2021届高考数学核按钮【新高考广东版】3.1 函数的概念及其表示

考点一命题及其关系1.命题的概念(1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题，其中__________的语句叫做真命题，____________的语句叫做假命题.(2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为____________.(3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为________________.(4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为________________.(5)一般地，设“若p，则q”为原命题，那么__________就叫做原命题的逆命题；__________就叫做原命题的否命题；________________就叫做原命题的逆否命题.2.四种命题间的相互关系(1)四种命题间的相互关系图(请你补全)(2)真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性，即等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________.自查自纠1.(1)判断真假判断为真判断为假(2)互逆命题(3)互否命题(4)互为逆否命题(5)若q，则p若p，则q若q，则p2.(1)(2)①相同②没有关系类型一四种命题及其相互关系例1写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假.(1)若a＞b，则ac2＞bc2；(2)在△ABC中，若AB＞AC，则∠C＞∠B；(3)若x2－2x－3＞0，则x＜－1或x＞3.解：(1)因为当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题为假命题．逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b.它为真命题．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.它为真命题．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.它为假命题．(2)逆命题：在△ABC中，若∠C＞∠B，则AB＞AC.否命题：在△ABC中，若AB≤AC，则∠C≤∠B.逆否命题：在△ABC中，若∠C≤∠B，则AB≤AC.这里，四种命题都是真命题．(3)逆命题：若x＜－1或x＞3，则x2－2x－3＞0.否命题：若x2－2x－3≤0，则－1≤x≤3.逆否命题：若－1≤x≤3，则x2－2x－3≤0.这里，四种命题都是真命题．评析写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原命题的条件p与结论q，将原命题写成“若p，则q”的形式.在题(2)中，原命题有大前提“在△ABC中”，在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时，应当保留这个大前提.题(3)中“x ＜－1或x＞3”的否定形式是“x≥－1且x≤3”，即“－1≤x≤3”.变式1(1) (2018·长春质检二)命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A.若x2≥1，则x≥1或x≤－1B.若－1<x<1，则x2<1C.若x>1或x<－1，则x2>1D.若x≥1或x≤－1，则x2≥1解：对原命题的条件进行否定作为逆否命题的结论，对原命题的结论进行否定作为逆否命题的条件，由此知命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”.故选D.(2)下列四个命题中，其中所有假命题的序号是()①命题“若m＋n>2t，则m>t且n>t”的逆命题；②命题“相似三角形的面积相等”的否命题；③命题“末位数字不为零的整数能被3整除”的逆否命题；④命题“若c>1，则方程x2－2x＋c＝0没有实数根”的否命题.A.②③B.①④C.①②D.③④解：因为①中所给命题的逆命题“若m>t且n>t，则m＋n>2t”成立，所以①为真命题．因为②中所给命题的否命题“如果两个三角形不相似，那么它们的面积不相等”不成立，所以②为假命题．因为③中所给命题的逆否命题“如果一个整数不能被3整除，那么它的末位数字为零”不成立，所以③为假命题．也可由原命题为假知其逆否命题为假．因为④中所给命题的否命题为“若c≤1，则方程x2－2x＋c＝0有实数根”，而c≤1时，Δ＝4－4c ≥0，所以④为真命题．综上知，②③为假命题．故选A.1.命题“若xy＝0，则x＝0”的逆否命题是()A.若x＝0，则xy≠0B.若xy≠0，则x≠0C.若xy≠0，则y≠0D.若x≠0，则xy≠0解：“若xy＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则xy≠0”.故选D.2.下列命题：①“若a2<b2，则a<b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题.其中所有正确命题的序号是()A.③④B.①③C.①②D.②④解：对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确．故选A.3.命题“f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)·g(x)，若f(x)，g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3解：由f(x)，g(x)均为奇函数可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，这是因为h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝(－f(x))·(－g(x))＝f(x)·g(x)＝h(x)，反之则不成立，如h(x)＝x2，f(x)＝x2x2＋1，g(x)＝x2＋1，h(x)是偶函数，但f(x)，g(x)都不是奇函数，故原命题的逆命题是假命题，其否命题也是假命题，只有其逆否命题是真命题．故选B.4.(2019·河北正定中学月考)已知条件p：|5x－1|>a(a>0)和条件q：12x2－3x＋1>0，请选取适当的实数a的值，分别利用所给出的两个条件作为A，B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，并说明理由.解：已知条件p即5x－1<－a或5x－1>a，所以x<1－a5或x>1＋a5.已知条件q即2x2－3x＋1>0，所以x<12或x>1；令a＝4，则p即x<－35或x>1，此时必有p⇒q成立，反之不然．故可以选取一个实数a＝4，A为p，B为q，对应的命题是若A则B.由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，而它的逆命题为假命题．。

第二章函数、导数及其应用第1讲函数及其表示[考纲解读] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．(重点)3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2021年会考查函数的解析式与分段函数的应用，可能涉及函数的求值、函数图象的判断及最值的求解.1．函数及有关概念(1)函数的概念设A，B是□01非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的□02任意一个数x，在集合B中都有□03唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作□04y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的□05定义域；与x的值相对应的y值叫做□06函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的□07值域．(3)函数的三要素：□08定义域、□09对应关系和□10值域．(4)相等函数：如果两个函数的□11定义域和□12对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有□01解析法、□02图象法和□03列表法．3．分段函数(1)定义：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的□01对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．(2)分段函数的相关结论①分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．②分段函数的定义域等于各段函数的定义域的□02并集，值域等于各段函数的值域的□03并集．1．概念辨析(1)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .( ) (2)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( ) (4)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．小题热身 (1)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)答案 C解析 由⎩⎨⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3，所以已知函数的定义域为⎣⎡⎭⎫32，3∪(3，＋∞)． (2)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x ＋1D ．y ＝x 2＋1答案 B解析 对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．(3)若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋2，x ≤0，2x －4，x >0，则f [f (1)]的值为( )A ．－10B ．10C ．－2D ．2 答案 C解析 f (1)＝21－4＝－2，f [f (1)]＝f (－2)＝2×(－2)＋2＝－2.(4)函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________，值域是________，其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．(图中，曲线l 与直线m 无限接近，但永不相交)答案 [－3,0]∪[1,4) [1，＋∞) [1,2)∪(5，＋∞)解析 观察函数y ＝f (x )的图象可知，f (x )的定义域为[－3,0]∪[1,4)，值域是[1，＋∞)，当y ∈[1,2)∪(5，＋∞)时，只有唯一的x 值与之对应．(5)已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________. 答案5x ＋1x 2(x ≠0) 解析 令t ＝1x ，则t ≠0，x ＝1t ，f (t )＝⎝⎛⎭⎫1t 2＋5·1t ＝5t ＋1t 2.所以f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)．题型一 函数的定义域1．函数y ＝lg (2－x )12＋x －x 2＋(x －1)0的定义域是( )A ．{x |－3＜x ＜1}B ．{x |－3＜x ＜2且x ≠1}C ．{x |0＜x ＜2}D ．{x |1＜x ＜2}答案 B解析要使函数解析式有意义，须有⎩⎨⎧2－x ＞0，12＋x －x 2＞0，x －1≠0，解得⎩⎨⎧x ＜2，－3＜x ＜4，x ≠1，所以－3＜x ＜2且x ≠1.故已知函数的定义域为{x |－3＜x ＜2且x ≠1}．2．函数f (x )的定义域是[2，＋∞)，则函数y ＝f (2x )x －2的定义域是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 依题意得⎩⎨⎧2x ≥2，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2，所以函数y ＝f (2x )x －2的定义域是[1,2)∪(2，＋∞)．3．(2020·安阳三校联考)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4]答案 D解析 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立．当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎨⎧m ＞0，m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上可得，0≤m ≤4.1.函数y ＝f (x )的定义域2.抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．如举例说明2中f (x )的定义域是[2，＋∞)，f (2x )中x 应满足2x ≥2.(2)若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域. 3.已知函数的定义域求参数问题的解题步骤(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题．如举例说明3.(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围.1.函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln (x －1)的定义域为( )A.[1,10] B ．[1,2)∪(2,10] C.(1,10] D ．(1,2)∪(2,10]答案 D解析要使原函数有意义，则⎩⎨⎧－x 2＋9x ＋10≥0，x －1＞0，x －1≠1，解得1＜x ≤10且x ≠2，所以函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln (x －1)的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选D.2.(2020·东北师大附中摸底)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎫x －12的定义域是( )A.⎣⎡⎦⎤12，1 B.⎣⎡⎦⎤12，2 C.⎣⎡⎦⎤12，32 D.⎣⎡⎦⎤1，32 答案 C解析由题意得⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，解得12≤x ≤32，所以函数g (x )的定义域是⎣⎡⎦⎤12，32. 3.已知函数y ＝1kx 2＋2kx ＋3的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________.答案 [0,3)解析 当k ＝0时，y ＝13，满足条件；当k ≠0时，由⎩⎨⎧ k ＞0，4k 2－12k ＜0，得0＜k ＜3.⎩⎨⎧k <0，4k 2－12k <0，无解.综上，0≤k ＜3.题型二 求函数的解析式1.已知f ⎝⎛⎭⎫2x －1＝lg x ，则f (x )＝________. 答案 lg2x ＋1(x >－1) 解析 令t ＝2x －1，则由x >0知2x －1>－1，x ＝2t ＋1，所以由f ⎝⎛⎭⎫2x －1＝lg x ，得f (t )＝lg 2t ＋1(t >－1)，所以f (x )＝lg2x ＋1(x >－1). 2.已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋x －2，则f (x )＝________. 答案 x 2－2(x ≥2或x ≤－2)解析 因为f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋x －2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 且当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，x ＋1x ≤－2，所以f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2).3.已知f (x )是二次函数且f (0)＝5，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 答案12x 2－32x ＋5 解析 因为f (x )是二次函数且f (0)＝5， 所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋5(a ≠0). 又因为f (x ＋1)－f (x )＝x －1，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋5－(ax 2＋bx ＋5)＝x －1，整理得(2a －1)x ＋a ＋b ＋1＝0，所以⎩⎨⎧2a －1＝0，a ＋b ＋1＝0，解得a ＝12，b ＝－32，所以f (x )＝12x 2－32x ＋5.4.已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 答案 2x －1x(x ≠0)解析 因为2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①所以将x 用1x 替换，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x ，② 由①②解得f (x )＝2x －1x (x ≠0)，即f (x )的解析式是f (x )＝2x －1x (x ≠0).求函数解析式的四种方法1.若函数f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝4x ＋3，则函数f (x )的解析式为________. 答案 f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝af (x )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋3，∴⎩⎨⎧a 2＝4，ab ＋b ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－3，∴f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3.2.已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则函数f (x )的解析式为________. 答案 f (x )＝x 2－1(x ≥1)解析 解法一：∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1，且x ＋1≥1.∴f (x )＝x 2－1(x ≥1).解法二：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)．代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1(x ≥1).题型三 分段函数角度1 求分段函数的函数值1.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 5x ，x ＞0，2x ，x ≤0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫125等于( ) A.4 B.14 C ．－4 D ．－14答案 B解析 f ⎝⎛⎭⎫125＝log 5125＝－2，f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫125＝f (－2)＝14. 角度2 分段函数与方程、不等式的综合问题2.设函数f (x )＝⎩⎨⎧4x ＋a ，x <1，2x ，x ≥1，若f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫23＝4，则实数a ＝( ) A.－23B ．－43C.－43或－23D ．－2或－23答案 A解析 因为23<1，所以f ⎝⎛⎭⎫23＝4×23＋a ＝a ＋83. 若a ＋83≥1，即a ≥－53时，2a ＋83 ＝4，即a ＋83＝2⇒a ＝－23>－53(成立)；若a ＋83<1，即a <－53时，则4a ＋323＋a ＝4，即a ＝－43>－53(舍去)，综上a ＝－23.3.(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1] B ．(0，＋∞) C.(－1,0) D ．(－∞，0)答案 D解析 将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知⎩⎨⎧2x <0，2x <x ＋1，解得x <0，所以满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是(－∞，0)．故选D.1.求分段函数的函数值 (1)基本步骤①确定要求值的自变量属于哪一区间. ②代入该区间对应的解析式求值. (2)两种特殊情况①当出现f [f (a )]的形式时，应从内到外依次求值．如举例说明1.②当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．如举例说明2，求出f ⎝⎛⎭⎫23后再求f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫23要分类讨论. 2.解分段函数与方程或不等式综合问题的策略求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式．应根据每一段的解析式分别求解．若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解．解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围.1.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x －2，x ≤1，－lg x ，x >1，则f [f (－4)]＝________.答案 －1解析 f [f (－4)]＝f (16－4－2)＝f (10)＝－1.2.函数f (x )＝⎩⎨⎧12x －1，x ≥0，1x ，x <0，若f (a )≤a ，则实数a 的取值范围是________.答案 [－1，＋∞)解析 当a ≥0时，由f (a )＝12a －1≤a ，解得a ≥－2，所以a ≥0；当a <0时，由f (a )＝1a ≤a ，解得－1≤a ≤1且a ≠0，所以－1≤a <0.综上所述，实数a 的取值范围是[－1，＋∞).3.已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________.答案 －34解析 当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－32，不符合题意．当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )，可得－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，解得a ＝－34，符合题意.。

