山西省运城市康杰中学2020年高考数学模拟试题(4)文(含解析)

2017-2020年度高三第四次名校联合考试（百日冲刺）数学（文科）六校联考 长治二中、鄂尔多斯一中、晋城一中、康杰中学、临汾一中、忻州一中第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合}2,2{},,4{2m B m A ==.若≠⋂B A ∅，则m 的取值可能是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．22. 复数3)1(i z +=的虚部为（ ）A ．2-B ．2C ．i 2-D ．i 23.设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，已知88,0112==S a ，则=5a （ ）A ．6B ．7C ．9D ．104. 已知下表为随机数表的一部分，将其按每5个数字编为一组： 08015 17727 45318 22374 21115 7825377214 77402 43236 00210 45521 6423729148 66252 36936 87203 76621 1399068514 14225 46427 56788 96297 78822已知甲班有60位同学，编号为60~01号，现在利用上面随机数表的某一个数为起点，以简单随机抽样的方法在甲班中抽取4位同学，由于样本容量小于99，所以只用随机数表中每组数字的后两位，得到下列四组数据，则抽到的4位同学的编号不可能是（ ）A ．53,18,27,15B ．52,25,02,27C ．22,27,25,14D ．74,18,27,155. 设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，173)(--=x x f x，则=-)1(f （ ）A ．5B ．5- C. 6 D ．6-6. 若41)3sin(=-a π，则=-)62sin(πa （ ） A ．87- B ．87 C. 1615- D ．1615 7. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≤-3313y x y x y x ，则y x z -=2的取值范围为（ ）A ．]3,1[-B ．]6,1[- C. ]5,1[- D ．]6,5[8. 已知][x 表示不超过x 的最大整数，如3]4.2[,1]1[,0]4.0[-=-==.执行如图所示的程序框图，则输出的=S （ ）A ．1B ．5 C. 14 D ．159. 已知曲线)32sin(:π-=x y C ，则下列结论正确的是（ ） A ．把C 向左平移125π个单位长度，得到的曲线关于原点对称 B ．把C 向右平移6π个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称 C. 把C 向左平移3π个单位长度，得到的曲线关于原点对称 D ．把C 向右平移12π个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称 10.已知倾斜角为 135的直线l 交双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 于B A ,两点，若线段AB 的中点为)1,2(-P ，则C 的离心率是（ ）A ．3B ．2 C. 26 D ．25 11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．34B ．1 C. 35 D ．2 12.已知R a ∈，函数2225284)(a ax x ae ex f x x +-+-=（e 是自然对数的底数），当)(x f 取得最小值时，则实数a 的值为（ ）A ．4B ．58 C. 54 D ．52 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在矩形ABCD 中，2,5==AD AB ，则=+→→||AC AB ．14.在正项等比数列}{n a 中，62,a a 是031032=+-x x 的两个根，在=-+2652a a a ．15.已知抛物线y x C 8:2=，直线2:+=x y l 与C 交于N M ,两点，则=|MN | ．16.在直三棱柱111C B A ABC -中，8,52,4,1===⊥AA AC AB AC AB .若该三棱柱的六个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知1,sin 2sin 3,12cos 2cos 22=-==-+b a A B C B A . （1）求角C 的大小；（2）求bc 的值. 18. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的费率浮动机制，保费是与上一年度车辆发生道路交通安全违法行为或者道路交通事故的情况相联系的.交强险第二年价格计算公式具体如下：交强险最终保费=基准保费⨯a （+1浮动比率t ）.发生交通事故的次数越多，出险次数的就越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，为此搜集并整理了100辆这一品牌普通6座以下私家车一年内的出险次数，得到下面的柱状图：已知小明家里有一辆该品牌普通6座以下私家车且需要续保，续保费用为X 元.（1）记A 为事件“a X a ⋅≤≤%175”，求)(A P 的估计值.（2）求X 的平均估计值.19. 如图，在直角梯形ABCD 中，BC AB BC AD ⊥,//，且F E AD BC ,,42==分别为DC AB ,的中点，沿EF 把AEFD 折起，使CF AE ⊥，得到如下的立体图形.（1）证明：平面⊥AEFD 平面EBCF ；（2）若EC BD ⊥，求二面角A CD F --的大小.20. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点为)0,1(1-F ，点)22,1(M 在椭圆C 上，经过坐标原点O 的直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，P 为椭圆C 上一点（P 与B A ,都不重合）.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线AB 的斜率为21-，求ABP ∆的面积的最大值. 21. 已知函数x x ax x g ln )(+=（a 是常数）. （1）求)(x g 的单调区间与最大值；（2）设)()(x g x x f ⋅=在区间],0(e （e 为自然对数底数）上的最大值为10ln 1--，求a 的值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴为正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρcos 3=.（1）求圆C 的参数方程；（2）设P 为圆C 上一动点，)0,5(A ，若点P 到直线3)3sin(=-πθρ的距离为437，求ACP ∠的大小.23.选修4-5：不等式选讲设函数a a x x f 2||)(++=.（1）若不等式1)(≤x f 的解集为}42|{≤≤-x x ，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式4)(2--≥k k x f 恒成立，求实数k 的取值范围.。

2020年山西省运城市康杰中学分校高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A． B．C． D．参考答案：A2. 已知图1是某学生的14次数学考试成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图，则输出的n的值是(A)8 (B)9 (C)10 (D)11参考答案：C3. 某校某班级有42人，该班委会决定每月第一周的周一抽签决定座位，该班级座位排成6列7行，同学先在写有1、2、3、4、5、6的卡片中任取一张，确定所在列，再在写有1、2、3、4、5、6、7的卡片中任取一张确定所在行，如先后抽到卡片为2、5，则此同学座位为第2列第5行，在一学期的5次抽签中，该班班长5次位置均不相同的概率是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出该班班长5次位置均不相同包含的基本事件个数，由此能求出在一学期的5次抽签中，该班班长5次位置均不相同的概率．【解答】解：由题意得在一学期的5次抽签中，基本事件总数n=425，该班班长5次位置均不相同包含的基本事件个数m=，∴在一学期的5次抽签中，该班班长5次位置均不相同的概率p==．故选：C．4. 下列四个命题中的真命题为A．若,则 B．若，则C．若，且，则 D．若，则、、成等比数列参考答案：C5. 若向量a与b的夹角为120，且, c=a+b，则有A．c b B c a c．c//b D. c∥a参考答案：B略6. 已知函数f （x）= ax2+bx-1（a , b∈R且a＞0）有两个零点，其中一个零点在区间（1，2）内，则的取值范围为（） A．（-1，1） B．（-∞，-1） C．（-∞，1） D．（-1，+∞）参考答案：D7. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则这个球的体积是．A． B．C． D．参考答案：B8. 函数的图像为参考答案：A略9. 已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数g(x)的说法中不正确的是（）A．函数g(x)图象的对称轴方程为B．函数g(x)的最大值为C．函数g(x)的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线l：平行D．方程的两个不同的解分别为，，则最小值为参考答案：C10. 要得到函数的图象，只要将函数的图象( )A. 向左平移1个单位B. 向右平移1个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知三角形的一边长为4，所对角为60°，则另两边长之积的最大值等于____________。

山西省运城市康杰中学2020年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量，函数则的图象可由的图象经过怎样的变换得到A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度参考答案：B2. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为( )A．B．C．4πD．8π参考答案：B考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：几何体为圆柱挖去一个圆锥，根据三视图可得圆锥与圆柱的底面直径都为4，高都为2，把数据代入圆锥与圆柱的体积公式计算可得答案．解答：解：由三视图知：几何体为圆柱挖去一个圆锥，且圆锥与圆柱的底面直径都为4，高为2，∴几何体的体积V1=π×22×2﹣×π×22×2=，故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．3. 已知命题若命题是真命题，则实数的取值范围（）A． B．［1,4］C．D．参考答案：A4. 若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A5. 春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100 名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：参考答案：C略6. 已知函数，则该函数零点个数为A.4B.3C.2D.1参考答案：B7. 习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12……来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．右图是求大衍数列前n项和的程序框图，执行该程序框图，输入，则输出的S=A．26 B．44 C．68 D．100参考答案：B解析：第一次运行，，,不符合，继续运行，第二次运行，，,不符合，继续运行，第三次运行，，,不符合，继续运行，第四次运行，，,不符合，继续运行，第五次运行，，,不符合，继续运行，第六次运行，，,符合，输出，故选择B.8. 若数列{a n}满足a1=1，且对于任意的n∈N*都有a n+1=a n+n+1，则等于（）A．B．C．D．C【考点】数列的求和．【分析】由所给的式子得a n+1﹣a n=n+1，给n具体值列出n﹣1个式子，再他们加起来，求出a n，再用裂项法求出，然后代入进行求值的值，【解答】由a n+1=a n+n+1得，a n+1﹣a n=n+1，则a2﹣a1=1+1，a3﹣a2=2+1，a4﹣a3=3+1…a n﹣a n﹣1=（n﹣1）+1，以上等式相加，得a n﹣a1=1+2+3+…+（n﹣1）+n﹣1，把a1=1代入上式得，a n=1+2+3+…+（n﹣1）+n==2（）则=2[（1﹣）+（）+…+（）=2（1﹣）=，故答案选：C．【点评】本题主要考察数列的求和、利用累加法求数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的前n项和，这是数列常考的方法，需要熟练掌握，属于中档题．9. 关于的不等式的解是( )A. B.C. D.答案：B10. 已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为的正方形，主视图与左视图是边长为的正三角形，则其全面积是（）A．B．C．D．参考答案：B由题意可知，该几何体为正四棱锥，底面边长为2，侧面斜高为2，所以底面积为，侧面积为，所以表面积为，选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金，第3关收税金，第4关收税金，第5关收税金，5关所收税金之和，恰好1斤重，设这个人原本持金为x，按此规律通过第8关，”则第8关需收税金为x．参考答案：【考点】数列的应用．【分析】第1关收税金： x；第2关收税金：（1﹣）x=x；第3关收税金：（1﹣﹣）x=x；…，可得第8关收税金．【解答】解：第1关收税金： x；第2关收税金：（1﹣）x=x；第3关收税金：（1﹣﹣）x=x；…，可得第8关收税金： x，即x．故答案为：．【点评】本题考查了数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 在中，的内心，若，则动点的轨迹所覆盖的面积为 .参考答案：13. 若函数的图像与的图像关于直线对称，则＝▲．参考答案：1因为函数的图像与的图像关于直线对称，所以由，即，所以，所以。

山西省运城市康杰中学2020年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，动点满足，则动点的轨迹所包围的图形的面积等于A．B．C．D．参考答案：B2. 设集合A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B等于（）A．{2} B．{1，2，3} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2，3}参考答案：D【考点】并集及其运算．【分析】根据并集的运算即可得到结论．【解答】解：∵A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}={0，1，2}，集合B={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．y 2040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为（）210210.5211.5212.5C略4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）参考答案：5. 已知，，则的值是A. B.C. D.1参考答案：C6. 阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是( )A ．（﹣∞，﹣2]B ．[﹣2，﹣1]C ．[﹣1，2]D ．[2，+∞）参考答案：B考点：选择结构． 专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f （x ）=的函数值．根据函数的解析式，结合输出的函数值在区间内，即可得到答案．解答： 解：分析程序中各变量、各语句的作用 再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f （x ）=的函数值．又∵输出的函数值在区间内，∴x∈[﹣2，﹣1]故选B点评：本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键． 7. 设p 在[0，5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2+px+1=0有实数根的概率为（ ） A ． B ． C ． D ．参考答案：C【考点】几何概型．【分析】由题意知方程的判别式大于等于零求出p 的范围，再判断出所求的事件符合几何概型，再由几何概型的概率公式求出所求事件的概率．【解答】解：若方程x 2+px+1=0有实根，则△=p 2﹣4≥0，解得，p≥2或 p≤﹣2；∵记事件A ：“P 在[0，5]上随机地取值，关于x 的方程x 2+px+1=0有实数根”， 由方程x 2+px+1=0有实根符合几何概型， ∴P（A ）==．故选C ．【点评】本题考查了求几何概型下的随机事件的概率，即求出所有实验结果构成区域的长度和所求事件构成区域的长度，再求比值．8. 已知向量，，且，则实数等于（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：D 略9. 将边长为2的正方形沿对角线折起，以，，，为顶点的三棱锥的体积最大值等于．参考答案：略10. 已知是偶函数，在(－∞,2]上单调递减，，则的解集是（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】先由是偶函数，得到关于直线对称；进而得出单调性，再分别讨论和，即可求出结果.【详解】因为是偶函数，所以关于直线对称；因此，由得；又在上单调递减，则在上单调递增；所以，当即时，由得，所以，解得；当即时，由得，所以，解得；因此，的解集是.【点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知等比数列中，，，若数列满足，则数列的前项和．参考答案：，所以，解得，所以，所以，所以，所以数列的前项和.12. 若集合满足∪∪…∪,则称，，…为集合A 的一种拆分。

2020年高考（文科）数学（4月份）模拟试卷一、选择题1．已知集合A＝{﹣2，0，2，3}，集合B＝{x|﹣2≤x≤0}，则A∩B＝（）A．{2，3}B．{﹣2}C．（﹣2，0）D．{﹣2，0}2．已知复数z满足（2﹣i）•z＝2i﹣1，其中i是虚数单位，则此复数z的虚部为（）A．1B．C．D．53．某学校美术室收藏有4幅国画，其中山水画、花鸟画各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为（）A．B．C．D．4．若a＝log2.10.6，b＝2.10.6，c＝log2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c5．古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（）A．7B．8C．9D．106．在△ABC中，若点D满足＝3，点M为线段AC中点，则＝（）A．﹣B．﹣C．﹣D．+7．已知函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，为了得到函数g（x）＝sinωx的图象，只需将y＝f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．若x、y满足约束条件，则z＝4x﹣3y的最小值为（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣39．执行如图所示的程序框图，若输入n＝9，则输出S的值为（）A．B．C．D．10．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于（）A．34πB．32πC．17πD．11．双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为60°的直线与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是（）A．B．2+C．2D．+112．已知函数f（x）＝（e为自然对数的底数），若函数g（x）＝f （x）+kx恰好有两个零点，则实数k等于（）A．﹣2e B．e C．﹣e D．2e二、填空题（共4小题）13．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示[1000，1500））试根据频率分布直方图求出样本数据的中位数为．14．曲线在点（1，f（1））处的切线与直线ax﹣y﹣1＝0垂直，则a＝．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，S n＝a n+1﹣1，则a n＝．16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点F与准线l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且＝﹣3，则|AB|＝．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c sin B＝b cos C＝3．（1）求边长b；（2）若c＝5，求△ABC的面积．18．近年来，随着互联网的发展，诸如“滴滴打车”“神州专车”等网约车服务在我国各城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为掌握网约车在M省的发展情况，M省某调查机构从该省抽取了5个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数x i，y i（i＝1，2，3，4，5），数据如表所示：城市1城市2城市3城市4城市5 A指标数x24568B指标数y34445经计算得：，．（1）试求y与x间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关系数（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）建立y关于x的回归方程，并预测当A指标数为7时，B指标数的估计值．附：相关公式：r＝，，＝﹣．参考数据：≈0.55，≈0.95．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，点M为PB中点，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥CD，AD＝CD＝PC＝AB．（1）证明CM∥平面PAD．（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为4，求点M到平面PAD的距离．20．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，过定点P（2，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，连接AF并延长交C于M，求证：∠PFM＝∠PFB．21．已知函数f（x）＝ax+lnx+1．（Ⅰ）若a＝﹣1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）对任意的x＞0，不等式f（x）≤e x恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设点P（0，﹣1）．若直线l与曲线C相交于两点A，B，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x+1|+|x﹣2|．（1）已知关于x的不等式f（x）＜a有实数解，求a的取值范围；（2）求不等式f（x）≥x2﹣2x的解集．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{﹣2，0，2，3}，集合B＝{x|﹣2≤x≤0}，则A∩B＝（）A．{2，3}B．{﹣2}C．（﹣2，0）D．{﹣2，0}【分析】进行交集的运算即可．解：∵A＝{﹣2，0，2，3}，B＝{x|﹣2≤x≤0}，∴A∩B＝{﹣2，0}．故选：D．2．已知复数z满足（2﹣i）•z＝2i﹣1，其中i是虚数单位，则此复数z的虚部为（）A．1B．C．D．5【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由（2﹣i）•z＝2i﹣1，得z＝，∴复数z的虚部为．故选：B．3．某学校美术室收藏有4幅国画，其中山水画、花鸟画各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为（）A．B．C．D．【分析】现从中随机抽取2幅进行展览，基本事件总数n＝＝6，恰好抽到2幅不同种类包含的基本事件个数m＝＝4，由此能求出恰好抽到2幅不同种类的概率．解：某学校美术室收藏有4幅国画，其中山水画、花鸟画各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，基本事件总数n＝＝6，恰好抽到2幅不同种类包含的基本事件个数m＝＝4，则恰好抽到2幅不同种类的概率为p＝．故选：D．4．若a＝log2.10.6，b＝2.10.6，c＝log2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c【分析】先化简每一个数，找其大致范围，进行比较．解：∵a＝log2.10.6，∴a＜0，∵b＝2.10.6，∴b＞1∵c＝log2，∴0＜c＜1，故选：B．5．古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（）A．7B．8C．9D．10【分析】由等比数列前n项和公式求出这女子每天分别织布尺，由此利用等比数列前n项和公式能求出要使织布的总尺数不少于30尺，该女子所需的天数至少为多少天．解：设该女五第一天织布x尺，则＝5，解得x＝，∴前n天织布的尺数为：，由30，得2n≥187，解得n的最小值为8．故选：B．6．在△ABC中，若点D满足＝3，点M为线段AC中点，则＝（）A．﹣B．﹣C．﹣D．+【分析】通过确定，根据两基底与△ABC各边的关系即可求得．解：由题可知，△ABC中，点M为线段AC中点，点D满足＝3，∴．△MCD中，故选：A．7．已知函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，为了得到函数g（x）＝sinωx的图象，只需将y＝f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】由三角函数周期的求法及三角函数图象的变换得：T＝π，所以＝2，即f（x）＝sin（2x+），又f（x）＝sin2（x+），即为了得到函数g（x）＝sin2x 的图象，只需将y＝f（x）的图象向右平移个单位长度，得解．解：因为函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，所以＝，所以T＝π，所以＝2，即f（x）＝sin（2x+），又f（x）＝sin2（x+），即为了得到函数g（x）＝sin2x的图象，只需将y＝f（x）的图象向右平移个单位长度，故选：D．8．若x、y满足约束条件，则z＝4x﹣3y的最小值为（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝4x﹣3y对应的直线进行平移，可得当x＝1，y＝2时，z取得最小值．解：作出x、y满足约束条件，表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，2），B（3，1），C（﹣1，0）设z＝F（x，y）＝4x﹣3y，将直线l：z＝4x﹣3y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值∴z最大值＝F（1，2）＝﹣2．故选：C．9．执行如图所示的程序框图，若输入n＝9，则输出S的值为（）A．B．C．D．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++…+的值，利用裂项法可得答案．解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++…+的值，由于S＝++…+＝（1﹣）+（）+…+（﹣）＝1﹣＝．故选：B．10．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于（）A．34πB．32πC．17πD．【分析】三视图复原的几何体是三棱柱去掉一个三棱锥的几何体，结合三视图的数据，求出三棱锥的外接球的表面积即可．解：由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示：截去是三棱锥如图：是长方体的一个角，AB⊥AD，AD⊥AC，AC⊥AB，所以三棱锥补成长方体外接球相同，外接球的半径为：＝．外接球的表面积为：4π×＝34π．故选：A．11．双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为60°的直线与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是（）A．B．2+C．2D．+1【分析】由题意可得直线方程为y＝（x+c），根据中点坐标公式求出B的坐标，代入双曲线方程，化简整理即可求出解：由题意可得直线方程为y＝（x+c），当x＝0时，y＝c，∴A（0，c），∵F1（﹣c，0），设B（x，y），∴2×0＝x﹣c，2c＝y+0，∴x＝c，y＝﹣2c，∴B（c，﹣2c），∴﹣＝1，即＝﹣1+＝∴b4＝12a2c2，即（c2﹣a2）2＝12a2c2，整理可得e4﹣14e2+1＝0，即e2＝7+4＝（2+）2，解得e＝2+故选：B．12．已知函数f（x）＝（e为自然对数的底数），若函数g（x）＝f （x）+kx恰好有两个零点，则实数k等于（）A．﹣2e B．e C．﹣e D．2e【分析】令g（x）＝0，得出f（x）＝﹣kx，做出y＝﹣kx与y＝f（x）的函数图象，则两图象有两个交点，求出y＝f（x）的过原点的切线的斜率即可得出k的范围．