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（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形课时达标17 任意角和弧度制及任意角的三角函数编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形课时达标17 任意角和弧度制及任意角的三角函数）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时达标第17讲任意角和弧度制及任意角的三角函数[解密考纲］本考点主要考查任意角、弧度制和三角函数的概念．通常以选择题、填空题的形式呈现，安排在比较靠前的位置．一、选择题1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是（C)A．π3B．错误!C．－π3D．－错误!解析将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A，B项不正确．又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的错误!,即为－错误!×2π＝－错误!.故选C．2．点P从(1,0）出发，沿单位圆逆时针方向运动错误!弧长到达点Q，则点Q的坐标为（A）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析由三角函数定义可知点Q的坐标(x，y)满足x＝cos错误!＝－错误!，y＝sin错误!＝错误!。
3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2），且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是（A）A．(－2,3] B．（－2,3）C．[－2，3）D．[－2，3]解析由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上，所以有错误!解得－2<a≤3。
压轴题命题区间(三)三角函数与平面向量三角函数的图象与性质已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2．(1)求f (x )的最大值和最小值；(2)若不等式－2＜f (x )－m ＜2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上恒成立，求实数m 的取值范围．(1)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以π6≤2x －π3≤2π3，故2≤1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤3， 所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝3，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2． (2)因为－2＜f (x )－m ＜2⇔f (x )－2＜m ＜f (x )＋2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以m ＞f (x )max －2且m ＜f (x )min ＋2．又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，f (x )max ＝3，f (x )min ＝2， 所以1＜m ＜4，即m 的取值范围是(1,4)．本题求解的关键在于将三角函数f (x )进行正确的“化一”及“化一”后角的范围的确定，因此，求解时要准确运用三角公式，并借助三角函数的图象和性质去确定函数f (x )的最值．已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(A ＞0，ω＞0)，g (x )＝tan x ，它们的最小正周期之积为2π2，f (x )的最大值为2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π4． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)设h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x ，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ，π3时，h (x )的最小值为3，求a 的值．解：(1)由题意得2πω·π＝2π2，所以ω＝1．又A ＝2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π4＝2tan 17π4＝2tan π4＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4． 由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z)． 故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z)． (2)h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x＝32×4sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋23cos 2x＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋3(cos 2x ＋1)＝3＋3＋3sin 2x ＋3cos 2x ＝3＋3＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6． 因为h (x )的最小值为3， 令3＋3＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝3⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12． 因为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ，π3， 所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ＋π6，5π6，所以2a ＋π6＝－π6，即a ＝－π6．三角函数和解三角形已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，且2b －c a ＝cos Ccos A ．(1)求A 的大小；(2)当a ＝3时，求b 2＋c 2的取值范围． (1)已知在△ABC 中，2b －c a ＝cos Ccos A ，由正弦定理， 得2sin B －sin C sin A ＝cos Ccos A，即2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， 所以cos A ＝12，所以A ＝60°． (2)由正弦定理， 得asin A＝bsin B＝csin C＝2，则b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， 所以b 2＋c 2＝4sin 2B ＋4sin 2C ＝2(1－cos 2B ＋1－cos 2C ) ＝2 ＝2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12cos 2B ＋32sin 2B＝4＋2sin(2B －30°)． 因为0°＜B ＜120°，所以－30°＜2B －30°＜210°， 所以－12＜sin(2B －30°)≤1，所以3＜b 2＋c 2≤6．即b 2＋c 2的取值范围是(3,6]．三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边、角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π6． (1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若f (A )＝32，b ＋c ＝2，求实数a的最小值．解：(1)∵f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π6 ＝(1＋cos 2x )－⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6 ＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6． ∴函数f (x )的最大值为2． 要使f (x )取最大值，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1， ∴2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ， 解得x ＝k π＋π6，k ∈Z ．故f (x )取最大值时x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π6，k ∈Z． (2)由题意知，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32， 化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12．∵A ∈(0，π)， ∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3． 在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc ．由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝1，当且仅当b ＝c ＝1时等号成立． 即a 2≥1．∴当b ＝c ＝1时，实数a 的最小值为1．平面向量若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A ．2－1B ．1C ． 2D ．2法一：(目标不等式法)因为|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝0， 所以|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2， 故|a ＋b |＝2．展开(a －c )·(b －c )≤0， 得a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2≤0， 即0－(a ＋b )·c ＋1≤0， 整理，得(a ＋b )·c ≥1．而|a ＋b －c |2＝(a ＋b )2－2(a ＋b )·c ＋c 2＝3－2(a ＋b )·c ，所以3－2(a ＋b )·c ≤3－2×1＝1． 所以|a ＋b －c |2≤1， 即|a ＋b －c |≤1，故|a ＋b －c |的最大值为1． 法二：(基向量法)取向量a ，b 作为平面向量的一组基底， 设c ＝ma ＋nb ．由|c |＝1，即|ma ＋nb |＝1， 可得(ma )2＋(nb )2＋2mna ·b ＝1， 由题意，知|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0． 整理，得m 2＋n 2＝1．而a －c ＝(1－m )a －nb ，b －c ＝－ma ＋(1－n )b ， 故由(a －c )·(b －c )≤0， 得·≤0，展开，得m (m －1)a 2＋n (n －1)b 2≤0， 即m 2－m ＋n 2－n ≤0， 又m 2＋n 2＝1， 故m ＋n ≥1．而a ＋b －c ＝(1－m )a ＋(1－n )b ， 故|a ＋b －c |2＝2＝(1－m )2a 2＋2(1－m )(1－n )a ·b ＋(1－n )2b 2＝(1－m )2＋(1－n )2＝m 2＋n 2－2(m ＋n )＋2 ＝3－2(m ＋n )． 又m ＋n ≥1，所以3－2(m ＋n )≤1． 故|a ＋b －c |2≤1， 即|a ＋b －c |≤1．故|a ＋b －c |的最大值为1． 法三：(坐标法)因为|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0， 所以a ，b ＝π2．设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ， 因为a ⊥b ， 所以OA ⊥OB ．分别以OA ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图(1)所示， 则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)， 则A (1,0)，B (0,1)．设C (x ，y )，则c ＝(x ，y )，且x 2＋y 2＝1．则a －c ＝(1－x ，－y )，b －c ＝(－x,1－y )，故由(a －c )·(b －c )≤0，得(1－x )×(－x )＋(－y )×(1－y )≤0， 整理，得1－x －y ≤0， 即x ＋y ≥1．而a ＋b －c ＝(1－x,1－y )， 则|a ＋b －c |＝1－x2＋1－y2＝3－2x ＋y ．因为x ＋y ≥1，所以3－2(x ＋y )≤1， 即|a ＋b －c |≤1．所以|a ＋b －c |的最大值为1． 法四：(三角函数法)因为|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0， 所以a ，b ＝π2．设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ， 因为a ⊥b ，所以OA ⊥OB ．分别以OA ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系， 如图(1)所示，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，A (1,0)，B (0,1)． 因为|c |＝1，设∠COA ＝θ，所以C 点的坐标为(cos θ，sin θ)．则a －c ＝(1－cos θ，－sin θ)，b －c ＝(－cos θ，1－sin θ)， 故由(a －c )·(b －c )≤0，得(1－cos θ)×(－cos θ)＋(－sin θ)×(1－sin θ)≤0， 整理，得sin θ＋cos θ≥1．而a ＋b －c ＝(1－cos θ，1－sin θ)， 则|a ＋b －c |＝1－cos θ2＋1－sin θ2＝3－2sin θ＋cos θ．因为sin θ＋cos θ≥1， 所以3－2(sin θ＋cos θ)≤1， 即|a ＋b －c |≤1，所以|a ＋b －c |的最大值为1． 法五：(数形结合法)设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ， 因为|a |＝|b |＝|c |＝1，所以点A ，B ，C 在以O 为圆心、1为半径的圆上． 易知CA ―→＝a －c ，CB ―→＝b －c ，|c |＝|OC ―→|．由(a －c )·(b －c )≤0， 可得CA ―→·CB ―→≤0，则π2≤∠BCA ＜π(因为A ，B ，C 在以O 为圆心的圆上，所以A ，B ，C 三点不能共线，即∠BCA ≠π)，故点C 在劣弧AB 上． 由a ·b ＝0，得OA ⊥OB ， 设OD ―→＝a ＋b ，如图(2)所示， 因为a ＋b －c ＝OD ―→－OC ―→＝CD ―→， 所以|a ＋b －c |＝|CD ―→|，即|a ＋b －c |为点D 与劣弧AB 上一点C 的距离， 显然，当点C 与A 或B 点重合时，CD 最长且为1， 即|a ＋b －c |的最大值为1． B平面向量具有双重性，处理平面向量问题一般可以从两个角度进行： (1)利用其“形”的特征，将其转化为平面几何的有关知识进行解决； (2)利用其“数”的特征，通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决．1．在△ABD 中，AB ＝2，AD ＝22，E ，C 分别在线段AD ，BD 上，且AE ＝13AD ，BC ＝34BD ，AC ―→·BE ―→＝113，则∠BAD 的大小为( )A ．π6B ．π4C ．π2D ．3π4解析：选D 依题意，AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝AB ―→＋34BD ―→＝AB ―→＋34(AD ―→－AB ―→)＝14AB ―→＋34AD ―→，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝13AD ―→－AB ―→，所以AC ―→·BE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB ―→＋34AD ―→ ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AD ―→－AB ―→＝－14|AB ―→|2＋14|AD ―→|2－23AD ―→·AB ―→＝－14×22＋14×(22)2－23AD ―→·AB ―→＝113，所以AD ―→·AB ―→＝－4，所以cos ∠BAD ＝AD ―→·AB ―→| AD ―→|·|AB ―→|＝－42×22＝－22，因为0＜∠BAD ＜π， 所以∠BAD ＝3π4．2．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°．动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ―→＝λBC ―→，DF ―→＝19λDC ―→，则AE ―→·AF ―→的最小值为________．解析：法一：(等价转化思想) 因为DF ―→＝19λDC ―→，DC ―→＝12AB ―→，CF ―→＝DF ―→－DC ―→＝19λDC ―→－DC ―→＝1－9λ9λDC ―→＝1－9λ18λAB ―→，AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋λBC ―→，AF ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CF ―→＝AB ―→＋BC ―→＋1－9λ18λAB ―→＝1＋9λ18λAB ―→＋BC ―→． 所以AE ―→·AF ―→＝(AB ―→＋λBC ―→)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9λ18λ AB ―→＋BC ―→＝1＋9λ18λAB ―→2＋λBC ―→2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋λ·1＋9λ18λAB ―→·BC ―→＝1＋9λ18λ×4＋λ＋19＋9λ18×2×1×cos 120° ＝29λ＋12λ＋1718≥2 29λ·12λ＋1718＝2918， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时，AE ―→·AF ―→的最小值为2918．法二：(坐标法)以线段AB 的中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－1,0)，B (1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，所以AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋λBC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ，AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝AD ―→＋19λDC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32，所以AE ―→·AF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋32×32λ ＝1718＋λ2＋29λ≥1718＋2 λ2·29λ＝2918， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时，AE ―→·AF ―→的最小值为2918．答案：29181．(2017·宜春中学与新余一中联考)已知等腰△OAB 中，|OA |＝|OB |＝2，且|OA ―→＋OB ―→|≥33|AB ―→|，那么OA ―→·OB ―→的取值范围是( ) A ．解析：选A 依题意，(OA ―→＋OB ―→)2≥13(OB ―→－OA ―→)2，化简得OA ―→·OB ―→≥－2，又根据三角形中，两边之差小于第三边， 可得|OA ―→|－|OB ―→|＜|AB ―→|＝|OB ―→－OA ―→|， 两边平方可得(|OA ―→|－|OB ―→|)2＜(OB ―→－OA ―→)2， 化简可得OA ―→·OB ―→＜4，∴－2≤OA ―→·OB ―→＜4．2．(2017·江西赣南五校二模)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO ―→＝AB ―→＋AC ―→且|OA ―→|＝|AB ―→|，则向量BA ―→在BC ―→方向上的投影为( )A ．12B ．32 C ．－12D ．－32解析：选A 由2AO ―→＝AB ―→＋AC ―→可知O 是BC 的中点， 即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|，由题意知|OA ―→|＝|AB ―→|＝1， 故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°．所以向量BA ―→在BC ―→方向上的投影为|BA ―→|·cos∠ABC ＝1×cos 60°＝12．故选A ．3．(2017·石家庄质检)设α，β∈，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．解析：选C ∵sin αcos β－cos αsin β＝1， 即sin(α－β)＝1，α，β∈， ∴α－β＝π2，又⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，则π2≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin (α－2β) ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4， ∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤5π4， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，即所求取值范围为．故选C ．4．(2016·湖南岳阳一中4月月考)设a ，b 为单位向量，若向量c 满足|c －(a ＋b )|＝|a －b |，则|c |的最大值是( )A ．1B ． 2C ．2D ．2 2解析：选D ∵向量c 满足|c －(a ＋b )|＝|a －b |， ∴|c －(a ＋b )|＝|a －b |≥|c |－|a ＋b |， ∴|c |≤|a ＋b |＋|a －b |≤2|a ＋b |2＋|a －b |2＝22a 2＋2b2＝22．当且仅当|a ＋b |＝|a －b |，即a ⊥b 时，(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝22． ∴|c |≤22．∴|c |的最大值为22． 5．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝sin2ωx 2＋12sin ωx －12(ω＞0)，x ∈R ．若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，1 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，58 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58 解析：选D f (x )＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12(sin ωx －cos ωx )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4．因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点， 所以T2＞2π－π，即πω＞π，所以0＜ω＜1．当x ∈(π，2π)时，ωx －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，若函数f (x )在区间(π，2π)内有零点，则ωπ－π4＜k π＜2ωπ－π4(k ∈Z)，即k 2＋18＜ω＜k ＋14(k ∈Z)． 当k ＝0时，18＜ω＜14；当k ＝1时，58＜ω＜54．所以函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点时， 0＜ω≤18或14≤ω≤58．6．(2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，k 2∈Z ，则ω＝2k ＋1，k ∈Z ，φ＝π4或φ＝－π4． 若ω＝11，则φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫11x －π4，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减，不满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调；若ω＝9，则φ＝π4， 此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调递减，故选B ． 7．(2016·贵州适应性考试)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a 2＋c 2＝ac ＋b 2，b ＝3，且a ≥c ，则2a －c 的最小值是________．解析：由a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ＝ac ，所以cos B ＝12，则B ＝60°，又a ≥c ，则A ≥C ＝120°－A ， 所以60°≤A ＜120°，asin A ＝c sin C ＝b sin B ＝332＝2， 则2a －c ＝4sin A －2sin C ＝4sin A －2sin(120°－A ) ＝23sin(A －30°)，当A ＝60°时，2a －c 取得最小值3． 答案： 38．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝12c ，当tan(A－B )取最大值时，角B 的值为______．解析：由a cos B －b cos A ＝12c 及正弦定理，得sin A cos B －sin B cos A ＝12sin C＝12sin(A ＋B )＝12(sin A cos B ＋cos A sin B )， 整理得sin A cos B ＝3cos A sin B ， 即tan A ＝3tan B ， 易得tan A ＞0，tan B ＞0， ∴tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝2tan B1＋3tan 2B ＝21tan B＋3tan B ≤223＝33， 当且仅当1tan B ＝3tan B ，即tan B ＝33时，tan(A －B )取得最大值， 此时B ＝π6．答案：π69．(2016·浙江高考)已知向量a ，b ，|a|＝1，|b |＝2．若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．解析：由于e 是任意单位向量，可设e ＝a ＋b |a ＋b |，则|a ·e |＋|b ·e |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ·a ＋b |a ＋b |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·a ＋b |a ＋b |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ·a ＋b |a ＋b |＋b ·a ＋b |a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b ·a ＋b |a ＋b |＝|a ＋b |． ∵|a ·e |＋|b ·e |≤6，∴|a ＋b |≤6， ∴(a ＋b )2≤6，∴|a |2＋|b |2＋2a ·b ≤6． ∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋4＋2a ·b ≤6， ∴a ·b ≤12，∴a ·b 的最大值为12．答案：1210．(2017·湖北省七市(州)协作体联考)已知函数f (x )＝2sin x ＋6cos x (x ∈R)． (1)若α∈且f (α)＝2，求α；(2)先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到的图象关于直线x ＝3π4对称，求θ的最小值．解：(1)f (x )＝2sin x ＋6cos x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3． 由f (α)＝2，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝22，即α＋π3＝2k π＋π4或α＋π3＝2k π＋3π4，k ∈Z ．于是α＝2k π－π12或α＝2k π＋5π12，k ∈Z ．又α∈， 故α＝5π12．(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象， 再将y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长度， 得到y ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象． 由于y ＝sin x 的图象关于直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)对称，令2x －2θ＋π3＝k π＋π2， 解得x ＝k π2＋θ＋π12，k ∈Z ． 由于y ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象关于直线x ＝3π4对称， 令k π2＋θ＋π12＝3π4， 解得θ＝－k π2＋2π3，k ∈Z ．由θ＞0可得，当k ＝1时，θ取得最小值π6． 11．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －sinB sinC ．(1)求角A ；(2)若a ＝23，求b ＋c 的取值范围．解：(1)由正弦定理及sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，知a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12．又0＜A ＜π2，所以A ＝π3． (2)由(1)知A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，所以B ＝2π3－C ．因为a ＝23，所以23sinπ3＝b sin B ＝c sin C ，所以b ＝4sin B ，c ＝4sin C ，所以b ＋c ＝4sin B ＋4sin C ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C ＋4sin C ＝23(cos C ＋3sin C )＝43sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6．因为△ABC 是锐角三角形， 所以0＜B ＝2π3－C ＜π2，所以π6＜C ＜π2，所以π3＜C ＋π6＜2π3，所以32＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6≤1，所以6＜43sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6≤43． 故b ＋c 的取值范围为(6,43]．12．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a cos B ＝2c －b ． (1)若cos(A ＋C )＝－5314，求cos C 的值；(2)若b ＝5，AC ―→·CB ―→＝－5，求△ABC 的面积；(3)若O 是△ABC 外接圆的圆心，且cos B sin C ·AB ―→＋cos C sin B ·AC ―→＝m AO ―→，求m 的值．解：(1)由2a cos B ＝2c －b ， 得2sin A cos B ＝2sin C －sin B ， 即2sin A cos B ＝2sin(A ＋B )－sin B ， 整理得2cos A sin B ＝sin B ．∵sin B ≠0，故cos A ＝12，则A ＝60°．由cos(A ＋C )＝－cos B ＝－5314， 知cos B ＝5314， 所以sin B ＝1114． 所以cos C ＝cos(120°－B )＝－12cos B ＋32sin B ＝3314．(2)AC ―→·CB ―→＝AC ―→·(AB ―→－AC ―→) ＝AC ―→·AB ―→－AC ―→2＝|AC ―→|·|AB ―→|·cos A －|AC ―→|2 ＝12bc －b 2＝－5， 又b ＝5，解得c ＝8， 所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×5×8×32＝103． (3)由cos B sin C ·AB ―→＋cos C sin B·AC ―→＝m AO ―→， 可得cos B sin C ·AB ―→·AO ―→＋cos C sin B ·AC ―→·AO ―→＝m AO ―→2，(*)因为O 是△ABC 外接圆的圆心，所以AB ―→·AO ―→＝12AB ―→2，AC ―→·AO ―→＝12AC ―→2，又|AO ―→|＝a2sin A，所以(*)可化为cos B sin C ·c 2＋cos C sin B ·b 2＝12m ·a 2sin 2A ，所以m ＝2(cos B sin C ＋sin B cos C )＝2sin(B ＋C ) ＝2sin A ＝3．。
2019届高考数学一轮复习第三篇三角函数、解三角形第1节任意角和弧度制及任意角的三角函数训练理新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习第三篇三角函数、解三角形第1节任意角和弧度制及任意角的三角函数训练理新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第1节任意角和弧度制及任意角的三角函数【选题明细表】知识点、方法题号象限角、终边相同的角1，6，12弧度制、扇形弧长、面积公式3，5，9,15三角函数的定义4，8，11，13综合应用2,7,10，14基础巩固（时间：30分钟)1。
下列命题中正确的是( D ）（A）终边在x轴负半轴上的角是零角(B)第二象限角一定是钝角（C)第四象限角一定是负角（D）若β=α+k·360°（k∈Z），则α与β终边相同2.若cos θ<0,且sin 2θ<0，则角θ的终边所在的象限是（ B ）（A)第一象限（B)第二象限（C）第三象限（D）第四象限解析：由sin 2θ=2sin θcos θ<0，cos θ〈0，得sin θ〉0，所以角θ的终边所在的象限为第二象限.故选B。
3.如果一扇形的弧长为π,半径等于2，则扇形所对圆心角为（ C )（A)π (B）2π（C） (D)解析:因为一扇形的弧长为π，半径等于2，所以扇形所对圆心角为α==.故选C.（2017·南充三模)若角α的终边经过点P0(-3，—4),则tan α等于( A ）4。
