命题及其关系强化训练专题练习(一)含答案人教版高中数学选修1-1

新编人教版精品教学资料第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题A级基础巩固一、选择题1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这4句诗中，可作为命题的是( )A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在南方”，故本句是命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．答案：A2．下列命题为真命题的是( )A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝yD．若x＜y，则x2＜y2解析：很明显A正确；B中，由x2＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，当x＝y＜0时，结论不成立，所以C是假命题；D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D是假命题．答案：A3．给出下列命题：①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；②若a、b都是正实数，则a＋b≥2ab；③若x2＞x，则x＞1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题为( )A．①③B．①②③C ．①③④D ．①④解析：①显然错误，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x 2＞x ，得x ＜0或x ＞1，所以③是假命题；④中函数y ＝x 3是幂函数，不是指数函数，④是假命题．答案：C4．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )A ．两个平面B ．一条直线C ．垂直D ．两个平面垂直于同一条直线解析：把命题改为“若p 则q ”的形式为若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行，则条件为“两个平面垂直于同一条直线”．答案：D5．下列语句中命题的个数为( )①若a ，G ，b 成等比数列，则G 2＝ab .②4－x 2≥0.③梯形是中心对称图形．④π>2吗？⑤2016年是我人生中最难忘的一年！A ．2B ．3C ．4D ．5解析：依据命题的概念知④和⑤不是陈述句，故④⑤不是命题；再从“能否判断真假”的角度分析：②不是命题．只有①③为命题，故选A.答案：A二、填空题6．下列语句：①2是无限循环小数；②x 2－3x ＋2＝0；③当x ＝4时，2x >0；④把门关上！其中不是命题的是________．解析：①是命题；②不是命题，因为语句中含有变量x ，在没给变量x 赋值的情况下，无法判断语句的真假；③是命题；④是祈使句，不是命题．答案：②④7．已知命题“f (x )＝cos 2ωx －sin 2ωx 的最小正周期是π”是真命题，则实数ω的值为________． 解析：f (x )＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝cos 2ωx ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪2π2ω＝π，解得ω＝±1. 答案：±18．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数；②二次函数的图象与x 轴有公共点；③平行四边形是梯形；④若ac 2＞bc 2，则a ＞b .其中真命题是________(写出所有真命题的编号)．解析：对于②，二次函数图象与x 轴不一定有公共点；对于③，平行四边形不是梯形． 答案：①④三、解答题9．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．(1)末位数字是0的整数能被5整除；(2)偶函数的图象关于y 轴对称；(3)菱形的对角线互相垂直．解：(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除，为真命题．(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称，为真命题．(3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题．10．已知：A ：5x －1＞a ，B ：x ＞1，请选择适当的实数a ，使得利用A 、B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题．解：若视A 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x ＞1＋a 5，则x ＞1”．由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4； 若视B 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x ＞1，则x ＞1＋a 5”．由命题为真命题可知1＋a 5≤1，解得a ≤4.故a 取任一实数均可利用A ，B 构造出一个真命题，比如这里取a ＝1，则有真命题“若x＞1，则x ＞25”． B 级 能力提升1．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．1D ．－3解析：C 中，当a ＝1时，Δ＝12－4×1×1＝－3<0，方程无实根，其余3项中，a 的值使方程均有实根．答案：C2．