函数 极限 连续一. 填空题1．设 , 则a = ________.解. 可得 = , 所以 a = 2. 2. =________.解.< <所以 < <, (n ), (n )所以 =3. 已知函数, 则f[f(x)] _______.解. f[f(x)] = 1. 4. =_______.解.=5. =______.解.6. 已知( 0 ), 则A = ______, k = _______.解.所以 k－1=1990, k = 1991;二. 单项选择题1. 设f(x)和 (x)在(－ , + )内有定义, f(x)为连续函数, 且f(x) 0, (x)有间断点, 则(a) [f(x)]必有间断点 (b) [ (x)]2必有间断点 (c) f [ (x)]必有间断点 (d) 必有间断点解. (a) 反例, f(x) = 1, 则 [f(x)]=1(b) 反例, [ (x)]2 = 1(c) 反例, f(x) = 1, 则f [ (x)]=1(d) 反设 g(x) = 在(－ , + )内连续, 则 (x) = g(x)f(x) 在(－ , + )内连续, 矛盾. 所以(d)是答案.2. 设函数, 则f(x)是(a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数解. (b)是答案.3. 极限的值是(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在解.=, 所以(b)为答案.4. 设, 则a的值为(a) 1 (b) 2 (c) (d) 均不对解. 8 = ==, , 所以(c)为答案.5. 设, 则 , 的数值为(a) = 1, = (b) = 5, = (c) = 5, = (d) 均不对解. (c)为答案.6. 设, 则当x 0时(a) f(x)是x的等价无穷小 (b) f(x)是x的同阶但非等价无穷小(c) f(x)比x较低价无穷小 (d) f(x)比x较高价无穷小解. =, 所以(b)为答案.7. 设, 则a的值为(a) －1 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. , 1 + a = 0, a = －1, 所以(a)为答案.8. 设, 则必有(a) b = 4d (b) b =－4d (c) a = 4c (d) a =－4c解. 2 ==, 所以a =－4c, 所以(d)为答案.1. 求下列极限(1)解.(2)解. 令=(3)解.===.2. 求下列极限(1)解. 当x 1时, , . 按照等价无穷小代换(2)解. 方法1：========方法2：=======3. 求下列极限(1)解.(2)解.(3) , 其中a > 0, b > 0解.=4. 求下列函数的间断点并判别类型(1)解. ,所以x = 0为第一类间断点.(2)解.显然, 所以x = 1为第一类间断点;, 所以x = －1为第一类间断点.(3)解. f(+0) =－sin1, f(－0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点;不存在. 所以x = 1为第二类间断点;不存在, 而,所以x = 0为第一类可去间断点;, (k = 1, 2, …) 所以x =为第二类无穷间断点.5. 设, 且x = 0 是f(x)的可去间断点. 求 , .解. x = 0 是f(x)的可去间断点, 要求存在. 所以. 所以0 ==所以 = 1.=上式极限存在, 必须.6. 设, b 0, 求a, b的值.解. 上式极限存在, 必须a =(否则极限一定为无穷). 所以=. 所以.7. 讨论函数在x = 0处的连续性.解. 当时不存在, 所以x = 0为第二类间断点;当时, 所以时,在 x = 0连续, 时, x = 0为第一类跳跃间断点.8. 设f(x)在[a, b]上连续, 且a < x1 < x2 < … < x n < b, c i (i = 1, 2, 3, …, n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个 , 使.证明: 令M =, m =. 不妨假定所以 m M所以存在 ( a < x1 x n < b), 使得9. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个 , 使f( ) = .证明: 假设F(x) = f(x)－x, 则F(a) = f(a)－a < 0, F(b) = f(b)－b > 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个 , 使f( ) = .10. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且0 f(x) 1, 试证在[0, 1]内至少存在一个 , 使f( ) = .