﹣2515．（2019山东泰安）如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝12，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将△AEF 沿EF折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是 ．【答案】15【解析】解：如图，连接EC ，∵四边形ABCD 为矩形，∴∠A ＝∠D ＝90°，BC ＝AD ＝12，DC ＝AB ＝6∵E 为AD 中点，∴AE ＝DE ＝12AD ＝6 由翻折知，△AEF ≌△GEF ，∴AE ＝GE ＝6，∠AEF ＝∠GEF ，∠EGF ＝∠EAF ＝90°＝∠D ，∴GE ＝DE ，∴EC 平分∠DCG ，∴∠DCE ＝∠GCE ，∵∠GEC ＝90°﹣∠GCE ，∠DEC ＝90°﹣∠DCE ，∴∠GEC ＝∠DEC ，∴∠FEC ＝∠FEG +∠GEC ＝12×180°＝90°， ∴∠FEC ＝∠D ＝90°，又∵∠DCE ＝∠GCE ，∴△FEC ∽△EDC ， ∴FE EC DE DC=，∵EC ==∴6FE =FE ＝故答案为：16．（2019山东滨州）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分∠BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ．下列结论：①EO ⊥AC ；②S △AOD ＝4S △OCF ；③AC ：BD 217；④FB 2＝OF •DF ．其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号） F OB AC D【答案】①③④．【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，OD ＝OB ，OA ＝OC ，∴∠DCB +∠ABC ＝180°，∵∠ABC ＝60°，∴∠DCB ＝120°，∵EC 平分∠DCB ，∴∠ECB ＝12∠DCB ＝60°， ∴∠EBC ＝∠BCE ＝∠CEB ＝60°，∴△ECB 是等边三角形，∴EB ＝BC ，∵AB ＝2BC ，∴EA ＝EB ＝EC ，∴∠ACB ＝90°，∵OA ＝OC ，EA ＝EB ，∴OE ∥BC ，∴∠AOE ＝∠ACB ＝90°，∴EO ⊥AC ，故①正确，∵OE ∥BC ，∴△OEF ∽△BCF ，∴12OE OF BC FB ==，∴OF ＝13OB ， ∴S △AOD ＝S △BOC ＝3S △OCF ，故②错误，设BC ＝BE ＝EC ＝a ，则AB ＝2a ，AC ，OD ＝OB=， ∴BD a ，∴AC ：BD7，故③正确，∵OF ＝13OB ＝6a ，∴BF ＝3a ，∴BF 2＝79a 2，OF •DF a •a a ）＝79a 2， ∴BF 2＝OF •DF ，故④正确，故答案为①③④．17．（2019山东潍坊）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2．将∠A 向内翻折，点A 落在BC 上，记为A ′，折痕为DE ．若将∠B 沿EA ′向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为B ′，则AB ＝ ．3【解析】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ADC ＝∠C ＝∠B ＝90°，AB ＝DC ，由翻折知，△AED ≌△A 'ED ，△A 'BE ≌△A 'B 'E ，∠A 'B 'E ＝∠B ＝∠A 'B 'D ＝90°，∴∠AED ＝∠A 'ED ，∠A 'EB ＝∠A 'EB '，BE ＝B 'E ，∴∠AED ＝∠A 'ED ＝∠A 'EB ＝13×180°＝60°， ∴∠ADE ＝90°﹣∠AED ＝30°，∠A 'DE ＝90°﹣∠A 'EB ＝30°，∴∠ADE ＝∠A 'DE ＝∠A 'DC ＝30°，又∵∠C ＝∠A 'B 'D ＝90°，DA '＝DA '，∴△DB 'A '≌△DCA '（AAS ），∴DC ＝DB '，在Rt △AED 中，∠ADE ＝30°，AD ＝2，∴AE 233= 设AB ＝DC ＝x ，则BE ＝B 'E ＝x 23∵AE 2+AD 2＝DE 2，）2+22＝（x +x ）2，解得，x 1＝（负值舍去），x 218．（2019山东泰安）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．22n﹣1）．【解析】解：由题意可得，点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，∴前n2OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+C n﹣1A n2（1+2+4+8+…+2n﹣1），设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，则2S﹣S＝2n﹣1，∴S＝2n﹣1，∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，∴前n22n﹣1），22n﹣1）．三、解答题19．（2019山东菏泽）如图，四边形ABCD是矩形．（1）用尺规作线段AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC＝4，∠BAC＝30°，求BE的长．【答案】（1）见解析；（2【解析】解：（1）如图所示：（2）∵四边形ABCD是矩形，EF是线段AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∠CAB＝∠ACE＝30°，∴∠ECB＝60°，∴∠ECB＝30°，∵BC＝4，∴BE＝33．20．（2019山东枣庄）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．【答案】（1）见解析；（2）45°．【解析】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠DBC＝12∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C．∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，∴∠C＝∠A＝30°，∵EF垂直平分线段AB，∴AF＝FB，∴∠A＝∠FBA＝30°，∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．21．（2019山东青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE 至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由见解析．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝12OB，DF＝12OD，∴BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．22．（2019山东滨州）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．【答案】（1）见解析；（2）203．【解析】（1）证明：由题意可得，△BCE≌△BFE，∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE，∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∴∠FGE＝∠FEG，∴FG＝FE，∴FG＝EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE＝FE，∴四边形CEFG是菱形；（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，∴AF＝8，∴DF＝2，设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，∵∠FDE＝90°，∴22+（6﹣x）2＝x2，解得，x＝103，∴CE＝103，∴四边形CEFG的面积是：CE•DF＝103×2＝203．23．（2019山东聊城）在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．求证：（1）△ABF≌△DAE；（2）DE＝BF+EF．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC，∴∠BOA＝∠DAE，∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE，∵∠ABF＝∠BPF，∠BP A＝∠DAE，∴∠ABF＝∠DAE，∵AB＝DA，∴△ABF≌△DAE（ASA）；（2）∵△ABF≌△DAE，∴AE＝BF，DE＝AF，∵AF＝AE+EF＝BF+EF，∴DE＝BF+EF．24．（2019山东泰安）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP 是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12．【解答】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APD＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD，∴∠AGP＝∠APG，∴AP＝AG，∵P A⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，∴P A＝PF，∴PF＝AG，∵AE⊥BD，PF⊥BD，∴PF∥AG，∴四边形AGFP是平行四边形，∵P A＝PF，∴四边形AGFP是菱形．（2）证明：如图②中，∵AE⊥BD，PE⊥EC，∴∠AED＝∠PEC＝90°，∴∠AEP＝∠DEC，∵∠EAD +∠ADE ＝90°，∠ADE +∠CDE ＝90°，∴∠EAP ＝∠EDC ，∴△AEP ∽△DEC ， ∴AE AP DE DC=， ∵AB ＝CD ，∴AE •AB ＝DE •AP ；（3）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∴BD 225AB AD +=∵AE ⊥BD ，∴S △ABD ＝12•BD •AE ＝12•AB •AD ， ∴AE ＝55，∴DE 22455AD AE -=， ∵AE •AB ＝DE •AP ；∴AP 2515245=． 25．（2019山东泰安）如图，四边形ABCD 是正方形，△EFC 是等腰直角三角形，点E 在AB 上，且∠CEF ＝90°，FG ⊥AD ，垂足为点C ．（1）试判断AG 与FG 是否相等？并给出证明；（2）若点H 为CF 的中点，GH 与DH 垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．【答案】（1）AG ＝FG ，理由见解析；（2）DH ⊥HG ，理由见解析．【解析】解：（1）AG ＝FG ，理由如下：如图，过点F 作FM ⊥AB 交BA 的延长线于点M∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD，∴四边形AGFM是矩形∴AG＝MF，AM＝FG，∵∠CEF＝90°，∴∠FEM+∠BEC＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC∴△EFM≌△CEB（AAS），∴BE＝MF，ME＝BC∴ME＝AB＝BC，∴BE＝MA＝MF∴AG＝FG；（2）DH⊥HG，理由如下：如图，延长GH交CD于点N，∵FG⊥AD，CD⊥AD，∴FG∥CD∴FG FH GHCN CH NH==，且CH＝FH，∴GH＝HN，NC＝FG．∴AG＝FG＝NC．又∵AD＝CD，∴GD＝DN，且GH＝HN．∴DH⊥GH．26．（2019山东潍坊）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．【答案】（1）见解析；（2）EM＝54．