解：令g（x）＝0，得f（x）＝﹣kx，∵g（x）有两个零点，∴直线y＝﹣kx与y＝f（x）有两个交点，做出y＝﹣kx和y＝f（x）的函数图象，如图所示：设y＝k1x与曲线y＝e x相切，切点为（x0，y0），则，解得x0＝1，k1＝e．∴﹣k的取值为e，则k＝﹣e．故选：C．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示[1000，1500））试根据频率分布直方图求出样本数据的中位数为．【分析】由频率分布直方图能求出样本数据的中位数．解：由频率分布直方图得：[1000，2000）的频率为：（0.0002+0.0004）×500＝0.3，[2000，2500）的频率为0.0006×500＝0.3，∴根据频率分布直方图求出样本数据的中位数为：2000+×500＝．故答案为：14．曲线在点（1，f（1））处的切线与直线ax﹣y﹣1＝0垂直，则a＝．【分析】由图象在点（1，f（1））处的切线与直线ax﹣y﹣1＝0垂直．即函数f（x）的导函数在x＝1处的函数值为3，求出a的值；解：∵f（x）＝x2+xlnx，∴f′（x）＝x+lnx+1，∴f′（1）＝2．∴切线的斜率为2，∵切线与直线ax﹣y﹣1＝0垂直，可得：a＝；故答案为：﹣．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，S n＝a n+1﹣1，则a n＝2n﹣1．【分析】由S n＝a n+1﹣1，S n+1＝a n+2﹣1，可得a n+2＝2a n+1．再利用等比数列的通项公式即可得出．解：由S n＝a n+1﹣1，S n+1＝a n+2﹣1，∴a n+1＝a n+2﹣a n+1，∴a n+2＝2a n+1．又a1＝S1＝a2﹣1，解得a2＝2＝2a1，∴数列{a n}是等比数列，∴a n＝2n﹣1．故答案为：2n﹣1．16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点F与准线l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且＝﹣3，则|AB|＝．【分析】画出图象，根据抛物线的性质求出BC＝，又AB＝4BF，求出AB．解：已知抛物线C：y2＝4x，所以DF＝2，如图，因为＝﹣3，所以AF：FB＝3：1，又DF：BC＝AF：AB，所以2：BC＝3：4，得BC＝＝BF，所以AB＝4BF＝，故答案为：．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c sin B＝b cos C＝3．（1）求边长b；（2）若c＝5，求△ABC的面积．【分析】（1）直接利用正弦定理的已知条件求出结果．（2）利用三角形的面积公式和余弦定理求出结果．解：（1）由c sin B＝b cos C，利用正弦定理得：sin C sin B＝sin B cos C，又sin B≠0，所以sin C＝cos C，所以C＝45°又b cos C＝3，所以b＝3．（2）∵c2＝b2+a2﹣2ab cos C⇒25＝18+a2﹣2a×3×⇒a＝7或a＝﹣1．∴△ABC的面积S＝ab sin C＝×7××＝．18．近年来，随着互联网的发展，诸如“滴滴打车”“神州专车”等网约车服务在我国各城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为掌握网约车在M省的发展情况，M省某调查机构从该省抽取了5个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数x i，y i（i＝1，2，3，4，5），数据如表所示：城市1城市2城市3城市4城市5 A指标数x24568B指标数y34445经计算得：，．（1）试求y与x间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关系数（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）建立y关于x的回归方程，并预测当A指标数为7时，B指标数的估计值．附：相关公式：r＝，，＝﹣．参考数据：≈0.55，≈0.95．【分析】（1）由已知表格中的数据求得，，再由相关系数公式求得相关系数r，与0.75比较大小得结论；（2）求得与的值，可得y关于x的线性回归方程，取x＝7求得y值即可．解：（1），，又，，∴r＝＝≈0.95＞0.75，∴线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合；（2）＝，＝﹣＝4﹣0.3×5＝2.5．∴y关于x的回归方程为．取x＝7，得．∴预测当A指标数为7时，B指标数的估计值为4.6．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，点M为PB中点，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥CD，AD＝CD＝PC＝AB．（1）证明CM∥平面PAD．（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为4，求点M到平面PAD的距离．【分析】（1）利用中位线性质，结合平行线的传递性，可证出MN与CD平行且相等，从而得到四边形CDEM是平行四边形，可得CM∥DE，最后根据线面平行的判定定理，证出CM∥平面PAD．（2）设AD＝x，则CD＝PC＝x，AB＝2x，可得四棱锥P﹣ABCD的体积为，∴x＝2．．由CM∥面PAD知，点M到平面PAD的距离等于点C到平面PAD的距离．过C作CF⊥PD，垂足为F，可得CF⊥面PAD．求得CF即可．【解答】证明：（1）如图，取PA中点E，连接DE，ME．∵M是PB中点，∴ME∥AB，ME＝AB．又AB∥CD，CD＝AB，∴ME∥CD，ME＝CD．∴四边形CDEM为平行四边形．∴DE∥CM．∵DE⊂平面PAD，CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD．（2）设AD＝x，则CD＝PC＝x，AB＝2x，∵底面ABCD为直角梯形，PC⊥面ABCD，∴四棱锥P﹣ABCD的体积为，∴x＝2．．由CM∥面PAD知，点M到平面PAD的距离等于点C到平面PAD的距离．过C作CF⊥PD，垂足为F，由PC⊥平面ABCD，得PC⊥AD，又AD⊥CD，∴AD⊥面PCD，∵CF⊂平面PCD，∴AD⊥CF，∴CF⊥面PAD．∵PC＝CD＝2，PC⊥CD，∴CF＝．∴点M到平面PAD的距离为．20．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，过定点P（2，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，连接AF并延长交C于M，求证：∠PFM＝∠PFB．【分析】（1）依题意得，得a2﹣c2＝1，结合得，从而得椭圆C的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l与椭圆方程联立消y得关于x的二次方程，从而得x1+x2，x1x2，只需证直线AF，BF的斜率之和为0即可．解：（1）依题意可设圆C方程为x2+y2＝b2，∵圆C与直线相切，∴，∴a2﹣c2＝1，由解得，∴椭圆C的方程为．（2）证明：依题意可知直线l斜率存在，设l方程为y＝k（x﹣2），代入，整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2＝0，∵l与椭圆有两个交点，∴△＞0，即2k2﹣1＜0．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AF，BF的斜率分别为k1，k2则，．∵F（1，0），∴＝＝＝＝＝，即∠PFM＝∠PFB．21．已知函数f（x）＝ax+lnx+1．（Ⅰ）若a＝﹣1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）对任意的x＞0，不等式f（x）≤e x恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）a＝﹣1，求出函数的导数，利用导函数的符号．即可求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）对任意的x＞0，不等式f（x）≤e x恒成立，转化为：在（0，+∞）恒成立，构造函数，利用导数求解函数的最小值，即可求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）x＞0f（x）＝﹣x+lnx+1，∴令f'（x）＞0，得0＜x＜1；令f'（x）＜0，得x＞1；∴f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞），（Ⅱ）不等式ax+lnx+1≤e x恒成立，等价于在（0，+∞）恒成立，令，，令h（x）＝（x﹣1）e x+lnx，x＞0，，所以h（x）在（0，+∞）单调递增，而h（1）＝0，所以x∈（0，1）时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，g（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，g（x）单调递增；所以在x＝1处g（x）取得最小值g（1）＝e﹣1所以a≤e﹣1，即实数a的取值范围是{a|a≤e﹣1}．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设点P（0，﹣1）．若直线l与曲线C相交于两点A，B，求|PA|+|PB|的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程的应用求出结果．解：（1）已知直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：．曲线C的极坐标方程是．转换为直角坐标方程为：x2+y2＝2x+2y，整理得：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，（2）将直线l的参数方程为（t为参数），代入（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．得到：，化简得：，所以：（t1和t2为A、B对应的参数）．故：．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x+1|+|x﹣2|．（1）已知关于x的不等式f（x）＜a有实数解，求a的取值范围；（2）求不等式f（x）≥x2﹣2x的解集．【分析】（1）根据绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，然后由f（x）＜a有实数解可知a＞f（x）min，从而求出a的范围；（2）将f（x）去绝对值写成分段函数的形式，根据f（x）≥x2﹣2x分别解不等可得不等式的解集．解：（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|＝3，当且仅当（x+1）（x﹣2）≤0，即﹣1≤x≤2时取等号，∴f（x）min＝3，∵不等式f（x）＜a有实数解，∴a＞f（x）min＝3，∴a的取值范围为（3，+∞）；（2）f（x）＝|x+1|+|x﹣2|＝，∵f（x）≥x2﹣2x，∴或或，∴或﹣1＜x＜2或x＝﹣1，∴∴不等式的解集为．。

2020年山西省运城市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−1,0，2，3，4}，B ={x ∈N|x <3}，则A ∩B =( )A. {0,1，2}B. {2}C. {0,2，3}D. {0,2}2. 已知复数z =2−1+i ，则( )A. z 的虚部为−1B. z 的实部为1C. |z|=2D. z 的共轭复数为1+i3. 鞋柜里有3双不同的鞋，从中取出一只左脚的，一只右脚的，恰好成双的概率为( )A. 23B. 13C. 35D. 254. 设a =0.512,b =0.914,c =log 50.3，则a,b,c 的大小关系是( )． A. a >c >b B. c >a >b C. a >b >c D. b >a >c5. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢？各穿几何？”，翻译成今天的话是：一只大鼠和一只小鼠分别从的墙两侧面对面打洞，已知第一天两鼠都打了一尺长的洞，以后大鼠每天打的洞长是前一天的2倍，小鼠每天打的洞长是前一天的一半，已知墙厚五尺，问两鼠几天后相见？相见时各打了几尺长的洞？设两鼠x 天后相遇(假设两鼠每天的速度是匀速的)，则x =( )A. 2118B. 2117C. 2217D. 2196. 在△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ .若点D 为AC 中点，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −a⃗ +12b ⃗ B. a⃗ +12b ⃗ C. a⃗ −12b ⃗ D. −a⃗ −12b ⃗ 7. 已知函数y =2sin(ωx +π6) (ω>0)的图象的两条相邻对称轴的距离是π2，则ω=( )A. 4B. 12C. 1D. 28. 设x ，y 满足约束条件{3x −2y −6≤0x +y −2≥0x −4y +8≥0，则z =x −2y 的最小值是( ) A. −4 B. −2 C. 0 D. 29. 执行如图所示的框图，若输入N =6，则输出的S 等于( )A. 34 B. 45 C. 56 D. 6710. 已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图是边长为√3的正三角形，则该几何体的外接球的体积为 ( )A. 16π3B.32π3C. 4√3D. 16π11. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c(c >0)，抛物线y 2=2cx 的准线交双曲线左支于A ，B 两点，且∠AOB =120°(O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率为( )A. √3+1B. 2C. √2+1D. √5+112. 设函数f(x)={x 2+2x,x ≥0ae x ,x<0，若函数y =f(x)+ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A. [−2,0)∪(0,+∞)B. (−∞,0)∪(0,2]C. (−∞,0)∪(0,e]D. [−e,0)∪(0,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某超市统计了一个月内每天光顾的顾客人数，得到如图所示的频率分布直方图，根据该图估计该组数据的中位数为______．14. 设曲线y =lnx −12x 2在点(1,−12)处的切线与直线ax +y +1=0平行，则a = ______ ． 15. 已知数列{a n }中a 1=83，a 2=164，3a n+2+a n =4a n+1，若数列{a n+1−a n }的前n 项积为T n ，则T n 最大时，n 的值为___________．16. 设抛物线C ：y 2=12x 的焦点为F ，准线为l ，点M 在C 上，点N 在l 上，且FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λFM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)，若|MF|=4，则λ的值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且√3a =2bsinA ．(1)求B 的大小；(2)若b 2=ac ，求A 的大小．18. 某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得表数据．x 6 8 10 12 y2356(1)请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(2)判断该高三学生的记忆力x 和判断力是正相关还是负相关：并预测判断力为4的同学的记忆力．(参考公式：b ̂=∑x i ni=1y i −nx −y−∑x i2n i=1−nx−2)19. 如图，在四棱锥A −CDFE 中，底面CDFE 是直角梯形，CE//DF ，EF ⊥EC ，CE =12DF ，AF ⊥平面CDFE ，P 为AD 中点． (Ⅰ)证明：CP//平面AEF ；(Ⅱ)设EF =2，AF =3，FD =4，求点F 到平面ACD 的距离．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，右顶点为A(2,0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点(1,0)的直线l 交椭圆于B ，D 两点，设直线AB 的斜率为k 1，直线AD 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值．21.设函数f(x)=(a−x)e x．(1)求函数的单调区间；(2)若对于任意的x∈[0,+∞)，不等式f(x)≤x+2恒成立，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，射线l：y=√3x(x≥0)，曲线C1的参数方程为为参数)，曲线C2的方程为x2+(y−2)2=4；以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为．(1)写出射线l的极坐标方程以及曲线C 1的普通方程；(2)已知射线l与C 2交于O，M，与C 3交于O，N，求|MN|的值．23.设函数f(x)=|3x−a2|+|3x−3|+a．(1)当a=−2时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若f(x)>17，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查交集及其运算，考查简单的运算能力，属于基础题．由题意及交集运算即可得到答案．解：由题知，集合A={−1,0，2，3，4}，B={x∈N|x<3}，即B={0,1，2}，∴A∩B={0,2}，故选D．2.答案：A解析：本题考查复数的运算和有关概念，属基础题．化简已知复数，逐项分析可得答案．解：化简可得z=2−1+i=2(−1−i) (−1+i)(−1−i)=2(−1−i)2=−1−i，∴z的虚部为−1，实部为−1，|z|=√2，z=−1+i，故选：A．3.答案：B解析：解：鞋柜里有3双不同的鞋，从中取出一只左脚的，一只右脚的，基本事件总数n=C31C31=9，恰好成双包含的基本事件个数m=C31C11=3，∴恰好成双的概率为p=mn =39=13．故选：B．基本事件总数n=C31C31=9，恰好成双包含的基本事件个数m=C31C11=3，由此能求出恰好成双的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：D解析：本题考查了指数函数性质与对数运算，比较大小，属于基础题． 解：a =0.512=0.2514,b =0.914>0.2514>0,c =log 50.3<0， 所以b >a >c ． 故选D ．5.答案：C解析：解：由于前两天大鼠打1+2尺，小鼠打1+12尺，因此前两天两鼠共打3+1.5=4.5． 第三天，大鼠打4尺，小鼠打14尺，因此第三天相遇． 设第三天，大鼠打y 尺，小鼠打0.5−y 尺， 则y4=0.5−y14，解得y =817．相见时大鼠打了1+2+817=3817尺长的洞，小鼠打了1+12+134=1917尺长的洞， x =2+817÷4=2217天， 故选：C ．由于前两天大鼠打1+2尺，小鼠打1+12尺，因此前两天两鼠共打3+1.5=4.5.第三天，大鼠打4尺，小鼠打14尺，因此第三天相遇．设第三天，大鼠打y 尺，小鼠打0.5−y 尺，可得y4=0.5−y14，解得y ，进而得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：A解析：解：BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ⃗ −a ⃗ 故选：A ．利用已知点D 为AC 中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和向量减法的知识运算可得． 本题考查平面向量基本定理的简单应用．7.答案：D解析：本题考查三角函数周期的求法，考查了y =Asin(ωx +φ)型函数的图象和性质，属于基础题． 由已知求得三角函数的周期，再由周期公式求得ω值．解：由函数y =2sin(ωx +π6) (ω>0)的图象的两条相邻对称轴的距离是π2，得T2=π2，∴T =π， 则ω=2πT=2ππ=2．故选：D ．8.答案：A解析：本题主要考查线性规划求最值，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论． 解：作出不等式组对应的平面区域如图，把z =x −2y 变为y =x 2−z2，z 取得最小，即y =x2−z2的截距取得最大，由可行域可知，当直线x −2y −z =0经过点A(0,2)时，截距最大，z 有最小值，z min =−4， 故选A ．9.答案：D解析：本题考查了程序框图的应用问题以及裂项法求和的应用，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=11×2+12×3+⋯+15×6+16×7的值，可得：S=11×2+12×3+⋯+15×6+16×7=(1−12)+(12−13)+⋯+(15−16)+(16−17)=1−17=67．故选D．10.答案：B解析：本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．由已知中的三视图，可得正视图底边对应棱的中点，到三棱锥各个顶点的距离相等，进而求出球半径，可得体积．解：由已知中的三视图，可得该几何体的直观图如下图所示：取AB的中点F，AF的中点E，由三视图可得：AB垂直平面CDE，且平面CDE为√3的正三角形，AB=1+3=4，∴AF=BF=2，EF=1，∴CF=DF=√12+√32=2，故F即为棱锥外接球的球心，半径R=2，故外接球的体积V=43πR3=323π．故选：B 11.答案：A解析：解：由题意，A(−c2,√32c)，代入双曲线方程，可得c24a2−3c24b2=1，整理可得e4−8e2+4=0，∵e>1，∴e=√3+1，故选A．由题意，A(−c2,√32c)，代入双曲线方程，可得c24a2−3c24b2=1，由此可得双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率，考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．12.答案：A解析：本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．解：由y=f(x)+ax恰有两个零点，得y=f(x)+ax=0有两个不同的根，即f(x)=−ax，即y=f(x)与y=−ax有两个不同的交点，当x=0时，y=f(0)+0=0，即x=0是函数的一个零点，当a>0时，作出函数f(x)的图象如图：此时y=f(x)与y=−ax恒有两个交点，满足条件若a<0，作出函数f(x)的图象如图：此时y=f(x)与y=−ax恒有两个交点，满足条件当x≥0时，f′(x)=2x+2，则函数f(x)在(0,0)点的切线斜率k=f′(0)=2，要使当x≥0时，f(x)与y=−ax只有一个交点(0,0)，则−a≤2，即−2≤a<0，当a=0时，不满足条件．综上a>0或−2≤a<0，即实数a的取值范围是[−2,0)∪(0,+∞)．故选A．13.答案：33.75解析：本题考查中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，是基础题．由频率分布直方图得[10,30)内的频率为0.38，[30,40)内的频率为0.32，由此能估计该组数据的中位数．解：由频率分布直方图得：[10,30)内的频率为：(0.014+0.024)×10=0.38，[30,40)内的频率为：0.032×10=0.32，∴估计该组数据的中位数为：×10=33.75．30+0.5−0.380.32故答案为：33.75．14.答案：0解析：解：∵函数在点(1,f(1))处的切线与直线ax+y+1=0平行，∴切线斜率k=−a，即k=f′(1)=−a，x2，∵f(x)=lnx−12−x，∴f′(x)=1x即k=f′(−1)=−1+1=−a，解得a=0，故答案为：0求出函数的导数，利用导数的几何意义结合直线平行的等价条件，即可得到结论．本题主要考查导数的几何意义的应用以及直线垂直的关系，根据导数求出函数的切线斜率是解决本题的关键．15.答案：4或5解析：本题主要考查了数列的递推公式，数列的构造，意在考查考生的数学运算和逻辑推理能力．由数列的递推公式可得数列{a n+1−a n }是以首项为a 2−a 1=81，公比为13的等比数列，由b n =a n+1−a n =(13)n−5>0且单调递减可得T n 最大时n 的值解：因为3a n+2+a n =4a n+1，3(a n+2−a n+1)=a n+1−a n ，所以a n+2−a n+1a n+1−a n =13，所以数列{a n+1−a n }是以首项为a 2−a 1=81，公比为13的等比数列，即b n =a n+1−a n =(13)n−5>0，且单调递减，令b n =(13)n−5=1，解得n =5， 所以T n 最大时，n 的值为4或5．故答案为4或516.答案：3解析：解：根据题意画出图形，如图所示；抛物线y 2=12x ，焦点F(3,0)，准线为x =−3；设M(x 1,y 1)，N(−3,y 2)，则|MF|=x 1+3=4，解得x 1=1，∴M(1,y 1)；∴FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,y 2)，FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,y 1)， 又FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λFM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴−6=−2λ，解得λ=3．故答案为：3．根据题意画出图形，结合图形求出抛物线的焦点F 和准线方程，设出点M 、N 的坐标，根据|MF|和FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λFM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 求出λ的值．本题考查了抛物线的方程与应用问题，也考查了平面向量的坐标运算问题，是中档题． 17.答案：解：(1)锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且√3a =2bsinA ． 所以√3sinA =2sinBsinA ，由于sinA ≠0，整理得：sinB =√32 因为在锐角三角形ABC 中，，所以B =π3； (2)由于：b 2=a 2+c 2−2accosB =ac ，所以a 2−2ac +c 2=0，解得：a =c ，故△ABC 为等边三角形，所以A =π3．解析：本题考查正弦定理和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．(1)直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理的应用求出A 的值；(2)由(1)和余弦定理即可求出结果．18.答案：解：(1)x −=6+8+10+124=9，y −=2+3+5+64=4， ∴b ̂=∑x i 4i=1y i −4x −y −∑x i 24i=1−4x −2=12+24+50+72−4×9×436+64+100+144−4×81=0.7．a ̂=4−0.7×9=−2.3． ∴y 关于x 的线性回归方程为y ^=0.7x −2.3；(2)因为0.7>0，所以高三学生的记忆力x 和判断力是正相关，由y^=0.7x−2.3，取y=4，解得x=9．故预测判断力为4的同学的记忆力为9．解析：本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．(1)由已知求得b^与a^的值，则线性回归方程可求；(2)在(1)中求得的线性回归方程中，取y=4求得x值得答案．19.答案：(Ⅰ)证明：作AF中点G，连接PG、EG，如图，因为P为AD中点，DF，∴PG//DF且PG=12DF，∵CE//DF且CE=12∴PG//EC，PG=EC，∴四边形PCEG是平行四边形，∴CP//EG，∵CP⊄平面AEF，EG⊂平面AEF，∴CP//平面AEF；(Ⅱ)解：作FD的中点Q，连接CQ、FC，如图，∵FD=4，∴EC=FQ=2，又∵EC//FQ，∴四边形ECQF是平行四边形，因为EF ⊥EC ，EF =EC =2，所以四边形ECQF 是正方形，∴CF =√EF 2+EC 2=2√2，∴Rt △CQD 中，CD =√CQ 2+QD 2=2√2，∵DF =4，所以CF 2+CD 2=16=DF 2，∴CD ⊥CF ，∵AF ⊥平面CDFE ，CD ⊂平面CDFE ，∴AF ⊥CD ，又AF ∩FC =F ，AF 、FC ⊂平面ACF ，∴CD ⊥平面ACF ，因为AC ⊂平面ACF ，∴CD ⊥AC ，设点F 到平面ACD 的距离为h ，∴V F−ACD =V D−ACF ，∴13⋅ℎ⋅S ACD =13⋅CD ⋅S ACF ， ∴ℎ=CD⋅12⋅AF⋅FC12⋅CD⋅AC =√222=√2√17=6√3417，所以点F 到平面ACD 的距离为6√3417．解析：本题考查线面平行的判定，等体积法的应用，考查点到平面的距离，属于中档题．(Ⅰ)作AF 中点G ，连接PG 、EG ，证明CP//EG ，然后利用线面平行的判定定理证明CP//平面AEF ．(Ⅱ)作FD 的中点Q ，连接CQ 、FC ，求出CF ，证明CD ⊥AC ，设点F 到平面ACD 的距离为h ，利用V F−ACD =V D−ACF ，求解即可．20.答案：解：(1)由题意得：{a =2e =c a =√32b 2=a 2−c 2, 解得：{a =2b =1c =√3,所以椭圆的方程为：x 24+y 2=1；(2)证明：①当直线l 的斜率不存在时，B (1,−√32),D (1,√32)， ∴k 1k 2=−√321−2×√321−2=−√34， ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k(x −1)，B(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，由{x 24+y 2=1y =k (x −1)消去y 得，(1+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−4=0， ∴x 1+x 2=8k 21+4k 2,x 1x 2=4k 2−41+4k 2，∴k 1k 2=y 1y 2(x 1−2)(x 2−2)=k 2·[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=k 2(4k 2−4−8k 2+1+4k 2)4k 2−4−16k 2+4+16k 2=−34综上所述k 1k 2=−34为定值．解析：本题主要考查的是椭圆的标准方程，椭圆的性质，直线与椭圆的关系的有关知识．(1)直接由右顶点及离心率和a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程；(2)分两种情况：①当直线l 的斜率不存在时，②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k(x −1)，B(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，分类讨论求解即可．21.答案：解：(1)f(x)=(a −x)e x ，f′(x)=(a −x −1)e x ，令f′(x)>0，解得：x <a −1，令f′(x)<0，解得：x >a −1，故f(x)在(−∞,a −1)递增，在(a −1,+∞)递减；(2)若对于任意的x ∈[0,+∞)，不等式f(x)≤x +2恒成立，则a ≤x+2e x +x 对x ∈[0,+∞)恒成立，令g(x)=x+2e x +x ，(x ≥0)，则g′(x)=e x −(x+1)e x ，令ℎ(x)=e x −(x +1)，(x ≥0)，则ℎ′(x)=e x −1≥ℎ‘(0)=0，故ℎ(x)在[0,+∞)递增，即ℎ(x)≥ℎ(0)=0，故g′(x)>0在[0,+∞)恒成立，故g(x)在[0,+∞)递增，故g(x)≥g(0)=2，故a ≤2，即a的取值范围是(−∞,2]．解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为a≤x+2e x +x对x∈[0,+∞)恒成立，令g(x)=x+2e x+x，(x≥0)，根据函数的单调性求出g(x)的最小值，从而求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道常规题．22.答案：解：(1)射线l：y= √3x(x≥0)，转换为极坐标方程为：θ= π 3(ρ≥0)．曲线C1的参数方程为为参数)，转换为直角坐标方程为x29 + y24 =1，所以曲线C1的普通方程为x29 + y24 =1；(2)曲线C2的方程为x2+(y−2)2=4，所以x2+y2−4y=0，因为x2+y2=ρ2，，所以，即ρ=4sinθ，所以曲线C2极坐标方程为：ρ=4sinθ，射线l与C2交于O，M，与C3交于O，N，所以．解析：本题考查的知识要点：参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极坐标方程的几何意义，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用极坐标方程的几何意义列出．23.答案：解：(1)当a=−2时，f(x)=|3x−4|+|3x−3|−2= {5−6x,x⩽1−1,1<x<4 36x−9,x⩾4 3 ,由5−6x<0，解得x>56,由6x−9<0，解得x<32，故不等式f(x)<0的解集为(56,32)．(2)∵f(x)=|3x−a2|+|3x−3|+a≥|(3x−a2)−(3x−3)|+a=|a2−3|+a，∴|a2−3|+a>17，则a2−3>17−a或a2−3<a−17，解得a<−5或a>4，故a的取值范围为(−∞,−5)∪(4,+∞)．解析：本题考查了不等式与绝对值不等式的求解，分情况求解即可．(1)a=−2，将f(x)写为分段函数，然后求解f(x)<0;(2)考查绝对值不等式的三角不等式，然后分情况求解a的范围．。