证明: (反证法) 反设. 所以恒大于0或恒小于0. 不妨设. 令, 则.因此. 于是, 矛盾. 所以在[0, 1]内至少存在一个 , 使f( ) = .11. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个 , 使f( ) = g( ).证明: 假设F(x) = f(x)－g(x), 则F(a) = f(a)－g(a) < 0, F(b) = f(b)－g(b) > 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个 , 使f( ) = .12. 证明方程x5－3x－2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根.证明: 令F(x) = x5－3x－2, 则F(1) =－4 < 0, F(2) = 24 > 0所以在(1, 2)内至少有一个 , 满足F( ) = 0.13. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且, 求及.解. . 所以. f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以在x = 0连续. 所以f(0) = －3. 因为, 所以, 所以=由, 将f(x)泰勒展开, 得, 所以, 于是.(本题为2005年教材中的习题, 2006年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题)倒数与微分一. 填空题(理工类)1. , 则= _______.解. , 假设, 则, 所以2. 设, 则______.解. ,3. 设函数y = y(x)由方程确定, 则______. 解. , 所以4. 已知f(－x) =－f(x), 且, 则______.解. 由f(－x) =－f(x)得, 所以所以5. 设f(x)可导, 则_______.解.=+=6. 设, 则k = ________.解. , 所以所以7. 已知, 则_______.解. , 所以. 令x2 = 2, 所以8. 设f为可导函数, , 则_______.解.9. 设y = f(x)由方程所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______.解. 上式二边求导. 所以切线斜率. 法线斜率为, 法线方程为, 即 x－2y + 2 = 0.二. 单项选择题(理工类)1. 设f(x)可导, F(x) = f(x)(1+|sin x|), 则f(0) = 0是F(x)在x = 0处可导的(a) 充分必要条件 (b) 充分但非必要条件 (c) 必要但非充分条件(d) 既非充分又非必要条件解. 必要性:存在, 所以=, 于是======所以, 2f(0) = 0, f(0) = 0充分性:已知f(0) = 0, 所以========所以存在. (a)是答案.2. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且, 则当n为大于2的正整数时, f(x)的n阶导数是(a) (b) (c) (d)解. , 假设=, 所以=, 按数学归纳法=对一切正整数成立. (a)是答案.3. 设函数对任意x均满足f(1 + x) = af(x), 且b, 其中a, b为非零常数, 则(a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且 a(c) f(x)在x = 1处可导, 且 b (d) f(x)在x = 1处可导, 且ab解. 在f(1 + x) = af(x)中代入=, 所以. (d)是答案注: 因为没有假设可导, 不能对于二边求导.4. 设, 则使存在的最高阶导数n为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. .所以n = 2, (c)是答案.5. 设函数y = f(x)在点x0处可导, 当自变量x由x0增加到x0 + x时, 记 y为f(x)的增量, dy为f(x)的微分, 等于(a) －1 (b) 0 (c) 1 (d)解. 由微分定义 y = dy + o( x), 所以. (b)是答案.6. 设在x = 0处可导, 则(a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b为任意常数解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以, 所以b = 0., , 所以 0 = a. (c)是答案.7. 设f(0) = 0, 则f(x)在x = 0处可导的充要条件为(a) h)存在. (b) 存在.(c) h)存在. (d) 存在.解. 