第1章集合与函数概念考纲展示考情汇总备考指导函数①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.③了解简单的分段函数，并能简单应用.④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.⑤会运用函数图象理解和研究函数的性质.2017年1月T2，2017年1月T14，2018年1月T32018年1月T142019年1月T32019年1月T192020年1月T52020年1月T7集合的基本运算1．集合的概念与性质集合是指定的某些对象的全体．集合中元素的特性有：确定性(集合中的元素应该是确定的，不能模棱两可)、互异性(集合中的元素应该是互不相同的)、无序性(集合中元素的排列是无序的)．元素和集合的关系是属于或不属于关系．表示集合的方法要掌握字母表示法、列举法、描述法及Venn图法．根据元素个数的多少集合可分为：有限集、无限集．2．集合间的基本关系及基本运算关系或运算自然语言符号语言图形语言A⊆B(或B⊇A)集合A中任意一个元素都是集合B中的元素.A⊆B(或B⊇A) ⇔(x∈A⇒x∈B)A∩B由所有属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合.A∩B＝{x|x∈A且x∈B}A∪B由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合.A∪B＝{x|x∈A或x∈B}∁U A已知全集U，集合A⊆U，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做A相对于U的补集.∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}1．(2018·1月广东学考)已知集合M＝{－1,0,1,2}，N＝{x|－1≤x<2}，则M∩N＝( ) A．{0,1,2} B．{－1,0,1}C．M D．NB[M∩N＝{－1,0,1}，故选B．]2．(2019·1月广东学考)已知集合A＝{0,2,4}，B＝{－2，0,2}，则A∪B＝( ) A．{0,2} B．{－2,4}C．[0,2] D．{－2,0,2,4}D[A∪B＝{－2,0,2,4}．]3．(2020·1月广东学考)已知集合M＝{－1,0,1,2}，N＝{1,2,3}，则M∪N＝( ) A．M B．NC．{－1,0,1,2,3} D．{1,2}C[∵M＝{－1,0,1,2}，N＝{1,2,3}，∴M∪N＝{－1,0,1,2,3}．故选C．]集合基本运算的方法技巧(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．(3)集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．[最新模拟快练]1．(2020·广东学考模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}A[∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，∴A∪B＝{1,2,3,4}，故选A．]2．(2019·深圳学考模拟题)已知A＝{2,4,5}，B＝{3,5,7}，则A∪B＝( )A．{5} B．{2,4,5}C．{3,5,7} D．{2,3,4,5,7}D[A∪B＝{2,3,4,5,7}，故选D．]3．(2019·佛山高一期中) 设集合A＝{x|－2＜x＜7 }，B＝{x|x＞1，x∈N}，则A∩B 的元素的个数为( )A．3 B．4C．5 D．6C[A∩B＝{x|－2＜x＜7，且x＞1，x∈N} ，即A∩B＝{2,3,4,5,6}，因此，A与B的交集中含有5个元素．]4．(2018·深圳市高一月考)若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则( ) A．A B B．A BC．A＝B D．A∩B＝∅A[因2x>0，而x2≥0，∴B A．]5．(2018·东莞市高一期末)若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B 等于( )A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅C[A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，所以A∩B＝{x|0≤x≤1}．]6．(2018·佛山市高一期末)已知全集U＝R，则正确表示集合A＝{－1,0,1}和B＝{x|x2＝x}关系的韦恩图是( )B[∵集合B＝{x|x2＝x}，∴集合B＝{0,1}，∵集合A＝{－1,0,1}，∴B⊆A．]7．(2019·广州高一月考)已知集合A＝{x|－2<x<3}，集合B＝{x|x<1}，则A∪B＝( ) A．(－2,1) B．(－2,3)C．(－∞，1) D．(－∞，3)D[∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|x<1}，∴A∪B＝{x|x<3}＝(－∞，3)．选D．]8．(2019·潮州高一期末)已知集合A＝{3,4,5,6}，B＝{a}，若A∩B＝{6}，则a＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6D [∵A ∩B ＝{6}，∴6∈B ，∴a ＝6.]函数及其表示1．函数的概念设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．2．函数的三要素定义域、值域和对应关系． 3．函数的表示解析法、列表法、图象法．[学考真题对练]1．(2018·1月广东学考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－1，x ≥02x，x <0，设f (0)＝a ，则f (a )＝( )A ．－2B ．－1C ．12D ．0C [∵a ＝f (0)＝03－1＝－1，∴f (a )＝f (－1)＝2－1＝12，故选C ．]2．(2019·1月广东学考)函数y ＝log 3(x ＋2)的定义域为( ) A ．(－2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．[2，＋∞)A [x ＋2>0，x >－2.]3．(2020·1月广东学考)函数f (x )＝x 2－4x 的定义域是( ) A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D ．(－∞，0]∪ [4，＋∞)D [要使f (x )有意义，则x 2－4x ≥0，解得x ≤0或x ≥4， ∴f (x )的定义域是(－∞，0]∪ [4，＋∞)．故选D ．]1.常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R . (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R . (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .2．分段函数两种题型的求解策略 (1)根据分段函数的解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．1．(2019·揭阳学考模拟题)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(－∞，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，0]∪[1，＋∞) C ．(0,1)D ．[0,1]A [由题意得：x 2－x >0，解得：x >1或x <0，故函数的定义域是(－∞，0)∪(1，＋∞)．]2．(2019·汕头学考模拟题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≤02x ＋1，x >0，则f (－2)＋f (1)＝( )A ．3B ．6C ．7D ．10B [f (－2)＋f (1)＝3＋3＝6.]3．(2019·深圳高一月考)下列图象中，不可能成为函数y ＝f (x )图象的是( )A [A 选项中，当x ＝0时，有两个y 与之对应，与定义矛盾．]4．(2018·东莞市高一月考)若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝9x ＋8B ．f (x )＝3x ＋2C ．f (x )＝－3x －4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4 B [设t ＝3x ＋2，∴x ＝t －23，所以函数式转化为f (t )＝3(t －2)＋8＝3t ＋2，所以函数式为f (x )＝3x ＋2.]5．(2018·汕头市高一期中)下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝1，y ＝xxB ．y ＝x －1×x ＋1，y ＝x 2－1 C ．y ＝x ，y ＝3x 3D ．y ＝|x |，y ＝(x )2C [A 选项y ＝1，y ＝x x定义域不同，不表示同一函数；B ．y ＝x －1×x ＋1，y ＝x 2－1定义域不同，不表示同一函数；D ．y ＝|x |，y ＝(x )2定义域不同，不表示同一函数，选C ．]6．(2019·广州高一期末)函数y ＝x |x |的图象大致是( )C [y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，所以选C ．]函数的基本性质1．函数的最值函数最大(小)值首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ；其次函数最大(小)值应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M (f (x )≥M )．2．函数的单调性如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜(＞)f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增(减)函数，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质．3．函数的奇偶性如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )[f (－x )＝－f (x )]，那么函数f (x )就称为偶(奇)函数．偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称．函数的奇偶性是一个整体的概念．函数具有奇偶性的一个前提条件是定义域关于原点对称．[学考真题对练]1．(2018·1月广东学考)设函数f (x )是定义在R 上的减函数，且f (x )为奇函数，若x 1<0，x 2>0，则下列结论不正确的是( )A ．f (0)＝0B ．f (x 1)>0C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2≤f (2)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1≤f (2)D [对于A 项，∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，正确； 对于B 项，∵f (x )为R 上的减函数，∴x 1<0⇒f (x 1)>f (0)＝0，正确； 对于C 项，∵x 2>0，∴x 2＋1x 2≥2x 2·1x 2＝2(当且仅当x 2＝1x 2，即x 2＝1时等号成立)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2≤f (2)，正确；对于D 项，∵x 1<0，∴x 1＋1x 1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1＋1－x 1≤－2－x 1·1－x 1＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1≥f (－2)＝－f (2)，错误．故选D ．]2．(2020·1月广东学考)下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋3 B ．f (x )＝x 2－2 C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝1xB [对于A ，f (x )＝x ＋3，为一次函数，不是偶函数，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 2－2，为二次函数且其对称轴为y 轴，是偶函数，符合题意， 对于C ，f (x )＝x 3，是奇函数不是偶函数，不符合题意；对于D ，f (x )＝1x，为反比例函数，不是偶函数，不符合题意；故选B ．]3．(2019·1月广东学考)已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－4x ，则当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝ .－x 2－4x [∵x >0时，f (x )＝x 2－4x ， ∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝x 2＋4x ，又∵y ＝f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－4x .](1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.[最新模拟快练]1．(2019·佛山高一月考)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1C [函数y ＝x 3，y ＝2sin x 为奇函数，y ＝2x为非奇非偶函数，y ＝x 2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2，故选C ．]2．(2020·广东学考模拟)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (1)的x 取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(－1,1)B [根据题意，f (x )为偶函数，则f (2x －1)<f (1)⇒f (|2x －1|)<f (1)， 又由函数在区间[0，＋∞)上单调递增， 则f (|2x －1|)<f (1)⇒|2x －1|<1， 解得：0<x <1，故选B ．]3．(2018·东莞市高一月考)已知函数f (x )＝1x在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B 等于( )A ．12B ．－12C ．1D ．－1A [∵函数f (x )＝1x 在区间[1,2]上单调递减，∴A ＝1，B ＝12，∴A －B ＝12，故选A ．]4．(2019·揭阳高一期末)f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝ .－2 [f (3)＝－f (－3)＝－log 24＝－2.]5．(2019·中山学考模拟题)若函数y ＝3x 2－ax ＋5在[－1,1]上是单调函数，则实数a 的取值范围是 ．(－∞，－6]∪[6，＋∞) [因为函数y ＝3x 2－ax ＋5在[－1,1]上是单调函数，所以a6≤－1或a6≥1，解得a ≤－6或a ≥6.∴实数a 的取值范围是(－∞，－6]∪[6，＋∞)．]6．(2018·广州市学考模拟题)已知指数函数y ＝g (x )满足：g (2)＝4，定义域为R 的函数f (x )＝－g x ＋n2g x ＋m是奇函数．(1)确定y ＝g (x )的解析式；(2)求m ，n 的值；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围．[解] (1)由题意设g (x )＝a x ，a >0且a ≠1，则g (2)＝a 2＝4，解得a ＝2，所以y ＝g (x )＝2x .(2)由(1)知：f (x )＝－2x ＋n 2x ＋1＋m ，因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即n －12＋m＝0⇒n ＝1，∴f (x )＝1－2x 2x ＋1＋m ，又由f (1)＝－f (－1)知1－24＋m ＝－1－12m ＋1⇒m ＝2. (3)由(2)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1， 易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f (x )是奇函数，从而不等式： f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)，因f (x )为减函数，由上式推得：t 2－2t >k －2t 2，即对一切t ∈R 有：3t 2－2t －k >0，从而判别式Δ＝4＋12k <0⇒k <－13.。