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形∴DA∥BC，AD＝CD，FG＝CG，∠B＝∠CGF＝90°∵AD∥BC，AH∥DG，∴四边形AHGD是平行四边形∴AH＝DG，AD＝HG＝CD，∵CD＝HG，∠ECG＝∠CGF＝90°，FG＝CG，∴△DCG≌△HGF（SAS），∴DG＝HF，∠HFG＝∠HGD∴AH＝HF，∵∠HGD+∠DGF＝90°，∴∠HFG+∠DGF＝90°∴DG⊥HF，且AH∥DG，∴AH⊥HF，且AH＝HF∴△AHF为等腰直角三角形．（2）∵AB＝3，EC＝5，∴AD＝CD＝3，DE＝2，EF＝5．∵AD∥EF，∴53EM EFDM AD==，且DE＝2．∴EM＝54．27．（2019山东临沂）如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE 所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH．显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由．【答案】AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线；CH是∠DCN的平分线；GH是∠EGM的平分线；理由见解析．【解析】解：过点H作HN⊥BM于N，则∠HNC＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝BC，∠D＝∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠DCM＝90°，①∵将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，∴△ADE≌△AFE，∴∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°，AD＝AF，∠DAE＝∠F AE，∴AF＝AB，又∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴∠BAG＝∠F AG，∠AGB＝∠AGF，∴AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线；②由①知，∠DAE＝∠F AE，∠BAG＝∠F AG，又∵∠BAD＝90°，∴∠GAF+∠EAF＝×90°＝45°，即∠GAH＝45°，∵GH⊥AG，∴∠GHA＝90°﹣∠GAH＝45°，∴△AGH为等腰直角三角形，∴AG＝GH，∵∠AGB+∠BAG＝90°，∠AGB+∠HGN＝90°，∴∠BAG＝∠NGH，又∵∠B＝∠HNG＝90°，AG＝GH，∴△ABG≌△GNH（AAS），∴BG＝NH，AB＝GN，∴BC＝GN，∵BC﹣CG＝GN﹣CG，∴BG＝CN，∴CN＝HN，∵∠DCM＝90°，∴∠NCH＝∠NHC＝12×90°＝45°，∴∠DCH＝∠DCM﹣∠NCH＝45°，∴∠DCH＝∠NCH，∴CH是∠DCN的平分线；③∵∠AGB+∠HGN＝90°，∠AGF+∠EGH＝90°，由①知，∠AGB＝∠AGF，∴∠HGN＝∠EGH，∴GH是∠EGM的平分线；综上所述，AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线，CH是∠DCN的平分线，GH 是∠EGM 的平分线．28．（2019山东威海）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝10cm ，E 为对角线BD 上一动点，连接AE ，CE ，过E 点作EF⊥AE ，交直线BC 于点F ．E 点从B 点出发，沿着BD 方向以每秒2cm 的速度运动，当点E 与点D 重合时，运动停止．设△BEF 的面积为y cm 2，E 点的运动时间为x 秒．（1）求证：CE ＝EF ；（2）求y 与x 之间关系的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；（3）求△BEF 面积的最大值．【答案】（1）见解析；（2）y ＝﹣2x 22（0≤x ≤2；（3）254． 【解析】（1）证明：过E 作MN ∥AB ，交AD 于M ，交BC 于N ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AB ⊥AD ，∴MN ⊥AD ，MN ⊥BC ，∴∠AME ＝∠FNE ＝90°＝∠NFE +∠FEN ，∵AE ⊥EF ，∴∠AEF ＝∠AEM +∠FEN ＝90°，∴∠AEM ＝∠NFE ，∵∠DBC ＝45°，∠BNE ＝90°，∴BN ＝EN ＝AM ，∴△AEM ≌△EFN （AAS ），∴AE ＝EF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDE ，∵DE ＝DE ，∴△ADE ≌△CDE （SAS ），∴AE ＝CE ＝EF ；（2）解：在Rt △BCD 中，由勾股定理得：BD 221010102+=∴0≤x ≤由题意得：BE ＝2x ，∴BN ＝EN ，由（1）知：△AEM ≌△EFN ，∴ME ＝FN ，∵AB ＝MN ＝10，∴ME ＝FN ＝10，∴BF ＝FN ﹣BN ＝10＝10﹣，∴y ＝11(10)22BF EN =- ＝﹣2x 2（0≤x ≤； （3）解：y ＝﹣2x 22＝﹣2（x ﹣524）2+254， ∵﹣2＜0，∴当x ＝524时，y 有最大值是254；即△BEF 面积的最大值是254．29．（2019山东潍坊）如图1，菱形ABCD 的顶点A ，D 在直线上，∠BAD ＝60°，以点A 为旋转中心将菱形ABCD 顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB ′C ′D ′，B ′C ′交对角线AC 于点M ，C ′D ′交直线l 于点N ，连接MN ．（1）当MN ∥B ′D ′时，求α的大小．（2）如图2，对角线B ′D ′交AC 于点H ，交直线l 与点G ，延长C ′B ′交AB 于点E ，连接EH ．当△HEB ′的周长为2时，求菱形ABCD 的周长．【答案】（1）α＝15°；（2）8．【解答】解：（1）∵四边形AB ′C ′D ′是菱形，∴AB ′＝B ′C ′＝C ′D ′＝AD ′，∵∠B ′AD ′＝∠B ′C ′D ′＝60°，∴△AB ′D ′，△B ′C ′D ′是等边三角形，∵MN ∥B ′C ′，∴∠C ′MN ＝∠C ′B ′D ′＝60°，∠CNM ＝∠C ′D ′B ′＝60°，∴△C ′MN 是等边三角形，∴C ′M ＝C ′N ，∴MB ′＝ND ′，∵∠AB ′M ＝∠AD ′N ＝120°，AB ′＝AD ′，∴△AB ′M ≌△AD ′N （SAS ），∴∠B ′AM ＝∠D ′AN ，∵∠CAD＝12∠BAD＝30°，∠DAD′＝15°，∴α＝15°．（2）∵∠C′B′D′＝60°，∴∠EB′G＝120°，∵∠EAG＝60°，∴∠EAG+∠EB′G＝180°，∴四边形EAGB′四点共圆，∴∠AEB′＝∠AGD′，∵∠EAB′＝∠GAD′，AB′＝AD′，∴△AEB′≌△AGD′（AAS），∴EB′＝GD′，AE＝AG，∵AH＝AH，∠HAE＝∠HAG，∴△AHE≌△AHG（SAS），∴EH＝GH，∵△EHB′的周长为2，∴EH+EB′+HB′＝B′H+HG+GD′＝B′D′＝2，∴AB′＝AB＝2，∴菱形ABCD的周长为8．30．（2019山东济宁）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE 折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3；（2）①y＝110x245+10，最小值＝2；②存在，x510115【解析】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝10，AB ＝CD ＝8，∴∠B ＝∠BCD ＝90°，由翻折可知：AD ＝AF ＝10．DE ＝EF ，设EC ＝x ，则DE ＝EF ＝8﹣x ．在Rt △ABF 中，BF ＝6，∴CF ＝BC ﹣BF ＝10﹣6＝4，在Rt △EFC 中，则有：（8﹣x ）2＝x 2+42，∴x ＝3，∴EC ＝3．（2）①如图2中，∵AD ∥CG ，∴AD DE CG CE =，∴1053CG =，∴CG ＝6， ∴BG ＝BC +CG ＝16，在Rt △ABG 中，AG 2281685+=，在Rt △DCG 中，DG ＝10，∵AD ＝DG ＝10，∴∠DAG ＝∠AGD ，∵∠DMG ＝∠DMN +∠NMG ＝∠DAM +∠ADM ，∠DMN ＝∠DAM ，∴∠ADM ＝∠NMG ，∴△ADM ∽△GMN ，∴AD AM MG GN =1085x y x=--， ∴y ＝110x 2﹣455x +10． 当x ＝5y 有最小值，最小值＝2．②存在．有两种情形：如图3﹣1中，当MN ＝MD 时，∵∠MDN ＝∠GMD ，∠DMN ＝∠DGM ，∴△DMN∽△DGM，∴DM MN DG GM=，∵MN＝DM，∴DG＝GM＝10，∴x＝AM＝10．如图3﹣2中，当MN＝DN时，作MH⊥DG于H．∵MN＝DN，∴∠MDN＝∠DMN，∵∠DMN＝∠DGM，∴∠MDG＝∠MGD，∴MD＝MG，∵BH⊥DG，∴DH＝GH＝5，由△GHM∽△GBA，可得GH MGGB AG=，∴51685=，∴MG 55，∴x＝AM＝5552＝1152．综上所述，满足条件的x的值为510或1152．31．（2019山东德州）（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°，请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD：GC：EB；（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD：AB=AH：AE=1：2，此时HD：GC：EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．【答案】（1）HD：GC：EB=11；（2）HD：GC：EB=11；（3）有变化，结果为HD：GC：EB=12，理由见解析．【解析】解：（1）连接AG ，∵菱形AEGH 的顶点E 、H 在菱形ABCD 的边上，且∠BAD =60°，∴∠GAE =∠CAB =30°，AE =AH ，AB =AD ，∴A ，G ，C 共线，AB -AE =AD -AH ，∴HD =EB ，延长HG 交BC 于点M ，延长EG 交DC 于点N ，连接MN ，交GC 于点O ，则GMCN也为菱形，∴GC ⊥MN ，∠NGO =∠AGE =30°， ∴3cos30OG GN == ， ∵GC =2OG ，∴3GN GC = ∵HGND 为平行四边形，∴HD =GN ，∴HD ：GC ：EB =131．（2）如图2，连接AG ，AC ，∵△ADC 和△AHG 都是等腰三角形，∴AD ：AC =AH ：AG =13DAC =∠HAG =30°，∴∠DAH =∠CAG ，∴△DAH ∽△CAG ，∴HD ：GC =AD ：AC =13∵∠DAB =∠HAE =60°，∴∠DAH =∠BAE ，∴△DAH ≌△BAE （SAS ）∴HD =EB ，∴HD ：GC ：EB =131．（3）有变化．如图3，连接AG ，AC ，∵AD ：AB =AH ：AE =1：2，∠ADC =∠AHG =90°，∴△ADC ∽△AHG ，∴AD ：AC =AH ：AG =1∵∠DAC =∠HAG ，∴∠DAH =∠CAG ，∴△DAH ∽△CAG ，∴HD ：GC =AD ：AC =1∵∠DAB =∠HAE =90°，∴∠DAH =∠BAE ，∵DA ：AB =HA ：AE =1：2，∴△ADH ∽△ABE ，∴DH ：BE =AD ：AB =1：2，∴HD ：GC ：EB =15 232．（2019山东淄博）如图1，正方形ABDE 和BCFG 的边AB ，BC 在同一条直线上，且AB ＝2BC ，取EF 的中点M ，连接MD ，MG ，MB ．（1）试证明DM ⊥MG ，并求MB MG的值． （2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB ＝2α（0＜α＜90°），其它条件不变，问（1）中MB MG 的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．【答案】（15（2）中MB MG的值有变化， 2222224sin cos 4sin cos BM m m m MG αααα++== 【解析】（1）证明：如图1中，延长DM 交FG 的延长线于H ．∵四边形ABCD ，四边形BCFG 都是正方形，∴DE ∥AC ∥GF ，∴∠EDM ＝∠FHM ，∵∠EMD ＝∠FMH ，EM ＝FM ，∴△EDM ≌△FHM （AAS ），。

