2020年中考数学专题突破6 辅助圆在解题中的应用

初中数学解题中辅助圆的应用探析【摘要】初中数学解题中辅助圆的应用探析是指在初中数学学习中，如何运用辅助圆来更好地解决数学问题。

本文从辅助圆在解决初中数学问题中的作用、如何帮助解决几何问题、在三角形和圆的性质证明中的应用等方面展开探讨。

通过分析辅助圆在简化数学解题中的作用，探讨了辅助圆的重要性和如何提高学生辅助圆运用的能力。

未来, 辅助圆在数学学习中仍有广阔的发展空间，对学生提出更高要求。

深入研究和探索辅助圆的应用，对于提升学生数学解题能力和数学学习的深度和广度都具有积极的意义。

【关键词】初中数学、解题、辅助圆、探析、作用、几何问题、三角形、圆的性质证明、简化、重要性、学生能力、未来发展。

1. 引言1.1 初中数学解题中辅助圆的应用探析在初中数学学习中，辅助圆是一个非常重要的概念。

它可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题，特别是在几何学和圆的性质证明中起着至关重要的作用。

本文将从辅助圆在解决初中数学问题中的作用、如何帮助解决几何问题、在三角形中的应用、在圆的性质证明中的应用以及如何简化数学解题等方面进行探讨。

在数学解题中，辅助圆可以起到辅助的作用，通过构造辅助圆来简化问题。

特别是在解决几何问题中，我们经常会使用辅助圆来构造辅助线，辅助角度等，从而推导出问题的解答。

在三角形中，辅助圆可以帮助我们证明三角形的各种性质，如中线、高线等。

在圆的性质证明中，辅助圆也扮演着非常重要的角色，通过构造切线、相交角、相等弧等，来证明圆的各种性质。

通过掌握辅助圆的使用方法，我们可以更快更准确地解决数学问题，提高解题效率。

初中数学解题中辅助圆的应用至关重要，对学生的数学能力以及理解能力都有很大的提升作用。

希望学生们能够认识到辅助圆的重要性，多加练习，提高自己的辅助圆运用能力，为今后的数学学习打下良好的基础。

展望未来，辅助圆在数学学习中的应用必将更加广泛，我们应该不断探索其更多的应用领域，拓展我们的数学思维。

2. 正文2.1 辅助圆在解决初中数学问题中的作用在初中数学解题中，辅助圆是一个非常重要的工具，它可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题。

辅助圆在初中数学解题中的运用作者：金明明来源：《中学生数理化·教与学》2015年第11期摘要：在初中数学的解题过程中，有很多的几何论证题目是常规思路无法解决的，可以利用圆所具有的特征，结合题目的具体情况，对难以解决的几何题目进行论证.本文简单介绍几种利用圆的特征建造辅助圆，然后对需要论证的问题进行解决的思路.关键词：辅助圆初中数学解题思路一、根据圆的定义构建辅助圆解题某些直线形平面几何竞赛题，用常规方法求解难度很大，技巧性强，且不易奏效.若能针对题目的本质特征，恰当地构造辅助圆，巧妙地运用圆的有关知识，往往可化难为易，化繁为简.在同圆或者等圆中，假如两个圆周角以及两条弧线都相等的话，可以利用这个道理去解决很多难题.二、利用圆的圆周角进行辅助圆的建造在前人对圆进行了很多的研究之后，我们可以知道圆的圆周角存在很多的性质，也就是我们平时所说的圆周角定理：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.利用圆的圆周角进行辅助圆建造，从而解决初中几何问题.学生遇到用一般的几何方法无法解决的问题时，不妨开阔自己的思路，利用圆周角所特有的一些性质来解题，这样能够达到事半功倍的效果.三、利用圆的内角以及外角和圆周角的关系建造辅助圆在圆上的一个顶点，并且在这个顶点两边都和圆有相交的点存在，这几点形成的角度就是圆周角.因为圆上的每一条弧所对应的圆周角等于形成这个角所对应的圆周角的一半，但是圆周角的度数就是和自身所对应的弧的度数，所以圆周角的度数就等于它所对的弧线的度数的一半.对于圆周角以及圆内角我们可以这样定义：在圆外存在的一顶点，而且两边都和圆具有相交点，这种角度叫做圆外角，而在圆内存在的一个顶点，并且两边也和圆具有相交的点，这种角叫做圆内角.例1在圆O上有一点C，而点P为圆O内部的一点，而且该两点都在弧AB的同一侧，线段AP和BP交于P所形成的∠APB，线段AC和CB交于点C所形成的∠ACB.证明：∠APB>∠ACB.证明：通过延长BP交圆心O为点D，连接AD.因为同一段弧所对应的角度都相等，而∠ACB和∠ADB所对应的都是弧AB，所以∠ACB=∠ADB.又因为∠APB是△ABC的外角，∠APB=∠ADB+∠DAP，所以∠APB=∠ACB+∠DAP.所以∠APB>∠ACB.我们可以得出以下结论：在同一圆中，同一弧线所对应的圆周角都比这一弧线所对应的圆内角小.同理，同一弧线所对应的圆周角都比这一弧线所对应的圆外角大.四、利用圆幂定理构造辅助圆圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论的统一与归纳.根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.3.割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于点A、B和点C、D，则有PA·PB=PC·PD.根据上述介绍我们可以知道，两条线的位置可以在圆的内部也可以在圆的外部，但是最终的结论都是相同的，将这些定理以及过程总结，就是我们所知道的圆幂定理.例2CD为Rt△ABC斜边上的高，O为AC上的一点，其中OA=OB=a.证明：OD2+CD2=a2.证明：由圆幂定理知，CD2=DA·DB，而且DA、DB、DO的位置具有相交弦的特点.又因OA=OB，所以以点O为圆心，OA为圆的半径作圆O交DO的延长线于E、F两点.所以DA·DB=DE·DF=（OE-OD）（OF+OD）=a2-OD2.所以OD2+CD2=OD2+DA·DB=a2.有的几何题目利用常规方法无法解决时，利用圆幂定理，通过建立辅助圆，就可以对问题进行解决.总之，不管怎么样的解决方法，在几何问题的论证过程中，巧妙利用辅助圆，可以解决一些利用常规解题思路难以解决的问题解决.在数学解题过程中，学生应该将自己的思路活跃化，进而掌握更多的解题方法.参考文献谢雅礼. 神奇的辅助圆——构造辅助圆解决平面几何问题的基本类型[J]. 中国数学教育，2010，24.张振继. 构造辅助圆解题探究[J]. 高中数理化，2013，21.袁贤琼.构造辅助圆处理解及问题的若干途径[J].中学教研，2012，09.唐平生. 巧作辅助圆证题[J]. 中学数学教学参考，2013，09.方世超.“辅助圆”——学生不大熟悉的重要辅助线[J]. 中学数学杂志，2008，12.。