新高考函数知识点总结大全引言：近年来，新高考已经成为了我们每个学生必须面对的一个重要考试。

其中，数学作为一门基础科目，对于考生来说尤为重要。

而在数学中，函数作为一种重要的数学概念和工具，在高考中占据了相当大的比重。

因此，掌握函数的基本概念和相关知识点，对于顺利通过高考具有重要的意义。

本文将对新高考中的函数知识点进行详细的总结和解析，以帮助考生更全面、深入地掌握函数知识。

一、函数的基本概念1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素对应到另一个集合的元素上，并且对于集合中的每个元素，有且只有一个对应的元素。

2. 定义域和值域：函数的定义域表示自变量的取值范围，值域表示函数的所有可能取值的集合。

3. 函数的表示方法：函数可以用各种不同的表示方法来表示，包括显式表示、隐式表示和参数表示等。

4. 函数的特性：函数可以是奇函数或偶函数，也可以是周期函数或单调函数等。

二、函数的分类和性质1. 基本初等函数：常见的函数包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

它们构成了函数的基本分类。

2. 函数的运算：函数之间可以进行加减乘除、复合、反函数等运算，通过运算可以得到新的函数。

3. 函数的性质：函数可以有极限、导数和积分等性质，这些性质在研究函数的变化规律和相关问题时发挥着重要作用。

三、函数的图像和特征1. 函数的图像：函数可以通过绘制它的图像来帮助我们理解和分析函数的特征。

图像可以反映函数的增减性、单调性和对称性等。

2. 函数的拐点和极值：函数的拐点是函数图像曲线由凹转凸或由凸转凹的点，而函数的极值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。