①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a//b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析：取a＝0，满足a·b＝a·c，但不一定有b＝c，故①不正确；当a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a//b时，6＋2k＝0，所以k＝－3，则②正确；非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|时，|a|，|b|，|a－b|构成等边三角形，所以a 与a＋b的夹角为30°，因此③错误．答案：②3．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)乘积为1的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行．解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”，它是真命题．(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“若p ，则q ”的逆命题是A ．若q ，则pB ．若p ⌝，则q ⌝C ．若q ⌝，则p ⌝D ．若p ，则q ⌝【答案】A【解析】“若p ，则q ”的逆命题是：“若q ，则p ”．故A 正确．故选A ． 2．下列语句中是命题的是A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．sin 451︒=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？ 【答案】B【解析】命题是可以判断真假的陈述句，4个选项中只有B 满足．故选B ． 3．以下说法错误的是A ．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题B ．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题C ．原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D ．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题 【答案】B4．命题“若a b 2<，则a -A ．若a b 2³，则a ³a ?B ．若a b 2>，则a a <-C ．若a ³a ?a b 2³D ．若a a <-a b 2> 【答案】C【解析】逆否命题需要否定条件和结论，并交换条件和结论的位置，故选C ． 5．“若1x >，则p ”为真命题，那么p 不能是 A ．1x >- B ．0x > C ．1x >D ．2x >【答案】D【解析】∵1x >时，不一定有2x >，所以p 不能是2x >．故选D ． 6．若p 的否命题是命题q 的逆命题，则命题p 是命题q 的 A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．p 与q 是同一命题【答案】C7．给定下列命题：①“若0k >，则方程220x x k +-=”有实数根；②若0a b >>，0c d >>，则ac bd >；③对角线相等的四边形是矩形；④若0xy =，则,x y 中至少有一个为0．其中真命题的序号是A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】B【解析】对于①，44()440k k =--=+>∆，故为真命题； 对于②，由不等式的性质知，显然是真命题；对于③，如等腰梯形的对角线相等，但不是矩形，故为假命题； 对于④，显然为真命题．故选B ．8．已知命题“若直线l 与平面α垂直， 则直线l 与平面α内的任意一条直线垂直”，则其逆命题、否命题、逆否命题中， 真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【答案】D【解析】因为该命题是正确的，所以逆否命题也是正确的；由于逆命题是正确的，而否命题也是逆命题的逆否命题，故也是正确的，故选D ． 9．有下列四个命题：（1）“若220x y +=，则0xy =”的否命题； （2）“若x y >，则22x y >”的逆否命题； （3）“若3x £，则260x x -->”的否命题； （4）“对顶角相等”的逆命题． 其中真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【答案】A10．已知命题:p 若0m >，则关于x 的方程20x x m +-=有实根，q 是p 的逆命题，下面结论正确的是A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假【答案】C【解析】因为0m >，所以140m ∆=+>，所以方程20x x m +-=有实根，所以p 是真命题．由题意知q 为“若关于x 的方程20x x m +-=有实根，则0m >”．因为要使方程20x x m +-=有实根，则0∆≥，即140m +≥，所以q 是假命题． 故选C ．二、填空题：请将答案填在题中横线上．11．命题“若实数a 满足3a £，则29a <”的否命题是_____________命题（填“真”或“假”）．【答案】真【解析】命题“若实数a 满足3a £，则29a <”的否命题是“若实数a 满足3a >，则29a ≥”，该命题是真命题．12．命题“若,a b ÎR 且a b >，0b ≠，则2()0a b b ->”的条件为_____________，结论为_____________．【答案】,a b ÎR 且a b >，0b ≠ 2()0a b b -> 【解析】由命题的定义易得．13．已知2():20p x x x m +->，如果(1)p 是假命题，(2)p 是真命题，则实数m 的取值范围为_____________．【答案】[3,8)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．142x =且1y =-”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． 【答案】见解析．【解析】逆命题：若2x =且1y =-2x ≠或1y ≠-．