2020中考数学复习微专题：最值与辅助圆问题在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A 为圆外一点，在圆上找一点P 使得P A 最小．当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如：1.如图，已知圆C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC =5，点P 为圆C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA =OB ，∠APB =90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．【分析】连接OP ，根据△APB 为直角三角形且O 是斜边AB 中点，可得OP 是AB 的一半，若AB 最小，则OP 最小即可．连接OC ，与圆C 交点即为所求点P ，此时OP 最小，AB 也取到最小值．一.从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．Alll构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．1.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是__________．【分析】考虑△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，可得MA ’=MA =1，所以A ’轨迹是以M 点为圆心，MA 为半径的圆弧．连接CM ，与圆的交点即为所求的A ’，此时A ’C 的值最小．构造直角△MHC ，勾股定理求CM ，再减去A ’M 即可．2.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是__________．A'NMABCDA'NMABCDDCBA MN A'H A'N MA BCD【分析】考虑到将△FCE 沿EF 翻折得到△FPE ，可得P 点轨迹是以F 点为圆心，FC 为半径的圆弧．过F 点作FH ⊥AB ，与圆的交点即为所求P 点，此时点P 到AB 的距离最小．由相似先求FH ，再减去FP ，即可得到PH ．3.如图，已知等边△ABC 的边长为8，点P 是AB 边上的一个动点（与点A 、B 不重合）．直线l 是经过点P 的一条直线，把△ABC 沿直线l 折叠，点B 的对应点是点B ’．当PB =6时，在直线l 变化过程中，求△ACB ’面积的最大值．【分析】考虑l 是经过点P 的直线，且△ABC 沿直线l 折叠，所以B ’轨迹是以点P 为圆心，ABCEFPABCEFPBPB 为半径的圆弧．考虑△ACB ’面积最大，因为AC 是定值，只需B ’到AC 距离最大即可．过P 作作PH ⊥AC 交AC 于H 点，与圆的交点即为所求B ’点，先求HB ’，再求面积．4.如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，P 、Q 分别是直线BC 、AB 上的两个动点，AE =2，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ ，连接PF 、PD ，则PF +PD 的最小值是_________．【分析】F 点轨迹是以E 点为圆心，EA 为半径的圆，作点D 关于BC 对称点D ’，连接PD ’，PF +PD 化为PF +PD ’．Q ABC DEFP连接ED ’，与圆的交点为所求F 点，与BC 交点为所求P 点，勾股定理先求ED ‘,再减去EF 即可．二.定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直角．构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 图形释义：若AB 是一条定线段，且∠APB =90°，则P 点轨迹是以AB 为直径的圆．【例题】已知正方形ABCD 边长为2，E 、F 分别是BC 、CD 上的动点，且满足BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则PD 的最小值为_________．D'PFE DCBAQAB【分析】由于E 、F 是动点，故P 点也是动点，因而存在PD 最小值这样的问题，那P 点轨迹如何确定？考虑BE =CF ，易证AE ⊥BF ，即在运动过程中，∠APB =90°，故P 点轨迹是以AB 为直径的圆．连接OC ，与圆的交点即为P 点，再通过勾股定理即可求出PC 长度．思路概述：分析动点形成原理，通常“非直即圆”（不是直线就是圆），接下来可以寻找与动点相关有无定直线与定角．1.如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE =DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．【分析】根据条件可知：∠DAG =∠DCG =∠ABE ，易证AG ⊥BE ，即∠AHB =90°，EFA BCDPFDHGAB CDEF所以H 点轨迹是以AB 为直径的圆弧当D 、H 、O 共线时，DH 取到最小值，勾股定理可求．2.如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB =6，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值是_________．【分析】∵∠PBC +∠PBA =90°，∠PBC =∠P AB ， ∴∠P AB +∠PBA =90°，αααHGABCDE FPABC∴∠APB =90°，∴P 点轨迹是以AB 为直径的圆弧．当O 、P 、C 共线时，CP 取到最小值，勾股定理先求OC ，再减去OP 即可．【寻找定边】1.如图， AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，AB =5，AC =4．D 是弧BC 上的一个动点，连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，连接BE ．在点D 移动的过程中，BE 的最小值为 ．【分析】E 是动点，E 点由点C 向AD 作垂线得来，∠AEC =90°，且AC 是一条定线段，所以E 点轨迹是以AC 为直径的圆弧．当B 、E 、M 共线时，BE 取到最小值．连接BC ，勾股定理求BM ，再减去EM 即可．CCBB【寻找定边与直角】1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AC =10，点D 是AC 上的一个动点，以CD 为直径作圆O ，连接BD 交圆O 于点E ，则AE 的最小值为_________．【分析】连接CE ，由于CD 为直径，故∠CED =90°，考虑到CD 是动线段，故可以将此题看成定线段CB 对直角∠CEB ．取CB 中点M ，所以E 点轨迹是以M 为圆心、CB 为直径的圆弧．B连接AM ，与圆弧交点即为所求E 点，此时AE值最小，22AE AM EM =-==．2.如图，正方形ABCD 的边长为4，动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AB 、CD 向终点B 、D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG 长的最小值为 ．【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE =CF ，BG ⊥EF ，但∠BGE 所对的BE 边是不确定的．重点放在AE =CF ，可得EF 必过正方形中心O 点，连接BD ，与EF 交点即为O 点．GF EDCB A∠BGO 为直角且BO 边为定直线，故G 点轨迹是以BO 为直径的圆．记BO 中点为M 点，当A 、G 、M 共线时，AG 取到最小值，利用Rt △AOM 勾股定理先求AM ，再减去GM 即可．【辅助圆+将军饮马】1.如图，正方形ABCD 的边长是4，点E 是AD 边上一动点，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，点P 是AD 边上另一动点，则PC +PF 的最小值为________．【分析】∠AFB =90°且AB 是定线段，故F 点轨迹是以AB 中点O 为圆心、AB 为直径的圆．AB C DE F GABCDE FP考虑PC +PF 是折线段，作点C 关于AD 的对称点C ’，化PC +PF 为PC ’+PF ，当C ’、P 、F 、O 共线时，取到最小值．【辅助圆+相切】1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4，D 是BC 上一动点，CE ⊥AD 于E ，EF ⊥AB 交BC 于点F ，则CF 的最大值是_________．【分析】∠AEC =90°且AC 为定值，故E 点轨迹是以AC 为直径的圆弧．考虑EF ⊥AB ，且E 点在圆上，故当EF 与圆相切的时候，CF 取到最大值．F EDCBAB连接OF ，易证△OCF ≌△OEF ，∠COF =30°，故CF 可求．三.定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB 为定值，∠P 为定角，则A 点轨迹是一个圆．当然，∠P 度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆． 若∠P =30°，以AB 为边，同侧构造等边三角形AOB ，O 即为圆心．若∠P =45°，以AB 为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB ，O 即为圆心．BB若∠P =60°，以AB 为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB ，O 即为圆心．若∠P =120°，以AB 为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB ，O 即为圆心．1.如图，等边△ABC 边长为2，E 、F 分别是BC 、CA 上两个动点，且BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则CP 的最小值为________．【分析】由BE =CF 可推得△ABE ≌△BCF ，所以∠APF =60°，但∠APF 所对的边AF 是变化的．EFCBAP所以考虑∠APB =120°，其对边AB 是定值．所以如图所示，P 点轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（构造OA =OB 且∠AOB =120°）当O 、P 、C 共线时，可得CP 的最小值，利用Rt △OBC 勾股定理求得OC ，再减去OP 即可．60°EF CBAP 120°EF CBAP 120°MOP ABCF E120°2.如图，△ABC 为等边三角形，AB =2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠P AB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为_________．【分析】由∠P AB =∠ACP ，可得∠APC =120°，后同上例题．3.在△ABC 中，AB =4，∠C =60°，∠A >∠B ，则BC 的长的取值范围是________． 【分析】先作图，如下条件不多，但已经很明显，AB 是定值，∠C =60°，即定边对定角．故点C 的轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（作AO =BO 且∠AOB =120°）题意要求∠A >∠B ，即BC >AC ，故点C 的轨迹如下图．当BC 为直径时，BC 取到最大值，考虑∠A 为△ABC 中最大角，故BC 为最长边，BC >AB =4．无最小值．ABCP4ABC 60°4.如图，AB 是圆O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ，当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是_______．【分析】分别考虑C 、E 两点的轨迹，C 点轨迹上是弧MCN ，其对应圆心角为∠MON ，半径为OM （或ON ）．再考虑E 点轨迹，考虑到CE 、AE 都是角平分线，所以连接BE ，BE 平分∠ABC ，可得：∠AEB =135°．考虑到∠AEB 是定角，其对边AB 是定线段，根据定边对定角，所以E 点轨迹是个圆，考虑到∠ADB =90°，所以D 点即为圆心，DA 为半径．ABAAE 点轨迹所对的圆心角为∠MDN ，是∠MON 的一半，所以C 、E 两点轨迹圆半径之比为1：根号2，圆心角之比为2:1，所以弧长比值为根号2．。