3. 函数的奇点和间断点：函数的奇点是指函数在某些点上无定义或不连续的点，而间断点是函数图像上出现断裂的点。

四、函数的应用领域1. 函数在几何中的应用：函数可以帮助我们研究图形的性质和变化规律，如直线、曲线、圆等。

2. 函数在物理中的应用：函数可以用来描述物理量之间的关系，如速度、加速度、功率等。

§2.5 基本初等函数(Ⅰ)(一)指数函数 1．根式(1)n 次方根：如果x n＝a ，那么x 叫做a 的 ，其中n ＞1，且n ∈N *.①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个 数，负数的n 次方根是一个 数，这时a 的n 次方根用符号 表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有 个，这两个数互为 ．这时，正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 次方根用符号 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成 ．③负数没有偶次方根．④0的n (n ∈N *)次方根是 ，记作 ．(2)根式：式子na 叫做根式，这里n 叫做 ，a 叫做 ． (3)根式的性质：n 为奇数时，na n＝ ；n 为偶数时，na n ＝ .2．幂的有关概念及运算(1)零指数幂：a 0＝ .这里a 0. (2)负整数指数幂：a －n＝ (a ≠0，n ∈N *)．(3)正分数指数幂：a mn ＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．(4)负分数指数幂：a -m n ＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．(5)0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂． (6)有理指数幂的运算性质 ⎩⎪⎨⎪⎧a r a s＝________（a ＞0，r ，s ∈Q ），（a r ）s＝________（a ＞0，r ，s ∈Q ），（ab ）r ＝________（a ＞0，b >0，r ∈Q ）.(二)对数函数 1．对数(1)对数：如果a x＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的 ，记作x ＝ .其中a 叫做对数的 ，N 叫做 ．(2)两类重要的对数①常用对数：以 为底的对数叫做常用对数，并把log 10N 记作 ； ②自然对数：以 为底的对数称为自然对数，并把log e N 记作 ． 注：(i)无理数e ＝2.718 28…； (ii)负数和零没有对数；(iii)log a 1＝ ，log a a ＝ . (3)对数与指数之间的关系当a ＞0，a ≠1时，a x ＝N x ＝log a N . (4)对数运算的性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： ①log a (MN )＝ ； ②log a M N＝ ； ③log a M n＝ ；一般地，na M m log ＝ ； (5)换底公式及对数恒等式 ①对数恒等式：Na alog ＝ ；②换底公式：log a b ＝_________ (a ＞0且a ≠1；c ＞0且c ≠1；b ＞0)．特别地，log a b＝_________.3.对数函数与指数函数的关系对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)与指数函数y＝a x(a>0且a≠1)互为反函数；它们的图象关于直线________对称．(三)幂函数1．幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．几个常用的幂函数的图象与性质自查自纠(一)1．(1)n 次方根 ①正 负 na②两 相反数 na －n a ±na④0n0＝0(2)根指数 被开方数 (3)a |a | 2．(1)1 ≠ (2)1an (3)n a m(4)1na m(5)0 没有意义 (6)a r ＋sa rs a rb r3．R (0，＋∞) (0，1) 增函数 减函数 (二)1．(1)对数 log a N 底数 真数 (2)①10 lg N ②e ln N (iii)0 1 (3)⇔(4)①log a M ＋log a N ②log a M －log a N ③n log a M nmlog a M (5)①N ②log c b log c a 1log b a2．(0，＋∞) R (1，0) 增函数 减函数 3．y ＝x(三)1．y ＝x α2．(1)(0，0)和(1，1) (1，1) (2)增函数 减函数log 29×log 34＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4解：log 29×log 34＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4.故选D .(2015·四川)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b＞3”是“log a 3＜log b 3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：由3a ＞3b＞3知，a ＞b ＞1，则log a 3＜log b 3；反过来，设0＜a ＜1，b ＞1，依然有log a 3＜log b 3，但此时3a ＜3b.故选B .设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1，2]B ．[0，2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解：当x ≤1时，21－x≤2⇔1－x ≤1⇔x ≥0，∴0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2⇔log 2x ≥－1⇔x ≥12，∴x >1.综上可知x 的取值范围是[0，＋∞)．故选D .函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为____________． 解：根据二次根式和对数函数有意义的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，1－2log 6x ≥0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，log 6x ≤12⇒⎩⎨⎧x ＞0，x ≤6 ⇒0＜x ≤ 6. 故填(0，6]．(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．解：由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f (f (－3))＝0.又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3.故填0；22－3.类型一 指数幂的运算(2013·济宁测试)化简下列各式： (1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0；(2)a 43－8a 13b 4b 23＋23ab ＋a 23÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b a 3322×a ×3a 25a ×3a. 解：(1)原式＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫64100015－5223－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫410315×⎝ ⎛⎭⎪⎫－52×23－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32313－1＝52－32－1 ＝0.(2)原式＝a 13[（a 13）3－（2b 13）3]（a 13）2＋a 13×（2b 13）＋（2b 13）2÷a 13－2b 13a ×（a ×a 23）12（a 12×a 13）15＝a 13(a 13－2b 13)×a a 13－2b 13×a 56a 16＝a 13×a ×a 23 ＝a 2.【点拨】指数幂的运算应注意：(1)运算的先后顺序；(2)化负数指数幂为正数指数幂；(3)化根式为分数指数幂；(4)化小数为分数．计算：(1)823×100－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34；(2)0.75－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3212×⎝ ⎛⎭⎪⎫63414＋10(3－2)－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1300－12＋1614.解：(1)原式＝(23)23×(102)－12×(2－2)－3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34 ＝22×10－1×26×⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＝28×110×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝8625.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫312212×⎝ ⎛⎭⎪⎫27414＋10×13－2＋30012＋(24)14＝43×314212×334212－10(3＋2)＋103＋2 ＝43×32－103－20＋103＋2＝－16. 类型二 指数型复合函数的定义域和值域求下列函数的定义域和值域．(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x ＋1|； (2)y ＝2x2x ＋1；(3)y ＝4322+--x x .解：(1)定义域为R .因为－|x ＋1|≤0，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x ＋1|≥⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1，所以值域为[1，＋∞)． (2)定义域为R .又因为y ＝2x 2x ＋1＝1－12x ＋1，而0＜12x ＋1＜1，所以－1＜－12x ＋1＜0，则0＜y ＜1，所以值域为(0，1)．(3)令－x 2－3x ＋4≥0，解得－4≤x ≤1，所以函数y ＝4322+--x x 的定义域为[－4，1]．设u ＝－x 2－3x ＋4(－4≤x ≤1)，易得u 在x ＝－32时取得最大值52，在x ＝－4或1时取得最小值0，即0≤u ≤52.所以函数y ＝2u 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤20，252，即函数y ＝4322+--x x 的值域为[1，42]．【点拨】指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的定义域为R ，所以y ＝a f (x )的定义域与f (x )的定义域相同；值域则要用其单调性来求，复合函数的单调性要注意“同增异减”的原则．求下列函数的定义域和值域．(1)y ＝812x －1； (2)y ＝4x ＋2x ＋1＋1；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－6x ＋17. 解：(1)因为2x －1≠0，所以x ≠12，所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠12.令t ＝12x －1，则t ∈R 且t ≠0，所以由y ＝8t(t ∈R ，t ≠0)得y ＞0且y ≠1.所以，原函数的值域是{y |y ＞0且y ≠1}． (2)定义域为R ，因为y ＝4x＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2·2x ＋1＝(2x ＋1)2，且2x＞0.所以y ＝4x＋2x ＋1＋1的值域为{y |y ＞1}．(3)设u ＝x 2－6x ＋17，由于函数u ＝x 2－6x ＋17的定义域是(－∞，＋∞)，故y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－6x ＋17的定义域为(－∞，＋∞)．又函数u ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12u ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫128，又⎝ ⎛⎭⎪⎫12u＞0，故原函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1256. 类型三 指数函数的图象及其应用已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b ＝0.其中不可能．．．成立的关系有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解：作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象，然后作直线y ＝m ，y ＝n (0＜m ＜1＜n )．我们很容易得到a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0，即可能成立的为①②⑤，不可能成立的为③④.故选B .【点拨】与指数函数有关的比较大小问题，除了应用函数的单调性外，还用到指数函数图象的“陡峭”程度，也就是函数f (x )增(减)的快慢．(2013·合肥模拟)函数f (x )＝a x －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0解：由图象知f (x )是减函数，∴0＜a ＜1，又由图象在y 轴的截距小于1可知a －b＜1，即－b ＞0，∴b ＜0.故选D .类型四 指数函数的综合问题(2015·北京)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ＜1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．解：(1)a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1， x ＜1，4（x －1）（x －2），x ≥1.当x ＜1时，f (x )∈(－1，1)，f (x )无最小值；当x ≥1时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32为减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞为增函数，当x ＝32时，f (x )取得最小值为－1.(2)①若函数g (x )＝2x－a 在x <1时与x 轴有一个交点，则a >0，并且当x ＝1时，g (1)＝2－a >0，则0<a <2；此时函数h (x )＝4(x －a )(x －2a )与x 轴只有一个交点，所以2a ≥1且a <1，则12≤a <1.综合得12≤a ＜1.