是真命题．逆否命题：若2x ≠或1y ≠-15．判断命题“已知,a x 为实数，如果关于x 的不等式22(21)20x a x a ++++?的解集非空，那么1a ³”的逆否命题的真假． 【答案】真命题．16．已知A ：51x a ->，B ：1x >，请选择适当的实数a ，使得利用A ，B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题． 【答案】见解析．【解析】若视A 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若15ax >＋，则1x >”． 由命题为真命题可知115a³＋，解得4a ³； 若视B 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若1x >，则15ax >＋”． 由命题为真命题可知115a£＋，解得4a £． 故a 取任一实数均可利用A ，B 构造出一个真命题， 比如这里取1a =，则有真命题“若1x >，则25x >”． 17．已知 p ：方程210x mx ++=有两个不相等的负实数根；q ：方程244(2)10x m x +-+=无实数根．若p 为假命题，q 为真命题，求实数m 的取值范围． 【答案】(1,2]．18．已知两个命题2:sin cos (),:1()0r x x x m s x x mx +>++>，如果对任意的,()x r x R Î与()s x 有且仅有一个是真命题，求实数m 的取值范围．【答案】(,2][)-∞- ．【解析】∵πsin cos )4x x x +=+?，∴当()r x 是真命题时，m <-又∵对任意的x ÎR ，()s x 是真命题，即210x mx ++>恒成立， 有240m =-<∆，解得22m -<<． 故当()r x 为真，()s x 为假时，可得m <-2m ?或2m ³，即2m ?．当()r x 为假，()s x 为真时，可得m ?22m -<<，即2m -?．综上所述，实数m 的取值范围是(,2][)-∞- ．。

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课后提升作业二四种命题(分钟分)一、选择题(每小题分,共分).(·重庆高二检测)已知直线,直线,则命题“若或,则直线与平行”的否命题为( ).若≠且≠,则直线与不平行.若≠或≠,则直线与不平行.若或,则直线与不平行.若≠或≠,则直线与平行【解析】选.命题“若,则”的否命题为“若﹁,则﹁”,显然“或”的否定为“≠且≠”,“直线与平行”的否定为“直线与不平行”,所以选. 【举一反三】若本题中条件不变,则原命题的逆命题是.【解析】将原命题中条件与结论交换即可.即逆命题为“若直线与平行,则或”.答案:若直线与平行,则或.(·银川高二检测)命题“若<<,则<”的逆否命题是( ).若≥或≤,则≥.若<,则<<.若>,则>或<.若≥,则≥或≤【解析】选.若原命题是“若,则”,则逆否命题为“若﹁,则﹁”,故此命题的逆否命题是“若≥,则≥或≤”..(·吉林高二检测)命题“若△有一内角为,则△的三内角成等差数列”的逆命题( ).与原命题同为假命题.与原命题的否命题同为假命题.与原命题的逆否命题同为假命题.与原命题同为真命题【解析】选.原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△的三内角成等差数列,则△有一内角为”,它是真命题..下列命题的否命题为“邻补角互补”的是( ).邻补角不互补.互补的两个角是邻补角.不是邻补角的两个角不互补.不互补的两个角不是邻补角【解题指南】解答本题只需求命题“邻补角互补”的否命题,因此把所给命题的条件与结论都否定,即为所求.【解析】选.“邻补角互补”与“不是邻补角的两个角不互补”互为否命题..“在△中,若∠°,则∠,∠全是锐角”的否命题为( ).在△中,若∠≠°,则∠,∠全不是锐角.在△中,若∠≠°,则∠,∠不全是锐角.在△中,若∠≠°,则∠,∠中必有一个钝角。

人教版高中数学选修1-1知识点梳理）巩固练习重点题型（常考知识点命题及其关系【学习目标】1．了解命题、真命题、假命题的概念，能够指出一个命题的条件和结论；2．了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系，能判断四种命题的真假；3．能熟练判断命题的真假性.【要点梳理】要点一、命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.要点诠释：1.不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“x>2”，“2不一定大于3”.2.只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“π是有理数吗？”、“今天天气真好！”等.3.语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性.要点二、命题的结构命题可以改写成“若p，则q”的形式，或“如果p，那么q”的形式.其中p是命题的条件，q是命题的结论.要点诠释：1.一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论.2.有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式.要点三、四种命题原命题：“若p，则q”；逆命题：“若q，则p”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置；否命题：“若非p，则非q”，或“若⌝p，则⌝q”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定；逆否命题：“若非q，则非p”，或“若⌝q，则⌝p”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定.要点诠释：对于一般的数学命题，要先将其改写为“若p，则q”的形式，然后才方便写出其他形式的命题.