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江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：1. 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2，其中x －＝1n ∑i ＝1nx i ；2. 锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合A ＝{x|－1≤x ≤1}，则A ∩Z ＝______________．2. 若复数z ＝(1－i)(m ＋2i)(i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为____________．3. 数据10，6，8，5，6的方差s 2＝____________．4. 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记落在桌面的底面上的数字分别为x ，y ，则xy为整数的概率是________．(第6题)5. 已知双曲线x 2－y 2m2＝1(m ＞0)的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，则m ＝______________．6. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是__________．7. 底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为____________．8. 在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 7＝__________．9. 已知|a|＝1，|b|＝2，a ＋b ＝(1，2)，则向量a ，b 的夹角为____________． 10. 直线ax ＋y ＋1＝0被圆x 2＋y 2－2ax ＋a ＝0截得的弦长为2，则实数a 的值是____________．11. 已知函数f(x)＝－x 2＋2x ，则不等式f(log 2x)＜f(2)的解集为__________．12. 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，若所得的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，则φ的最小值为____________．13. 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值为____________．14. 已知函数f(x)＝e x －1＋x －2(e 为自然对数的底数)，g(x)＝x 2－ax －a ＋3，若存在实数x 1，x 2，使得f(x 1)＝g(x 2)＝0，且|x 1－x 2|≤1，则实数a 的取值范围是____________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝4，c ＝6，且asinB ＝2 3. (1) 求角A 的大小；(2) 若D 为BC 的中点，求线段AD 的长．16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AC 与BD 交于点O ，且平面PAC ⊥底面ABCD ，E 为棱PA 上一点．(1) 求证：BD ⊥OE ；(2) 若AB ＝2CD ，AE ＝2EP ，求证：EO ∥平面PBC.已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋k(n ∈N *，k ∈R )，且a 1＝2，a 3＋a 5＝－4. (1) 若k ＝0，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2) 若a 4＝－1，求数列{a n }的通项公式a n .18. (本小题满分16分)如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4 m ，最低点B 离地面2 m ，观察者从距离墙x m(x ＞1)，离地面高a m(1≤a ≤2)的C 处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB ＝θ.(1) 若a ＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？ (2) 若tan θ＝12，当a 变化时，求x 的取值范围．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且OP ⊥AF.(1) 若点P 坐标为(3，1)，求椭圆C 的方程；(2) 延长AF 交椭圆C 于点Q ，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍，求椭圆C 的离心率；(3) 求证：存在椭圆C ，使直线AF 平分线段OP.20. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝cosx ＋ax 2－1，a ∈R . (1) 求证：函数f(x)是偶函数；(2) 当a ＝1时，求函数f(x)在[－π，π]上的最值； (3) 若对于任意的实数x 恒有f(x)≥0，求实数a 的取值范围.(二)1. {－1，0，1} 解析：本题主要考查集合的运算．本题属于容易题．2. －2 解析：z ＝(1－i)(m ＋2i)＝ m ＋2＋(2－m)i 是纯虚数，则m ＝－2.本题主要考查纯虚数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. 165 解析：平均数为7，由方差公式得方差s 2＝165.本题考查了平均数及方差的概念及计算公式．本题属于容易题．4. 12 解析：本题的基本事件数为16，x y 为整数的的基本事件数为8，则所求的概率是12.本题考查古典概型，属于容易题．5. 33 解析：双曲线x 2－y 2m 2＝1(m ＞0)的一条渐近线方程为x ＋y m＝0，与x ＋3y ＝0是同一条直线，则m ＝33.