康杰中学2012年高考数学文试题（）2012年5月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 设集合，则为（ ）A. （－2，2）B. （1，2）C. {－1，0，1}D. {－2,－1,0，1，2} 2. 复数=（ ）A. B. －C. 1－D. 1+ 3. 已知函数，则下列命题正确的是（ ）A. 是周期为1的奇函数B. 是周期为2的偶函数C. 是周期为1的非奇非偶函数D. 是周期为2的非奇非偶函数 4. 若，则下列命题中，甲是乙的充分不必要的条件的是（ ）A. 甲: 乙:B. 甲: 乙:C. 甲: 乙:至少有一个为零D. 甲: 乙: 5. 若函数，分别是R上的奇函数、偶函数，且满足－=，则有（ ）A. B. C. D. 6. 如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为（ ）A. (12+4)B. 20C. (20+4)D. 28 7. 在△OAB（O为原点）中，若,则△OAB的面积S=( )A. B. C. 5D. 8. 已知函数的图象在点A（1，）处的切线l与直线平行，若数列{}的前项的和为，则的值为（ ）A. B. C. D. 9. 有以下程序，若函数在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是（ ）A. m>1B. 0<m<1C. m<0或m=1D.m<0 10. 二次函数的图象过坐标原点，且其导函数的图像过二、三、四象限，则函数的图象不经过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 11. 数列{}中，，如果数列{}是等差数列，则=（ ）A. 0B. C. D. 12. 已知焦点（设为）在轴上的双曲线上有一点，直线是双曲线的一条渐近线，当时，该双曲线的一个顶点坐标是（ ）A. （）B. （，0）C. （2，0）D. （1，0） 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13. （吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据.根据下表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么表中的值为 . 34562.544.5 14. 某所学校计划招聘男教师名，女教师名，和须满足约束条件，则该校招聘的教师人数最多的是 . 15. 已知向量且的值是 . 16. 下列四个命题：①若，则函数的最小值为2②已知平面③△ABC中，的夹角等于180°－A④若动点P到点F（1，0）的距离比到直线的距离小1，则动点P的轨迹方程.其中正确命题的序号为 . 三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17. （本小题满分12分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且；（1）求：；（2）若c=2，求△ABC面积的最大值. 18. （本小题满分12分）如图在四棱锥A—BCDE中，底面BCDE是直角梯形，∠BED=90°，BE∥CD，AB=6，BC=5，，侧面ABE⊥底面BCDE，∠BE=90°，.（1）求证：平面ADE⊥平面ABE；（2）过点D作平面∥平面ABC，分别交BE，AE于点F，G，求△DFG的面积. 19. （本小题满分12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.（1）从袋中随机抽取一个球，将其编号记为，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为.求关于的一元二次方程式有实根的概率.（2）先从袋中随机一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个编号为，若以（,）作为点P的坐标，求点P落在区域内的概率. 20. （本小题满分12分）已知函数.（1）若在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围.（2）若是的极大值点，求在[1，a] 上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数的图象与函数的图象恰有3个交点，若存在，求出b的取值范围，若不存在，说明理由. 21. （本小题满分12分）设椭圆C：的左、右焦点分别为，离心率，以为圆心，为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆C的方程；（2）过点且斜率为k的直线交椭圆C于点A，B，证明无论k取何值，以AB为直径的圆恒过定点D（0，1）. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图：AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是⊙O的一，过点G作AG的垂线交直线AC于点E交直线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H.求证：（1）C、D、F、E四点共圆；（2）GH2=GE·GF. 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知点，参数，曲线C：.（1）求点P的轨迹方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求点P到曲线C的距离的最大值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式的解集为{}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使成立，求实数m的取值范围. 高考学习网（ 您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

2020年运城市高中联合体高考数学测试试卷(文科)(四)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|1≤x≤5}，B={x|3≤x≤6}，则A∩B=()A. [1,3]B. [3,5]C. [5,6]D. [1,6]2.△ABC中，AB=√6，AC=1，BC=2，BD=DC，则AD=()A. √102B. 52C. 3D. 53.已知x+2y=xy(x>0,y>0)，则2x+y的最小值为()A. 10B. 9C. 8D. 74.如图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图．若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列{a n}，{a n}的前n项和为S n，则下列说法中正确的是()A. 数列{a n}是递增数列B. 数列{S n}是递增数列C. 数列{a n}的最大项是a11D. 数列{S n}的最大项是S115.若双曲线x24−y2m=1的焦距为6，则m的值为()A. 32B. 5C. 8D. −56.函数g(x)=x2−4x+9在[−2,0]上的最小值为()A. 5B. 9C. 21D. 67.函数y=x33x−3−x的图象大致是()A. B.C. D.8.已知球O表面上的四点A，B，C，P满足AC=BC=√2，AB=2.若四面体PABC体积的最大值为23，则球O的表面积为()A. 254π B. 258π C. 2516π D. 8π9.如图所示框图，如果计算1+13+15+⋯+119的值，则判断框内应填入的条件是()A. n>10？B. n<11？C. n>9？D. n>11？10.某几何体的三视图如图所示，则其体积为()A. 43(π+1)B. 23(π+1)C. 43(π+12)D. 23(π+12) 11. 椭圆x 216+y 28=1的离心率为( ) A. 13 B. 12 C. √33 D. √2212. 已知函数f(x)={2−x ,x ≤0−lnx,x >0若关于x 的方程f 2(x)+f(x)+m =0有三个不同实数根，则m 的取值范围是( )A. m <14B. m ≤−2C. −2≤m <14D. m >2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=2sinx −√3的图像在x =π3处的切线方程为________．14. 若tan(45°−θ)=2，则tanθ的值为___________．15. 已知向量a ⃗ =(−2,1),b ⃗ =(1,0)，则|2a ⃗ −3b ⃗ |= ______ ．16. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB =90°，AC =√3，BC =1，CC 1=√3，P 是BC 1上一动点，则CP +PA 1的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n =2−n+22n ． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =an (1+a n )⋅(1+a n+1)，求{b n }的前n 项和T n ．18.样本容量为200的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，(Ⅰ)求总体数据落在[2,10)内的概率；(Ⅱ)以区间的中点值作为同一组样本数据的代表，求总体数据的平均数．19.如图，在三棱锥P−ABC中，AC⊥AB，PH⊥BC，PA=PC=AC=AB=2，H为AC的中点(1)求证：PA⊥AB；(2)求点A到平面PBC的距离．20.已知顶点在原点O，焦点在x轴上的抛物线过点(3,√6)．(1)求抛物线的标准方程；(2)若抛物线与直线y=x−2交于A、B两点，求证：k OA⋅k OB=−1．21.已知函数f(x)=ln x+a，a∈R．x(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>0时，求证：f(x)≥2a−1．a22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为．⑴写出C的普通方程，求C的极坐标方程；⑴若过原点的直线l与C相交于A,B两点，AB中点D的极坐标为(ρ0,π)，求D的直角坐标．323.已知函数f(x)=|x|+|x−3|．(1)求不等式f(x)<7的解集；<k<2时，直线y=k(x+4)与函数f(x)的图象可以围成一个四边形．(2)证明：当34【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵A ={x|1≤x ≤5}，B ={x|3≤x ≤6}；∴A ∩B =[3,5]．故选：B ．进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及交集的运算．2.答案：A解析：本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．利用余弦定理即可得出．解：如图所示，设AD =m ，∠ADB =α，∠ADC =π−α．在△ABD 与△ACD 中，分别利用余弦定理可得：(√6)2=m 2+1−2mcosα，1=m 2+1−2mcos(π−α)，相加可得：7=2m 2+2，解得：m =√102．故选：A ．3.答案：B解析：解：由x +2y =xy(x >0,y >0)，可得1y +2x =1，则2x +y =(2x +y)(1y +2x )=5+2xy +2yx ≥5+4=9，当且仅当2x y =2y x 且1y +2x =1，即x =3，y =3时取等号，此时取得最小值9．故选：B ．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题4.答案：C解析：解：因为1月28日新增确诊人数小于1月27日新增确证人数，即a7>a8，所以{a n}不是递增数列，所以A错误；因为2月23日新增确诊病例为0，即S33>S34，所以{S n}不是递增数列，所以B错误；因为1月31日新增确诊病例最多，从1月21日算起，1月31日是第11天，所以数列{a n}的最大项是a11，所以C选项正确，数列{S n}的最大项是最后一项，所以选项D错误，故选：C．结合变化曲线图，根据数列的知识即可分别判断．本题考查了数列的知识和合情推理的问题，属于中档题．5.答案：B解析：解：因为双曲线x24−y2m=1，所以a=2，b=√m，又双曲线的焦距是6，所以6=2√4+m，解得m=5．故选：B．利用双曲线的标准方程，求出a，b，c，利用双曲线x24−y2m=1的焦距是6，求出m的值．本题是基础题，考查双曲线的简单性质，双曲线的定义的应用，考查计算能力．6.答案：B解析：根据二次函数的性质判断：函数g(x)=x2−4x+9在[−2,0]上单调递减，求解即可．本题考查了二次函数的性质，闭区间上的最值，属于容易题，难度不大．解：∵函数g(x)=x2−4x+9的对称轴为x=2且开口向上，∴函数g(x)=x2−4x+9在[−2,0]上单调递减，∵最小值为g(0)=9，故选：B．7.答案：B解析：解：函数y =x 33x −3−x ，在x =0时，没有意义，排除A ； f(−x)=−x 33−x −3x =x 33x −3−x =f(x)，函数是偶函数，排除D ； x =3时，y =2727−127>1，可得函数的图象的最大值大于1，排除选项C ，故选：B ．利用函数的定义域与函数的特殊点的位置，函数的奇偶性判断选项即可．本题考查函数的图象的判断，函数的定义域，奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图象的常用方法．8.答案：A解析：本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，是中档题．可知当平面ABP 与平面ABC 垂直时，四面体ABCD 体积最大，求出P 到底面ABC 的距离，设外接球半径为R ，再由勾股定理列式求得R ，则答案可求．解：当平面ABP 与平面ABC 垂直时，四面体ABCP 的体积最大，由AC =BC =√2，AB =2，得∠ACB =90°．设点P 到平面ABC 的距离为h ，则13×12×√2×√2×ℎ=23，解得ℎ=2．设四面体ABCP 外接球的半径为R ，则R 2=(2−R)2+12，解得R =54．所以球O 的表面积为4π ×(54)2=254π ．故选A ．9.答案：A解析：解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：S =0，n =1第一次循环：S=0+1，n=2，第二次循环：S=1+13，n=3，第三次循环：S=1+13+15，n=4，…依此类推，第9次循环：S=1+13+15+⋯+119，n=11，此时，由题意，应该满足条件，退出循环其中判断框内应填入的条件是：n>10？．故选：A．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值，模拟程序的运行，结合题意即可得解判断框内应填入的条件．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误，本题属于基础题．10.答案：B解析：由几何体的三视图知，该几何体上面是一个半球，球的半径为1，下面是一个倒放的四棱锥，其底面是边长为√2的正方形，高为1.故该几何体的体积为12×43π+13×(√2)2×1=23(π+1)．11.答案：D解析：本题考查椭圆的离心率，属于基础题．解：由题意，a2=16，b2=8∴c2=a2−b2=16−8=8，∴e=ca =2√24=√22．故答案为：D．12.答案：B解析：本题考查的是方程的根的存在性以及根的个数判断，考查转化的思想、数形结合的思想方法，属中档题．结合方程f 2(x)+f(x)+m =0有三个不同的实数根，将问题转化为函数图象交点的个数判断问题，结合函数f(x)的图象即可获得解答． 解：函数f(x)={2−x ,x ≤0−lnx,x >0的图象如图，若关于x 的方程f 2(x)+f(x)+m =0有三个不同实数根，令f(x)=t ， 则方程t 2+t +m =0的两根一个大于等于1而另一个小于1． 再令g(t)=t 2+t +m ，则g(1)≤0，即2+m ≤0，得m ≤−2． 故选：B ．13.答案：x −y −π3=0解析：本题考查利用导数求曲线的切线方程，由导数的几何意义求出切线的斜率是解题的关键． 解：f′(x )=2cosx ，所以，而f(π3)=2×√32−√3=0，所以切点为，切线斜率为1，所以切线方程为y −0=1×(x −π3)， 即x −y −π3=0， 故答案为x −y −π3=0．14.答案：−13解析：本题主要考查了两角差的正切公式，属于基础题.根据解答即可．解：，解得．故答案为−1．315.答案：√53解析：解：∵向量a⃗=(−2,1),b⃗ =(1,0)，∴a⃗2=5，b⃗ 2=1，a⃗⋅b⃗ =−2+0=−2，∴|2a⃗−3b⃗ |=√(2a⃗−3b⃗ ) 2=√4a⃗2−12a⃗⋅b⃗ +9b⃗ 2=√53，故答案为√53．求出a⃗2，b⃗ 2，a⃗⋅b⃗ 的值，由|2a⃗−3b⃗ |=√(2a⃗−3b⃗ ) 2=√4a⃗2−12a⃗⋅b⃗ +9b⃗ 2求得结果．本题考查两个向量的数量积公式的应用，求向量的模的方法，求出a⃗2，b⃗ 2，a⃗⋅b⃗ 的值，是解题的关键．16.答案：3解析：解：连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值A1C1=√3，CC1=√3，BC=1，A1B=√3+3+1=√7，BC1=√12+(√3)2=2，△CBC1是直角三角形，根据边长关系可知∠CC1B=30°，△A1BC1根据边长关系可知∠A1C1B=90°，∴∠A1C1C=120°利用余弦定理：A1C2=CC12+A1C12−2A1C1⋅CC1⋅cos120°=3+3+2√3×√3×12=9，∴A1C=3．故答案为：3．本题考查图形的展开，直线距离最小，属于中档题．连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．17.答案：解：(1)当n=1时，a1=2−32=12；当n≥2，na n=2−n+22n −(2−n+12n−1)=n2n，可得a n=12n，又∵当n=1时也成立，∴a n=12n；(2)b n=12n(1+12n)(1+12n+1)，=2n+1(2n+1)(2n+1+1)=2(12n+1−12n+1+1)，∴T n=2(12+1−122+1+122+1−123+1+⋯+12n+1−12n+1+1)，=2(13−12n+1+1)=23−22n+1+1．解析：(1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(2)利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．18.答案：解：(Ⅰ)由频率分布直方图的性质得总体数据落在[2,10)内的频率为：(0.02+0.08)×4=0.4，∴总体数据落在[2,10)内的概率为0.4．(Ⅱ)以区间的中点值作为同一组样本数据的代表，总体数据的平均数为：4×0.02×4+8×0.08×4+12×0.09×4+16×0.03×4+20×0.03×4=11.52．解析：(Ⅰ)由频率分布直方图的性质能求出总体数据落在[2,10)内的概率．(Ⅱ)以区间的中点值作为同一组样本数据的代表，能求出总体数据的平均数．本题考查概率、平均数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19.答案：证明：(1)在等边△PAC中，H为AC中点，∴PH⊥AC，∵PH⊥BC，且AC∩BC=C，AC,BC⊂面ABC∴PH⊥面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴PH⊥AB，∵AB⊥AC，PH∩AC=H，PH,AC⊂面PAC，∴AB⊥面PAC，PA⊂面PAC，∴PA⊥AB．解：(2)在Rt△ABC中，BC2=AB2+AC2=8，∴BC=2√2，同理PB=2√2，故在△PBC中，PC边上的高ℎ1=√(2√2)2−1=√7，设点A到平面PBC的距离为h，V P−ABC=V A−PBC，∴13×PH×12×AB×AC=13×ℎ×12×PC×ℎ1，∴ℎ=PH×AB×ACPC×ℎ1=√3×2×22×√7=2√217，∴点A到平面PBC的距离为2√217．解析：本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．(1)推导出PH⊥AC，PH⊥BC，从而PH⊥面ABC，进而PH⊥AB，AB⊥AC，由此能证明AB⊥面PAC，从而PA⊥AB．(2)PC边上的高ℎ1=√(2√2)2−1=√7，设点A到平面PBC的距离为h，V P−ABC=V A−PBC，由此能求出点A到平面PBC的距离．20.答案：(1)解：设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)，∵抛物线过点(3,√6)，∴6=2p ×3，∴p =1， ∴抛物线的标准方程为y 2=2x ； (2)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 直线y =x −2代入y 2=2x ， 整理可得x 2−6x +4=0， Δ=36−4×4=20>0， ∴x 1+x 2=6，x 1x 2=4，∴k OA ·k OB =y 1y 2x 1x 2=(x 1−2)(x 2−2)x 1x 2=x 1x 2−2(x 1+x 2)+4x 1x 2=−1．解析：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．(1)设出抛物线标准方程，代入点的坐标，可求抛物线的方程；(2)将直线方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系，结合斜率公式，可得结论．21.答案：解：(1)f′(x)=1x −a x =x−a x (x >0)．①当a ≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增．②当a >0时，若x >a ，则f′(x)>0，函数f(x)在(a,+∞)上单调递增； 若0<x <a ，则f′(x)<0，函数f(x)在(0,a)上单调递减． 综上所述，当a ≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a >0时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增． (2)证明：由(1)知，当a >0时，f(x)min =f(a)=ln a +1． 要证f(x)≥2a−1a，只需证ln a +1≥2a−1a．即证ln a +1a −1≥0．令函数g(a)=ln a +1a −1(a >0)，则g′(a)=1a −1a 2=a−1a 2，当0<a <1时，g′(a)<0；当a >1时，g′(a)>0， 所以g(a)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以g(a)min=g(1)=0．所以ln a+1a−1≥0恒成立，所以f(x)≥2a−1a成立．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)求出函数f(x)的最小值，令g(a)=ln a+1a −1(a>0)，则g′(a)=1a−1a2=a−1a2，根据函数的单调性证明即可．22.答案：解：⑴C的普通方程(x−3)2+(y−2√3)2=4，∴x2+y2−6x−4√3y+17=0，C的极坐标方程ρ2−6ρcosθ−4√3ρsinθ+17=0，⑴由已知得l的极坐标方程为θ=π3，代入，得A(ρ1,π3),B(ρ2,π3),则ρ1+ρ2=9，∵D是AB中点，，∴D的直角坐标为(94,9√3 4).解析：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程和曲线的参数方程，属于一般题．(1)利用极坐标方程的定义即可．(2)代入直线l的极坐标方程，解出p，即可．23.答案：解：(1)f(x)=|x|+|x−3|，当x≥3时，f(x)=x+x−3=2x−3，由f(x)<7解得3≤x<5；当0<x<3时，f(x)=x+3−x=3，f(x)<7显然成立，可得0<x<3；当x≤0时，f(x)=−x+3−x=3−2x，由f(x)<7解得−2<x≤0，综上可得，f(x)<7的解集为(−2,5)；(2)证明：由作出y=f(x)的图象，显然直线y=k(x+4)恒过定点A(−4,0)，当直线经过点B(0,3)时，3=4k，，此时构成三角形；解得k=34当直线y=k(x+4)与直线y=2x−3平行，可得k=2，<k<2时，直线y=k(x+4)与函数f(x)的图象可以围成一个四边形．可得当34解析：本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查直线恒过定点和运动变化思想、数形结合思想，考查运算能力，属于中档题．(1)讨论x的范围，去绝对值，化简f(x)，再解不等式f(x)<7，求并集可得所求解集；(2)作出f(x)的图象，考虑直线y=k(x+4)经过点(0,3)和平行于直线y=2x−3，求得k，结合图象即可得到所求结论．。