11．三角形（时间：45分钟共16题答对____题正确率_______％)命题点1 三角形三边关系1．（2019•淮安）下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cmC．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm2．（2019•扬州）已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n 的值有（）A．4个B．5个C．6个D．7个3．（2019•自贡）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A．7 B．8 C．9 D．10命题点2 三角形内角和及外角4．（2019•绍兴）如图，墙上钉着三根木条a，b，C，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（）A．5°B．10°C．30°D．70°5．（2019•青岛）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°6．（2019•杭州）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）A．必有一个内角等于30°B．必有一个内角等于45°C．必有一个内角等于60°D．必有一个内角等于90°7．（2019•眉山）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝30°，∠ADC＝70°，则∠C的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°8．（2019•枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°命题点3 三角形的高、中线、角平分线9．(2019·达州)如图，在Rt△ABC 中．△ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝3．(1)尺规作图：不写作法，保留作图痕迹。

一、选择题1. （2019贵州省毕节市，题号12，分值3分）在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．3cm，6cm，76cmC．2cm，2cm，6cm D．5cm，6cm，7cm【答案】C．【解题过程】解：A、2+3＞4，能组成三角形；B、3+6＞7，能组成三角形；C、2+2＜6，不能组成三角形；D、5+6＞7，能够组成三角形．故选：C．【知识点】三角形三边关系．2.（2019湖北咸宁，4，3分）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（）A．45°B．60°C．72°D．90°【答案】C【解析】解：∵（n﹣2）•180°＝540°，∴n＝5，∵多边形的外角和都是360°，∴多边形的每个外角＝360÷5＝72°．故选：C．【知识点】多边形内角与外角3（2019湖南湘西，10，4分）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【答案】D【解析】解：设所求多边形边数为n，则（n﹣2）•180°＝1080°，解得n＝8．故选：D．【知识点】多边形内角与外角4. （2019北京市，3题，2分）正十边形的外角和为A．180B．360C．720D．1440【答案】B【解析】根据多边形的外角和等于360°易得B正确；故选B.【知识点】多边形的外角和等于360°.5.（2019广西梧州，7，3分）正九边形的一个内角的度数是()A．108︒B．120︒C．135︒D．140︒【答案】D【解析】解：该正九边形内角和180(92)1260=︒⨯-=︒，则每个内角的度数12601409︒==︒．故选：D．【知识点】多边形内角与外角6.（2019内蒙古赤峰，13，3分）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为（）A．65°B．70°C．75°D．85°【答案】B【解析】解：∵DE⊥AB，∠A＝35°∴∠AFE＝∠CFD＝55°，∴∠ACB＝∠D+∠CFD＝15°+55°＝70°．故选：B．【知识点】三角形内角和定理7.（2019江苏徐州，3，3分）.【答案】D【解析】本题解答时利用三角形的三边关系.解：∵2+2=4，5+6=11<12，2+5=7，6+8=14>10，故本题选D.【知识点】三角形的三边关系二、填空题1.（2019黑龙江哈尔滨，18，6分）在△ABC中,∠A=50°,∠B=30°,点D在AB边上,连接CD,若△ACD为直角三角形,则∠BCD的度数为_______________度【答案】60或10【解析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理可得结论．【解答】解：分两种情况：①如图1，当∠ADC＝90°时，∵∠B＝30°，∴∠BCD ＝90°﹣30°＝60°；②如图2，当∠ACD ＝90°时，∵∠A ＝50°，∠B ＝30°，∴∠ACB ＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠BCD ＝100°﹣90°＝10°，综上，则∠BCD 的度数为60°或10°；故答案为：60°或10；【知识点】三角形的内角和定理; 三角形外角的性质2. （2019年陕西省，121，3分）正n 边形的每个内角为120︒，这个正n 边形的对角线条数为 条．【答案】9【解析】因为正n 边形的每个内角为120︒，所以正n 边形的每个外角为60︒，所以正n 边形的边数n 等于360660=所以正n 边形的对角线的条数为6(63)92-=条． 【知识点】正多边形的性质．3. （2019北京市，10题，2分）如图，已知ABC !，通过测量、计算得ABC !的面积约为_______cm 2.（结果保留一位小数）【答案】由测量结果计算.【解析】如图10-1，测量三角形的底和高时，长度精确定mm ，测量图中AC 和BD 的长度.【知识点】三角形的面积、动手测量、求近似数.第10题图CBA4．（2019•沙坪坝区）如图，在△ABC 中，D 、E 分别为边BC ，AC 的中点，若S △ABC ＝48，则图中阴影部分的面积是 12 ．【分析】由点D 为BC 中点可知，DC ＝BC ，因为△ADC 与△ABC 的DC ，BC 边上的高相同，所以S △ADC ＝S △ABC ＝24，同理可求S △ADE ＝S △ADC ＝12．【解答】解：∵点D 为BC 中点，∴DC ＝BC ，∵△ADC 与△ABC 的DC ，BC 边上的高相同，∴S △ADC ＝S △ABC ＝24，∵点E 为AC 中点，∴AE ＝AC ，∵△ADC 与△ADE 的AC ，AE 边上的高相同，∴S △ADE ＝S △ADC ＝12，故答案为：12．5．（2019•鸡西）如图，四边形OAA 1B 1是边长为1的正方形，以对角线OA 1为边作第二个正方形OA 1A 2B 2，连接AA 2，得到△AA 1A 2；再以对角线OA 2为边作第三个正方形OA 2A 3B 3，连接A 1A 3，得到△A 1A 2A 3；再以对角线OA 3为边作第四个正方形，连接A 2A 4，得到△A 2A 3A 4……记△AA 1A 2、△A 1A 2A 3、△A 2A 3A 4的面积分别为S 1、S 2、S 3，如此下去，则S 2019＝ 22017 ．【分析】首先求出S 1、S 2、S 3，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．【解答】解：∵四边形OAA 1B 1是正方形，∴OA ＝AA 1＝A 1B 1＝1，∴S 1＝＝，∵∠OAA1＝90°，∴AO12＝12+12＝，∴OA2＝A2A3＝2，∴S2＝＝1，同理可求：S3＝＝2，S4＝4…，∴S n＝2n﹣2，∴S2019＝22017，故答案为：22017．6．（2019•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点A的坐标为（5，0），点B在x轴的上方，△OAB的面积为，则△OAB内部（不含边界）的整点的个数为4或5或6．【分析】根据面积求出B点的纵坐标是3，结合平面直角坐标系，多画些图可以观察到整数点的情况；【解答】解：设B（m，n），∵点A的坐标为（5，0），∴OA＝5，∵△OAB的面积＝5•n＝，∴n＝3，结合图象可以找到其中的一种情况：（以一种为例）当2＜m＜3时，有6个整数点；当3＜m＜时，有5个整数点；当m＝3时，有4个整数点；可知有6个或5个或4个整数点；故答案为4或5或6；7．（2019•永州）如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB 于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1：S2＝．【分析】由三角形的重心定理得出BF＝2EF，得出BE＝3EF，由平行线得出△EFG∽△EBC，∴得出＝（）2＝，即可得出结果．【解答】解：∵点F是△ABC的重心，∴BF＝2EF，∴BE＝3EF，∵FG∥BC，∴△EFG∽△EBC，∴＝，＝（）2＝，∴S1：S2＝；故答案为：．8．（2019•大庆）如图，在△ABC中，D、E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G，若DG＝1，则AD ＝3．【分析】先判断点G为△ABC的重心，然后利用三角形重心的性质求出AG，从而得到AD的长．【解答】解：∵D、E分别是BC，AC的中点，∴点G为△ABC的重心，∴AG＝2DG＝2，∴AD＝AG+DG＝2+1＝3．故答案为3．9．（2019•南京）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是4＜BC≤．【分析】作△ABC的外接圆，求出当∠BAC＝90°时，BC是直径最长＝；当∠BAC＝∠ABC时，△ABC 是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，而∠BAC＞∠ABC，即可得出答案．【解答】解：作△ABC的外接圆，如图所示：∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4，当∠BAC＝90°时，BC是直径最长，∵∠C＝60°，∴∠ABC＝30°，∴BC＝2AC，AB＝AC＝4，∴AC＝，∴BC＝；当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，∵∠BAC＞∠ABC，∴BC长的取值范围是4＜BC≤；故答案为：4＜BC≤．10．（2018春•南岸区期末）如图，△ABE和△ACD是△ABC分别以AB、AC为对称轴翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝29：4：3，则∠α的度数为70°．【分析】根据轴对称的性质可得∠ACB＝∠ACD，∠ABC＝∠EBA，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可∠2+∠3的度数，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠α．【解答】解：由题可得，∠ACB＝∠ACD，∠ABC＝∠EBA，∵∠1：∠2：∠3＝29：4：3，∴∠2+∠3＝180°×＝35°，∴∠α＝∠EBC+∠DCB＝2（∠2+∠3）＝2×35°＝70°，故答案为：70°．11．（2019•万州区）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点B落在四边形ACDE的外部点F时，若∠1＝20°，∠2＝36°，则∠3为92°．【分析】先根据图形翻折变换的性质得出∠F＝∠2，再根据三角形外角的性质进行解答即可．【解答】解：∵△FED是△BED翻折变换而成，∴∠F＝∠2，∵∠BGD＝∠F+∠1，∠3＝∠B+∠BGD，∴∠3＝∠2+∠F+∠1＝2∠2+∠1＝92°．故答案为：92°．12．（2019•辽阳）已知正多边形的一个外角是72°，则这个正多边形的边数是5．【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷72°＝5．故答案为：513．（2019•徐州）如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD ＝30°．【分析】连接OB、OC，利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．【解答】解：连接OB、OC，多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得多边形的边数为：，∴∠AOB＝，∴∠AOD＝40°×3＝120°．∴∠OAD＝．故答案为：30°14．（2019•益阳）若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是5．【分析】本题需先根据已知条件以及多边形的外角和是360°，解出内角和的度数，再根据内角和度数的计算公式即可求出边数．【解答】解：∵多边形的内角和与外角和的总和为900°，多边形的外角和是360°，∴多边形的内角和是900﹣360＝540°，∴多边形的边数是：540°÷180°+2＝3+2＝5．故答案为：5．15．（2019•株洲）如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝66度．【分析】首先根据正五边形的性质得到∠EAB＝108度，然后根据角平分线的定义得到∠PAB＝54度，再利用三角形内角和定理得到∠APB的度数．【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠EAB＝108度，∵AP是∠EAB的角平分线，∴∠PAB＝54度，∵∠ABP＝60°，∴∠APB＝180°﹣60°﹣54°＝66°．故答案为：66．16．（2019•广安）如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则∠AFE＝72度．【分析】根据五边形的内角和公式求出∠EAB，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB＝∠ABC＝，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，同理∠ABE＝36°，∴∠AFE＝∠ABF+∠BAF＝36°+36°＝72°．故答案为：7217．（2019•济宁）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是140°．【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，则每个内角的度数＝＝140°．故答案为：140°．18．（2019•宜宾）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，AD∥BC，则∠DAB＝60°．【分析】先根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°求出六边形的内角和，再除以6即可求出∠B的度数，由平行线的性质可求出∠DAB的度数．【解答】解：在六边形ABCDEF中，（6﹣2）×180°＝720°，＝120°，∴∠B＝120°，∵AD∥BC，∴∠DAB＝180°﹣∠B＝60°，故答案为：60°．19．（2019•岳阳）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为4．【分析】设多边形的边数为n，根据题意得出方程（n﹣2）×180°＝360°，求出即可．【解答】解：设多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝360°，解得：n＝4，故答案为：4．20．（2019•湘潭）四边形的内角和是360°．【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和．【解答】解：（4﹣2）×180°＝360°．故四边形的内角和为360°．故答案为：360°．21．（2019•广东）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是8．【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）可得方程180（x﹣2）＝1080，再解方程即可．【解答】解：设多边形边数有x条，由题意得：180（x﹣2）＝1080，解得：x＝8，故答案为：8．。