要点四、四种命题之间的关系四种命题之间的构成关系原命题若p则q 互互互逆为逆否逆命题若q则p互否否命题互为逆否否逆否命题若⌝p则⌝q 四种命题之间的真值关系原命题真真假假逆命题真假真假互逆否命题真假真假若⌝q则⌝p逆否命题真真假假要点诠释：（1）互为逆否命题的两个命题同真同假；（2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系.要点五、反证法：1.反证法是假设结论的否定成立，利用已知条件，经过推理论证得出矛盾，判定结论的否定错误，从而得出要证的结论正确.2.反证法的步骤：（1）假设结论不成立.（2）从假设出发推理论证得到矛盾（3）判定假设错误，肯定结论正确.3.互为逆否命题的两个命题同真同假是命题转化的依据和途径之一，因此在直接证明. 原命题有困难时，可以考虑证明与它等价的逆否命题.要点诠释：反证法是间接证明的重要方法之一.【典型例题】类型一：命题的概念例 1.判断下列语句是否为命题？若是，判断其真假.(1) x > 1 ；(2)当 x = 0 时, x > 1 ； (3) 你是男生吗？ (4) 求证： π 是无理数.【思路点拨】依据命题的定义判断。

►基础梳理1．命题的定义．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题．其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题．♨思考：如何推断一个语句是不是命题？答案：推断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以推断真假”这两个条件． 2．命题的结构．本章中我们只争辩“若p ，则q ”这种形式的命题．我们把这种形式的命题中的p 叫做命题的条件，把q 叫做命题的结论．►自测自评1．下列语句是命题的是①(填序号)． ①π2是无限不循环小数 ②3x ≤5③什么是“温室效应”？ ④明天给我买本《金版学案》解析：选项①，“π2是无限不循环小数”是陈述句，并且它是真的，所以是命题；选项②，由于无法推断“3x ≤5”的真假，所以选项②不是命题；选项③是疑问句，选项④是祈使句，故都不是命题．2．语句“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”(C ) A ．不是命题 B ．是假命题 C ．是真命题 D ．不能推断真假3．把命题“垂直于同一平面的两条直线相互平行”改成“若p ，则q ”的形式：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线相互平行．1．下列语句是命题的是(B )①72＋1≠50 ②5－x ＝0 ③存在x ∈R ，使x 2－4>0 ④平行于同一条直线的两条直线平行吗？ A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④2．下列命题中是真命题的是(B ) A.3是有理数 B ．22是实数C ．e 是有理数D ．{x |x 是小数}R 3．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两相等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的序号是________． 答案：②④4．将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并推断其真假． (1)正n 边形(n ≥3)的n 个内角全相等； (2)方程x 2－x ＋1＝0有两个实根； (3)菱形的对角线相互垂直； (4)偶函数的图象关于y 轴对称．答案：(1)若n (n ≥3)边形是正多边形，则它的n 个内角全相等．真命题． (2)若一个方程是x 2－x ＋1＝0，则它有两个实根．假命题． (3)若一个四边形是菱形，则它的对角线相互垂直．真命题． (4)若一个函数是偶函数，则它的图象关于y 轴对称．真命题．1．下列语句中，是命题的个数是(B )①求证：3是无理数 ②－5∈Z ③5是无理数 ④x 2－4x ＋7≥0.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列四个命题中是真命题的为(C ) A ．若sin A ＝sin B ，则∠A ＝∠B B ．若lg x 2＝0，则x ＝1C ．若a >b ，且ab >0，则1a <1bD．若b 2＝ac ，则a 、b 、c 成等比数列 3．下列说法正确的是(D )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题C ．命题“对角线相互垂直的四边形是菱形”是真命题D ．语句“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 解析：A 写成“若p 则q ”的形式，B 是命题，C 假命题．4．(2021·肇庆二模)对于平面α和直线m ，n ，下列命题中假命题的个数是(D )①若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ③若m ∥α，n ⊂a ，则m ∥n ④若m ∥n ，n ∥α，则m ∥αA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是(C ) A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BC D ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC 6．(2021·广州二模)对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是(D )。