由存在可推出(a)中的极限值为, (b)中的极限值为 , (d)中的极限值为, 而(c)中的极限为:;反之(a) 及(c)中的极限值存在, 不一定存在, 举反例如下: y = |x|, 不存在, (a)、(c)二表达式的极限都存在排除(a)及(c). (d)中的极限存在, 不一定存在, 举反例如下:, 排除(d). 所以(b)是答案.由(b)推出存在证明如下:==所以存在.8. 设函数f(x)在(－ , + )上可导, 则(a) 当时, 必有(b) 当时, 必有(c) 当时, 必有(d) 当时, 必有解. (a)不正确. 反例如下: y = x; (b)不正确. 反例如下: ; (c)不正确. 反例如下: ; (d)是答案. 证明如下: 因为, 所以对于充分大的x, 单增. 如果, 则证明结束, 否则单增有上界, 则存在(k为有限数). 任取x, 在区间[x, x + 1]上用拉格朗日定理(x < < x + 1)令x + , 于是0 = + , 矛盾. 所以.9. 设函数f(x)在x = a处可导, 则函数|f(x)|在x = a处不可导的充分条件是(a) f(a) = 0且. (b) f(a) = 0且.(c) f(a) > 0且. (d) f(a) < 0且.解. (a) 反例f(x) = 0, 取a = 0. 排除(a); (c) 反例: , 取a = 0. f(0) = 1 > 0,, |f(x)| = f(x), 在x = 0可导. 排除(c); (d) 反例: , 取a = 0. 排除(d); 所以(b)是答案. 对于(b)证明如下: 在(b)的条件下证明不存在.不妨假设. . 所以存在 , 当x (a－ , a + )时. 所以当x > a时, f(x) > 0. 于是. 当x < a时f(x)< 0. 于是. 所以不存在.三. 计算题(理工类)1.解.2. 已知f(u)可导,解.=3. 设y为x的函数是由方程确定的, 求.解., 所以4. 已知, 求.解. ,5. 设, 求解. ,6. 设函数f(x)二阶可导, , 且, 求, .解. , 所以=3.所以7. 设曲线x = x(t), y = y(t)由方程组确定. 求该曲线在t = 1处的曲率.解. . 所以所以.所以. 在t = 1的曲率为四. 已知, 其中g(x)有二阶连续导数, 且g(0) = 1(1) 确定a 的值, 使f(x)在x = 0点连续; (2) 求.解. (1) f(x)在x = 0点连续, 所以,所以, 所以g(0) = cos 0 = 1(这说明条件g(0) = 1是多余的). 所以=(2) 方法1:=== (0 < < x)=所以方法2:====五. 已知当x 0时, f(x)有定义且二阶可导, 问a, b, c为何值时二阶可导.解. F(x)连续, 所以, 所以c = f(－0) = f(0);因为F(x)二阶可导, 所以连续, 所以b = , 且存在, 所以, 所以, 所以六. 已知.解., k = 0, 1, 2, …, k = 0, 1, 2, …七. 设, 求.解. 使用莱布尼兹高阶导数公式=所以一元函数积分学一. 求下列不定积分:1.解.2.解.3.解. 方法一: 令,=方法二:==二. 求下列不定积分:1.解.=2.解. 令x = tan t,=3.解. 令=4. (a > 0)解. 令= 5.解. 令====6.解. 令=三. 求下列不定积分:1.解.2.解. 令,=四. 求下列不定积分:1.解.==2.解.五. 求下列不定积分:1.解.2.解.=3.解.4.解.六. 求下列不定积分:1.解.=====2.解.=3.解.七. 设, 求. 解.考虑连续性, 所以c =－1+ c1, c1 = 1 + c八. 设, (a, b为不同时为零的常数), 求f(x).解. 令, , 所以=九. 设当x 0时, 连续, 求.解.==+－=+c.十. 设, 求f(x).解.令, 所以所以十一. 求下列不定积分:1.解. 令=2.解. 令=3.解. +=－= 4. (a > 0)解.======十二. 求下列不定积分:1.解.=2.解.===一．若f(x)在[a，b]上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数 (x), 均有, 则f(x) 0.证明: 假设f( ) 0, a < < b, 不妨假设f( ) > 0. 因为f(x)在[a，b]上连续, 所以存在 > 0, 使得在[ － , + ]上f(x) > 0. 令m = . 按以下方法定义[a，b]上 (x): 在[ － ,+ ]上 (x) =, 其它地方 (x) = 0. 所以.和矛盾. 所以f(x) 0.二. 设 为任意实数, 证明: =.证明: 先证: =令 t =, 所以=于是=所以=.所以同理.三．已知f(x)在[0，1]上连续, 对任意x, y都有|f(x)－f(y)| < M|x－y|, 证明证明: ,四. 