2019年浙江省中考数学分类汇编专题三角形部分（解析版）一、单选题1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A. 3，4，8B. 5，6，10C. 5，5，11D. 5，6，11【答案】B【考点】三角形三边关系【解析】【解答】解：A.∵3+4＜8，故不能组成三角形，A不符合题意；B.∵5+6＞10，故能组成三角形，B符合题意；C.∵5+5＜11，故不能组成三角形，C不符合题意；D.∵5+6=11，故不能组成三角形，D不符合题意；故答案为：B.【分析】三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，依此即可得出答案.2.已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°，则∠2的度数为（）A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°【答案】C【考点】平行线的性质，三角形的外角性质【解析】【解答】解：设直线n与AB的交点为E。

∵∠AED是△BED的一个外角，∴∠AED=∠B+∠1，∵∠B=45°，∠1=25°，∴∠AED=45°+25°=70°∵m∥n，∴∠2=∠AED=70°。

故答案为：C。

【分析】设直线n与AB的交点为E。

由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AED=∠B+∠1，再根据两直线平行内错角相等可得∠2=∠AED可求解。

3.若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A. 1B. 2C. 3D. 8【答案】C【考点】三角形三边关系【解析】【解答】解：∵三角形三边长分别为：a，3，5，∴a的取值范围为：2＜a＜8，∴a的所有可能取值为：3，4，5，6，7.故答案为：C.【分析】三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此得出a的取值范围，从而可得答案.4.如图，墙上钉着三根木条，a，b，c，量得∠1=70°，∠2=100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（）A. 5°B. 10°C. 30°D. 70°【答案】B【考点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：如图，∵∠2=∠3=100°，∠1=70°∴a、b两直线所夹的锐角为：180°-∠1-∠3=180°-70°-100°=10°故答案为：B【分析】根据对顶角相等，可求出∠3的度数，再利用三角形内角和定理就可求出a、b两直线所夹的锐角的度数。

一、选择题1．（2018北京市朝阳区初二年级第一学期期末）画△ABC的高BE，以下画图正确的是A B C D答案：D2．（2018北京市丰台区初二期末）如图所示，△ABC中AC边上的高线是A．线段DA B．线段BAC．线段BC D．线段BD答案：D3．（2018北京市怀柔区初二期末）为估计池塘两岸A,B间的距离，小明的办法是在地面上取一点O,连接OA，OB，测得OB=15.1m,OA=25.6m.这样小明估算出A,B间的距离不会大于A．26m B．38m C．40m D．41m答案：D4.（2018北京市平谷区初二期末）用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是A B C D 答案：D5.（2018北京延庆区八年级第一学区期末） 如图，将ABC △放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A ，B ，C 恰好在网格图中的格点上，那么ABC △中BC 边上的高是A.B. C.D.答案：A6、（2018北京房山区二模）如图，在△ABC 中，过点B 作PB ⊥BC 于B ，交AC 于P ，过点C 作CQ ⊥AB ，交AB 延长线于Q ，则△ABC 的高是 A ．线段PB B ．线段BC C ．线段CQ D ．线段AQ答案：C7．（2018北京西城区九年级统一测试）如果一个正多边形的内角和等于720︒，那么该正多边形的一个外角等于（ ）． A ．45︒ B ．60︒ C ．72︒ D ．90︒答案：B8．（2018北京延庆区初三统一练习）利用尺规作图，作△ABC 边上的高AD ，正确的是 答案：B9．（2018北京平谷区中考统一练习）一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数，则该正多边形的边数是ABCDABC DABC DABDA B ． C ．D ．A ．3B ．4C ．6D ．12 答案B10．（2018北京市大兴区检测）已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是A. 3B. 4 C ．5 D ． 6 答案D11．（2018北京海淀区第二学期练习）若正多边形的一个外角是120°，则该正多边形的边数是 A.6 B. 5 C. 4 D.3 答案D12．（2018北京门头沟区初三综合练习）如图所示，有一条线段是ABC (AB >AC )的中线，该线段是13．（2018北京海淀区第二学期练习）用三角板作ABC △的边BC 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是A B D答案A二、填空题 14．（2018北京延庆区初三统一练习）右图是一个正五边形，则∠1的度数是 ． 答案：72°15、（2018北京丰台区二模）正六边形每个内角的度数是 ．答案：120°1C BAA ABC ACABCBCCC B B C C16.（2018北京昌平区初二年级期末）小龙平时爱观察也喜欢动脑，他看到路边的建筑和电线架等，发现了一个现象：一切需要稳固的物品都是由三角形这个图形构成的，当时他就思考，数学王国中不仅只有三角形，为何偏偏用三角形稳固它们呢？请你用所学的数学知识解释这一现象的依据为 . 答案：三角形具有稳定性17.（2018北京市朝阳区初二年级第一学期期末）如图，点D 是线段AB 上一点，90CAB ADE ABF ∠=∠=∠=︒，AC BD =，AD BF =，AB DE =．若AEB α∠=，则CEF ∠= ．（用含α的式子表示）答案：900-α18、（2018北京市海淀区八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，∠A =90°，∠D =40°，则∠B +∠C 为 ．答案：230° 19、（2018北京市怀柔区初二期末）三角形的三个内角的度数比是1:1:2.则最大内角的度数是____________． 答案：90°20、.（2018北京市怀柔区初二期末）如图，△ABC 中，BC 边所在直线上的高是线段____________．G E DC B A答案：AD21．（2018北京市门头沟区八年级期末）2017年11月5日19时45分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”的方式成功发射第二十四、二十五颗北斗导航卫星．这两颗卫星属于中圆地球轨道卫星，是我国北斗三号第一、二 颗组网卫星，开启了北斗卫星导航系统全球 组网的新时代．如图所示，在发射运载火箭时，运载火箭 的发射架被焊接成了许多的三角形，这样做的原因是： ． 答案：略22. （2018北京市顺义区八年级期末）已知：ABC ∆中，AB AC =，30B A ∠-∠=︒，则A ∠= .答案：40︒23．（2018北京市顺义区八年级期末）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 度．答案：7524．（2018北京市顺义区八年级期末）已知: 如图，ABC △中，45ABC ∠=， H 是高AD 和BE 的交点，12AD =,17BC =，则线段BH 的长为 .答案：13 25．（2018北京石景山区初三毕业考试）若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_______． 答案：八26、（2018北京昌平区二模）10.如图，∠1是五边形ABCDE 的一个外角．若∠1＝60°， 则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D 的度数为_________．HE CDBA答案：420°27．（2018北京东城区一模）若多边形的内角和为其外角和的3倍，则该多边形的边数为________________. 答案8 三、解答题28．（2018北京延庆区初三统一练习）如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，过点D 作DE ∥AB 交AC 于点E ． 求证：AE=DE ． 证明：∵AD 平分∠BAC∴∠BAD =∠DAE ， ∵DE ∥AB∴∠BAD =∠ADE ……3分 ∴∠DAE =∠ADE ……4分 ∴AE =DE ……5分29．（2018北京市朝阳区一模）如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE //BC 交AB 于点E ．（1）求证：BE=DE ；（2）若AB=BC =10，求DE 的长．解（1）证明：∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠EBD =∠CBD ． ∵DE //BC ，∴∠EDB =∠CBD . ∴∠EDB =∠EBD ．∴BE=DE ． ……………………………………………………2分EA（2）解：∵AB=BC ，BD 是△ABC 的角平分线，∴AD =DC ． ………………………………………………………… 3分 ∵DE //BC ，∴1==DCAD EBAE ．……………………………………………………… 4分∴521==AB BE ．∴5=DE ． ………………………………………………………5分30. （2018北京市朝阳区综合练习（一））如图，在△ACB 中，AC =BC ，AD 为△ACB 的高线，CE 为△ACB 的中线.求证：∠DAB =∠ACE.∴∠CAB ＝∠B ，CE ⊥AB . ………………………………………2分 ∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°. …………………………………………3分 ∵AD 为△ACB 的高线， ∴∠D ＝90°.∴∠DAB ＋∠B ＝90°. ………………………………………4分∴∠DAB ＝∠ACE . …………………………………………………5分31．（2018北京门头沟区初三综合练习）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，BE 平分∠ABC 交AC 边于E ，∠BAC ＝60°，∠ABE ＝25°. 求∠DAC 的度数. 解 ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABC =2∠ABE =2×25°=50°， ………2分 ∵AD 是BC 边上的高，∴∠BAD =90°﹣∠ABC =90°﹣50°=40°， …………4分 ∴∠DAC =∠BAC ﹣∠BAD =60°﹣40°=20° ………………5分32.（2018北京通州区一模）B答案：33．（2018北京市大兴区检测）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，点E 分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD. 若∠BAD=55°，∠B=50°，求∠DEC的度数．解：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠B=50°，∴∠C =50°．……………………1分∴∠BAC=180°-50°-50°=80°．…………………………………………………2分∵∠BAD=55°，∴∠DAE=25°．…………………………………………………………………3分∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°．…………………………………………………………………4分∴∠DEC=∠DAE +∠ADE=115°．………………………………………………5分 34.（2018北京东城区一模） 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D . BF 平分∠ABC 交AD 于点E ，交AC 于点F . 求证：AE =AF .证明： ∵∠BAC =90°，∴∠FBA +∠AFB =90°. -------------------1分 ∵AD ⊥BC ，∴∠DBE +∠DEB =90°．---------------- 2分 ∵BE 平分∠ABC ,∴∠DBE =∠FBA . -------------------3分∴∠AFB =∠DEB . -------------------4分 ∵∠DEB =∠FEA ， ∴∠AFB =∠FEA .∴AE =AF . -------------------5分35．（2018北京市朝阳区初二年级第一学期期末）已知：如图，点D ，E 在ABC ∆的边BC 上，AB AC =，AD AE =．求证：BD CE =．证明：过点A 作AH BC ⊥于点H ． ………………………………………………1分 ∵AB AC =，AD AE =，∴HB HC =，HD HE =． ……………………………………………3分 ∴HB HD HC HE -=-．即BD CE =． ……………………………………………………5分 36．（2018北京市朝阳区初二年级第一学期期末）在等边ABC ∆外作射线AD ，使得AD 和AC 在直线AB 的两侧，BAD α∠=（0180α︒<<︒），点B 关于直线AD 的对称点为P ，连接PB ，PC ． （1）依题意补全图1；（2）在图1中，求BPC ∆的度数；ECBA（3）直接写出使得PBC ∆是等腰三角形的α的值．解：（1）补全的图形如图所示．………………………………1分（2）解：连接AP ，如图．由点B 关于直线AD 的对称点为P ，可得AD 垂直平分PB ． ∴AP AB =． ∴PAD BAD ∠=∠．∵ABC ∆是等边三角形， ∴AB AC =，60BAC ∠=︒．∴AP AC =． ………………………………………………………………2分 ∴APC ACP ∠=∠．∴在APC ∆中，22180APC PAD BAC ∠+∠+∠=︒． ∴60APC PAD ∠+∠=︒．∴30BPC ∠=︒． …………………………………………………………3分 （3）30︒，75︒，120︒，165︒．……………………………………………7分 37.（2018北京市东城区初二期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥于点D ，AM 是△ABC 的外角∠CAE 的平分线． (1)求证：AM ∥BC ；(2)若DN 平分∠ADC 交AM 于点N ，判断△ADN 的形状并说明理由．CBA备用图图1DCBAPDCB APD CAAB C P AB C PB解：（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD =∠CAD =12BAC ∠．…………… 1分 ∵AM 平分∠EAC ，∴∠EAM =∠MAC=12EAC ∠．…………… 2分 ∴∠MAD =∠MAC +∠DAC =1122EAC BAC ∠+∠=1180902⨯︒=︒。