第二十五讲 辅助圆在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决．而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆)，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法 1．利用圆的定义添补辅助圆； 2．作三角形的外接圆；3．运用四点共圆的判定方法：(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆． (2)同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆．(3)若四边形ABCD 的对角线相交于P ，且PA ·PC=PB ·PD ，则它的四个顶点共圆． (4)若四边形ABCD 的一组对边AB 、DC 的延长线相交于P ，且PA ·PB ＝PC ·PD ，则它的四个顶点共圆． 【例题求解】一·利用圆的定义添加辅助圆【例1】 如图，若PA=PB ，∠APB=2∠ACB ，AC 与PB 交于点P ，且PB=4，PD=3，则AD ·DC 等于( )A ．6B ．7C ．12D ．16思路点拨 作出以P 点为圆心、PA 长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件．注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法． 变式练习：如图，已知OA=OB=OC ，且∠AOB=k ∠BOC ，则∠ACB 是∠BAC 的( ) A ．k21倍 B ．是k 倍 C ．k 2 D ．k1二·作三角形的外接圆【例2】 如图，在△ABC 中，AB=AC ，任意延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP=BQ ，求证：△ABC 的外心O 与A ，P ，Q 四点共圆．思路点拨 先作出△ABC 的外心O ，连PO 、OQ ，将问题转化为证明角相等．变式练习：5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=998，CD=1001，AD=1999，点P 在线段AD 上，满足条件的∠BPC=90°的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2 1D ．不小于3的整数(全国初中数学联赛题)三·四点共圆1·若有一个四边形对角互补，则四边形的四个顶点四点共圆。

