命题及其关系强化训练专题练习(一)含答案人教版高中数学选修1-1

新编人教版精品教学资料第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题A级基础巩固一、选择题1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这4句诗中，可作为命题的是( )A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在南方”，故本句是命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．答案：A2．下列命题为真命题的是( )A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝yD．若x＜y，则x2＜y2解析：很明显A正确；B中，由x2＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，当x＝y＜0时，结论不成立，所以C是假命题；D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D是假命题．答案：A3．给出下列命题：①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；②若a、b都是正实数，则a＋b≥2ab；③若x2＞x，则x＞1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题为( )A．①③B．①②③C ．①③④D ．①④解析：①显然错误，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x 2＞x ，得x ＜0或x ＞1，所以③是假命题；④中函数y ＝x 3是幂函数，不是指数函数，④是假命题．答案：C4．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )A ．两个平面B ．一条直线C ．垂直D ．两个平面垂直于同一条直线解析：把命题改为“若p 则q ”的形式为若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行，则条件为“两个平面垂直于同一条直线”．答案：D5．下列语句中命题的个数为( )①若a ，G ，b 成等比数列，则G 2＝ab .②4－x 2≥0.③梯形是中心对称图形．④π>2吗？⑤2016年是我人生中最难忘的一年！A ．2B ．3C ．4D ．5解析：依据命题的概念知④和⑤不是陈述句，故④⑤不是命题；再从“能否判断真假”的角度分析：②不是命题．只有①③为命题，故选A.答案：A二、填空题6．下列语句：①2是无限循环小数；②x 2－3x ＋2＝0；③当x ＝4时，2x >0；④把门关上！其中不是命题的是________．解析：①是命题；②不是命题，因为语句中含有变量x ，在没给变量x 赋值的情况下，无法判断语句的真假；③是命题；④是祈使句，不是命题．答案：②④7．已知命题“f (x )＝cos 2ωx －sin 2ωx 的最小正周期是π”是真命题，则实数ω的值为________． 解析：f (x )＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝cos 2ωx ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪2π2ω＝π，解得ω＝±1. 答案：±18．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数；②二次函数的图象与x 轴有公共点；③平行四边形是梯形；④若ac 2＞bc 2，则a ＞b .其中真命题是________(写出所有真命题的编号)．解析：对于②，二次函数图象与x 轴不一定有公共点；对于③，平行四边形不是梯形． 答案：①④三、解答题9．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．(1)末位数字是0的整数能被5整除；(2)偶函数的图象关于y 轴对称；(3)菱形的对角线互相垂直．解：(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除，为真命题．(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称，为真命题．(3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题．10．已知：A ：5x －1＞a ，B ：x ＞1，请选择适当的实数a ，使得利用A 、B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题．解：若视A 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x ＞1＋a 5，则x ＞1”．由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4； 若视B 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x ＞1，则x ＞1＋a 5”．由命题为真命题可知1＋a 5≤1，解得a ≤4.故a 取任一实数均可利用A ，B 构造出一个真命题，比如这里取a ＝1，则有真命题“若x＞1，则x ＞25”． B 级 能力提升1．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．1D ．－3解析：C 中，当a ＝1时，Δ＝12－4×1×1＝－3<0，方程无实根，其余3项中，a 的值使方程均有实根．答案：C2．①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a//b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析：取a＝0，满足a·b＝a·c，但不一定有b＝c，故①不正确；当a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a//b时，6＋2k＝0，所以k＝－3，则②正确；非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|时，|a|，|b|，|a－b|构成等边三角形，所以a 与a＋b的夹角为30°，因此③错误．答案：②3．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)乘积为1的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行．解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”，它是真命题．(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“若p ，则q ”的逆命题是A ．若q ，则pB ．若p ⌝，则q ⌝C ．若q ⌝，则p ⌝D ．若p ，则q ⌝【答案】A【解析】“若p ，则q ”的逆命题是：“若q ，则p ”．故A 正确．故选A ． 2．下列语句中是命题的是A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．sin 451︒=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？ 【答案】B【解析】命题是可以判断真假的陈述句，4个选项中只有B 满足．故选B ． 3．以下说法错误的是A ．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题B ．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题C ．原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D ．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题 【答案】B4．命题“若a b 2<，则a -A ．若a b 2³，则a ³a ?B ．若a b 2>，则a a <-C ．若a ³a ?a b 2³D ．若a a <-a b 2> 【答案】C【解析】逆否命题需要否定条件和结论，并交换条件和结论的位置，故选C ． 5．“若1x >，则p ”为真命题，那么p 不能是 A ．1x >- B ．0x > C ．1x >D ．2x >【答案】D【解析】∵1x >时，不一定有2x >，所以p 不能是2x >．故选D ． 6．若p 的否命题是命题q 的逆命题，则命题p 是命题q 的 A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．p 与q 是同一命题【答案】C7．给定下列命题：①“若0k >，则方程220x x k +-=”有实数根；②若0a b >>，0c d >>，则ac bd >；③对角线相等的四边形是矩形；④若0xy =，则,x y 中至少有一个为0．其中真命题的序号是A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】B【解析】对于①，44()440k k =--=+>∆，故为真命题； 对于②，由不等式的性质知，显然是真命题；对于③，如等腰梯形的对角线相等，但不是矩形，故为假命题； 对于④，显然为真命题．故选B ．8．已知命题“若直线l 与平面α垂直， 则直线l 与平面α内的任意一条直线垂直”，则其逆命题、否命题、逆否命题中， 真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【答案】D【解析】因为该命题是正确的，所以逆否命题也是正确的；由于逆命题是正确的，而否命题也是逆命题的逆否命题，故也是正确的，故选D ． 9．有下列四个命题：（1）“若220x y +=，则0xy =”的否命题； （2）“若x y >，则22x y >”的逆否命题； （3）“若3x £，则260x x -->”的否命题； （4）“对顶角相等”的逆命题． 其中真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【答案】A10．已知命题:p 若0m >，则关于x 的方程20x x m +-=有实根，q 是p 的逆命题，下面结论正确的是A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假【答案】C【解析】因为0m >，所以140m ∆=+>，所以方程20x x m +-=有实根，所以p 是真命题．由题意知q 为“若关于x 的方程20x x m +-=有实根，则0m >”．因为要使方程20x x m +-=有实根，则0∆≥，即140m +≥，所以q 是假命题． 故选C ．二、填空题：请将答案填在题中横线上．11．命题“若实数a 满足3a £，则29a <”的否命题是_____________命题（填“真”或“假”）．【答案】真【解析】命题“若实数a 满足3a £，则29a <”的否命题是“若实数a 满足3a >，则29a ≥”，该命题是真命题．12．命题“若,a b ÎR 且a b >，0b ≠，则2()0a b b ->”的条件为_____________，结论为_____________．【答案】,a b ÎR 且a b >，0b ≠ 2()0a b b -> 【解析】由命题的定义易得．13．已知2():20p x x x m +->，如果(1)p 是假命题，(2)p 是真命题，则实数m 的取值范围为_____________．【答案】[3,8)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．142x =且1y =-”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． 【答案】见解析．【解析】逆命题：若2x =且1y =-2x ≠或1y ≠-．是真命题．逆否命题：若2x ≠或1y ≠-15．判断命题“已知,a x 为实数，如果关于x 的不等式22(21)20x a x a ++++?的解集非空，那么1a ³”的逆否命题的真假． 【答案】真命题．16．已知A ：51x a ->，B ：1x >，请选择适当的实数a ，使得利用A ，B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题． 【答案】见解析．【解析】若视A 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若15ax >＋，则1x >”． 由命题为真命题可知115a³＋，解得4a ³； 若视B 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若1x >，则15ax >＋”． 由命题为真命题可知115a£＋，解得4a £． 故a 取任一实数均可利用A ，B 构造出一个真命题， 比如这里取1a =，则有真命题“若1x >，则25x >”． 17．已知 p ：方程210x mx ++=有两个不相等的负实数根；q ：方程244(2)10x m x +-+=无实数根．若p 为假命题，q 为真命题，求实数m 的取值范围． 【答案】(1,2]．18．已知两个命题2:sin cos (),:1()0r x x x m s x x mx +>++>，如果对任意的,()x r x R Î与()s x 有且仅有一个是真命题，求实数m 的取值范围．【答案】(,2][)-∞- ．【解析】∵πsin cos )4x x x +=+?，∴当()r x 是真命题时，m <-又∵对任意的x ÎR ，()s x 是真命题，即210x mx ++>恒成立， 有240m =-<∆，解得22m -<<． 故当()r x 为真，()s x 为假时，可得m <-2m ?或2m ³，即2m ?．当()r x 为假，()s x 为真时，可得m ?22m -<<，即2m -?．综上所述，实数m 的取值范围是(,2][)-∞- ．。

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课后提升作业二四种命题(分钟分)一、选择题(每小题分,共分).(·重庆高二检测)已知直线,直线,则命题“若或,则直线与平行”的否命题为( ).若≠且≠,则直线与不平行.若≠或≠,则直线与不平行.若或,则直线与不平行.若≠或≠,则直线与平行【解析】选.命题“若,则”的否命题为“若﹁,则﹁”,显然“或”的否定为“≠且≠”,“直线与平行”的否定为“直线与不平行”,所以选. 【举一反三】若本题中条件不变,则原命题的逆命题是.【解析】将原命题中条件与结论交换即可.即逆命题为“若直线与平行,则或”.答案:若直线与平行,则或.(·银川高二检测)命题“若<<,则<”的逆否命题是( ).若≥或≤,则≥.若<,则<<.若>,则>或<.若≥,则≥或≤【解析】选.若原命题是“若,则”,则逆否命题为“若﹁,则﹁”,故此命题的逆否命题是“若≥,则≥或≤”..(·吉林高二检测)命题“若△有一内角为,则△的三内角成等差数列”的逆命题( ).与原命题同为假命题.与原命题的否命题同为假命题.与原命题的逆否命题同为假命题.与原命题同为真命题【解析】选.原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△的三内角成等差数列,则△有一内角为”,它是真命题..下列命题的否命题为“邻补角互补”的是( ).邻补角不互补.互补的两个角是邻补角.不是邻补角的两个角不互补.不互补的两个角不是邻补角【解题指南】解答本题只需求命题“邻补角互补”的否命题,因此把所给命题的条件与结论都否定,即为所求.【解析】选.“邻补角互补”与“不是邻补角的两个角不互补”互为否命题..“在△中,若∠°,则∠,∠全是锐角”的否命题为( ).在△中,若∠≠°,则∠,∠全不是锐角.在△中,若∠≠°,则∠,∠不全是锐角.在△中,若∠≠°,则∠,∠中必有一个钝角。