主动成长夯其达标1.若命题p的否命题为r,命题r的逆命题为s,则s是p的逆命题t的（）A.逆否命题B.逆命题C.否命题D.原命题解析：设p为“若A，则B”，则r,s,t分别为“若⌝A，则⌝B”“若⌝B，则⌝A”“若B，则A”，故s是t的否命题.答案：C2.当命题“若p则q”为真时，下列命题中一定正确的是（）A.若q，则pB.若⌝p，则⌝qC.若⌝q，则⌝pD.p且q解析：因原命题与逆否命题等价，故选C.答案：C3.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中…（）A.真命题的个数一定是奇数B.真命题的个数一定是偶数C.真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D.以上判断均不正确解析：因“原命题”与“逆否命题”同真假，“逆命题”与“否命题”同真假，故真命题是成对出现的.答案：B4.有下列四个命题，其中真命题是（）①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题②“相似三角形的周长相等”的否命题③“若b≤0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题④“若A∪B=B，则A⊇B”的逆否命题A.①②B.②③C.①③D.②④答案：C2＋是无理数”时，假设正确的是…（）5.用反证法证明命题“3A.假设2是有理数B.假设3是有理数C.假设2或3是有理数2＋是有理数D.假设36.命题“若a >1,则a >0”的逆命题是 ，逆否命题是 .答案：若a ＞0，则a ＞1 若a ≤0，则a ≤1.7.写出命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断这四种命题的真假.解析：先根据四种命题的定义写出相应的命题，然后通过举反例判断相应命题为假命题，或说明相应命题为真命题.因为不等式的性质到目前还比较生疏，所以在判断时有一定难度.解：原命题：若a 2＞b 2，则a ＞b .逆命题：若a ＞b ，则a 2＞b 2.否命题：若a 2≤b 2，则a ≤b .逆否命题：若a ≤b ，则a 2≤b 2.取a =-1，b =0，有a 2＞b 2，但a ＞b 不成立，所以原命题为假，取a =-2，b =-3，有a ＞b ，但a 2＞b 2不成立，所以逆命题为假.根据原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假的性质，这四种命题全为假命题.8.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.（1）m ＞41时，mx 2-x +1=0无实根； （2）当ABC =0时，a =0或b =0或c =0.解析：改造原命题成“若p 则q ”形式，再分别写出其逆命题、否命题、逆否命题.在判定各种形式命题的真假时要注意利用等价命题的原理和规律.解：（1）原命题：“若m ＞41，则mx 2-x +1=0无实根”，是真命题； 逆命题：“若mx 2-x +1=0无实根，则m ＞41”，是真命题； 否命题：“若m ≤41，则mx 2-x +1=0有实根”是真命题； 逆否命题：“若mx 2-x +1=0有实根，则m ≤41”,是真命题. （2）原命题：“若abc =0，则a =0或b =0或c =0”，是真命题；逆命题：“若a =0或b =0或c =0，且abc =0”是真 命题 ；否命题：“若abc ≠0，则a ≠0且b ≠0且c ≠0”，是真命题；（注意：“a =0或b =0或c =0”的否定形式是“a ≠0且b ≠0且c ≠0”）逆否命题：“若a ≠0且b ≠0且c ≠0，则abc ≠0，”是真命题.点评：判定四种形式命题的真假可以借助互为逆否命题的等价性.9.如果一条直线和两条平行线中的一条是异面直线，且不与另一条直线相交，那么这条直线与另一条直线也是异面直线.证明：如右图，不妨设直线a ,b ,l 中，a ∥b ,l 与a 是异面直线，且l 与b 不相交. 假设l 与b 不是异面直线，则l 与b 共面，即l 与b 可能相交，也可能平行.若l 与b 相交，这与已知矛盾;若l 与b 平行，即l ∥b ,又a ∥b ,得l ∥a ,这与l 与a 异面相矛盾.综上可知，l 与b 是异面直线.10.(2005江苏)命题“若a ＞b ，则2a ＞2b -1”的否命题为 .答案：若a ≤b ，则2a ≤2b -111.(1999全国，18)α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ②α⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题 . 解析：假设①③④为条件，即m ⊥n ,n ⊥β,m ⊥α成立，如右图,过m 上一点P 作PB ∥n ，则PB ⊥m ,PB ⊥β，设垂足为B .又设m ⊥α的垂足为A ，过PA 、PB 的平面与α、β的交线l 交于点C ，因为l ⊥PA ,l ⊥PB ,所以l ⊥平面PAB ，得l ⊥A C,l ⊥B C,∠ACB 是二面角α-l-β的平面角. 显然∠APB +∠ACB =180°，因为PA ⊥PB ，所以∠ACB =90°，得α⊥β.由①③④推得②成立. 反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立.答案：m ⊥α,n ⊥β,α⊥β⇒m ⊥n 或m ⊥n ,m ⊥α,n ⊥β⇒α⊥β(二者任选一个即可)12.(2002上海春)已知函数()x f =12+-+x x ax (a ＞1). (1)证明：函数()x f 在（-1，+∞）上为增函数；（2）用反证法证明方程()x f =0没有负数根.解析：（1）任取x 1,x 2∈(-1,+∞)，不妨设x 1＜x 2，则x 2-x 1＞0，12x x a-＞1，且1x a ＞0， ∴2x a -1x a =1x a (12x x a --1)＞0.又∵x 1+1＞0,x 2+1＞0， ∴1222+-x x -1211+-x x =()()()()()()111212212112+++--+-x x x x x x =()()()1132112++-x x x x ＞0. 于是()2x f -()1x f =2x a -1x a +1222+-x x -1211+-x x ＞0, 故函数f (x )在（-1，+∞）上为增函数.（2）证法一：设存在x 0＜0（x 0≠-1）,满足()0x f =0，则0x a =1200+--x x ，且0＜0x a ＜1, ∴0＜1200+--x x ＜1，即21＜x 0＜2.与假设x 0＜0矛盾，故方程()x f =0没有负数根.证法二：设存在x 0＜0(x 0≠-1)，满足()0x f =0， ①若-1＜x 0＜0，则21200〈-+-x x ，0x a ＜1， ∴()0x f ＜-1与()0x f =0矛盾. ②若x 0＜-1，则1200+-x x ＞0，0x a ＞0,∴()0x f ＞0与()0x f =0矛盾. 故方程f (x )=0没有负数根.。