本题考查了双曲线方程与其渐近线的方程之间的关系．本题属于容易题．6. －1 解析：由流程图知循环体执行8次，第1次循环S ＝12，n ＝2；第2次循环S＝－1，n ＝3；第3次循环S ＝2，n ＝4，…，第8次循环S ＝－1，n ＝9.本题考查了算法及流程图的基本内容．本题属于容易题．7. 43 解析：底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的高为1，底面积为4，则体积为43.本题考查了正四棱锥的体积公式．本题属于容易题．8. 4 解析：由a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，得q 3＝2，则a 7 ＝a 1(q 3)2＝4.本题考查了等比数列通项公式，以及项与项之间的关系．本题属于容易题．9. 23π 解析：由a ＋b ＝(1，2)，得(a ＋b )2＝3，则1＋4＋2a·b ＝3，a ·b ＝－1＝|a||b|cos θ，cos θ＝－12，则θ＝23π.本题考查了向量数量积的定义，模与坐标之间的关系．本题属于容易题．10. －2 解析：由圆x 2＋y 2－2ax ＋a ＝0的圆心(a ，0)，半径的平方为a 2－a ，圆心到直线ax ＋y ＋1＝0的距离的平方为a 2＋1，由勾股定理得a ＝－2.本题考查了点到直线的距离公式，以及利用垂径定理、勾股定理处理弦长问题．本题属于容易题．11. (0，1)∪(4，＋∞) 解析：∵ 二次函数f(x)＝－x 2＋2x 的对称轴为x ＝1，∴ f(0)＝f(2)，结合二次函数的图象可得log 2x<0或log 2x>2，解得0<x<1或x>4，∴ 解集为(0，1)∪(4，＋∞)．本题考查了二次函数的图象与性质，以及基本的对数不等式的解法．本题属于中等题．12. π6 解析：易知y ＝sin2(x ＋φ)，即y ＝sin(2x ＋2φ)，∵ 图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，∴sin ⎝⎛⎭⎫π3＋2φ＝32，∴ π3＋2φ＝π3＋2k π或π3＋2φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，即φ＝k π或φ＝π6＋k π，k ∈Z .∵ φ>0，∴ φ的最小值为π6.本题考查了三角函数的图象变换与性质．本题属于中等题．13. 58 解析：∵ AO 为△ABC 的角平分线，∴ 存在实数λ(λ≠0)使AO →＝λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →||AB→＋AC →||AC →，即AO →＝12λAB →＋13λAC →，∴ ⎩⎨⎧12λ＝x ，13λ＝y ①.若AB 边上的中线与AB 交于点D ，则AO →＝2xAD→＋yAC →.∵ C 、O 、D 三点共线，∴ 2x ＋y ＝1 ②，由①②得x ＝38，y ＝14，∴ x ＋y ＝58.本题考查了平面向量的线性表示以及向量的共线定理．本题属于难题．14. [2，3] 解析：易知函数f(x)＝e x －1＋x －2在R 上为单调增函数且f(1)＝0，∴ x 1＝1，则|1－x 2|≤1解得0≤x ≤2，∴ x 2－ax －a ＋3＝0在x ∈[0，2]上有解，∴ a ＝x 2＋3x ＋1在x ∈[0，2]上有解．令t ＝x ＋1∈[1，3]，则x ＝t －1，a ＝（t －1）2＋3t ，即a ＝t ＋4t－2 在[1，2]上递减，在[2，3]上递增，则当t ＝2时a 的最小值为2，当t ＝1时a 的最大值为3，∴ a 的取值范围为[2，3]．本题考查了函数的单调性，分离参数构造新函数，对数函数的性质以及换元的应用．本题属于难题．15. 解：(1) 由正弦定理，得asinB ＝bsinA ，(2分)因为b ＝4，asinB ＝23，所以sinA ＝32.(4分)又0＜A ＜π2，所以A ＝π3.(6分)(2) 若b ＝4，c ＝6，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝16＋36－2×24×12＝28，所以a ＝27.(8分)因为asinB ＝23，所以sinB ＝217，从而cosB ＝277.(10分)因为D 为BC 的中点，所以BD ＝DC ＝7.在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB·BD ·cosB ，即AD 2＝36＋7－2×6×7×277＝19，所以AD ＝19.(14分)16. 证明：(1) 因为平面PAC ⊥底面ABCD ，平面PAC ∩底面ABCD ＝AC ，BD ⊥AC ，BD 平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAC.因为OE ⊂ 平面PAC ，所以BD ⊥OE.(6分)(2) 因为AB ∥CD ，AB ＝2CD ，AC 与BD 交于O ， 所以CO ∶OA ＝CD ∶AB ＝1∶2.因为AE ＝2EP ，所以CO ∶OA ＝PE ∶EA ，所以EO ∥PC. 因为PC ⊂平面PBC ，EO ⊄ 平面PBC ， 所以EO ∥平面PBC.(14分)17. 解：(1) 当k ＝0时，2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以数列{a n }是等差数列．(2分)设数列{a n }公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，2a 1＋6d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－43.(4分)所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝2n ＋n （n －1）2×⎝⎛⎭⎫－43＝－23n 2＋83n.(6分)(2) 由题意，2a 4＝a 3＋a 5＋k ，即－2＝－4＋k ，所以k ＝2.(8分) 又a 4＝2a 3－a 2－2＝3a 2－2a 1－6，所以a 2＝3.