人教版高中数学选修1-1知识点梳理）巩固练习重点题型（常考知识点命题及其关系【学习目标】1．了解命题、真命题、假命题的概念，能够指出一个命题的条件和结论；2．了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系，能判断四种命题的真假；3．能熟练判断命题的真假性.【要点梳理】要点一、命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.要点诠释：1.不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“x>2”，“2不一定大于3”.2.只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“π是有理数吗？”、“今天天气真好！”等.3.语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性.要点二、命题的结构命题可以改写成“若p，则q”的形式，或“如果p，那么q”的形式.其中p是命题的条件，q是命题的结论.要点诠释：1.一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论.2.有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式.要点三、四种命题原命题：“若p，则q”；逆命题：“若q，则p”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置；否命题：“若非p，则非q”，或“若⌝p，则⌝q”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定；逆否命题：“若非q，则非p”，或“若⌝q，则⌝p”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定.要点诠释：对于一般的数学命题，要先将其改写为“若p，则q”的形式，然后才方便写出其他形式的命题.要点四、四种命题之间的关系四种命题之间的构成关系原命题若p则q 互互互逆为逆否逆命题若q则p互否否命题互为逆否否逆否命题若⌝p则⌝q 四种命题之间的真值关系原命题真真假假逆命题真假真假互逆否命题真假真假若⌝q则⌝p逆否命题真真假假要点诠释：（1）互为逆否命题的两个命题同真同假；（2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系.要点五、反证法：1.反证法是假设结论的否定成立，利用已知条件，经过推理论证得出矛盾，判定结论的否定错误，从而得出要证的结论正确.2.反证法的步骤：（1）假设结论不成立.（2）从假设出发推理论证得到矛盾（3）判定假设错误，肯定结论正确.3.互为逆否命题的两个命题同真同假是命题转化的依据和途径之一，因此在直接证明. 原命题有困难时，可以考虑证明与它等价的逆否命题.要点诠释：反证法是间接证明的重要方法之一.【典型例题】类型一：命题的概念例 1.判断下列语句是否为命题？若是，判断其真假.(1) x > 1 ；(2)当 x = 0 时, x > 1 ； (3) 你是男生吗？ (4) 求证： π 是无理数.【思路点拨】依据命题的定义判断。

►基础梳理1．命题的定义．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题．其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题．♨思考：如何推断一个语句是不是命题？答案：推断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以推断真假”这两个条件． 2．命题的结构．本章中我们只争辩“若p ，则q ”这种形式的命题．我们把这种形式的命题中的p 叫做命题的条件，把q 叫做命题的结论．►自测自评1．下列语句是命题的是①(填序号)． ①π2是无限不循环小数 ②3x ≤5③什么是“温室效应”？ ④明天给我买本《金版学案》解析：选项①，“π2是无限不循环小数”是陈述句，并且它是真的，所以是命题；选项②，由于无法推断“3x ≤5”的真假，所以选项②不是命题；选项③是疑问句，选项④是祈使句，故都不是命题．2．语句“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”(C ) A ．不是命题 B ．是假命题 C ．是真命题 D ．不能推断真假3．把命题“垂直于同一平面的两条直线相互平行”改成“若p ，则q ”的形式：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线相互平行．1．下列语句是命题的是(B )①72＋1≠50 ②5－x ＝0 ③存在x ∈R ，使x 2－4>0 ④平行于同一条直线的两条直线平行吗？ A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④2．下列命题中是真命题的是(B ) A.3是有理数 B ．22是实数C ．e 是有理数D ．{x |x 是小数}R 3．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两相等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的序号是________． 答案：②④4．将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并推断其真假． (1)正n 边形(n ≥3)的n 个内角全相等； (2)方程x 2－x ＋1＝0有两个实根； (3)菱形的对角线相互垂直； (4)偶函数的图象关于y 轴对称．答案：(1)若n (n ≥3)边形是正多边形，则它的n 个内角全相等．真命题． (2)若一个方程是x 2－x ＋1＝0，则它有两个实根．假命题． (3)若一个四边形是菱形，则它的对角线相互垂直．真命题． (4)若一个函数是偶函数，则它的图象关于y 轴对称．真命题．1．下列语句中，是命题的个数是(B )①求证：3是无理数 ②－5∈Z ③5是无理数 ④x 2－4x ＋7≥0.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列四个命题中是真命题的为(C ) A ．若sin A ＝sin B ，则∠A ＝∠B B ．若lg x 2＝0，则x ＝1C ．若a >b ，且ab >0，则1a <1bD．若b 2＝ac ，则a 、b 、c 成等比数列 3．下列说法正确的是(D )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题C ．命题“对角线相互垂直的四边形是菱形”是真命题D ．语句“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 解析：A 写成“若p 则q ”的形式，B 是命题，C 假命题．4．(2021·肇庆二模)对于平面α和直线m ，n ，下列命题中假命题的个数是(D )①若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ③若m ∥α，n ⊂a ，则m ∥n ④若m ∥n ，n ∥α，则m ∥αA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是(C ) A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BC D ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC 6．(2021·广州二模)对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是(D )。

主动成长夯其达标1.若命题p的否命题为r,命题r的逆命题为s,则s是p的逆命题t的（）A.逆否命题B.逆命题C.否命题D.原命题解析：设p为“若A，则B”，则r,s,t分别为“若⌝A，则⌝B”“若⌝B，则⌝A”“若B，则A”，故s是t的否命题.答案：C2.当命题“若p则q”为真时，下列命题中一定正确的是（）A.若q，则pB.若⌝p，则⌝qC.若⌝q，则⌝pD.p且q解析：因原命题与逆否命题等价，故选C.答案：C3.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中…（）A.真命题的个数一定是奇数B.真命题的个数一定是偶数C.真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D.以上判断均不正确解析：因“原命题”与“逆否命题”同真假，“逆命题”与“否命题”同真假，故真命题是成对出现的.答案：B4.有下列四个命题，其中真命题是（）①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题②“相似三角形的周长相等”的否命题③“若b≤0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题④“若A∪B=B，则A⊇B”的逆否命题A.①②B.②③C.①③D.②④答案：C2＋是无理数”时，假设正确的是…（）5.用反证法证明命题“3A.假设2是有理数B.假设3是有理数C.假设2或3是有理数2＋是有理数D.假设36.命题“若a >1,则a >0”的逆命题是 ，逆否命题是 .答案：若a ＞0，则a ＞1 若a ≤0，则a ≤1.7.写出命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断这四种命题的真假.解析：先根据四种命题的定义写出相应的命题，然后通过举反例判断相应命题为假命题，或说明相应命题为真命题.因为不等式的性质到目前还比较生疏，所以在判断时有一定难度.解：原命题：若a 2＞b 2，则a ＞b .逆命题：若a ＞b ，则a 2＞b 2.否命题：若a 2≤b 2，则a ≤b .逆否命题：若a ≤b ，则a 2≤b 2.取a =-1，b =0，有a 2＞b 2，但a ＞b 不成立，所以原命题为假，取a =-2，b =-3，有a ＞b ，但a 2＞b 2不成立，所以逆命题为假.根据原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假的性质，这四种命题全为假命题.8.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.（1）m ＞41时，mx 2-x +1=0无实根； （2）当ABC =0时，a =0或b =0或c =0.解析：改造原命题成“若p 则q ”形式，再分别写出其逆命题、否命题、逆否命题.在判定各种形式命题的真假时要注意利用等价命题的原理和规律.解：（1）原命题：“若m ＞41，则mx 2-x +1=0无实根”，是真命题； 逆命题：“若mx 2-x +1=0无实根，则m ＞41”，是真命题； 否命题：“若m ≤41，则mx 2-x +1=0有实根”是真命题； 逆否命题：“若mx 2-x +1=0有实根，则m ≤41”,是真命题. （2）原命题：“若abc =0，则a =0或b =0或c =0”，是真命题；逆命题：“若a =0或b =0或c =0，且abc =0”是真 命题 ；否命题：“若abc ≠0，则a ≠0且b ≠0且c ≠0”，是真命题；（注意：“a =0或b =0或c =0”的否定形式是“a ≠0且b ≠0且c ≠0”）逆否命题：“若a ≠0且b ≠0且c ≠0，则abc ≠0，”是真命题.点评：判定四种形式命题的真假可以借助互为逆否命题的等价性.9.如果一条直线和两条平行线中的一条是异面直线，且不与另一条直线相交，那么这条直线与另一条直线也是异面直线.证明：如右图，不妨设直线a ,b ,l 中，a ∥b ,l 与a 是异面直线，且l 与b 不相交. 假设l 与b 不是异面直线，则l 与b 共面，即l 与b 可能相交，也可能平行.若l 与b 相交，这与已知矛盾;若l 与b 平行，即l ∥b ,又a ∥b ,得l ∥a ,这与l 与a 异面相矛盾.综上可知，l 与b 是异面直线.10.(2005江苏)命题“若a ＞b ，则2a ＞2b -1”的否命题为 .答案：若a ≤b ，则2a ≤2b -111.(1999全国，18)α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ②α⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题 . 解析：假设①③④为条件，即m ⊥n ,n ⊥β,m ⊥α成立，如右图,过m 上一点P 作PB ∥n ，则PB ⊥m ,PB ⊥β，设垂足为B .又设m ⊥α的垂足为A ，过PA 、PB 的平面与α、β的交线l 交于点C ，因为l ⊥PA ,l ⊥PB ,所以l ⊥平面PAB ，得l ⊥A C,l ⊥B C,∠ACB 是二面角α-l-β的平面角. 显然∠APB +∠ACB =180°，因为PA ⊥PB ，所以∠ACB =90°，得α⊥β.由①③④推得②成立. 反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立.答案：m ⊥α,n ⊥β,α⊥β⇒m ⊥n 或m ⊥n ,m ⊥α,n ⊥β⇒α⊥β(二者任选一个即可)12.(2002上海春)已知函数()x f =12+-+x x ax (a ＞1). (1)证明：函数()x f 在（-1，+∞）上为增函数；（2）用反证法证明方程()x f =0没有负数根.解析：（1）任取x 1,x 2∈(-1,+∞)，不妨设x 1＜x 2，则x 2-x 1＞0，12x x a-＞1，且1x a ＞0， ∴2x a -1x a =1x a (12x x a --1)＞0.又∵x 1+1＞0,x 2+1＞0， ∴1222+-x x -1211+-x x =()()()()()()111212212112+++--+-x x x x x x =()()()1132112++-x x x x ＞0. 于是()2x f -()1x f =2x a -1x a +1222+-x x -1211+-x x ＞0, 故函数f (x )在（-1，+∞）上为增函数.（2）证法一：设存在x 0＜0（x 0≠-1）,满足()0x f =0，则0x a =1200+--x x ，且0＜0x a ＜1, ∴0＜1200+--x x ＜1，即21＜x 0＜2.与假设x 0＜0矛盾，故方程()x f =0没有负数根.证法二：设存在x 0＜0(x 0≠-1)，满足()0x f =0， ①若-1＜x 0＜0，则21200〈-+-x x ，0x a ＜1， ∴()0x f ＜-1与()0x f =0矛盾. ②若x 0＜-1，则1200+-x x ＞0，0x a ＞0,∴()0x f ＞0与()0x f =0矛盾. 故方程f (x )=0没有负数根.。

第一章 1.1 1.1.1A级基础巩固一、选择题1．下列语句中，是命题的是导学号 03624019( A )A．π是无限不循环小数B．3x≤5C．什么是“绩效工资”D．今天的天气真好呀！[解析] 由命题的定义可知，选项A正确．2．下列命题为真命题的是导学号 03624020( A )A．若1x＝1y，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝y D．若x<y，则x2<y2[解析] B中，若x2＝1，则x＝±1；C中，若x＝y<0，则x与y无意义；D中，若x＝－2，y＝－1，满足x<y，但x2>y2，故选A．3．下列语句中，不能成为命题的是导学号 03624021( B )A．5>12B．x>0C．已知a、b是平面向量，若a⊥b，则a²b＝0D．三角形的三条中线交于一点[解析] A是假命题；C、D是真命题，B中含变量x，未指定x的取值范围，无法判断真假，故不是命题．4．下列命题正确的是导学号 03624022( D )A．三点确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．四边形确定一个平面D．不共面的四点可以确定四个平面[解析] 因为四点不共面，所以任意三点不共线，又不共线的三点确定一个平面，所以不共面的四点可以确定四个平面．5．下列四个命题中，真命题是导学号 03624023( D ) A．a>b，c>d⇒ac>bdB．a<b⇒a2<b2C．1a<1b⇒a>bD．a>b，c<d⇒a－c>b－d[解析] ∵c<d，∴－c>－d，又∵a>b，∴a－c>b－d，故选D．6．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中是真命题的是导学号 03624024( B )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④[解析] ①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B．二、填空题7．给出下列命题导学号 03624025①若ac＝bc，则a＝b；②方程x2－x＋1＝0有两个实数根；③对于实数x，若x－2＝0，则(x－2)(x＋1)＝0；④若p>0，则p2>p；⑤正方形不是菱形．其中真命题是__③__，假命题是__①②④⑤__.[解析] c＝0时，①错；方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝－3<0，∴方程x2－x＋1＝0无实根；p＝0.5>0，但p2>p不成立；正方形的四条边相等，是菱形．因此①②④⑤都是假命题．对于③，若x－2＝0，则x＝2，∴(x－2)(x＋1)＝0，故正确．8．