2019年浙江省中考数学分类汇编专题三角形部分（解析版）一、单选题1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A. 3，4，8B. 5，6，10C. 5，5，11D. 5，6，11【答案】B【考点】三角形三边关系【解析】【解答】解：A.∵3+4＜8，故不能组成三角形，A不符合题意；B.∵5+6＞10，故能组成三角形，B符合题意；C.∵5+5＜11，故不能组成三角形，C不符合题意；D.∵5+6=11，故不能组成三角形，D不符合题意；故答案为：B.【分析】三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，依此即可得出答案.2.已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°，则∠2的度数为（）A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°【答案】C【考点】平行线的性质，三角形的外角性质【解析】【解答】解：设直线n与AB的交点为E。

∵∠AED是△BED的一个外角，∴∠AED=∠B+∠1，∵∠B=45°，∠1=25°，∴∠AED=45°+25°=70°∵m∥n，∴∠2=∠AED=70°。

故答案为：C。

【分析】设直线n与AB的交点为E。

由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AED=∠B+∠1，再根据两直线平行内错角相等可得∠2=∠AED可求解。

3.若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A. 1B. 2C. 3D. 8【答案】C【考点】三角形三边关系【解析】【解答】解：∵三角形三边长分别为：a，3，5，∴a的取值范围为：2＜a＜8，∴a的所有可能取值为：3，4，5，6，7.故答案为：C.【分析】三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此得出a的取值范围，从而可得答案.4.如图，墙上钉着三根木条，a，b，c，量得∠1=70°，∠2=100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（）A. 5°B. 10°C. 30°D. 70°【答案】B【考点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：如图，∵∠2=∠3=100°，∠1=70°∴a、b两直线所夹的锐角为：180°-∠1-∠3=180°-70°-100°=10°故答案为：B【分析】根据对顶角相等，可求出∠3的度数，再利用三角形内角和定理就可求出a、b两直线所夹的锐角的度数。

2019年全国中考数学真题分类汇编：三角形和多边形一、选择题1.（2019年北京市）正十边形的外角和为（ ）A.180°B.360°C.720°D.1440°【考点】多边形的外角和、正多边形【解答】∵多边形的外角和是一个定值360°，∴故选B2. （2019年云南省）一个十二边形的内角和等于A.2160°B.2080°C.1980°D.1800°【考点】多边形的外角和【解答】多边形内角和公式为︒⨯-180)2(n ，其中n 为多边形的边的条数.∴十二边形内角和为︒=︒⨯-1800180)212(，故选D 3. （2019年江苏省扬州市）已知n 正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n ，则满足条件的n 的值有( )A.4个B. 5个C. 6个D. 7个【考点】三角形三边关系【解答】当n+8最大时424238238832＜＜＜＞＞＜＞n n n n n n n n n n n ⇒⎩⎨⎧⇒⎪⎩⎪⎨⎧++-++++∴n=3 当3n 最大时10483283382＜＜＞n n n n n n n n n ≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧+≥+--+++∴n=4，5，6，7，8，9综上：n 总共有7个选：D.4. （2019年浙江省杭州市）在ABC △中，若一个内角等于另外两个角的差，则 （ ）A .必有一个角等于30°B .必有一个角等于45°C .必有一个角等于60°D .必有一个角等于90°【考点】三角形内角和【解答】设三角形的一个内角为，另一个角为y ，则三个角为(180°－－y )，则有三种情况：①(180)9090x y x y y x y =-︒--⇒=+=o o或②(180)9090y x x y x x y =---⇒=+=o o o 或③(180)9090x y x y x y --=-⇒==o o o 或综上所述，必有一个角等于90°故选D5.（2019年浙江省衢州市）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出的。

2019年全国各地中考数学真题汇编（湖南专版）三角形一．选择题（共5小题）1．（2019•长沙）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（）A．20°B．30°C．45°D．60°2．（2019•益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形3．（2019•长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile4．（2019•益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．a sinα+a sinβB．a cosα+a cosβC．a tanα+a tanβD．+5．（2019•常德）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（）A．20B．22C．24D．26二．填空题（共6小题）6．（2019•长沙）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是m．7．（2019•邵阳）如图，已知AD＝AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是．（不添加任何字母和辅助线）8．（2019•株洲）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝．9．（2019•衡阳）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是．10．（2019•邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是．11．（2019•常德）如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且点D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD 的度数是．三．解答题（共15小题）12．（2019•岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．13．（2019•长沙）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．（1）求证：BE＝AF；（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．14．（2019•衡阳）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：（坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）15．（2019•邵阳）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40cm，∠ADE＝30°，DE＝190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）16．（2019•岳阳）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．17．（2019•张家界）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF＝CF；（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．18．（2019•常德）图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB＝25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC ＝72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．19．（2019•益阳）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．20．（2019•张家界）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A﹣B﹣C路线对索道进行检修维护．如图：已知AB＝500米，BC＝800米，AB与水平线AA1的夹角是30°，BC与水平线BB1的夹角是60°．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）21．（2019•郴州）如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形．22．（2019•郴州）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45°方向上，距离A处30km．在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知B处在A处的北偏东60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？（精确到0.01km．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）23．（2019•怀化）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．24．（2019•怀化）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A 处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．25．（2019•湘西州）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF＝CE．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．26．（2019•株洲）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α，且tanα＝，若直线AF与地面l1相交于点B，点A 到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．（1）求BC的长度；（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN 为此长方形前端的边），MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F1为点F的对应点），求障碍物的高度．。