第一章 1.1 1.1.1A级基础巩固一、选择题1．下列语句中，是命题的是导学号 03624019( A )A．π是无限不循环小数B．3x≤5C．什么是“绩效工资”D．今天的天气真好呀！[解析] 由命题的定义可知，选项A正确．2．下列命题为真命题的是导学号 03624020( A )A．若1x＝1y，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝y D．若x<y，则x2<y2[解析] B中，若x2＝1，则x＝±1；C中，若x＝y<0，则x与y无意义；D中，若x＝－2，y＝－1，满足x<y，但x2>y2，故选A．3．下列语句中，不能成为命题的是导学号 03624021( B )A．5>12B．x>0C．已知a、b是平面向量，若a⊥b，则a²b＝0D．三角形的三条中线交于一点[解析] A是假命题；C、D是真命题，B中含变量x，未指定x的取值范围，无法判断真假，故不是命题．4．下列命题正确的是导学号 03624022( D )A．三点确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．四边形确定一个平面D．不共面的四点可以确定四个平面[解析] 因为四点不共面，所以任意三点不共线，又不共线的三点确定一个平面，所以不共面的四点可以确定四个平面．5．下列四个命题中，真命题是导学号 03624023( D ) A．a>b，c>d⇒ac>bdB．a<b⇒a2<b2C．1a<1b⇒a>bD．a>b，c<d⇒a－c>b－d[解析] ∵c<d，∴－c>－d，又∵a>b，∴a－c>b－d，故选D．6．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中是真命题的是导学号 03624024( B )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④[解析] ①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B．二、填空题7．给出下列命题导学号 03624025①若ac＝bc，则a＝b；②方程x2－x＋1＝0有两个实数根；③对于实数x，若x－2＝0，则(x－2)(x＋1)＝0；④若p>0，则p2>p；⑤正方形不是菱形．其中真命题是__③__，假命题是__①②④⑤__.[解析] c＝0时，①错；方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝－3<0，∴方程x2－x＋1＝0无实根；p＝0.5>0，但p2>p不成立；正方形的四条边相等，是菱形．因此①②④⑤都是假命题．对于③，若x－2＝0，则x＝2，∴(x－2)(x＋1)＝0，故正确．8．下列命题：①若xy＝1，则x、y互为倒数；②平行四边形是梯形；③若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是__①③__.导学号 03624026[解析] ①、③是真命题；②平行四边形不是梯形．三、解答题9．判断下列语句是否为命题，并说明理由.导学号 03624027(1)指数函数是增函数吗？(2)x>2；(3)x＝2和x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根；(4)请把窗户关上；(5)8>7；(6)这是一棵大树．[解析] (1)是疑问句，所以不是命题．(2)(6)不能判断真假，不是命题．(3)(5)是陈述句且能判断真假，是命题．(4)是祈使句，不是陈述句，所以不是命题．B级素养提升一、选择题1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是导学号 03624028( A ) A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思[解析] A为可判断真假的陈述句，所以是命题；而B为疑问句，C为祈使句，D为感叹句，所以均不是命题．2．下列命题中的真命题是导学号 03624029( A )A．二次函数的图象是一条抛物线B．若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形C．已知m、n∈R，若m2＋n2≠0，则mn≠0D．平行于同一直线的两个平面平行[解析] A是真命题；B中四边形可以是菱形，故B是假命题；C中当m＝0，n＝1时，m2＋n2≠0，而mn＝0，故C是假命题；D中两平面可以相交，故D是假命题．3．有下列命题：①若xy ＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a>b ，c ≠0，则ac>bc ；③矩形的对角线互相垂直．其中真命题共有导学号 03624030( A ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个[解析] ①中，当x ＝1，y ＝0时，xy ＝0，|x|＋|y|＝1，故①错误；②中，若a ＝2，b ＝1，c ＝－1，则ac ＝－2，bc ＝－1，ac<bc ，故②错误；③中，矩形对角线相等但不垂直，故③错误．4．下列命题中的假命题是导学号 03624031( B ) A ．若log 2x<2，则0<x<4B ．若a 与b 共线，则a 与b 的夹角为0°C ．已知非零数列{a n }满足a n ＋1－2a n ＝0，则该数列为等比数列D ．