下列命题：①若xy＝1，则x、y互为倒数；②平行四边形是梯形；③若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是__①③__.导学号 03624026[解析] ①、③是真命题；②平行四边形不是梯形．三、解答题9．判断下列语句是否为命题，并说明理由.导学号 03624027(1)指数函数是增函数吗？(2)x>2；(3)x＝2和x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根；(4)请把窗户关上；(5)8>7；(6)这是一棵大树．[解析] (1)是疑问句，所以不是命题．(2)(6)不能判断真假，不是命题．(3)(5)是陈述句且能判断真假，是命题．(4)是祈使句，不是陈述句，所以不是命题．B级素养提升一、选择题1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是导学号 03624028( A ) A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思[解析] A为可判断真假的陈述句，所以是命题；而B为疑问句，C为祈使句，D为感叹句，所以均不是命题．2．下列命题中的真命题是导学号 03624029( A )A．二次函数的图象是一条抛物线B．若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形C．已知m、n∈R，若m2＋n2≠0，则mn≠0D．平行于同一直线的两个平面平行[解析] A是真命题；B中四边形可以是菱形，故B是假命题；C中当m＝0，n＝1时，m2＋n2≠0，而mn＝0，故C是假命题；D中两平面可以相交，故D是假命题．3．有下列命题：①若xy ＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a>b ，c ≠0，则ac>bc ；③矩形的对角线互相垂直．其中真命题共有导学号 03624030( A ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个[解析] ①中，当x ＝1，y ＝0时，xy ＝0，|x|＋|y|＝1，故①错误；②中，若a ＝2，b ＝1，c ＝－1，则ac ＝－2，bc ＝－1，ac<bc ，故②错误；③中，矩形对角线相等但不垂直，故③错误．4．下列命题中的假命题是导学号 03624031( B ) A ．若log 2x<2，则0<x<4B ．若a 与b 共线，则a 与b 的夹角为0°C ．已知非零数列{a n }满足a n ＋1－2a n ＝0，则该数列为等比数列D ．点(π，0)是函数y ＝sin x 图象上一点[解析] B 中当a 与b 共线，但方向相反时，a 与b 的夹角为180°，所以B 是假命题．5．(2017²鹰潭高二检测)在下列给出的命题中，所有正确命题的个数为导学号 03624032( C )①函数y ＝x 2－3x ＋1的图象关于x ＝32对称；②若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y x ＋2的最大值为33；③若△ABC 为锐角三角形，则sin A>cos B ． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个[解析] ①由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54知①正确，②y x ＋2表示平面直角坐标系中(x ，y)与(－2,0)两点所在直线的斜率，由数形结合知②正确，③由三角形中的性质知③正确，故应选C ．二、填空题。

1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系课后篇巩固提升基础巩固1.命题“若a n =2n 1,则数列{a n }是等差数列”的逆否命题是( )A.若a n ≠2n 1,则数列{a n }不是等差数列B.若数列{a n }不是等差数列,则a n ≠2n 1C.若a n =2n 1,则数列{a n }不是等差数列D.若数列{a n }是等差数列,则a n ≠2n 12.“若sin x ≥12,则x ≥π6”的否命题是( )A.若sin x<12,则x<π6B.若x ≥π6,则sin x ≥12C.若x<π6,则sin x<12D.若sin x ≤12,则x ≤π6若sin x ≥12,则x ≥π6”的否命题是“若sin x<12,则x<π6”.故选A .3.命题“a>1,则lg a>0”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中,真命题的个数为( )A.0B.2C.3D.4,则逆否命题为真;又当lg a>0时,必有a>1,所以逆命题为真,否命题也为真,故一共有4个命题是真命题.4.若命题r :“若p ,则 q ”的逆命题是真命题,那么下列命题一定为真命题的是( )A.若 p ,则qB.若q ,则 pC.若 p ,则 qD.若q ,则p“若p,则 q”的否命题“若 p,则q”一定是真命题.5.原命题为:“若α+β≠π2,则sin α≠cos β”,则下列说法正确的是()A.与其逆命题同为假命题B.与其否命题同为假命题C.与其否命题同为真命题D.与其逆否命题同为假命题“若sinα=cosβ,则α+β=π2”,显然是假命题,故原命题也为假命题.其否命题是“若α+β=π2,则sinα=cosβ”,显然是真命题,故D项正确.6.有下列四个命题:①“已知函数y=f(x),x∈D,若D关于原点对称,则函数y=f(x),x∈D为奇函数”的逆命题;②“对应边平行的两角相等”的否命题;③“若a≠0,则关于x的方程ax+b=0有实根”的逆否命题;④“若A∪B=B,则A≠B”的逆否命题.其中的真命题是()A.①②B.②③C.①③D.③④逆命题:“若函数y=f(x),x∈D为奇函数,则定义域D关于原点对称”,为真命题;②否命题:“对应边不平行的两角不相等”,为假命题;③逆否命题:“若关于x的方程ax+b=0无实根,则a=0”,为真命题;④逆否命题:“若A=B,则A∪B≠B”,是假命题.7.原命题:若x2+y2=0,x,y∈R,则x=0,y=0,则原命题的逆否命题为.x≠0或y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠08.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题为.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角9.分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假:(1)若x≥10,则2x+1>20;(2)如果两圆外切,那么两圆圆心距等于两圆半径之和;(3)在整数中,奇数不能被2整除.逆命题:若2x+1>20,则x≥10,为假命题;否命题:若x<10,则2x+1≤20,为假命题;逆否命题:若2x+1≤20,则x<10,为真命题.(2)逆命题:如果两圆圆心距等于两圆半径之和,那么两圆外切,是真命题;否命题:如果两圆不外切,那么两圆圆心距不等于两圆半径之和,是真命题;逆否命题:如果两圆圆心距不等于两圆半径之和,那么两圆不外切,是真命题.(3)逆命题:在整数中,不能被2整除的数是奇数,是真命题;否命题:在整数中,不是奇数的数能被2整除,是真命题;逆否命题:在整数中,能被2整除的数不是奇数,是真命题.10.已知m是整数,求证:若m2+6m是偶数,则m不是奇数.p:m是整数,若m2+6m是偶数,则m不是奇数.其逆否命题是:m是整数,若m是奇数,则m2+6m是奇数.以下证明该逆否命题为真命题.由于m是奇数,不妨设m=2k1(k∈Z),则m2+6m=(2k1)2+6(2k1)=4k2+8k5=4(k2+2k1)1,由于k∈Z,所以k2+2k∈Z,于是4(k2+2k)是偶数,从而4(k2+2k1)1为奇数,即m2+6m是奇数.因此逆否命题是真命题,从而原结论正确.能力提升1.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假状况是()A.原命题与逆命题均为真命题B.原命题为真命题,逆命题为假命题C.原命题为假命题,逆命题为真命题D.原命题与逆命题均为假命题“若a,b中没有一个大于等于1,则a+b<2”,等价于“若a<1,b<1,则a+b<2”,显然这个命题是真命题,所以原命题为真命题;原命题的逆命题为“若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2”,取a=5,b=5,则a,b中至少有一个不小于1,但a+b=0,所以原命题的逆命题为假命题.故选B.2.与命题“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”等价的命题是()A.若a,b,c不成等比数列,则b2=acB.若a,b,c成等比数列,则b2=acC.若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列D.若b2=ac,则a,b,c成等比数列,命题“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”的逆否命题是“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”,故选D.3.有下列四个命题:①“相似三角形周长相等”的否命题;②“若x>y,则x>|y|”的逆命题;③“若x=1,则x2+x2=0”的否命题;④“若b≤0,则方程x22bx+b2+b=0有实根”的逆否命题.其中真命题的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确,根据逆否命题同真同假,可得其否命题不正确;②“若x>y ,则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|,则x>y ”正确;③“若x=1,则x 2+x 2=0”的否命题为“若x ≠1,则x 2+x 2≠0”不正确;④“若b ≤0,则方程x 22bx+b 2+b=0有实根”,由Δ=4b 24(b 2+b )=4b ≥0,可得原命题正确,其逆否命题也正确.故选C .4.已知命题“若1<x<2,则m 1<x<m+1”的逆否命题是真命题,则实数m 的取值范围是 .,所以原命题为真命题,因此有{m -1≤1,m +1≥2,解得1≤m ≤2.5.命题:已知a ,b 为实数,若关于x 的不等式x 2+ax+b ≤0的解集是非空数集,则a 24b ≥0.写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断这些命题的真假.:已知a ,b 为实数,若a 24b ≥0,则关于x 的不等式x 2+ax+b ≤0的解集是非空数集.否命题:已知a ,b 为实数,若关于x 的不等式x 2+ax+b ≤0的解集是空集,则a 24b<0.逆否命题:已知a ,b 为实数,若a 24b<0,则关于x 的不等式x 2+ax+b ≤0的解集是空集.原命题、逆命题、否命题和逆否命题均为真命题.6.(选做题)求证:若x+y+z>60,则x ,y ,z 中至少有一个大于20.:若x+y+z>60,则x ,y ,z 中至少有一个大于20.其逆否命题是:若x ,y ,z 都小于或等于20,则x+y+z ≤60.由于x ≤20,y ≤20,z ≤20,由不等式的性质可得x+y+z ≤20+20+20=60,因此逆否命题正确,从而原结论正确.。

第一章常用逻辑用语命题及其关系四种命题四种命题间的相互关系级基础巩固一、选择题．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的( )．否命题．逆命题．逆否命题．无关命题解析：将命题“对角线相等的四边形是矩形”写成“若，则”的形式为：“若一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形”．而将命题“矩形的对角线相等”写成“若，则”的形式为：“若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等”．则前一个命题为后一个命题的逆命题．答案：．已知，，∈，命题“若＋＋＝，则＋＋≥”的否命题是( )．若＋＋≠，则＋＋＜．若＋＋＝，则＋＋＜．若＋＋≠，则＋＋≥．若＋＋≥，则＋＋＝解析：否定条件，得＋＋≠，否定结论，得＋＋＜.所以否命题是“若＋＋≠，则＋＋＜”．答案：．与命题“能被整除的整数，一定能被整除”等价的命题是( )．能被整除的整数，一定能被整除．不能被整除的整数，一定不能被整除．不能被整除的整数，一定不能被整除．不能被整除的整数，不一定能被整除解析：原命题与它的逆否命题是等价命题，原命题的逆否命题是：不能被整除的整数，一定不能被整除．答案：．下列说法：①原命题为真，它的否命题为假；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真．其中正确的是( )．②③．①②．②③④．③④解析：互为逆否命题的两个命题同真假，互为否命题和逆命题的两个命题，它们的真假性没有关系．答案：．有下列四种命题：①“若＋＝，则，互为相反数”的否命题；②“若＞，则＞”的逆否命题；③“若≤，则－－＞”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是( )．．．．解析：()原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若，互为相反数，则＋＝”，为真命题；()原命题与其逆否命题具有相同的真假性．而原命题为假命题(如＝，＝－)，故其逆否命题为假命题；()该命题的否命题为“若＞，则－－≤”，很明显为假命题；()该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题．答案：二、填空题．命题“若<，则－<<”的逆否命题为，是(填“真”或“假”)命题．解析：命题“若<，则－<<”的逆否命题为“若≥或≤－，则≥”，因为原命题是真命题，所以其逆否命题也是真命题．答案：若≥或≤－，则≥真．命题“当＝时，△是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有个．解析：原命题“当＝时，△是等腰三角形”是真命题，且互为逆否命题等价，故其逆否命题为真命题．其逆命题“若△是等腰三角形，则＝”是假命题，则否命题是假命题．则个命题中有个是真命题．答案：．设有两个命题：①不等式＋＞的解集是；②函数()＝是减函数．如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是．解析：①当＝时，＋＝＞恒成立，解集为.当≠时，若＋＞的解集为，必有＞. 综上知，不等式＋＞的解集为，必有≥.。