②若函数g (x )＝2x－a 与x 轴有无交点，则函数h (x )＝4(x －a )(x －2a )与x 轴有两个交点．当a ≤0时，g (x )与x 轴无交点，h (x )＝4(x －a )(x －2a )在[1，＋∞)与x 轴也无交点，不合题意；当g (1)＝2－a ≤0时，a ≥2，h (x )与x 轴有两个交点，其横坐标为x ＝a 和x ＝2a ，由于a ≥2，两交点横坐标均满足x ≥1，符合题意．综合①②可得a 的取值范围为12≤a <1或a ≥2.故填－1；⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)． 【点拨】解决指数函数的综合问题，首先要熟练掌握指数函数的基本性质，如函数值恒正，在R 上单调，过定点等．本题是指数函数与二次函数的综合问题，由于涉及分段函数的零点个数，故以分段函数在各段上的零点个数为标准，借助函数图象，分类讨论求解．已知函数f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当x ＜0时，f (x )＝0；当x ≥0时，f (x )＝2x－12x .由条件可知2x －12x ＝2，即22x －2·2x －1＝0，解得2x＝1± 2.∵2x ＞0，∴2x＝1＋2，即x ＝log 2(1＋2)．(2)当t ∈[1，2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，∵2t ＞0，两边同乘以2t ，即得m (22t －1)≥－(24t－1)． ∵22t－1＞0，∴m ≥－(22t＋1)．∵t ∈[1，2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．类型五 对数的化简与求值(1)计算log 535＋2log 122－log 5150－log 514的值．(2)计算(log 2125＋log 425＋log 85)(log 1258＋log 254＋log 52)的值．(3)(2015·江苏模拟)设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg z4lg x＋lg zlg y的最小值为________． 解：(1)原式＝log 535×5014＋2log 12212＝log 553－1＝2.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log 25＋log 25＋13log 25(log 52＋log 52＋log 52)＝133log 25×3log 52＝13. (3)因为x ，y ，z 均为大于1的实数，所以lg x >0，lg y >0，lg z >0，又由z 为x 和y 的等比中项，可得z 2＝xy .lg z 4lg x ＋lg z lg y ＝lg z ×4lg x ＋lg y 4lg x ×lg y ＝12lg xy ×4lg x ＋lg y 4lg x ×lg y＝()lg x ＋lg y ()4lg x ＋lg y 8lg x ×lg y ＝4()lg x 2＋5lg x ×lg y ＋()lg y 28lg x ×lg y ≥9lg x ×lg y 8lg x ×lg y ＝98.故填98.【点拨】对数式的化简、求值问题，要注意对数运算性质的逆向运用，但无论是正向还是逆向运用都要注意对数的底数须相同．(1)计算(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25的值；(2)计算(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)的值；(3)(2015·河南模拟)设函数f 1(x )＝x ，f 2(x )＝log 2015x ，a i ＝i2015(i ＝1，2，…，2015)，记I k ＝|f k (a 2)－f k (a 1)|＋|f k (a 3)－f k (a 2)|＋…＋|f k (a 2015)－f k (a 2014)|，k ＝1，2，则( )A ．I 1＜I 2B ．I 1＝I 2C ．I 1＞I 2D ．I 1与I 2的大小关系无法确定解：(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg2lg3＋lg2lg9⎝ ⎛⎭⎪⎫lg3lg4＋lg3lg8 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg2lg3＋lg22lg3⎝ ⎛⎭⎪⎫lg32lg2＋lg33lg2 ＝3lg22lg3×5lg36lg2＝54. (3)∵f 1(a i ＋1)－f 1(a i )＝i ＋12015－i 2015＝12015，∴I 1＝|f 1(a 2)－f 1(a 1)|＋|f 1(a 3)－f 1(a 2)|＋…＋|f 1(a 2015)－f 1(a 2014)|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12015×2014＝20142015.∵f 2(a i ＋1)－f 2(a i )＝log 2015i ＋12015－log 2015i 2015＝log 2015i ＋1i＞0，∴I 2＝|f 2(a 2)－f 2(a 1)|＋|f 2(a 3)－f 2(a 2)|＋…＋|f 2(a 2015)－f 2(a 2014)| ＝log 2015⎝ ⎛⎭⎪⎫21×32×…×20152014＝log 20152015＝1.∴I 1＜I 2.故选A .类型六 对数函数图象的应用(2015·河北模拟)已知函数f (x )＝|log 2x |，0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若函数f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m 2＝( )A.14B. 2C.32D.12解：作出函数f (x )＝|log 2x |的图象如图．由题意可得0＜m ＜1＜n ，∴0＜m 2＜m ，结合图象可知函数f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)，则有－log 2m 2＝2，m 2＝2－2＝14.故选A .【点拨】先画出对数函数y ＝log 2x 的图象，再利用图象变换得到函数f (x )＝|log 2x |的图象，通过分析函数图象对应的函数性质，比较函数值大小．当0<x ≤12时，4x<log a x ，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)解：构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的大致图象(易判断0＜a ＜1)．由图可知，若g (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则a ＝22，所以在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上log a x ＞log 22x (0＜a ＜1)即可，易得22＜a ＜1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.故选B . 类型七 对数函数性质的应用(2013·全国课标Ⅱ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >bD ．a >b >c解：a ＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，所以a －1＝1log 23，b －1＝1log 25，c －1＝1log 27，∵y ＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数．∴0<log 23<log 25<log 27，∴1log 23>1log 25>1log 27，∴a －1>b －1>c －1>0，故a >b >c >1.故选D . 【点拨】比较大小问题是高考的常考题型，应熟练掌握比较大小的基本方法：①作差(商)法；②函数单调性法；③介值法(特别是以0和1为媒介值)．利用对数函数单调性比较大小的基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫340.5，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫430.4，c ＝log 34(log 34)，则( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．c <a <bD ．a <c <b解：∵0<⎝ ⎛⎭⎪⎫340.5<⎝ ⎛⎭⎪⎫340＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫430.4>⎝ ⎛⎭⎪⎫430＝1， log 34(log 34)<log 34(log 33)＝0，即0＜a ＜1，b ＞1，c ＜0， ∴c <a <b .故选C .类型八 对数型复合函数的有关问题已知函数f (x )＝log 12(x 2－2ax ＋3)．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围；(3)若函数f (x )在[－1，＋∞)内有意义，求实数a 的取值范围； (4)若函数f (x )的值域为(－∞，－1]，求实数a 的值． 解：(1)由f (x )的定义域为R ， 知x 2－2ax ＋3＞0的解集为R ，则Δ＝4a 2－12＜0，解得－3＜a ＜ 3. ∴a 的取值范围为(－3，3)．(2)函数f (x )的值域为R 等价于u ＝x 2－2ax ＋3取(0，＋∞)上的一切值，所以只要u min＝3－a 2≤0⇒a ≤－3或a ≥ 3.所以实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)． (3)由f (x )在[－1，＋∞)内有意义，知u (x )＝x 2－2ax ＋3＞0对x ∈[－1，＋∞)恒成立， 因为y ＝u (x )图象的对称轴为x ＝a ， 所以当a ＜－1时，u (x )min ＝u (－1)＞0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1，2a ＋4＞0， 解得－2＜a ＜－1； 当a ≥－1时，u (x )min ＝u (a )＝3－a 2＞0，即－3＜a ＜3，所以－1≤a ＜ 3. 综上可知，a 的取值范围为(－2，3)．(4)因为y ＝f (x )≤－1，所以u (x )＝x 2－2ax ＋3的值域为[2，＋∞)， 又u (x )＝(x －a )2＋3－a 2≥3－a 2， 则有u (x )min ＝3－a 2＝2， 解得a ＝±1.【点拨】(1)首先要在函数定义域内研究函数的单调性；(2)此题中定义域为R 的问题实质上与值域为R 的问题正好相反，都是利用对数函数的定义域和值域进行分析．(2013·济南模拟)已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：(1)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，∴a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3＞0得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3)． 令u (x )＝－x 2＋2x ＋3.则u (x )在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减， 又y ＝log 4u 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)． (2)假设存在实数a ，使f (x )的最小值是0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，显然a ≠0，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4a ×3－224a＝3a －1a ＝1， 解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值等于0.类型九 对数函数的综合问题已知函数f (x )＝log a 1－mxx －1是奇函数(a ＞0，a ≠1)．(1)求m 的值；(2)判断f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性；(3)当a ＝12时，若对于[3，4]上的每一个x 的值，不等式f (x )＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋b 恒成立，求实数b 的取值范围．解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )在其定义域内恒成立， 即log a 1＋mx －x －1＝－log a 1－mxx －1，∴1－m 2x 2＝1－x 2恒成立，∴m ＝－1或m ＝1(舍去)，即m ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝log a x ＋1x －1(a ＞0，a ≠1)，令u ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，则u 在(1，＋∞)上为减函数．∴当a ＞1时，f (x )在(1，＋∞)上是减函数； 当0＜a ＜1时，f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(3)对于[3，4]上的每一个x 的值，不等式f (x )＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋b 恒成立⇔f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞b 在[3，4]上恒成立．令g (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，由(2)知，g (x )在[3，4]上是单调递增函数，所以b ＜g (x )min ＝g (3)＝－98，即b 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－98. 【点拨】解第(1)问时要特别注意“脱去”对数符号后恒成立的等式只是f (x )为奇函数的必要条件，而不是充要条件，所以要检验；第(2)问也可用单调函数的定义来判断，但很复杂；第(3)问利用函数与方程思想对恒成立问题进行了等价转化．已知f (x )＝lg 2x ax ＋b ，f (1)＝0，当x >0时，恒有f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝lg x . (1)求f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝lg(m ＋x )的解集是∅，求实数m 的取值范围．解：(1)∵当x >0时，f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝lg x 恒成立，∴lg2x ax ＋b －lg 2bx ＋a＝lg x ，即(a －b )x 2－(a －b )x ＝0. ∵x ≠0，∴上式若恒成立，则只能有a ＝b ，又f (1)＝0，即a ＋b ＝2，从而a ＝b ＝1，∴f (x )＝lg 2x 1＋x.