第11讲。。。

(11.3–11) (11.3–12) (11.3–13)
振型参与系数为
N
∑∑ γ
j
=
{φ}jT [M ]{I} =
Mj
{φ}jT [M ]{I} {φ}jT [M ]{φ}j
=
miφij
i =1 N
miφij 2
i =1
(11.3–14)
将以上振型运动方程(11.3–10)两边同除以振型质量Mj，得到标准的振型运动方程
(11.3–7)
{φ}iT [K ]{φ}j = 0 , i ≠ j
2 多自由度结构动力反应分析ห้องสมุดไป่ตู้振型叠加法
(11.3–8)
用振型叠加法，结构的运动方程可以表示为
N
∑ {u(t)}= q1(t){φ}1 + q2(t){φ}2 + L + qN (t){φ}N = q j (t){φ}j j =1
(11.3–9)
其中qj(t) (j=1, 2, … N)为广义坐标，又称振型坐标，{φ}相当于坐标交换矩阵。式(11.3–9) 把物理坐标{u}变换到振型坐标。
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抗震工程概论教案 第 11 讲
将式(11.3–9)代入结构的运动方程式(11.3–1)，并利用振型之间的正交性，同时假设振型 也满足关于阻尼阵的正交条件，可以得到解耦的各个振型坐标的运动方程
{u}j
=γ
jα j g
Tj2 4π 2
{φ}j
,
j = 1,2,L, N
由此可将第（3）（4）步改为
（3）求与各阶振型相应的位移 {u}j
=
γ
jα
jg
Tj2 4π 2
{φ}j
；
（4）根据各振型位移求各振型内力。 这样就避免了解联立方程组（矩阵求逆），使计算量降低。
(11.4–11) (11.4–12)
{φ}5
=
⎪⎪⎪φ25
⎪ ⎪⎪
⎪⎪⎨φφ3455
⎬ ⎪ ⎪
⎪⎩φ55 ⎪⎭
其中，振型向量中的元素φij的下标i表示相应的结构自由度，j表示振型数。图 11.5 给出了 五层均匀结构的全部振型。
图 11.5 均匀五层结构的振型 结构不同振型之间具有正交性，即各振型满足：
{φ}iT [M ]{φ}j = 0 , i ≠ j
式(11.3–1)为一般线弹性结构地震反应分析的运动方程，力学模型可以是有限元模型、 杆系模型或层（间）模型等。图 11.4 为一层间模型及其自由度示意图。
图 11.4 五层多自由度结构
由式(11.3–1)可得结构的无阻尼自由振动方程为：
[M ]{u&&}+ [K]{u}= {0}
(11.3–2)
结构的无阻尼自由振动为简谐振动
一般规范（或教科书）给出的用反应谱法求结构地震反应（地震作用效应）的步骤是： （1）首先求出结构的自振周期Tj和振型{φ}j (j=1, 2, …, N)； （2）由α反应谱得到与Tj相应的N个αj(j=1, 2, …, N)；
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抗震工程概论教案 第 11 讲
（3）由{F}j=γjαj[G]{φ}j求得j振型地震作用的标准值（若α为标准反应谱）； （4）将{F}j施加到结构上，求出各振型的地震作用效应Sj（位移或内力）；
而作用于结构各质点上的地震惯性力为
{F
}
=
[M
]({u&&}+
{I
}u&&g
)
=
N
∑γ
j
[M
](δ&&j
(t
)
+
u&&g
(t
)){φ
}j
j =1
上式中用到公式
N
∑γ j{φ}j = {I}
j =1
(11.3–20) (11.3–21) (11.3–22)
11.4 多自由度结构的反应谱解法
从振型叠加法的计算公式可以看到，结构的位移和作用于结构的地震惯性力均为各个振 型反应的叠加，即结构在任一时刻的总位移反应可以表示成该时刻对应于各个振型反应的 和。因此在实际计算中可以首先求解各振型反应，然后通过叠加得到问题的解。
考虑地震动的随机性，并假设其为平稳的随机过程，根据随机振动理论，可以用“平方 和开平方”（SRSS）的方法计算结构总体反应的最大值，即地震作用效应（内力或位移）可 用下式计算
N
∑ S =
S j2
j =1
(11.4–7)
其中，S为地震作用效应；Sj为j振型地震作用效应，对于一般规则的结构可取前 2～3 个振型 组合。当结构基本自振周期T1>1.55s或结构高宽比H/B>5 时，采用的振型数目可适当增加， 取 5～7。对于一般三维结构模型，上述振型数目是指沿地震动作用方向上结构的整体振型 数，不包括可能存在的局部振型。