专题 11 三角函数定义与三角函数恒等变换十年大数据x 全景展示年份题号考点 考查内容理 5 三角函数定义 文 7 三角恒等变换2011课标三角函数定义与二倍角正弦公式同角三角函数根本关系与诱导公式同角三角函数根本关系式、三角函数在各象限 的符号及两角和的正切公式 卷 2理 15三角恒等变换 2023同角三角函数根本关系与诱导公式 三角恒等变换卷 2文 6理 8二倍角公式及诱导公式同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换 此题两角和与差的三角公式公式、诱导公式、 三角函数性质等根底知识 卷 12023卷 1文 2 三角函数定义同角三角函数根本关系与诱导公式 三角函数在各象限的符号 2023卷 1理 2 诱导公式及两角和与差的三角公式三角恒等变换 三角恒等变换两角差的正切公式、同角三角函数根本关系、 卷 2 理 9二倍角公式二倍角正弦公式、同角三角函数根本关系、三卷 3理 5 同角三角函数根本关系与诱导公式角函数式求值．2023诱导公式、同角三角函数根本关系、三角函数卷 1文 14 同角三角函数根本关系与诱导公式求值利用二倍角公式及同角三角函数根本关系求卷 3 文 6 同角三角函数根本关系与诱导公式 值三角恒等变换同角三角函数根本关系、两角和公式及化归与 转化思想卷 1文 14同角三角函数根本关系与诱导公式 三角恒等变换2023卷 3文 4二倍角的正弦公式与同角三角函数根本关系． 同角三角函数根本关系与诱导公式 三角恒等变换同角三角函数根本关系、两角和公式及化归 与转化思想卷 2 理 15 同角三角函数根本关系与诱导公式 理 4 三角恒等变换2023 卷 3 二倍角余弦公式，运算求解能力文 4卷 三角函数定义三角函数定义、同角三角函数根本关系，转化 与化归思想与运算求解能力文 111同角三角函数根本关系与诱导公式同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换诱导公式、两角和与差的正切公式，转化与化 归思想与运算求解能力卷 2文 15二倍角公式及同角三角函数根本关系，运算求解能力卷 2 理 10 三角恒等变换三角恒等变换卷 3卷 1文 5文 7二倍角公式，已知函数值求角及函数零点．诱导公式，两角和的正切公式函数零点2023同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换 同角三角函数根本关系、二倍角公式、已知函 数值求角，运算求解能力 二倍角公式，平方关系 二倍角公式，三角函数的符号 二倍角公式 卷 2 文 11 卷 1 卷 2理 9 三角恒等变换 理 2三角恒等变换2023文 13 三角恒等变换 理 9 三角恒等变换 文 5三角恒等变换卷 3 卷 3两角和的正切公式 两角和的正弦公式大数据分析x 预测高考考 点出现频率2023 年预测三角函数定义4/232023 年高考仍将重点考查同角三角函数根本关系及三 角恒等变换，同时要注意三角函数定义的复习，题型仍 为选择题或填空题，难度为根底题或中档题．同角三角函数根本关系与诱导公式 16/23 三角恒等变换13/23十年真题分类x 探求规律考点 36 三角函数定义1．(2023•新课标Ⅰ，文 11)已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1,a ) ，2B (2,b )，且cos 2 ，则| a b | ()3 1 55 2 5 5A ．B ．C ．D ．15（答案）B2（解析） 角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1,a ) ，B (2,b ) ，且cos 2 ， 3 2 3 5630 630 36 6 cos 2 2 c os 2 1， 解 得 cos 2， | cos | ， | sin | 1，66b a 2 1 | s in | | cos | 56 30 6 | tan | | | | a b | ，应选 B ．52．(2023 新课标 I ，文 2)假设 tan 0，则 A. sin 2 0 B ． cos 0C ． sin 0D ． cos 2 0（答案）A（解析）由tan 0知， 在第—、第三象限，即k k 即2 在第—、第二象限，故只有sin 2 0，应选 A ．(k Z )，∴2k 2 2k，23．(2011 全国课标理 5 文 7)已知角 的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线 y 2x 上，则cos 2 =4 53 53 5 45(A)(B)(C)(D) （答案）By 2 5（解析）在直线 y 2x 取一点 P(1，2)，则r = 5 ，则sin ==， r 53∴cos2=1 2 s in 2 = ，应选 B ． 53 4 4．(2023 浙江)已知角 的顶点与原点O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P ( , ) ．5 5(1)求sin( )的值； 5(2)假设角 满足sin( )，求cos 的值． 133 4 （解析）(1)由角 的终边过点P ( , ) 得sin ，5 545 45 所以sin() sin ． 3 4 3 (2)由角 的终边过点P ( , ) 得cos ，5 555 得cos( ) 12 由sin( ) ． 13 13由 ( ) 得cos cos( ) c os sin( ) s in ，56 或cos 16 所以cos．65 65考点 37 同角三角函数根本关系与诱导公式1．(2023•新课标Ⅱ，文 11)已知 (0, )，2sin 2 cos 2 1，则sin ()2 1 55 3 2 5 5A ．B ．C ．D ．53（答案）B（解析） 2sin 2 cos 2 1 ， 可得： 4sin cos 2 c os2， (0, ) ， sin 0 ， cos 0 ，25cos 2sin ， sin 2 cos 2 sin 2 (2sin ) 2 5sin21， 解得：sin ，应选 B ． 53 4 tan，则cos 2sin 222．(2023 新课标卷 3，理 5)假设 6448 25 16 25(A)(B)(C) 1(D)25（答案）A 3 4 3 4 5 3 45 （解析）由tan，得 sin , c os 或 sin , c os ，所以 5 5 16 2512 64cos22sin 2 4 ，应选 A ．25 25 1 3．(2023 全国课标卷 3，文 6)假设tan ，则cos2 ( )3451 5 15 4 5(A) (B)(C) (D) （答案）D104．(2023 浙江)已知R ,sin 2costan 2 ，则( )2 43 34 3 4 A ． B ．C ．D ．43（答案）C10 2sin 2 4c os 2 4 s in cos 10 （解析）由 (sin 2 c os )( ) 可得 ，进一步整理可得 22 sin cos 4 2 212 t an 33 t an 2 8 t an 3 0，解得 tan 3或tan ，于是 tan 2，应选 C ．31 tan2 4sin cos 1sin cos 25．(2023 江西)假设，则 tan2α=( )3 34 4 3A ．−B ．C ．−D ．4 43（答案）B（解析）分子分母同除cos 得： sin cos tan 1 1,∴ tan 3，sin cos tan 1 22 t an 3∴tan 24 1 tan25 1 5 6．(2023 广东)已知sin( ) ，那么 cos22 5B ． 151 25A ．C ．D ．5（答案）C 5 215 （解析）sin( ) sin(2 + ) sin cos ，选 C ．2 2 37．(2023•新课标Ⅰ，文 14)已知 是第四象限角，且sin( ) ，则 tan( )．4 5 4 43（答案）（解析） 是第四象限角， 2k 2k ，则 2k2k ,k Z ， 2 4 4 43533 45 又 sin( ) ， cos( ) 1 sin2( ) 1 ( ) 2 ， ∴ cos() = sin( ) =， 4 5 44 5 4 44sin( )4 44 5 3 sin( ) cos( ) ，则tan( ) = tan( ) = = = ．4 45 4 43 cos( )4 51 28．(2023 新课标Ⅱ，理 15)假设 为第二象限角，tan( ，则sin cos．) 4 （答案）1 2 tan 1，即cos 3sin ，∵sin （解析）(法 1)由 tan() 得，= 2cos 2 1，为第二4 310 3 10 10105象限角，∴sin =，cos = ，∴sin cos ． 1059．(2023 江苏)已知 ( , ) ，sin． 25(1)求sin( ) 的值；45(2)求cos( 2 ) 的值．65 52 55 （解析）(1)∵， ，sin ，∴cos 1 sin 2 24 4 2 2 10 10sin sin cos cos sin(cos sin ) ； 4 4 5 35(2)∵sin 2 2sin cos ，cos 2 cos sin 2 26 63 3 1 43 34 ∴cos 2 cos cos 2 sin sin 2 ． 6 25 2 5 10 考点 38 三角恒等变换1．(2023 全国Ⅰ理 9)已知 0,π ，且3cos2 8cos 5，则sin ()52 31 35 A ．B ．C ．D ．39（答案）A（思路导引）用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos的一元二次方程，求解得出cos，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论． （解析）3cos 28cos 5，得6cos 2 8cos 8 0，即3cos 4 c os4 0，解得225cos 或cos 2(舍去)，又 1 cos 20,, sin ，应选 A ． 332．(2023 全国Ⅱ理 2)假设 为第四象限角，则 ()A ．cos 2 0 （答案）DB ．cos 2 0C ．sin 2 0D ．sin 2 0（思路导引）由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可．0，选项 B 错误；当2时，cos2 cos 3（解析）当 时，cos2 cos 0，6 3sin 0, c os 3 0 ，则sin2 2sin cos 0 选项 A 错误；由 在第四象限可得： ，选项 C 错误，选项 D 正确，应选 D ．363．(2023 全国Ⅲ文 5)已知sin sin 1，则sin( )1 23 2 3 2 A ．B ．C ．D ．32（答案）B（思路导引）将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值． 1 23 3 3 3 13 （解析）由题意可得：sinsin cos 1，则： sin cos 1， sin cos，2 2 2 2 2 3从而有：sin coscos sin3 ，即6 3 ．应选 B ．sin6 63 34．(2023 全国Ⅲ理 9)已知2 t an tan 7 ，则 tan4()A ． 2B ． 1C ．1D ．2（答案）D（思路导引）利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案．4tan 1 1 t 2 t an tan7， 2tan 1 tan 7，令t tan ,t 1，则2t 1 t 7，整（解析） 理得t 24t 4 0 ，解得t 2，即 tan 2．应选 D ．5．(2023•新课标Ⅱ，理 10)已知 (0, )，2sin 2 cos 2 1，则sin ()2 1 55 3 2 55A ．B ．C ．D ．53（答 案）B（解析） 2sin 2 cos 2 1， 4sin cos 2 c os2， (0, ) ，sin 0，cos 0 ， cos 2sin ，25sin 2 cos 2 sin 2 (2sin ) 2 5sin21， sin ，应选 B ． 56．(2023•新课标Ⅲ，文 5)函数 f (x ) 2sin x sin 2x 在0 ，2 ]的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5（答案）B（解析）函数 f (x ) 2sin x sin 2x 在0 ，2 ]的零点个数，即：2sin x sin 2x 0在区间0 ，2 ]的根个数， 即2sin x sin 2x ，即sin x (1 cos x ) 0，即sin x 0或cos x 1，∵ x 0 ，2 ]，∴ x 0, ,2 ，应选B ．7．(2023•新课标Ⅰ，文 7) tan 255 ( )A ． 2 3 （答案）DB ． 2 3C ．2 3D ．2 3（解析）∵tan 255 tan(180 75 ) tan 75 tan(45 30 )31tan 45 tan 30 1 tan 45 tan 30 3 3 (3 3) 2 12 6 3 3 2 3 ，应选 D ． 3 3 36 6 1 1318．(2023•新课标Ⅲ，理 4 文 4)假设sin ，则cos 2 ()3 8 97 97 98 A ．B ．C ．D ．9（答案）B11 71 2 ，应选 B ．9 9（解析） sin ， cos 2 1 2sin2349．(2023 新课标卷 3，文 4)已知sin cos ，则sin 2 = 37 92 92 97 9A ．B ．C ．D ．（答案）Acos 21 sin 79（解析）因为sin 2 2sin cos，应选 A ．1 310．(2023•新课标Ⅱ，理 9)假设cos( ) ，则sin 2 ()4 5 715C ． 17 A ．B ．D ．25 525（答案）D3（解析）法1 : cos( ) ，4 59 7sin 2 cos( 2 ) cos 2( ) 2 c os 2 ( ) 1 2 125 25 ， 2 4 4 法2 : cos( ) 2(sin cos ) ， (1 sin 2 ) 3 1 9 ， sin 2 2 1259 7， 4 2 5 2 25 25 应选 D ．11．(2023 新课标Ⅰ，理 2)sin20°cos10°-con160°sin10°=3 3 1 2 1 2A ．B ．C ．D ．22（答案）D1 （解析）原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°= ，应选 D ． 21 sincos 12．(2023 新课标Ⅰ，理 8)设 (0, )， (0, ) ，且 tan，则2 2 A ．3（答案）BB ．2C ．3D ．22222sin 1 sin（解析）∵tan，∴sin cos cos cos sin cos cos2sin cos ,0 sin ， 2 2 2 2 ∴，即2 ，选 B 2 22 313．(2023 新课标Ⅱ，文 6)已知sin 2 ，则cos 2( ) ()4 161 3 1 22 3(A)(B)(C)(D)（答案）A2 1 1 1 （解析）因为sin 2，所以cos 2( ) 1 cos 2( )]= (1 sin 2 ) = ，应选 A ．， 3 4 2 4 2 63cos()10 14．(2023 重庆)假设tan 2 t an ，则＝( ) 5 sin( ) 5A ．1B ．2C ．3D ．4（答案）C3 3 3 3 3 cos() cos cos sin sin cos tan sin 10 10 10 10 10（解析）sin( ) sin cos cos sin tan cos sin5 5 5 5 53 3 3 3cos 2 t an sin cos cos 2s in sin 10 5 10 5 10 5 102 t an cos sin sin cos5 5 5 5 51 2(cos 5cos 5 cos ) (cos ) 3cos cos 10 10 1 10 10 10 ＝ 3，选 C ． 22sin5 104 23 7 8 15．(2023 山东)假设, ，sin 2 ，则sin ( ) 34 57 43 A ．B ．C ．D ．5 4（答案）D 4 2 2 1， （解析）由2 , cos 2 1 sin ， 2， 可得 2 81 cos2 34sin，应选 D ． 21 316．(2011 浙江)假设0＜ ＜ ，- ＜ ＜0，cos( ) ，cos( )，则cos( ) 22434 2 3 233 5 3 96 A ． B ．C ．D ．339（答案）C) cos(（解析）cos() ( )] ) cos( ) c os( )2 4 4 2 4 4 23sin( ) s in( ) ( , ( , )，，而 ， 4 4 2 4 4 4 4 2 4 2 2 2 3 ，sin( ) 4 26因此sin( )， 4 31 32 26 5 3 则cos( )3 3． 2 3 3 9 217．(2023 全国Ⅱ文 13)设sin x ，则cos 2x．3 1 9（答案）（思路导引）直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可． 2 8 1 1 （解析）cos2x 1 2sin 2x 1 2 ( ) 1 2．故答案为：．3 9 992 18．(2023 江苏 8)已知sin 2 ( ) ，则sin 2 的值是________．4 31（答案）32 1 1 21 3（解析）∵sin2( ) ，由sin 2 ( ) (1 cos( 2 )) (1 sin 2 ) ，解得sin 2 ． 4 3 4 2 2 2 3π419．(2023 浙江 13)已知tan 2，则cos2 ； tan ．3 1（答案）； 5 3（思路导引）利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos2 ，依据两角差正切公式得 tan( )4cos cos 2 2 sin sin 2 2 1 tan 1 tan 2 2 3tan 1 14 1 tan 3 （解析） cos 2 cos 2sin 2， tan ，故 5 3 1答案为： ；．5 320．(2023 北京 14)假设函数 f (x ) sin(x ) cos x 的最大值为2，则常数 的一个取值为 ．（答案）2（解析）∵ f (x ) sin(x ) cos x sin x cos cos x sin cos x sin x cos cos x (sin 1)cos (sin 1) sin(x )，(sin 1) 4，cos sin 2 2则cos 2 2 22 2sin 1 1 2sin 1 4，∴sin 1，∴． 221．(2023•新课标Ⅱ，理 15)已知sin cos 1，cos sin 0 ，则sin( ) ．1 （答案）2（解析）sin cos 1，两边平方可得：sin 22sin cos cos 2 1，①，cos sin 0 ， 两 边 平 方 可 得 ： cos22cos sin sin 2 0 ， ② ， 由 ① ② 得 ：1 2 2(sin cos cos sin ) 1 ，即2 2sin( ) 1， 2sin( ) 1， sin( ) ． 25 122．(2023•新课标Ⅱ，文 15)已知 tan( ) ，则 tan ．4 53 2 （答案） 5 1 515（解析）tan() ，tan( )， 则4 4 15 tan( ) tan1 1 5 6 3 ．4 4 tan tan( ) 15 1 4 2 4 4 1 tan( ) t an 1 14 45 ππcos ( ) 23．(2023 新课标卷，文 14)已知a (0，) ，tan α=2，则=__________．243 10 10（答案）1（解析）由tan 2得sin 2cos ，又sin2cos 2 1，所以cos 2 ，因为 (0, )，所5 2 5 2 55以cos,sin ，因为． cos( ) cos cos sin sin，所以5 4 4 45 2 2 5 2 3 10cos( )4 5 2 5 2 10f (x ) sin2x 的最小正周期是 ________． 2 24．(2023 北京 9)函数（答案）21 cos 4x 1 12π πf x 〕 sin 〔22x 〕cos 4x ，所以 f x 的最小正周期T 2 2 （解析）因为 ． 2 4 2tan 23π4 π 4 sin 2 ，则25．(2023 江苏 13)已知 的值是_________． tan2（答案）10tan 2 tan 2 3 （解析）由，得 ，3 tan( ) tan tan 1 tan tan4 44tan (1 tan ) 2 1所以，解得 tan 2或 tan ．1 tan 3 32tan 4 1 tan 2 3 5当tan 2时，sin2 5 ，cos2 ， 1 tan 2 1 tan 2 4 2 3 2 2sin(2 ) sin2 cos cos2 sin． 4 4 4 5 2 5 2 101 tan2 4 1时，sin2 2tan，cos2 3 当tan ， 3 1 tan 2 51 tan 5 23 24 22 所以sin(2 ) sin2 cos cos2 sin． 4 4 4 5 2 5 2 102 综上，sin(2 )的值是． 4 1026．(2023 北京)在平面直角坐标系 中，角与角 均以Ox为始边，它们的终边关于 轴对称．假设yxOy1 3 sin cos( ) =___________．，则 7 （答案）9y 2k， 所 以（ 解 析 ） ∵ 角与 角 的 终 边 关 于 轴 对 称 ， 所 以 ；1sin sin(2k ) sin ，cos cos31 2 379cos( ) cos cos sin sin cos 2 sin 2 2sin 2 1 2 ( ) 1 ．127．(2023 江苏)假设tan( ) ，则tan =． 4 67 5（答案）tan( ) tan7 4 4 （解析） tan tan( )． 4451 tan( ) tan4 428．(2023 四川)sin15sin75．6（答案）26（解析）sin15 sin 75 sin15 cos15 2 s in(15 45 )． 2129．(2023 江苏)已知 tan 2， tan（答案）3，则 tan 的值为_______． 71 2tan( ) tan 1 tan( ) t an 7 （解析） tan tan( )3． 21 730．(2023 四川)设sin 2 sin ， ( , )，则 tan 2 的值是_____． 2（答案） 31（解析） sin 2 2sin cos sin ，则cos，又 ( , ) ，2 22 t an 2 31 3 则tan 3，tan 23．1 tan 24 6 531．(2023 江苏)设 为锐角，假设cossin 2 ，则 ．的值为1217 2 50（答案）4 324 7（解析） 因为 为锐角，cos( )= ，∴sin( )= ，∴sin2( ) cos2( )， 6 5 6 5 625,6 25 2 17 17 2 所以 sin(2) sin2( ) ] ．12 6 4 2 25 5045 32．(2023 江苏)已知 , 为锐角， tan，cos( ) ． 3 5(1)求cos 2 的值； (2)求 tan( )的值． 4sin cos 4（解析）(1)因为 tan ，tan，所以 ， sin cos ． 33 9因为sin 2 cos 2 1 ，所以cos 2257因此，cos 2 2c os 1 2． 25(2)因为 , 为锐角，所以 (0, π) ． 5 2 55又因为cos( ) ，所以sin( ) 1 cos 2 ( )， 5 因此 tan( ) 2 ．4 2 t an 247 因为 tan ，所以 tan 2 ，3 1 tan 2 tan 2 tan( ) 1+ t an 2 tan( ) 2因此，tan( ) tan2 ( )．11f x a 2cos 2 x cos 2x 为奇函数 ，且 f 0 33．(2023江西)已知函数 (1)求a ， 的值；，其中a R ， 0， ． 44 2 23(2)假设 f ，， ，求sin 的值． 5 （解析）(1)因为 f x a 2 c os2x cos 2x 是奇函数，而 y a 2c os x 为偶函数，所以 21y 2 cos(2x )为奇函数，又 0， ,得． 2f 0，得 (a 1) 0 ，即a 1. f x = sin 2x a 2 c os x由 2 所以 〔 44 1 25 1 4(2)由(1)得： f x f sinsin , ，得 sin 4x , 因为 2 2 5 235 又 ， ，所以cos ,3 4 3 3 sin sin cos sin cos 因此. 3 3 1012f (x ) 2 cos x,x R 34．(2023 广东)已知函数 ． 3 f (1) 求 的值； 33 2cos , ,2 f ，求 (2) 假设． 65（解析）(1) f () 2 cos 1. 3 12 43 3 94 (2)由于cos ,<θ<2π，所以sin 1 cos 21 ， 5 225 5 66 12因此 f 2 cos43 24 2 21 2 cos 2 cos cos 2 sin sin 2 .4 45 2 5 2 5。
压轴题03三角函数压轴题题型/考向一：三角函数的图像与性质题型/考向二：三角恒等变换题型/考向三：三角函数综合应用一、三角函数的图像与性质热点一三角函数图象的变换1.沿x轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移.沿y轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移.2.沿x轴伸缩：若ω>0，A>0，由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍.沿y轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍.热点二三角函数的图象与解析式已知图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A ，B ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.热点三三角函数的性质1.单调性：由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )可得单调递增区间；由π2＋2k π≤ωx＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )可得单调递减区间.2.对称性：由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )可得对称中心；由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )可得对称轴.3.奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数.二、三角恒等变换热点一化简与求值(角)1.同角三角函数的基本关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan ≠π2＋k π，k ∈2.诱导公式的记忆口诀：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.3.熟记三角函数公式的两类变形：(1)和差角公式的变形；(2)倍角公式的变形.热点二三角函数恒等式的证明三角恒等式常从复杂一边向简单的一边转化，或者两边同时推出一个相同式子，有时要证等式先进行等价交换，进而证明其等价命题.○热○点○题○型一三角函数的图像与性质一、单选题1．将函数()sin cos f x x x =-的图象向左平移7π12个单位长度，得到函数()y g x =的图象，关于函数()y g x =的下列说法中错误的是（）A ．周期是2πB ．非奇非偶函数C ．图象关于点5π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增【答案】D【详解】()πsin cos 2sin 4f x x x x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，则()7πππ2sin 2sin 1243g x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2πT =，故A 正确；因为()π2sin 3g x x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，则()()()(),g x g x g x g x -≠-≠-，故函数()g x 是非奇非偶函数，故B 正确；2．数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（）A ．11sin sin 2sin 323=++y x x xB ．11sin 2sin 323y x x x=--C ．11sin cos 2cos323y x x x=++D ．11cos cos 2cos323y x x x=++3移()0ϕϕ>个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数()g x 的图象．若对于任意的1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在2π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则ϕ的值可能是（）A ．π6B ．5π24C ．π4D ．2π3A．B．C ．D ．5．已知函数()()2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则满足()()5π605π12f x f f x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭>⎛⎫- ⎪⎝⎭的正整数x 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题6．已知函数2π()cos (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则（）A ．()f x 以2π为周期B ．()f x 的图象关于直线2π3x =对称C ．将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后对应的函数为偶函数D ．函数9()10y f x =+在[0,π]上有两个零点故选：BD.7．已知函数()()()sin 0,0π,f x A x b A b ωϕϕ=++><<∈R 的部分图像如图，则（）A ．5πb ωϕ=B ．π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．将曲线()y f x =向右平移π9个单位长度得到曲线4cos 32y x =-+D ．点11π,218⎛⎫-⎪⎝⎭为曲线()y f x =的一个对称中心8．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，对任意的(),1,1x y ∈-，都有()()1f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当()0,1x ∈时，()0f x >，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()00f =C ．当A ，B 是锐角ABC 的内角时，()()cos sin f B f A <D ．当0n x >，且21112n n n x x x ++=，112x =时，()12n n f x -=【答案】BCD【详解】令0x y ==，得()00f =，故B 正确；9．已知某游乐场循环观光车路线近似为一个半径为1km 的圆，观光车从起始站点P 出发，沿图中顺时针方向行驶，记观光者从某次出发开始，行驶的时间为t 小时.A ，B 是沿途两个站点，C 是终点站，D 是该游乐场的观景点之一.已知该观光车绕行一圈的时间是固定的，且π,,6BOA OA OC OA OD ∠=⊥⊥.若要求起始站点P 无论位于站台B ，C 之间的任何位置（异于B ，C ），观光车在ππ,124t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的时间内，都要至少经过两次终点站C ，则下列说法正确的是（）A ．该观光车绕行一周的时间小于π6B ．该观光车在π0,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内不一定会经过终点站C C ．该观光车的行驶速度一定大于52km /h3D ．该观光车在π0,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内一定会经过一次观景点Ds t 于平衡位置的高度()cm h 可以田ππ2sin 24h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭确定，则下列说法正确的是（）A ．小球运动的最高点与最低点的距离为2cmB ．小球经过4s 往复运动一次C ．()3,5t ∈时小球是自下往上运动D ．当 6.5t =时，小球到达最低点【答案】BD【详解】小球运动的最高点与最低点的距离为()224cm --=，所以选项A 错误；因为2π4π2=，所以小球经过4s 往复运动一次，因此选项B 正确；当()3,5t ∈时，ππ7π11π,2444t ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以是自下往上到最高点，再往下运动，因此选项C 错误；当 6.5t =时，ππ2sin 6.5224h ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭，所以选项D 正确，故选：BD○热○点○题○型二三角恒等变换一、单选题1．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 22sin 21αα+=，则sin α=（）A ．15B 5C ．45D 25【答案】D【详解】π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,cos 0,sin 0αα∴>>22cos 22sin 2cos sin 4sin cos 1αααααα+=-+= ①,又22sin cos 1αα+=②，由①②得25sin 5α=.故选：D.23，5，…，记BAC α∠=，DAC β∠=，则()cos αβ+=（）A 24-B 36C 36D 24+【答案】B⎝⎭A．-B．C．9D．9 94．人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点()()1122,,,A x y B x y ，O 为坐标原点，余弦相似度similarity 为向量,OA OB夹角的余弦值，记作()cos ,A B ，余弦距离为()1cos ,A B -.已知()sin ,cos P αα，()sin ,cos Q ββ，()sin ,cos R αα-，若P ，Q 的余弦距离为13，Q ，R 的余弦距离为12，则tan tan αβ⋅=（）A ．7B ．17C ．4D ．145．已知函数()()*sin cos n n n f x x x n =+∈N ，函数()4324y f x =-在3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知函数())2sin 02f x x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像如图所示，则ω的值为（）A ．13B ．43C ．16D ．76二、多选题7．已知函数2()sin cos f x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A ．π()sin(2)3f x x =-B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 的对称轴方程为()5ππZ 12x k k =+∈D ．函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到【答案】ABD中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比=）.在顶角为BAC ∠的黄金ABC 中，D 为BC 边上的中点，则（）A ．cos 342AD AC︒=B ．cos 27sin 27cos 27sin 27AD CD ︒+︒=︒-︒C ．AB在ACACD ．cos BAC ∠是方程324231x x x +-=的一个实根则AB在AC 上的投影向量为设cos x θ=，则()()222212121x x x x x -=--+-，整理得324231x x x +-=，D 正确.故选：ABD9．已知()cos 4cos 3f θθθ=+，且1θ，2θ，3θ是()f θ在()0,π内的三个不同零点，则（）A ．{}123π,,7∈θθθB ．123π++=θθθC ．1231cos cos cos 8θθθ=-D ．1231cos cos cos 2θθθ++=民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD ，其中2π3COD ∠=，33OC OA ==，动点P 在 CD 上（含端点），连结OP 交扇形OAB 的弧 AB 于点Q ，且OQ xOC yOD =+，则下列说法正确的是（）A ．若y x =，则23x y +=B ．若2y x =，则0OA OP ⋅=C ．2AB PQ ⋅≥-D ．112PA PB ⋅≥则13(1,0),(3,0),(,),(22A C B D --设()2πcos ,sin ,0,3Q θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则由OQ xOC yOD =+ 可得cos θ=○热○点○题○型三三角函数综合应用1．已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+.(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数()f x 在区间5ππ[,]126-的值域；2．已知2,1,cos ,cos 2m x n x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，设函数()f x m n =⋅．(1)当π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，分别求函数()f x 取得最大值和最小值时x 的值；(2)设ABC 的内角,,A B C 的对应边分别是,,,a b c 且a =，6,12A b f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，求c 的值．3．已知函数()()21cos cos 02f x x x x ωωωω=+->.(1)若1ω=，求函数()f x 的最小正周期；(2)若()y f x =图象在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有一条对称轴，求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围.4．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，2ϕ<）的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式，并求()f x 的单调递增区间；(2)若对任意π,3x t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()π116f x f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，求实数t 的取值范围.结合图像可知：5ππ7π4666t ≤-<，解得所以实数t 的取值范围为ππ,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭.5．若实数，，且满足，则称､是“余弦相关”的.(1)若2x π=，求出所有与之“余弦相关”的实数y ；(2)若实数x ､y 是“余弦相关”的，求x 的取值范围；(3)若不相等的两个实数x ､y 是“余弦相关”的，求证：存在实数z ，使得x ､z 为“余弦相关”的，y ､z 也为“余弦相关”的.【答案】（2）由()cos cos cos x y x y +=+得cos cos sin sin cos cos x y x y x y -=+，()1sin sin cos cos cos x y x y x +-=-，()cos y x ϕ+=-，故cos x -≤，222cos cos x x ≤-，11cos x -≤≤，))121arccos ,arccos x π⎡⎤∈-⎣⎦（3）证明：先证明3x y ππ≤+≤，反证法，假设x y π+<，则由余弦函数的单调性可知()cos cos x y x +≤，()0cos cos cos y x y x ∴=+-≤，2y π∴≥，同理2x π≥，相加得x y π+≥，与假设矛盾，故x y π+≥.[]2202,,x y πππ--∈Q ，且()()()()()2222cos cos cos cos cos cos x y x y x y x y ππππ⎡⎤-+-=+=+=-+-⎣⎦故22,x y ππ--也是余弦相关的，()()22x y πππ∴-+-≥，即3x y π+≤.记()3,z x y π=-+则[]02,z π∈.()()3cos cos cos x z y y π+=-=-,()()()3cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos x z x x y x x y x x y y π+=+--=-+=-+=-()cos cos cos x z x z ∴+=+，故x ､z 为“余弦相关”的；同理y ､z 也为“余弦相关”的。