山西省高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={（x，y）|y=x2}，B={（x，y）|2x﹣y﹣1=0}，则A∩B=（）A．x=1，y=1 B．（1，1）C．{1，1} D．{（1，1）}2．“”是“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．若直线l：xsinθ+2ycosθ=1与圆C：x2+y2=1相切，则直线l的方程为（）A．x=1 B．x=±1 C．y=1 D．y=±14．已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣145．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．6．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=，若该四棱锥的所有项点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．65πD．7．某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票，小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票2张，五元餐票1张，若他从口袋中随意摸出2张，则其面值之和不少于四元的概率为（）A．B．C．D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．44 B．32 C．10+6D．22+69．已知函数f（x）=若函数f（x）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．a≤﹣B．a＜C．﹣≤a＜D．a＞10．点O为△ABC内一点，且满足，设△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2，则=（）A．B．C．D．11．执行如图所示的程序框图（其中[x]表示不超过实数x的最大整数），则运行后输出的结果是（）A．31 B．33 C．35 D．3712．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，b=4，则△ABC的面积的最大值为（）A．4B．2C．2 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．是复数z的共轭复数，若z•=4，则|z|= ．14．已知函数f（x）=x3+ax2+3x在定义域上是增函数，则实数a的取值范围为．15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）在区间[0，]上的最小值为．16．F为抛物线y2=12x的焦点，过F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，过A作AH垂直抛物线的准线于H，若直线l的倾角α∈（0，]，则△AFH面积的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}为等差数列，且，3，a4，a10成等比数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）求数列{}的前n项和S n．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，M为CC1的中点，∠ABC=90°，AC=A1A，∠A1AC=60°，AB=BC=2．（Ⅰ）求证：BA1=BM；（Ⅱ）求三棱锥C1﹣A1B1M的体积．19．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100经计算，样本的平均值μ=65，标准差σ=2.2，以频率值作为概率的估计值．（Ⅰ）为证判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相就事件睥概率）：①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826，②P（μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）≥0.9544，③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974，评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判定设备M的性能等级．（Ⅱ）将直径小于等于μ﹣2σ或直径不大于μ+2σ的零件认为是次品，从样本所含次品中任取2件，则它们的直径之差不超过1mm的概率是多少？20．已知F1，F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2．（Ⅰ）求△ABF2的周长；（Ⅱ）若AF2⊥BF2，求△ABF2的面积．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax+a﹣2，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=xf（x）+2，求证：当a＜ln时，g（x）＞2a．选做题：请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图⊙O是Rt△ABC的外接圆，E、F是AB，BC上的点，且A，E，F，C四点共圆，延长BC 至D，使得AC•BF=AD•BE．（1）证明：DA是⊙O的切线；（2）若AF•AB=1：，试求过点A、E、F、C的圆的面积与⊙O的面积之比．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为p2=，以极点O为直角坐标原点、极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，P是曲线C上一点，求△ABP面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x﹣a|（1）当a=5时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）设不等式f（x）≥3的解集为A，若5∈A，6∉A，求整数a的值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={（x，y）|y=x2}，B={（x，y）|2x﹣y﹣1=0}，则A∩B=（）A．x=1，y=1 B．（1，1）C．{1，1} D．{（1，1）}【考点】交集及其运算．【分析】联立A与B中两方程组成方程组，求出方程组的解即可确定出两集合的交集．【解答】解：联立得：，消去y得：2x﹣1=x2，即（x﹣1）2=0，解得：x=1，y=1，则A∩B={（1，1）}，故选：D．2．“”是“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；三角函数的周期性及其求法．【分析】先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【解答】解：若“”则“”一定成立若“”，则α=2kπ±，k∈Z，即不一定成立故“”是“”的充分不必要条件故选B3．若直线l：xsinθ+2ycosθ=1与圆C：x2+y2=1相切，则直线l的方程为（）A．x=1 B．x=±1 C．y=1 D．y=±1【考点】圆的切线方程．【分析】由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，让d等于半径1，得到cosθ=0，sinθ=±1，即可求出直线l的方程．【解答】解：根据圆C：x2+y2=1，得到圆心坐标C（0，0），半径r=1，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d==r=1，解得：cosθ=0，sinθ=±1则直线l的方程为x=±1．故选：B．4．已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣14【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点B时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即B（3，﹣3）此时z=3+2×（﹣3）=3﹣6=﹣3．故选：A．5．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值．【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，），则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，故选：A．6．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=，若该四棱锥的所有项点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．65πD．【考点】球的体积和表面积．【分析】连结AC、BD，交于点E，则E是AC中点，取PC中点O，连结OE，推导出O是该四棱锥的外接的球心，球半径R=，由此能求出该球的表面积．【解答】解：四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=，连结AC、BD，交于点E，则E是AC中点，取PC中点O，连结OE，则OE∥PA，∴OE⊥平面ABCD，∴O到该四棱锥的所有顶点的距离相等，都为，∴O是该四棱锥的外接的球心，该球半径R====，∴该球的表面积为S=4=．故选：B．7．某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票，小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票2张，五元餐票1张，若他从口袋中随意摸出2张，则其面值之和不少于四元的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】他从口袋中随意摸出2张，求出基本事件总数，再求出其面值之和不少于四元包含的基本事件个数，由此能求出其面值之和不少于四元的概率．【解答】解：小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票2张，五元餐票1张，若他从口袋中随意摸出2张，基本事件总数n==10，其面值之和不少于四元包含的基本事件个数m==5，∴其面值之和不少于四元的概率p==．故选：C．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．44 B．32 C．10+6D．22+6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为矩形四棱锥，结合图中数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为矩形四棱锥；且矩形的长为6，宽为2，四棱锥的高为4，如图所示：所以该四棱锥的表面积为S=S矩形ABCD+2S△PAB +2S△PBC=6×2+2××6×+2××2×=22+6．故选：D．9．已知函数f（x）=若函数f（x）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．a≤﹣B．a＜C．﹣≤a＜D．a＞【考点】分段函数的应用；函数的值域．【分析】根据分段函数的表达式先求出当x＜﹣1时的取值范围，然后根据函数f（x）的值域为R，确定当x≥﹣1时，函数f（x）的取值范围即可．【解答】解：当x＜﹣1时，则﹣x﹣1＞0，此时f（x）=2e﹣x﹣1＞2，若2a﹣1=0，则a=，此时当x≥﹣1时，f（x）=﹣1，此时函数f（x）的值域不是R，不满足条件．若2a﹣1＞0，即a＞时，函数f（x）=（2a﹣1）x﹣2a，x≥﹣1为增函数，此时f（x）≥﹣（2a﹣1）﹣2a=1﹣4a，此时函数的值域不是R，若2a﹣1＜0，即a＜时，函数f（x）=（2a﹣1）x﹣2a，x≥﹣1为减函数，此时f（x）≤﹣（2a﹣1）﹣2a=1﹣4a，若函数的值域是R，则1﹣4a≥2，即4a≤﹣1，即a≤﹣，故选：A．10．点O为△ABC内一点，且满足，设△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2，则=（）A．B．C．D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】延长OC 到D ，使OD=4OC ，延长CO 交AB 与E ，由已知得O 为△DABC 重心，E 为AB 中点，推导出S △AEC =S △BEC ，S △BOE =2S △BOC ，由此能求出结果． 【解答】解：延长OC 到D ，使OD=4OC ， 延长CO 交AB 与E ， ∵O 为△ABC 内一点，且满足，∴=，∴O 为△DABC 重心，E 为AB 中点，∴OD ：OE=2：1，∴OC ：OE=1：2，∴CE ：OE=3：2， ∴S △AEC =S △BEC ，S △BOE =2S △BOC ，∵△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1、S 2， ∴=．故选：B ．11．执行如图所示的程序框图（其中[x]表示不超过实数x 的最大整数），则运行后输出的结果是（ ）A．31 B．33 C．35 D．37【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出终止循环时输出的i值是什么．【解答】解：模拟程序框图运行，如下；S=0，i=1，S≤30成立，S是整数，S=；i=3，S≤30成立，S不是整数，S=[]=0，S=；i=5，S≤30成立，S不是整数，S=[]=1，S=3；i=7，S≤30成立，S是整数，S=5；i=9，S≤30成立，S是整数，S=7；…i=31，S≤30成立，S是整数，S=29；i=33，S≤30成立，S是整数，S=31；i=35，S≤30不成立，终止循环，输出i=35．故选：C．12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，b=4，则△ABC的面积的最大值为（）A．4B．2C．2 D．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】由已知式子和正弦定理可得B=，再由余弦定理可得ac≤16，由三角形的面积公式可得．【解答】解：∵在△ABC中=，∴（2a﹣c）cosB=bcosC，∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，约掉sinA可得cosB=，即B=，由余弦定理可得16=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，∴ac≤16，当且仅当a=c时取等号，∴△ABC的面积S=acsinB=ac≤4故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．是复数z的共轭复数，若z•=4，则|z|= 2 ．【考点】复数求模．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），可得=a﹣bi，|z|=||，利用z•=|z|2，即可得出．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），∴=a﹣bi，|z|=||，∵z•=4，∴|z|2=4，则|z|=2．故答案为：2．14．已知函数f（x）=x3+ax2+3x在定义域上是增函数，则实数a的取值范围为[﹣3，3] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，通过导函数大于0，解不等式即可．【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+3x在定义域上是增函数，∴f′（x）=3x2+2ax+3≥0在R上恒成立，∴△=4a2﹣36≥0，解得：﹣3≤a≤3，故答案为：[﹣3，3]．15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）在区间[0，]上的最小值为﹣1 ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间[0，]上的最小值．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A=2，=﹣，求得ω=2．再根据图象经过点（，0），可得2•+φ=kπ，k∈Z，求得φ=﹣，故函数f（x）=2sin（2x﹣）．∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，故函数f（x）的最小值为2×（﹣）=﹣1，故答案为：﹣1．16．F为抛物线y2=12x的焦点，过F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，过A作AH垂直抛物线的准线于H，若直线l的倾角α∈（0，]，则△AFH面积的最小值为36．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A点坐标（x，y）（y＞0），直线l的倾角α∈（0，]，则x≥9，△AFH面积S=×（x+3）y，利用导数确定函数的单调性，即可求出△AFH面积的最小值．【解答】解：设A点坐标（x，y）（y＞0），直线l的倾角α∈（0，]，则x≥9△AFH面积S=×（x+3）y，t=S2=（x+3）2×12x=3x（x+3）2，t′=3（x+3）2+6x（x+3）=3（x+3）（3x+3）＞0，函数单调递增．∴x=9时，S最小，S2=3×9×122，S=36．故答案为：36．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}为等差数列，且，3，a4，a10成等比数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）求数列{}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）由，3，a4，a10成等比数列．可得公比为2．再利用等比数列与等差数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵，3，a4，a10成等比数列．∴公比为=2．∴a4=×22=6，a10==12．设等差数列{a n}的公差为d，则，解得，于是a n=3+（n﹣1）=n+2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：==，于是S n=++…+=﹣=．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，M为CC1的中点，∠ABC=90°，AC=A1A，∠A1AC=60°，AB=BC=2．（Ⅰ）求证：BA1=BM；（Ⅱ）求三棱锥C1﹣A1B1M的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）取AC的中点D，连接BD，DM，AC1，A1D，A1C，由题意可得△ABC是等腰直角三角形，四边形ACC1A1是菱形，利用菱形和等边三角形的性质可得A1D=DM，由面面垂直的性质可得BD⊥A1D，BD⊥DM，于是△A1DB≌Rt△MDB，于是BA1=BM；（II）根据等腰直角三角形的性质计算BD，以△A1C1M为棱锥的底面，则棱锥的高与BD相等．代入棱锥的体积公式计算．【解答】（Ⅰ）证明：取AC的中点D，连接BD，DM，AC1，A1D，A1C．∵AB=BC，∴BD⊥AC．∵侧面A1ACC1⊥底面ABC，A1ACC1∩平面ABC=AC，BD⊂平面ABC，∴BD⊥平面A1ACC1，∵A1D⊂平面A1ACC1，DM⊂A1ACC1，∴BD⊥A1D，BD⊥DM．∵D，M是AC，CC1的中点，∴DM=，∵AC=AA1，∠A1AC=60°，∴四边形AA1C1C是菱形，△A1AC为等边三角形，∴A1D==DM，∴Rt△A1DB≌Rt△MDB．∴BA1=BM．（Ⅱ）解：∵AB=BC=2，∠ABC=90°，∴AC=2，∴BD=AD=AC=．∴A1D==．MC1==．S==．∵BB1∥平面AA1C1C，∴点B1到平面AA1C1C的距离h=BD=，∴V=V===．19．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100经计算，样本的平均值μ=65，标准差σ=2.2，以频率值作为概率的估计值．（Ⅰ）为证判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相就事件睥概率）：①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826，②P（μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）≥0.9544，③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974，评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判定设备M的性能等级．（Ⅱ）将直径小于等于μ﹣2σ或直径不大于μ+2σ的零件认为是次品，从样本所含次品中任取2件，则它们的直径之差不超过1mm的概率是多少？【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）利用条件，可得设备M的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；（Ⅱ）确定基本事件，即可求出径之差不超过1mm的概率．【解答】解：（Ⅰ）P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=P（62.8＜X≤67.2）=0.8≥0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=P（60.6＜X≤69.4）=0.94≥0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=P（58.4＜X≤71.6）=0.98≥0.9974，因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；…（Ⅱ）易知样本中次品共6件，将直径为58，59，70，71，71，73的次品依次记为A，B，C，D，E，F从中任取2件，共有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF15种可能，而直径不超过1mm的取法共有AB，CD，CE，4种可能，由古典概型可知P=．…20．已知F1，F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2．（Ⅰ）求△ABF2的周长；（Ⅱ）若AF2⊥BF2，求△ABF2的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由椭圆定义得△ABF2的周长为4a，由此能求出结果．（II）设直线l的方程为x=my﹣1，与椭圆联立，得（m2+2）y2﹣2my﹣1=0．由此利用韦达定理、向量垂直的性质、弦长公式，能求出△ABF2的面积．【解答】解：（I）∵F1，F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2．∴△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．…（II）设直线l的方程为x=my﹣1，由，得（m2+2）y2﹣2my﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣，…∵AF2⊥BF2，∴=0，∴=（x1﹣1）（x2﹣1）=（my1﹣2）（my2﹣2）+y1y2=（m2+1）y1y2﹣2m（y1+y2）+4===0∴m2=7．…∴△ABF2的面积S=×|F1F2|×=．…21．已知函数f（x）=lnx﹣ax+a﹣2，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=xf（x）+2，求证：当a＜ln时，g（x）＞2a．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，然后分类讨论，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）；（Ⅱ）求出g（x）的导函数g′（x）=﹣ax+lnx+a﹣1 （x＞0），当时，g′（x）在（0，+∞）上单调递增，故而g′（x）在（1，2）存在唯一的零点x0，即g′（x0）=0，则当0＜x＜x0时，g（x）单调递减，当x＞x0时，g（x）单调递增，从而可证得结论．【解答】（Ⅰ）解：由函数f（x）=lnx﹣ax+a﹣2，a∈R．得，（x＞0）．若a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；若a＞0，时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，若时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，综上，若a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），若a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）；（Ⅱ）证明：g（x）=xf（x）+2=，（x＞0）．则g′（x）=﹣ax+lnx+a﹣1 （x＞0）．当时，g′（x）=﹣ax+lnx+a﹣1在（0，+∞）上单调递增，又g′（1）=﹣1＜0，，∴g′（2）=﹣a+ln2﹣1＞0，故而g′（x）在（1，2）存在唯一的零点x0，即g′（x0）=0．则当0＜x＜x0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞x0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；故而（a﹣2）x0+2．又g′（x0）=﹣ax0+lnx0+a﹣1=0，1＜x0＜2，∴．选做题：请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图⊙O是Rt△ABC的外接圆，E、F是AB，BC上的点，且A，E，F，C四点共圆，延长BC 至D，使得AC•BF=AD•BE．（1）证明：DA是⊙O的切线；（2）若AF•AB=1：，试求过点A、E、F、C的圆的面积与⊙O的面积之比．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）证明：∠ACD=∠BEF，∠DAC=∠FBE，进而证明∠DAB=90°，即可证明DA是⊙O的切线；（2）由（1）知AF为过A，E，F，C四点的圆的直径，利用AF：AB=1：，即可求过点A、E、F、C的圆的面积与⊙O的面积之比．【解答】（1）证明：由题意知∠ACD=90°，∵A，E，F，C四点共圆，∴∠BEF=90°，即∠ACD=∠BEF．又∵AC•BF=AD•BE，∴△ADC∽△BFE．∴∠DAC=∠FBE．∵∠FBE+∠BAC=90°，∴∠DAC+∠BAC=90°，即∠DAB=90°，∴DA是⊙O的切线．…（2）解：由（1）知AF为过A，E，F，C四点的圆的直径，∵AF：AB=1：．∴AF2：AB2=1：2．即过点A，E，F，C的圆的面积与⊙O的面积之比为1：2．…[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为p2=，以极点O为直角坐标原点、极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，P是曲线C上一点，求△ABP面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）先求出直线AB的方程，设P（4cosθ，3sinθ），求出P到直线AB的距离，由此能求出△ABP面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ2=，∴9ρ2+7ρ2sin2θ=144，由ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，可得曲线C的直角坐标方程为9x2+9y2+7y2=144．即曲线C的直角坐标方程为．…（Ⅱ）∵曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，∴A（4，0），B（0，3），∴直线AB的方程为3x+4y﹣12=0，设P（4cosθ，3sinθ），则P到直线AB的距离为：d==，当θ=时，d max=，∴△ABP面积的最大值为×|AB|×=6（+1）．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x﹣a|（1）当a=5时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）设不等式f（x）≥3的解集为A，若5∈A，6∉A，求整数a的值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=5时，不等式即|x﹣1|﹣|2x﹣5|≥0，移项平方，可得它的解集．（2）根据条件可得，由此求得a的范围，从而求得a的值．【解答】解：（1）当a=5时，不等式f（x）≥0可化为：|x﹣1|﹣|2x﹣5|≥0，等价于（x﹣1）2≥（2x﹣5）2，解得2≤x≤4，∴不等式f（x）≥0的解集为[2，4]．（2）据题意，由不等式f（x）≥3的解集为A，若5∈A，6∉A，可得：，解得，∴9≤a＜10．又∵a∈Z，∴a=9．。