辅助圆在初中数学解题中的运用摘要】在解答初中数学题目时，有部分与几何相关的题是很难用普通思路解决的，可以针对题目中的实际情况，根据圆的特点，以此来解决难以论证的几何题。

基于圆的特点来构建辅助圆，本文将浅析辅助圆在初中数学解题中的运用，以供相关人士参考与交流。

【关键词】构建辅助圆；初中数学；具体运用中图分类号：G633.67 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2019）08-184-01圆是初中数学学科中必学的内容，圆有着不同寻常的特点，能够促使学生有效解决几何问题，圆是一种独特的曲线图，它的特点在初中数学学科中是一项重要的知识点，初中生在解答数学题时，经常会碰到一些难以解答的问题，那些问题表面和圆没有多大关联，但只要利用圆的特点构建辅助圆就可以让困难的问题变得简单，让抽象的问题变得具体，也就是说，辅助圆是解决初中数学难题的媒介。

一、借助圆解答初中数学题（一）以圆的释义为基础建立辅助圆解答部分平面几何论证题，如果使用普通的方法解决困难性很大，而且需要很高的技巧、难以正确解出，如果能利用圆的定义结合实际题目，构建辅助圆，就能把问题简单化，在同一个圆及等圆中，如果所含圆周角和弧线相同，就能够使用辅助圆来解答许多难题[1]。

（二）使用圆周角来构建辅助圆在许多学者研究了圆以后，提出圆周角有许多特性，换句话说，这些特性就是课本中的“圆周角定律”：同一条弧或者半径一样弧长相等的弧对着的圆周角角度是其对应圆心角的二分之一；圆的直径对着的圆周角是一个直角，同理直角对应的弦就是圆的直径；假如一个圆中存在一个多边形，且这个多边形的顶点都在圆上，那么这是一个“圆内接多边形”。