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题(讲义及答案)及解析一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c .已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是( ) A ．::7:5:3a b c = B ．0AC AB ⋅<C ．753A B C == D ．若8+=b c ，则ABC ∆【答案】ABD 【分析】设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，求出a ,b ,c 的值，可得A ；由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，可判定C ，由余弦定理1cos 2A =-，cos 0AC AB bc A ⋅=<，可判定B ；由8+=b c ，结合A 结论，可计算b ,c , 1sin 2ABC S bc A ∆=，可判定D【详解】设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，则753,,222a kb kc k === ，故 ::7:5:3a b c =，即A 选项正确；又222222259491444cos 5322222k k kb c a A bc k k +-+-===-⨯⨯，故cos 0AC AB bc A ⋅=<，B 选项正确；由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，C 选项错误；若8+=b c ，则2k =，故5,3,120ob c A ===，所以1sin 24ABC S bc A ∆==，D 选项正确 故选：ABD 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题2．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 最靠近原点的零点为3π-B ．函数()f x 的图像在y 3C ．函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()f x 在72,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】ABC 【分析】首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项. 【详解】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的部分图像知，2A =， 设()f x 的最小正周期为T ，则24362T πππ=-=，∴2T π=，21T πω==． ∵2cos 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2πϕ<，∴6πϕ=-， 故()2cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 令()2cos 06f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k πππ-=+，k Z ∈， 即23x k ππ=+，k Z ∈，因此函数()f x 最靠近原点的零点为3π-，故A 正确； 由()02cos 36f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()f x 的图像在y 3B 正确； 由()52cos 2cos 6f x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数，故C 正确； 令226k x k ππππ-≤-≤，k Z ∈，得52266k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，此时函数()f x 单调递增，于是函数()f x 在132,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在137,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.3．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的周期为πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】ACD 【分析】先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间；对于C ：计算512f π⎛-⎫⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点； 对于D ：利用“左加右减”判断.由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴==⎪⎝⎭；由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩解得：3πϕ=故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ：4312T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故A 正确； 对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误； 对于C ：当512x π=-时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.4．对于函数()sin cos 2sin cos f x x x x x =++，下列结论正确的是（ ） A ．把函数f (x )的图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则π是函数y =g (x )的一个周期B ．对123,,2x x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，若12x x <，则()()12f x f x <C ．对,44x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 成立 D ．当且仅当,4x k k Z ππ=+∈时，f (x )1【答案】AC根据三角函数的变换规则化简即可判断A ；令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()21f t t t =+-，判断函数的单调性，即可判断B ；代入直接利用诱导公式化简即可；首先求出()f t 的最大值，从而得到x 的取值； 【详解】解：因为()2()sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1f x x x x x x x x x =++=+++-，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以t ⎡∈⎣，所以()21f t t t =+-， 对于A ：将()sin cos 2sin cos f x x x x x =++图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，则()sin 2cos 22sin 2cos 2g x x x x x =++，所以()()()()()sin 2cos22sin 2cos2g x x x x x πππππ+=++++++()sin 2cos22sin 2cos2x x x x g x =++=，所以π是函数y =g (x )的一个周期，故A 正确；对于B ：因为3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以57,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则)14t x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 又()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，对称轴为12t =-，开口向上，函数()21f t t t =+-在)1⎡-⎣上单调递减， 所以函数()f x 在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 故B 错误； 对于C ：sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭c 2424242sin os 2sin cos 4x x x x ππππππππ⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4444sin cos 2sin cos 4x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭+，故C 正确；因为()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当t =时()f t 取得最大值()max 21f t =+，令2sin 24t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,42x k k Z πππ+=+∈，解得2,4x k k Z ππ=+∈，即当2,4x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值21+，故D 错误；故选：AC 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令sin cos t x x =+，将函数转化为二次函数；5．设函数()sin()(0)4f x x πωω=+>，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（ ）A ．()1y f x =+在()02π，有且仅有2个零点 B ．()f x 在023π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增C ．ω的取值范围是192388⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．将()f x 的图象先右移4π个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数1()sin()2g x x ω=【答案】BC 【分析】首先利用图象直接判断A 选项；再利用函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，求得ω的范围，并利用整体代入的方法判断B 选项；最后利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，判断D. 【详解】A.如图，[]0,2π上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是()1y f x =+在()0,2π上的3个零点；B.[]0,2x π∈时，,2444t x πππωωπ⎡⎤=+∈⋅+⎢⎥⎣⎦若函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则5264ππωππ≤⋅+<，得192388ω≤<，当023x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，,448t x πππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，此时函数单调递增，故BC 正确； D. 函数()f x 的图象先右移4π个单位后得到sin sin 4444y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到()1sin 244g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故D 不正确；故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出ω的取值范围，首先根据函数在区间[]0,2π有5个零点，首先求4t x πω=+的范围，再分析sin y t =的图象，求得ω的范围.6．已知函数()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f xC ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称 【答案】BD 【分析】首先要熟悉()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象和性质，将()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，并判断选项. 【详解】由题意，将()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，故函数()f x 的最小正周期为2π，故A 错误；函数()f x B 正确；函数()f x 的图象是由()3sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，所以不是中心对称图形，故C 错误； 由7012f π⎛⎫=⎪⎝⎭知D 正确， 故选：BD . 【点睛】思路点睛：要判断函数()f x 的性质，需先了解函数()3sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，并且知道函数()3sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，函数的周期变为原来的一半，()g x 的对称轴和对称中心都是函数()f x 的对称轴.7．函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图像如图中实线所示，图中的M 、N 是圆C 与()f x 图像的两个交点，其中M 在y 轴上，C 是()f x 图像与x 轴的交点，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()y f x =的一个周期为56B ．函数()f x 的图像关于点4,03成中心对称C ．函数()f x 在11,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．圆C 的面积为3136π【答案】BD 【分析】根据图象，结合三角函数的对称性、周期性、值域以及圆的中心对称性，可得,,C M N 的坐标，进而可得()f x 的最小正周期、对称中心、单调减区间，及圆的半径，故可判断选项的正误. 【详解】由图知：1(,0)3C ，3(0,)2M ，23(,)32N ，∴()f x 中111()2362T =--=，即1T =；对称中心为1,0,23k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；单调减区间为17,,1212k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；圆的半径6r ==，则圆的面积为3136π； 综上，知：AC 错误，而BD 正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，结合了圆的中心对称性质判断三角函数的周期、对称中心、单调区间及求圆的面积，属于难题.8．已知函数()()tan (0)6ωωπ=->f x x ，则下列说法正确的是（ ） A ．若()f x 的最小正周期是2π，则12ω=B ．当1ω=时，()f x 的对称中心的坐标为()π0()6π+∈Z k k ， C ．当2ω=时，π2π()()125-<f f D ．若()f x 在区间()π3π，上单调递增，则203ω<≤ 【答案】AD 【分析】根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解:对于A 选项，当()f x 的最小正周期是2π，即：2T ππω==，则12ω=，故A 选项正确；对于B 选项，当1ω=时，()()tan 6f x x π=-，所以令,62k x k Z ππ-=∈，解得：,62k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心的坐标为()0()62k k ππ+∈Z ，，故B 选项错误； 对于C 选项，当2ω=时，()()tan 26f x x π=-，()()()()ππ10tan 2tan tan 12126330f πππ⎡⎤-=⨯--=-=-⎢⎥⎣⎦，()()()2π2π1911tan 2tan tan 5563030f πππ=⨯-==-，由于tan y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故()()π2π125f f ->，故C 选项错误；对于D 选项，令,262k x k k Z ππππωπ-+<-<+∈，解得：233k k x ππππωωωω-+<<+ 所以函数的单调递增区间为：2,,33k k k Z ππππωωωω⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间()π3π，上单调递增，所以33,23k k Z k πππωωπππωω⎧-+≤⎪⎪∈⎨⎪+≥⎪⎩，解得：213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，另一方面，233T ππππω=≥-=，32ω≤，所以2332k +≤，即56k ≤，又因为0>ω，所以0k =，故203ω<≤，故D 选项正确.故选：AD 【点睛】本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D 选项的解决先需根据正切函数单调性得213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，再结合233T ππππω=≥-=和0>ω得0k =，进而得答案.二、数列多选题9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()1*11,221,21n n n a n ka k N a n k --+=⎧=∈⎨+=+⎩.则下列选项正确的为（ ） A ．614a =B ．数列{}()*213k a k N-+∈是以2为公比的等比数列C ．对于任意的*k N ∈，1223k k a +=-D ．1000n S >的最小正整数n 的值为15 【答案】ABD 【分析】根据题设的递推关系可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-，从而可得22222k k a a +-=，由此可得{}2k a 的通项和{}21k a -的通项，从而可逐项判断正误.【详解】由题设可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-， 因为11a =，211a a -=，故2112a a =+=，所以22212121,12k k k k a a a a +++--==，所以22222k k a a +-=，所以()222222k k a a ++=+，因为2240a +=≠，故220k a +≠， 所以222222k k a a ++=+，所以{}22k a +为等比数列， 所以12242k k a -+=⨯即1222k k a +=-，故416214a =-=，故A 对，C 错.又112122123k k k a ++-=--=-，故12132k k a +-+=， 所以2121323k k a a +-+=+，即{}()*213k a k N -+∈是以2为公比的等比数列，故B 正确. ()()141214117711S a a a a a a a =+++=++++++()()2381357911132722323237981a a a a a a a =+++++++=⨯-+-++-+=，15141598150914901000S S a =+=+=>，故1000n S >的最小正整数n 的值为15，故D 正确.故选：ABD.【点睛】 方法点睛：题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系，另外讨论D 是否成立时注意先考虑14S 的值.10．已知等比数列{}n a 满足11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>．（ ） A ．数列{}n a 的公比为pB ．数列{}n a 为递增数列C ．1r p =--D ．当14p r-取最小值时，13-=n n a 【答案】BD【分析】 先结合已知条件，利用1n n n a S S -=-找到,p q 的关系，由11p q =-判断选项A 错误，由11p q p+=>判断B 正确，利用{}n a 通项公式和前n 项和公式代入已知式计算r p =-判断C 错误，将r p =-代入14p r -，利用基本不等式求最值及取等号条件，判断D 正确. 【详解】依题意，等比数列{}n a ，11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>，设公比是q ，2n ≥时，11n n n n S pa r S pa r +-=+⎧⎨=+⎩，作差得，1n n n pa a pa +-=，即()11n n p a pa +=+，故11n n a p a p ++=，即1p q p +=，即11p q =-. 选项A 中，若公比为p ，则11p q q ==-，即210q q --=，即p q ==时，数列{}n a 的公比为p ，否则数列{}n a 的公比不为p ，故错误；选项B 中，由0p >知，1111p q p p +==+>，故111111n n n n a a q q p ---=⋅==⎛⎫+ ⎪⎝⎭是递增数列，故正确； 选项C 中，由1n n S pa r +=+，11nn q S q-=-，11p q =-，1n n a q +=知， 1111111n n n n q p q q a qr S p q +--=-⋅=-=---=，故C 错误； 选项D 中， 因为r p =-，故()1111444p p p r p p -=-=+≥=⋅-，当且仅当14p p =，即12p =时等号成立，14p r-取得最小值1，此时13p q p +==，113n n n a q --==，故正确.故选：BD.【点睛】方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解； 2、当两个正数,a b的积为定值，要求这两个正数的和式的最值时，可以使用基本不等式a b +≥，当且仅当a b =取等号.。
第三章⎪⎪⎪三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad ． (2)公式：31．若θ满足sin θ<0，cos θ>0，则θ的终边所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：D2．已知角α的终边经过点(－4，－3)，则cos α＝( ) A ．45 B ．－45C ．35D ．－35答案：B3．已知半径为120 mm 的圆上，有一条弧的长是144 mm ，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．答案：1．21．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α ＝x r ，tan α＝y x．1．若角α终边上有一点P (x,5)，且cos α＝x13(x ≠0)，则sin α＝( )A ．513B ．1213C ．512D ．－513答案：A2．3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角． 答案：四 一考点一 角的集合表示及象限角的判定基础送分型考点——自主练透1．给出下列四个命题： ①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C －3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．2．若α是第二象限的角，则下列结论一定成立的是( ) A ．sin α2>0 B ．cos α2>0 C ．tanα2>0 D ．sinα2cos α2<0 解析：选C ∵π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<α2<π2＋k π． 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角，即tan α2>0一定成立，故选C ．3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)， 则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°． 答案：－675°或－315°4．已知角β的终边在直线3x －y ＝0上，则角β的集合S ＝____________________． 解析：如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°， 在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°， 终边落在射线OB 上的角是240°， 所以以射线OA ，OB 为终边的角的集合为：S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z}， S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z}，所以角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z} ＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z} ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z}． 答案：{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z}1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( ) A ．40π cm 2B ．80π cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm 2解析：选B ∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．2．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4解析：选C 设此扇形的半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1．3．扇形弧长为20 cm ，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm 2． 解析：由弧长公式l ＝|α|r ，得r ＝20100π180＝36π，∴S 扇形＝12lr ＝12×20×36π＝360π． 答案：360π弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，如“题组练透”第3题．考点三 三角函数的定义题点多变型考点——多角探明任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有： (1)三角函数定义的应用； (2)三角函数值的符号判定； (3)三角函数线的应用．角度一：三角函数定义的应用1．已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________．解析：∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，即x ＝52或x ＝－52(舍去)， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6，∴sin α＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝125， 则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23．答案：－23角度二：三角函数值的符号判定 2．若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选C 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角．角度三：三角函数线的应用3．函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． 解析：∵3－4sin 2x >0， ∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32．利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z)． 答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z)定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为( )A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析：选D 因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35．2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |．当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55． 因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α<0，cos α<0，所以α的终边在第二象限，故选B ．2．设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则sin α的值为( ) A ．35 B ．－35C ．45D ．－45解析：选B 设点P 与原点间的距离为r ， ∵P (－4a,3a )，a <0， ∴r ＝－4a2＋a2＝|5a |＝－5a ．∴sin α＝3a r ＝－35．3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )A ．π3B ．π2C ． 3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ， 所以α＝3．4．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．解析：因为sin θ＝y42＋y2＝－255， 所以y ＜0，且y 2＝64，所以y ＝－8． 答案：－8二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A ．π3B ．π6C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3．2．(2016·福州一模)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A ．43B ．34C ．－34D ．－43解析：选D 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0．又cos α＝15x ＝xx 2＋16．解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43．3．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( ) A ．sin 2 B ．－sin 2 C ．cos 2D ．－cos 2 解析：选D 因为r ＝2sin 22＋－2cos 22＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝yr＝－cos 2．4．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cosθ2<0，综上知θ2为第二象限角． 5．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：选C 当k ＝2n (n ∈Z)时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．6．与2 017°的终边相同，且在0°～360°内的角是________． 解析：∵2 017°＝217°＋5×360°，∴在0°～360°内终边与2 017°的终边相同的角是217°． 答案：217°7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z)，则180°－(180°＋k ·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k ·360°)(k ∈Z)，即－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案：一8．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 32πr 2＝527， ∴α＝5π6． ∴扇形的弧长与圆周长之比为l c ＝5π6·23r 2πr ＝518．答案：5189．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为____________________． 解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cosπ4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22．根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π410．已知扇形AOB 的周长为8．(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB ． 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6．(2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4． ∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1． 法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝l r＝2时，扇形面积取得最大值4． ∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α＜0 B ．tan α－sin α＜0 C ．cos α－tan α＜0D ．tan αsin α＜0解析：选B ∵α是第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A 、C 、D ．2．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( ) A ．1 B ．－1C ．3D ．－3 解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0．所以y ＝－1＋1－1＝－1． 3．已知sin α＜0，tan α＞0． (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断 tanα2sin α2cos α2的符号． 解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ． (2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sinα2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sinα2cosα2取正号；当α2在第四象限时， tanα2＜0，sin α2＜0, cosα2＞0，所以 tan α2sinα2cosα2也取正号．因此，tan α2sinα2cosα2取正号．