选修 1-1第一章1.11.1.2 、 3一、选择题1．设 a、 b 是向量，命题“若 a＝－ b，则 |a|＝ |b| 的”抗命题是导学号 92600042 ()A．若a≠－ b，则 |a|≠ |b| B ．若a＝－ b，则 |a|≠ |b|C．若 |a|≠，|b|则a≠－ b D ．若 |a|＝ |b|，则a＝－ b[答案 ]D[分析 ]将原命题的条件改为结论，结论改为条件，即得原命题的抗命题．2．命题：“若 x2<1，则－ 1<x<1 ”的逆否命题是导学号92600043 ()A．若 x2≥1，则 x≥1，或 x≤－ 1B．若－ 1<x<1 ，则 x2<1C．若 x>1 ，或 x< －1，则 x2>1D．若 x≥1，或 x≤－ 1，则 x2≥1[答案] D[分析 ]－1<x<1的否认为x≤－ 1 或 x≥1，x2<1 的否认为x2≥1，故逆否命题为“若x≤－1或x≥1，则x2≥ 1，”应选D．3．命题“若 c<0，则方程 x2＋ x＋ c＝ 0 有实数解”，则导学号92600044 ()A．该命题的抗命题为真，逆否命题也为真B．该命题的抗命题为真，逆否命题也假C．该命题的抗命题为假，逆否命题为真D．该命题的抗命题为假，逆否命题也为假[答案 ]C[分析 ]如：当 c＝ 0 时，方程 x2＋ x＋ c＝ 0 有实数解，该命题的抗命题“若方程x2＋x＋c＝0有实数解，则c<0”是假命题；若 c<0，则＝ 1－4c>0，命题“若 c<0，则方程 x2＋ x＋c＝ 0 有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题．4．已知一个命题与它的抗命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中导学号92600045()A．真命题个数必定是奇数B．真命题个数必定是偶数C．真命题个数可能是奇数，也可能是偶数D．以上判断都不对[答案]B[分析 ]由于原命题是真命题，则它的逆否命题必定是真命题，一个命题的抗命题是真命题，则它的否命题必定是真命题，应选B．5．关于实数 a、b、 c，以下命题中是真命题的是导学号 92600046 ()A．若 a>b，则 ac>bc B．若 ac2>bc2，则 a>b2211C．若 a>b，则 ac >bc D ．若 a>b，则a<b[答案 ]B[分析 ]∵ac2>bc2，∴ c2>0，∴ a>b.6．有以下四个命题：(1)若“ x＋ y＝ 0，则 x、y 互为相反数”的否命题；(2)对“顶角相等”的抗命题；(3)若“ x≤－3，则 x2－x－ 6>0”的否命题；(4)直“角三角形的两锐角互为余角”的抗命题．此中真命题的个数是导学号92600047 ()A． 0B．1C．2D．3[答案]B[分析 ](1) “若 x＋y≠0，则 x 与 y 不是相反数”是真命题．(2)对“顶角相等”的抗命题是“相等的角是对顶角”是假命题．(3)原命题的否命题是“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－ x－ 6≤0可得－ 2≤x≤3，当 x＝ 4 时， x> － 3 而 x2－ x－ 6＝6>0 ，故是假命题．(4)若“一个三角形的两锐角互为余角，则这个三角形是直角三角形”，真命题．二、填空题7．命题“若 a>1，则 a>0 ”的逆否命题是 ______命题 (填“真”或“假” ). 导学号92600048 [答案]真[分析 ]∵原命题为真，∴其逆否命题为真．8．命题“若 x＝ 3， y＝ 5，则 x＋ y＝ 8”的抗命题是____________________ ；否命题是__________________ ，逆否命题是____________________. 导学号92600049[答案 ]抗命题：若x＋ y＝ 8，则 x＝ 3，y＝ 5；否命题：若x≠3或 y≠5，则 x＋ y≠8；逆否命题： x＋y≠8，则 x≠3或 y≠5.9 ．命题“若 a>b，则2a>2 b”的否命题是 ________ ，为 ________( 填“真”或“假”)命题 . 导学号 92600050[答案 ]a b若 a≤b，则 2 ≤2真[分析 ]指数函数 y＝ 2x在 R 上为增函数，所以其否命题为真．三、解答题10．写出以下命题的抗命题、否命题与逆否命题．(1)假如一条直线垂直于平面内的两条订交直线，那么这条直线垂直于这个平面；(2)假如x>10，那么x>0；(3)当x＝ 2 时， x2＋ x－ 6＝ 0.导学号92600051[分析 ](1)抗命题：假如一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的两条订交直线；否命题：假如一条直线不垂直于平面内的两条订交直线，那么这条直线不垂直于这个平面；逆否命题：假如一条直线不垂直于一个平面，那么这条直线不垂直于这个平面内的两条订交直线．(2)抗命题：假如x>0，那么 x>10；否命题：假如x≤10，那么 x≤0；逆否命题：假如x≤0，那么 x≤10.(3)抗命题：假如x2＋ x－6＝ 0，那么 x＝ 2；否命题：假如x≠2，那么 x2＋ x－ 6≠0；逆否命题：假如x2＋ x－ 6≠0，那么 x≠2.一、选择题1．命题“假如 a、 b 都是奇数，则ab 必为奇数”的逆否命题是导学号92600052 ()A．假如 ab 是奇数，则a、 b 都是奇数B．假如 ab 不是奇数，则a、 b 不都是奇数C．假如 a、b 都是奇数，则ab 不是奇数D．假如 a、b 不都是奇数，则ab 不是奇数[答案]B[分析 ]命题“假如a、b都是奇数，则ab 必为奇数”的逆否命题是“假如 ab 不是奇数，则 a、 b 不都是奇数”．2．若命题p 的否命题为r ，命题r 的抗命题为s、 p 的抗命题为t，则s 是 t 的导学号92600053 ()A．逆否命题 B ．抗命题C．否命题D．原命题[答案] C[分析 ]解法一：特例：在△ABC 中，∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边分别为a、 b、c，p：若∠ A＝∠ B，则 a＝ b，r：若∠ A≠∠ B ，则 a≠b，s：若 a≠b，则∠ A≠∠ B ，t：若 a＝b，则∠ A ＝∠ B. 故 s 是 t 的否命题．解法二：如图可知，s 与 t 互否．3．命题：“若 a2＋ b2＝0(a、b∈ R) ，则 a＝ 0 且 b＝ 0”的逆否命题是导学号92600054 ()A．若 a≠ b≠ 0(a、b∈R)，则 a2＋ b2≠0B．若 a＝ b≠ 0(a、 b∈ R)，则 a2＋ b2≠0C．若 a≠0且 b≠ 0(a、 b∈ R)，则 a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠ 0(a、b∈ R)，则22a ＋b ≠0[答案 ]D[分析 ]命题中的条件及结论的否认分别是a2＋ b2≠0，a≠0或b≠ 0(a、 b∈R)，所以命题的逆否命题是“若a≠0或b≠0(a、b∈ R)，则a2＋b2≠ 0．”4． (2016 ·东济南高二检测山)原命题“圆内接四边形是等腰梯形”，则以下说法正确的选项是导学号92600055 ()A．原命题是真命题 B ．抗命题是假命题C．否命题是真命题D．逆否命题是真命题[答案] C[分析 ]原命题可改写为：若一个四边形是圆内接四边形，则该四边形是等腰梯形，为假命题；抗命题为：若一个四边形是等腰梯形，则该四边形是圆内接四边形，是真命题；原命题的否命题是真命题，逆否命题为假命题，应选C．二、填空题5． (2016 ·东枣庄高二检测山)有以下三个命题：导学号92600056① “全等三角形的面积相等”的否命题；② “若 q≤1，则 x2＋ 2x＋ q＝ 0 有实根”的抗命题；③ “不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．此中全部真命题的序号为________．[答案]②[分析 ]命题①可考虑“全等三角形的面积相等”的抗命题：“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，所以命题①是假命题；命题②是“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”，是真命题；命题③是假命题．6．已知命题“若m－ 1<x<m ＋ 1，则1<x<2 ”的抗命题为真命题，则m 的取值范围为______.导学号92600057[答案 ][1,2][分析 ]由已知得，若1<x<2建立，则m－ 1<x<m ＋ 1 也建立．m－ 1≤1∴，∴ 1≤m≤2.m＋ 1≥2三、解答题7．(2016 ·东菏泽高二检测山 )设原命题为“已知 a、b 是实数，若 a＋ b 是无理数，则 a、b都是无理数”．写出它的抗命题、否命题和逆否命题，并分别说明它们的真假 . 导学号 92600058[分析 ]抗命题：已知a、 b 为实数，若a、 b 都是无理数，则a＋ b 是无理数．如 a＝2，b＝－2， a＋ b＝ 0 为有理数，故为假命题．否命题：已知a、 b 是实数，若a＋b 不是无理数，则a、 b 不都是无理数．由抗命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a、 b 是实数，若a、 b 不都是无理数，则a＋ b 不是无理数．如 a＝2， b＝2，则 a＋ b＝ 2＋2是无理数，故逆否命题为假．8．(2016 ·西太原高二检测山)在等比数列 {a n} 中，前 n 项和为 S n，若 S m，S m＋2，S m＋1成等差数列，则a m， a m＋2， a m＋1成等差数列 . 导学号92600059(1)写出这个命题的抗命题、否命题、逆否命题；(2)判断这个命题的抗命题何时为假，何时为真，并给出证明．[分析 ] (1)这个命题的抗命题是在等比数列{a n} 中，前 n 项和为 S n，若 a m， a m＋2， a m＋1成等差数列，则S m， S m＋2， S m＋1成等差数列．否命题是：在等比数列{a n} 中，前 n 项和为 S n，若 S m， S m＋2， S m＋1不可等差数列，则a m， a m＋2， a m＋1不可等差数列．逆否命题是：在等比数列{a n} 中，前 n 项和为 S n，若 a m，a m＋2，a m＋1不可等差数列，则S m， S m＋2， S m＋1不可等差数列．(2)设等比数列 {a n} 的公比为 q，则当 q＝ 1 时，这个命题的抗命题为假，证明以下：易知 a m＝ a m＋2＝ a m＋1＝ a1≠0，若 a m， a m＋2， a m＋1成等差数列，则S m＋2－ S m＝ 2a1， S m＋1－S m＋2＝－ a1，明显 S m＋2－ S m≠S m＋1－S m＋2.当 q≠1时，这个命题的抗命题为真，证明以下：由于 a m＝ a1q m－1， a m＋2＝ a1q m＋1， a m＋1＝ a1q m，若 a m，a m＋2， a m＋1成等差数列，则a1q m－1＋ a1q m＝ 2a1q m＋1，即 1＋q＝ 2q2，也就是 1－ q2＝q2－q，m＋2－ a1m＝ a12m又 S ＋－S＝ a1－q－ q－ q，m 2m1－ q1－ q1－qS m＋1－ S m＋2＝a1－q m＋ 1－q m＋ 2 1－ q－ a11－ q2－m＝ a1－ q2m，＝ a11－ q1－ q即 S m＋2－ S m＝ S m＋1－ S m＋2.。

►根底梳理1．四种命题的概念．(1)一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题．(2)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否认和结论的否认,我们把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的否命题．(3)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否认和条件的否认,我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的相互关系．3．四种命题的真假性．由于逆命题和否命题也是互为逆否命题,因此四种命题的真假性之间的关系如下：(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系．,►自测自评1．命题 "假设函数f(x)＝log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数 ,那么log a2<0〞的逆否命题是(A)A．假设log a2≥0 ,那么函数f(x)＝log a x(a>0 ,a≠1)在其定义域内不是减函数B．假设log a2＜0 ,那么函数f(x)＝log a x(a>0 ,a≠1)在其定义域内不是减函数C．假设log a2≥0 ,那么函数f(x)＝log a x(a>0 ,a≠1)在其定义域内是减函数D．假设log a2＜0 ,那么函数f(x)＝log a x(a>0 ,a≠1)在其定义域内是减函数2．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中 ,真命题的个数可以是(D) A．1或2或3或4B．1或3C．0或4D．0或2或43．假设命题p的逆命题为q ,命题q的否命题为r ,那么p是r的逆否命题．解析：设p为： "假设m ,那么n〞 ,那么q为： "假设n ,那么m〞 ,所以r为： "假设綈n ,那么綈m〞．故p是r的逆否命题．1． "假设x ,y∈R且(x－1)2＋(y－1)2＝0 ,那么x ,y全为1〞的否命题是(B)A．假设x ,y∈R且(x－1)2＋(y－1)2≠0 ,那么x ,y全不为1B．假设x ,y∈R且(x－1)2＋(y－1)2≠0 ,那么x ,y不全为1C．假设x ,y∈R且x ,y全为1 ,那么(x－1)2＋(y－1)2＝0D．假设x ,y∈R且xy≠1 ,那么(x－1)2＋(y－1)2＝02．以下命题中,不是真命题的是(D)A． "假设b2－4ac>0 ,那么二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根〞的逆否命题B． "四边相等的四边形是正方形〞的逆命题C． "x2＝9 ,那么x＝3〞的否命题D． "内错角相等〞的逆命题3．命题 "a ,b是实数,假设|a－1|＋|b－1|＝0 ,那么a＝b＝1〞,用反证法证明时反设为：________________________________________________________________________.答案：假设a≠1或b≠14．命题： "a ,b ,c ,d是实数,假设a＝b ,c＝d ,那么a＋c＝b＋d.〞写出其逆命题、否命题、逆否命题,并判断真假．答案：逆命题：,a ,b ,c ,d是实数,假设a＋c＝b＋d ,那么a＝b ,c＝d.假命题．否命题：,a ,b ,c ,d是实数,假设a≠b或c≠d ,那么a＋c≠b＋d.假命题．逆否命题：,a ,b ,c ,d是实数,假设a＋c≠b＋d ,那么a≠b或c≠d.真命题．5．函数y＝f(x)是R上的增函数,对a,b∈R,假设f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)成立,证明a ＋b≥0.证明：原命题的逆否命题为：a ,b∈R ,假设a＋b<0 ,那么f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．以下证明其逆否命题：假设a＋b<0 ,那么a<－b ,b<－a ,又因为y＝f(x)是R上的增函数 ,所以f(a)<f(－b) ,f(b)<f(－a) ,所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b) ,即逆否命题为真命题．又因为原命题和逆否命题有相同的真假性 ,所以求证成立．1．否认结论 "至|多有两个解〞的说法中,正确的选项是(C)A．有一个解B．有两个解C．至|少有三个解D．至|少有两个解2．以下说法中正确的选项是(D)A．一个命题的逆命题为真,那么它的逆否命题一定为真B．"a>b〞与 "a＋c>b＋c〞不等价C． "a2＋b2＝0 ,那么a ,b全为0〞的逆否命题是 "假设a ,b全不为0 ,那么a2＋b2≠0〞D．一个命题的否命题为真,那么它的逆命题一定为真解析：否命题和逆命题是互为逆否命题 ,有着一致的真假性．3．原命题 "假设两个三角形全等 ,那么这两个三角形面积相等〞 ,那么它的逆命题、否命题、逆否命题中 ,真命题的个数是(B )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．有以下四个命题：① "假设x ＋y ＝0 ,那么x 、y 互为相反数〞的逆命题；② "假设a >b ,那么a 2>b 2〞的逆否命题；③ "假设x ≤－3 ,那么x 2＋x －6>0〞的否命题；④ "假设ab 是无理数 ,那么a 、b 是无理数〞的逆命题．其中真命题的个数是(B )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．命题 "假设c >0 ,那么函数f (x )＝x 2＋x －c 有两个零点〞的逆否命题的是：________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ,那么c ≤0.答案：假设函数f (x )＝x 2＋x －c 没有两个零点6．假设命题p 的否命题是q ,命题q 的逆命题是r ,那么r 是p 的逆命题的________． 解析：此题主要考查四种命题的相互关系．显然 ,r 与p 互为逆否命题．答案：否命题7．(x －1)(x ＋2)＝0的否认形式是________________________________________________________________________．答案：(x －1)(x ＋2)≠08．命题 "假设a >b ,那么2a >2b －1〞的否命题为________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 答案：假设a ≤b ,那么2a ≤2b －19．有以下五个命题：① "假设a 2＋b 2＝0 ,那么ab ＝0〞的逆否命题；② "假设a >b ,那么ac >bc 〞的逆命题③ "假设a <b <0 ,那么1a >1b〞的逆否命题； ④ "假设1a <1b<0 ,那么ab <b 2〞的逆否命题； ⑤ "假设b a ＞a b,那么a <b <0〞的逆命题 其中假命题有________．解析：①逆否命题为 "假设ab ≠0 ,那么a 2＋b 2≠0〞 ,这是一个真命题．②逆命题为 "假设ac >bc ,那么a >b 〞 ,这是一个假命题．③原命题是一个真命题 ,所以逆否命题也为真命题．④假设1a <1b<0 ,那么b <a <0 ,那么ab >b 2故原命题为真命题 ,所以逆否命题也为真命题． ⑤逆命题为 "假设a <b <0 ,那么b a >a b〞． 假设a <b <0 ,那么⎩⎨⎧－a >－b >0 1b <1a <0那么⎩⎨⎧－a >－b >0－1b >－1a >0 故a b >b a .故这是一个假命题．答案：②⑤10．