以圆周角为基础构建辅助圆，以此来帮助初中生解决几何难题。

当初中生遇到难以解决的几何题时，可以打开思路，利用圆周角的特性结合题目来解答，这样就能减少做题时长。

二、借助圆内角和外角与圆周角的联系构建辅助圆圆上有顶点，该顶点的两侧有与圆交汇的点，这些点构成的角就是圆周角。

利用辅助圆求解动点最值问题许多几何问题虽然与圆无关，但是如果能结合条件补作辅助圆，就能利用圆的有关性质、结论，将某些最值问题通过圆中的几何模型求解.笔者经过研究，归纳为以下情况可考虑作辅助圆:一、同一端点出发的等长线段例1 如图1，在直角梯形ABCD 中，90,3,4,6DAB ABC AD AB BC ∠=∠=°===，点E 是线段AB 上一动点，将EBC ?沿CE 翻折到EB C ′?，连结,B D B A ′′.当点E 在AB 上运动时，分别求,,B D B A B D B A ′′′′+的最小值.解析如图1，当点E 在点B 时，B ′与B 重合;当点E 在点A 时，设点B ′在点F 处，由翻折可知BC B C FC ′==.所以，点B ′在以C 为圆心，BC 为半径的圆上，运动轨迹为弧BF . 如图2，点D 在⊙C 内，延长CD 交⊙C 于点1B .当点B ′在点1B 时B D ′最小，最小值为11B C DC -=.点A 在⊙C 外，设AC 交⊙C 于点2B ，当点B ′在点2B 时B A ′最小，最小值为22136AC B C -=-.设AD 与⊙C 交点为3B ，当点B ′在点3B 时B D B A ′′+最小，最小值为3AD =.点评当条件中有同一端点出发的等长线段时，根据圆的定义，以该端点为圆心，等长为半径构造圆，将原问题转化为定点与圆上点的距离问题.模型1 如图3，点A 在⊙O 外，A 到⊙O 上各点连线段中AB 最短；如图4，点A 在⊙O 内，A 到⊙O 上各点连线段中AB 最短.证明在⊙O 上任取一点C ，不与点B 重合，连结,CA CO ，如图 3.,,OC CA OA OC OB CA AB +>=∴>∵,得证.如图4, ,,OC OA CA OC OB AB CA -<=∴<∵，得证.二、动点对定线段所张的角为定值模型2 如图 5 , AB 为定线段，点C 为AB 外一动点，ACB ∠为定值，则点C 形成的轨迹是弧ACB 、弧AmB (不含点,A B ). 证明设⊙O 为ABC ?的外接圆，在AB 上方任取三点，点,,D E F 分别在⊙O 外、⊙O 上、⊙O 内.,,D AGB C E C AFB H C ∠<∠=∠∠=∠∠>∠=∠∵,∴当ACB ∠为定值时，点C 形成的轨迹是弧ACB 、弧ADB (不含点,A B ).1.动点时定线段所张的角为直角例2 如图6，正方形ABCD 边长为2，点E 是正方形ABCD 内一动点，90AEB ∠=°，连结DE ，求DE 的最小值.解析90,AEB AB ∠=°∵为定线段，由模型2可知，点E 在以AB 为直径的圆上.连OD 交⊙O 于点F ，由模型1，当E 在点F 处时DE 最短，最小值是51-.点评当动点对定线段所张的角为直角时，根据直径所对圆周角为直角，以定线段为直径构造圆.2.动点时定线段所张的角为锐角例 3 如图7, 45XOY ∠=°，一把直角三角形尺ABC 的两个顶点,A B 分别在,OX OY 上移动，10AB =，求点O 到AB 距离的最大值.解析如图8,⊙D 为ABO ?的外接圆，由模型2知，点O 的运动轨迹是弧AOB (,A B 两点除外).过点D 作AB 的垂线，垂足为点E ,交弧AOB 于点F ，当点O 在点F 处时，O 到AB 的距离最大，即为FE 长.45,90XOY ADB ∠=°∴∠=°∵.10,52,5AB FD AD DB DE =∴====∵,525FE ∴=+.故O 到AB 距离的最大值为525+. 点评本题AB 是定长，XOY ∠为定值，利用模型2，找到点O 的运动轨迹是一段弧，这段弧所在的圆是一个定圆，于是原问题转化为圆上一点到弦的距离问题. 模型3 如图9,AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点(不与,A B 重合)，过点O 作DE AB ⊥，垂足为D ，交⊙O 于点(,E E D 在O 两侧).当点C 在点E 处时，点C 到AB 的距离最大，即为DE 长. 证明如图9，作CF AB ⊥垂足为点F ,CF CD OC OD ED <<+=，得证.3.动点对定线段所张的角为钝角例4 如图10，正三角形ABC ?边长为2，射线//AD BC ，点E 是射线AD 上一动点(不与点A 重合)，AEC ?外接圆交EB 于点F ，求AF 的最小值.解析如图10 ,60,120EFC EAC BFC ∠=∠=°∴∠=°∵.BC ∵为定长，∴点F 的运动轨迹是弧BC (不与,B C 重合).过点A 作AG BC ⊥垂足为G ，交弧BC 于点H ，当点F 在点H 时AF 最小，最小值为323333AG HG -=-=. 点评本题将动点E 转化到动点F ，且因为120BFC ∠=°,BC 为定长，由模型2可知，点F 的运动轨迹是弧，这段弧所在的圆是一个定圆.于是，AF 的最小值问题转化为圆外一点到圆上一点的最小值问题，由模型1即可求解. 三、动点对定线段所张的角的最值例5 如图11，四边形ABCD 中，均有//,,60,8,AD BC CD BC ABC AD ⊥∠=°=12BC =.在边AD 上，是否存在一点E ，使得cos BEC ∠的值最小?若存在，求出此时cos BEC ∠的值;若不存在，请说明理由.解析当BEC ∠为锐角时，cos BEC ∠随BEC ∠的增大而减小，求cos BEC ∠的值最小值，只要求BEC ∠最大值.于是，作BC 中垂线交,BC AD 于点,F G .设三点,,B C G 确定⊙O ，则⊙O 切AD 于点G .此时AD 上的点(除点G )都在⊙O 外，BEC BGC ∠<∠，所以当点E 在点G 处时BEC ∠最大.由题意，可知43,6GF BF ==.设⊙O 半径为r , 则2226(43)r r +-=，解得733,22r OF ==，1cos cos 7BGC BOF ∠=∠=,所以cos BEC ∠最小值为17. 点评求动点对定线段所张角的最大值时，以定线段为弦所作的圆与动点所在的直线相切，由同弧所对的圆周角大于圆外角知，动点运动至切点处时所张角最大.。

2020年中考数学总复习最值系列：辅助圆最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P 就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可．当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P 点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆．在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A 为圆外一点，在圆上找一点P 使得P A 最小．A当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如：【2017四川德阳】如图，已知圆C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC =5，点P 为圆C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA =OB ，∠APB =90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．l【分析】连接OP ，根据△APB 为直角三角形且O 是斜边AB 中点，可得OP 是AB 的一半，若AB 最小，则OP 最小即可． ll连接OC ，与圆C 交点即为所求点P ，此时OP 最小，AB 也取到最小值．一、从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．【2014成都中考】如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是__________．A'N MA B CD【分析】考虑△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，可得MA ’=MA =1，所以A ’轨迹是以M 点为圆心，MA 为半径的圆弧．A'N MA BCD连接CM ，与圆的交点即为所求的A ’，此时A ’C 的值最小．DCB A M N A'构造直角△MHC ，勾股定理求CM ，再减去A ’M 即可．HA'N M A BCD。

万能解题模型(六)圆中常见辅助线的作法前言：“一学就会，一考就废？”，正是因为考试后缺少了这个环节从小学到初中，学生们经历了无数次考试。

通过考试可以检测同学们对知识的理解、掌握情况，提高应试能力。

但对待考试，部分同学只关注自己的分数，而对试卷的分析和总结缺乏重视。

结果常常出现一些题在考试中屡次出现，但却一错再错的情况。

这样，学生们无法从考试中获益，考试也就失去了它的重要意义。

做好试卷分析和总结是十分有必要的。

那么，怎样做好试卷分析呢？我认为，应从下面两点做起：一．失分的原因主要有如下四方面：（1）考试心理：心理紧张，马虎大意；（2）知识结构：知识面窄，基础不扎实；（3）自身能力：审题不清，读不懂题意；（4）解题基本功：答题规范性差。

只有查出、找准原因，才能对症下药，从弱项方面加强训练，以提高成绩。

二．“扭转乾坤”的方法做题的过程中对每一道题要试图问如下几个问题？（1）怎样做出来的？——想解题方法；（2）为什么这样做？——思考解题原理；（3）怎样想到这种方法？——想解题的基本思路；（4）题目体现什么样的思想？——揭示本质，挖掘规律；（5）是否可将题目变化？——一题多变，拓宽思路；（6）题目是否有创新解法？——创新、求异思维。