第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tan α＝sin αcos α．2．诱导公式1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝______． 答案：－452．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值为________．答案：21．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝________． 答案：－12132．(1)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－31π4＝________，(2)tan ⎝⎛⎭⎪⎫－26π3＝________． 答案：(1)22(2) 3考点一 三角函数的诱导公式基础送分型考点——自主练透1．化简sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为( )A ．1B ．－1C ．0D ．2解析：选C 原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·sin 261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0．2．已知A ＝k π＋αsin α＋k π＋αcos α(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2} 解析：选C 当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2； k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2．3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________． 解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33．答案：－334．(易错题)设f (α)＝π＋απ－α－π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α≠－12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝________．解析：∵f (α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α ＝cosα＋2sin αsinα＋2sin α＝1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tan π6＝3． 答案： 31．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第4题．考点二 同角三角函数的基本关系重点保分型考点——师生共研1．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C ．15D ．25解析：选D 依题意得：tan α＋33－tan α＝5，∴tan α＝2．∴sin 2α－sin αcos α ＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25． 2．若α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为________．解析：由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α<0， ∴cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105． 答案：－105同角三角函数基本关系式的应用技巧1．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A ．125B ．－125C ．512D ．－512解析：选D 法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213， 所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512．法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512．故选D ．2．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13解析：选 B 因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θ·cos θ＝1－2sin θcos θ＝29．又因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin θ<cos θ，即sin θ－cos θ<0， 所以sin θ－cos θ＝－23．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝( )A ．－45B ．45C ．35D ．－35解析：选B 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sinα＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45． 2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3．∵|θ|＜π2，∴θ＝π3． 3．(2017·赣中南五校联考)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017π2－2α的值为( ) A ．45 B ．－45C ．2D ．－12解析：选A 由题意可得tan α＝2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017π2－2α＝sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45．故选A ．4．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________． 解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43．答案：－435．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A 的值是________． 解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12．∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A ＝－sin A ＝12．答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A ．45 B ．－45C ．35D ．－35解析：选B 因为tan(α－π)＝34，所以tan α＝34．又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45．2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝() A ．223B ．－223C ．13D ．－13解析：选D ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13．3．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 016)＝5，则f (2 017)的值是()A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B ∵f (2 016)＝5，∴a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋4＝5， 即a sin α＋b cos β＝1．∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3．4．(2017·广州模拟)当θ为第二象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sinθ2的值是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0解析：选B ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13，∴cos θ2＝13，∴θ2在第一象限，且cos θ2<sin θ2， ∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1．5．计算：cos 350°－2sin 160°－＝( )A ．－ 3B ．－32C ．32D ． 3 解析：选D 原式＝－－－－＋＝cos 10°－－－－＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝3．6．已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin αcos α＝________． 解析：∵sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α， ∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2， ∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2－2＋1＝－25．答案：－257．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos θ＝________．解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ． 又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，又∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos θ＝55． 答案：558．sin4π3·cos 5π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3的值是________．解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎪⎫－π－π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334． 答案：－3349．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°．解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2． 10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α．解：由已知得sin α＝2cos α． (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16．(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________．解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912．答案：9122．已知f (x )＝cos2n π＋x2n π－xcos2n ＋π－x ](n ∈Z)．(1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1 009的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时，f (x )＝cos2k π＋x2k π－xcos2k ＋π－x ]＝cos 2x ·sin 2－xcos 2π－x ＝cos 2x －sin x 2－cos x 2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时，f (x )＝cos2k ＋π＋x ]·sin 2k ＋π－x ]cos2k ＋＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋π＋x2[2k π＋π－x cos 2k ＋π＋π－x＝cos2π＋x2π－xcos2π－x＝－cos x 2sin 2x －cos x 2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x ．(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1 009＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018 ＝sin 2π2 018＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 018 ＝sin2π2 018＋cos 2π2 018＝1． 第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z)．1．函数y ＝2－cos x3(x ∈R)的最小正周期为________．答案：6π2．(教材习题改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2的定义域为________________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况． 3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．1．函数y ＝4sin(－x )，x ∈的单调性是( ) A ．在上是增函数，在上是减函数B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减函数C ．在上是增函数，在上是减函数D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数答案：D2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________． 解析：由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值为－22． 答案：－22考点一 三角函数的定义域基础送分型考点——自主练透1．(易错题)函数y ＝1tan x －1的定义域为__________________．解析：要使函数有意义， 必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z.故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z ．答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z2．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为______________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2．∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2(1)应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域，如“题组练透”第1题易忽视．(2)求复杂函数的定义域时转化为求解简单的三角不等式． 考点二 三角函数的值域或最值重点保分型考点——师生共研1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：选A ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1．∴y ∈，∴y max ＋y min ＝2－3．2．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈的值域为________________． 解析：设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， 即sin x cos x ＝1－t22，且－1≤t ≤2．∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1．当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1． ∴函数的值域为． 答案：三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数．求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值． 解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22． ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22．∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22． 考点三 三角函数的性质题点多变型考点——多角探明三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有： (1)三角函数的周期性； (2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性．角度一：三角函数的周期性1．(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A ．π2 B ．π C ．3π2D ．2π解析：选B ∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π．故选B ．角度二：三角函数的对称性2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( ) A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝π8对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4．当x ＝π4时，2x ＋π4＝3π4， ∴A 、C 错误；当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，∴B 正确，D 错误．3．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－ 3 cos ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋θ|θ|<π2的图象关于原点对称，则角θ＝( )A ．－π6B ．π6 C ．－π3D ．π3解析：选 D ∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，且f (x )的图象关于原点对称，∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，∴θ－π3＝k π(k ∈Z)，即θ＝π3＋k π(k ∈Z)．又|θ|<π2，∴θ＝π3．角度三：三角函数的单调性4．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈，则f (x )的单调递增区间为________．解析：由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z ．又x ∈，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π45．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________．解析：∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32． 答案：321．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0．(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．1．最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：选B 由函数的最小正周期为π，排除C ；由函数图象关于直线x ＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于B ，因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1，所以选B ．2．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为____________．解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z) 3．函数y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为_______．解析：如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2017·广州五校联考)下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，选A ．2．(2016·合肥质检)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( )A ．π2 B ．π3 C ．π4D ．π6解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z)，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z)，∵ω>0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D ．3．下列各点中，能作为函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π5的一个对称中心的点是( ) A ．(0,0) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，0 C ．(π，0)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π10，0 解析：选D 由x ＋π5＝k π2(k ∈Z)，得x ＝k π2－π5(k ∈Z)，当k ＝1时，x ＝3π10，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π5的一个对称中心的点是⎝ ⎛⎭⎪⎫3π10，0，故选D ． 4．(2017·湖南六校联考)函数y ＝3sin x ＋3cos xx ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2的单调递增区间是________．解析：化简可得y ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π35．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为______，此时x ＝______．解析：函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z)．答案：53π4＋2k π(k ∈Z) 二保高考，全练题型做到高考达标 1．y ＝|cos x |的一个单调增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π 解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D ．2．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16的值为( )A ．－34B ．－14C ．－12D ．34解析：选D 由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12cos π6＝34．3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0解析：选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B ．4．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0对称，那么|φ|的最小值为( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．π2解析：选A 由题意得3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos 2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0， 得|φ|的最小值为π6．5．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]解析：选A 由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A ．6．若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1＜πk＜2，即k ＜π＜2k ．又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3．答案：2或37．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________________． 解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)． ∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z ．答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z 8．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝________．解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2．又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，x 0＝k π2－π12(k ∈Z)，而x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x 0＝5π12．答案：5π129．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －2． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值，最小值．解：(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ．故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z ．(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，∴3π4≤2x ＋π4≤7π4，∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，∴－2≤f (x )≤1， ∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－2．10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<2π3的最小正周期为π． (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2．∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． (1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2．(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32．又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π．∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3． ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3． 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ．∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z ． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．(2017·衡水中学检测)已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的一个单调递减区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π 解析：选B ∵x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，∴2×π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π－π6，k ∈Z ，不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π＋π2<2x －π6<2k π＋3π2，k ∈Z ， 可得k π＋π3<x <k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z ，结合选项可知当k ＝0时，函数的一个单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6，故选B ．2．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1． (1)求f (x )的单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值； (3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈的x 的取值集合． 解：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1， 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 可得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z ．(2)当x ＝π6时，f (x )取得最大值4， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4， 所以a ＝1．(3)由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2＝1，可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12， 则2x ＋π6＝7π6＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6＝116π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π2＋k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又x ∈，可解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6． 第四节函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3．由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种方法。