点(π，0)是函数y ＝sin x 图象上一点[解析] B 中当a 与b 共线，但方向相反时，a 与b 的夹角为180°，所以B 是假命题．5．(2017²鹰潭高二检测)在下列给出的命题中，所有正确命题的个数为导学号 03624032( C )①函数y ＝x 2－3x ＋1的图象关于x ＝32对称；②若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y x ＋2的最大值为33；③若△ABC 为锐角三角形，则sin A>cos B ． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个[解析] ①由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54知①正确，②y x ＋2表示平面直角坐标系中(x ，y)与(－2,0)两点所在直线的斜率，由数形结合知②正确，③由三角形中的性质知③正确，故应选C ．二、填空题。

1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系课后篇巩固提升基础巩固1.命题“若a n =2n 1,则数列{a n }是等差数列”的逆否命题是( )A.若a n ≠2n 1,则数列{a n }不是等差数列B.若数列{a n }不是等差数列,则a n ≠2n 1C.若a n =2n 1,则数列{a n }不是等差数列D.若数列{a n }是等差数列,则a n ≠2n 12.“若sin x ≥12,则x ≥π6”的否命题是( )A.若sin x<12,则x<π6B.若x ≥π6,则sin x ≥12C.若x<π6,则sin x<12D.若sin x ≤12,则x ≤π6若sin x ≥12,则x ≥π6”的否命题是“若sin x<12,则x<π6”.故选A .3.命题“a>1,则lg a>0”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中,真命题的个数为( )A.0B.2C.3D.4,则逆否命题为真;又当lg a>0时,必有a>1,所以逆命题为真,否命题也为真,故一共有4个命题是真命题.4.若命题r :“若p ,则 q ”的逆命题是真命题,那么下列命题一定为真命题的是( )A.若 p ,则qB.若q ,则 pC.若 p ,则 qD.若q ,则p“若p,则 q”的否命题“若 p,则q”一定是真命题.5.原命题为:“若α+β≠π2,则sin α≠cos β”,则下列说法正确的是()A.与其逆命题同为假命题B.与其否命题同为假命题C.与其否命题同为真命题D.与其逆否命题同为假命题“若sinα=cosβ,则α+β=π2”,显然是假命题,故原命题也为假命题.其否命题是“若α+β=π2,则sinα=cosβ”,显然是真命题,故D项正确.6.有下列四个命题:①“已知函数y=f(x),x∈D,若D关于原点对称,则函数y=f(x),x∈D为奇函数”的逆命题;②“对应边平行的两角相等”的否命题;③“若a≠0,则关于x的方程ax+b=0有实根”的逆否命题;④“若A∪B=B,则A≠B”的逆否命题.其中的真命题是()A.①②B.②③C.①③D.③④逆命题:“若函数y=f(x),x∈D为奇函数,则定义域D关于原点对称”,为真命题;②否命题:“对应边不平行的两角不相等”,为假命题;③逆否命题:“若关于x的方程ax+b=0无实根,则a=0”,为真命题;④逆否命题:“若A=B,则A∪B≠B”,是假命题.7.原命题:若x2+y2=0,x,y∈R,则x=0,y=0,则原命题的逆否命题为.x≠0或y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠08.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题为.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角9.分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假:(1)若x≥10,则2x+1>20;(2)如果两圆外切,那么两圆圆心距等于两圆半径之和;(3)在整数中,奇数不能被2整除.逆命题:若2x+1>20,则x≥10,为假命题;否命题:若x<10,则2x+1≤20,为假命题;逆否命题:若2x+1≤20,则x<10,为真命题.(2)逆命题:如果两圆圆心距等于两圆半径之和,那么两圆外切,是真命题;否命题:如果两圆不外切,那么两圆圆心距不等于两圆半径之和,是真命题;逆否命题:如果两圆圆心距不等于两圆半径之和,那么两圆不外切,是真命题.(3)逆命题:在整数中,不能被2整除的数是奇数,是真命题;否命题:在整数中,不是奇数的数能被2整除,是真命题;逆否命题:在整数中,能被2整除的数不是奇数,是真命题.10.已知m是整数,求证:若m2+6m是偶数,则m不是奇数.p:m是整数,若m2+6m是偶数,则m不是奇数.其逆否命题是:m是整数,若m是奇数,则m2+6m是奇数.以下证明该逆否命题为真命题.由于m是奇数,不妨设m=2k1(k∈Z),则m2+6m=(2k1)2+6(2k1)=4k2+8k5=4(k2+2k1)1,由于k∈Z,所以k2+2k∈Z,于是4(k2+2k)是偶数,从而4(k2+2k1)1为奇数,即m2+6m是奇数.因此逆否命题是真命题,从而原结论正确.能力提升1.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假状况是()A.原命题与逆命题均为真命题B.原命题为真命题,逆命题为假命题C.原命题为假命题,逆命题为真命题D.原命题与逆命题均为假命题“若a,b中没有一个大于等于1,则a+b<2”,等价于“若a<1,b<1,则a+b<2”,显然这个命题是真命题,所以原命题为真命题;原命题的逆命题为“若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2”,取a=5,b=5,则a,b中至少有一个不小于1,但a+b=0,所以原命题的逆命题为假命题.故选B.2.