2020届山西省运城市高中联合体高三模拟（四）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}23A xx =<∣，{}23B x x x =<∣则A B =（ ）A ．(B ．C ．(D ．(0,3)【答案】B【解析】首先解不等式确定集合,A B ，再由交集定义计算． 【详解】因为{}{}223(3(0,3)A xx B x x x =<==<=∣∣，所以A B ⋂=， 故选：B . 【点睛】本题考查集合的交集运算，确定集合中的元素是解题关键． 2．已知ABC 中，3,5,7AB BC CA ===，则sin B =（ ）A ．12-B ．C ．12D 【答案】D【解析】根据余弦定理求出cos B ，即可得出sin B . 【详解】因为3AB =，5BC =，7CA =，由余弦定理可得：2223571cos 2352B +-==-⨯⨯，所以sin 2B =； 故选：D. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理即可，属于基础题型.3．若(,,)1a ix yi a x y R i-=+∈+，则xy 的最大值为（ ） A ．1- B ．14- C ．14D ．1【答案】C【解析】先对复数1a i i-+化简得11122a i a a i i --+=-+，再由已知可得11,22a a x y -+==-，从而可求出xy 的值，进而求出其最大值.【详解】解：因为()(1)111222a i a i i a a i i ----+==-+，(,,)1a ix yi a x y R i -=+∈+ 所以11,22a a x y -+==-， 所以21144a xy -=， 故选：C. 【点睛】此题考查复数的运算，考查相等的复数，属于基础题.4．已知下图为2020年1月10日到2月21日我国新型冠状肺炎累计确诊人数及现有疑似人数趋势图，则下面结论不正确的是（ ）A ．截至2020年2月21日，我国新型冠状肺炎累计确诊人数已经超过70000人B ．从1月28日到2月3日，现有疑似人数超过累计确诊人数C ．从2020年1月22日到2月21日一个月的时间内，新型冠状肺炎累计确诊人数上升幅度一直在增加D ．2月21日与2月9日相比较，现有疑似人数减少超过50% 【答案】C【解析】根据统计图表所给定信息判断各选项． 【详解】由图表易知A ，B 正确，从2020年1月22日到2月21日，新型冠状肺炎累计确诊人数上升幅度最大的在2月9日到2月15日之间，C 错，2月9日现有疑似人数超过20000人，2月21日现有疑似人数不足10000人，人数减少超过50%，D 正确，故选：C 【点睛】本题考查统计图表的认识，考查学生的数据处理能力，阅读理解能力，识图能力，属于基础题．5．当m 变化时，对于双曲线22:1(0)2x yC m m m-=>，值不变的是（ ）A ．实轴长B ．虚轴长C ．焦距D ．离心率【答案】D【解析】根据双曲线方程求出,,a b c ，再计算离心率可得． 【详解】由题意可得2222,,3,2c a m b m c m e a ======， 故选：D . 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的离心率，实轴、虚轴、焦距等几何性质，属于基础题．6．已知实数x ，y 满足||2|1|2x y +-=，则3x y -的最小值为（ ） A ．0 B ．1- C ．6- D ．9-【答案】C【解析】由||2|1|2x y +-=可知其表示的可行域是以(2,1),(0,0),(2,1),(0,2)A O C D -为顶点的四边形，由目标函数得133zy x =-，可得其截距最大时，目标函数的值最小，平移直线13y x =可得结果.【详解】满足约束条件的可行域是以(2,1),(0,0),(2,1),(0,2)A O C D -为顶点的四边形， 设3z x y =-，则133z y x =-，作出直线13y x =，向上平移，当该直线经过点D 时min 6z =-， 所以3x y -的最小值为6-，故选：C. 【点睛】此题考查简单的线性规划，考查了数形结合的数学思想，属于基础题.7．函数2||()22x xx x f x -+=+的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】研究函数的奇偶性，排除A ，探究当x →+∞时，函数值的变化趋势，又排除一些选项，从而确定正确选项． 【详解】函数的定义域为R ，因为2||()()22x xx x f x f x -+-==+，所以()f x 是偶函数，排除选项A ；当x →+∞时，考虑到2||y x x =+和22xxy -=+的变化速度，知x →+∞时，()0f x →，故排除选项C ，D .所以选项B 正确.．故选：B ． 【点睛】本题考查由函数解析式先把函数图象，解题时可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性、对称性排除一些选项，再研究函数的特殊值，与坐标轴的交点坐标，函数值的正负，函数值的变化趋势等排除选项，从而得出正确结论．8．已知长方体1111ABCD A B C D -的顶点,,,A B C D 在球O 的表面上，顶点1111,,,A B C D ，在过球心O 的一个平面上，若11,3,4AB AD AA ===，则球O 的表面积为（ ） A ．26π B ．29πC ．53πD ．74π【答案】D【解析】把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为1，3，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体外接球的直径等于体对角线的长，求出直径，即可得出球的表面积. 【详解】把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为1，3，8的长方体， 则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体的结构特征可得，其外接球直径等于体对角线的长， 所以球O的半径满足2R == 所以球O 的表面积2474S R ππ==. 故选：D. 【点睛】本题主要考查几何体外接球的表面积，熟记长方体结构特征，以及球的表面积公式，属于常考题型.9．关于圆周率π，我国古代祖冲之曾用227作为约率，355113作为密率，其中约率与密率提出了用有理数最佳逼近实数的问题，如3553.1415929113≈，惊人精密地接近于圆周率，准确到6位小数，约率与密率可通过用连分数近似表示的方法得到，如：111223. 14159265333170.0625160770.14159265=+≈+≈+=+，舍去0.0625160，得逼近π的一个有理数为122377+=，类似的，我们可以得111212122≈+++，如图是121212122+++的程序框图，图中①②可以分别填入（ ）A．13?;2k AA≤=+B．14?;2k AA≤=+ C．13?;2k AA≤=+D．14?;2k AA≤=+【答案】A【解析】写出每次循环的运行结果即可求解.【详解】第一次执行循环：1,2122A k==+；第二次执行循环：1,312122A k==++；第三次执行循1:,41212122A k==+++，不满足条件，结束循环，故选：A.【点睛】本题考查了循环结果的程序框图，考查了基本运算，属于基础题. 10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．5252241π⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭B ．12522452π⎛⎫+++- ⎪⎝⎭C ．25224(51)π+++-D ．(51)25224π-+++【答案】D【解析】由几何体的三视图可知，如图，原几何体为一个四棱锥P ABCD -，挖去半个圆锥，其表面积为四棱锥的的三个侧面加上圆锥的半个侧面，再加上四棱锥的底面面积减去半个圆的面积即可. 【详解】解：可将由三视图还原的几何体放到正方体模型中来观察，容易看出原几何体为一个四棱锥P ABCD -，挖去半个圆锥，点P 为正方体的一条棱的中点，平面AB CD -恰为正方体的底面，平面PCD ⊥平面ABCD ，圆锥底面直径为CD ，P 为顶点，母线22215l =+=，且为前后两个侧面三角形的高，故其表面积21111(51)25222241152522422222S πππ-=⨯⨯⨯+⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯⨯=+++， 故选：D.【点睛】此题考查的是由几何体的三视图求几何体的表面积，解题的关键是由三视图还原几何体，属于中档题.11．已知椭圆22:1(0)2x y E a a a +=>+的离心率为22，若面积为4的矩形ABCD 的四个顶点都在椭圆E 上，点O 为坐标原点，则2||OA =（ ）A 21± B ．3 C ．132±D ．23±【答案】D【解析】由离心率的值先求出椭圆方程，然后设出点A 的坐标(2cos )0,2A πθθθ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由椭圆的对称性和题意可得2cos 1θθ=，从而可求出sin 2θ=求出2||OA 的值. 【详解】解：由椭圆E 2=， 所以椭圆E 的方程为22142x y +=，不失一般性，设(2cos )0,2A πθθθ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由椭圆与矩形的对称性可得该矩形的面积2cos 1S θθ==，所以sin 22θ=，即24πθ=或34π，可得cos 22θ=±，所以2222||4cos 2sin 2cos 2cos 2332OA θθθθ=+=+=+=±， 故选：D. 【点睛】此题考查椭圆的离心率和椭圆的简单的几何性质，考查转化能力和计算能力，属于中档题.12．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()()202 x x f x m m=>+的图象关于点10,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，且方程()2020f x n +=⎡⎤⎣⎦有实根，则mn 的取值集合为（ ） A ．(]2019,2020 B ．()2019,2021C ．[]2020,2021D ．[]2019,2021【答案】B【解析】由函数的对称性可得()()1f x f x +-=，令0x =，可得1m =，可得()01f x <<，即可得到20192021n <<，从而求出mn 的取值范围；【详解】解：由()f x 的图象关于点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，得()()1f x f x +-=，取0x =，得()22011f m ==+，所以1m =，所以()2112121x x xf x -==+++，所以211x +>，所以11021x--<<+，所以()01f x <<，所以()1n f x n n <+<+，由[]2020x =，20202021x ∴≤<，可得(),1n n +⋂[)2020,2021≠∅，所以20192021n <<时，方程()2020f x n +=⎡⎤⎣⎦有实根，所以mn 的取值范围是()2019,2021， 故选：B . 【点睛】本题考查函数的值域、函数的对称性的应用，属于中档题.二、填空题13．函数()cos f x x x =的图象在2x π=处的切线方程为___________. 【答案】0x y -=【解析】求出导函数()f x '，计算出切线斜率(2)f π'，同时计算出函数值(2)f π，然后可得切线方程． 【详解】由()cos f x x x =得()cos sin f x x x x '=-，所以(2)2,(2)1f f πππ'==，所以()f x 的图象在2x π=处的切线方程为22y x ππ-=-，即0x y -=. 故答案为：0x y -=． 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题，函数()y f x =图象在点00(,())x f x 处的切线方程是000()()()y f x f x x x '-=-． 14．tan θ，tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭是方程230x ax +-=的两个根，则a =___________. 【答案】4-【解析】根据根与系数关系，得到tan tan 4a πθθ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，tan tan 34πθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再由两角和的正切公式，即可计算出结果. 【详解】 因为tan θ，tan 4πθ⎛⎫-⎪⎝⎭是方程230x ax +-=的两个根， 所以tan tan 4a πθθ⎛⎫+-=-⎪⎝⎭，tan tan 34πθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以tan tan 4tan tan 14441tan tan4a πθθππθθπθθ⎛⎫+- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+-==-= ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦-- ⎪⎝⎭， 所以4a =-. 故答案为：4-. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换的应用，熟记两角和的正切公式即可，属于常考题型. 15．已知向量a ，b 满足||3,||2a b ==，且34,55||||a b a b ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则||a b -=___________.【解析】由已知等式34,55||||a b a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭平方后求出a b ⋅，然后再计算2()a b a b -=-可得．【详解】因为34||3,||2,,55||||a b a b a b ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，两边平方得2222163a a b b a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪-+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3a b ⋅=，22296a b a a b b -=-⋅+=-=. 【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是把模转化为数量积的运算．16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，点E 为BD 中点，点F 为棱BC 上的动点，点G 为棱1BB 上的动点，点H 在对角线1AB 上，13AH HB =，则EF FG GH ++的最小值为___________.【答案】34【解析】画出该正方体展开后的平面图形，由图像即可确定最小值，再由题中数据计算，即可得出结果. 【详解】如图，由展开后的平面图形可得EF FG GH ++最小值为图中的EH ， 因为正方体棱长为4，所以22223534EH PE PH =+=+=.34【点睛】本题主要考查求棱柱表面上距离的最值问题，根据棱柱的结构特征即可，属于基础题型.三、解答题17．已知数列{}n a 满足215,(1)3n n a na n a +==-+，前n 项和为n S . （1）求,n n a S ； （2）设244n nn b S +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21,(2)n n a n S n n =+=+；（2）22252654(1)(2)n n n n ++-++. 【解析】（1）由1(1)3n n na n a +=-+，得到12(1)3n n n a na +++=+，两式相减求得212n n n a a a +++=，进而求得得出数列的首项和公差，进而求得其通项公式和前n 项和公式； （2）由（1）求得2224411(2)n n n b S n n +==-+，利用“裂项法”，即可求解. 【详解】（1）因为1(1)3n n na n a +=-+，所以12(1)3n n n a na +++=+， 两式相减得212n n n na na na +++=，所以212n n n a a a +++=， 所以数列{}n a 是等差数列，令1n =，可得13a =，又由25a =，所以212d a a =-= 即数列{}n a 的公差2d =，所以数列的通项公式为32(1)21n a n n =+-=+， 前n 项和1(1)(1)23(2)22n n n d n n S na n n n --⨯=+=⨯+=+. （2）由244n n n b S +=2222222244(2)11(2)(2)(2)n n n n n n n n n ++-===-+++， 所以2222222211111111132435(2)n T n n =-+-+-++-+ 2211114(1)(2)n n =+--++22252654(1)(2)n n n n ++=-++. 【点睛】本题主要考查了等差数列的判定，等差数列通项公式和前n 项和公式的求解，以及“裂项法”求和的应用，其中解答中根据数列的递推关系式求得数列的通项公式，合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18．某家电企业生产一种智能音箱，在其官网上销售，根据以往销售数据绘制出一周内销售数量的频率分布直方图如图所示.（1）估计每周销量的平均数(结果保留整数，同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；（2）用一周销量不低于100件的频率作为每周销量不低于100件的概率. ①估计未来10周内周销量不低于100件的有多少周？②现采用随机模拟的方法估计未来3周恰有2周周销量不低于100件的概率，先由计算机产生0到9之间的随机整数，用0,1,2,,k 表示周销量低于100件，1,2,,9k k ++表示周销量不低于100件，再以3个随机整数为1组表示3周周销量的结果，经随机模拟产生如下20组随机数：807 966 191 925 271 932 812 458 569 683 489 257 394 027 552 488 740 113 537 741确定k 的值，并根据以上数据估计未来3周恰有2周周销量不低于100件的概率. 【答案】（1）104；（2）①6周；②3k =，920P =. 【解析】（1）利用频率分布直方图中的每个小矩形的面积乘以该组区间的中点值相加即可求出结果；（2）①先求周销量不低于100件的概率，再求次数；②先求k 的值，从20组随机数中找到3周恰有2周周销量不低于100件的频数，即可得到结果. 【详解】（1）每周销售数量的平均数为85100.01595100.025105100.030115100.020125100.010104⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≈（2）①由频率分布直方图可知周销量不低于100频率33(0.0300.0200.010)100.6,10655p =++⨯==⨯=所以估计未来10周内周销量不低于100件的有6周. ②根据周销量不低于100件的频率为0.6，可得3k =， 这20组数据中表示3周恰有2周周销量不低于100件的有： 807，925，683，257，394，552，740，537，741共9组，所以估计所求概率920P =. 【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图估计样本的数字特征以及利用随机数法求概率.属于中档题.19．在三棱锥P ABC -中，2,22,2,BC AB PA PC AP PC ====⊥，平面PAC ⊥平面ABC ，E 是PB 的中点.（1）求证：BC PA ⊥； （2）求点B 到平面ACE 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（225. 【解析】（1）首先利用勾股定理得到AC BC ⊥，再利用面面垂直的性质得到BC ⊥平面PAC ，从而得到BC PA ⊥.（2）首先根据题意得到点P ，B 到平面ACE 的距离相等，设为d ，从而得到12B ACE P ACE B PAC V V V ---==，化简得到1ACESd ⨯=，再计算ACES即可得到答案.【详解】（1）因为2PA PC ==，AP PC ⊥，所以2222(2)(2)2AC PA PC =+=+=因为2BC =，22AB =222AB AC BC =+，即AC BC ⊥. 因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，所以BC ⊥平面PAC ，又因为PA ⊂平面PAC ，所以BC PA ⊥.（2）因为E 是PB 的中点，所以点P ，B 到平面ACE 的距离相等，设为d ， 所以12B ACE P ACE B PAC V V V ---==，即11112223232ACE S d ∆⨯⨯=⨯⨯，化简得1ACESd ⨯=由（1）可得BC PC ⊥，所以PB ==122CE PB ==. 因为222AB AP PB =+，所以PA PB⊥.所以AE ===.因为22222222cos 26AC CE AE ACE AC CE ⎛+- +-∠===⨯，所以sin ACE ∠=所以11sin 222262ACE S CE AC ACE ∆=⨯∠=⨯⨯⨯=，故15ACEd S ∆==. 即点B 到平面ACE. 【点睛】本题第一问考查面面垂直的性质，同时考查了线线垂直，第二问考查了点到面的距离，同时考查学生的计算能力，属于中档题.20．已知纵坐标分别为M ，N 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的两点，且点M ，N 到直线2px =的距离相等. （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 与抛物线C 交于点A ，B ，与抛物线C 的准线交于点D ，BO (点O 为坐标原点)的延长线与准线交于点E ，且2DA DE DE ⋅=，求证：直线AB 过定点P ，并求出定点P 的坐标.【答案】（1）28y x =；（2）证明见解析，()2,0.【解析】（1）求出,M N 的横坐标，利用它们到直线2px =的距离相等可求得p ，得抛物线方程；（2）设221212,,,88y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设直线AB 的方程为x my n =+，与28y x =联立得2880y my n --=，应用韦达定理得128y y n =-，由向量数量积得AE DE ⊥，得1(2,)E y -， 再由,,B O E 共线得一关系式12y y ，结合韦达定理中的12y y ，可求得参数n ，从而知直线AB 所过定点P 的坐标． 【详解】解：（1）因为点M ，N 在抛物线C上，且纵坐标分别为.所以点M ，N 的横坐标分别为824,22p p因为点M ，N 到直线2px =的距离相等， 所以8242222p p p +=⨯，解得4p =， 所以抛物线C 的方程为28y x =. （2）设直线AB 的方程为x my n =+，与28y x =联立得2880y my n --=，设221212,,,88y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则128y y n =-， 由2DA DE DE ⋅=得()0DA DE DE -⋅=，即0AE DE ⋅=， 所以AE DE ⊥，抛物线准线方程是2x =-，故()12,E y -，由B ，O ，E 三点共线得212228y y y =-，即816,2n n -=-=，直线AB 的方程为2x my =+ 所以直线AB 过定点()2,0，点P 的坐标为()2,0. 【点睛】本题考查求抛物线的标准方程，考查直线与抛物线相交问题与定点问题．解题方法是“设而不求”的思想方法，设交点坐标，设直线方程x my n =+，直线方程与抛物线方程联立消元应用韦达定理得12y y ，12y y +，代入由题中其他条件得一个参数值或参数间的关系，从而可通过直线方程判断所过定点．21．已知函数21()(0)xax x f x a e -+=>（1）讨论()f x 的单调性；（20(0)x >>恒成立，求证：1425()32f a e <. 【答案】（1）当102a <<时，()f x 的增区间是12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间是(,2)-∞，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 12a =时，()f x 的减区间是(,)-∞+∞，当12a >时，()f x 的增区间是1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，减区间是1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(2,)+∞；（2）证明见解析． 【解析】（1）求出导函数()f x '，求出()0f x '=的解，按两根的大小分类讨论得单调区间；（2）首先得出102a <<，不等式恒成立等价于2()10g x ax x =-+>(0)x >恒成立，由此可得a 的取值范围是1142a <<，31()a a a f a e -+=，引入新函数31()xx x h x e -+=，11()42x <<，利用导数证明它是减函数，从而14125()()432h x h e <<，从而证得结论成立． 【详解】（1）22(21)(1)(2)(1)()x x x xax e ax x e x ax f x e e---+--'==-， 由()0f x '=得2x =或1x a=， 当102a <<时，12a >，在2x <或1x a>时，()0f x '<，12x a <<时，()0f x '>，()f x 的增区间是12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间是(,2)-∞，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，12a =时，()0f x '≤，()f x 的减区间是(,)-∞+∞，无增区间， 当12a >时，在1x a <或2x >时，()0f x '<，12x a <<时，()0f x '>，()f x 的增区间是1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，减区间是1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(2,)+∞；（20(0)x >>恒成立，首先120a ->，12a <，即102a <<，不等式转化为102a <<时，2()10g x ax x =-+>(0)x >恒成立， ()g x 的对称轴是112x a =>，所以0x >时，min 11()()124g x g a a ==-， 由题意min11()()1024g x g a a ==->，14a >，所以1142a <<，此时31()aa a f a e-+=， 令31()x x x h x e -+=，11()42x <<，则3232()xx x x h x e -++-'=，令32()32u x x x x =-++-，则22()3613(1)4u x x x x '=-++=--+，当1142x <<时，211()361044u x ⎛⎫'>-+⨯+> ⎪⎝⎭，()u x 在11(,)42上递增，11317()()2028428u x u <=-++-=-<，所以()0h x '<，所以()h x 是减函数，所以114414925()()46432h x h e e <=<． 综上，1425()32f a e<．【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，用导数证明不等式，含有参数的函数在求单调区间时必须分类讨论．用导数证明不等式，实质还是转化为求函数的最值，由最值满足不等关系得出不等式成立．考查了转化与化归思想，运算求解能力，逻辑推理能力． 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点P 到直线l 的距离的最大值.【答案】（1）2213x y +=，40x y -+=； （2）【解析】（1）化简曲线C的参数方程为cos sin y ϕϕ==⎩(ϕ为参数)，平方相加，即可求得曲线C 的普通方程，根据两角差的正弦函数和极坐标的互化公式，即可求解直线l 的直角坐标方程；（2）设点,sin )P ϕϕ，求得点P 到直线l的距离为d =合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由曲线C的参数方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数)，可得cos sin y ϕϕ==⎩(ϕ为参数)，平方相加，可得2213x y +=，即曲线C 的普通方程为2213x y +=，又由直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 4ρθρθ-=， 因为cos ,sin x y ρθρθ==，可得40x y -+=， 即直线l 的直角坐标方程为40x y -+=.（2）由曲线C的参数方程，可设点,sin )P ϕϕ，则点P 到直线l的距离为d ==， 当cos()16πϕ+=时，d取得最大值，最大值为max d =.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程，以及曲线的参数方程的应用，其中解答中合理消去参数以及熟记极坐标与直角坐标的互化公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 23．已知函数()|||1|f x x a x =-+-. （1）若0a =，求不等式|2|()x f x x>的解集； （2）若2()f x a <的解集包含[0,1]，求a 的取值范围.【答案】（1）3(,0),2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；（2）⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】（1）0a =时，函数()|||1|f x x x =+-，分类讨论去掉绝对值号，即可求解；（2）由2()f x a <的解集包含[]0,1，得到2||1x a x a -+-<恒成立，在根据绝对值的定义，得到2211a x x a a x -+-<-<-+恒成立，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）当0a =时，函数()|||1|f x x x =+-，当0x <时，|2|()x f x x >等价于|||1|2x x +->-，该不等式恒成立， 当01x <≤时，|2|()x f x x>等价于12>，该不等式不成立，当1x >时，|2|()x f x x >等价于1212x x >⎧⎨->⎩，解得32x >. 所以不等式|2|()x f x x >的解集为3(,0),2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭. （2）由2()f x a <的解集包含[]0,1，即[0,1]x ∈时2()f x a <恒成立，即2||1x a x a -+-<恒成立， 即2||1x a a x -<-+恒成立，即2211a x x a a x -+-<-<-+恒成立，所以221010a a a a ⎧+->⎨-++<⎩，解得a >或a <所以a 的取值范围是11,,22⎛⎫⎛⎫-+-∞⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及含绝对值不等式的应用，其中解答中熟记绝对值不等式的解法，绝对值的定义，合理分类讨论是解答的关键，着重考查推理与运算能力.。