压轴题命题区间(三)三角函数与平面向量已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2．(1)求f (x )的最大值和最小值；(2)若不等式－2＜f (x )－m ＜2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上恒成立，求实数m 的取值范围．(1)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以π6≤2x －π3≤2π3，故2≤1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤3，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝3，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2． (2)因为－2＜f (x )－m ＜2⇔f (x )－2＜m ＜f (x )＋2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以m ＞f (x )max －2且m ＜f (x )min ＋2．又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，f (x )max ＝3，f (x )min ＝2， 所以1＜m ＜4，即m 的取值范围是(1,4)．本题求解的关键在于将三角函数f (x )进行正确的“化一”及“化一”后角的范围的确定，因此，求解时要准确运用三角公式，并借助三角函数的图象和性质去确定函数f (x )的最值．已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(A ＞0，ω＞0)，g (x )＝tan x ，它们的最小正周期之积为2π2，f (x )的最大值为2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π4． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)设h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x ，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ，π3时，h (x )的最小值为3，求a 的值．解：(1)由题意得2πω·π＝2π2，所以ω＝1．又A ＝2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π4＝2tan 17π4＝2tan π4＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4． 由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z)． 故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z)． (2)h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x＝32×4sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋23cos 2x＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋3(cos 2x ＋1)＝3＋3＋3sin 2x ＋3cos 2x ＝3＋3＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6．因为h (x )的最小值为3， 令3＋3＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝3⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12． 因为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ，π3， 所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ＋π6，5π6，所以2a ＋π6＝－π6，即a ＝－π6．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，且2b －c a ＝cos Ccos A ．(1)求A 的大小；(2)当a ＝3时，求b 2＋c 2的取值范围． (1)已知在△ABC 中，2b －c a ＝cos Ccos A ，由正弦定理， 得2sin B －sin C sin A ＝cos Ccos A，即2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， 所以cos A ＝12，所以A ＝60°． (2)由正弦定理， 得asin A＝bsin B＝csin C＝2，则b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， 所以b 2＋c 2＝4sin 2B ＋4sin 2C ＝2(1－cos 2B ＋1－cos 2C ) ＝2 ＝2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12cos 2B ＋32sin 2B＝4＋2sin(2B －30°)． 因为0°＜B ＜120°，所以－30°＜2B －30°＜210°， 所以－12＜sin(2B －30°)≤1，所以3＜b 2＋c 2≤6．即b 2＋c 2的取值范围是(3,6]．三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边、角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π6． (1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若f (A )＝32，b ＋c ＝2，求实数a的最小值．解：(1)∵f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π6 ＝(1＋cos 2x )－⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6 ＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6． ∴函数f (x )的最大值为2． 要使f (x )取最大值，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1， ∴2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ， 解得x ＝k π＋π6，k ∈Z ．故f (x )取最大值时x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π6，k ∈Z． (2)由题意知，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32， 化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12．∵A ∈(0，π)， ∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3． 在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc ．由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝1，当且仅当b ＝c ＝1时等号成立． 即a 2≥1．∴当b ＝c ＝1时，实数a 的最小值为1．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A ．2－1B ．1C ． 2D ．2法一：(目标不等式法)因为|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝0， 所以|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2， 故|a ＋b |＝2．展开(a －c )·(b －c )≤0， 得a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2≤0， 即0－(a ＋b )·c ＋1≤0， 整理，得(a ＋b )·c ≥1．而|a ＋b －c |2＝(a ＋b )2－2(a ＋b )·c ＋c 2＝3－2(a ＋b )·c ，所以3－2(a ＋b )·c ≤3－2×1＝1． 所以|a ＋b －c |2≤1， 即|a ＋b －c |≤1，故|a ＋b －c |的最大值为1． 法二：(基向量法)取向量a ，b 作为平面向量的一组基底， 设c ＝ma ＋nb ．由|c |＝1，即|ma ＋nb |＝1， 可得(ma )2＋(nb )2＋2mna ·b ＝1， 由题意，知|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0． 整理，得m 2＋n 2＝1．而a －c ＝(1－m )a －nb ，b －c ＝－ma ＋(1－n )b ， 故由(a －c )·(b －c )≤0， 得·≤0，展开，得m (m －1)a 2＋n (n －1)b 2≤0， 即m 2－m ＋n 2－n ≤0， 又m 2＋n 2＝1， 故m ＋n ≥1．而a ＋b －c ＝(1－m )a ＋(1－n )b ， 故|a ＋b －c |2＝2＝(1－m )2a 2＋2(1－m )(1－n )a ·b ＋(1－n )2b 2＝(1－m )2＋(1－n )2＝m 2＋n 2－2(m ＋n )＋2 ＝3－2(m ＋n )． 又m ＋n ≥1，所以3－2(m ＋n )≤1． 故|a ＋b －c |2≤1， 即|a ＋b －c |≤1．故|a ＋b －c |的最大值为1． 法三：(坐标法)因为|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0， 所以a ，b ＝π2．设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ， 因为a ⊥b ， 所以OA ⊥OB ．分别以OA ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图(1)所示， 则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)， 则A (1,0)，B (0,1)．设C (x ，y )，则c ＝(x ，y )，且x 2＋y 2＝1．则a －c ＝(1－x ，－y )，b －c ＝(－x,1－y )，故由(a －c )·(b －c )≤0，得(1－x )×(－x )＋(－y )×(1－y )≤0，整理，得1－x －y ≤0， 即x ＋y ≥1．而a ＋b －c ＝(1－x,1－y )， 则|a ＋b －c |＝－x2＋－y2＝3－x ＋y ．因为x ＋y ≥1，所以3－2(x ＋y )≤1， 即|a ＋b －c |≤1．所以|a ＋b －c |的最大值为1． 法四：(三角函数法)因为|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0， 所以a ，b ＝π2．设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ， 因为a ⊥b ，所以OA ⊥OB ．分别以OA ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系， 如图(1)所示，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，A (1,0)，B (0,1)． 因为|c |＝1，设∠COA ＝θ，所以C 点的坐标为(cos θ，sin θ)．则a －c ＝(1－cos θ，－sin θ)，b －c ＝(－cos θ，1－sin θ)， 故由(a －c )·(b －c )≤0，得(1－cos θ)×(－cos θ)＋(－sin θ)×(1－sin θ)≤0， 整理，得sin θ＋cos θ≥1．而a ＋b －c ＝(1－cos θ，1－sin θ)， 则|a ＋b －c |＝－cos θ2＋－sin θ2＝3－θ＋cos θ．因为sin θ＋cos θ≥1， 所以3－2(sin θ＋cos θ)≤1， 即|a ＋b －c |≤1，所以|a ＋b －c |的最大值为1． 法五：(数形结合法)设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ， 因为|a |＝|b |＝|c |＝1，所以点A ，B ，C 在以O 为圆心、1为半径的圆上．易知CA ―→＝a －c ，CB ―→＝b －c ，|c |＝|OC ―→|．由(a －c )·(b －c )≤0， 可得CA ―→·CB ―→≤0，则π2≤∠BCA ＜π(因为A ，B ，C 在以O 为圆心的圆上，所以A ，B ，C 三点不能共线，即∠BCA ≠π)，故点C 在劣弧AB 上． 由a ·b ＝0，得OA ⊥OB ， 设OD ―→＝a ＋b ，如图(2)所示， 因为a ＋b －c ＝OD ―→－OC ―→＝CD ―→， 所以|a ＋b －c |＝|CD ―→|，即|a ＋b －c |为点D 与劣弧AB 上一点C 的距离， 显然，当点C 与A 或B 点重合时，CD 最长且为1， 即|a ＋b －c |的最大值为1． B平面向量具有双重性，处理平面向量问题一般可以从两个角度进行： (1)利用其“形”的特征，将其转化为平面几何的有关知识进行解决； (2)利用其“数”的特征，通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决．1．在△ABD 中，AB ＝2，AD ＝22，E ，C 分别在线段AD ，BD 上，且AE ＝13AD ，BC ＝34BD ，AC ―→·BE ―→＝113，则∠BAD 的大小为( )A ．π6B ．π4C ．π2D ．3π4解析：选D 依题意，AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝AB ―→＋34BD ―→＝AB ―→＋34(AD ―→－AB ―→)＝14AB ―→＋34AD ―→，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝13AD ―→－AB ―→，所以AC ―→·BE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB ―→＋34AD ―→ ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AD ―→－AB ―→＝－14|AB ―→|2＋14|AD ―→|2－23AD ―→·AB ―→＝－14×22＋14×(22)2－23AD ―→·AB ―→＝113，所以AD ―→·AB ―→＝－4，所以cos ∠BAD ＝AD ―→·AB ―→| AD ―→|·|AB ―→|＝－42×22＝－22，因为0＜∠BAD ＜π， 所以∠BAD ＝3π4．2．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°．动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ―→＝λBC ―→，DF ―→＝19λDC ―→，则AE ―→·AF ―→的最小值为________．解析：法一：(等价转化思想) 因为DF ―→＝19λDC ―→，DC ―→＝12AB ―→，CF ―→＝DF ―→－DC ―→＝19λDC ―→－DC ―→＝1－9λ9λDC ―→＝1－9λ18λAB ―→，AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋λBC ―→，AF ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CF ―→＝AB ―→＋BC ―→＋1－9λ18λAB ―→＝1＋9λ18λAB ―→＋BC ―→． 所以AE ―→·AF ―→＝(AB ―→＋λBC ―→)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9λ18λ AB ―→＋BC ―→＝1＋9λ18λAB ―→2＋λBC ―→2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋λ·1＋9λ18λAB ―→·BC ―→＝1＋9λ18λ×4＋λ＋19＋9λ18×2×1×cos 120° ＝29λ＋12λ＋1718≥2 29λ·12λ＋1718＝2918， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时，AE ―→·AF ―→的最小值为2918．法二：(坐标法)以线段AB 的中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－1,0)，B (1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，所以AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋λBC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ，AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝AD ―→＋19λDC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32，所以AE ―→·AF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋32×32λ ＝1718＋λ2＋29λ≥1718＋2 λ2·29λ＝2918， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时，AE ―→·AF ―→的最小值为2918．答案：29181．(2017·宜春中学与新余一中联考)已知等腰△OAB 中，|OA |＝|OB |＝2，且|OA ―→＋OB ―→|≥33|AB ―→|，那么OA ―→·OB ―→的取值范围是( ) A ．解析：选A 依题意，(OA ―→＋OB ―→)2≥13(OB ―→－OA ―→)2，化简得OA ―→·OB ―→≥－2，又根据三角形中，两边之差小于第三边， 可得|OA ―→|－|OB ―→|＜|AB ―→|＝|OB ―→－OA ―→|， 两边平方可得(|OA ―→|－|OB ―→|)2＜(OB ―→－OA ―→)2， 化简可得OA ―→·OB ―→＜4，∴－2≤OA ―→·OB ―→＜4．2．(2017·江西赣南五校二模)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO ―→＝AB ―→＋AC ―→且|OA ―→|＝|AB ―→|，则向量BA ―→在BC ―→方向上的投影为( )A ．12B ．32 C ．－12D ．－32解析：选A 由2AO ―→＝AB ―→＋AC ―→可知O 是BC 的中点， 即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|，由题意知|OA ―→|＝|AB ―→|＝1， 故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°．所以向量BA ―→在BC ―→方向上的投影为|BA ―→|·cos∠ABC ＝1×cos 60°＝12．故选A ．3．(2017·石家庄质检)设α，β∈，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．解析：选C ∵sin αcos β－cos αsin β＝1， 即sin(α－β)＝1，α，β∈， ∴α－β＝π2，又⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，则π2≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin (α－2β) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π) ＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤5π4， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，即所求取值范围为．故选C ．4．(2016·湖南岳阳一中4月月考)设a ，b 为单位向量，若向量c 满足|c －(a ＋b )|＝|a －b |，则|c |的最大值是( )A ．1B ． 2C ．2D ．2 2解析：选D ∵向量c 满足|c －(a ＋b )|＝|a －b |， ∴|c －(a ＋b )|＝|a －b |≥|c |－|a ＋b |， ∴|c |≤|a ＋b |＋|a －b |≤a ＋b |2＋|a －b |2＝a 2＋2b 2＝22．当且仅当|a ＋b |＝|a －b |，即a ⊥b 时，(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝22． ∴|c |≤22．∴|c |的最大值为22． 5．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝sin2ωx 2＋12sin ωx －12(ω＞0)，x ∈R ．若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，1C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，58 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58 解析：选D f (x )＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12(sin ωx －cos ωx )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4．因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点， 所以T2＞2π－π，即πω＞π，所以0＜ω＜1． 当x ∈(π，2π)时，ωx －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，若函数f (x )在区间(π，2π)内有零点， 则ωπ－π4＜k π＜2ωπ－π4(k ∈Z)，即k 2＋18＜ω＜k ＋14(k ∈Z)． 当k ＝0时，18＜ω＜14；当k ＝1时，58＜ω＜54．所以函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点时，0＜ω≤18或14≤ω≤58．6．(2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，k 2∈Z ，则ω＝2k ＋1，k ∈Z ，φ＝π4或φ＝－π4． 若ω＝11，则φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫11x －π4，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增， 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减，不满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调；若ω＝9，则φ＝π4， 此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调递减，故选B ． 7．(2016·贵州适应性考试)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a 2＋c 2＝ac ＋b 2，b ＝3，且a ≥c ，则2a －c 的最小值是________．解析：由a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ＝ac ， 所以cos B ＝12，则B ＝60°，又a ≥c ，则A ≥C ＝120°－A ， 所以60°≤A ＜120°，asin A ＝c sin C ＝b sin B ＝332＝2， 则2a －c ＝4sin A －2sin C ＝4sin A －2sin(120°－A )＝23sin(A －30°)，当A ＝60°时，2a －c 取得最小值3． 答案： 38．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝12c ，当tan(A－B )取最大值时，角B 的值为______．解析：由a cos B －b cos A ＝12c 及正弦定理，得sin A cos B －sin B cos A ＝12sin C＝12sin(A ＋B )＝12(sin A cos B ＋cos A sin B )， 整理得sin A cos B ＝3cos A sin B ， 即tan A ＝3tan B ， 易得tan A ＞0，tan B ＞0， ∴tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝2tan B1＋3tan 2B ＝21tan B＋3tan B ≤223＝33， 当且仅当1tan B ＝3tan B ，即tan B ＝33时，tan(A －B )取得最大值， 此时B ＝π6．答案：π69．(2016·浙江高考)已知向量a ，b ，|a|＝1，|b |＝2．若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．解析：由于e 是任意单位向量，可设e ＝a ＋b |a ＋b |，则|a ·e |＋|b ·e |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪aa ＋b |a ＋b |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋b |a ＋b |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a a ＋b |a ＋b |＋b a ＋b |a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋ba ＋b |a ＋b |＝|a ＋b |．∵|a ·e |＋|b ·e |≤6，∴|a ＋b |≤6， ∴(a ＋b )2≤6，∴|a |2＋|b |2＋2a ·b ≤6． ∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋4＋2a ·b ≤6， ∴a ·b ≤12，∴a ·b 的最大值为12．答案：1210．(2017·湖北省七市(州)协作体联考)已知函数f (x )＝2sin x ＋6cos x (x ∈R)． (1)若α∈且f (α)＝2，求α；(2)先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到的图象关于直线x ＝3π4对称，求θ的最小值．解：(1)f (x )＝2sin x ＋6cos x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3． 由f (α)＝2，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝22，即α＋π3＝2k π＋π4或α＋π3＝2k π＋3π4，k ∈Z ．于是α＝2k π－π12或α＝2k π＋5π12，k ∈Z ．又α∈， 故α＝5π12．(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象， 再将y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长度， 得到y ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象．由于y ＝sin x 的图象关于直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)对称，令2x －2θ＋π3＝k π＋π2， 解得x ＝k π2＋θ＋π12，k ∈Z ． 由于y ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象关于直线x ＝3π4对称， 令k π2＋θ＋π12＝3π4， 解得θ＝－k π2＋2π3，k ∈Z ． 由θ＞0可得，当k ＝1时，θ取得最小值π6． 11．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －sinB sinC ．(1)求角A ；(2)若a ＝23，求b ＋c 的取值范围．解：(1)由正弦定理及sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，知a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12．又0＜A ＜π2，所以A ＝π3． (2)由(1)知A ＝π3， 所以B ＋C ＝2π3，所以B ＝2π3－C ．因为a ＝23，所以23sinπ3＝b sin B ＝c sin C ，所以b ＝4sin B ，c ＝4sin C ，所以b ＋c ＝4sin B ＋4sin C ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C ＋4sin C＝23(cos C ＋3sin C )＝43sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6．因为△ABC 是锐角三角形， 所以0＜B ＝2π3－C ＜π2，所以π6＜C ＜π2，所以π3＜C ＋π6＜2π3，所以32＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6≤1，所以6＜43sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6≤43． 故b ＋c 的取值范围为(6,43]．12．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a cos B ＝2c －b ． (1)若cos(A ＋C )＝－5314，求cos C 的值；(2)若b ＝5，AC ―→·CB ―→＝－5，求△ABC 的面积；(3)若O 是△ABC 外接圆的圆心，且cos B sin C ·AB ―→＋cos C sin B ·AC ―→＝m AO ―→，求m 的值．解：(1)由2a cos B ＝2c －b ， 得2sin A cos B ＝2sin C －sin B ， 即2sin A cos B ＝2sin(A ＋B )－sin B ， 整理得2cos A sin B ＝sin B ．∵sin B ≠0， 故cos A ＝12，则A ＝60°．由cos(A ＋C )＝－cos B ＝－5314， 知cos B ＝5314， 所以sin B ＝1114． 所以cos C ＝cos(120°－B )＝－12cos B ＋32sin B ＝3314．(2)AC ―→·CB ―→＝AC ―→·(AB ―→－AC ―→) ＝AC ―→·AB ―→－AC ―→2＝|AC ―→|·|AB ―→|·cos A －|AC ―→|2 ＝12bc －b 2＝－5， 又b ＝5，解得c ＝8， 所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×5×8×32＝103． (3)由cos B sin C ·AB ―→＋cos C sin B·AC ―→＝m AO ―→， 可得cos B sin C ·AB ―→·AO ―→＋cos C sin B ·AC ―→·AO ―→＝m AO ―→2，(*)因为O 是△ABC 外接圆的圆心，所以AB ―→·AO ―→＝12AB ―→2，AC ―→·AO ―→＝12AC ―→2，又|AO ―→|＝a2sin A，所以(*)可化为cos B sin C ·c 2＋cos C sin B ·b 2＝12m ·a 2sin 2A ，所以m ＝2(cos B sin C ＋sin B cos C )＝2sin(B ＋C ) ＝2sin A ＝3．。
压轴题命题区间(四)数__列数列的性质(1)(2017·西安质检)对于函数y＝f(x)，部分x与y的对应关系如下表：x 123456789y 37596182 4数列{x n}满足：x1＝1，且对于任意n∈N*，点(x n，x n＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，则x1＋x2＋…＋x2 018＝( )A．7 564 B．7 549C．7 546 D．7 539(2)(2016·合肥质检)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝12，a3·a5＝4，则下列说法正确的是( )A．{a n}是单调递减数列B．{S n}是单调递减数列C．{a2n}是单调递减数列D．{S2n}是单调递减数列(1)∵数列{x n}满足x1＝1，且对任意n∈N*．点(x n，x n＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，∴x n＋1＝f(x n)，∴由图表可得x2＝f(x1)＝3，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝6，x5＝f(x4)＝1，x6＝f(x5)＝3，…，∴数列{x n}是周期为4的周期数列，∴x1＋x2＋…＋x2 018＝504(x1＋x2＋x3＋x4)＋x1＋x2＝504×15＋4＝7 564．故选A．(2)由于{a n}是等比数列，则a3a5＝a24＝4，又a2＝12，则a4＞0，a4＝2，q2＝1 6，当q＝－66时，{a n}和{S n}不具有单调性，选项A和B错误；a 2n ＝a 2q 2n －2＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －1单调递减，选项C 正确；当q ＝－66时，{S 2n }不具有单调性，选项D 错误． (1)A (2)C(1)解决数列的单调性问题的下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或是常数列． ②用作商比较法，根据a n ＋1a n(a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断． ③结合相应函数的图象直观判断． (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．1．(2016·安徽皖江名校联考a n }的首项为2，且数列数列{a n }的前n 项和为A ．504 ．588 C ．－588．－504解析：选C ∵a 1∴a 2＝13，a 3＝－12，a 4＝－3，a 5＝2，…，∴数列{a n }是周期为4的周期数列， 且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－76，∵2 016＝4×504，∴S 2 016＝504×⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－588． 2．(2016·全国乙卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ， 则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5， 知q ＝12．又a 1＋a 1q 2＝10，∴a 1＝8．故a 1a 2…a n ＝a n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝23n·⎝ ⎛⎭⎪⎫12()12－n n＝22322－＋n n n ＝22722－＋n n ．记t ＝－n 22＋7n2＝－12(n 2－7n )＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722＋498，结合n ∈N *可知n ＝3或4时，t 有最大值6． 又y ＝2t为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26＝64． 答案：64数列的和如果有穷数列a 1，a 2，a 3，…，a m (m 为正整数)满足条件a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，即a i ＝a m －i ＋1(i ＝1，2，…，m )，我们称其为“对称数列”．例如，数列1,2,3,4,3,2,1与数列a ，b ，c ，c ，b ，a 都是“对称数列”．(1)设{b n }是8项的“对称数列”，其中b 1，b 2，b 3，b 4是等差数列，且b 1＝1，b 5＝13．依次写出{b n }的每一项；(2)设{c n }是2m ＋1项的“对称数列”，其中c m ＋1，c m ＋2，…，c 2m ＋1是首项为a ，公比为q 的等比数列，求{c n }的各项和S n ．(1)设数列{b n }的前4项的公差为d ， 则b 4＝b 1＋3d ＝1＋3d ． 又因为b 4＝b 5＝13，解得d ＝4， 所以数列{b n }为1,5,9,13,13,9,5,1．(2)由题意得，当q ≠1时，S n ＝c 1＋c 2＋…＋c 2m ＋1 ＝2(c m ＋1＋c m ＋2＋…＋c 2m ＋1)－c m ＋1 ＝2a (1＋q ＋q 2＋…＋q m)－a ＝2a ·1－qm ＋11－q－a ．而当q ＝1时，S n ＝(2m ＋1)a ． ∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1a ，q ＝1，2a ·1－qm ＋11－q －a ，q ≠1.(1)本题在求等比数列{c n }前n 项和时可利用分类讨论思想．(2)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有 ①已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种情况． ②等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1讨论． ③项数的奇、偶数讨论．④等比数列的单调性的判断注意与a 1，q 的取值的讨论． ⑤求数列{|a n |}的前n 项和要用到分类讨论．(2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *． (1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3.又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ， 得a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *．(2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，则b 1＝2，b 2＝1． 当n ≥3时，由于3n －1＞n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3．设数列{b n }的前n 项和为T n ， 则T 1＝2，T 2＝3， 当n ≥3时， T n ＝3＋91－3n －21－3－n ＋7n －22＝3n －n 2－5n ＋112，因为当n ＝2时，也符合T n ＝3n－n 2－5n ＋112．所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3n －n 2－5n ＋112，n ≥2，n ∈N *.构造法求通项公式(1)已知数列{a n }满足a 1＝3，且a n ＋1＝4a n ＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝22n －1＋1 B ．a n ＝22n －1－1C ．a n ＝22n＋1D ．a n ＝22n－1(2)已知正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n，则数列{a n }的通项a n ＝( ) A ．－3×2n －1B ．3×2n －1C ．5n＋3×2n －1D ．5n－3×2n －1(1)由a n ＋1＝4a n ＋3， 得a n ＋1＋1＝4(a n ＋1)，故数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝4，公比为4的等比数列， 所以a n ＋1＝4n， 所以a n ＝22n－1．(2)法一：在递推公式a n ＋1＝2a n ＋3×5n的两边同时除以5n ＋1，得a n ＋15n ＋1＝25×a n 5n ＋35，①令a n 5n ＝b n ，则①式变为b n ＋1＝25b n ＋35， 即b n ＋1－1＝25(b n －1)，所以a n5n ＝1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1＝1－3×2n －15n， 故a n ＝5n －3×2n －1．法二：设a n ＋1＋k ·5n ＋1＝2(a n ＋k ×5n)，则a n ＋1＝2a n －3k ×5n，与题中递推公式比较得k ＝－1， 即a n ＋1－5n ＋1＝2(a n －5n)，所以数列{a n －5n}是首项为a 1－5＝－3，公比为2的等比数列，则a n －5n＝－3×2n －1，故a n ＝5n－3×2n －1．(1)D (2)D利用构造法求解数列的通项公式，关键在于递推关系的灵活变形，当a n 与a n －1的系数相同时，主要是通过构造等差数列或利用累加法求通项；若两者的系数不同，则应构造等比数列或利用作商之后再累乘的方法求解．求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定累加、累乘最后一个式子的形式．本题的递推公式是a n ＋1＝αa n ＋β×αn的推广a n ＋1＝αa n ＋β×γn ，两边同时除以γn ＋1后得到a n ＋1γ n ＋1＝αγ·a n γn ＋βγ，转化为b n ＋1＝kb n＋βγ的形式，通过构造公比是αγ的等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n－βγ1－k 求解．1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋3(n ∈N *)，则a n ＝________．解析：因为a n ＋1＝a na n ＋3(n ∈N *)，所以1a n ＋1＝3a n＋1，设1a n ＋1＋t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋t ，所以3t －t ＝1，解得t ＝12，所以1a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12， 又1a 1＋12＝1＋12＝32， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以1a n ＋12＝32×3n －1＝3n2，所以a n ＝23n－1． 答案：23n－1n a 1＝2，a n ＋1－4a n n n ．