设, n为大于1的正整数, 证明: .证明: 令t =, 则因为> 0, (0 < t < 1). 所以于是立即得到五. 设f(x)在[0, 1]连续, 且单调减少, f(x) > 0, 证明: 对于满足0 < < < 1的任何 , , 有证明: 令(x ), ., (这是因为t , x , 且f(x)单减).所以, 立即得到六. 设f(x)在[a, b]上二阶可导, 且< 0, 证明:证明: x, t [a, b],令, 所以二边积分=. 七. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且单调不增, 证明: 任给 (0, 1), 有证明: 方法一: 令(或令), 所以F(x)单增;又因为F(0) = 0, 所以F(1) F(0) = 0. 即, 即方法二: 由积分中值定理, 存在 [0, ], 使;由积分中值定理, 存在 [ , 1], 使因为.所以八. 设f(x)在[a, b]上具有二阶连续导数, 且, 证明: 在(a, b)内存在一点 ,使证明: 对于函数，用泰勒公式展开：t, x [a, b]=(1)(1)中令x = a, t = b, 得到(2)(1)中令x = b, t = a, 得到(3)(3)－(2)得到于是=注: 因为需要证明的等式中包含, 其中二阶导数相应于(b－a)的三次幂, 所以将泰勒展开; 若导数的阶数和幂指数相同, 一般直接将f(x)泰勒展开.九. 设f连续, 证明:证明:=所以 2即十. 设f(x)在[a, b]上连续, 在[a, b]内存在而且可积, f(a) = f(b) = 0, 试证:, (a < x < b)证明: , 所以,即;即所以即, (a < x < b)十一. 设f(x)在[0, 1]上具有二阶连续导数, 且, 试证:证明: 因为（0，1）上f(x) 0, 可设 f(x) > 0因为f(0) = f(1) = 0x0 (0,1)使 f(x0) =(f(x))所以>（1）在（0，x0）上用拉格朗日定理在（x0, 1）上用拉格朗日定理所以（因为）所以由（1）得十二．设f(x)在[a, b]上连续, 且f(x) > 0,则证明: 将lnx在x0用台劳公式展开（1）令 x = f（t）代入（1）将上式两边取，最后一项为0，得十三. 设f(x)在[0, 1]上有一阶连续导数, 且f(1)－f(0) = 1, 试证:证明:十四. 设函数f(x)在[0, 2]上连续, 且= 0, = a > 0. 证明: [0, 2], 使|f( )| a.解. 因为f(x)在[0, 2]上连续, 所以|f(x)|在[0, 2]上连续, 所以 [0, 2], 取 使|f( )| = max |f(x)| (0 x 2)使|f( )| |f(x)|. 所以一. 计算下列广义积分:(1) (2) (3)(4) (5) (6)解.(1)(2)(3)因为, 所以积分收敛.所以=2(4)(5)(6)微分中值定理与泰勒公式一. 设函数f(x)在闭区间[0, 1]上可微, 对于[0, 1]上每一个x, 函数f(x)的值都在开区间(0, 1)内, 且, 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个x, 使f(x) = x.证明: 由条件知0 < f(x) < 1. 令F(x) = f (x)－x, 于是F(0) > 0, F(1) < 0,所以存在 (0, 1), 使F( ) = 0. 假设存在 1, 2 (0, 1), 不妨假设 2 < 1, 满足f( 1) = 1,f( 2) = 2. 于是 1－ 2= f( 1)－f( 2) = . ( 2< < 1). 所以, 矛盾.二. 设函数f(x)在[0, 1]上连续, (0, 1)内可导, 且. 证明: 在(0, 1)内存在一个 , 使.证明: , 其中 1满足.由罗尔定理, 存在 , 满足0 < < 1, 且.三．设函数f(x)在[1, 2]上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x－1)2f(x), 证明: 在(1, 2)内至少存在一个 , 使.证明: 由于F(1) = F(2) = 0, 所以存在 1, 1 < 1 < 2, 满足. 所以.所以存在 , 满足1 < < 1, 且.四. 设f(x)在[0, x](x > 0)上连续, 在(0, x)内可导, 且f(0) = 0, 试证: 在(0, x)内存在一个 ,使.证明: 令F(t) = f(t), G(t) = ln(1+t), 在[0, x]上使用柯西定理, (0, x)所以, 即五. 设f(x)在[a, b]上可导, 且ab > 0, 试证: 存在一个 (a, b), 使证明: 不妨假设a > 0, b > 0. 令. 在[a, b]上使用拉格朗日定理六. 