假设a ,b ,c 均为实数 ,且a ＝x 2－2y ＋π2 ,b ＝y 2－2z ＋π3 ,c ＝z 2－2x ＋π6,求证：a ,b ,c 中至|少有一个大于0.证明(用反证法)：假设a ,b ,c 都不大于0 ,即a ≤0 ,b ≤0 ,c ≤0 ,那么a ＋b ＋c ≤0 ,而a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x 2－2y ＋π2＋⎝⎛⎭⎫y 2－2z ＋π3＋⎝⎛⎭⎫z 2－2x ＋π6 ＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3 ,显然a ＋b ＋c >0 ,这与假设a ＋b ＋c ≤0相矛盾．因此a ,b ,c 中至|少有一个大于0.►体验（高|考）1．给出命题：假设函数y ＝f (x )是幂函数 ,那么函数y ＝f (x )的图象不过第四象限 ,在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中 ,真命题的个数是(C )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：本小题主要考查四种命题的真假 ,易知原命题是真命题 ,那么其逆否命题也是真命题 ,而逆命题、否命题是假命题 ,故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中 ,真命题有一个 ,选C.2．a ,b ,c ∈R ,命题 "假设a ＋b ＋c ＝3 ,那么a 2＋b 2＋c 2≥3〞的否命题是(A )A ．假设a ＋b ＋c ≠3 ,那么a 2＋b 2＋c 2<3B ．假设a ＋b ＋c ＝3 ,那么a 2＋b 2＋c 2<3C ．假设a ＋b ＋c ≠3 ,那么a 2＋b 2＋c 2≥3D ．假设a 2＋b 2＋c 2≥3 ,那么a ＋b ＋c ＝33．命题 "假设一个数是负数 ,那么它的平方是正数〞的逆命题是(B )A ．假设一个数是负数 ,那么它的平方不是正数B ．假设一个数的平方是正数 ,那么它是负数C ．假设一个数不是负数 ,那么它的平方不是正数D ．假设一个数的平方不是正数 ,那么它不是负数4．命题 "假设p 那么q 〞的逆命题是(A )A ．假设q 那么pB ．假设綈p 那么綈qC ．假设綈q 那么綈pD ．假设p 那么綈q5．命题 "假设a ＝π4,那么tan α＝1〞的逆否命题是(C ) A ．假设α≠π4,那么tan α≠1 B ．假设α＝π4,那么tan α≠1 C ．假设tan α≠1 ,那么α≠π4πD．假设tan α≠1 ,那么α＝4。

课时作业1命题及其关系一、选择题1．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，m⊥α，n⊥β，则下列命题中的假命题是()A．若m∥n，则α∥βB．若α⊥β，则m⊥nC．若α，β相交，则m，n相交D．若m，n相交，则α，β相交[解析]若α，β相交，因为m⊥α，n⊥β，所以m与n可能异面，也可能相交，故C 错．所以选C.[答案] C2．有下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy＝0，则|x|＋|y|＝0”的逆命题；③“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．其中真命题共有()A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]①是假命题；②是真命题；③是真命题；④是假命题．故选B.[答案] B3．若条件P：x∈A∩B，则綈p是()A．x∈A且x BB．x A或x BC．x A且x BD．x∈(A∪B)[解析]p：x∈A∩B，綈p：x A∩B⇔x A或x B，故选B.[答案] B4．给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题有()A．0个B．2个C．3个D．4个[解析]原命题：已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.真命题．逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．原命题与逆否命题互为等价命题，逆命题与否命题互为等价命题．故选B.[答案] B5．在下列三个命题中，正确的为()①命题“△ABC和△A1B1C1都是直角三角形”的否定是“△ABC和△A1B1C1都不是直角三角形”；②命题“若xy≠0，则x≠0且y≠0”的逆否命题是“若x＝0或y＝0，则xy＝0”；③命题“若x∈A或x∈B，则x∈(A∪B)”的逆命题是“若x∈(A∪B)，则x∈A且x∈B”．A．②B．②③C．①③D．①②③[解析]“△ABC和△A1B1C1都是直角三角形”的否定是“△ABC和△A1B1C1不都是直角三角形”，∴①错误，排除C，D；而③错误，排除B.故选A.[答案] A6．有下列三个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“若m>n，则m2>n2”的逆否命题；③“若y≤－3，则y2－y－6>0”的否命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3[解析]①的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”．真命题．②的逆否命题同原命题等价，而原命题为假命题，故逆否命题为假命题．③的否命题为“若y>－3，则y2－y－6≤0”．假命题．故选B.[答案] B7．命题“若a>b，则ac2>bc2”(这里a，b，c都是实数)与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．4 B．2 C．1 D．0[解析]“若a>b，则ac2>bc2”为假，因为当c＝0时不成立，而“若ac2>bc2，则a>b”为真．故选B.[答案] B8．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数[解析]由逆否命题，知选A.[答案] A二、填空题9．命题：若a>b，则ac2>bc2(a，b，c是实数)，与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．[解析]若a>b，则ac2>bc2，当c＝0时，不成立，∴原命题为假，其逆否命题也为假．又若ac 2>bc 2，则a >b 成立，∴否命题也成立．[答案] 210．在下列横线上填写“互逆”“互否”或“互为逆否”：(1)命题“若q ，则綈p ”与“若綈q ，则p ”的关系是________；(2)命题“若綈p 则q ”与“若q 则綈p ”的关系是________．[解析] 由命题之间关系可得．[答案] (1)互否 (2)互逆11．已知A 表示点，a ，b ，c 表示直线，M 、N 表示平面，给出下列命题：①a ⊥M ，b M ，若b ∥M ，则b ⊥a ；②a ⊥M ，若a ⊥N ，则M ∥N ；③a ⊂M ，b ∩M ＝A ，c 为b 在M 上的射影，若a ⊥c ，则a ⊥b ；④a ⊥M ，若b ∥M ，c ∥a ，则a ⊥b ，c ⊥b .其中逆命题正确的是________．(填序号)[解析] 由判定方法知①②③正确，而④的逆命题“a ⊥M ，若a ⊥b ，c ⊥b ，则b ∥M ，c ∥a ”不正确，因为由条件b ⊂M 也可能成立，a ，c 相交、异面、平行，都有可能．[答案] ①②③12．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋φ(φ为常数)，有以下命题：①不论φ取何值，函数f (x )的周期都是π；②存在常数φ，使得函数f (x )是偶函数；③函数f (x )在区间[π－2φ，3π－2φ]上是增函数；④若φ<0，函数f (x )的图象可由函数y ＝sin x 2的图象向右平移|2φ|个单位得到． 其中，所有正确命题的序号是________．[解析] ①错，f (x )的周期是4π；②当φ＝3π2时，f (x )＝－cos x 2是偶函数；③因为函数的增区间是[4k π－π－2φ，4k π＋π－2φ](k ∈Z)，故③错；④将y ＝sin x 2的图象向右平移|2φ|个单位得到f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2φ2的图象，故④正确．[答案] ②④三、解答题13．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若A ⊆B ，则A ∩B ＝A ；(2)到一角两边距离相等的点在这个角的平分线上．[解析] (1)逆命题为：若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，真．否命题为：若A B ，则A ∩B ≠A ，真．逆否命题为：若A ∩B ≠A ，AB ，真． (2)逆命题：角平分线上的点到角的两边距离相等，真．否命题：到一个角的两边距离不相等的点不在角平分线上，真．逆否命题：不在角平分线上的点到角的两边距离不相等，假．14．写出命题：“若a 2>b 2，则a >b ”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断四种命题的真假．[解析] 原命题：若a 2>b 2，则a >b .逆命题：若a >b ，则a 2>b 2.否命题：若a 2≤b 2，则a ≤b .逆否命题：若a ≤b ，则a 2≤b 2.∵(－1)2>02，而－1<0，∴原命题假．∵2>－3，而22<(－3)2，∴逆命题假．由等价命题知四种命题均为假．15．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：⎪⎪⎪⎪1－x 2<1.若p 是真命题，q 是假命题，求实数x 的取值范围．[解析] 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，即(x ＋1)(x －3)≥0，∴x ≤－1或x ≥3；由⎪⎪⎪⎪1－x 2<1，得－1<1－x 2<1， ∴0<x <4.∵命题q 为假，∴x ≤0或x ≥4.则{x |x ≥3或x ≤－1}∩{x |x ≤0或x ≥4}＝{x |x ≤－1或x ≥4}．∴满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．16．命题“若m >0，则x 2+ x －m=0有实数根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．[解析] 方法一：原命题是真命题．∵m >0，∴－14<0<m ，∴m >－14. ∴4m ＋1>0，方程x 2＋x －m ＝0的判别式Δ＝4m ＋1>0，因而方程x 2＋x －m ＝0有实根，故原命题“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实数根”是真命题． 又因原命题与它的逆否命题等价，故命题“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实数根”的逆否命题也是真命题．方法二：原命题“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实数根”的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实数根，则m ≤0”∵x 2＋x －m ＝0无实数根，∴Δ＝4m ＋1<0∴m <－14≤0.故原命题的逆否命题为真命题．。

1.1.2 四种命题课时目标 1.了解四种命题的概念.2.认识四种命题的结构，会对命题进行转换．1．四种命题的概念：(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的结构：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p，綈q分别表示p和q的否定，四种形式就是：原命题：若p成立，则q成立．即“若p，则q”．逆命题：________________________.即“若q，则p”．否命题：______________________.即“若綈p，则綈q”．逆否命题：________________________.即“若綈q，则綈p”．一、选择题1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．42．命题“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题是( )A．若A∪B≠A，则A⊇BB．若A∩B≠A，则A⊆BC．若A⊆B，则A∩B≠AD．若A⊇B，则A∩B≠A3．对于命题“若数列{a n}是等比数列，则a n≠0”，下列说法正确的是( ) A．它的逆命题是真命题B．它的否命题是真命题C．它的逆否命题是假命题D．它的否命题是假命题4．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中的真命题是( )A．①②B．②③C．①③D．③④5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．06．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是( )2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数A．若loga2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若loga2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数C．若logaD．若log2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数a题号12345 6答案二、填空题7．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是________________________；逆命题是______________________；否命题是________________________．9．有下列四个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆命题．其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．三、解答题10．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．11．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．能力提升12．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数13．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．1．对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p则q”的形式后再进行转换．2．分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题，否命题和逆否命题．1．1.2 四种命题答案知识梳理1．(1)结论和条件(2)条件的否定和结论的否定(3)结论的否定和条件的否定2．若q成立，则p成立若綈p成立，则綈q成立若綈q成立，则綈p成立作业设计1．B [由a>－3⇒a>－6，但由a>－6 a>－3，故真命题为原命题及原命题的逆否命题，故选B.]2．C [先明确命题的条件和结论，然后对命题进行转换．]3．D 4.C5．C [原命题和它的逆否命题为真命题．]2≥0，则6．A [由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga函数x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．]f(x)＝loga7．若x≤y，则x3≤y3－18．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除9．②③10．解(1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．11．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．12．B [命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.]13．解逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．。