解析：由a 1＝2，a n ＋1－4a n ＝3×2n ＋1得，a n ＋12n ＋1－2a n2n＝3，设b n ＝a n2n ，则b n ＋1＝2b n ＋3，设b n ＋1＋t ＝2(b n ＋t )， 所以2t －t ＝3， 解得t ＝3，所以b n ＋1＋3＝2(b n ＋3)， 所以b n ＋1＋3b n ＋3＝2， 又b 1＋3＝a 12＋3＝1＋3＝4，所以数列{b n ＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以b n ＋3＝4×2n －1＝2n ＋1，所以b n ＝2n ＋1－3，所以a n ＝b n ·2n＝(2n ＋1－3)×2n ＝22n ＋1－3×2n．答案：22n ＋1－3×2n1．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 016＝( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．2解析：选B 由题意得：a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8，…，所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 016＝a 335×6＋6＝a 6＝6．2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )在函数f (x )＝x 2＋x －2的图象上，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －2B ．a n ＝n 2＋n －2C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝12n －1，n ≥2D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝12n ，n ≥2解析：选D 由于点(n ，S n )在函数f (x )的图象上，则S n ＝n 2＋n －2，当n ＝1时，得a 1＝S 1＝0，当n ≥2时，得a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －2－＝2n ．故选D ．3．若数列{b n }的通项公式为b n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫n ＋12n ＋13，则数列{b n }中的最大项的项数为( )A ．2或3B ．3或4C ．3D ．4解析：选B 设数列{b n }的第n 项最大． 由⎩⎪⎨⎪⎧b n ＋1≤b n ，b n ≥b n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧－⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋1＋12n ＋1＋13≤－⎝⎛⎭⎪⎫n ＋12n ＋13，－⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n ＋13≥－⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1＋12n －1＋13，整理得⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n ＋1≥12n，1＋12n ≤12n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋n －12≥0，n 2－n －12≤0，解得n ＝3或n ＝4． 又b 3＝b 4＝6，所以当n ＝3或n ＝4时，b n 取得最大值．4．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则a n ＝( ) A ．n2n －1B ．n ＋12n －1＋1C ．2n －12n－1D ．n ＋12n ＋1解析：选A 设b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n ， 则b 1＝4，b 2＝8，又{b n }为等差数列，所以b n ＝4n ， 所以nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n ，所以S n ＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋2n a n ＝4．当n ≥2时，S n －S n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n －1a n －1＝0， 所以2n ＋1n a n ＝n ＋1n －1a n －1， 即2·a n n ＝a n －1n －1．又因为a 1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1(n ∈N *)，所以a n ＝n2n －1(n ∈N *)．5．(2017·山西省质检)记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 12－S 6S 6－7·S 6－S 3S 3－8＝0，且正整数m ，n 满足a 1a m a 2n ＝2a 35，则1m ＋8n的最小值是( )A ．157 B ．95C ．53D ．75解析：选C ∵{a n }是等比数列，设{a n }的公比为q ， ∴S 12－S 6S 6＝q 6，S 6－S 3S 3＝q 3， ∴q 6－7q 3－8＝0，解得q ＝2，又a 1a m a 2n ＝2a 35， ∴a 31·2m ＋2n －2＝2(a 124)3＝a 31213，∴m ＋2n ＝15，∴1m ＋8n ＝115⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋8n (m ＋2n ) ＝115⎝⎛⎭⎪⎫17＋2n m ＋8m n ≥115⎝ ⎛⎭⎪⎫17＋22nm×8m n＝53，当且仅当2n m ＝8mn ，n ＝2m ， 即m ＝3，n ＝6时等号成立， ∴1m ＋8n 的最小值是53，故选C ． 6．对于数列{x n }，若对任意n ∈N *，都有x n ＋x n ＋22＜x n ＋1成立，则称数列{x n }为“减差数列”．设b n ＝2t －tn －12n －1，若数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，则实数t 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1]解析：选C 由数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”， 得b n ＋b n ＋22＜b n ＋1(n ≥3)， 即t －tn －12n＋t －t n ＋2－12n ＋2＜2t －t n ＋1－12n，即tn －12n＋t n ＋2－12n ＋2＞t n ＋1－12n，化简得t (n －2)＞1．当n ≥3时，若t (n －2)＞1恒成立， 则t ＞1n －2恒成立， 又当n ≥3时，1n －2的最大值为1， 则t 的取值范围是(1，＋∞)．7．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n ＞0(n ＝1,2，3，…)．则q 的取值范围为________．解析：因为{a n }为等比数列，S n ＞0， 可以得到a 1＝S 1＞0，q ≠0， 当q ＝1时，S n ＝na 1＞0；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n1－q＞0，即1－q n1－q＞0(n ＝1,2,3，…)， 上式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－q ＜0，1－q n＜0(n ＝1,2,3，…)，①或⎩⎪⎨⎪⎧1－q ＞0，1－q n＞0(n ＝1,2,3，…)．②解①式得q ＞1，解②式，由于n 可为奇数，可为偶数，得－1＜q ＜1． 综上，q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 答案：(－1,0)∪(0，＋∞)8．(2016·河南六市一联)数列{a n }的通项a n ＝n 2·⎝⎛⎭⎪⎫cos2n π3－sin2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30＝________．解析：由题意可知，a n ＝n 2·cos 2n π， 若n ＝3k －2，则a n ＝(3k －2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－9k 2＋12k －42(k ∈N *)；若n ＝3k －1，则a n ＝(3k －1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－9k 2＋6k －12(k ∈N *)；若n ＝3k ，则a n ＝(3k )2·1＝9k 2(k ∈N *)， ∴a 3k －2＋a 3k －1＋a 3k ＝9k －52，k ∈N *，∴S 30＝∑k ＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫9k －52＝9－52＋90－522×10＝470．答案：4709．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，则a n ＝________． 解析：由a 1，a 2＋5，a 3成等差数列可得a 1＋a 3＝2a 2＋10，由2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，得2a 1＋2a 2＝a 3－7，即2a 2＝a 3－7－2a 1，代入a 1＋a 3＝2a 2＋10，得a 1＝1，代入2S 1＝a 2－22＋1，得a 2＝5．由2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，得当n ≥2时，2S n －1＝a n －2n ＋1，两式相减，得2a n ＝a n ＋1－a n －2n ，即a n ＋1＝3a n ＋2n ，当n ＝1时，5＝3×1＋21也适合a n ＋1＝3a n ＋2n ，所以对任意正整数n ，a n ＋1＝3a n ＋2n ． ⎩⎨⎭2n ＋是首项为2，公比为32的等比数列， 所以a n 2n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ， 所以a n 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1， 所以a n ＝3n －2n．答案：3n －2n 10．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，2，且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，7π12上为单调函数． (1)求ω，φ的值；(2)设a n ＝nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π3(n ∈N *)，求数列{a n }的前30项和S 30． 解：(1)由题可得ωπ12＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ， 7ωπ12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 解得ω＝2，φ＝2k π－2π3，k ∈Z ， ∵|φ|＜π，∴φ＝－2π3． (2)由(1)及题意可知a n ＝2n sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π3－2π3(n ∈N *)， 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π3－2π3(n ∈N *)的周期为3，前三项依次为0，3，－3， ∴a 3n －2＋a 3n －1＋a 3n3(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前2n ＋1项和P 2n ＋1．解：(1)∵S ＝12ac sin B ＝43， ∴ac ＝16，又a 2＋c 2＝2b 2，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴b 2＝ac ＝16，∴b ＝4，从而(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝64，a ＋c ＝8，∴a ＝c ＝4．故可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，d ＝4，∴a n ＝4n ．∵T n －2b n ＋3＝0， ∴当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，T n －1－2b n －1＋3＝0， 两式相减，得b n ＝2b n －1(n ≥2)， ∴数列{b n }为等比数列， ∴b n ＝3·2n －1．(2)依题意，c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ，n 为奇数，3·2n －1，n 为偶数.P 2n ＋1＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2n ) ＝[4＋42n ＋1]n ＋12＋61－4n 1－4 ＝22n ＋1＋4n 2＋8n ＋2．12．(2017·广州模拟)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意n ∈N *，都有2S n ＝(n ＋1)a n ．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫4a n a n ＋2的前n 项和为T n ，求证：12≤T n ＜1． 解：(1)因为2S n ＝(n ＋1)a n ，当n ≥2时，2S n －1＝na n －1，两式相减，得2a n ＝(n ＋1)a n －na n －1， 即(n －1)a n ＝na n －1，所以当n ≥2时，a n n ＝a n －1n －1， 所以a n n ＝a 11． 因为a 1＝2，所以a n ＝2n ．(2)证明：因为a n ＝2n ，令b n ＝4a n a n ＋2，n ∈N *， 所以b n ＝42n 2n ＋2＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1． 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1．因为1n ＋1＞0， 所以1－1n ＋1＜1． 因为f (n )＝1n ＋1在N *上是递减函数，所以1－1n ＋1在N *上是递增的， 所以当n ＝1时，T n 取最小值12．所以12≤T n ＜1．。
第三章三角函数、解三角形第一讲任意角和弧度制及任意角的三角函数A组基础巩固一、选择题1．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是(A）A．错误!B．错误!C．－错误!D．－错误![解析］将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转，故选项C，D不正确，∵拨慢10分钟，∴转过的角度应为圆周的错误!＝错误!，即为错误!×2π＝错误!.2．点P（cos 2 022°，sin 2 022°）所在的象限是（C）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析］因为2 022°＝360°×5＋222°，所以2 022°与222°终边相同，是第三象限角．所以cos 2 022°〈0，sin 2 022°〈0,所以点P在第三象限．3．（2020·河南省驻马店市期末)已知点P（tan α,cos α）在第三象限，则角α的终边在(B)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析］因为点P(tan α,cos α）在第三象限，所以错误!,所以α为第二象限角，故选B。
4．（2021·福建莆田二十四中月考)一个扇形的弧长与面积的数值都是6,则这个扇形的圆心角的弧度数是(C）A．1B．2C．3D．4［解析］设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R.由题意得错误!解得θ＝3，即扇形的圆心角的弧度数是3。
故选C.5．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C〈0，则△ABC的形状是(B）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定[解析］∵△ABC中每个角都在(0,π）内，∴sin A>0.∵sin A·cos B·tan C〈0，∴cos B·tan C<0。
若B,C同为锐角，则cos B·tan C>0。
压轴题命题区间(二)函数与导数第一课时构造辅助函数求解导数问题对于证明与函数有关的不等式，或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围、讨论一些方程解的个数等类型问题时，常常需要构造辅助函数，并求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决；题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里给出几种常用的构造技巧．a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1．(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x＞0时，x2＜e x．(1)由f(x)＝e x－ax，得f′(x)＝e x－a．因为f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2，所以f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2，令f′(x)＝0，得x＝ln 2，当x＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值．(2)证明：令g(x)＝e x－x2，则g′(x)＝e x－2x．由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＞0，故g(x)在R上单调递增．所以当x＞0时，g(x)＞g(0)＝1＞0，即x2＜e x．在本例第(2)问中，发现“x2，e x”具有基本初等函数的基因，故可选择对要证明的“x2＜e x”构造函数，得到“g(x)＝e x－x2”，并利用(1)的结论求解．已知函数f(x)＝xe x，直线y＝g(x)为函数f(x)的图象在x＝x0(x0＜1)处的切线，求证：f(x)≤g(x)．证明：函数f (x )的图象在x ＝x 0处的切线方程为y ＝g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)． 令h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)， 则h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)＝1－x e x －1－x 0e 0x ＝－xx －－x 0xe＋x x ．设φ(x )＝(1－x )e 0x －(1－x 0)e x，则φ′(x )＝－ex －(1－x 0)e x，∵x 0＜1，∴φ′(x )＜0，∴φ(x )在R 上单调递减，又φ(x 0)＝0，∴当x ＜x 0时，φ(x )＞0，当x ＞x 0时，φ(x )＜0， ∴当x ＜x 0时，h ′(x )＞0，当x ＞x 0时，h ′(x )＜0，∴h (x )在区间(－∞，x 0)上为增函数，在区间(x 0，＋∞)上为减函数， ∴h (x )≤h (x 0)＝0， ∴f (x )≤g (x )．设函数f (x )＝a e xln x ＋x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为y ＝e(x －1)＋2．(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )＞1．(1)f ′(x )＝a e x⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ＋b e x －1x －x 2(x ＞0)，由于直线y ＝e(x －1)＋2的斜率为e ，图象过点(1,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2，f ＝e ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a e ＝e ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知f (x )＝e xln x ＋2ex －1x(x ＞0)，从而f (x )＞1等价于x ln x ＞x e －x－2e ．构造函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x ，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )＜0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )＞0， 故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， 从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ．构造函数h (x )＝x e －x－2e ，则h ′(x )＝e －x(1－x )．所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )＞0； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＜0；故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e ．综上，当x ＞0时，g (x )＞h (x )，即f (x )＞1．对于第(2)问“a e xln x ＋b e x －1x ＞1”的证明，若直接构造函数h (x )＝a e xln x ＋b e x －1x－1，求导以后不易分析，因此并不宜对其整体进行构造函数，而应先将不等式“a e xln x ＋b e x －1x＞1”合理拆分为“x ln x ＞x e －x－2e ”，再分别对左右两边构造函数，进而达到证明原不等式的目的．已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0． (1)求a ，b 的值；(2)证明：当x ＞0，且x ≠1时，f (x )＞ln xx －1．解：(1)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x x ＋2－bx2(x ＞0)． 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1，f ＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x(x ＞0)，所以f (x )－ln x x －1＝11－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2ln x －x 2－1x ． 考虑函数h (x )＝2ln x －x 2－1x(x ＞0)，则h ′(x )＝2x－2x 2－x 2－x 2＝－x －2x 2．所以当x ≠1时，h ′(x )＜0．而h (1)＝0， 故当x ∈(0,1)时，h (x )＞0，可得11－x 2h (x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0，可得11－x 2h (x )＞0．从而当x ＞0，且x ≠1时，f (x )－ln xx －1＞0， 即f (x )＞ln xx －1．已知函数f (x )＝ax 2＋x ln x (a ∈R)的图象在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋3y ＝0垂直．(1)求实数a 的值；(2)求证：当n ＞m ＞0时，ln n －ln m ＞m n －n m． (1)因为f (x )＝ax 2＋x ln x ， 所以f ′(x )＝2ax ＋ln x ＋1，因为切线与直线x ＋3y ＝0垂直，所以切线的斜率为3， 所以f ′(1)＝3，即2a ＋1＝3，故a ＝1． (2)证明：要证ln n －ln m ＞m n －n m， 即证ln n m ＞m n －n m ，只需证ln n m －m n ＋n m＞0．令n m＝x ，构造函数g (x )＝ln x －1x＋x (x ≥1)， 则g ′(x )＝1x ＋1x2＋1．因为x ∈对“待证不等式”等价变形为“ln n m －m n ＋n m ＞0”后，观察可知，对“n m”进行换元，变为“ln x －1x ＋x ＞0”，构造函数“g (x )＝ln x －1x＋x (x ≥1)”来证明不等式，可简化证明过程中的运算．已知函数f (x )＝x 2ln x ． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)证明：对任意的t ＞0，存在唯一的s ，使t ＝f (s )；(3)设(2)中所确定的s 关于t 的函数为s ＝g (t )，证明：当t ＞e 2时，有25＜ln g t ln t ＜12． 解：(1)由已知，得f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)(x ＞0)， 令f ′(x )＝0，得x ＝1e． 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1e ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞． (2)证明：当0＜x ≤1时，f (x )≤0，∵t ＞0，∴当0＜x ≤1时不存在t ＝f (s )．令h (x )＝f (x )－t ，x ∈ (2017·广州综合测试)已知函数f (x )＝e x ＋m－x 3，g (x )＝ln(x＋1)＋2．(1)若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为1，求实数m 的值； (2)当m ≥1时，证明：f (x )＞g (x )－x 3． (1)因为f (x )＝e x ＋m－x 3，所以f ′(x )＝ex ＋m－3x 2．因为曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为1， 所以f ′(0)＝e m＝1，解得m ＝0． (2)证明：因为f (x )＝ex ＋m－x 3，g (x )＝ln(x ＋1)＋2，所以f (x )＞g (x )－x 3等价于e x ＋m－ln(x ＋1)－2＞0．当m ≥1时，ex ＋m－ln(x ＋1)－2≥e x ＋1－ln(x ＋1)－2．要证ex ＋m－ln(x ＋1)－2＞0，只需证明e x ＋1－ln(x ＋1)－2＞0． 设h (x )＝e x ＋1－ln(x ＋1)－2，则h ′(x )＝e x ＋1－1x ＋1． 设p (x )＝ex ＋1－1x ＋1，则p ′(x )＝e x ＋1＋1x ＋2＞0，所以函数p (x )＝h ′(x )＝e x ＋1－1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增． 因为h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝e 12－2＜0，h ′(0)＝e －1＞0，所以函数h ′(x )＝ex ＋1－1x ＋1在(－1，＋∞)上有唯一零点x 0，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0． 因为h ′(x 0)＝0，所以e x 0＋1＝1x 0＋1， 即ln(x 0＋1)＝－(x 0＋1)．当x ∈(－1，x 0)时，h ′(x )＜0， 当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )＞0， 所以当x ＝x 0时，h (x )取得最小值h (x 0)， 所以h (x )≥h (x 0)＝e x 0＋1－ln(x 0＋1)－2 ＝1x 0＋1＋(x 0＋1)－2＞0． 综上可知，当m ≥1时，f (x )＞g (x )－x 3．本题可先进行适当放缩，m ≥1时，e x ＋m≥ex ＋1，再两次构造函数h (x )，p (x )．(2016·合肥一模)已知函数f (x )＝e x －x ln x ，g (x )＝e x －tx 2＋x ，t ∈R ，其中e 为自然对数的底数．(1)求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若g (x )≥f (x )对任意的x ∈(0，＋∞)恒成立，求t 的取值范围． 解：(1)由f (x )＝e x －x ln x ，知f ′(x )＝e －ln x －1， 则f ′(1)＝e －1， 而f (1)＝e ，则所求切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)， 即y ＝(e －1)x ＋1．(2)∵f (x )＝e x －x ln x ，g (x )＝e x －tx 2＋x ，t ∈R ，∴g (x )≥f (x )对任意的x ∈(0，＋∞)恒成立等价于e x－tx 2＋x －e x ＋x ln x ≥0对任意的x ∈(0，＋∞)恒成立，即t ≤e x＋x －e x ＋x ln x x2对任意的x ∈(0，＋∞)恒成立． 令F (x )＝e x＋x －e x ＋x ln x x2， 则F ′(x )＝x e x ＋e x －2e x －x ln x x 3＝1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫e x＋e －2e xx －ln x ， 令G (x )＝e x＋e －2exx－ln x ，则G ′(x )＝e x －x e x －e x x 2－1x ＝e x x －2＋e x－xx 2＞0对任意的x ∈(0，＋∞)恒成立．∴G (x )＝e x＋e －2exx－ln x 在(0，＋∞)上单调递增，且G (1)＝0，∴当x ∈(0,1)时，G (x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，G (x )＞0， 即当x ∈(0,1)时，F ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＞0， ∴F (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴F (x )≥F (1)＝1， ∴t ≤1，即t 的取值范围是(－∞，1]．1．设函数f (x )＝x 2e x －1＋ax 3＋bx 2，已知x ＝－2和x ＝1为f (x )的极值点．(1)求a ，b 的值； (2)讨论f (x )的单调性；(3)设g (x )＝23x 3－x 2，比较f (x )与g (x )的大小．解：(1)因为f ′(x )＝e x －1(2x ＋x 2)＋3ax 2＋2bx＝x ex －1(x ＋2)＋x (3ax ＋2b )，又x ＝－2和x ＝1为f (x )的极值点， 所以f ′(－2)＝f ′(1)＝0，因此⎩⎪⎨⎪⎧－6a ＋2b ＝0，3＋3a ＋2b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝－1.(2)因为a ＝－13，b ＝－1，所以f ′(x )＝x (x ＋2)(e x －1－1)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1．因为当x ∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f ′(x )＞0． 所以f (x )在(－2,0)和(1，＋∞)上是单调递增的； 在(－∞，－2)和(0,1)上是单调递减的． (3)由(1)可知f (x )＝x 2e x －1－13x 3－x 2． 故f (x )－g (x )＝x 2e x －1－x 3＝x 2(ex －1－x )，令h (x )＝ex －1－x ，则h ′(x )＝ex －1－1．令h ′(x )＝0，得x ＝1，因为当x ∈(－∞，1]时，h ′(x )≤0， 所以h (x )在(－∞，1]上单调递减； 故当x ∈(－∞，1]时，h (x )≥h (1)＝0；因为当x ∈ 已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴．(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性． (1)依题意得g ′(x )＝1x＋2ax ＋b (x ＞0)．由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴得：g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，∴b ＝－2a －1．(2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－a ＋x ＋1x＝ax －x －x．∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x． 由g ′(x )＞0，得0＜x ＜1，由g ′(x )＜0，得x ＞1， 当a ＞0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a ，若12a ＜1，即a ＞12，由g ′(x )＞0，得x ＞1或0＜x ＜12a， 由g ′(x )＜0，得12a ＜x ＜1；若12a ＞1，即0＜a ＜12， 由g ′(x )＞0，得x ＞12a 或0＜x ＜1， 由g ′(x )＜0，得1＜x ＜12a， 若12a ＝1，即a ＝12在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0． 综上可得：当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0＜a ＜12时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞上单调递增； 当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a ＞12时，函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．(3)本题(2)求解应先分a ＝0或a ＞0两种情况，再比较12a和1的大小．(2016·太原一模)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)． (1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)设函数h (x )＝f (x )＋1＋ax，求函数h (x )的单调区间．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f (1)＝1， 即切点为(1,1)，∵f ′(x )＝1－2x，∴f ′(1)＝1－2＝－1，∴曲线y ＝f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0． (2)由题意知，h (x )＝x －a ln x ＋1＋ax(x ＞0)，则h ′(x )＝1－a x －1＋a x 2＝x 2－ax －＋ax 2＝x ＋x －＋ax 2，①当a ＋1＞0，即a ＞－1时， 令h ′(x )＞0，∵x ＞0，∴x ＞1＋a ， 令h ′(x )＜0，∵x ＞0，∴0＜x ＜1＋a ． ②当a ＋1≤0，即a ≤－1时，h ′(x )＞0恒成立，综上，当a ＞－1时，h (x )的单调递减区间是(0，a ＋1)，单调递增区间是(a ＋1，＋∞)；当a ≤－1时，h (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间．设a ＞0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a (1＋ln x )．(1)若曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处的切线与直线y ＝－x ＋1垂直，求切线方程． (2)求函数f (x )的极值．(1)由已知，得f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x(x ＞0)， 又由题意可知y ＝f (x )在(2，f (2))处切线的斜率为1， 所以f ′(2)＝1，即2－(a ＋1)＋a2＝1，解得a ＝0，此时f (2)＝2－2＝0，故所求的切线方程为y ＝x －2．(2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x ＝x 2－a ＋x ＋ax＝x －x －ax(x ＞0)．①当0＜a ＜1时，若x ∈(0，a )，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 若x ∈(a,1)，则f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 若x ∈(1，＋∞)，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．此时x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点，函数f (x )的极大值是f (a )＝－12a 2＋a ln a ，极小值是f (1)＝－12．