设函数f(x), g(x), h(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 证明:存在一个 (a, b), 使证明: 令, 则F(a) = F(b) = 0, 所以存在一个 (a, b), 使七. 设函数f(x)在[0, 1]上二阶可导, 且f(0) = f(1) = 0, 试证: 至少存在一个 (0, 1), 使证明: (, 二边积分可得, 所以)令. 由f(0) = f(1) = 0知存在 (0, 1), . 所以F( ) = F(1) = 0, 所以存在 ( , 1), . 立即可得八. 设f(x)在[x1, x2]上二阶可导, 且0 < x1 < x2, 证明:在(x1, x2)内至少存在一个 , 使证明: 令, 在[x1, x2]上使用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个 , 满足九. 若x1x2 > 0, 证明: 存在一个 (x1, x2)或(x2, x1), 使证明: 不妨假设0 < x1 < x2. 令, 在[x1, x2]上使用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个 , 满足立即可得.十. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且f(a) = f(b) = 0, g(x) 0, 试证: 至少存在一个 (a, b), 使证明: 令, 所以F(a) = F(b) = 0. 由罗尔定理至少存在一个 (a, b), 使,于是.十一. 设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内有二阶连续导数, 试证: 至少存在一个 (a, b), 使证明: x, t [a, b], 有取t =, 分别取x = b, x = a, 得到二式相加, 得所以存在 (a, b), 使得十二. 设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且f(a) = f(b) = 1, 证明: 存在 、 (a, b), 使得证明: 对于在[a, b]上使用拉格朗日定理, 在(a, b)内存在 , 使得所以在(a, b)内存在 , 使得即是常微分方程一. 求解下列微分方程：1. 解. .令.(将y看成自变量), 所以, ,, , .2.解. 令., 所以, . 由所以c = 0. , 得到, , 即.二. 求解下列微分方程：1.解. 令. 得到, 为一阶线性方程解得. 即.2.解. 原方程可化为.即, 为一阶线性方程(y为自变量, x为因变量).解得: .3.解. 令, 则. 原方程化为, 为贝奴利方程..令, 则. 方程化为, 为一阶线性方程.解得. 即, .三. 求解下列微分方程：1.解. .于是. 所以方程解为.2.解.设函数满足= .所以,所以. 于是所以原方程的解为3.解. 由原方程可得得到.于是原方程解为.四. 求解下列微分方程:1.解.令, 得到为一阶线性方程. 解得.即2.解. 该方程为贝奴利方程..令,. 解得于是五. 设在实轴上连续, 存在, 且具有性质, 试求出.解. , , , .i) . 对于任何x有所以.所以.ii)上式令, 得到解得.六. 求解下列方程:1.解. 可得. 这是以y为自变量的一阶线性方程.解得., . 所以得解.2.解. 令. 可得, , ., , .解为.七. 求解下列方程:1.解. 令.所以,所以, ,于是解为.2.解. 令, ,令于是得到, 为u对于x的一阶线性方程解得, , 得c = 0., , ,所以3.解. 令得到令, 得到为关于y的一阶线性方程. 且解得所以, .于是,, ,, 得到, 得解八. 求解下列微分方程:1.解. 特征方程于是得解2.解. 特征方程,, ,得通解为由得到, , ,得特解九. 求解下列微分方程:1.解. 特征方程,齐次方程通解非齐次方程特解:考察==所以所以通解为2.解. 特征方程,齐次方程特解非齐次方程通解=(计算方法同上题, 取的虚部)所以由可得得解3.解. 特征方程,i)ii)所以一元微积分的应用一. 选择题1. 设f(x)在(－ , + )内可导, 且对任意x1, x2, x1 > x2时, 都有f(x1) > f(x2), 则(a) 对任意x, (b) 对任意x,(c) 函数f(－x)单调增加 (d) 函数－f(－x)单调增加解. (a) 反例:, 有; (b) 显然错误. 因为, 函数单减;(c) 反例:,单调减少; 排除(a), (b), (c)后, (d)为答案. 具体证明如下:令F(x) = －f(－x), x1 > x2, －x1 < －x2. 所以F(x1) =－f(－x1) > －f(－x2) = F(x2).2. 设f(x)在[－ , + ]上连续, 当a为何值时, 的值为极小值.(a) (b)(c) (d)解.为a的二次式.。