新课程标准数学选修1—1第一章课后习题解答第一章 常用逻辑用语1．1命题及其关系练习（P4）1、略.2、（1）真； （2）假； （3）真； （4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题.（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称. 这是真命题.（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题.练习（P6）1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题. 否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除. 这是假命题. 逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题.2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题. 否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题. 逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题.否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题.逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题.练习（P8）证明：若1a b -=，则22243a b a b -+--()()2()2322310a b a b a b b a b b a b =+-+---=++--=--=所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题1.1 A 组（P8）1、（1）是； （2）是； （3）不是； （4）不是.2、（1）逆命题：若两个整数a 与b 的和a b +是偶数，则,a b 都是偶数. 这是假命题. 否命题：若两个整数,a b 不都是偶数，则a b +不是偶数. 这是假命题.逆否命题：若两个整数a 与b 的和a b +不是偶数，则,a b 不都是偶数. 这是真命题.（2）逆命题：若方程20x x m +-=有实数根，则0m >. 这是假命题.否命题：若0m ≤，则方程20x x m +-=没有实数根. 这是假命题.逆否命题：若方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤. 这是真命题.3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等.逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题.否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等. 这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上. 这是真命题.（2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题.否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题.逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题.4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题1.1 B 组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p ，则q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分.此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径. 可以先证明此逆否命题：设,AB CD 是O 的两条互相平分的相交弦，交点是E ，若E 和圆心O 重合，则,AB CD 是经过圆心O 的弦，,AB CD 是两条直径. 若E 和圆心O 不重合，连结,,AO BO CO 和DO ，则OE 是等腰AOB ∆，COD ∆的底边上中线，所以，OE AB ⊥，OE CD ⊥. AB 和CD 都经过点E ，且与OE 垂直，这是不可能的. 所以，E 和O 必然重合. 即AB 和CD 是圆的两条直径.原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1．2充分条件与必要条件练习（P10）1、（1）⇒； （2）⇒； （3）⇒； （4）⇒.2、（1）.3、（1）.4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真.练习（P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是q 的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是q 的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p 是q 的必要条件.2、（1）p 是q 的必要条件； （2）p 是q 的充分条件；（3）p 是q 的充要条件； （4）p 是q 的充要条件.习题1.2 A 组（P12）1、略.2、（1）假； （2）真； （3）真.3、（1）充分条件，或充分不必要条件； （2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件； （4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是222a b r +=.习题1.2 B 组（P13）1、（1）充分条件； （2）必要条件； （3）充要条件.2、证明：（1）充分性：如果222a b c ab ac bc ++=++，那么2220a b c ab ac bc ++---=. 所以222()()()0a b a c b c -+-+-=所以，0a b -=，0a c -=，0b c -=.即 a b c ==，所以，ABC ∆是等边三角形.（2）必要性：如果ABC ∆是等边三角形，那么a b c ==所以222()()()0a b a c b c -+-+-=所以2220a b c ab ac bc ++---=所以222a b c ab ac bc ++=++1．3简单的逻辑联结词练习（P18）1、（1）4{2,3}∈或2{2,3}∈，真命题； （2）4{2,3}∈且2{2,3}∈，假；（3）2是偶数或3不是素数，真命题； （4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真； （2）假.3、（1）225+≠，真命题； （2）3不是方程290x -=的根，假命题；（3）1≠-，真命题.习题1.3 A 组（P18）1、（1）4{2,3}∈或2{2,3}∈，真命题； （2）4{2,3}∈且2{2,3}∈，假命题；（3）2是偶数或3不是素数，真命题； （4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）假命题.3、（1不是有理数，真命题； （2）5是15的约数，真命题；（3）23≥，假命题； （4）8715+=，真命题；（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题1.3 B 组（P18）（1）真命题. 因为p 为真命题，q 为真命题，所以p q ∨为真命题；（2）真命题. 因为p 为真命题，q 为真命题，所以p q ∧为真命题；（3）假命题. 因为p 为假命题，q 为假命题，所以p q ∨为假命题；（4）假命题. 因为p 为假命题，q 为假命题，所以p q ∧为假命题.1．4全称量词与存在量词练习（P23）1、（1）真命题； （2）假命题； （3）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.练习（P26）1、（1）00,n Z n Q ∃∈∉； （2）存在一个素数，它不是奇数；（3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形； （2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数.习题1.4 A 组（P26）1、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题； （4）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.3、（1）32000,x N x x ∃∈≤； （2）存在一个可以被5整除的整数，末位数字不是0；（3）2,10x R x x ∀∈-+>； （4）所有四边形的对角线不互相垂直.习题1.4 B 组（P27）（1）假命题. 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；（2）假命题. 存在一个二次函数，它的图象与x 轴不相交；（3）假命题. 每个三角形的内角和不小于180︒；（4）真命题. 每个四边形都有外接圆.第一章 复习参考题A 组（P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等. 逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题； 逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题.2、略.3、（1）假； （2）假； （3）假； （4）假.4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真； （5）真.5、（1）2,0n N n +∀∈>； （2）{P P P ∀∈在圆222x y r +=上}，(OP r O =为圆心)；（3）(,){(,),x y x y x y ∃∈是整数}，243x y +=；（4）0{x x x ∃∈是无理数}，30{x y y ∈是有理数}.6、（1）32≠； （2）54≤； （3）00,0x R x ∃∈≤；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形.第一章 复习参考题B 组（P31）1、（1）p q ∧； （2）()()p q ⌝∧⌝，或()p q ⌝∨.2、（1）Rt ABC ∀∆，90C ∠=︒，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则222c a b =+；（2）ABC ∀∆，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则sin sin sin a b c A B C==.。

第一章常用逻辑用语§1.1 命题及其关系1.1.1命题课时目标 1.了解命题的概念，会判断一个命题的真假.2.会将一个命题改写成“若p，则q”的形式．1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断________的__________叫做命题．其中判断为______的语句叫做真命题，判断为______的语句叫做假命题．2．在数学中，“若p，则q”是命题的常见形式，其中p叫做命题的________，q叫做命题的________．一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 45°＝1C．x2＋2x－1>0D．梯形是不是平面图形呢？2．下列语句中，能作为命题的是()A．3比5大B．太阳和月亮C．高年级的学生D．x2＋y2＝03．下列命题中，是真命题的是()A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集B．若x2＝1，则x＝1C．空集是任何集合的真子集D．x2－5x＝0的根是自然数4．已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，那么下列命题：①M的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有P的元素；④M中元素不都是P的元素．其中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．45．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是()A．这个数能被2整除B．这个数能被3整除C．这个数既能被2整除，也能被3整除D．这个数是6的倍数6．在空间中，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行题号123456答案7．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac 2>bc 2，则a >b .其中真命题的序号是________．8．命题“奇函数的图象关于原点对称”的条件p 是__________________________，结论q 是________________________________．9．下列语句是命题的是________． ①求证3是无理数； ②x 2＋4x ＋4≥0；③你是高一的学生吗？④一个正数不是素数就是合数； ⑤若x ∈R ，则x 2＋4x ＋7>0. 三、解答题10．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假． (1)偶数能被2整除．(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根．11．设有两个命题：p ：x 2－2x ＋2≥m 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3m )x 是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．能力提升12．设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．313．设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．41．判断一个语句是否为命题的关键是能否判断真假，只有能判断真假的语句才是命题． 2．真命题是可以经过推理证明正确的命题，假命题只需举一反例说明即可．3．在判断命题的条件和结论时，可以先将命题改写成“若p 则q ”的形式，改法不一定唯一．第一章 常用逻辑用语 §1.1 命题及其关系1．1.1 命题答案知识梳理1．真假 陈述句 真 假 2．条件 结论 作业设计1．B [A 、D 是疑问句，不是命题，C 中语句不能判断真假．]2．A [判断一个语句是不是命题，关键在于能否判断其真假．“3比5大”是一个假命题．]3．D [A 中方程在实数范围内无解，故是假命题；B 中若x 2＝1，则x ＝±1，故B 是假命题；因空集是任何非空集合的真子集，故C 是假命题；所以选D.]4．B [命题②④为真命题．]5．C [命题可改写为：如果一个数是6的倍数，那么这个数既能被2整除，也能被3整除．]6．D 7．①④解析 ①④是真命题，②四条边相等的四边形也可以是菱形，③平行四边形不是梯形． 8．若一个函数是奇函数 这个函数的图象关于原点对称 9．②④⑤解析 ①③不是命题，①是祈使句，③是疑问句．而②④⑤是命题，其中④是假命题，如正数12既不是素数也不是合数，②⑤是真命题，x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0恒成立，x 2＋4x ＋7＝(x ＋2)2＋3>0恒成立．10．解 (1)若一个数是偶数，则这个数能被2整除，真命题．(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实数根，真命题．11．解 若命题p 为真命题，可知m ≤1； 若命题q 为真命题，则7－3m >1，即m <2.所以命题p 和q 中有且只有一个是真命题时，有p 真q 假或p 假q 真， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤1，m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m <2.故m 的取值范围是1<m <2.12．D [①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1， ∴l ＝1，故①正确．