(2)由lg 2xx ＋1＝lg(m ＋x )知⎩⎪⎨⎪⎧2xx ＋1＝m ＋x ，2xx ＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（m －1）x ＋m ＝0，x <－1或x >0，由于方程的解集为∅，故有如下两种情况： ①方程x 2＋(m －1)x ＋m ＝0无解，即Δ<0， 解得3－22<m <3＋22；②方程x 2＋(m －1)x ＋m ＝0有解，两根均在区间[－1，0]内，令g (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m ，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，g （－1）≥0，g （0）≥0，－1≤1－m2≤0，即⎩⎨⎧m ≤3－22或m ≥3＋22，1≤m ≤3，无解． 综合①②知，实数m 的取值范围是{m |3－22<m <3＋22}．类型十 幂函数的图象与性质如图，曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象，已知n 取2，3，12，－1四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为 ．解法一(数形结合法)：如图，作直线x ＝t (t >1)，由于函数y ＝x n的图象与直线x ＝t 的交点为(t ，t n)，可见指数n 的大小与图象交点的“高低”是一致的，结合图象，可得答案．解法二(特殊值法)：当x ＝2时，y 1＝23＝8，y 2＝22＝4，y 3＝20.5＝2，y 4＝2－1＝12，∵8>4＞2＞12，∴y 1＞y 2＞y 3＞y 4，故填3，2，12，－1.【点拨】(1)利用幂函数的性质比较大小，往往伴随着指数函数单调性的应用，此题应用了y ＝a x(a ＞1)的单调递增的性质．当然在利用指数函数的单调性比较大小时，也会伴随着幂函数单调性质的应用．(2)当两个幂的底数和指数都不相同时，可以寻找一个中间量，以它作为桥梁，分别构造指数函数和幂函数，通过比较它们和这个中间量的大小解决问题．(2014·天门、仙桃、潜江期末)在下列直角坐标系的第一象限内分别画出了函数y ＝x ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1的部分图象，则函数y ＝2x的图象通过的阴影区域是( )解：函数y ＝2x 的图象位于函数y ＝x 与y ＝x 2的图象之间，对比各选项中的阴影区域，知C 正确．故选C .1．指数函数的图象、性质在应用时，如果底数a 的取值范围不确定，则要对其进行分类讨论．2．比较两个幂的大小，首先要分清是底数相同还是指数相同．如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可转化为底数相同，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象；如果指数不同，底数也不同，则要利用中间量．3．熟练掌握指数式与对数式的互化，它不仅体现了两者之间的相互关系，而且为对数的计算、化简、证明等问题提供了更多的解题途径．4．作指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)和对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象应分别抓住三个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a ，(0，1)，(1，a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，(1，0)，(a ，1)．5．比较两个对数的大小的基本方法(1)若底数为同一常数，则由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对这一字母进行分类讨论．(2)若底数不同真数相同，则可先换底再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．6．幂函数的图象特征与指数的大小关系，大都可通过幂函数的图象与直线x ＝2或x ＝12的交点纵坐标的大小反映．一般地，在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大、图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，图象越远离x 轴(不包括幂函数y ＝x 0)．7．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，则要看函数的定义域和奇偶性．函数的图象最多只能同时出现在两个象限内，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．8．判断一个函数是否为指数函数或对数函数或幂函数，一定要根据三种函数定义给出的“标准”形式．如f (x )＝2x 2不是指数函数，而f (x )＝23x是指数函数，因为f (x )＝23x＝8x，此时a ＝8，同样f (x )＝2x ＋1也不是指数函数，因为f (x )＝2x ＋1＝2·2x ，不是f (x )＝a x(a＞0，且a ≠1)的形式．1．(2013·江西九校联考)若点(a ，9)在函数y ＝3x的图象上，则tana π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3解 ：由题意知3a＝9，解得a ＝2，则tana π6＝tan π3＝ 3.故选D . 2．(2014·浙江)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ＞0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )解：两图象均不可能过点(0，1)，A 错；B 选项中f (x )＝x a中a 满足a ＞1，而g (x )＝log a x 中a 满足0＜a ＜1，矛盾，B 错；类似B 选项的判断方法知C 错；D 正确．故选D .3．(2015·广东模拟)已知log 2a >log 2b ，则下列不等式一定成立的是( ) A.1a >1bB ．log 2(a －b )>0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b D ．2a －b<1解：因为log 2a >log 2b ，所以a >b >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13b <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b.故选C .4．(2013·北京)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e－x ＋1D ．e－x －1解：图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的函数是y ＝e －x，再向左平移一个单位，即得到函数y ＝f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.故选D .5．(2015·山东模拟)已知函数f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(其中a ＞0且a ≠1)，若f (4)·g (－4)＜0，则f (x )，g (x )在同一坐标系内的大致图象是( )解：因为f (4)·g (－4)＝a 2×log a 4＜0，所以0＜a ＜1，则根据函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数可否定C ，D ，根据f (x )为减函数可否定A.故选B .6．(2013·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0. 若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0]解：数形结合：作出函数y ＝|f (x )|的图象，如图．当|f (x )|≥ax 恒成立时，必有k ≤a ≤0，其中k 是y ＝x 2－2x (x ≤0)在原点处的切线斜率，因为y ′＝2x －2，所以y ′|x ＝0＝－2，k ＝－2.所以a 的取值范围是[－2，0]．故选D .7．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6， x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解：当x ≤2时，－x ＋6≥4，要使得函数f (x )的值域为[4，＋∞)，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，解得1＜a ≤2.故填(1，2]．8．(2015·湖南模拟)给机器人输入一个指令(m ，2m＋48)(m >0)，则机器人在坐标平面上先面向x 轴正方向行走距离m ，接着原地逆时针旋转90°再面向y 轴正方向行走距离2m＋48，这样就完成一次操作．机器人的安全活动区域是：⎩⎪⎨⎪⎧x ≤6，y ∈R .开始时机器人在函数f (x )＝2x图象上的点P 处且面向x 轴正方向，经过一次操作后机器人落在安全区域内的一点Q 处，且点Q 恰好也在函数f (x )图象上，则向量PQ →的坐标是________．解：设P (x 0，2x 0)，则Q 为(x 0＋m ，2x 0＋m )在安全区域， ∴x 0＋m ≤6，∴x 0≤6－m ，∴2x 0≤26－m，2x 0＋m ＝2x 0＋2m＋48，∴2x 0(2m－1)＝2m＋48，则26－m (2m －1)≥2m ＋48.整理可得：2m＋642m ≤16.又因为2m ＋642m ≥264＝16，当且仅当2m ＝642m 成立时取等号，此时22m＝64，m ＝3，PQ →＝(x 0＋m ，2x 0＋2m＋48)－(x 0，2x 0)＝(3，56)．故填(3，56)．9．解答下列各题：(1)若2.4a ＞2.5a，求a 的取值范围； (2)若a －2＞3－2，求a 的取值范围．解：(1)2.4a和2.5a可视为幂函数y ＝x a的两个函数值，由于2.5＞2.4＞0，且f (2.5)＜f (2.4)．所以y ＝x a 在(0，＋∞)上为减函数，因此a 的取值范围为{a |a ＜0}．另解：也可由⎝ ⎛⎭⎪⎫2.42.5a＞1及0＜2.42.5＜1得a ＜0. (2)由a －2＞3－2，得1a 2＞132，所以0＜a 2＜32，由于幂函数y ＝x 2是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又|a |2＜32，∴0＜|a |＜3，解得－3＜a ＜3且a ≠0.因此a 的取值范围是{a |－3＜a ＜0或0＜a ＜3}．另解：由⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2＞1得3a ＞1或3a＜－1，可获解．10．已知f (x )＝lg 1＋2x ＋4x·a3，其中a ∈R ，若x ∈(－∞，1]时，f (x )有意义，求a的取值范围．解：原题等价于当x ∈(－∞，1]时，1＋2x ＋4x·a 3＞0恒成立，即a ＞－⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在x ≤1时恒成立．设⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，∵x ≤1，∴t ≥12，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝－t 2－t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14，在t ≥－12时递减，而⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞， ∴当t ＝12，即x ＝1时，函数－⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，1]上取得最大值－34，故a >－34.故a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa ＞－34. 11．设a ＞1，若仅有一个常数c 使得对于任意的x ∈[a ，2a ]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝c ，求a 的值．解：∵log a x ＋log a y ＝log a (xy )＝c (a ＞1)，∴y ＝a cx.∵a ＞1，∴y ＝a cx 在x ∈[a ，2a ]上单调递减，∴y max ＝a c a ＝a c －1，y min ＝a c 2a ＝12a c －1，⎩⎪⎨⎪⎧a c －1≤a 2⇒c ≤3，12a c －1≥a ⇒a c －2≥2⇒c ≥log a 2＋2. ∵log a 2＋2≤c ≤3且c 值只有1个， ∴log a 2＋2＝c ＝3，即log a 2＝1，故a ＝2.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ∈[－1，1]，函数g (x )＝f 2(x )－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )；(2)是否存在实数m ，n ，同时满足以下条件： ①m ＞n ＞3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]． 若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．解：(1)因为x ∈[－1，1]，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 设⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3，则g (x )＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2. 当a ＜13时，h (a )＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝289－2a 3；当13≤a ≤3时，h (a )＝φ(a )＝3－a 2； 当a ＞3时，h (a )＝φ(3)＝12－6a .所以h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a ＜13，3－a 2， 13≤a ≤3，12－6a ， a ＞3.(2)假设存在满足条件的实数m ，n .因为m ＞n ＞3，a ∈[n ，m ]，所以h (a )＝12－6a .因为h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，且h (a )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2，12－6n ＝m 2， 两式相减得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，因为m ＞n ，所以m －n ≠0，得m ＋n ＝6，但这与“m ＞n ＞3”矛盾，故不存在满足条件的实数m ，n .。