三角形初步知识一、选择题1. （ 山东省枣庄市，4，3分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠AC E 的平分线相交于点D ，则∠D 等于（）A ．15°B ．17.5°C ．20°D ．22.5°A B D C E【答案】A ．【逐步提示】本题考查了三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和的性质，解题的关键是找出角与角之间的联系．根据角平分线的性质可以得到∠ABC 与∠DBE 、∠ACE 与∠DCE 的关系，再结合∠DCE －∠DBE ＝∠D ，∠ACE －∠ABC ＝∠A ，即可找出∠D 与∠A 的关系．【详细解答】解：∵∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ，∴∠DBE ＝∠ABC ，∠DCE ＝∠ACE ，又∵∠1212DCE －∠DBE ＝∠D ，∠ACE －∠ABC ＝∠A ，∴∠D ＝∠A ＝×30°＝15° ，故选择A .1212【解后反思】本题解题的关键是：找到已知角平分线的条件中所涉及的角，与已知角和要求的角之间的联系，从而正确求解．在求角度问题时，常常要用到三角形内角和等于180°，或三角形外角等于不相邻的两个内角的和的性质，在求角度问题时有时应用外角的性质进行运算更简单便捷.【关键词】角的平分线 ；三角形的外角和；整体思想2. （四川达州，8，3分）如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；.根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是A.25B.33C.34D.50第8题图【答案】B【逐步提示】本题考查了规律探索型问题以及方程思想，解题的关键是要能通过特殊情况归纳出一般规律．解题思路是：设需要操作的次数为n，根据图形探索规律，用含n的代数式表示出n次操作得到的三角形的个数，然后列出方程即可求解．【详细解答】解：设要得到100个小三角形需要操作的次数为n，根据题意得，3n+1=100，解得n=33.故选择B.【解后反思】1．规律探索问题是指由几个特殊的结论，通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维活动，探求一般性的规律．解题时，要善于分析给出的材料信息，理清题目的条件与结论之间的联系，通过观察、实验、比较、归纳，作出符合一定规律与事实的推测性猜想，并能验证规律的合理性、正确性，一般有如下两种类型：（1）与数、式有关的规律探索：利用已有的一些已知数或算式之间的关系，预测问题的变化趋势，进而猜想、归纳出一般性的规律．（2）与图形有关的规律探索：从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，即从图形的变化特点寻求规律，并推广到一般情况．2．方程思想是一种重要的数学思想，所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系，通过适当设元建立方程（组），然后通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式．【关键词】规律探索型问题；方程与函数思想3.（四川省广安市，8，3分）下列说法：①三角形的三条高一定都在三角形内；②有一个角是直角的四边形是矩形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形；④两边及一角对应相等的两个三角形全等；⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【逐步提示】本题考查了三角形的中线、高线、角平分线的概念，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定，平行四边形的判定等，解题的关键是掌握这些概念、定理等．因为直角三角形与钝角三角形的三条高不都在三角形内，故①错；至少有三个角是直角的四边形是才是矩形，故②错；③是菱形的定义，正确；满足④的条件时有可能形成“边边角”的情况，故错误；等腰梯形满足“一组对边平行，另一组对边相等”，但它不是平行四边形，故⑤错误．【详细解答】解：只有③正确，故选择A.【解后反思】要理解三角形“三线”的概念，掌握三角形、平行四边形、矩形、菱形的判定方法，这是正确解题的基础．能画图举反例，以排除不符合条件情形，也是解这类题的基本功，要多思考，勤积累．类似的问题还有：判断下列说法是否正确：（1）一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形.解：错误．如图1，作△ABC，使AB＝AC，在BC上取一点D（D点不与B、C重合且BD≠CD），连接AD.再以A为顶点，AD为一边，作∠EAD，使∠EAD＝∠ADC，且AE＝DC，连接DE.由上述画图方法，可知△ADC≌△DAE（SAS）.所以DE＝AC＝AB，∠AED＝∠C＝∠B.即四边形ABCD有一组对边相等（DE＝AB）、一组对角相等（∠AED＝∠B），但却不是平行四边形（另一组对边AE和BD不平行也不相等）.（2）一组对边相等，且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.解：错误．如图2，画两条相交直线，交点为O，在其中一条直线上截取OA＝OC，分别过A、C两点向另一条直线作垂线，垂足分别为E、F.在线段OF上取一点D（D点不与O、F重合），连接CD.再在线段OE的延长线上取一点B，使EB＝FD，连接AB.由上述画图方法，易知△COF≌△AOE（AAS），则CF＝AE，由“SAS”可判定△CFD≌△AEB，则CD＝AB.连接AD、BC，则四边形ABCD满足条件，却不是平行四边形.（3）一组对角相等，且连接这一组对角的顶点的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.解：错误．如图，画一个“筝形”ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC且AO≠OC，则该“筝形”满足条件，但它不是平行四边形.【关键词】中线、高线、角平分线；矩形的判定；菱形的判定；全等三角形的判定；平行四边形的判定4. （四川乐山，3，3分）如图2，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A= ( )．A ．35°B ．95°C ．85°D ．75°A B C DE图235°60°【答案】C ．【逐步提示】CE 是∠ACD 的平分线，并且是△ABC 的外角，根据“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和”求解．【详细解答】解：∵CE 是∠ACD 的平分线，∴∠ACD=60°×2=120°，又∵∠ACD 是△ABC 的外角，∴∠ACD=∠A+∠B ，∴∠A =∠ACD-∠B=120°-35°=85°，故选择C ．【解后反思】三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．求一个角的度数：（1）当问题以三角形为背景时，可利用三角形的内角和定理和推论解决；（2）当问题中含有平行线时，可利用平行线的性质将其转化为其它角；即“两直线平行可得：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补”根据角平分线的性质求相应角的角度．【关键词】三角形的内角和；角的平分线二、填空题1. （ 四川省广安市，12，3分）如图，直线l 1∥l 2，若∠1＝130°，∠2＝60°，则∠3＝___________．123l 1l 2第12题图【答案】70°【逐步提示】本题考查了平行线的性质、三角形的外角定理、对顶角性质等，解题的关键是掌握这些性质．如图，由“两直线平行，内错角相等”可得∠4＝∠1．由三角形外角定理，可得∠4＝∠2＋∠5，由对顶角相等，可得∠5＝∠3，综合以上结论，可得∠3＝∠1－∠2．【详细解答】解：∵l 1∥l 2，∴∠4＝∠1．∵∠4＝∠2＋∠5，∠5＝∠3，∴∠4＝∠2＋∠3．∴∠1＝∠2＋∠3．∴∠3＝∠1－∠2＝130°－60°＝70°．故答案为70°.【解后反思】有关平行线的求角问题，常常要利用平行线的性质、三角形内角和或外角定理、对顶角性质实现角的转化，使所求的角与已知角从间接联系变为直接联系，从而得解．相关知积为：（1）平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．（2）三角形的内角和等于180°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．（3）对顶角相等．【关键词】 平行线的性质；三角形的外角定理；对顶角性质2. （ 四川省内江市，26，12分）问题引入：（1）如图①，在△ABC 中，点O 是∠ABC 和∠ACB 平分线的交点，若∠A ＝α，则∠BOC ＝____________（用α表示）; 如图②，∠CBO ＝∠ABC ，∠BCO ＝∠ACB ，∠A ＝α，则∠BOC ＝____________（用α表1313示）.拓展研究：（2）如图③，∠CBO ＝∠DBC ，∠BCO ＝∠ECB ，∠A ＝α，猜想∠BOC ＝____________（用α表示），并1313说明理由.（3）BO 、CO 分别是△ABC 的外角∠DBC 、∠ECB 的n 等分线，它们交于点O ，∠CBO ＝∠DBC ，∠BCO 1n ＝∠ECB ，∠A ＝α，请猜想∠BOC ＝____________ .1n③②①EAB AA B C C 【逐步提示】本题属于规律探究题，要求学生根据题意，结合图形，从探究的角度出发，利用三角形内角和、邻补角的定义、角平分线的定义等知识，分别求出∠BOC .（1）如图①，利用三角形内角和证得∠BOC ＝90°＋∠α.；如图②，同理证得∠BOC ＝120°＋∠α；1212（2）如图③，利用三角形内角和与邻补角的定义证得∠BOC ＝120°－∠α；13（3）同理，证得∠BOC ＝.1180-n nα-⋅∠ （）【详细解答】解：（1）如图①，在△ABC 中，∵点O 是∠ABC 和∠ACB 平分线的交点， ∴∠CBO ＝∠ABC ，∠BCO ＝∠ACB .1212∵∠A ＝α，∴∠BOC ＝180°－（∠ABC ＋∠ACB ）12＝180°－（180°－∠A ）12＝180°－（180°－∠α）12＝180°－90°＋∠α12＝90°＋∠α.12如图②，∵∠CBO ＝∠ABC ，∠BCO ＝∠ACB ，∠A ＝α，1313∴∠BOC ＝180°－（∠ABC ＋∠ACB ）13＝180°－（180°－∠A ）13＝180°－（180°－∠α）13＝180°－60°＋∠α12＝120°＋∠α.12故答案为90°＋∠α，120°＋∠α.1212（2）如图③，∵∠CBO ＝∠DBC ，∠BCO ＝∠ECB ，∠A ＝α，1313∴∠BOC ＝180°－（∠DBC ＋∠ECB ）13＝180°－[360°－（∠ABC ＋∠ACB ）]13＝180°－[360°－（180°－∠A ）]13＝180°－（180°＋∠α）13＝180°－60°－∠α13＝120°－∠α.13故答案为120°－∠α.13（3）∵∠CBO ＝∠DBC ，∠BCO ＝∠ECB ，∠A ＝α，1n 1n∴∠BOC ＝180°－（∠DBC ＋∠ECB ）1n＝180°－ [360°－（∠ABC ＋∠ACB ）]1n＝180°－ [360°－（180°－∠A ）]1n＝180°－（180°＋∠α）1n ＝×180°－∠α.1n n -1n ＝1180-n nα-⋅∠ （）故答案为. 1180-n nα-⋅∠ （）【解后反思】通过解题我们得到关于三角形内、外角等分线有如下规律：规律1：BO 、CO 分别是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的n 等分线，它们交于点O ，∠CBO ＝∠ABC ，∠BCO ＝1n ∠ACB ，∠A ＝α，则∠BOC ＝；1n1180+n n α-⋅∠ （）规律2：BO 、CO 分别是△ABC 的外角∠DBC 、∠ECB 的n 等分线，它们交于点O ，∠CBO ＝∠DBC ，∠1nBCO ＝∠ECB ，∠A ＝α，则∠BOC ＝.1n1180-n n α-⋅∠ （）【关键词】 三角形的内角和；规律探索；邻补角；角的平分线。