山西省运城市2019-2020学年高考数学四模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122 B ．112 C ．102 D ．92【答案】D 【解析】因为(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为．考点：二项式系数，二项式系数和．2．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝16，a 3a 4＝﹣32，则S 8＝（ ） A ．﹣21 B ．﹣24C ．85D ．﹣85【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的性质求得a 1q 4＝16，a 12q 5＝﹣32，通过解该方程求得它们的值，求首项和公比，根据等比数列的前n 项和公式解答即可. 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 5＝16，a 3a 4＝﹣32， ∴a 1q 4＝16，a 12q 5＝﹣32， ∴q ＝﹣2，则11a =，则881[1(2)]8512S ⨯--==-+，故选：D. 【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键，属于基础题. 3．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A ．5B ．52C ．52-D ．-5【答案】C 【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由（1+i ）z ＝|3+4i|5==， 得z ()()()5155511122i i i i i -===-++-， ∴z 的虚部为52-． 故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 4．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]e B ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-【答案】D 【解析】 【分析】将原题等价转化为方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根，先求导()'f x ，可判断()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤，再令2()ln 1F x x x ax =-++，求导得221()x ax F x x'--=-，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点1x ，使得()0F x '=在()0,e 有解，通过导数可判断当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数；则应满足()()1max 1F x F x =>，再结合211210x ax --=，构造函数()2ln 1m x x x =+-，求导即可求解；【详解】函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，等价于方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.设2()ln 1F x x x ax =-++，2121()2x ax F x x a x x'--=-+=-，若()0F x '=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在()0,e 有解，且易知只能有一个解.设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数； 当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.因为0(0,]x e ∀∈，方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，所以()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e≤-. 由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2111ln 0x x ax -+>.因为211210x ax --=，所以1112a x x =-，代入2111ln 0x x ax -+>，得211ln 10x x +->. 设()2ln 1m x x x =+-，()120m x x x'=+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数， 而()1ln1110m =+-=，由211ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.由1112a x x =-在()1,e 上是增函数，得112a e e<<-. 综上所述21a e e<≤-， 故选：D. 【点睛】本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题5．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A．⎫+∞⎪⎪⎝⎭B．⎛ ⎝⎦C．)+∞D．(【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++1224PF a b ≥-=即可得到()242a b a c +>+，从而求出双曲线的离心率的取值范围； 【详解】解：依题意可得如下图象，22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++112PE PF EF a =++- 1224PF a b ≥-=()12242PF a b a c ∴=+>+所以2b c > 则22244c a c -> 所以2234c a >所以22243c e a =>所以23e >，即23,3e ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.6．若点(3,4)P -是角α的终边上一点，则sin 2α=（ ） A ．2425-B ．725-C ．1625D ．85【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，求得43sin ,cos 55αα==-，再由正弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由题意，点(3,4)P -是角α的终边上一点，根据三角函数的定义，可得43sin ,cos 55αα==-， 则4324sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯⨯-=-，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和正弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中根据三角函数的定义和正弦的倍角公式，准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x f x -⋅+⋅>，若3(2)y f x e=+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ） A ．(),2-∞ B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数()()xx f x g x e ⋅=，根据已知条件判断出()g x 的单调性.根据()32y f x e =+-是奇函数，求得()2f 的值，由此化简不等式1()20x x f x e +⋅-<求得不等式的解集.【详解】构造函数()()x x f x g x e ⋅=，依题意可知()()()()''10xx f x x f x g x e-⋅+⋅=>，所以()g x 在R 上递增.由于()32y f x e =+-是奇函数，所以当0x =时，()320y f e =-=，所以()32f e =，所以()32222e g e e⨯==.由1()20x x f x e +⋅-<得()()()22xx f x g x e g e⋅=<=，所以2x <，故不等式的解集为(),2-∞. 故选：A 【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.8．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ）A ．13B ．310C ．25D ．34【答案】B 【解析】 【分析】将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可. 【详解】设乙,丙,丁分别领到x 元,y 元,z 元,记为(,,)x y z ,则基本事件有(1,1,4),(1,4,1) ,(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2),共10个,其中符合乙获得“最佳手气”的有3个,故所求概率为310, 故选：B. 【点睛】本题主要考查了枚举法求古典概型的方法,属于基础题型.9．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C 【解析】 【分析】取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，根据正棱柱的结构性质，得出1A E //AD ，则1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，求出11tan CECA E A E∠=，即可得出结果. 【详解】解：如图，取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，由于正三棱柱111ABC A B C -，则1BB ⊥底面111A B C ，而1A E ⊂底面111A B C ，所以11BB A E ⊥， 由正三棱柱的性质可知，111A B C △为等边三角形， 所以111A E B C ⊥，且111A E B C E =I , 所以1A E ⊥平面11BB C C ，而EC ⊂平面11BB C C ，则1A E ⊥EC ， 则1A E //AD ，190A EC ∠=︒，∴1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角， 设2AB =，则1AA =1A E =，3CE =，则11tan CE CA E A E ∠=== ∴13πCA E ∠=. 故选：C. 【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =且对于任意1n >，*n N ∈满足()1121n n n S S S +-+=+，则（ ） A ．47a = B ．16240S =C ．1019a =D ．20381S =【答案】D 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可． 【详解】当2n …时，111112(1)22n n n n n n n n n S S S S S S S a a +-+-++=+⇒-=-+⇒=+． 所以数列{}n a 从第2项起为等差数列，1,122,2n n a n n =⎧=⎨-⎩…，所以，46a =，1018a =． 21()(1)(1)12n n a a n S a n n +-=+=-+，1616151241S =⨯+=，2020191381S =⨯+=．故选：D ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．11．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为 （ ） A ．32-B ．32C ．23-D ．23【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则化简可得()3+223a a i +-，根据纯虚数的概念可得结果. 【详解】由题可知原式为()3+223a a i +-，该复数为纯虚数，所以3+2032302a a a =⎧⇒=-⎨-≠⎩.故选：A 【点睛】本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题.12．已知函数()0)f x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点分别为1x ，2x ，3x ，则（ ） A ．123x x x << B ．213x x x << C ．231x x x << D ．312x x x <<【答案】C 【解析】 【分析】转化函数()0)f x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点为y x =与0)y x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，数形结合，即得解.【详解】函数()0)f x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点，即为y x =与0)y x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，作出y x =与0)y x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的图象，如图所示，可知231x x x << 故选：C 【点睛】本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山西省运城市2019-2020学年高考数学四月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}|124A x x =<≤，|B x y ⎧⎫==⎨⎩，则A B =ð（ ） A ．{}5|x x ≥ B ．{}|524x x <≤ C ．{|1x x ≤或}5x ≥ D ．{}|524x x ≤≤【答案】D 【解析】 【分析】首先求出集合B ，再根据补集的定义计算可得； 【详解】解：∵2650x x -+->，解得15x << ∴{}|15B x x =<<，∴{}|524A B x x =≤≤ð. 故选：D 【点睛】本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题. 2．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4C ．14±D ．14【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出．【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．3．已知函数()ln 1f x x =+，()122x g x e -=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（ ）A ．1ln 22+ B ．2e - C ．1ln 22-D 12【答案】A 【解析】分析：设()()f m g n t ==，则0t >，把,m n 用t 表示，然后令()h t m n =-，由导数求得()h t 的最小值．详解：设()()f m g n t ==，则0t >，1t m e -=，11lnln ln 2222t n t =+=-+， ∴11ln ln 22t m n e t --=-+-，令11()ln ln 22t h t e t -=-+-，则11'()t h t e t -=-，121"()0t h t e t-=+>，∴'()h t 是(0,)+∞上的增函数，又'(1)0h =，∴当(0,1)t ∈时，'()0h t <，当(1,)t ∈+∞时，'()0h t >， 即()h t 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()h 1是极小值也是最小值，1(1)ln 22h =+，∴m n -的最小值是1ln 22+．故选A ．点睛：本题易错选B ，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求b a -的最小值问题，通过构造新函数，转化为求函数()h t 的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错．4．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UD ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭U 【答案】C 【解析】 【分析】()f x 恰有两个极值点，则()0f x ¢=恰有两个不同的解，求出()f x ¢可确定1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，令()()e 02xg x x x =>+通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件. 【详解】由题意知函数()f x 的定义域为()0,+?，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x ⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=.因为()f x 恰有两个极值点，所以()0f x ¢=恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，且这个解不等于1. 令()()e 02xg x x x =>+，则()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在()0,+?上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U . 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.5．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）A ．15B ．120C ．112D ．340【答案】C 【解析】 【分析】先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率. 【详解】所有的情况数有：310120C =种，3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：()()()()()()()()()()1,2,3,3,4,5,5,6,7,7,8,9,1,4,7,3,6,9,1,3,5,3,5,7,5,7,9,1,5,9，共10种，所以目标事件的概率10112012P ==. 故选：C. 【点睛】本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算. 6．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x f x -⋅+⋅>，若3(2)y f x e=+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ） A ．(),2-∞ B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数()()xx f x g x e⋅=，根据已知条件判断出()g x 的单调性.根据()32y f x e =+-是奇函数，求得()2f 的值，由此化简不等式1()20x x f x e +⋅-<求得不等式的解集.【详解】构造函数()()x x f x g x e ⋅=，依题意可知()()()()''10xx f x x f x g x e-⋅+⋅=>，所以()g x 在R 上递增.由于()32y f x e =+-是奇函数，所以当0x =时，()320y f e =-=，所以()32f e =，所以()32222e g e e⨯==.由1()20x x f x e +⋅-<得()()()22xx f x g x e g e⋅=<=，所以2x <，故不等式的解集为(),2-∞. 故选：A 【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.7．P 是正四面体ABCD 的面ABC 内一动点，E 为棱AD 中点，记DP 与平面BCE 成角为定值θ，若点P 的轨迹为一段抛物线，则tan θ=（ ）AB ．2C ．4D ．【答案】B 【解析】 【分析】设正四面体的棱长为2，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面BCE 的法向量，设P 的坐标，求出向量DP u u u r，求出线面所成角的正弦值，再由角θ的范围0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，结合θ为定值，得出sin θ为定值，且P 的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值． 【详解】由题意设四面体ABCD 的棱长为2，设O 为BC 的中点，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，过O 垂直于面ABC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则可得1OB OC ==，323OA ==OA 的三等分点G 、F 如图， 则133OG OA ==2233AG OF OA ===2226DG AD AG =-=，162EF DG ==，所以()0,1,0B 、()0,1,0C -、()3,0,0A、32633D ⎛ ⎝⎭、236,0,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由题意设(),,0P x y ，326,33DP x y ⎛=-- ⎝⎭u u u r ， QV ABD 和ACD V 都是等边三角形，E 为AD 的中点，BE AD ∴⊥，CE AD ⊥，BE CE E =Q I ，AD ∴⊥平面BCE ，2326AD ⎛∴= ⎝⎭u u u r 为平面BCE 的一个法向量，因为DP 与平面BCE 所成角为定值θ，则0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦， 由题意可得sin cos ,AD DP AD DP AD DPθ⋅=<>==⋅u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r=== 因为P 的轨迹为一段抛物线且tan θ为定值，则sin θ也为定值，22339x x ==，可得23y =，此时sin θ=，则cos θ=，sin tan cos 2θθθ==. 故选：B. 【点睛】考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题．8．己知集合{|13}M y y =-<<，{|(27)0}N x x x =-…，则M N ⋃=（ ） A ．[0,3) B ．70,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．71,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．∅【答案】C 【解析】 【分析】先化简7{|(27)0}|02N x x x x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭剟?，再求M N ⋃. 【详解】因为7{|(27)0}|02N x x x x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭剟?， 又因为{|13}M y y =-<<，所以71,2M N ⎛⎤⋃=-⎥⎝⎦， 故选：C. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题.9．把满足条件（1）x R ∀∈，()()f x f x -=，（2）1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得()()12f x f x =-的函数称为“D 函数”，下列函数是“D 函数”的个数为（ ）①2||y x x =+ ②3y x = ③x x y e e -=+ ④cos y x = ⑤sin y x x = A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证. 【详解】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足（2）；②不满足（1）； ③不满足（2）；④⑤均满足（1）（2）. 故选：B. 【点睛】本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题.10．在ABC ∆中，AB AC AB AC +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，4AB =，3AC =，则BC uuu v 在CA u u u v方向上的投影是（ ）A ．4B ．3C ．-4D ．-3【答案】D 【解析】分析：根据平面向量的数量积可得AB AC ⊥u u u r u u u r ，再结合图形求出BC uuu r 与CA u u u r方向上的投影即可.详解：如图所示：Q AB AC AB AC +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ， 0AB AC ∴⋅=u u u r u u u r， ∴AB AC ⊥u u u r u u u r ，又4AB =，3AC =，BC ∴u u u r 在CA u u u r方向上的投影是：()cos ,cos cos 3BC BC CA BC ACB BC ACB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v π=-∠=-∠=-，故选D.点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题.11．已知焦点为F 的抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．1y x =+或1y x =--B ．1122y x =+或1122y x =-- C ．22y x =+或22y x =--D ．22y x =-+【答案】A 【解析】 【分析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，利用抛物线的定义可得11cos cos MA MA MF MP AMP MAF===∠∠，要使||||MA MF 最大，则MAF ∠应最大，此时AM 与抛物线C 相切，再用判别式或导数计算即可. 【详解】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，11cos cos MA MA MF MP AMP MAF===∠∠， 则当||||MA MF 取得最大值时，MAF ∠最大，此时AM 与抛物线C 相切，易知此时直线AM 的斜率存在，设切线方程为(1)y k x =+，则2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩.则221616011k k k ∆=-===±，，， 则直线AM 的方程为(1)y x=?.故选：A. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 12．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】解：命题p ：∀x ＞0，ln （x+1）＞0，则命题p 为真命题，则￢p 为假命题； 取a=﹣1，b=﹣2，a ＞b ，但a 2＜b 2，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题． ∴p ∧q 是假命题，p ∧￢q 是真命题，￢p ∧q 是假命题，￢p ∧￢q 是假命题． 故选B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷（文科）（4）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知实数m满足=1﹣i（i为虚数单位），则m=（）A．B．﹣ C．﹣2 D．22．已知A={1，2，4}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∪B=（）A．{1，2} B．[1，2] C．{0，1，2，4} D．[0，4]3．某种饮料每箱装6瓶，库存23箱未开封的饮料，现欲对这种饮料进行质量检测，工作人员需从中随机取出10瓶，若采用系统抽样法，则要剔除的饮料瓶数是（）A．2 B．8 C．6 D．44．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，e x＞1，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（¬q）是假命题D．命题p∨（¬q）是真命题5．已知双曲线 C：﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴端点到一条渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为（）A．3 B．C．D．26．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若=24， =18，则S5=（）A．18 B．36 C．50 D．727．运行如图所示的程序框图，当输入x的值为5时，输出y的值恰好是，则处的关系式可以是（）A．y=x3B．y=x C．y=5﹣x D．y=5x8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列命题中的真命题是（）①将函数f（x）的图象向左平移个单位，则所得函数的图象关于原点对称；②将函数f（x）的图象向左平移个单位，则所得函数的图象关于原点对称；③当x∈[，π]时，函数f（x）的最大值为；④当x∈[，π]时，函数f（x）的最大值为．A．①③ B．①④ C．②④ D．②③9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．已知x，y满足约束条件若目标函数z=3x+y的最大值是﹣3，则实数a=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．11．半径为R的球O中有两个半径分别为2与2的截面圆，它们所在的平面互相垂直，且两圆的公共弦长为R，则球O表面积为（）A．64π B．100πC．36π D．24π12．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N﹡），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，3） B．（，3） C．（2，3）D．（1，3）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个点在抛物线y2=4x上，则这个等腰直角三角形的面积为．14．已知函数f（x）=，则不等式f（2）≥f（lgx）的解集为．15．已知D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若=x+y，则xy的最大值为．16．