与命题“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”等价的命题是()A.若a,b,c不成等比数列,则b2=acB.若a,b,c成等比数列,则b2=acC.若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列D.若b2=ac,则a,b,c成等比数列,命题“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”的逆否命题是“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”,故选D.3.有下列四个命题:①“相似三角形周长相等”的否命题;②“若x>y,则x>|y|”的逆命题;③“若x=1,则x2+x2=0”的否命题;④“若b≤0,则方程x22bx+b2+b=0有实根”的逆否命题.其中真命题的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确,根据逆否命题同真同假,可得其否命题不正确;②“若x>y ,则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|,则x>y ”正确;③“若x=1,则x 2+x 2=0”的否命题为“若x ≠1,则x 2+x 2≠0”不正确;④“若b ≤0,则方程x 22bx+b 2+b=0有实根”,由Δ=4b 24(b 2+b )=4b ≥0,可得原命题正确,其逆否命题也正确.故选C .4.已知命题“若1<x<2,则m 1<x<m+1”的逆否命题是真命题,则实数m 的取值范围是 .,所以原命题为真命题,因此有{m -1≤1,m +1≥2,解得1≤m ≤2.5.命题:已知a ,b 为实数,若关于x 的不等式x 2+ax+b ≤0的解集是非空数集,则a 24b ≥0.写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断这些命题的真假.:已知a ,b 为实数,若a 24b ≥0,则关于x 的不等式x 2+ax+b ≤0的解集是非空数集.否命题:已知a ,b 为实数,若关于x 的不等式x 2+ax+b ≤0的解集是空集,则a 24b<0.逆否命题:已知a ,b 为实数,若a 24b<0,则关于x 的不等式x 2+ax+b ≤0的解集是空集.原命题、逆命题、否命题和逆否命题均为真命题.6.(选做题)求证:若x+y+z>60,则x ,y ,z 中至少有一个大于20.:若x+y+z>60,则x ,y ,z 中至少有一个大于20.其逆否命题是:若x ,y ,z 都小于或等于20,则x+y+z ≤60.由于x ≤20,y ≤20,z ≤20,由不等式的性质可得x+y+z ≤20+20+20=60,因此逆否命题正确,从而原结论正确.。

第一章常用逻辑用语命题及其关系四种命题四种命题间的相互关系级基础巩固一、选择题．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的( )．否命题．逆命题．逆否命题．无关命题解析：将命题“对角线相等的四边形是矩形”写成“若，则”的形式为：“若一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形”．而将命题“矩形的对角线相等”写成“若，则”的形式为：“若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等”．则前一个命题为后一个命题的逆命题．答案：．已知，，∈，命题“若＋＋＝，则＋＋≥”的否命题是( )．若＋＋≠，则＋＋＜．若＋＋＝，则＋＋＜．若＋＋≠，则＋＋≥．若＋＋≥，则＋＋＝解析：否定条件，得＋＋≠，否定结论，得＋＋＜.所以否命题是“若＋＋≠，则＋＋＜”．答案：．与命题“能被整除的整数，一定能被整除”等价的命题是( )．能被整除的整数，一定能被整除．不能被整除的整数，一定不能被整除．不能被整除的整数，一定不能被整除．不能被整除的整数，不一定能被整除解析：原命题与它的逆否命题是等价命题，原命题的逆否命题是：不能被整除的整数，一定不能被整除．答案：．下列说法：①原命题为真，它的否命题为假；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真．其中正确的是( )．②③．①②．②③④．③④解析：互为逆否命题的两个命题同真假，互为否命题和逆命题的两个命题，它们的真假性没有关系．答案：．有下列四种命题：①“若＋＝，则，互为相反数”的否命题；②“若＞，则＞”的逆否命题；③“若≤，则－－＞”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是( )．．．．解析：()原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若，互为相反数，则＋＝”，为真命题；()原命题与其逆否命题具有相同的真假性．而原命题为假命题(如＝，＝－)，故其逆否命题为假命题；()该命题的否命题为“若＞，则－－≤”，很明显为假命题；()该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题．答案：二、填空题．命题“若<，则－<<”的逆否命题为，是(填“真”或“假”)命题．解析：命题“若<，则－<<”的逆否命题为“若≥或≤－，则≥”，因为原命题是真命题，所以其逆否命题也是真命题．答案：若≥或≤－，则≥真．命题“当＝时，△是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有个．解析：原命题“当＝时，△是等腰三角形”是真命题，且互为逆否命题等价，故其逆否命题为真命题．其逆命题“若△是等腰三角形，则＝”是假命题，则否命题是假命题．则个命题中有个是真命题．答案：．设有两个命题：①不等式＋＞的解集是；②函数()＝是减函数．如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是．解析：①当＝时，＋＝＞恒成立，解集为.当≠时，若＋＞的解集为，必有＞. 综上知，不等式＋＞的解集为，必有≥.。