2019年全国中考数学真题分类 三角形（含多边形及其内角和）一、选择题10．(2019·广元)如图,过点A 0(0,1)作y 轴的垂线交直线l:y 于点A 1,过点A 1作直线l 的垂线,交y 轴于点A 2,过A 2作y 轴的垂线交直线l 与点A 3,……,这样依次下去,得到△A 0A 1A 2,△A 2A 3A 4,△A 4A 5A 6,……,其面积分别记为S 1,S 2,S 3,……,则S 100为( )A.100⎝⎭B.(100C.1994D.3952第10题图 【答案】D【解题过程】由一次函数解析式可得∠A 1OA 0＝60°,A 0O ＝1,A 0A 1＝0A 2＝3,∴S 1,A 2A 3＝42A 4＝12,S 2＝n ＝24S n －1,∴S n ＝S 1·24(n －1),∴S 100×2396＝3952.故选D.7.（2019·杭州）在△ABC 中，若一个内角等于另两个内角的差，则 （ ）A.必有一个内角等干30°B.必有一个内角等于45°C.必有一个内角等于60°D.必有一个内角等于90° 【答案】D【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠C-∠B ，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC 是直角三角形，故选D ．5．（2019·淮安）下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）A. 2cm ，3cm ，4cmB.1cm ，2cm ，3cmC. 3cm ， 4cm ，5cmD. 4cm ，5cm ， 6cm【答案】B【解析】∵1+2=3，∴长度为1cm，2cm，3cm的3根小木棒不能搭成三角形.6．（2019·陇南）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°【答案】C【解析】∵多边形内角和公式是（n-2）×180°，∴当n=5时，（5-2）×180°=540°，故选：C．1. (2019·枣庄)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是A.45°B.60°C.75°D.85°【答案】C【解析】在直角三角形中,可得∠1+∠A＝90°,∵∠A＝45°,∴∠1＝45°,∴∠2＝∠1＝45°,∵∠B＝30°,∴∠α＝∠2+∠B＝75°,故选C.2.（2019·眉山）如图，在△ABC中AD平分∠BAC交BC于点D，∠B=30度，∠ADC=70度，则∠C的度数是A． 50°B．60°C．70°D．80°【答案】C【解析】∵∠ADC=70°，∠B=30°，∴∠BAD=∠ADC-∠B=70°-30°=40°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD=80°，∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-30°-80°=70°，故选C.3.（2019·自贡）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】由三角形三边关系可知，第三边x的取值范围是4-1＜x＜1+4，即3＜x＜5.∵第三边长为整数，∴x=4，∴该三角形周长为1+4+4=9.故选C.4.（2019·金华）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形,则a的值可以是（）A.1B. 2C.3D. 8【答案】C．【解析】根据三角形的三边关系，得2＜a＜8，故选C．5. (2019·台州)下列长度的三条线段,能组成三角形的是( )A.3,4,8B.5,6,10C.5,5,11D.5,6,11【答案】B【解析】组成三角形的三边符合任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,只有B符合.二、填空题17．（2019·滨州）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为____________．【答案】3【解析】如图，连接OE，作OM⊥EF于M，则OE=EF，EM=FM，OM=2，∠EOM=30°，在Rt△OEM中，cos ∠EOM=OMOE，∴2=2OE ，解得OE=3，即外接圆半径为3．15．（2019·威海）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，过点C 作CE ⊥BC ，交AD 于点E ，连接BE ，∠BEC ＝∠DEC ，若AB ＝6，则CD ＝ .【答案】3【解析】如图，延长BC 、AD 交于F ，由∠BEC ＝∠DEC ，CE ⊥BC ，再加公共边EC 通过角边角可证△ECF ≌△ECB ，由全等三角形得性质得到FC ＝BC ，又因AB ∥DC ，根据平行线分线段成比例定理可得FD ＝DA ，所以DC 是△FAB 的中位线，再由三角形中位线定理可得DC ＝12AB ＝12×6＝3.11．(2019·泰州)八边形的内角和为________. 【答案】1080°【解析】多边形内角和＝(n －2)×180°,所以八边形内角和＝(8－2)×180°＝1080°. 12．（2019·青岛）如图，五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，AF 是⊙O 的直径，则∠BDF的度数AB是 .【答案】54【解析】连接OB,CO,因为ABCDE为正五边形,AF为外接圆直径,所以∠BOA=360°÷5=72°,所以弧BF为180°-72°=108°, 所以∠BDF=54°.10．（2019·江西）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD 翻折得到△AED，则∠CDE= °.【答案】20【解析】∵∠BAD＝∠ABC＝40°，∴∠ADC=∠BAD+∠ABC=40°+40°=80°.∵将△ABD沿着AD翻折得到△AED，∴∠ADE=∠ADB=180°-∠ADC=180°-80°=100°.∴∠CDE=∠ADE-∠ADC=100°-80°=20°.12．（2019·淮安）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数是.【答案】5【解析】设该多边形的边数是n，则（n-2）180°=540°，解得n=5.∴该多边形的边数是5. 14．（2019·益阳）如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1=142°，则∠2＝度.第14题图【答案】52°【解析】∵OA⊥OB，∴∠O=90°.∵∠1=142°，∴∠OCD=∠1-∠O=142°=90°=52°.∵AB∥CD，∴∠2=∠OCD=52°.12．（2019·益阳）若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是.【答案】5【解析】设多边形的边数为n，由题意得（n-2）180°+360°=900°，解得n=5.1.（2019·岳阳）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为_______. 【答案】4【解析】设这个多边形的边数为n，根据题意得：(n－2)·180º=360º，解得：n=4．所以这个多边形的边数为4．15．（2019·株洲）如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝度．第15题【答案】66°【解析】正五边形的每个内角为108°，所以∠EAB=108°，∵AP平分∠EAB，∴∠PAB=54°，△ABP中，∠APB=180°-∠ABP-∠PAB=180°-60°-54°=66°。

三角形（含多边形及其内角和）一、选择题1. （2018湖南长沙，4题，3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A.4cm,5cm,9cmB.8cm,8cm,15cmC.5cm,5cm,10cmD.6cm,7cm,14cm【答案】B【解析】三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

A选项中4+5=9，两边之和等于第三边，故A错误；C选项5+5=10，两边之和等于第三边，故C错误；D选项6+7=13<14，两边之和小于第三边，故D错误；B选项8+8=16>15，故B正确。

【知识点】三角形三边关系2. （2018山东省济宁市，8，3）如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E=300°.DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是( )A.50°B.55°C.60°D.65°E【答案】D【解析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠BCD+∠CDE=540°-300°=240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点P，∴∠PDC+∠PCD=12（∠BCD+∠CDE）=120°，∴∠P=180°-120°=60°，因此，本题应该选D. 【知识点】多边形的内角和公式角平分线的定义3. （2018浙江杭州，5，3分） 若线段AM ，AN 分别是△ABC 的BC 边上的高线和中线，则（ ） A. AM AN > B. AM AN ≥ C. AM AN < D. AM AN ≤ 【答案】D【解析】AM 和AN 可以看成是直线为一定点到直线上两定点的距离，由垂线段最短，则AM AN <，再考虑特殊情况，当AB=AC 的时候AM=AN 【知识点】垂线段最短4. （2018宁波市，5题，4分） 已知正多边形的一个外角等于40°,那么这个正多边形的边数为A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】D【解析】利用正多边形的每个外角都相等，外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数 解：360°÷40°=9 【知识点】多边形外角和1. （2018湖北鄂州，5，3分）一副三角板如图放置，则∠AOD 的度数为（ ） A ． 75° B ． 100° C ． 105° D ．120°【答案】C【解析】如下图（1），由题意可知，∠ABC ＝45°，∠DBC ＝30°，∴∠ABO ＝∠ABC －∠DBC ＝45°－30°＝15°，又∵∠BOC 是△AOB 的一个外角，∴∠BOC ＝∠ABO ＋∠A ＝15°＋90°＝105°，∴∠AOD ＝∠BOC ＝105°．【知识点】三角形的外角；对顶角2. （2018内蒙古呼和浩特，3，3分）已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是（）A.九边形B.八边形C.七边形D.六边形答案B【解析】设这个多边形为n边形，则（n-2） 180=1080，解得n=8，故选B.【知识点】多边形的内角和3. （2018河北省，1，3）下列图形具有稳定性的是( )【答案】A【解析】三角形是具有稳定性的图形，故选A．【知识点】三角形的稳定性4. （2018福建A卷，3，4）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是( )A．1，1，2 B.1，2，4C. 2，3，4D.2，3，5【答案】C【解析】三数中，若最小的两数和大于第三数，符合三角形的三边关系，则能成为一个三角形三边长，否则不可能．解：∵1＋1=2 ，∴选项A不能；∵1＋2＜4，∴选项B不可能；∵2＋3＞4，∴选项C能；∵2＋3=5，∴选项D不能．故选C．【知识点】三角形三边的关系5. （2018福建A卷，4，4）一个n边形的内角和是360°，则n等于( )A．3 B.4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】先确定该多边形的内角和是360゜，根据多边形的内角和公式，列式计算即可求解．解：∵多边形的内角和是360゜，∴多边形的边数是：360゜=(n-2)×180°，n=4.【知识点】多边形；多边形的内角和6.（2018福建B卷，3，4）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是( )A．1，1，2 B.1，2，4C. 2，3，4D.2，3，5【答案】C【解析】三数中，若最小的两数和大于第三数，符合三角形的三边关系，则能成为一个三角形三边长，否则不可能．解：∵1＋1=2 ，∴选项A不能；∵1＋2＜4，∴选项B不可能；∵2＋3＞4，∴选项C能；∵2＋3=5，∴选项D不能．故选C．【知识点】三角形三边的关系7. （2018福建B卷，4，4）一个n边形的内角和是360°，则n等于( )A．3 B.4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】先确定该多边形的内角和是360゜，根据多边形的内角和公式，列式计算即可求解．解：∵多边形的内角和是360゜，∴多边形的边数是：360゜=(n-2)×180°，n=4.【知识点】多边形；多边形的内角和8. （2018四川雅安，5题，3分）已知n边形的每个外角都等于60°，则它的内角和是A.180°B.270°C.360°D.720°【答案】D【解析】n边形的外角和为360°，因为每个外角都等于60°，所以这个多边形是六边形，所以内角和=(6-2)×180°=720°，故选D【知识点】多边形的内角和、外角和9.（2018浙江省台州市，7，3分）正十边形的每一个内角的度数为（）A．120 B．135 C．140 D．144【答案】D【解析】要计算正十边形的内角，首先利用内角和公式计算出正十边形的内角和，然后再计算每一个内角.∵（10-2）×180°=1440°，∴1440°÷10=144°，还有1种解法，利用正多边形的外角和是360°进行计算，360°÷10=36°，180°-36°=144°，故选D.【知识点】正多边形的内角和公式，外角和是360°；邻补角的定义；10.（2018·北京，5，2）若正多边形的一个外角为60°，则该多边形的内角和为（）A．360° B．540° C．720° D．900°【答案】C．【解析】∵正多边形的一个外角为60°，∴该正多边形的边数n＝36060＝6．∴正多边形的的内角和＝(6－2)×180°＝720°．故选C．【知识点】多边形的内角和；正多边形11. （2018江苏省宿迁市，6，3）若实数m 、n 满足等式∣m －2∣＋4-n ＝0，且m 、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长是（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6【答案】B【解析】根据两个非负数的和为0，则各自为0．∴m －2＝0，n －4＝0．∴m ＝2，n ＝4．根据三角形中两边之和大于第三边，则三条边长分别是2，4，4，∴周长是10．故选B ． 【知识点】非负数的性质，三角形的三边关系 二、填空题1. （2018山东滨州，13，5分）在△ ABC 中，若∠A ＝30°，∠B ＝50°，则∠C ＝___________． 【答案】100°【解析】∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠C ＝100° 【知识点】三角形内角和定理。