在△ABC中，点D在线段AC上，AD=2DC，BD=，且tan∠ABC=2，AB=2，则△BCD 的面积为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17．数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n+a n=n2+2n+2，n∈N*，数列{b n}满足b n=a n﹣n（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求log3b3+log3b5+…+log3b2n+1．18．某科考试题中有甲、乙两道不同类型的选做题，且每道题满分为10分，每位考生需从中任选一题作答．（1）A同学将自己在该考试中历次的选题及得分情况统计如下：选甲题8次，得分分别为：6，10，10，6，6，10，6，10选乙题10次，得分分别为：5，10，9，8，9，8，10，8，5，8某次考试中，A同学的剩余时间仅够阅读并解答出甲、乙两题中的某一道题，他应该选择甲题还是乙题？（2）某次考试中，某班40名同学中选择甲、乙两题的人数相等，在16名该选做题获得满分的同学中有10人选的是甲题，则在犯错误概率不超过1%的情况下，判断该选做题得满分是否与选题有关？参考公式：K2=参考数据：19．如图（1）在平面六边形ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，且AB=4，BC=2，AE=DE=，BF=CF=，点M，N分别是AD，BC的中点，分别沿直线AD，BC将△DEF，△BCF翻折成如图（2）的空间几何体ABCDEF．（1）利用下面的结论1或结论2，证明：E、F、M、N四点共面；结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个；结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个．（2）若二面角E﹣AD﹣B和二面角F﹣BC﹣A都是60°，求三棱锥E﹣BCF的体积．20．已知中心在坐标系原点，焦点在y轴上的椭圆离心率为，直线y=2与椭圆的两个交点间的距离为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）过下焦点的直线l交椭圆于A，B两点，点P为椭圆的上顶点，求△PAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=xlnx﹣x2（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2，是否存在实数a，使得=g′（a）成立，若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知曲线C1的参数方程是（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ（tanα•cosθ﹣sinθ）=1．（其中α为常数，α∈（0，π），且α≠），点A，B（A在x轴下方）是曲线C1与C2的两个不同的交点．（1）求曲线C1的普通方程与C2的直角坐标方程；（2）求|AB|的最大值及此时点B的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，a+b=2．（1）求+的最小值；（2）求证：≤1．2017年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷（文科）（4）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知实数m满足=1﹣i（i为虚数单位），则m=（）A．B．﹣ C．﹣2 D．2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：实数m满足=1﹣i（i为虚数单位），∴m+i====2+i，可得m=2．故选：D．2．已知A={1，2，4}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∪B=（）A．{1，2} B．[1，2] C．{0，1，2，4} D．[0，4]【考点】1D：并集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵A={1，2，4}，B={y|y=log2x，x∈A}={0，1，2}，∴A∪B={0，1，2，4}．故选：C．3．某种饮料每箱装6瓶，库存23箱未开封的饮料，现欲对这种饮料进行质量检测，工作人员需从中随机取出10瓶，若采用系统抽样法，则要剔除的饮料瓶数是（）A．2 B．8 C．6 D．4【考点】B4：系统抽样方法．【分析】根据系统抽样法利用样本容量求间隔，得到余数即为所求．【解答】解：由题意知：23×6=138，138÷10=13余8，所以应先从138瓶中随机剔除8瓶．故选：B．4．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，e x＞1，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（¬q）是假命题D．命题p∨（¬q）是真命题【考点】2E：复合命题的真假．【分析】利用函数的性质先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：对于命题p：例如当x=10时，8＞1成立，故命题p是真命题；对于命题q：∀x∈R，e x＞1，当x=0时命题不成立，故命题q是假命题；∴命题p∨￢q是真命题．故选：D．5．已知双曲线 C：﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴端点到一条渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为（）A．3 B．C．D．2【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设出一个虚轴端点为B（0，b）以及双曲线的一条渐近线，根据点到直线的距离公式，建立方程关系，进行求解即可．【解答】解：设双曲线的一个虚轴端点为B（0，b），双曲线的一条渐近线为y=x，即bx﹣ay=0，则点B到bx﹣ay=0的距离d===，即c=2a，∴双曲线C的离心率为e==2，故选：D6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若=24， =18，则S5=（）A．18 B．36 C．50 D．72【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出S5．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n， =24， =18，∴，解得a1=2，d=4，∴S5=5×2+=50．故选：C．7．运行如图所示的程序框图，当输入x的值为5时，输出y的值恰好是，则处的关系式可以是（）A．y=x3B．y=x C．y=5﹣x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【分析】由题意，执行程序框图，写出得到的x的值，然后逐一检验4个选项的关系式即可．【解答】解：由题意，执行程序框图，有x=5不满足条件x≤0，有x=x﹣2=3不满足条件x≤0，有x=x﹣2=1不满足条件x≤0，有x=x﹣2=﹣1满足条件x≤0，此时经相应关系式计算得y=，检验4个选项，有A，y=（﹣1）3=﹣1≠，不正确．B，y=（﹣1）=﹣1≠，不正确．C，y=5﹣（﹣1）=5≠，不正确．D，y=5﹣1=，正确．故选：D．8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列命题中的真命题是（）①将函数f（x）的图象向左平移个单位，则所得函数的图象关于原点对称；②将函数f（x）的图象向左平移个单位，则所得函数的图象关于原点对称；③当x∈[，π]时，函数f（x）的最大值为；④当x∈[，π]时，函数f（x）的最大值为．A．①③ B．①④ C．②④ D．②③【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据已知函数的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，0）代入解析式，可求出φ值，进而求出函数的解析式．利用三角函数图象变换及正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可得解．【解答】解：由函数图象可得：A=，周期T=﹣（﹣），可得：T=，可得：ω=2，由点（，）在函数的图象上，可得： sin（2×+φ）=，解得：φ=2kπ﹣，k∈Z，由于|φ|＜，当k=0时，可得φ=﹣，从而得解析式可为：f（x）=sin（2x﹣），对于①，将函数f（x）的图象向左平移个单位，可得：f（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），将（0，0）代入不成立，故错误；对于②，将函数f（x）的图象向左平移个单位，可得：f（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin2x，由正弦函数的性质可知正确；当x∈[，π]时，可得：2x﹣∈[，]，故函数f（x）的最大值为f（x）max=sin=，故C错误，D正确．故选：C．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】首先由已知三视图还原几何体，然后根据图中数据计算体积．【解答】解：由已知得到几何体是如图所示的三棱锥：所以几何体的体积为=；故选：A．10．已知x，y满足约束条件若目标函数z=3x+y的最大值是﹣3，则实数a=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，从而求出a的值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（，），结合图象得目标函数z=3x+y过A点时取得最大值﹣3，故+=﹣3，解得：a=﹣1，故选：B．11．半径为R的球O中有两个半径分别为2与2的截面圆，它们所在的平面互相垂直，且两圆的公共弦长为R，则球O表面积为（）A．64π B．100πC．36π D．24π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是OO1=O2E=，AB=2AE=2=R即可．【解答】解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是OO1=O2E=，AB=2AE=2=R∴R=4．则球O表面积为4πR2=64π故选：A．12．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N﹡），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，3） B．（，3） C．（2，3）D．（1，3）【考点】82：数列的函数特性．【分析】根据题意，首先可得a n通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得；解可得答案．【解答】解：根据题意，a n=f（n）=；要使{a n}是递增数列，必有；解可得，2＜a＜3；故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个点在抛物线y2=4x上，则这个等腰直角三角形的面积为16 ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由抛物线关于x轴对称，可得等腰三角形的另外两个点关于x轴对称，求得直线y=x和抛物线的交点，即可得到所求面积．【解答】解：由等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个点在抛物线y2=4x上，由抛物线的对称性可得另外两个点关于x轴对称，可设直线y=x，代入抛物线y2=4x，可得x2=4x，解得x=0或x=4，可得等腰直角三角形的另外两个点为（4，4），（4，﹣4），则这个等腰直角三角形的面积为•（）2=16．故答案为：16．14．已知函数f（x）=，则不等式f（2）≥f（lgx）的解集为．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】求出f（2）=0，通过讨论lgx的范围，求出不等式的解集，取并集即可．【解答】解：f（2）=0，0＜x≤1时，f（lgx）=lgx+2≤0，解得：0＜x≤，x＞1时，f（lgx）=﹣x+2≤0，解得：x≥100综上所述，不等式f（x）≥1的解集为（0，]∪[100，+∞），故答案为：．15．已知D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若=x+y，则xy的最大值为．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点， =x+y，可得=3x+，利用向量共线定理可得=1，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：如图所示，∵BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点， =x+y，∴=3x+，∴=1，∴2x+y=．∵x，y＞0，∵，，当且仅当y=2x=时取等号．则xy的最大值为．故答案为：．16．在△ABC中，点D在线段AC上，AD=2DC，BD=，且tan∠ABC=2，AB=2，则△BCD的面积为．【考点】HP：正弦定理．【分析】设BC=a，AD=2DC=2x，则AC=3x，先根据余弦定理可得9x2=4+a2﹣a，①，再根据余弦定理可得3x2﹣a2=﹣6，②，求出a，x的值，进而可求sin∠BDC，再根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵tan∠ABC=2，∴cos∠ABC==，设BC=a，AD=2DC=2x，则AC=3x，∵在△ABC中由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCco s∠ABC，∴9x2=4+a2﹣a，①在△ABD和△DBC中由余弦定理可得cos∠ADB==，cos∠BDC==，∵∠ADC=π﹣∠BDC，∴cos∠ADC=cos（π﹣∠BDC）=﹣cos∠BDC，∴=﹣，化简得3x2=a2﹣6，②，由①②可得a=3，x=1，BC=3，∴cos∠BDC==，sin∠BDC=，∴S△BCD=BD•CD•sin∠BDC=×1×=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17．数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n+a n=n2+2n+2，n∈N*，数列{b n}满足b n=a n﹣n（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求log3b3+log3b5+…+log3b2n+1．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）由，得，两式相减得3a n+1﹣a n=2n+3，又b n=a n﹣n，可得3b n+1=b n，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）得，可得，可得，再利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）由，得，两式相减得3a n+1﹣a n=2n+3…∵b n=a n﹣n，∴a n=b n+n，a n+1=b n+1+n+1∴3b n+1=b n…..又n=1时，由得，∴，∴{b n}是以为首项，为公比的等比数列∴…．（2）由（1）得，∴，∴，∴log3b3+log3b5+…+log3b2n+1=log32﹣3+log32﹣5+…+log32﹣（2n+1）==nlog32﹣n（n+2）．18．某科考试题中有甲、乙两道不同类型的选做题，且每道题满分为10分，每位考生需从中任选一题作答．（1）A同学将自己在该考试中历次的选题及得分情况统计如下：选甲题8次，得分分别为：6，10，10，6，6，10，6，10选乙题10次，得分分别为：5，10，9，8，9，8，10，8，5，8某次考试中，A同学的剩余时间仅够阅读并解答出甲、乙两题中的某一道题，他应该选择甲题还是乙题？（2）某次考试中，某班40名同学中选择甲、乙两题的人数相等，在16名该选做题获得满分的同学中有10人选的是甲题，则在犯错误概率不超过1%的情况下，判断该选做题得满分是否与选题有关？参考公式：K2=参考数据：【考点】BO：独立性检验的应用；BC：极差、方差与标准差．【分析】（1）计算甲、乙两题得分的平均数与方差，比较即可；（2）根据题意，填写2×2列联表，计算K2的观测值k，对照临界值表即可得出结论．【解答】解：（1）计算甲、乙两题得分的平均数分别为=×（6+10+10+6+6+10+6+10）=8，=×（5+10+9+8+9+8+10+8+5+8）=8，甲、乙两题得分的方差为=×[（6﹣8）2+…+（10﹣8）2]=4，=×[（5﹣8）2+…+（8﹣8）2]=2.8，因此选择乙题更加稳妥；（2）根据题意，填写2×2列联表如下；因此K2的观测值k==≈1.667＜6.635，则在犯错误概率不超过1%的情况下，判断该选做题得满分是否与选题无关．19．如图（1）在平面六边形ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，且AB=4，BC=2，AE=DE=，BF=CF=，点M，N分别是AD，BC的中点，分别沿直线AD，BC将△DEF，△BCF翻折成如图（2）的空间几何体ABCDEF．（1）利用下面的结论1或结论2，证明：E、F、M、N四点共面；结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个；结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个．（2）若二面角E﹣AD﹣B和二面角F﹣BC﹣A都是60°，求三棱锥E﹣BCF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由题意，点E在底面ABCD的射影在MN上，可设为点P，同理，点F在底面ABCD 的射影在MN上，可设为点Q，推导出平面EMP⊥平面ABCD，平面FNQ⊥平面ABCD，由结论2能证明E、F、M、N四点共面．（2）三棱锥E﹣BCF的体积V E﹣BCF=V ABCDEF﹣V E﹣ABCD，由此能求出结果．【解答】证明：（1）由题意，点E在底面ABCD的射影在MN上，可设为点P，同理，点F在底面ABCD的射影在MN上，可设为点Q，则EP⊥平面ABCD，FQ⊥平面ABCD，∴平面EMP⊥平面ABCD，平面FNQ⊥平面ABCD，又MN⊂平面ABCD，MN⊂平面EMP，MN⊂平面FNQ，由结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个，得到E、F、M、N四点共面．解：（2）∵二面角E﹣AD﹣B和二面角F﹣BC﹣A都是60°，∴∠EMP=∠FNQ=60°，∴EP=EM•sin60°=，∴三棱锥E﹣BCF的体积：V E﹣BCF=V ABCDEF﹣V E﹣ABCD=2×+（）×3﹣×=．20．已知中心在坐标系原点，焦点在y轴上的椭圆离心率为，直线y=2与椭圆的两个交点间的距离为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）过下焦点的直线l交椭圆于A，B两点，点P为椭圆的上顶点，求△PAB面积的最大值．【考点】K4：椭圆的简单性质；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）根据题意，分析可得2c=a①，进而可得椭圆过点（3，2），代入椭圆方程得②，结合椭圆的几何性质分析可得a2、b2的值，将a2、b2的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）设直线l的方程为y=kx﹣2．联立直线与椭圆的方程可得（4+3k2）x2﹣12kx﹣36=0，由根与系数的关系分析可得|AB|的长，由点到直线的距离公式可得P（0，4）到直线AB的距离d，则可以用k表示△PAB面积S，利用基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，因为，所以2c=a①又直线y=2与椭圆的两个交点间的距离为6．所以椭圆过点（3，2），代入椭圆方程得②又a2=b2+c2③由①②③得a2=16，b2=12所以椭圆方程为；（2）设直线l的方程为y=kx﹣2由得（4+3k2）x2﹣12kx﹣36=0显然△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则，所以=又点P（0，4）到直线AB的距离为所以，令，则t≥1，k2=t2﹣1所以因为t≥1，在[1，+∞）上单调递增所以当t=1时，即k=0时，取最小值4所以S max=18．21．已知函数f（x）=xlnx﹣x2（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2，是否存在实数a，使得=g′（a）成立，若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出导数，求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出g（x）的导数，由题意可得即g′（x）=0有两个不同的实根．设h（x）=lnx﹣ax，求出导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，求得单调区间得到最大值，令最大值大于0，解得a的范围0＜a＜，即可判断不存在实数a．【解答】解：（1）若a=2，则f（x）=xlnx﹣x2，导数f′（x）=1+lnx﹣2x，又f（1）=﹣1，f′（1）=﹣1，即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=﹣（x﹣1），即为y=﹣x；（2）g′（x）=f′（x）﹣1=lnx﹣ax，g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2，即g′（x）=0有两个不同的实根．设h（x）=lnx﹣ax，h′（x）=﹣a，当a≤0时，h′（x）＞0，h（x）递增，g（x）=0不可能有两个实根；当a＞0时，若0＜x＜，h′（x）＞0，h（x）递增，若x＞，h′（x）＜0，h（x）递减．则h（）取得极大值，也为最大值，且为﹣1﹣lna＞0，即有0＜a＜，g′（a）=lna﹣a2＜0，不妨设x2＞x1＞0，g′（x1）=g′（x2）=0，lnx1﹣ax1=lnx2﹣ax2=0，lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2），即=a＞0，故不存在实数a，使得=g′（a）成立．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知曲线C1的参数方程是（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ（tanα•cosθ﹣sinθ）=1．（其中α为常数，α∈（0，π），且α≠），点A，B（A在x轴下方）是曲线C1与C2的两个不同的交点．（1）求曲线C1的普通方程与C2的直角坐标方程；（2）求|AB|的最大值及此时点B的直角坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数，能求出曲线C1的普通方程．由曲线C2的极坐标方程能求出曲线C2的直角坐标方程．（2）曲线C2的参数方程为，（t是参数），设A（t1cosα，﹣1+t1sinα），B（t2cosα，﹣1+t2sinα），把曲线C2的参数方程代入=1，得：t2（1+3sin2α）﹣8tsinα=0，由此利用韦达定理，结合均值不等式，能求出|AB|的最大值及此时B点坐标．【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程是（ϕ为参数），∴曲线C1消去参数，得到曲线C1的普通方程为=1．∵曲线C2的极坐标方程是ρ（tanα•cosθ﹣sinθ）=1．（其中α为常数，α∈（0，π），且α≠），∴曲线C 2的直角坐标方程为：tan α•x﹣y=1．（2）由（1）得曲线C 2的参数方程为，（t 是参数）， 设A （t 1cos α，﹣1+t 1sin α），B （t 2cos α，﹣1+t 2sin α），把曲线C 2的参数方程代入=1， 整理，得：t 2（1+3sin 2α）﹣8tsin α=0，∴，∴|AB|=|t 1﹣t 2|==≤=． 当且仅当sin α=取等号，当sin α=时，∵0＜α＜π，且，∴cos，∴B （，），∴|AB|的最大值为，此时B 点坐标为（，）． [选修4-5：不等式选讲]23．已知a ＞0，b ＞0，a+b=2．（1）求+的最小值；（2）求证：≤1．【考点】7F ：基本不等式．【分析】（1）分式类型，巧运用a+b 的式子即可；（2）利用基本不等式转化为=ab••（）2求解即可． 【解答】解：（1）a+b=2．∴+=（+）=（5+）≥仅当（b=2a 等号成立）；（2）证明：=ab••（）2=1．（当且仅当a=b 等号成立）．。

5A. 1 已知tanA.12C. 14B. 2C. 3D. 4ta n4，则 2COSB.D.13 1 5【满分150分，考试时间120分钟】一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的。

1.复数z12i 的实部为2・5 iA. -1B. 0C. 1D. 22.设集合A y y log 2 x,0 x4，集合B xxe1，则AU B 等于A.,2B. (0,)C. (,0)D. R3. “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所 示的是一位猎人记录自己采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数（用十进制表示）4A. 492B. 382C. 185D. 123给出下列四个结论:①命题“2. ”的否定是“x°,xX o②“若 ，贝U sin3（”的否命题是“若2侧sin3③若pq 是真命题，q 是假命题，则命题 p, q 中一真一假;1p : 1; q : l n xx其中正确结论的个数为④若 则p 是q 的充分不必要条件.的取值范围是A. ( , 1)1C.(,1)D.(-,)7.如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正B. ( 2,)方形，侧视图是底边长分别为 2和1的直角梯形，则该几何 体的体积为PC PD ，连接PC ,得到三棱锥P BCD .若该三棱锥的所有A. B.C. 8、2 3D.8.已知a 与b 为单位向量，且a b ，向量c 满足|c a b | =2，则| c 丨的取值范围为A. [1,1 . 2] C. [©2血]B. [2—、2,2 ,2] D. [3-2.2,3 2 迈]9.将函数y 2sin x( 0)的图象向左平移 一(02)个单位长度后再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数y g(x)的图象，且y g(x)的图象与直线y 1相邻两 个交点的距离为，若g(x) 1对任意x(袒才恒成立，则的取值范围是10.设双曲线x 2三角形，则| PF 』 A. (2.7,8)11.如图，在AC 的中点，B. AC. 2y1的左、右焦点分别为3+ I PF 2的取值范围是 B. (2「3,2「7)ABC 中，AB BC .6,将ABDF 1,F 2.若点P 在双曲线上，且 F 1PF 2为锐角C. (2 . 7,)ABC 90 ,点 D 为D. (8,正视图 侧视图PBD 的位置，使A. 7B. 5C. 3D.顶点都在同一球面上，则该球的表面积是12. 设函数f (x)是函数f(x)(x R)的导函数，已知f (x) f (x),且 f (x) f (4 x), f (4) 0, f (2) 1，则使得f(x)2e x 0成立的x 的取值范围是A. ( 2,) B. (0, ) C. (1, ) D. (4,)二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分。