②当a ＝1时，f ′(x )＝x －2x≥0，所以函数f (x )在定义域(0，＋∞)内单调递增， 此时f (x )没有极值点，故无极值． ③当a ＞1时，若x ∈(0,1)，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 若x ∈(1，a )，则f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 若x ∈(a ，＋∞)，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．此时x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点，函数f (x )的极大值是f (1)＝－12，极小值是f (a )＝－12a 2＋a ln a ．综上，当0＜a ＜1时，f (x )的极大值是－12a 2＋a ln a ，极小值是－12；当a ＝1时，f (x )没有极值；当a ＞1时f (x )的极大值是－12，极小值是－12a 2＋a ln a ．对于解析式中含有参数的函数求极值，有时需要分类讨论后解决问题．讨论的思路主要有：(1)参数是否影响f ′(x )零点的存在；(2)参数是否影响f ′(x )不同零点(或零点与函数定义域中的间断点)的大小； (3)参数是否影响f ′(x )在零点左右的符号(如果有影响，需要分类讨论)．(2016·山东高考)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R ． (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围． 解：(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ， 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)．所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2axx．当a ≤0，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增； 当a ＞0，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增， x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞．(2)由(1)知，f ′(1)＝0．①当a ≤0时，f ′(x )单调递增， 所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ②当0＜a ＜12时，12a ＞1，由(1)知f ′(x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，12a 内单调递增， 可得当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )＞0． 所以f (x )在(0,1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 内单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ③当a ＝12时，12a＝1，f ′(x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意． ④当a ＞12时，0＜12a＜1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意．综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＞0时，求函数f (x )在上的最小值． (1)由题意，f ′(x )＝1x－a (x ＞0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a ＞0，即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a ＞0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a，当0＜x ＜1a时，f ′(x )＝1－axx＞0；当x ＞1a 时，f ′(x )＝1－ax x＜0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a，＋∞．综上可知，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a，＋∞．(2)①当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a ．②当1a ≥2，即0＜a ≤12时，函数f (x )在区间上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a ．③当1＜1a ＜2，即12＜a ＜1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12＜a ＜ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a ＜1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a ．综上可知，当0＜a ＜ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a ．(1)在闭区间上图象连续的函数一定存在最大值和最小值，在不是闭区间的情况下，函数在这个区间上的最大值和最小值可能都存在，也可能只存在一个，或既无最大值也无最小值；(2)在一个区间上，如果函数只有一个极值点，则这个极值点就是最值点．1．若函数f (x )＝xx 2＋a(a ＞0)在(e 为自然对数的底数)上的最大值．解：(1)当x ＜1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：＝3．(2)①当－1≤x ＜1时，由(1)知，函数f (x )在和⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上单调递增．因为f (－1)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝427，f (0)＝0，所以f (x )在上单调递增， 则f (x )在上的最大值为f (e)＝a ．综上所述，当a ≥2时，f (x )在上的最大值为a ； 当a ＜2时，f (x )在上的最大值为2． 3．已知函数f (x )＝ax －1－ln x (a ∈R)． (1)讨论函数f (x )在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥bx －2恒成立，求实数b 的取值范围．解：(1)由已知得f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x(x ＞0)．当a ≤0时，f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴f (x )在(0，＋∞)上没有极值点． 当a ＞0时，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜1a，由f ′(x )＞0，得x ＞1a，∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，即f (x )在x ＝1a处有极小值．∴当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上没有极值点， 当a ＞0时，f (x )在(0，＋∞)上有一个极值点． (2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝0，解得a ＝1，∴f (x )≥bx －2⇒1＋1x －ln xx≥b ，令g (x )＝1＋1x －ln x x ，则g ′(x )＝ln x －2x2， 令g ′(x )＝0，得x ＝e 2．则g (x )在(0，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增， ∴g (x )min ＝g (e 2)＝1－1e 2，即b ≤1－1e 2，故实数b 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－1e 2．4．已知方程f (x )·x 2－2ax ＋f (x )－a 2＋1＝0，其中a ∈R ，x ∈R ． (1)求函数f (x )的单调区间； (2)若函数f (x )在．当a ＜0时，由(1)得，f (x )在(0，－a )上单调递减，在(－a ，＋∞)上单调递增，所以f (x )在．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪(0,1]． 5．设函数f (x )＝x 2－ax ＋b ． (1)讨论函数f (sin x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；(2)记f 0(x )＝x 2－a 0x ＋b 0，求函数|f (sin x )－f 0(sin x )|在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值D ； (3)在(2)中，取a 0＝b 0＝0，求z ＝b －a 24满足条件D ≤1时的最大值．解：(1)由题意，f (sin x )＝sin 2x －a sin x ＋b ＝sin x (sin x －a )＋b ，则f ′(sin x )＝(2sin x －a )cos x ， 因为－π2＜x ＜π2，所以cos x ＞0，－2＜2sin x ＜2． ①a ≤－2，b ∈R 时，函数f (sin x )单调递增，无极值； ②a ≥2，b ∈R 时，函数f (sin x )单调递减，无极值；③对于－2＜a ＜2，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内存在唯一的x 0，使得2sin x 0＝a ． －π2＜x ≤x 0时，函数f (sin x )单调递减； x 0≤x ＜π2时，函数f (sin x )单调递增．因此，－2＜a ＜2，b ∈R 时，函数f (sin x )在x 0处有极小值f (sin x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝b －a 24． (2)当－π2≤x ≤π2时，|f (sin x )－f 0(sin x )|＝|(a 0－a )sin x ＋b －b 0|≤|a －a 0|＋|b－b 0|，当(a 0－a )(b －b 0)≥0，x ＝π2时等号成立，当(a 0－a )(b －b 0)＜0时，x ＝－π2时等号成立． 由此可知，|f (sin x )－f 0(sin x )|在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值为D ＝|a －a 0|＋|b －b 0|． (3)D ≤1即为|a |＋|b |≤1，此时0≤a 2≤1，－1≤b ≤1，从而z ＝b －a 24≤1．取a ＝0，b ＝1，则|a |＋|b |≤1，并且z ＝b －a 24＝1．由此可知，z ＝b －a 24满足条件D ≤1的最大值为1．6．已知函数f (x )＝x －1x，g (x )＝a ln x (a ∈R)．(1)当a ≥－2时，求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；(2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，且h (x )有两个极值点为x 1，x 2，其中x 1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，求h (x 1)－h (x 2)的最小值．解：(1)由题意得F (x )＝x －1x－a ln x (x ＞0)，则F ′(x )＝x 2－ax ＋1x2，令m (x )＝x 2－ax ＋1，则Δ＝a 2－4． ①当－2≤a ≤2时，Δ≤0，从而F ′(x )≥0， 所以F (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a ＞2时，Δ＞0，设F ′(x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42，所以F (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞，F (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42．综上，当－2≤a ≤2时，F (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； 当a ＞2时，F (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞，F (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42．(2)对h (x )＝x －1x＋a ln x ，x ∈(0，＋∞)求导得，h ′(x )＝1＋1x 2＋a x ＝x 2＋ax ＋1x 2，h ′(x )＝0的两根分别为x 1，x 2，则有x 1·x 2＝1，x 1＋x 2＝－a ，所以x 2＝1x 1，从而有a ＝－x 1－1x 1．令H (x )＝h (x )－h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝x －1x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ln x －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x －x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ·ln 1x＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ln x ＋x －1x ，即H ′(x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－1ln x ＝－x ＋x xx2(x ＞0)．当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，H ′(x )＜0，所以H (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，又H (x 1)＝h (x 1)－h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x1＝h (x 1)－h (x 2)，所以min ＝H ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝5ln 2－3． 第三课时 导数的综合应用(一)(2016·北京高考)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围； (3)求证：a 2－3b ＞0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件． (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ． 因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c ． (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4． 令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0， 解得x ＝－2或x ＝－23．f (x )与f ′(x )在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：所以当c ＞0且c －27＜0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23，x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0， 使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0．由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3227时， 函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点． (3)证明：当Δ＝4a 2－12b ＜0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＞0，x ∈(－∞，＋∞)，此时函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增， 所以f (x )不可能有三个不同零点． 当Δ＝4a 2－12b ＝0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 只有一个零点，记作x 0．当x ∈(－∞，x 0)时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递增；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(x 0，＋∞)上单调递增．所以f (x )不可能有三个不同零点． 综上所述，若函数f (x )有三个不同零点， 则必有Δ＝4a 2－12b ＞0．故a 2－3b ＞0是f (x )有三个不同零点的必要条件． 当a ＝b ＝4，c ＝0时，a 2－3b ＞0，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＝x (x ＋2)2只有两个不同零点，所以a 2－3b ＞0不是f (x )有三个不同零点的充分条件． 因此a 2－3b ＞0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．利用导数研究方程根的方法(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．(2)根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置．(3)通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．已知函数f (x )＝(2－a )x －2(1＋ln x )＋a ． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间．(2)若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，求a 的最小值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x －1－2ln x ， 则f ′(x )＝1－2x，其中x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )＞0，得x ＞2， 由f ′(x )＜0，得0＜x ＜2， 故f (x )的单调递减区间为(0,2)， 单调递增区间为(2，＋∞)． (2)f (x )＝(2－a )x －2(1＋ln x )＋a ＝(2－a )(x －1)－2ln x ，令m (x )＝(2－a )(x －1)，h (x )＝2ln x ，其中x ＞0， 则f (x )＝m (x )－h (x )．①当a ＜2时，m (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数，h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数， 结合图象知，若f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 即(2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1≥2ln 12， 所以a ≥2－4ln 2，所以2－4ln 2≤a ＜2．②当a ≥2时，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上m (x )≥0，h (x )＜0， 所以f (x )＞0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点． 由①②得a ≥2－4ln 2， 所以a min ＝2－4ln 2．设f (x )＝e x－1．(1)当x ＞－1时，证明：f (x )＞2x 2＋x －1x ＋1；(2)当a ＞ln 2－1且x ＞0时，证明：f (x )＞x 2－2ax ． (1)当x ＞－1时，f (x )＞2x 2＋x －1x ＋1，即e x－1＞2x 2＋x －1x ＋1＝2x －1，当且仅当e x＞2x ，即e x－2x ＞0恒成立时原不等式成立． 令g (x )＝e x－2x ，则g ′(x )＝e x－2． 令g ′(x )＝0，即e x－2＝0，解得x ＝ln 2．当x ∈(－∞，ln 2)时，g ′(x )＝e x－2＜0， 故函数g (x )在(－1，ln 2)上单调递减； 当x ∈对于最值与不等式的证明相结合试题的求解往往先对不等式进行化简，然后通过构造新函数，转化为函数的最值，利用导数来解决．解决此类问题应该注意三个方面：(1)在化简所证不等式的时候一定要注意等价变形，尤其是两边同时乘以或除以一个数或式的时候，注意该数或式的符号；(2)灵活构造函数，使研究的函数形式简单，便于计算最值；(3)在利用导数求解最值时要注意定义域的限制，且注意放缩法的灵活应用．(2017·兰州诊断)已知函数f(x)＝e x－ax－1(a为常数)，曲线y＝f(x)在与y轴的交点A处的切线斜率为－1．(1)求a的值及函数y＝f(x)的单调区间；(3)若x1＜ln 2，x2＞ln 2，且f(x1)＝f(x2)，试证明：x1＋x2＜2ln 2．解：(1)由f(x)＝e x－ax－1，得f′(x)＝e x－a．又f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2，所以f(x)＝e x－2x－1，f′(x)＝e x－2．由f′(x)＝e x－2＞0，得x＞ln 2．所以函数y＝f(x)在区间(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增．(2)证明：设x＞ln 2，所以2ln 2－x＜ln 2，f(2ln 2－x)＝e(2ln 2－x)－2(2ln 2－x)－1＝4e x＋2x－4ln 2－1．令g(x)＝f(x)－f(2ln 2－x)＝e x－4e x－4x＋4ln 2(x≥ln 2)，所以g′(x)＝e x＋4e－x－4≥0，当且仅当x＝ln 2时，等号成立，所以g(x)＝f(x)－f(2ln 2－x)在(ln 2，＋∞)上单调递增．又g(ln 2)＝0，所以当x＞ln 2时，g(x)＝f(x)－f(2ln 2－x)＞g(ln 2)＝0，即f(x)＞f(2ln 2－x)，所以f(x2)＞f(2ln 2－x2)，又因为f(x1)＝f(x2)，所以f(x1)＞f(2ln 2－x2)，由于x2＞ln 2，所以2ln 2－x2＜ln 2，因为x1＜ln 2，由(1)知函数y＝f(x)在区间(－∞，ln 2)上单调递减，所以x1＜2ln 2－x2，即x1＋x2＜2ln 2．设f (x )＝e x－a (x ＋1)．(1)若∀x ∈R ，f (x )≥0恒成立，求正实数a 的取值范围；(2)设g (x )＝f (x )＋ae x ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)是曲线y ＝g (x )上任意两点，若对任意的a ≤－1，直线AB 的斜率恒大于常数m ，求m 的取值范围．(1)因为f (x )＝e x－a (x ＋1)， 所以f ′(x )＝e x－a ． 由题意，知a ＞0， 故由f ′(x )＝e x －a ＝0， 解得x ＝ln a ．故当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )的最小值为f (ln a )＝eln a－a (ln a ＋1)＝－a ln a ．由题意，若∀x ∈R ，f (x )≥0恒成立， 即f (x )＝e x－a (x ＋1)≥0恒成立， 故有－a ln a ≥0，又a ＞0，所以ln a ≤0，解得0＜a ≤1． 所以正实数a 的取值范围为(0,1]． (2)设x 1，x 2是任意的两个实数，且x 1＜x 2． 则直线AB 的斜率为k ＝g x 2－g x 1x 2－x 1，由已知k ＞m ， 即g x 2－g x 1x 2－x 1＞m ．因为x 2－x 1＞0，所以g (x 2)－g (x 1)＞m (x 2－x 1)， 即g (x 2)－mx 2＞g (x 1)－mx 1． 因为x 1＜x 2，所以函数h (x )＝g (x )－mx 在R 上为增函数， 故有h ′(x )＝g ′(x )－m ≥0恒成立， 所以m ≤g ′(x )．而g ′(x )＝e x－a －ae x ，又a ≤－1＜0， 故g ′(x )＝e x＋－a ex －a ≥2e x·－a ex －a＝2－a －a ．而2－a －a ＝2－a ＋(－a )2＝(－a ＋1)2－1≥3，所以m 的取值范围为(－∞，3]．解决该类问题的关键是根据已知不等式的结构特征灵活选用相应的方法，由不等式恒成立求解参数的取值范围问题一般采用分离参数的方法．而第(2)问则巧妙地把直线的斜率与导数问题结合在一起，命题思路比较新颖，解决此类问题需将已知不等式变形为两个函数值的大小问题，进而构造相应的函数，通过导函数研究其单调性解决．已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3．(1)若对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围． (2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，ln x ＞1e x －2e x恒成立．解：(1)由题意知2x ln x ≥－x 2＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)恒成立， 则a ≤2ln x ＋x ＋3x，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0)，则h ′(x )＝x ＋x －x2．①当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减； ②当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增． 所以h (x )min ＝h (1)＝4，对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立， 所以a ≤h (x )min ＝4，即实数a 的取值范围是(－∞，4]．(2)问题等价于证明x ln x ＞x e x －2e(x ＞0)．又f (x )＝x ln x (x ＞0)，f ′(x )＝ln x ＋1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ．设m (x )＝x e x －2e(x ＞0)，则m ′(x )＝1－xex ，当x ∈(0,1)时，m ′(x )＞0，m (x )单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，m ′(x )＜0，m (x )单调递减， 所以m (x )max ＝m (1)＝－1e，从而对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )＞m (x )恒成立， 即x ln x ＞x e x －2e恒成立．即对一切x ∈(0，＋∞)，ln x ＞1e x －2e x恒成立．1．设函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋x －a －1(a ∈R)． (1)当a ＝－12时，求函数f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥0时，不等式f (x )≥x －1在(e 是自然对数的底数)时，不等式f (x )－g (x )＜3恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝4时，f (x )＝4x －4x ，f ′(x )＝4＋4x2，f ′(2)＝5，又f (2)＝6，∴所求切线方程为y －6＝5(x －2)， 即y ＝5x －4．(2)由题意知，x ∈(1，e]时，mx －mx－3ln x ＜3恒成立，即m (x 2－1)＜3x ＋3x ln x 恒成立， ∵x ∈(1，e]，∴x 2－1＞0，则m ＜3x ＋3x ln xx 2－1恒成立．令h (x )＝3x ＋3x ln xx 2－1，x ∈(1，e]，则m ＜h (x )min ．h ′(x )＝－x 2＋x －6x 2－2＝－x 2＋x ＋6x 2－2，∵x ∈(1，e]， ∴h ′(x )＜0，即h (x )在(1，e]上是减函数． ∴当x ∈(1，e]时，h (x )min ＝h (e)＝9e －．∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，9e 2e －2．3．(2017·广西质检)设函数f (x )＝c ln x ＋12x 2＋bx (b ，c ∈R ，c ≠0)，且x ＝1为f (x )的极值点．(1)若x ＝1为f (x )的极大值点，求f (x )的单调区间(用c 表示)； (2)若f (x )＝0恰有两解，求实数c 的取值范围．解：f ′(x )＝c x ＋x ＋b ＝x 2＋bx ＋cx(x ＞0)，又f ′(1)＝0，所以f ′(x )＝x －x －cx(x ＞0)且c ≠1，b ＋c ＋1＝0．(1)因为x ＝1为f (x )的极大值点，所以c ＞1， 当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0； 当1＜x ＜c 时，f ′(x )＜0； 当x ＞c 时，f ′(x )＞0，所以f (x )的单调递增区间为(0,1)，(c ，＋∞)；单调递减区间为(1，c )． (2)①若c ＜0，则f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．f (x )＝0恰有两解，则f (1)＜0，即12＋b ＜0，所以－12＜c ＜0；②若0＜c ＜1，则f (x )极大值＝f (c )＝c ln c ＋12c 2＋bc ，f (x )极小值＝f (1)＝12＋b ，因为b ＝－1－c ，则f (x )极大值＝c ln c ＋c 22＋c (－1－c )＝c ln c －c －c 22＜0，f (x )极小值＝－12－c ＜0，从而f (x )＝0只有一解；③若c ＞1，则f (x )极小值＝c ln c ＋c 22＋c (－1－c )＝c ln c －c －c 22＜0，f (x )极大值＝－12－c ＜0，则f (x )＝0只有一解．综上，使f (x )＝0恰有两解的c 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0． 4．(2017·福建省质检)已知函数f (x )＝ax －ln(x ＋1)，g (x )＝e x－x －1．曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在原点处的切线相同．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ≥0时，g (x )≥kf (x )，求k 的取值范围． 解：(1)因为f ′(x )＝a －1x ＋1(x ＞－1)，g ′(x )＝e x－1， 依题意，f ′(0)＝g ′(0)，即a －1＝0，解得a ＝1， 所以f ′(x )＝1－1x ＋1＝x x ＋1， 当－1＜x ＜0时，f ′(x )＜0；当x ＞0时，f ′(x )＞0． 故f (x )的单调递减区间为(－1,0)，单调递增区间为(0，＋∞)． (2)由(1)知，当x ＝0时，f (x )取得最小值0， 所以f (x )≥0，即x ≥ln(x ＋1)，从而e x≥x ＋1． 设F (x )＝g (x )－kf (x )＝e x＋k ln(x ＋1)－(k ＋1)x －1， 则F ′(x )＝e x＋k x ＋1－(k ＋1)≥x ＋1＋kx ＋1－(k ＋1)， (ⅰ)当k ＝1时，因为x ≥0，所以F ′(x )≥x ＋1＋1x ＋1－2≥0(当且仅当x ＝0时等号成立)，此时F (x )在．5．(2016·石家庄质检)已知函数f (x )＝－x 3＋ax －14，g (x )＝e x－e(e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线与曲线y ＝g (x )在(0，g (0))处的切线互相垂直，求实数a 的值；(2)设函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，f x g x ，g x ，f x ＜g x ，试讨论函数h (x )零点的个数．解：(1)由已知，f ′(x )＝－3x 2＋a ，g ′(x )＝e x， 所以f ′(0)＝a ，g ′(0)＝1， 由题意，知a ＝－1．(2)易知函数g (x )＝e x－e 在R 上单调递增，仅在x ＝1处有一个零点，且x ＜1时，g (x )＜0，又f ′(x )＝－3x 2＋a ，①当a ≤0时，f ′(x )≤0，f (x )在R 上单调递减，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，f (－1)＝34－a ＞0，即f (x )在x ≤0时必有一个零点， 此时y ＝h (x )有两个零点；②当a ＞0时，令f ′(x )＝－3x 2＋a ＝0， 两根为x 1＝－a3＜0，x 2＝ a3＞0，则－ a3是函数f (x )的一个极小值点，a3是函数f (x )的一个极大值点，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ a 3＝－⎝⎛⎭⎪⎫－ a 33＋a ⎝⎛⎭⎪⎫－ a 3－14＝－2a3a 3－14＜0； 现在讨论极大值的情况：fa3＝－a 33＋aa 3－14＝2a3a 3－14， 当fa3＜0，即a ＜34时， 函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上恒小于零， 此时y ＝h (x )有两个零点； 当fa3＝0，即a ＝34时，函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上有一个零点x 0＝ a 3＝12，此时y ＝h (x )有三个零点； 当fa3＞0，即a ＞34时， 函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上有两个零点，一个零点小于a3，一个零点大于a3，若f (1)＝－1＋a －14＜0，即a ＜54时，y ＝h (x )有四个零点；若f (1)＝－1＋a －14＝0，即a ＝54时，y ＝h (x )有三个零点；若f (1)＝－1＋a －14＞0，即a ＞54时，y ＝h (x )有两个零点．综上所述：当a ＜34或a ＞54时，y ＝h (x )有两个零点；当a ＝34或a ＝54时，y ＝h (x )有三个零点；当34＜a ＜54时，y ＝h (x )有四个零点． 6．已知函数f (x )＝ax ＋b ln x ＋1，此函数在点(1，f (1))处的切线为x 轴． (1)求函数f (x )的单调区间和最大值； (2)当x ＞0时，证明：1x ＋1＜ln x ＋1x ＜1x； (3)已知n ∈N *，n ≥2，求证：12＋13＋…＋1n ＜ln n ＜1＋12＋…＋1n －1．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f＝0，f ＝0，因为f ′(x )＝a ＋bx，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝0，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝－x ＋ln x ＋1．即f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx，又函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，当x ＞1时，f ′(x )＜0． 故函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)， 函数f (x )的最大值为f (1)＝0．(2)证明：由(1)知f (x )＝－x ＋ln x ＋1， 且f (x )≤0(当且仅当x ＝1时取等号)， 所以ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时取等号)． 当x ＞0时，由x ＋1x ≠1，得ln x ＋1x ＜x ＋1x －1＝1x； 由x x ＋1≠1，得lnx x ＋1＜xx ＋1－1＝－1x ＋1⇒－ln x x ＋1＞1x ＋1⇒ln x ＋1x ＞1x ＋1． 故当x ＞0时，1x ＋1＜ln x ＋1x ＜1x． (3)证明：由(2)可知， 当x ＞0时，1x ＋1＜ln x ＋1x ＜1x． 取x ＝1,2，…，n －1，n ∈N *，n ≥2， 将所得各式相加，得12＋13＋…＋1n ＜ln 21＋ln 32＋…＋ln n n －1＜1＋12＋…＋1n －1， 故12＋13＋…＋1n ＜ln n ＜1＋12＋…＋1n －1．第四课时 导数的综合应用(二)设f (x )＝ax＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3．(1)如果存在x 1，x 2∈，使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；(2)如果对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围． (1)存在x 1，x 2∈， 使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立， 等价于max ≥M ．由g (x )＝x 3－x 2－3，得g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23．由g ′(x )＜0，解得0＜x ＜23；由g ′(x )＞0，解得x ＜0或x ＞23．又x ∈，所以g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上单调递减，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上单调递增， 又g (0)＝－3，g (2)＝1， 故g (x )max ＝g (2)＝1，g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－8527． 所以max＝g (x )max －g (x )min ＝1＋8527＝11227≥M ，则满足条件的最大整数M ＝4．(2)对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， 都有f (s )≥g (t )成立，等价于在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上， 函数f (x )min ≥g (x )max ．由(1)可知在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，g (x )的最大值为g (2)＝1． 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，f (x )＝a x ＋x ln x ≥1恒成立等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立．设h (x )＝x －x 2ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则h ′(x )＝1－2x ln x －x ，易知h ′(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数， 又h ′(1)＝0，所以当1＜x ＜2时，h ′(x )＜0； 当12＜x ＜1时，h ′(x )＞0． 所以函数h (x )＝x －x 2ln x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，在区间上单调递减，所以h (x )max ＝h (1)＝1， 所以实数a 的取值范围是等价转化法求解双参数不等式双参数不等式问题的求解方法一般采用等价转化法．本例第(1)问是“存在性”问题，转化方法是：如果存在x 1，x 2∈使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，则可转化为M ≤max ，即求解使不等式M ≤g (x )max －g (x )min 成立时的M 的最大取值；第(2)问是“恒成立”问题，转化方法是：如果对于任意的x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (x 1)≥g (x 2)成立，则可转化为在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，f (x )min ≥g (x )max ，求解得到实数a 的取值范围．已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－ax－1(a ∈R)．(1)当0＜a ＜12时，讨论f (x )的单调性；(2)设g (x )＝x 2－2bx ＋4．当a ＝14时，若对任意x 1∈(0,2)，存在x 2∈，使f (x 1)≥g (x 2)，求实数b 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－ax－1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－ax 2，x ∈(0，＋∞)，令f ′(x )＝0，可得两根分别为1，1a－1，因为0＜a ＜12，所以1a－1＞1＞0，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，1a－1时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1，＋∞时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．(2)a ＝14∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1a－1＝3∉(0,2)，由(1)知，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，所以f (x )在(0,2)上的最小值为f (1)＝－12．对任意x 1∈(0,2)，存在x 2∈，使f (x 1)≥g (x 2)等价于g (x )在上的最小值不大于f (x )。