新高考函数知识点归纳总结函数是数学中的重要概念，也是高中数学中的核心内容之一。

在新高考中，函数知识点的掌握程度将直接影响学生的数学成绩。

本文将对新高考中函数相关的知识点进行归纳总结，以帮助学生更好地理解和掌握这些内容。

一、函数的概念及性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。

函数可以通过数学表达式、图像、映射关系等形式进行表示。

函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。

学生需要掌握函数的基本定义及其性质，并能够应用这些知识进行问题求解。

二、函数的图像与性质分析函数的图像是对函数关系进行可视化的表达方式。

学生需要熟练掌握通过函数表达式来确定函数图像的方法，并能够分析函数图像的性质。

例如，学生需要能够判断图像是否关于某个轴对称，是否具有最值点，是否具有拐点等。

这些性质的分析对于解题是非常重要的。

三、函数的运算函数可以进行加减乘除的运算，学生需要熟练掌握函数的加减乘除规则，并能够应用这些规则进行函数的化简和运算。

此外，学生还需要了解复合函数的概念及其运算规则，能够解决涉及复合函数的问题。

四、函数的初等函数和基本图像初等函数是一类常见的函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

学生需要对初等函数的性质有所了解，掌握它们的图像及其变换规律。

基本图像是指初等函数的基本形态，学生需要能够根据图像的变换规律来绘制和分析初等函数的图像。

五、函数方程的解法函数方程是指含有未知函数的方程，解函数方程是解决函数问题的关键一步。

学生需要熟练掌握函数方程的解法，包括韦达定理、因式分解、配方法、换元法等，并能够应用这些解法解决各类函数方程。

六、函数的应用函数在实际问题中有广泛的应用，学生需要能够将实际问题转化为数学函数问题，并能够利用函数的性质和运算方法解决实际问题。

例如，学生需要能够应用函数图像来分析物体的运动规律，应用函数方程解决实际工程问题等。

总结：函数是新高考数学中的重要内容，对于高中生来说掌握函数知识点是提高数学成绩的关键。

考点七几何概型1.随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个满足条件的数的机会是____________.利用计算器，Excel ，Scilab 等都可以产生随机数.2.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的________(__________或__________)成比例，则称这样的概率模型为________________，简称____________.3.概率计算公式在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝____________.求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域d 和整个区域D 的几何度量，然后代入公式即可求解.自查自纠1.均等的2.长度 面积 体积 几何概率模型 几何概型3.构成事件A 的区域的长度（面积或体积）试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积）类型一 以长度为度量的几何概型例1 (2018·湖北八校联考)已知实数a 满足－3<a <4，函数f (x )＝lg (x 2＋ax ＋1)的值域为R 的概率为P 1，定义域为R 的概率为P 2，则( )A.P 1>P 2B.P 1＝P 2C.P 1<P 2D.P 1与P 2的大小不确定解：若f (x )的值域为R ，则Δ1＝a 2－4≥0，得a ≤－2或a ≥2.故P 1＝－2－（－3）4－（－3）＋4－24－（－3）＝37. 若f (x )的定义域为R ，则Δ2＝a 2－4<0，得－2<a <2.故P 2＝2－（－2）4－（－3）＝47.所以P 1<P 2.故选C.评析 以线段长度为度量的几何概型概率计算公式：P (A )＝事件A 对应的线段长试验的全部结果对应的线段长. 变式1 (2019·合肥质检)在以∠AOB ＝90°为圆心角的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为( )A.13B.23C.14D.34解：记事件M 为“射线OC 使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”.如图所示，作射线OD ，OE 使∠AOD ＝30°，∠AOE ＝60°.当OC 在∠DOE 内时，使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，此时的测度为度数30，又所有基本事件的测度为直角的度数90，所以P (M )＝3090＝13.故选A.类型二 以面积为度量的几何概型例2 (1)(2019·郑州质检三)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为( )A.932B.516C.38D.716 解：设正方形的边长为2，则由几何概型的概率公式，知所求概率为2×1×12＋1×1222＝38.故选C .评析 ①以面积为度量的几何概型概率计算公式：P ＝事件A 构成区域的面积整个试验的全部结果构成区域的面积.②解此类问题的主要步骤为：列出条件组，画出图形，计算面积，再求概率.③多注意数形结合.(2)(2018·合肥质检二)小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5：00～6：00之间送货上门.已知小李下班到家的时间为下午5：30～6：00.快递员到小李家时，若小李未到家，就将商品存放在快递柜中，则小李需要去快递柜收取商品的概率为________.解：设快递员到小李家的时间为5点x 分，小李到家的时间为5点y 分，则依题意，⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤60，30≤y ≤60，若小李需要去快递柜收取商品，需满足y －x >0，则可行域所表示的区域为图中阴影部分．故所求概率为12×（30＋60）×3030×60＝34.故填34. 评析 会面问题是利用数形结合转化成面积问题的几何概型，难点是把两个时间分别用x ，y 表示，构成平面内的点(x ，y )，从而把时间的一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，即转化成几何概型的面积问题.另外对二元变量问题，一般都可转化为面积问题.变式2 (1)(2018·河南洛阳模拟)已知O (0，0)，A (2，1)，B (1，－2)，C (35，－15)，动点P (x ，y )满足0≤OP →·OA →≤2且0≤OP →·OB →≤2，则点P 到点C 的距离大于14的概率为 . 解：因为O (0，0)，A (2，1)，B (1，－2)，C (35，－15)，动点P (x ，y )满足0≤OP →·OA →≤2且0≤OP →·OB →≤2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ＋y ≤2，0≤x －2y ≤2，其对应的平面区域为如图正方形OEFG 及其内部，|CP |＞14对应的平面区域为如图阴影部分． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝2解得⎩⎨⎧x ＝45，y ＝25，即E (45，25)， 所以|OE |＝（45）2＋（25）2＝255， 所以正方形OEFG 的面积为45，则阴影部分的面积为45－π16， 所以所求的概率为45－π1645＝1－5π64.故填1－5π64. (2)甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1小时，乙船停泊时间为2小时，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率为 .解：设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 、y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1h 以上或乙比甲早到达2h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0，24]，y ∈[0，24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成的集合Ω为边长是24的正方形及其内部．故所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝ （24－1）2×12＋（24－2）2×12242＝506.5576＝1 0131 152.故填1 0131 152. 类型三 以体积为度量的几何概型例3 已知正三棱锥S ­ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ­ABC <12V S ­ABC 的概率是( ) A.78 B.34 C.12 D.14解：当点P 到底面ABC 的距离小于32时，V P ­ABC <12V S ­ABC .由几何概型知，所求概率为P ＝1－⎝⎛⎭⎫123＝78.故选A.评析 ①以体积为度量的几何概型概率计算公式：P ＝构成事件A 的区域的体积试验的全部结果构成的区域的体积；②对于以体积为度量的几何概型，要根据空间几何体的体积计算方法，把概率计算转化为空间几何体的体积计算.变式3 在棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A .π12 B.1－π12 C.π6 D.1－π6解：正方体的体积为2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为1－23π8＝1－π12.故选B.类型四 几何概型与平面区域的综合性问题例5 (辽宁六校协作体2020届高三上开学考试)定义：min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，在区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤3内任取一点P (x ，y )，则点P (x ，y )满足min{2x －y ＋1，x ＋y －1}＝x ＋y －1的概率为( )A.12B.16C.18D.112解：试验包含的全部事件对应的集合是Ω＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤3}，满足条件的事件A ＝{(x ，y )|⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤3，2x －y ＋1＞x ＋y －1}＝{(x ，y )|⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤3，x －2y ＋2＞0}如图阴影区域所示，S (Ω)＝2×3＝6，S (A )＝12×(1＋2)×2＝3， 所以P ＝S （A ）S （Ω）＝36＝12.故选A. 评析 解决此类问题的核心能力是转化与构造，就本例而言，即是将概率转化为线性区域面积的比.换句话说，解题的关键是找“两域”：基本事件对应的总体区域D 和随机事件对应的子区域d .变式5 在区间[0，1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( ) A.14 B.12 C.23 D.34解：要使该函数无零点，只需a 2－4b 2<0，即(a ＋2b )(a －2b )<0.因为a ，b ∈[0，1]，a ＋2b >0，所以a －2b <0.作出⎩⎨⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b ＜0的可行域如图阴影部分所示， 易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.故选D. 类型五 随机模拟例6 (2018·合肥质检三)如图所示的图形是一个正六边形及其内切圆，现采取随机模拟的方法估计圆周率的值：随机撒一把豆子，若落在正六边形内的豆子个数为N ，落在圆内的豆子个数为M ，则估计圆周率π的值为( )A.23M NB.3M NC.3M ND.23M N解：设圆的半径为r ，则根据几何概型的概率公式，可得M N ＝πr 26×34×（23r ）2，故π＝23M N.故选D. 评析 利用频率估计概率，从而实现数值计算(估算)，是概率统计中的一种重要方法，因常和数学文化结合起来考查，故而是热点内容.另外，利用随机模拟的方法计算不规则图形的面积的一个常用思路是：在不规则图形外加一个规则图形，利用几何概型的概率公式求出落在所求面积的图形内任意一点的事件发生的概率；再利用随机模拟的方法产生随机数，计算相关频率.当试验次数增加到一定程度，所得的频率就可以看成用几何概型的概率公式求出的概率，进而可求出所求的面积.用类似方法也可求出不规则几何体的体积.变式6 (2020届武汉市部分学校高三起点质量监测)圆周率是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数，然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率的近似值为( )A.m m ＋nB.n m ＋nC.4m m ＋nD.4n m ＋n解：设两数分别为x ，y ∈(0，1)，则x ＋y ＞1，又x ，y 均小于1，故1是最长边，其所对角为锐角，则x 2＋y 2－12xy ＞0⇒x 2＋y 2＞1. 从而问题转化为从如图边长为1的正方形OABC 内任取一点，有n 个点在阴影区域内，有m 个点不在阴影区域内．由面积型几何概率知n m ＋n＝1－π41， 可得π＝4m m ＋n.故选C.1.(贵州省贵阳市2020届高三8月月考)某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7：50～8：30，课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为( )A.15B.14C.13D.12解：由题意可知，第二节课的上课时间为8：40～9：20，时长40分钟，若听第二节课的时间不少于20分钟，则需在8：50～9：00之间到达教室，时长10分钟．故所求概率为P ＝1040＝14.故选B. 2.(2019·湖南长沙联考)向等腰直角三角形ABC (其中AC ＝BC )内任意投一点M ，则AM 小于AC 的概率为 ( ) A.22 B.1－22 C.π8 D.π4解：以A 为圆心，AC 为半径画弧与AB 交于点D .依题意，满足条件的概率P ＝S 扇形ACD S △ABC ＝π8AC 212AC 2＝π4.故选D. 3.有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 ( ) A.13 B.23 C.14 D.34解：设点P 到点O 的距离不大于1的概率为P 1，由几何概型，则P 1＝V 半球V 圆柱＝2π3×13π×12×2＝13.故点P 到点O 的距离大于1的概率P ＝1－13＝23.故选B. 4.从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 .(用m ，n 表示)解：由题意可知(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )在如图所示的正方形中，两数平方和小于1的点在如图所示的阴影中．由几何概型概率计算公式知π41＝m n，所以π＝4m n .故填4m n. 11.(河南省八市重点高中联盟2019－2020学年高二上学期“领军考试”)已知某商标由1个圆形和6个全等的三角形组成(如图)，点O 为圆心，∠OAB ＝15°，若在圆内任取一点，求此点取自阴影部分的概率为 .解：由已知可得∠AOB ＝60°，则∠ABO ＝105°.又sin15°＝sin(45°－30°)＝22×⎝⎛⎭⎫32－12＝6－24，sin105°＝sin(45°＋60°)＝22×⎝⎛⎭⎫12＋32＝6＋24. 不妨设OA ＝4，则由正弦定理可得OB ＝OA sin15°sin105°＝4×（6－2）6＋2＝8－43， 则S △AOB ＝12OA ×OB ×sin60°＝12×4×(8－43)×sin60°＝83－12， 所以阴影部分的面积为S ′＝3S △AOB ＝243－36，圆O 的面积为S ＝16π，则所求概率为P ＝S ′S ＝243－3616π＝63－94π. 故填63－94π.。