由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋2，得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝－2，所以，数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝1为首项，－2为公差的等差数列． 所以a n ＋1－a n ＝－2n ＋3.(10分)当n ≥2时，有a n －a n －1＝－2(n －1)＋3，于是a n －1－a n －2＝－2(n －2)＋3，a n －2－a n －3＝－2(n －3)＋3，…，a 3－a 2＝－2×2＋3，a 2－a 1＝－2×1＋3，叠加，得a n －a 1＝－2[1＋2＋…＋(n －1)]＋3(n －1)(n ≥2)，所以a n ＝－2×n （n －1）2＋3(n －1)＋2＝－n 2＋4n －1(n ≥2)．(13分)又当n ＝1时，a 1＝2也适合．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋4n －1，n ∈N *.(14分)18. 解：(1) 当a ＝1.5时，过C 作AB 的垂线，垂足为D ，则BD ＝0.5 m ，且θ＝∠ACD－∠BCD ，由已知观察者离墙x m ，且x ＞1，则tan ∠BCD ＝0.5x ，tan ∠ACD ＝2.5x，(2分)所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD)＝ 2.5x －0.5x 1＋2.5×0.5x 2＝2x1＋1.25x 2＝2x ＋1.25x ≤2254＝255，当且仅当x ＝52＞1时，取“＝”．(6分) 又tan θ在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调增，所以，当观察者离墙52m 时，视角θ最大．(8分)(2) 由题意，得tan ∠BCD ＝2－a x ，tan ∠ACD ＝4－a x ，又tan θ＝12，所以tan θ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝2x x 2＋（a －2）·（a －4）＝12，(10分)所以a 2－6a ＋8＝－x 2＋4x ，当1≤a ≤2时，0≤a 2－6a ＋8≤3，所以0≤－x 2＋4x ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ≤0x 2－4x ＋3≥0，解得0≤x ≤1或3≤x ≤4.(14分) 因为x ＞1，所以3≤x ≤4，所以x 的取值范围为[3，4]．(16分)19. (1) 解：因为点P(3，1)，所以k OP ＝13.因为AF ⊥OP ，－b c ×13＝－1，所以3c ＝b ，所以3a 2＝4b 2.(2分) 又点P(3，1)在椭圆上，所以3a 2＋1b 2＝1，解之得a 2＝133，b 2＝134.故椭圆C 的方程为x 2133＋y2134＝1.(4分)(2) 解：由题意，直线AF 的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆C 的方程x 2a 2＋y 2b2＝1联立消去y ，得a 2＋c 2a 2c 2x 2－2x c ＝0，解得x ＝0或x ＝2a 2c a 2＋c 2，所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （c 2－a 2）a 2＋c 2，(7分)所以直线BQ 的斜率为k BQ ＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2＋b2a 2c a 2＋c2＝bca 2. 由题意得cb ＝2bca2，所以a 2＝2b 2，(9分)所以椭圆的离心率e ＝c a ＝1－b 2a 2＝22.(10分)(3) 证明：因为线段OP 垂直AF ，则直线OP 的方程为y ＝cx b ，与直线AF 的方程x c ＋yb＝1联立，解得两直线交点的坐标⎝⎛⎭⎫b 2c a 2，bc 2a 2.因为线段OP 被直线AF 平分，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫2b 2c a 2，2bc 2a 2.(12分)由点P 在椭圆上，得4b 4c 2a 6＋4b 2c 4a 4b 2＝1，又b 2＝a 2－c 2，设c2a 2＝t ，得4[(1－t)2·t ＋t 2]＝1. (*)(14分)令f(t)＝4[(1－t)2·t ＋t 2]－1＝4(t 3－t 2＋t)－1，因为f′(t)＝4(3t 2－2t ＋1)＞0，所以函数f(t)单调增． 又f(0)＝－1＜0，f(1)＝3＞0，所以f(t)＝0在区间(0，1)上有解，即(*)式方程有解， 故存在椭圆C ，使线段OP 被直线AF 垂直平分．(16分) 20. (1) 证明：函数f(x)的定义域为R ，因为f(－x)＝cos(－x)＋a(－x)2－1＝cosx ＋ax 2－1＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(3分)(2) 解：当a ＝1时，f(x)＝cosx ＋x 2－1，则f′(x)＝－sinx ＋2x ，令g(x)＝f′(x)＝－sinx ＋2x ，则g′(x)＝－cosx ＋2＞0，所以f′(x)是增函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≥0，所以f(x)在[0，π]上是增函数． 又函数f(x)是偶函数，故函数f(x)在[－π，π]上的最大值是π2－2，最小值为0.(8分) (3) 解：f′(x)＝－sinx ＋2ax ，令g(x)＝f′(x)＝－sinx ＋2ax ，则g′(x)＝－cosx ＋2a ，① 当a ≥12时，g ′(x)＝－cosx ＋2a ≥0，所以f′(x)是增函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数．而f(0)＝0，f(x)是偶函数，故f(x)≥0恒成立．