抗震工程概论教案 第 11 讲
11.3 多自由度线弹性结构地震反应振型叠加法
1 多自由度结构的振型和自振频率
地震作用下线弹性 MDOF 结构的运动方程为
[M ]{u&&(t)}+ [C]{u&(t)}+ [K]{u(t)}= −[M ]{I}u&&g (t)
(11.3–1)
其中，[M]、[C]、[K]—结构质量、阻尼和刚度矩阵；{I}—单位列向量；üg(t)—地面运动加 速度；{u(t)}={u1(t), u2(t), …, uN(t)}T—结构各自由度(质点)的相对位移向量，N—自由度数。
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抗震工程概论教案 第 11 讲
{F}j = γ jα j [M ]g{φ}j , j = 1, 2, L, N
如果令[G]为结构的质量矩阵，即 则最大振型地震作用为
[G] = [M ]g
{F}j = γ jα j [G]{φ}j , j = 1, 2, L, N
(1.4–4) (11.4–5) (11.4–6)
2 振型组合
将各个振型的最大地震作用{F}j分别施加到结构上，可以得到结构相应于每一个振型的 最大反应（振型位移或内力）。
结构的地震反应或称地震作用效应不能简单地用各振型反应（效应）的最大值之和表示， 因为各振型作用效应达到最大值的时间 t 一般是不同的，因此结构总体反应的最大值不是各 振型反应最大值之和。
在结构抗震设计中最关心的是结构的最大反应或最大的地震作用，这样可以先求出对应 于每一个振型反应的最大值，然后将这些振型反应值按某种方法组合，最后求出结构的最大 反应。
1 振型反应的最大地震力
对结构上的地震作用，相应于 j 振型的最大值为
{F}j = γ j [M ] δ&&j (t) + u&&g (t) max{φ}j
算。 平方和开平方的组合方法是对地震作用的效应，即结构地震反应的内力或位移进行组
合，而不是对地震作用，即不是对地震惯性力的组合。例如计算地震作用下剪切型结构的层 间剪力，正确的计算方法是先求出各振型地震作用下的层间剪力，然后对各振型的层间剪力 用平方和开平方法求得结构的层间剪力；但如果先对振型地震作用采用平方和开平方求得各 楼层的总体地震作用，然后将这些地震作用加到相应的楼层上，求各楼层的剪力（效应）的 方法是错误的。可以发现，采用后一种计算方法将给出过大的估计结果。
(11.4–9)
相当于求解 N 个等价的静力问题。实际计算过程中，可以避免求解联立方程组。根据 振型叠加公式，振型最大位移为
{u}j = γ j δ (t) max{φ}j
利用相对位移反应谱与绝对加速度反应谱之间的关系
(11.4–10)
可以得到：
δ (t) max
=
1
ω
2 j
Sa
=
T
2 j
4π 2
αjg
计算地震效应的另一种组合方法为完全二次项组合法，也称为 CQC 方法
NN
∑∑ S =
ρijSiS j
i =1 j =1
(11.4–8)
其中，ρij—为振型间的耦联系数（相干系数），Si和Sj分别为i和j振型地震作用效应。 考虑扭转影响的结构和空间计算模型相邻自振频率接近的结构应采用 CQC 方法进行计
M jq&&j (t) + C jq& j (t) + K jq j (t) = −γ j M ju&&g (t) , j = 1,2,L, N
(11.3–10)
其中振型质量、振型阻尼、振型刚度分别为
M
j
=
{φ
}T j
[M
]{φ}j
Cj
=
{φ
}T j
[C
]{φ}j
K j = {φ}jT [K ]{φ}j
q&&j (t) + 2ζ jω jq& j (t) + ω j2q j (t) = −γ ju&&g (t) , j = 1,2,L, N
(11.3–15)
而
ζ
j
=
Cj 2ω j M
j
，
ωj =
Kj Mj
(11.3–16)
分别为第 j 阶振型阻尼比和自振频率。 由此可见，采用振型叠加法，将对耦联的N个自由度问题的求解，变成对N个单自由度
分别将每一个自振频率ωj代入运动方程的特征方程式(11.3–5)，得到与自振频率ωj相应 的振型{φ}j (j=1, 2, … N)。一般情况下，N个自由度的结构，有N个振型。
例如对于图 11.4 所示的五层结构，N=5，则结构的 5 个振型分别为
⎧φ11 ⎫
{φ }1
=
⎪⎪⎪φ21
⎪ ⎪⎪
⎪⎪⎨φφ4311
(11.3–17) (11.3–18)