新高考函数知识点归纳总结随着新高考改革的推进，函数成为了数学科目中的重要内容之一。

函数作为数学的基础概念，涉及到数学中的多个分支，如代数、几何等。

在新高考中，考察的函数知识点主要包括函数的定义、性质以及应用等方面。

本文将对新高考函数知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地备考。

1. 函数的定义及性质函数可以理解为两个集合之间的一种对应关系。

在新高考中，对函数的定义和性质有着严格的要求。

首先，要理解函数的定义，即对于定义域内的每一个自变量，函数都有唯一确定的因变量与之对应。

其次，要掌握函数的性质，如函数的奇偶性、周期性、单调性等。

在具体计算函数的性质时，可以通过函数的图像、方程或者表达式来进行分析。

2. 函数的图像与变换函数的图像是理解函数概念的一个重要手段。

函数的图像可以通过绘制函数的坐标轴上的点来表示。

通过观察函数图像可以得到函数的特点，如零点、最大值、最小值等。

同时，还要了解基本函数的图像及其变换规律。

例如，平移、伸缩、翻转等变换可以改变函数图像的位置、形状和方向等。

3. 函数的基本类型在新高考中，函数的基本类型有三种，分别是线性函数、二次函数和反比例函数。

线性函数是最简单的函数类型，表达式为y=kx+b，其图像为一条直线。

二次函数是一个拥有二次项的函数，表达式为y=ax²+bx+c，其图像为一个抛物线。

反比例函数的表达式为y=a/x，其图像为一个倒置的双曲线。

掌握这些基本类型的特点和性质，对于后续的函数研究非常重要。

4. 函数的运算与复合函数在高考中，函数的运算是一个常见的考点。

函数的运算主要包括函数加减、函数乘除以及函数的复合等。

函数的加减是将两个函数相应自变量的函数值相加或相减，得到的新函数仍然是一个函数。

函数的乘除是将两个函数相应自变量的函数值相乘或相除，得到的新函数也仍然是一个函数。

而函数的复合是将一个函数作为另一个函数的自变量，得到的新函数称为复合函数。

5. 函数的应用领域函数在实际生活中有着广泛的应用，如函数的方程用于解决实际问题的建模、函数的性质用于探索自然界的规律等。

专题3.1 函数的概念及其表示（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．以分式函数、对数函数及带二次根号的函数为载体，考查函数的定义域，凸显数学运算的核心素养．2．考查换元法、待定系数法、解方程组法等在求函数解析式中的应用，凸显数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）函数的概念1.（1）在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.（3）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法.2.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．3．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． （二）求函数的解析式1.待定系数法：当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式2.换元法：如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式3.配凑法：将f(g(x))右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出f(x)的解析式4.解方程组法：如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式.（三）分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【常考题型剖析】题型一 求函数的定义域例1.（2019·江苏高考真题）函数y _____. 【答案】[1,7]-. 【分析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤ 解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-.例2.（2022·北京·高考真题）函数1()f x x=+_________． 【答案】()(],00,1-∞⋃ 【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为()1f x x =100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠，故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃； 故答案为：()(],00,1-∞⋃例3.（2020·北京·高考真题）函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 【答案】(0,)+∞ 【解析】 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【详解】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞例4.（2013·全国·高考真题（理））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 A ．(1,1)- B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：因为函数()f x 的定义域为(1,0)-，故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可，解得1-1-2x <<，选B ．例5.（2021·黔西南州同源中学高一期中）已知函数()21y f x =+的定义域为[]3,5，则()y f x =的定义域为__________. 【答案】[]7,11【分析】根据复合函数的定义域，即可得到()f x 的定义域. 【详解】∵函数()21y f x =+的定义域为[]3,5，∴35x ≤≤，∴72111x ≤+≤， ∴()y f x =的定义域为[]7,11. 故答案为：[]7,11 【方法技巧】1．根据具体的函数解析式求定义域的策略已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可． 2．求抽象函数的定义域的策略(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． 3．求函数定义域应注意的问题(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；(2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．题型二：已知函数的定义域求参数例6. （2021·浙江学军中学高一竞赛）若函数()f x R ，则a 的取值范围是_____________．【答案】][53,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】函数定义域为R ，只需满足|21|||2x x a ++-≥恒成立即可，转化为分段函数求最值即可求解. 【详解】因为函数()f x =R ， 所以|21|||2x x a ++-≥恒成立，令1()|21|||2||||2g x x x a x x a =++-=++-，当12a -<时，31,1()1,2131,2x a x a g x x a x a x a x ⎧⎪+->⎪⎪=++-<≤⎨⎪⎪-+-≤-⎪⎩，故当12x =-时，min 1()22g x a =+≥即可，解得32a ≤，当12a <-时，131,21()1,231,x a x g x x a a x x a x a ⎧+->-⎪⎪⎪=---<≤-⎨⎪-+-≤⎪⎪⎩，当12x =-时，min 1()22g x a =--≥，解得52a ≤-，当12a =-时，1()3||22g x x =+≥不恒成立.综上，52a ≤-或32a ≤.故答案为：][53,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭例7．（2021·全国）函数y =则实数m 的取值范围是________． 【答案】03m ≤≤ 【分析】分0m =和0m ≠两种情况讨论求解 【详解】当0m =时，y =当0m ≠时，要使y =00m >⎧⎨∆≤⎩，即204120m m m >⎧⎨-≤⎩，得03m <≤，综上，03m ≤≤， 故答案为：03m ≤≤ 【总结提升】已知函数的定义域求参数问题的解题步骤(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题；(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围． 题型三：函数的解析式问题例8.（2022·全国·高考真题（理））已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则221()k f k ==∑（ ）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【答案】D 【解析】 【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=-，()()()462210f f f +++=-，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解. 【详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称， 所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-， 因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=， 代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-， 所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=-，()()()()46222510f f f +++=-⨯=-.因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-. 因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=， 联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ， 所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-. 所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑.故选：D 【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.例9.（2016·浙江·高考真题（文））设函数f(x)=x 3+3x 2+1.已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x–b)(x–a)2，x ∈R ，则实数a=_____，b=______.【答案】－2，1 【解析】32323232()()313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--， 23222()()(2)(2)x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-，所以223223{203a b a ab a b a a --=+=-=--，解得2{1a b =-=．例10.（2006·安徽·高考真题（理））函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =_______________．【答案】15-【解析】 【详解】 解：由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则．例11.（2021·上海高一专题练习）211x f x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则() f x =________. 【答案】21xx -（0x ≠且1x ≠±） 【分析】通过换元法，设1t x=(0t ≠且1)t ≠±，运算即可得解.【详解】 设1t x =(0t ≠且1)t ≠±，则()2211,111t t x f t t t t =∴==-⎛⎫- ⎪⎝⎭， 即()f x =21xx -，（0x ≠且1x ≠±） 故答案为：21xx -（0x ≠且1x ≠±） 例12.（2021·黔西南州同源中学高一期中）已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x =__________. 【答案】433x + 【分析】把x 化成x -，得到2()()34f x f x x -+=-+，构建方程组得到结果. 【详解】∵2()()34f x f x x +-=+， ∴2()()34f x f x x -+=-+， 联立方程组，可得4()33f x x =+.故答案为：433x + 【特别提醒】谨防求函数解析式的两种失误：(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x 的取值范围． (2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．如已知f＝x ＋1，求函数f (x )的解析式，可通过换元的方法得f (x )＝x 2＋1，函数f (x )的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)． 题型四：分段函数及其应用例13.（2012·江西·高考真题（文））设函数f (x )＝21,1,2,1,x x x x⎧+≤⎪⎨>⎪⎩则f (f (3))＝( )A ．15B ．3C ．23D ．139【答案】D 【解析】【详解】()231,33f >∴=,22213((3))()()1339f f f ==+=,故选D.例14.（2021·浙江·高考真题）已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则=a ___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值. 【详解】()()642233f ff f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =，故答案为：2.例15.（2010·江苏·高考真题）若函数()21,01,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则不等式2(1)(2)f x f x ->的解集合是______________【答案】(1)- 【解析】 【分析】分析给定的分段函数性质，再分段列出不等式组求解即可作答. 【详解】函数()21,01,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩在[0,)+∞上单调递增，且()01f =，则2(1)(2)f x f x ->化为：22012x x x ≥⎧⎨->⎩或22010x x <⎧⎨->⎩，解得01x ≤或10x -<<， 所以不等式2(1)(2)f x f x ->的解集合是(1)-.故答案为：(1)-例16.（2018·天津·高考真题（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________． 【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由题意分类讨论0x >和0x ≤两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果. 【详解】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤，整理可得：21122a x x ≥-+，由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知：当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥；②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+，由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知：当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【总结提升】关于分段函数的命题角度主要有：一是分段函数求值，二是分段函数与方程、不等式结合.由于分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值、解方程（不等式）时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值． 题型五：函数的值域（最值）问题例17.（2015·浙江·高考真题（文））已知函数()2,1{66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦ ，()f x 的最小值是 ．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f⎡⎤-=-==⎣⎦.另外，当1x >时，也可以利用基本不等式，66626266,x x x x +-≥⨯-=-当且仅当，26,6,6x x x x===时，等号成立. 例18．（2015·福建·高考真题（理））若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(]1,2【解析】【详解】试题分析：由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤. 考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.【规律方法】函数值域的常见求法：(1)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F (x )＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法．(2)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法．(3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．①应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． ②条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．③求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．2. 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．(4)利用函数的单调性①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递增，则y 最小＝f (a )，y 最大＝f (b )；若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递减，则y 最小＝f (b )，y 最大＝f (a )．②形如y ＝ax ＋b ＋dx ＋c 的函数，若ad ＞0，则用单调性求值域；若ad ＜0，则用换元法．③形如y ＝x ＋k x(k ＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x ＞0时，函数y ＝x ＋k x (k ＞0)的单调减区间为(0，k ]，单调增区间为[k ，＋∞)．一般地，把函数y ＝x ＋k x(k ＞0，x ＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(k ，2k )，至于x ＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决．*(5)导数法利用导函数求出最值，从而确定值域．。

2021年新高考数学总复习讲义：函数的定义及表示知识讲解一、函数1.函数的概念概念：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意的数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()yf x ，xA 其中x 叫做自变量．自变量取值的范围（数集A ）叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()y f a ，所有函数值构成的集合{()}y yf x xA ，叫做这个函数的值域．2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则3.函数的表示法1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．4.求函数定义域注意事项1）分式的分母不应为零； 2）零的零次幂没有意义；3）开偶次方根的被开方数大于或者等于零； 4）对数式的真数大于零； 5）()=tan f x x 的定义域为{|}2x xk kZ ππ，；6）复合函数求定义域要保证复合过程有意义，最后求它们的交集．5.分段函数定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．6.复合函数定义：若()∈，(),u m n∈，那么[()]x a b=，(),y f u=，()u g xy f x称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是()g x的值域．注意：函数的定义域必须写成集合或区间的形式．二、映射，是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x在B 定义：设A B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射，这时称y是x在映射f的作用下的象，记作()f x，于是y f x()x称为y的原象，映射f也可记为：:f A Bx f x()f x构成的集合叫做映射f的其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广）．由所有象()f A．值域．通常记作()、以及对应法则，三者缺一不可；:f A B，集合A中每一个元素映射三要素：集合A B在集合B中都有唯一的元素与之对应，从A到B的对应关系为一对一或多对一，绝对不可以一对多，但也许B中有多余元素．三、函数求解析式1.换元法2.方程组法四、函数求值域1.直接法（分析观察法）2.函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域．3.配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域．对于形如2y ax bx c (0)a或2()[()]()F x a f x bf x c (0)a类的函数的值域问题，均可使用配方法．4.分离常数法：当分式中分子分母都函数由参数时．可以采用分离常数法．5.换元法（代数/三角）：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域． 对形如的函数，令；形如的函数，令；形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令．6.判别式法：在函数定义域为R 时，把函数转化成关于的二次方程()0F x y ，；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域．对形如21112222a xb xc ya xb xc （1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x 的二次方程，由于方程有实根，即从而求得y 的范围，即值域．值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论．注意：主要适用于定义在R 上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论．7.基本不等式法：利用基本不等式求函数值域， 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值．8.数形结合法：如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域．()1y f x =()f x t=,,,,0)y ax b a b c dac =+±≠均为常数t =[]cos ,0,x a θθπ=∈sin ,,22x a ππθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦x 0∆≥0≥∆经典例题一．选择题（共12小题）1．（2018春•东安区校级期末）集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是（）A．f：x→y=12x B．f：x→y=2﹣xC．f：x→y=23x D．f：x→y=√x2．（2018春•青山区校级期末）已知函数y=√(a−1)x2+ax+1的值域为[0，+∞），求a的取值范围为（）A．a≥1B．a＞1C．a≤1D．a＜13．（2016秋•芗城区校级期末）下列图形中可以是某个函数的图象的是（）A．B．C ．D ．4．（2016秋•宁城县期末）下列函数与函数y=x 相等的是（ ） A ．y =(√x)2 B ．y =√x 2C ．y =(√x 3)3D ．y =x 2x5．（2016秋•湖北期末）已知函数f （x ）的定义域为[﹣1，5]，在同一坐标系下，函数y=f （x ）的图象与直线x=1的交点个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．0个或者2个6．（2016秋•天门期末）已知函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，在同一坐标系下，函数y=f （x ）的图象与直线x=1的交点个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．0个或者2个7．（2018•乌鲁木齐二模）若集合A ={x|x(x +1)≥0}，B ={y|y =√x −1}，则（ ）A．A=B B．A⊆BC．A∪B=R D．B⊆A8．（2018•乌鲁木齐二模）若集合A={x|x（x﹣1）＜0}，B={y|y=x2}，则（）A．A=B B．A⊆BC．A∪B=R D．B⊆A9．（2018•河南模拟）已知函数f（x）=5﹣1og3x，x∈（3，27]，则f（x）的值域是（）A．（2，4]B．[2，4）C．[﹣4，4）D．（6，9]10．（2018•济宁一模）已知函数f(x)={lnxx，x＞1e x+1，x≤1，则函数f（x）的值域为（）A．（0，e+1]B．（0，e+1）C．(0，1e]∪(1，e+1)D．(0，1e]∪(1，e+1]11．（2017秋•沂南县期末）若f（lnx）=3x+4，则f（x）的表达式是（）A．3e x+4B．3lnx+4C．3lnx D．3e x12．（2017秋•潮南区期末）若f（x）满足关系式f（x）+2f（1x）=3x，则f（2）的值为（）A．1B．﹣1C．﹣32D．32二．填空题（共4小题）13．（2017秋•杨浦区校级期末）设f(x)=2x−1，g(x)=√x−1x，则f（x）•g（x）=．14．（2018春•海安县校级月考）若f（2x）=3x2+1，则函数f（x）的解析式是．15．（2018•徐汇区二模）函数f（x）=lg（3x﹣2x）的定义域为．16．（2017秋•海陵区校级期中）若g（x）=x2+x，x∈{﹣1，1}的值域为．三．解答题（共2小题）17．求函数y=e x+1e x+2值域．18．求下列函数的值域．（1）y=√x−4√x+3；（2）y=2x﹣3+√13−4x；（3）y=√1+x+√1−x．。