转变，让我们从一轮复习开始。

按照上面两点认真完成后面练习题。

希望每一位同学经过一轮复习后，能够扭转“一考就废”的局面，最后决胜中考。

类型1 连半径——构造等腰三角形作圆的半径，利用“同圆的半径相等”构造等腰三角形，这样就把有关线段或角的问题转化到三角形中来解答．1．如图，△ABC 内接于⊙O.若∠A ＝α，则∠OBC 等于(D) A ．180°－2α B ．2α C ．90°＋α D ．90°－α2．如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E.若DE ＝OB ，∠AOC ＝84°，则∠E 等于(B) A ．42° B ．28° C ．21° D ．20°类型2 与垂径定理有关的辅助线在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段或连接弧的中点与圆心，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理或锐角三角函数进行计算．3．(2018·枣庄)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6，∠APC ＝30°，则CD 的长为(C) A.15 B ．2 5 C ．215 D ．84．(2018·威海)如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，点C 为AB ︵的中点．若∠ABC ＝30°，则弦AB 的长为(D) A.12 B ．5 C.532D ．5 3类型3 与圆周角定理及其推论有关的辅助线(1)利用圆周角定理求角度时，常构造同弧或等弧所对的圆周角或者圆心角；(2)遇到直径时，常构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质；(3)遇90°的圆周角时，常连接圆周角的两边与圆的交点，得到直径．5．如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD.若AC ＝2，则tanD 的值是(A)A ．2 2B.223C.24D.136．(2019·辽阳)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且点B 是AC ︵的中点，BD 交OC 于点E ，∠AOC ＝100°，∠OCD ＝35°，那么∠OED ＝60°．7．(2019·连云港)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，BC ＝6，∠BAC ＝30°，则⊙O 的半径为6．类型4 与切线的性质有关的辅助线已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，从而构造出直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题．8．如图，在⊙O 中，AD ，CD 是弦，连接OC 并延长，交过点A 的切线于点B.若∠ADC ＝30°，则∠ABO 的度数为(B)A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°类型5 与切线的判定有关的辅助线证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，则需要过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．9．(2019·齐齐哈尔)如图，以△ABC 的边BC 为直径作⊙O ，点A 在⊙O 上，点D 在线段BC 的延长线上，AD ＝AB ，∠D ＝30°.(1)求证：直线AD 是⊙O 的切线；(2)若直径BC ＝4，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：连接OA. ∵AD ＝AB ，∠D ＝30°， ∴∠B ＝∠D ＝30°.∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠B ＝30°. ∴∠AOD ＝60°. ∴∠OAD ＝180°－30°－60°＝90°. ∴OA ⊥AD.又∵OA 是⊙O 的半径， ∴AD 是⊙O 的切线． (2)∵BC ＝4，∴OA ＝2. ∴AD ＝OA·tan60°＝2 3.∴S △AOD ＝12AD·OA ＝2 3.又∵S 扇形AOC ＝60π×4360＝2π3，∴S 阴影＝23－2π3.10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ，∠ADC 的平分线交AE 于点O ，以点O 为圆心，OA 为半径的圆经过点B ，交BC 于另一点F.(1)求证：CD 与⊙O 相切；(2)若BF ＝24，OE ＝5，求tan ∠ABC 的值．解：(1)证明：过点O 作OG ⊥DC ，垂足为G. ∵AD ∥BC ，AE ⊥BC ， ∴OA ⊥AD.又∵DO 平分∠ADC ，OG ⊥DC ， ∴OA ＝OG.∴OG 是⊙O 的半径． ∴DC 是⊙O 的切线． (2)连接OF. ∵OA ⊥BC ，∴BE ＝EF ＝12BF ＝12.在Rt △OEF 中，OE ＝5，EF ＝12. ∴OF ＝OE 2＋EF 2＝13.∴AE ＝OA ＋OE ＝13＋5＝18.∴tan ∠ABC ＝AE BE ＝32.类型6 与三角形内切圆有关的辅助线 11．(2019·娄底)如图，边长为23的等边△ABC 的内切圆的半径为(A)A ．1 B. 3 C ．2 D ．2 312．(2018·河北)如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为(B)A．4.5 B．4C．3 D．2类型7与圆中阴影部分面积的计算有关的辅助线13．(2019·南充)如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为(A)A．6πB．33πC．23πD．2π。