2019年全国各地中考数学真题分类汇编（浙江专版）三角形参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2019•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（）故选：C．A．＝B．＝C．＝D．＝解：∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴＝，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴＝，∴＝．2．（2019•宁波）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1＝25°，则∠2的度数为（）故选：C．A．60°B．65°C．70°D．75°解：设AB与直线n交于点E，则∠AED＝∠1+∠B＝25°+45°＝70°．又直线m∥n，∴∠2＝∠AED＝70°．、3．（2019•温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（B）A．米B．米C．米D．米解：作AD⊥BC于点D，则BD＝0.3＝，∵cosα＝，∴sinα＝，解得，AB＝米，4．（2019•杭州）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（D）A．a sin x+b sin x B．a cos x+b cos xC．a sin x+b cos x D．a cos x+b sin x解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，∴∠EAB＝x，∴∠FBA＝x，∵AB＝a，AD＝b，∴FO＝FB+BO＝a•cos x+b•sin x，5．（2019•湖州）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（B）A．24B．30C．36D．42解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4，∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB•DH+BC•CD＝×6×4+×9×4＝30，6．（2019•衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（D）A．60°B．65°C．75°D．80°解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°，∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．7．（2019•金华）如图，矩形ABCD的对角线交于点O．已知AB＝m，∠BAC＝∠α，则下列结论错误的是（C）A．∠BDC＝∠αB．BC＝m•tanαC．AO＝D．BD＝解：A、∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∴AO＝OB＝CO＝DO，∴∠DBC＝∠ACB，∴由三角形内角和定理得：∠BAC＝∠BDC＝∠α，故本选项不符合题意；B、在Rt△ABC中，tanα＝，即BC＝m•tanα，故本选项不符合题意；C、在Rt△ABC中，AC＝，即AO＝，故本选项符合题意；D、∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝m，∵∠BAC＝∠BDC＝α，∴在Rt△DCB中，BD＝，故本选项不符合题意；8．（2019•衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为（C）A．1B．C．D．2解：边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，所以原来的纸带宽度＝×2＝．二．填空题（共6小题）9．（2019•宁波）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB 约为567米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）解：如图，设线段AB交y轴于C，在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则AC＝OC．∵OA＝400米，∴OC＝OA•cos45°＝400×＝200（米）．∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200米，∴OB＝＝＝400≈567（米）10．（2019•温州）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为（5+5）分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，则B'E'﹣BE为4分米．解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∴∠COP＝∠COD＝30°，∴QM＝OP＝OC•cos30°＝5（分米），∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝OA＝5（分米），∴AM＝AQ+MQ＝5+5．∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝2在Rt△PKE中，EK＝＝2（分米）∴BE＝10﹣2﹣2＝（8﹣2）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝2（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝＝2，∴B′E′＝10﹣（2﹣2）＝12﹣2，∴B′E′﹣BE＝4．故答案为5+5，4．11．（2019•湖州）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD ＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h 约为120cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）解：过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，∵BO＝DO，∴OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠BOD＝×74°＝37°，∴∠F AB＝∠BOE＝37°，在Rt△ABF中，AB＝85+65＝150cm，∴h＝AF＝AB•cos∠F AB＝150×0.8＝120cm，12．（2019•绍兴）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠P AD＝30°，以点B为圆心，AB 长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的度数为15°或45°．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠BAM＝180°﹣90°﹣30°＝60°，AD＝AB，当点E与正方形ABCD的直线AP的同侧时，由题意得，点E与点B重合，∴∠ADE＝45°，当点E与正方形ABCD的直线AP的两侧时，由题意得，E′A＝E′M，∴△AE′M为等边三角形，∴∠E′AM＝60°，∴∠DAE′＝360°﹣120°﹣90°＝150°，∵AD＝AE′，∴∠ADE′＝15°，故答案为：15°或45°．13．图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN是门轴的滑动轨道，∠E＝∠F＝90°，两门AB、CD的门轴A、B、C、D都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）；两门同时开启，A、D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B、C滑动：B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB＝50cm，CD＝40cm．（1）如图3，当∠ABE＝30°时，BC＝90﹣45cm．（2）在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为2256cm2．解：∵A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）且AB＝50cm，CD＝40cm．∴EF＝50+40＝90cm∵B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，∴B、C两点的路程之比为5：4（1）当∠ABE＝30°时，在Rt△ABE中，BE＝AB＝25cm，∴B运动的路程为（50﹣25）cm∵B、C两点的路程之比为5：4∴此时点C运动的路程为（50﹣25）×＝（40﹣20）cm∴BC＝（50﹣25）+（40﹣20）＝（90﹣45）cm故答案为：90﹣45；（2）当A向M方向继续滑动15cm时，设此时点A运动到了点A'处，点B、C、D分别运动到了点B'、C'、D'处，连接A'D'，如图：则此时AA'＝15cm∴A'E＝15+25＝40cm由勾股定理得：EB'＝30cm，∴B运动的路程为50﹣30＝20cm∴C运动的路程为16cm∴C'F＝40﹣16＝24cm由勾股定理得：D'F＝32cm，∴四边形A'B'C'D'的面积＝梯形A'EFD'的面积﹣△A'EB'的面积﹣△D'FC'的面积＝﹣30×40﹣24×32＝2256cm2．∴四边形ABCD的面积为2256cm2．故答案为：2256．14．（2019•衢州）如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 1.5米（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．解：∵sinα＝，∴AD＝AC•sinα≈2×0.77＝1.5，故答案为：1.5三．解答题（共9小题）15．（2019•杭州）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，∴P A＝PB，∴∠B＝∠BAP，∵∠APC＝∠B+∠BAP，∴∠APC＝2∠B；（2）根据题意可知BA＝BQ，∴∠BAQ＝∠BQA，∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，∴∠BQA＝2∠B，∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°．16．（2019•嘉兴）在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）．解：（1）由勾股定理得：CD＝AB＝CD'＝，BD＝AC＝BD''＝，AD'＝BC＝AD''＝；画出图形如图1所示；（2）如图2所示．17．（2019•温州）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF．（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．（1）证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）；（2）解：∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝2，∴AB＝AE+BE＝1+2＝3，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝3．18．（2019•宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）解：（1）如图1所示：6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形；（2）如图2所示：6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．19．（2019•温州）如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP＝NQ．解：（1）满足条件的△EFG，如图1，2所示．（2）满足条件的四边形MNPQ如图所示．20．（2019•湖州）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．（1）证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DF∥BC，EF∥AB，∴DF∥BE，EF∥BD，∴四边形BEFD是平行四边形；（2）解：∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝6，∴DF＝DB＝DA＝AB＝3，∵四边形BEFD是平行四边形，∴四边形BEFD是菱形，∵DB＝3，∴四边形BEFD的周长为12．21．（2019•衢州）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连结AE，AF．求证：AE＝AF．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝CF．22．（2019•金华）如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF（E，F均为格点），各画出一条即可．解：如图：从图中可得到AC边的中点在格点上设为E，过E作AB的平行线即可在格点上找到F，则EG平分BC；EC＝，EF＝，FC＝，借助勾股定理确定F点，则EF⊥AC；借助圆规作AB的垂直平分线即可；23．（2019•嘉兴）某挖掘机的底座高AB＝0.8米，动臂BC＝1.2米，CD＝1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD＝140°．初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE＝70°（示意图2）．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点（示意图4）．（1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．（2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，≈1.73）解：（1）过点C作CG⊥AM于点G，如图1，（2）过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q，交CG于点N，如图2，在Rt△CPD中，DP＝CP×cos70°≈0.51（米），在Rt△BCN中，CN＝BC×cos30°≈1.04（米），所以，DE＝DP+PQ+QE＝DP+CN+AB＝2.35（米），如图3，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K，在Rt△CKD中，DK＝CD×cos50°≈1.16（米），所以，DH＝DK+KH＝3.16（米），所以，DH﹣DE＝0.8（米），所以，斗杆顶点D的最高点比初始位置高了0.8米．。