压轴题命题区间(三)三角函数与平面向量已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2．(1)求f (x )的最大值和最小值；(2)若不等式－2＜f (x )－m ＜2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上恒成立，求实数m 的取值范围．(1)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以π6≤2x －π3≤2π3，故2≤1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤3， 所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝3，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2． (2)因为－2＜f (x )－m ＜2⇔f (x )－2＜m ＜f (x )＋2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以m ＞f (x )max －2且m ＜f (x )min ＋2．又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，f (x )max ＝3，f (x )min ＝2， 所以1＜m ＜4，即m 的取值范围是(1,4)．本题求解的关键在于将三角函数f (x )进行正确的“化一”及“化一”后角的范围的确定，因此，求解时要准确运用三角公式，并借助三角函数的图象和性质去确定函数f (x )的最值．已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(A ＞0，ω＞0)，g (x )＝tan x ，它们的最小正周期之积为2π2，f (x )的最大值为2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π4． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)设h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x ，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ，π3时，h (x )的最小值为3，求a 的值．解：(1)由题意得2πω·π＝2π2，所以ω＝1．又A ＝2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π4＝2tan 17π4＝2tan π4＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4． 由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z)． 故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z)． (2)h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x＝32×4sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋23cos 2x＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋3(cos 2x ＋1)＝3＋3＋3sin 2x ＋3cos 2x ＝3＋3＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6． 因为h (x )的最小值为3， 令3＋3＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝3⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12． 因为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ，π3， 所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ＋π6，5π6，所以2a ＋π6＝－π6，即a ＝－π6．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，且2b －c a ＝cos Ccos A ．(1)求A 的大小；(2)当a ＝3时，求b 2＋c 2的取值范围． (1)已知在△ABC 中，2b －c a ＝cos Ccos A ，由正弦定理， 得2sin B －sin C sin A ＝cos Ccos A，即2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， 所以cos A ＝12，所以A ＝60°． (2)由正弦定理， 得asin A＝bsin B＝csin C＝2，则b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， 所以b 2＋c 2＝4sin 2B ＋4sin 2C ＝2(1－cos 2B ＋1－cos 2C ) ＝2 ＝2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12cos 2B ＋32sin 2B＝4＋2sin(2B －30°)． 因为0°＜B ＜120°，所以－30°＜2B －30°＜210°， 所以－12＜sin(2B －30°)≤1，所以3＜b 2＋c 2≤6．即b 2＋c 2的取值范围是(3,6]．三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边、角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π6． (1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若f (A )＝32，b ＋c ＝2，求实数a的最小值．解：(1)∵f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π6 ＝(1＋cos 2x )－⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6 ＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6． ∴函数f (x )的最大值为2． 要使f (x )取最大值，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1， ∴2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ， 解得x ＝k π＋π6，k ∈Z ．故f (x )取最大值时x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π6，k ∈Z． (2)由题意知，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32， 化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12．∵A ∈(0，π)， ∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3． 在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc ．由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝1，当且仅当b ＝c ＝1时等号成立． 即a 2≥1．∴当b ＝c ＝1时，实数a 的最小值为1．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A ．2－1B ．1C ． 2D ．2法一：(目标不等式法)因为|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝0， 所以|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2， 故|a ＋b |＝2．展开(a －c )·(b －c )≤0， 得a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2≤0， 即0－(a ＋b )·c ＋1≤0， 整理，得(a ＋b )·c ≥1．而|a ＋b －c |2＝(a ＋b )2－2(a ＋b )·c ＋c 2＝3－2(a ＋b )·c ，所以3－2(a ＋b )·c ≤3－2×1＝1． 所以|a ＋b －c |2≤1， 即|a ＋b －c |≤1，故|a ＋b －c |的最大值为1． 法二：(基向量法)取向量a ，b 作为平面向量的一组基底， 设c ＝ma ＋nb ．由|c |＝1，即|ma ＋nb |＝1， 可得(ma )2＋(nb )2＋2mna ·b ＝1， 由题意，知|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0． 整理，得m 2＋n 2＝1．而a －c ＝(1－m )a －nb ，b －c ＝－ma ＋(1－n )b ， 故由(a －c )·(b －c )≤0， 得·≤0，展开，得m (m －1)a 2＋n (n －1)b 2≤0， 即m 2－m ＋n 2－n ≤0， 又m 2＋n 2＝1， 故m ＋n ≥1．而a ＋b －c ＝(1－m )a ＋(1－n )b ， 故|a ＋b －c |2＝2＝(1－m )2a 2＋2(1－m )(1－n )a ·b ＋(1－n )2b 2＝(1－m )2＋(1－n )2＝m 2＋n 2－2(m ＋n )＋2 ＝3－2(m ＋n )． 又m ＋n ≥1，所以3－2(m ＋n )≤1． 故|a ＋b －c |2≤1， 即|a ＋b －c |≤1．故|a ＋b －c |的最大值为1． 法三：(坐标法)因为|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0， 所以a ，b ＝π2．设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ， 因为a ⊥b ， 所以OA ⊥OB ．分别以OA ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图(1)所示， 则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)， 则A (1,0)，B (0,1)．设C (x ，y )，则c ＝(x ，y )，且x 2＋y 2＝1．则a －c ＝(1－x ，－y )，b －c ＝(－x,1－y )，故由(a －c )·(b －c )≤0，得(1－x )×(－x )＋(－y )×(1－y )≤0， 整理，得1－x －y ≤0， 即x ＋y ≥1．而a ＋b －c ＝(1－x,1－y )， 则|a ＋b －c |＝－x2＋－y2＝3－x ＋y ．因为x ＋y ≥1，所以3－2(x ＋y )≤1， 即|a ＋b －c |≤1．所以|a ＋b －c |的最大值为1． 法四：(三角函数法)因为|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0， 所以a ，b ＝π2．设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ， 因为a ⊥b ，所以OA ⊥OB ．分别以OA ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系， 如图(1)所示，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，A (1,0)，B (0,1)． 因为|c |＝1，设∠COA ＝θ，所以C 点的坐标为(cos θ，sin θ)．则a －c ＝(1－cos θ，－sin θ)，b －c ＝(－cos θ，1－sin θ)， 故由(a －c )·(b －c )≤0，得(1－cos θ)×(－cos θ)＋(－sin θ)×(1－sin θ)≤0， 整理，得sin θ＋cos θ≥1．而a ＋b －c ＝(1－cos θ，1－sin θ)， 则|a ＋b －c |＝－cos θ2＋－sin θ2＝3－θ＋cos θ．因为sin θ＋cos θ≥1， 所以3－2(sin θ＋cos θ)≤1， 即|a ＋b －c |≤1，所以|a ＋b －c |的最大值为1． 法五：(数形结合法)设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ， 因为|a |＝|b |＝|c |＝1，所以点A ，B ，C 在以O 为圆心、1为半径的圆上． 易知CA ―→＝a －c ，CB ―→＝b －c ，|c |＝|OC ―→|．由(a －c )·(b －c )≤0， 可得CA ―→·CB ―→≤0，则π2≤∠BCA ＜π(因为A ，B ，C 在以O 为圆心的圆上，所以A ，B ，C 三点不能共线，即∠BCA ≠π)，故点C 在劣弧AB 上． 由a ·b ＝0，得OA ⊥OB ， 设OD ―→＝a ＋b ，如图(2)所示， 因为a ＋b －c ＝OD ―→－OC ―→＝CD ―→， 所以|a ＋b －c |＝|CD ―→|，即|a ＋b －c |为点D 与劣弧AB 上一点C 的距离， 显然，当点C 与A 或B 点重合时，CD 最长且为1， 即|a ＋b －c |的最大值为1． B平面向量具有双重性，处理平面向量问题一般可以从两个角度进行： (1)利用其“形”的特征，将其转化为平面几何的有关知识进行解决； (2)利用其“数”的特征，通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决．1．在△ABD 中，AB ＝2，AD ＝22，E ，C 分别在线段AD ，BD 上，且AE ＝13AD ，BC ＝34BD ，AC ―→·BE ―→＝113，则∠BAD 的大小为( )A ．π6B ．π4C ．π2D ．3π4解析：选D 依题意，AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝AB ―→＋34BD ―→＝AB ―→＋34(AD ―→－AB ―→)＝14AB ―→＋34AD ―→，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝13AD ―→－AB ―→，所以AC ―→·BE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB ―→＋34AD ―→ ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AD ―→－AB ―→＝－14|AB ―→|2＋14|AD ―→|2－23AD ―→·AB ―→＝－14×22＋14×(22)2－23AD ―→·AB ―→＝113，所以AD ―→·AB ―→＝－4，所以cos ∠BAD ＝AD ―→·AB ―→|AD ―→|·|AB ―→|＝－42×22＝－22，因为0＜∠BAD ＜π， 所以∠BAD ＝3π4．2．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°．动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ―→＝λBC ―→，DF ―→＝19λDC ―→，则AE ―→·AF ―→的最小值为________．解析：法一：(等价转化思想) 因为DF ―→＝19λDC ―→，DC ―→＝12AB ―→，CF ―→＝DF ―→－DC ―→＝19λDC ―→－DC ―→＝1－9λ9λDC ―→＝1－9λ18λAB ―→，AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋λBC ―→，AF ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CF ―→＝AB ―→＋BC ―→＋1－9λ18λAB ―→＝1＋9λ18λAB ―→＋BC ―→． 所以AE ―→·AF ―→＝(AB ―→＋λBC ―→)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9λ18λAB ―→＋BC ―→＝1＋9λ18λAB ―→2＋λBC ―→2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋λ·1＋9λ18λAB ―→·BC ―→＝1＋9λ18λ×4＋λ＋19＋9λ18×2×1×cos 120° ＝29λ＋12λ＋1718≥2 29λ·12λ＋1718＝2918， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时，AE ―→·AF ―→的最小值为2918．法二：(坐标法)以线段AB 的中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－1,0)，B (1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，所以AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋λBC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ，AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝AD ―→＋19λDC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32，所以AE ―→·AF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋32×32λ ＝1718＋λ2＋29λ≥1718＋2 λ2·29λ＝2918， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时，AE ―→·AF ―→的最小值为2918．答案：29181．(2017·宜春中学与新余一中联考)已知等腰△OAB 中，|OA |＝|OB |＝2，且|OA ―→＋OB ―→|≥33|AB ―→|，那么OA ―→·OB ―→的取值范围是( ) A ．解析：选A 依题意，(OA ―→＋OB ―→)2≥13(OB ―→－OA ―→)2，化简得OA ―→·OB ―→≥－2，又根据三角形中，两边之差小于第三边， 可得|OA ―→|－|OB ―→|＜|AB ―→|＝|OB ―→－OA ―→|， 两边平方可得(|OA ―→|－|OB ―→|)2＜(OB ―→－OA ―→)2， 化简可得OA ―→·OB ―→＜4，∴－2≤OA ―→·OB ―→＜4．2．(2017·江西赣南五校二模)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO ―→＝AB ―→＋AC ―→且|OA ―→|＝|AB ―→|，则向量BA ―→在BC ―→方向上的投影为( )A ．12B ．32 C ．－12D ．－32解析：选A 由2AO ―→＝AB ―→＋AC ―→可知O 是BC 的中点， 即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|，由题意知|OA ―→|＝|AB ―→|＝1， 故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°．所以向量BA ―→在BC ―→方向上的投影为|BA ―→|·cos∠ABC ＝1×cos 60°＝12．故选A ．3．(2017·石家庄质检)设α，β∈，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．解析：选C ∵sin αcos β－cos αsin β＝1， 即sin(α－β)＝1，α，β∈， ∴α－β＝π2，又⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，则π2≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin (α－2β) ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4， ∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤5π4， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，即所求取值范围为．故选C ．4．(2016·湖南岳阳一中4月月考)设a ，b 为单位向量，若向量c 满足|c －(a ＋b )|＝|a －b |，则|c |的最大值是( )A ．1B ． 2C ．2D ．2 2解析：选D ∵向量c 满足|c －(a ＋b )|＝|a －b |， ∴|c －(a ＋b )|＝|a －b |≥|c |－|a ＋b |， ∴|c |≤|a ＋b |＋|a －b |≤a ＋b |2＋|a －b |2＝a 2＋2b 2＝22．当且仅当|a ＋b |＝|a －b |，即a ⊥b 时，(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝22． ∴|c |≤22．∴|c |的最大值为22． 5．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝sin2ωx 2＋12sin ωx －12(ω＞0)，x ∈R ．若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，1 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，58 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58 解析：选D f (x )＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12(sin ωx －cos ωx )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4．因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点， 所以T2＞2π－π，即πω＞π，所以0＜ω＜1． 当x ∈(π，2π)时，ωx －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，若函数f (x )在区间(π，2π)内有零点，则ωπ－π4＜k π＜2ωπ－π4(k ∈Z)，即k 2＋18＜ω＜k ＋14(k ∈Z)． 当k ＝0时，18＜ω＜14；当k ＝1时，58＜ω＜54．所以函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点时， 0＜ω≤18或14≤ω≤58．6．(2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，k 2∈Z ，则ω＝2k ＋1，k ∈Z ，φ＝π4或φ＝－π4． 若ω＝11，则φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫11x －π4，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减，不满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调；若ω＝9，则φ＝π4， 此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调递减，故选B ． 7．(2016·贵州适应性考试)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a 2＋c 2＝ac ＋b 2，b ＝3，且a ≥c ，则2a －c 的最小值是________．解析：由a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ＝ac ，所以cos B ＝12，则B ＝60°，又a ≥c ，则A ≥C ＝120°－A ， 所以60°≤A ＜120°，asin A ＝c sin C ＝b sin B ＝332＝2， 则2a －c ＝4sin A －2sin C ＝4sin A －2sin(120°－A ) ＝23sin(A －30°)，当A ＝60°时，2a －c 取得最小值3． 答案： 38．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝12c ，当tan(A－B )取最大值时，角B 的值为______．解析：由a cos B －b cos A ＝12c 及正弦定理，得sin A cos B －sin B cos A ＝12sin C＝12sin(A ＋B )＝12(sin A cos B ＋cos A sin B )， 整理得sin A cos B ＝3cos A sin B ， 即tan A ＝3tan B ， 易得tan A ＞0，tan B ＞0， ∴tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝2tan B1＋3tan 2B＝21tan B＋3tan B ≤223＝33， 当且仅当1tan B ＝3tan B ，即tan B ＝33时，tan(A －B )取得最大值， 此时B ＝π6．答案：π69．(2016·浙江高考)已知向量a ，b ，|a|＝1，|b |＝2．若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．解析：由于e 是任意单位向量，可设e ＝a ＋b |a ＋b |，则|a ·e |＋|b ·e |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪aa ＋b |a ＋b |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋b |a ＋b |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a a ＋b |a ＋b |＋b a ＋b |a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋ba ＋b |a ＋b |＝|a ＋b |． ∵|a ·e |＋|b ·e |≤6，∴|a ＋b |≤6， ∴(a ＋b )2≤6，∴|a |2＋|b |2＋2a ·b ≤6． ∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋4＋2a ·b ≤6， ∴a ·b ≤12，∴a ·b 的最大值为12．答案：1210．(2017·湖北省七市(州)协作体联考)已知函数f (x )＝2sin x ＋6cos x (x ∈R)． (1)若α∈且f (α)＝2，求α；(2)先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到的图象关于直线x ＝3π4对称，求θ的最小值．解：(1)f (x )＝2sin x ＋6cos x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3． 由f (α)＝2，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝22，即α＋π3＝2k π＋π4或α＋π3＝2k π＋3π4，k ∈Z ．于是α＝2k π－π12或α＝2k π＋5π12，k ∈Z ．又α∈， 故α＝5π12．(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象， 再将y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长度， 得到y ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象． 由于y ＝sin x 的图象关于直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)对称，令2x －2θ＋π3＝k π＋π2， 解得x ＝k π2＋θ＋π12，k ∈Z ． 由于y ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象关于直线x ＝3π4对称， 令k π2＋θ＋π12＝3π4， 解得θ＝－k π2＋2π3，k ∈Z ． 由θ＞0可得，当k ＝1时，θ取得最小值π6． 11．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －sinB sinC ．(1)求角A ；(2)若a ＝23，求b ＋c 的取值范围．解：(1)由正弦定理及sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，知a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12．又0＜A ＜π2，所以A ＝π3． (2)由(1)知A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，所以B ＝2π3－C ．因为a ＝23，所以23sinπ3＝b sin B ＝c sin C ，所以b ＝4sin B ，c ＝4sin C ，所以b ＋c ＝4sin B ＋4sin C ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C ＋4sin C ＝23(cos C ＋3sin C )＝43sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6．因为△ABC 是锐角三角形， 所以0＜B ＝2π3－C ＜π2，所以π6＜C ＜π2，所以π3＜C ＋π6＜2π3，所以32＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6≤1，所以6＜43sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6≤43． 故b ＋c 的取值范围为(6,43]．12．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a cos B ＝2c －b ． (1)若cos(A ＋C )＝－5314，求cos C 的值；(2)若b ＝5，AC ―→·CB ―→＝－5，求△ABC 的面积；(3)若O 是△ABC 外接圆的圆心，且cos B sin C ·AB ―→＋cos C sin B ·AC ―→＝m AO ―→，求m 的值．解：(1)由2a cos B ＝2c －b ， 得2sin A cos B ＝2sin C －sin B ， 即2sin A cos B ＝2sin(A ＋B )－sin B ， 整理得2cos A sin B ＝sin B ．∵sin B ≠0，故cos A ＝12，则A ＝60°．由cos(A ＋C )＝－cos B ＝－5314， 知cos B ＝5314， 所以sin B ＝1114． 所以cos C ＝cos(120°－B )＝－12cos B ＋32sin B ＝3314．(2)AC ―→·CB ―→＝AC ―→·(AB ―→－AC ―→) ＝AC ―→·AB ―→－AC ―→2＝|AC ―→|·|AB ―→|·cos A －|AC ―→|2 ＝12bc －b 2＝－5， 又b ＝5，解得c ＝8， 所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×5×8×32＝103． (3)由cos B sin C ·AB ―→＋cos C sin B·AC ―→＝m AO ―→， 可得cos B sin C ·AB ―→·AO ―→＋cos C sin B ·AC ―→·AO ―→＝m AO ―→2，(*)因为O 是△ABC 外接圆的圆心，所以AB ―→·AO ―→＝12AB ―→2，AC ―→·AO ―→＝12AC ―→2，又|AO ―→|＝a2sin A，所以(*)可化为cos B sin C ·c 2＋cos C sin B ·b 2＝12m ·a 2sin 2A ，所以m ＝2(cos B sin C ＋sin B cos C )＝2sin(B ＋C ) ＝2sin A ＝3．。