2020中考数学压轴题---辅助“圆”（冲刺名校必刷题，逆袭超越必练题，金榜题名过关题）知识点：定边定角模型命题特点：动点在运动过程中，引起被动点的运动。

其特点是在运动中，有一条边为定长，并且这条边所对的角也为定值，通常为：45°，60°，90°，120°等难度：★★★★☆1. 如图，正方形ABCD中，AB=4, 点E为正方形内一点，且∠BEF=90°，连接AE, 则AE的最小值为__________________.分析：由题意可知，∠BEC=90°，边BC为定长，这就符合定边定角模型，所以取BC的中点M，则点E的轨迹是以M为圆心，以2为半径的半圆，如下图所示：此时连接ME, 则ME等于BC的一半（斜边中线等于斜边的一半），连接AM，由勾股定理可知，AM的长为2倍根号5，在△AME 中，由三边关系可知：AE≥AM-ME, 即AE的最小值为: 2倍根号5-2, (当A,E,M三点共线时，AE最小)变式1：如图，正方形ABCD中，AB=4, 点E为正方形内一点，且∠BEC=90°，点O是△BEC的内心，连接OA, 则OA的最小值为_____________.变式2：如图，正方形ABCD中，AB=4, 点E为CD边上一点，CF⊥BE于F, 连接DF, 则DF的最小值为_____________.变式3：如图，正方形ABCD中，AB=4, 点E为CD边上一点，CF⊥BE于F, AG⊥BE于G，则AG+CF的最大值为_____________.变式4：如图，正方形ABCD中，AB=4, 点E为CD边上一点，DF⊥B E于点F,则△ABF的最大面积为_____________.变式5：如图，正方形ABCD中，AB=4, 点E为CD边上一点，CF⊥BE于F, CF=GF，连接AG，则AG的最小值为_____________.变式6：如图，正方形ABCD中，AB=4, 点E为CD边上一点，以CE为边在右侧作正方形CEFG, 连接AF，DG交于点P，连接BP，则(1)∠APB为多少度？(2)△ABP的最大面积为_____________.以上6道题目，供有想法的学生思考学习湖北加油！中国加油！中国必胜，中国必胜，中国必胜。

辅助圆模型1 . 共端点，等线段模型分析：（1）若有共端点的三条等线段，可思考构造辅助圆。

一般来说，构造辅助圆是为了利用圆的性质来解决角度问题。

例子：如图，△ABC和△ACD都是等腰三角形，AB=AC，AC=AD，连接BD。

求证：∠1+∠2=90°。

证明：利用模型构造辅助圆，∵AB=AC，∴∠ABC=∠2，∵∠BAC=2∠1，∴2∠2+2∠1=180°，∴∠1+∠2=90°。

方法二：利用模型构造辅助圆，延长CA交圆于点E，联结BE，∵CA是直径,∴∠EBC=90°。

∴∠E+∠2=90°，∵∠1=∠E，∴∠1+∠2=90°针对训练：如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，在△ABC的外侧作直线AP，点B与点D关于AP轴对称，连接BD、CD，CD与AP交于点E。

求证：∠1=∠2。

提示：可知AD=AB=AC,构造辅助圆可知关键的相等关系，∠1=2∠BDC,∠BDC=∠EBD，∠2=2∠BDC，∠1=∠2。

模型2. 直角三角形共斜边模型分析：共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都有四点共圆，再根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的代替，是证明角相等的思路之一。

例子：如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为垂心，求证：∠ADF=∠ADE。

证明：利用模型，可知B、C、E、F四点共圆，∴∠FBE=∠FCE,B、D、H、F四点共圆，∴∠ADF=∠FBE,D、C、E、H四点共圆，∴∠ADE=∠FCE,∴∠ADF=∠ADE。

针对训练：如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB，TE⊥AC。

求：∠AHD=∠AHE。

提示：利用模型可知，A、D、T、E四点共圆，且AT为直径，联结OH,∵AH⊥BC，∴△ATH是直角三角形。

∴OH=1/2AT（O是AT中点）,∴点H在圆上，∵AT是角平分线，TD⊥AB，TE⊥AC。

∴△ATD≌△ATE,∴AD=AE,∴∠AHD=∠AHE。

百花园地新课程NEW CURRICULUM圆作为初中数学内容的重要组成部分，加上自身具有的特殊性质，可帮助学生解决初中数学问题，尤其在线段长度、三角形、正多边形及求取点的个数等相关问题中应用此方法能够将复杂问题简单化，在解题中起着“搭桥铺路”的作用。

一、构辅助圆求线段长度线段长度在初中数学解题中也较为常见，主要利用共同端点的几条线段相等，以该端点为圆心，并以等线段的长作为半径，进而构造出辅助圆，最后利用圆形的性质求解。

例1.如图1所示，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB=AC =AD =5，BC=19√，求取BD 的长度。

解析：以A 为圆心作圆A ，A 到B 、C 、D 三点的距离相等，即圆A 的半径，且B 、C 、D 三点均在圆A 上。

延长BA 到E 点，使AE=AB ，连接ED 。

因为AB ∥CD ，圆周角所对应的弧相等，所以ED 与BC 的弧长相等，可得到ED=BC =19√。

由图可知，EB 为圆A 的直径，因此：∠EDB=90°，BE =2AB =10，可得：BD =BE 2-DE 2=102-（19√）2√=9.二、构辅助圆求三角形度数求取三角形度数也是初中生在解决数学问题时遇到的问题，常以公共定点作为一个顶点，进而做三角形的外接圆，并且使等角与辅助圆中有关角之间建立起联系，进而有效解决问题。

例2.如图2所示，已知△ABC ，AB=AC ，且∠ABC 的平分线交AC 于D 点，且BD+AD=BC ，求取∠A 的度数。

解析：因为BD 是∠ABC 的平分线，∠BAD=∠DBC 。

作△ABD 的外接圆，交BC 于E 点，连接DE 。

根据圆周角所对应的弧相等，可得：AD 与DE 的弧长相等，得AD=DE ，由于四边形ABED 是一个内接圆四边形，因此：∠ABC 、∠EDC 、∠C 三个角度都相等，所以2∠C=∠DEB ，且DE=EC 。

因为：BC=BD+AD =BE+EC ，且AD=DE =EC ，最终：BE=BD 。

实例分析辅助圆在初中数学解题中的应用作者：***来源：《广东教学报·教育综合》2022年第76期【摘要】在初中數学解题中经常会遇到解题过程十分复杂的难题，如果依然采用传统的解题思路，不仅需要耗费大量时间和精力，也极易出现解题错误的情况，为此，本文通过辅助圆解题思路在数学解题中的运用分析，引导学生灵活运用辅助圆解决各类数学问题，提高学生数学思维能力，促进初中生的全面发展。