(12分)② 当a ≤－12时，g ′(x)＝－cosx ＋2a ≤0，所以f′(x)是减函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≤0，所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数．而f(0)＝0，f(x)是偶函数，所以f(x)＜0，与f(x)≥0矛盾，故舍去．(14分)③ 当－12＜a ＜12时，必存在唯一x 0∈(0，π)，使得g′(x 0)＝0，因为g′(x)＝－cosx ＋2a在[0，π]上是增函数，所以当x ∈(0，x 0)时，g ′(x)＜0，即f′(x)在(0，x 0)上是减函数．又f ′(0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)时，f ′(x)＜0，即f(x)在(0，x 0)上是减函数．而f(0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)时，f(x)＜0，与f(x)≥0矛盾，故舍去．综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.(16分)。
2017-2018学年江苏省高考数学预测卷（二）一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．设集合M={x|y=}，N={x||x﹣1|≤2}，则M∩N=______．2．若复数z=（a∈R，i为虚数单位）的实部与虚部相等，则z的模等于______．3．某田径队有男运动员42人，女运动员30人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为n的样本．若抽到的女运动员有5人，则n的值为______．4．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的n值为______．5．有下列三个说法：①“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”；②“p∨q为真”是“￢p为假”的必要不充分条件；③在区间[0，π]上随机取一个数据，则事件“sinx≥”发生的概率为．其中正确说法的个数是______．6．已知等比数列{a n}满足a1=2，a1+a3+a5=14，则++=______．7．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是______．8．已知3tan+tan2=1，sinβ=3sin（2α+β），则tan（α+β）=______．9．甲、乙两人在5次体育测试中成绩见下表，其中●表示一个数字被污损，则甲的平均成10．在直角坐标系xOy中，点P（x，y）满足，向量=（1，﹣1），则•的最大值是______．11．从抛物线y2=2x上的点A（x0，y0）（x0＞2）向圆（x﹣1）2+y2=1引两条切线分别与y 轴交B，C两点，则△ABC的面积的最小值是______．12．若函数f（x）=|e x+|在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是______．13．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与圆x2+y2=a2切于点P，|PF2|=3|PF1|，则该双曲线的离心率为______．14．已知函数f n（x）=（n∈N*），关于此函数的说法正确的序号是______①f n（x）（n∈N*）为周期函数；②f n（x）（n∈N*）有对称轴；③（，0）为f n（x）（n ∈N*）的对称中心：④|f n（x）|≤n（n∈N*）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB+acosB=c．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知函数f（x）=λcos2（ωx+）﹣3（λ＞0，ω＞0）的最大值为2，将y=f（x）的图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍后便得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）的最小正周期为π．当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．16．已知长方形ABCD中，AD=，AB=2，E为AB中点．将△ADE沿DE折起到△PDE，得到四棱锥P﹣BCDE，如图所示．（1）若点M为PC中点，求证：BM∥平面PDE；（2）当平面PDE⊥平面BCDE时，求四棱锥P﹣BCDE的体积；（3）求证：DE⊥PC．17．某公司经销某产品，第x天（1≤x≤30，x∈N*）的销售价格为p=a+|x﹣20|（a为常数）（元∕件），第x天的销售量为q=50﹣|x﹣16|（件），且公司在第18天该产品的销售收入为2016元．（1）求该公司在第20天该产品的销售收入是多少？（2）这30天中该公司在哪一天该产品的销售收入最大？最大收入为多少？18．已知函数f（x）=（a≠0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣﹣lnx，若g（x）在区间（0，2）上有两个极值点，求实数a的取值范围．19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点（0，1），且长轴长是焦距的倍．过椭圆左焦点F的直线交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线AB垂直于x轴，判断点O与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）若点O在以线段AB为直径的圆内，求直线AB的斜率k的取值范围．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，对任意的n∈N*都有a n+1=3a n+3n+1﹣2n，记b n=（n∈N*）．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）求S n；（3）证明：存在k∈N*，使得≤．