②m ＝－12时，m 2＝14，故l ≥14.又l ≤1，∴②正确．③l ＝12时，m 2≤12且m ≤0，则－22≤m ≤0，∴③正确．]13．B [①由面面垂直知，不正确；②由线面平行判定定理知，缺少m 、n 相交于一点这一条件，故不正确； ③由线面平行判定定理知，正确；④由线面相交、及线面、线线平行分析知，正确． 综上所述知，③，④正确．]1.1.2四种命题课时目标 1.了解四种命题的概念.2.认识四种命题的结构，会对命题进行转换．1．四种命题的概念：(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的结构：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p，綈q分别表示p和q的否定，四种形式就是：原命题：若p成立，则q成立．即“若p，则q”．逆命题：________________________.即“若q，则p”．否命题：______________________.即“若綈p，则綈q”．逆否命题：________________________.即“若綈q，则綈p”．一、选择题1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．42．命题“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题是()A．若A∪B≠A，则A⊇BB．若A∩B≠A，则A⊆BC．若A⊆B，则A∩B≠AD．若A⊇B，则A∩B≠A3．对于命题“若数列{a n}是等比数列，则a n≠0”，下列说法正确的是()A．它的逆命题是真命题B．它的否命题是真命题C．它的逆否命题是假命题D．它的否命题是假命题4．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中的真命题是()A．①②B．②③C．①③D．③④5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．4 B．3 C．2 D．06．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数题号123456答案二、填空题7．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是________________________；逆命题是______________________；否命题是________________________．9．有下列四个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆命题．其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．三、解答题10．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．11．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．能力提升12．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数13．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．1．对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p则q”的形式后再进行转换．2．分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题，否命题和逆否命题．1．1.2四种命题答案知识梳理1．(1)结论和条件(2)条件的否定和结论的否定(3)结论的否定和条件的否定2．若q成立，则p成立若綈p成立，则綈q成立若綈q成立，则綈p成立作业设计1．B[由a>－3⇒a>－6，但由a>－6 a>－3，故真命题为原命题及原命题的逆否命题，故选B.]2．C[先明确命题的条件和结论，然后对命题进行转换．]3．D 4.C5．C[原命题和它的逆否命题为真命题．]6．A[由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．]7．若x≤y，则x3≤y3－18．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除9．②③10．解(1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．11．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．12．B[命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.]13．解逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．1.1.3四种命题间的相互关系课时目标1．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系．2．会利用命题的等价性解决问题．1．四种命题的相互关系2．四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假(2)四种命题的真假性之间的关系①两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性______________．一、选择题1．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是()A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确2．下列说法中正确的是()A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3．与命题“能被6整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是()A．能被2整除的整数，一定能被6整除B．不能被6整除的整数，一定不能被2整除C．不能被6整除的整数，不一定能被2整除D．不能被2整除的整数，一定不能被6整除4．命题：“若a 2＋b 2＝0 (a ，b ∈R )，则a ＝b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a ≠b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0 B ．若a ＝b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0C ．若a ≠0，且b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0，或b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠05．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真6．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β.那么( )A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题 题号 1 2 3 4 5 6 答案 二、填空题7．“已知a ∈U (U 为全集)，若a ∉∁U A ，则a ∈A ”的逆命题是______________________________________，它是______(填“真”“或”“假”)命题．8．“若x ≠1，则x 2－1≠0”的逆否命题为________命题．(填“真”或“假”)9．下列命题：①“若k >0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a >1b，则a <b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．其中是假命题的是________．三、解答题10．已知命题：若m >2，则方程x 2＋2x ＋3m ＝0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．11．已知奇函数f (x )是定义域为R 的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥0，求证：a ＋b ≥0.能力提升12．给出下列三个命题：①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)是圆O 1：x 2＋y 2＝9上的任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心，且半径为1.当(a－x1)2＋(b－y1)2＝1时，圆O1与圆O2相切．其中假命题的个数为() A．0B．1C．2D．313．a、b、c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大”都是真命题，则a、b、c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．1．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个．2．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．1．1.3四种命题间的相互关系答案知识梳理1．若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p2．(2)①相同②没有关系作业设计1．D[原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，只需写出原命题的否命题即可．] 2．D 3.D4．D[a＝b＝0的否定为a，b至少有一个不为0.]5．D[原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题．]6．D7．已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁U A真解析“已知a∈U(U为全集)”是大前提，条件是“a∉∁U A”，结论是“a∈A”，所以原命题的逆命题为“已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁U A”．它为真命题．8．假9.①②10．解逆命题：若方程x2＋2x＋3m＝0无实根，则m>2，假命题．否命题：若m≤2，则方程x2＋2x＋3m＝0有实根，假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋3m＝0有实根，则m≤2，真命题．11．证明假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)<f(－b)．又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．∴a＋b≥0.12．B[①用“分部分式”判断，具体：a1＋a≥b1＋b⇔1－11＋a≥1－11＋b⇔11＋a≤11＋b，又a≥b>－1⇔a＋1≥b＋1>0知本命题为真命题．②用基本不等式：2xy≤x2＋y2 (x>0，y>0)，取x＝m，y＝n－m，知本命题为真．③圆O1上存在两个点A、B满足弦AB＝1，所以P、O2可能都在圆O1上，当O2在圆O1上时，圆O1与圆O2相交．故本命题为假命题．]13．解能确定．理由如下：显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．①由命题A为真可知，当b不是最大时，则a是最小的，即若c最大，则a最小，所以c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，所以b>a>c.总之由命题A为真可知：c>b>a或b>a>c.②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c.从而可知，b>a>c.所以三个人年龄的大小顺序为b最大，a次之，c最小．§1.2充分条件与必要条件课时目标 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系．1．如果已知“若p，则q”为真，即p⇒q，那么我们说p是q的____________，q是p 的____________．2．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作________．这时p是q的______________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果p⇒q且q⇒p，则p是q的________________________条件．一、选择题1．“x>0”是“x≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．设p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件题号123456答案7．用符号“⇒”或“⇒”填空.(1)a>b________ac2>bc2；(2)ab≠0________a≠0.8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．9．函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．三、解答题10．下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件： (1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y .(2)p ：△ABC 是直角三角形，q ：△ABC 是等腰三角形； (3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形．11.已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．能力提升12．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max {}x 1，x 2，…，x n ，最小数为min {}x 1，x 2，…，x n .已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ，则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( ) A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究{a n }是等差数列的充要条件．1．判断p 是q 的什么条件，常用的方法是验证由p 能否推出q ，由q 能否推出p ，对 于否定性命题，注意利用等价命题来判断．2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A 的充要条件为B ”的命题的证明：A ⇒B 证明了必要性；B ⇒A 证明了充分性．“A 是B 的充要条件”的命题的证明：A ⇒B 证明了充分性；B ⇒A 证明了必要性．§1.2 充分条件与必要条件 答案知识梳理1．充分条件 必要条件2．p ⇔q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要 作业设计1．A [对于“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立． 因此“x >0”是“x ≠0”的充分而不必要条件．] 2．A [∵q ⇒p ，∴綈p ⇒綈q ，反之不一定成立，因此綈p 是綈q 的充分不必要条件．]3．B [因为N M .所以“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要而不充分条件．]4．A [把k ＝1代入x －y ＋k ＝0，推得“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”；但“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”不一定推得“k ＝1”．故“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的充分而不必要条件．]5．A [l ⊥α⇒l ⊥m 且l ⊥n ，而m ，n 是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l ⊥m 且l ⊥n 不能得到l ⊥α.]6．