【关键词】辅助圆;初中数学;解题思路“圆”作为初中阶段重要的教学内容，其自身具备的特殊性在许多解题中都具有良好的运用效果。

如果能够学会运用辅助圆来解决其它问题，则能够大大简化解题难度，同时也能够帮助学生理清解题思路，更好地理解数学问题，将抽象数学题转化成具象图形进行求解，从而提高初中生的数学解题能力，对初中生未来学习与发展具有重要意义。

一、利用辅助圆构建，求解直线方程问题直线方程问题是初中数学科目中的重点内容，也是一直困扰学生的一种题型，虽然初中直线方程问题没有像高中直角坐标系求解二元一次方程图形那么难，但是对于初中生的学习来说，也经常需要耗费大量精力与时间，严重影响初中生对数学的学习积极性。

为此，当学生在遇到直线方程这类问题求解时，教师可以引导学生运用辅助圆的构建来解决直线方程问题，将原本复杂的问题简单化，从而培养学生良好的解题能力。

例题1：已知圆C外一点P坐标为（2，4），圆C为（x-1）2+（y-1）2=1，做PA、PB 两条切线分别交予圆外P点，连接切点A和B，求解AB直线方程。

例题解析：通过题目可知，想要解决AB直线方程，如果从AB点的切点坐标进行求解，那么需要较大的运算量，而且在求解过程中极易出错。

为此，在这道题目的求解时可以利用辅助圆的构建，使两个圆形方程相减，这样就能够直接获取直线AB方程。

如图1所示，通过PA线段为半径构建辅助圆，P点作为圆的圆心，确保辅助圆与圆心C点、A点和B点相交，因为PA与CA垂直，所以可以得到PC=，由此可知：故圆P的方程为（x-2）2+（y-4）2=9 （1）由于AB点和B点分别处于C圆中，结合已知条件C圆方程为（x-1）2+（y-1）2=1，进行两圆相减就得到了AB直线方程，最终结果为：AB：x+3y-5=0 （2）图1二、利用辅助圆求解线段长度在初中数学几何题目中，求解线段长度也是一种常见题型，而通过构建辅助圆的方式求解直线方程中线段长度，也能够简化解题步骤，降低解题难度，让学生更容易理解与作答，而通过辅助圆求解线段长度的原理主要是通过圆内共同端点的线段都相等这一特显，以端点为圆心进行画圆，并且以相同线段长度为半径，画出辅助圆，随后便可以结合圆的性质，轻松求解线段长度。

动点探究辅助圆的问题2019广州中考24如图，等边△ABC中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点(不与点C重合)，△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．(1)当点F在AC上时，求证：DF//AB；(2)设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S=S1−S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；(3)当B，F，E三点共线时．求AE的长．24.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠B=∠C=60°由折叠可知：DF=DC，且点F在AC上∴∠DFC=∠C=60°∴∠DFC=∠A∴DF//AB；(2)存在，过点D作DM⊥AB交AB于点M，∵AB=BC=6，BD=4，∴CD=2∴DF=2，∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，∴当点F在DM上时，S△ABF最小，∵BD=4，DM⊥AB，∠ABC=60°∴MD=2√3∴S△ABF的最小值=12×6×(2√3−2)=6√3−6∴S最大值=√34×36−(6√3−6)=3√3+6(3)如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE∴DF=DC=2，∠EFD=∠C=60°∵GD⊥EF，∠EFD=60°∴FG=1，DG=√3FG=√3∵BD2=BG2+DG2，∴16=3+(BF+1)2，∴BF=√13−1∴BG=√13∵EH⊥BC，∠C=60°∴CH=EC2，EH=√3HC=√32EC∵∠GBD=∠EBH，∠BGD=∠BHE=90°∴△BGD∽△BHE∴DGBG=EHBH∴√3√13=√32EC6−EC2∴EC=√13−1∴AE=AC−EC=7−√13【解析】(1)由折叠的性质和等边三角形的性质可得∠DFC=∠A，可证DF//AB；(2)过点D作DM⊥AB交AB于点M，由题意可得点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，由△ACD的面积为S1的值是定值，则当点F在DM上时，S△ABF最小时，S最大；(3)过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，由勾股定理可求BG的长，通过证明△BGD∽△BHE，可求EC的长，即可求AE的长．本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键．2020河南模拟1)问题发现①特殊条件:如图(1),在Rt△ABC中,∠ACB=90°∠A=30°,D为AC上任意一点(不与点A,C 重合),过点D作DE∥AB交BC于点E,则BEAD=②一般条件:如图(2),把∠A=30°改为∠A=a,其他条件不变,则BEAD=(2)类比探究如果把图(2)中的△CDE绕点C任意旋转一个角度,连接AD,BE,请问(1)②中的结论还成立吗?若成立,请就图(3)给出证明;若不成立,请说明理由(3)拓展延伸在(1)①的条件下,将△CDE绕点C顺时针旋转,旋转角为B(B<180°),直线AD,BE交于点F,若BC=2,则当∠CBE=15°时,请直接写出AF的长练习（10分）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD =AE ，连接DC ，BE ，点P 为DC 的中点． （1）观察猜想图1中，线段AP 与BE 的数量关系是________，位置关系是________； （2）探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，小航猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小航的猜想； （3）拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =4，AB =10，请直接写出线段AP 的取值范围．（2018年中考）（1）问题发现，如图1，在△OAB 和△OCD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=40°，连接AC ，BD 交于点M ．填空： ①的值为 ；②∠AMB 的度数为 ．（2）类比探究：如图2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC 交BD 的延长线于点M ．请判断的值及∠AMB 的度数，并说明理由；AA AAPEDA BC 图1PEDABC图2（3）拓展延伸：在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．。