2020年山西省运城市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合1{|0}2x A x x -=<+，{1B =-，0，1}，则A B 等于( )A ．{|11}x x -<<B ．{1-，0，1}C ．{1-，0}D ．{0，1}2．（5分）复数12z i =+，若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于( )A ．345i+-B ．345i+ C ．34i -+ D ．345i-+ 3．（5分）已知tan 3α=，则2cos sin 2(αα+= ) A ．7210B ．710C ．7210-D ．710-4．（5分）函数2||()||ln x f x x x=-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．5．（5分）已知平面向量a ，b 满足1||3a =，||1b =，且|2|||a b a b +=+，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 6．（5分）公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米，⋯⋯，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为( )A ．5101900-米B ．510990-米C ．4109900-米D ．410190-米7．（5分）某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年家庭总收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年的就医费用增加了4750元，则该教师2018年的旅行费用为( )A ．21250元B ．28000元C ．29750元D ．85000元8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为( )A ．4B ．23C ．22D ．259．（5分）已知函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<，()28f π=()02f π=且()f x 在(0,)π上是单调函数，则下列说法正确的是( ) A ．12ω=B ．62()8f π+-=C ．函数()f x 在[π-，]2π-上单调递减D ．函数()f x 的图象关于点5(4π，0)对称 10．（5分）已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1223F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则1e ，2e 的关系为( )A ．2212314e e += B ．221241433e e +=C ．2212134e e += D ．221234e e += 11．（5分）一个正四棱锥形骨架的底边边长为2锥的每个边都相切，则该球的表面积为( ) A．B ．4πC．D ．3π12．（5分）设()f x '是函数()(0)f x x >的导函数，且满足2()()f x f x x'>，若在ABC ∆中，34A π∠=，则( ) A ．22(sin )sin (sin )sin f A B f B A < B ．22(sin )sin (sin )sin f C B f B C < C ．22(cos )sin (sin )cos f A B f B A >D ．22(cos )sin (sin )cos f C B f B C >二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）已知(1)n x +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则n = ． 14．（5分）设x ，y 满足约束条件3036x yx y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为 ．15．（5分）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 相切于M 点，N 是l 上一点（不与M 重合），若以线段MN 为直径的圆恰好经过F ，则点N 到抛物线顶点O 的距离||ON 的最小值是 ．16．（5分）已知ABC ∆中，AB BC =，点D 是边BC 的中点，ABC ∆的面积为2，则线段AD 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =-，0(2)n a n >，21916n n a n S +--=，*n N ∈，各项均为正数的等比数列{}n b 满足12b a =，34b a =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：．（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分(,198)Z N μ-，μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求(38.280.2)P Z <；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望．附：参考数据与公式：14，若2~(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=；(22)0.9544P X μσμσ-<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=．19．已知椭圆2222:1(0,0)y x C a b a b +=>>的长轴长为4，离心率e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 分别为椭圆与x 轴正半轴和y 轴正半轴的交点，P 是椭圆C 上在第一象限的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问PMN ∆与PAB ∆面积之差是否为定值？说明理由．20．已知函数2()cos ()f x ax x a R =+∈． （1）当12a =时，证明()0f x '，在[0，)+∞恒成立； （2）若()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围．21．如图1，ADC ∆与ABC ∆是处在同一个平面内的两个全等的直角三角形，30ACB ACD ∠=∠=︒，90ABC ADC ∠=∠=︒，2AB =，连接是BD 、E 边BC 上一点，过E作//EF BD ，交CD 于点F ，沿EF 将CEF ∆向上翻折，得到如图2所示的六面体P ABEFD -．（1）求证：BD AP ⊥；（2）设()BE EC R λλ=∈，若平面PEF ⊥底面ABEFD ，若平面PAB 与平面PDF 所成角的5，求λ的值； （3）若平面PEF ⊥底面ABEFD ，求六面体P ABEFD -的体积的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）曲线1C 的参数方程为1cos ,2(11sin 22x y ϕϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=． （Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线:l y kx =与曲线1C ，2C 的交点分别为A ，(B A ，B 异于原点），当斜率3[3]k ∈时，求1||||OA OB+的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()2|1|||(0)f x x x m m =+-->． （1）当2m =时，求不等式()1f x 的解集；（2）()()2g x f x =-，()g x 的图象与两坐标轴的交点分别为A ，B ，C ，若三角形ABC 的面积大于12，求参数m 的取值范围．2020年山西省运城市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合1{|0}2x A x x -=<+，{1B =-，0，1}，则A B 等于( )A ．{|11}x x -<<B ．{1-，0，1}C ．{1-，0}D ．{0，1}【解答】解：{|21}A x x =-<<，{1B =-，0，1}，{1AB ∴=-，0}．故选：C ．2．（5分）复数12z i =+，若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于( )A ．345i+-B ．345i+ C ．34i -+ D ．345i-+ 【解答】解：12z i =+，且复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称， 22z i ∴=-+，则122(2)(2)342(2)(2)55z i i i i z i i i ++--===---+-+--． 故选：A ．3．（5分）已知tan 3α=，则2cos sin 2(αα+= ) AB ．710C．D ．710-【解答】解：tan 3α=，2222222sin cos 12tan 1237cos sin 211310cos sin cos tan ααααααααα+++⨯∴+====+++，故选：B ．4．（5分）函数2||()||ln x f x x x =-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，排除C 和D ．当0x >时，2()lnxf x x x =-，3321()x lnx f x x +-'=，令()0f x '<，得01x <<；令()0f x '>，得1x >．所以()f x 在1x =处取得极小值，排除B ， 故选：A ．5．（5分）已知平面向量a ，b 满足1||3a =，||1b =，且|2|||a b a b +=+，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【解答】解：平面向量a ，b 满足1||||13a b ==，||1a ∴=，||3b =． |2|||a b a b +=+，222442a a b b a a b b ∴++=++，320a a b ∴+=，设a 与b 的夹角为θ，[0θ∈，]π，则3213cos 0θ+=， 求得1cos 2θ=-，23πθ∴=，故选：C ．6．（5分）公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米，⋯⋯，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为()A．5101900-米B．510990-米C．4109900-米D．410190-米【解答】解：由题意可知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{}na，且1100a=，110q=，0.1na=，∴乌龟爬行的总距离为4111000.1101101190110nna a qSq-⨯--===--，故选：D．7．（5分）某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年家庭总收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年的就医费用增加了4750元，则该教师2018年的旅行费用为()A．21250元B．28000元C．29750元D．85000元【解答】解：设教师2018年家庭总收入为n，则15%8000010%4750n⨯-⨯=，解得85000n=，则该教师2018年的旅行费用为8500035%29750⨯=，故选：C．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为() A．4B．23C．22D．25【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：最长的棱长为222222AB =+． 故选：C ．9．（5分）已知函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<，()28f π=()02f π=且()f x 在(0,)π上是单调函数，则下列说法正确的是( ) A ．12ω=B ．62()8f π+-=C ．函数()f x 在[π-，]2π-上单调递减D ．函数()f x 的图象关于点5(4π，0)对称 【解答】解：因为()f x 在(0,)π上是单调函数，所以周期大于2π，()28f π∴=()02f π=对应的点在一个周期内，且相差8T． ∴38288T πππ=-=，3T π∴=，∴23ω=．故A 错误． ∴2()2sin()3f x x ϕ=+，由()02f π=得22,32k k Z πϕππ⨯+=+∈． 0ϕπ<<，0k ∴=时，23πϕ=．∴22()2sin()33f x x π=+． 762()2sin 2sin()81243f ππππ+-==+，故B 正确． 当[x π∈-，]2π-时，22[0,]333x ππ+∈，这是sin y x =的增区间．故原区间是原函数的增区间．故C 错误． 因为53()2sin 2042f ππ==-≠，故D 错误． 故选：B ．10．（5分）已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1223F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则1e ，2e 的关系为( ) A ．2212314e e += B ．221241433e e +=C ．2212134e e += D ．221234e e += 【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的半实轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义：121122||||2||||2PF PF a PF PF a +=⎧⎨-=⎩，解得112||PF a a =+，212||PF a a =-， 设12||2F F c =，1223F PF π∠=，则： 在△12PF F 中由余弦定理得，2221212121224()()2()()cos 3c a a a a a a a a π=++--+-， 化简得：2221234a a c +=，该式可变成：22122234a a c c+=．∴2212314e e +=． 故选：A ．11．（5分）一个正四棱锥形骨架的底边边长为22锥的每个边都相切，则该球的表面积为( ) A ．43πB ．4πC ．42πD ．3π【解答】解：过P 作PO ⊥面ABCD 于O ，分别取PB ，BC 的中点F ，E ，连接OF ，OE ，PE ，OB ，可得PO OE ⊥，PO OB ⊥，因为底边边长为22则1OE =，2OB PO ==，所以1OF =，所以O 为表面与这个正四棱锥的每个边都相切的球的球心，且球的半径1R =，所以球的表面积244S R ππ==． 故选：B ．12．（5分）设()f x '是函数()(0)f x x >的导函数，且满足2()()f x f x x'>，若在ABC ∆中，34A π∠=，则( ) A ．22(sin )sin (sin )sin f A B f B A < B ．22(sin )sin (sin )sin f C B f B C < C ．22(cos )sin (sin )cos f A B f B A >D ．22(cos )sin (sin )cos f C B f B C > 【解答】解：令2()()f x g x x =， 0x >，2()()f x f x x'>，()2()0xf x f x ∴'->， 则3()2()()0f x x f x g x x '-'=>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增， 因为34A π=，所以12B C π+<，即10sin sin()cos 12B C C π<<-=<， (sin )(cos )g B g C ∴<，∴22(sin )(cos )f B f C sin B cos C<， 22(sin )cos (cos )sin f B C f C B ∴<，故选：D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知(1)n x +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则n =10 ． 【解答】解：已知(1)n x +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，可得46n n C C =，可得4610n =+=．故答案为：10．14．（5分）设x ，y 满足约束条件3036x yx y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为 1- ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由2z x y =+得2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点(1,3)A -时，直线的截距最小， 此时z 最小， 此时1231z =⨯-=-， 故答案为：1-．15．（5分）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 相切于M 点，N 是l 上一点（不与M 重合），若以线段MN 为直径的圆恰好经过F ，则点N 到抛物线顶点O 的距离||ON 的最小值是 2 ．【解答】解：设(M a ，2)a ，则22MF ak =，NF ∴的方程为2)22y x a=-，① 28y x =，∴取2y x =，得2y x'=，∴直线l 的方程为222()y a x a a-=-，② 联立①②，可得点N 在抛物线的准线2x =-上，因此，原问题转化为：准线上的动点N 到抛物线顶点的距离的最小值． 显然当N 位于(2,0)-时，||ON 有最小值为2， 故答案为：2．16．（5分）已知ABC ∆中，AB BC =，点D 是边BC 的中点，ABC ∆的面积为2，则线段AD 的取值范围是 [3,)+∞ ．【解答】解：设AB BC x ==，ABC α∠=，如图建立平面直角坐标系．则：(cos ,sin )A x x αα，(0,0)B ，(,0)2xD ．由已知得21sin 22ABC S x α∆==，24sin x α=． ∴2222(cos )2x AD x x sin αα=-+化简后并令22554cos cos 4sin y x x ααα-=-=．(0,)απ∈ ∴245cos y sin αα-'=，405y cos α'==令得，并令此时αθ=． 因为45cos y α=-在(0,)π上递增，(0,)αθ∴∈时，0y '<，函数递减，(,)αθπ∈时，0y '>，函数递增．故43,,55cos sin αθαα===即，3min y =．易知，当0x →或x π→时，y →+∞． 故23AD ，所以3AD．故AD 的取值范围是[3,)+∞．故答案为：)+∞．三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =-，0(2)n a n >，21916n n a n S +--=，*n N ∈，各项均为正数的等比数列{}n b 满足12b a =，34b a =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【解答】解：（1）21916n n a n S +--=，*n N ∈①，2219(1)16n n a n S ++-+-∴=，*n N ∈②，由②-①可得2221119(1)1[91]6n n n n n a n a n S S a ++++-+-----==，整理得：2212169n n n a a a +++=--，即2212(3)n n a a +++=．0(2)n a n >，123n n a a ++∴+=． 所以213n n a a ++-=，又当1n =时22119116a S a --===-，0(2)n a n >，22a ∴=，212(1)3a a -=--=也适合．13n n a a +∴-=，所以数列{}n a 是以1-为首项，以3为公差的等差数列． 34n a n ∴=-．各项均为正数的等比数列{}n b 满足122b a ==，348b a ==，∴公比2q =， 2n n b ∴=．（2）由（1）知：11(34)22n n n n c a b n -==-，0123112225282(34)2n n T n -∴=-⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-①， 12312122252(37)2(34)2n n n T n n -=-⨯+⨯+⨯+⋯+-+-②，由①-②可得：1012312(12)123(2222)(34)213(43)212n n nn n T n n ----=-⨯++++⋯+--=-+⨯+--，(37)27n n T n ∴=-+．18．在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：．（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分(,198)Z N μ-，μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求(38.280.2)P Z <；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望．附：参考数据与公式：14，若2~(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=；(22)0.9544P X μσμσ-<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=．【解答】解：（1）350.02450.12550.20650.25750.24850.13950.0466.2μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故~(66.2,198)Z N ，易知14σ=．∴1(66.21466.214)10.6826(80.2)110.841322P Z P Z --<+-=-=-=．又1(66.221466.2214)10.9544(38.2)0.022822P Z P Z --⨯<+⨯-===．故(38.280.2)(80.2)(38.2)0.8185P Z P Z P Z <=-=． （2）由题意一位市民得分高于或低于μ的概率各为12．该市民参与活动获赠话费X 的可能取值为20，40，50，70，100． 133(20)248P X ∴==⨯=；1339(40)24432P X ==⨯⨯=；111(50)248P X ==⨯=；1313(70)224416P X ==⨯⨯⨯=；1111(100)24432P X ==⨯⨯=． 故X 的分布列为：X 20 40 50 70 100 P3893218316132所以391312040507010041.2583281632EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故该市民参与活动获赠话费的数学期望为41.25元．19．已知椭圆2222:1(0,0)y x C a b a b +=>>的长轴长为4，离心率3e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 分别为椭圆与x 轴正半轴和y 轴正半轴的交点，P 是椭圆C 上在第一象限的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问PMN ∆与PAB ∆面积之差是否为定值？说明理由．【解答】解：（1）由题意可得24a =，3c e a ==，222b a c =-，可得：24a =，21b =， 所以椭圆的方程为：2214y x +=；（2）由（1）可得(1,0)A ，(0,2)B ，设(,)P m n ，则2214n m +=，直线PA 的方程为：(1)1n y x m =--，令0x =，则1M n y m =--，所以||21nBM m =---，直线PB 的方程为：22n y x m -=+，令0y =，可得22N m x n -=-，所以2||12mAN n -=--221112114484414(22)()()||(|||||)||||(2)(1)2222122222222PMN PAB MPN PAN BAN PAN MAN BAN n m m n mn m n mn n m S S S S S S S S AN OM OB AN BM m n mn n m mn n m ∆∆∆∆∆∆∆-++--+--+-=---=-=-==---+====----+--+．所以PMN ∆与PAB ∆面积之差为定值2．20．已知函数2()cos ()f x ax x a R =+∈． （1）当12a =时，证明()0f x '，在[0，)+∞恒成立； （2）若()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围． 【解答】（1）证明：当12a =时，21()cos 2f x x x =+，()sin f x x x '=-， 令()sing x x x =-，则()1cos 0g x x '=-即()g x 在R 上单调递增， 所以()(0)0g x g =，故()0f x '，在[0，)+∞恒成立； （2）解：()2sin f x ax x '=-，令()2sin g x ax x =-，则()2cos g x a x '=-，①12a时，则()2cos 0g x a x '=-，所以()f x '单调递增，且(0)0f '=， 当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减，在0x =处取得极小值，不符合题意； ②当12a -时，则()2cos 0g x a x '=-，所以()f x '单调递减，且(0)0f '=， 当0x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，当0x <时，()0f x '>，()f x 单调递增，在0x =处取得极大值，符合题意；③102a -<时，(2x π∈-，)2π时，则()2cos 0g x a x '=-，所以()f x '单调递减，且(0)0f '=，在0x =处取得极大值，符合题意； ④102a <<时，则存在1(2x π∈-，0)使得11()2cos 0g x a x '=-=，存在2(0,)2x π∈使得22()2cos 0g x a x '=-=，1(x x ∈，2)x ，()2cos 0g x a x '=-<，()f x '单调递减，(0)0f '=，在0x =处取得极大值，符合题意．综上可得：a 的取值范围是1(,)2-∞．21．如图1，ADC ∆与ABC ∆是处在同一个平面内的两个全等的直角三角形，30ACB ACD ∠=∠=︒，90ABC ADC ∠=∠=︒，2AB =，连接是BD 、E 边BC 上一点，过E作//EF BD ，交CD 于点F ，沿EF 将CEF ∆向上翻折，得到如图2所示的六面体P ABEFD -．（1）求证：BD AP ⊥；（2）设()BE EC R λλ=∈，若平面PEF ⊥底面ABEFD ，若平面PAB 与平面PDF 所成角的5，求λ的值； （3）若平面PEF ⊥底面ABEFD ，求六面体P ABEFD -的体积的最大值．【解答】解：（1）证明：不妨设EF 与AC 的交点为N ，BD 与AC 的交点为M ，由题知，CD BC =，30DCA BCA ∠=∠=︒，则有BD AC ⊥，又//BD EF ，则有EF AC ⊥，由折叠可知，PN EF ⊥，则有PN BD ⊥， 又ACPN N =，且都在平面PAN 内，BD ∴⊥平面PAN ，又AP 在平面PAN 内，BD AP ∴⊥；（2）依题意，有PN EF ⊥，平面PEF ⊥平面ABEFD ，又PN 在平面PEF 内，则有PN ⊥平面ABEFD ，PN AC ∴⊥，又由题意知，EF AC ⊥，故以N 为坐标原点，NA ，NE ，NP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，2,23,1,3AB AD BD BC AM CM ======， 由BE EC λ=可知，2331EF PN CN λ===+， 则341333(0,0,0),(0,0,),(,0,0),(3,0),(0,(,3,0)1111N P A B F D λλλλλλλ+-++++， ∴41333(,0,),(,3,)1111AP BP λλλλλλ+=-=--++++，3333(0,,),(3,)111FP DP λλλ==-+++， 设平面PAB 与平面DFP 的法向量分别为(,,),(,,)m x y z n a b c ==， 则(41)303(1)30AP m x z BP m x y z λλλ⎧=-++=⎪⎨=--+=⎪⎩，可取(3,3,41)m λ=+， 同理可得(1,3,1)n =-，∴25|cos ,|||||||512(41)m n m n m n λ<>===++， 因为(0,1)λ∈，故14λ=； （3）设所求几何体的体积为V ，设(03)CN x x =<<，则3FN ， ∴2323(23)(3)11313133[231][(1)(3)1])12)32233x x x V x x x x x x -=+⨯+-+-=-+，∴2334)2)(2)V x x x '=-=+-， ∴当02x <<时，0V '>，当23x <<时，0V '<，()V x ∴在(0,2)单调递增，在(2,3)单调递减，∴()(2)8122)max V x V ==-+⨯=∴六面体P ABEFD -． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）曲线1C 的参数方程为1cos ,2(11sin 22x y ϕϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=． （Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线:l y kx =与曲线1C ，2C 的交点分别为A ，(B A ，B 异于原点），当斜率k ∈时，求1||||OA OB+的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为1cos ,2(11sin 22x y ϕϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），得直角坐标方程为2211()24x y +-=，即220x y y +-=．∴曲线1C 的极坐标方程为2sin 0ρρθ-=，即sin ρθ=．曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=，即22cos 3sin ρθρθ=，∴曲线2C 的直角坐标方程为23x y =；（Ⅱ）设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为cos (sin x t y t ααα=⎧⎨=⎩为参数，)63ππα．把直线l 的参数方程代入220x y y +-=，得2sin 0t t α-=， 解得10t =，2sin t α=， 1||||sin OA t α∴==．把直线l 的参数方程代入23x y =，得22cos 3sin t t αα=，第21页（共21页）解得10t =，223sin t cos αα=， 223sin ||||OB t cos αα∴==． ∴2111||||sin (2sin )3sin 3sin cos OA OB ααααα+=+=+．k ∈，即tan α∈， ∴63πππ，∴13sin 2α，∴112sin 2sin sin ααα+．当且仅当12sin sin αα=，即sin α=时取等号．故1||||OA OB +． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()2|1|||(0)f x x x m m =+-->．（1）当2m =时，求不等式()1f x 的解集；（2）()()2g x f x =-，()g x 的图象与两坐标轴的交点分别为A ，B ，C ，若三角形ABC 的面积大于12，求参数m 的取值范围．【解答】解：（1）2m =时，()2|1||2|1f x x x =+--， 当1x <-，则2221x x ---+，解之得51x -<-； 当12x -<，则2221x x +-+，解之得113x-； 当2x ，则2221x x +-+，无解；综上所述1{|5}3x x -， （2）由题意知4,1()3,1,x m x g x x m x m x m x m ---<-⎧⎪=--⎨⎪+>⎩，所以()g x 的图象与坐标轴交点为(4,0)A m --，(0,)B m -，(3m C ，0)， 则面积为12[(4)]||(3)233m S m m m m =----=+， 令12S >，解之得3m >或6m <-（舍)，故3m >．。