B [当a <0时，由韦达定理知x 1x 2＝1a<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根时，a 可以为0，因为当a ＝0时，该方程仅有一根为－12，所以a 不一定小于0.由上述推理可知，“a <0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．]7．(1) ⇒ (2)⇒ 8．a >2解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解为－a <x <－1.由题意有(－2，－1)(－a ，－1)，∴－2>－a ，即a >2.9．b ≥－2a解析 由二次函数的图象可知当－b2a≤1，即b ≥－2a 时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在[1，＋∞)上单调递增．10．解 (1)∵|x |＝|y |⇒x ＝y ， 但x ＝y ⇒|x |＝|y |，∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC 是直角三角形⇒△ABC 是等腰三角形． △ABC 是等腰三角形⇒△ABC 是直角三角形． ∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件． (3)四边形的对角线互相平分⇒四边形是矩形． 四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分． ∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件． 11．解 由题意知，Q ＝{x |1<x <3}，Q ⇒P ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5. ∴实数a 的取值范围是[－1,5]．12．A [当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ，∴l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1×1＝1.∴“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件．∵a ≤b ≤c ，∴max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝ca .又∵l ＝1，∴min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝ac，即a b ＝a c 或b c ＝a c， 得b ＝c 或b ＝a ，可知△ABC 为等腰三角形，而不能推出△ABC 为等边三角形． ∴“l ＝1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件．] 13．解 当{a n }是等差数列时，∵S n ＝(n ＋1)2＋c ，∴当n≥2时，S n－1＝n2＋c，∴a n＝S n－S n－1＝2n＋1，∴a n＋1－a n＝2为常数．又a1＝S1＝4＋c，∴a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c，∵{a n}是等差数列，∴a2－a1＝2，∴1－c＝2.∴c＝－1，反之，当c＝－1时，S n＝n2＋2n，可得an＝2n＋1 (n≥1)为等差数列，∴{an}为等差数列的充要条件是c＝－1.§1.3简单的逻辑联结词课时目标 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．1．用逻辑联结词构成新命题(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作__________，读作__________．(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作__________．(3)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作________，读作________或____________．2．含有逻辑联结词的命题的真假判断p q p∨q p∧q綈p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真一、选择题1．已知p：2＋2＝5；q：3>2，则下列判断错误的是()A．“p∨q”为真，“綈q”为假B．“p∧q”为假，“綈p”为真C．“p∧q”为假，“綈p”为假D．“p∨q”为真，“綈p”为真2．已知p：∅{0}，q：{2}∈{1,2,3}．由它们构成的新命题“綈p”，“綈q”，“p∧q”，“p∨q”中，真命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列命题：①2010年2月14日既是春节，又是情人节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形．其中使用逻辑联结词的命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个4．设p、q是两个命题，则新命题“綈(p∨q)为假，p∧q为假”的充要条件是() A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为假D．p为真，q为假5．命题p：在△ABC中，∠C>∠B是sin C>sin B的充分不必要条件；命题q：a>b是ac2>bc2的充分不必要条件．则()A．p假q真B．p真q假C．p∨q为假D．p∧q为真6．下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是()A．10或15是5的倍数B．方程x2－3x－4＝0的两根是－4和1C．方程x2＋1＝0没有实数根D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形题号123456答案二、填空题7．“2≤3”中的逻辑联结词是________，它是________(填“真”，“假”)命题．8．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的范围是____________．9．已知a、b∈R，设p：|a|＋|b|>|a＋b|，q：函数y＝x2－x＋1在(0，＋∞)上是增函数，那么命题：p∨q、p∧q、綈p中的真命题是________．三、解答题10．写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“綈p”形式的复合命题，并判断真假．(1)p：1是质数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：0∈∅；q：{x|x2－3x－5<0}⊆R；(4)p：5≤5；q：27不是质数．11．已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．能力提升12．命题p：若a，b∈R，则|a|＋|b|>1是|a＋b|>1的充分而不必要条件；命题q：函数y ＝|x－1|－2 的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，则()A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真13．设有两个命题．命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．1．从集合的角度理解“且”“或”“非”．设命题p：x∈A.命题q：x∈B.则p∧q⇔x∈A且x∈B⇔x∈A∩B；p∨q⇔x∈A或x∈B ⇔x∈A∪B；綈p⇔x∉A⇔x∈∁U A.2．对有逻辑联结词的命题真假性的判断当p、q都为真，p∧q才为真；当p、q有一个为真，p∨q即为真；綈p与p的真假性相反且一定有一个为真．3．含有逻辑联结词的命题否定“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定形式“綈p且綈q”，“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”，它类似于集合中的“∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)，∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)”．§1.3简单的逻辑联结词答案知识梳理1．(1)p∧q“p且q”(2)p∨q“p或q”(3)綈p“非p”“p的否定”作业设计1．C[p假q真，根据真值表判断“p∧q”为假，“綈p”为真．]2．B[∵p真，q假，∴綈q真，p∨q真．]3．C[①③命题使用逻辑联结词，其中，①使用“且”，③使用“非”．]4．C[因为命题“綈(p∨q)”为假命题，所以p∨q为真命题．所以p、q一真一假或都是真命题．又因为p∧q为假，所以p、q一真一假或都是假命题，所以p、q中有且只有一个为假．] 5．C[命题p、q均为假命题，∴p∨q为假．]6．D[A中的命题是p∨q型命题，B中的命题是假命题，C中的命题是綈p的形式，D中的命题为p∧q型，且为真命题．]7．或真8．[1,2)解析x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，即x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，所以1≤x<2，即x∈[1,2)．9．綈p解析对于p，当a>0，b>0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，故p假，綈p为真；对于q，抛物线y＝x2－x＋1的对称轴为x＝12，故q假，所以p∨q假，p∧q假．这里綈p应理解成|a|＋|b|>|a＋b|不恒成立，而不是|a|＋|b|≤|a＋b|.10．解(1)p为假命题，q为真命题．p或q：1是质数或是方程x2＋2x－3＝0的根．真命题．p且q：1既是质数又是方程x2＋2x－3＝0的根．假命题．綈p：1不是质数．真命题．(2)p为假命题，q为假命题．p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题． p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相垂直．假命题． 綈p ：有些平行四边形的对角线不相等．真命题． (3)∵0∉∅，∴p 为假命题，又∵x 2－3x －5<0，∴3－292<x <3＋292，∴{x |x 2－3x －5<0} ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3－292<x <3＋292⊆R 成立． ∴q 为真命题．∴p 或q ：0∈∅或{x |x 2－3x －5<0}⊆R ，真命题， p 且q ：0∈∅且{x |x 2－3x －5<0}⊆R ，假命题，綈p ：0∉∅，真命题．(4)显然p ：5≤5为真命题，q ：27不是质数为真命题，∴p 或q ：5≤5或27不是质数，真命题，p 且q ：5≤5且27不是质数，真命题，綈p ：5>5，假命题．11．解 若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m <0，解得m >2，即p ：m >2. 若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根， 则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0， 解得1<m <3，即q ：1<m <3.因p 或q 为真，所以p 、q 至少有一个为真． 又p 且q 为假，所以p 、q 至少有一个为假．因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真，q 为假，或p 为假，q 为真．所以⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3.解得m ≥3或1<m ≤2.12．D [当a ＝－2，b ＝2时，从|a |＋|b |>1不能推出|a ＋b |>1，所以p 假，q 显然为真．] 13．解 对于p ：因为不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅，所以Δ＝[－(a ＋1)]2－4<0. 解不等式得：－3<a <1.对于q ：f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数， 则有a ＋1>1，所以a >0.又p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题， 所以p 、q 必是一真一假．当p 真q 假时有－3<a ≤0，当p 假q 真时有a ≥1. 综上所述，a 的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞)．§1.4 全称量词与存在量词课时目标 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.会判定全称命题和特称命题的真假.3.能正确的对含有一个量词的命题进行否定.4.知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．1．全称量词和全称命题(1)短语“______________”“____________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示，常见的全称量词还有“对一切”“对每一个”“任给”“所有的”等．(2)含有______________的命题，叫做全称命题．(3)全称命题：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为____________．2．存在量词和特称命题(1)短语“______________”“________________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“________”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．(2)含有______________的命题，叫做特称命题．(3)特称命题：“存在M中的一个x0，有p(x0)成立”，可用符号简记为____________．3．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：____________；(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：____________.4．命题的否定与否命题命题的否定只否定________，否命题既否定______，又否定________．一、选择题1．下列语句不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小2．下列命题是特称命题的是()A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于33．下列是全称命题且是真命题的是()A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈Q，x2∈QC．∃x0∈Z，x20>1 D．∀x，y∈R，x2＋y2>04．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是()A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x0，使x20>0C．任一无理数的平方必是无理数D．存在一个负数x0，使1x0>25．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则()A．綈p：∃x0∈R，sin x0≥1B．綈p：∀x∈R，sin x≥1C．綈p：∃x0∈R，sin x0>1D．綈p：∀x∈R，sin x>16．“存在整数m0，n0，使得m20＝n20＋2 011”的否定是()A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2 011B．存在整数m0，n0，使得m20≠n20＋2 011C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2 011D．以上都不对题号123456答案。