附加题[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[几何证明选讲]21．如图，已知凸四边形ABCD的顶点在一个圆周上，另一个圆的圆心O在AB上，且与四边形ABCD的其余三边相切．点E在边AB上，且AE=AD．求证：O，E，C，D四点共圆．B．[矩阵与变换]22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y ﹣2，y），求．C．[极坐标与参数方程]23．在极坐标系中，设直线l过点A（，），B（3，0），且直线l与曲线C：ρ=acosθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．D．[不等式选讲]24．设正数a，b，c满足a+b+c≤3，求证： ++≥．五.[必做题]第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，且PA=AB=BC=AD=1，PA⊥平面ABCD．（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）棱PD上是否存在一点E满足∠AEC=90°？26．设整数n≥3，集合P={1，2，3，…，n}，A，B是P的两个非空子集．记a n为所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数．（1）求a3；（2）求a n．2016年江苏省高考数学预测卷（二）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．设集合M={x|y=}，N={x||x﹣1|≤2}，则M∩N=[2，3] ．【考点】交集及其运算．【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中绝对值不等式的解集确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=，得到log2x﹣1≥0，即log2x≥1=log22，解得：x≥2，即M=[2，+∞），由N中不等式变形得：﹣2≤x﹣1≤2，解得：﹣1≤x≤3，即N=[﹣1，3]，则M∩N=[2，3]，故答案为：[2，3]2．若复数z=（a∈R，i为虚数单位）的实部与虚部相等，则z的模等于．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】解化简复数，结合复数实部和虚部的关系建立方程即可得到结论．【解答】解：z====﹣i，∵复数的实部与虚部相等，∴=﹣，即a=﹣1，则z=+i，则|z|==，故答案为：．3．某田径队有男运动员42人，女运动员30人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为n的样本．若抽到的女运动员有5人，则n的值为12．【考点】分层抽样方法．【分析】根据男女运动员的人数比例确定样本比例为42：30=7：5，然后根据比例进行抽取即可．【解答】解：田径队有男运动员42人，女运动员30人，所男运动员，女运动员的人数比为：42：30=7：5，若抽到的女运动员有5人，则抽取的男运动员的人数为7人，则n的值为7+5=12故答案为：12．4．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的n值为5．【考点】程序框图．【分析】根据输入A的值，然后根据S进行判定是否满足条件S＞2，若不满足条件执行循环体，依此类推，一旦满足条件S＞2，退出循环体，输出n的值为5．【解答】解：模拟执行程序，可得A=2，S=0，n=1不满足条件S＞2，执行循环体，S=1，n=2不满足条件S＞2，执行循环体，S=，n=3不满足条件S＞2，执行循环体，S=，n=4不满足条件S＞2，执行循环体，S=，n=5满足条件S＞2，退出循环，输出n的值为5．故答案为：5．5．有下列三个说法：①“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”；②“p∨q为真”是“￢p为假”的必要不充分条件；③在区间[0，π]上随机取一个数据，则事件“sinx≥”发生的概率为．其中正确说法的个数是2．【考点】的真假判断与应用．【分析】①根据特称的否定是全称进行判断，②根据复合真假以及充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据几何概型的概率公式进行计算．【解答】解：①“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”，正确；②若“p∨q为真，则p，q至少有一个为真，若￢p为假则p为真，则“p∨q为真”是“￢p为假”的必要不充分条件；故②正确，③在区间[0，π]上随机取一个数据，由sinx≥得≤x≤，则对应的概率P==．故③错误，故答案为：2．6．已知等比数列{a n}满足a1=2，a1+a3+a5=14，则++=．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等比数列的性质求出公比，由此能求出答案．【解答】解：∵等比数列{a n}满足a1=2，a1+a3+a5=14，∴2+2q2+2q4=14，解得q2=2或q2=﹣3（舍），∴++=++=，故答案为：．7．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是[﹣4，5] ．【考点】基本不等式．【分析】θ∈（0，），可得+=（sin2θ+cos2θ）=5+，利用基本不等式的性质即可得出最小值．根据对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，可得|2x﹣1|≤，即可得出．【解答】解：∵θ∈（0，），∴+=（sin2θ+cos2θ）=5+≥=9，当且仅当tanθ=时取等号．∵对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，∴|2x﹣1|≤=9，∴﹣9≤2x﹣1≤9，解得﹣4≤x≤5．∴实数x的取值范围是[﹣4，5]．故答案为：[﹣4，5]．8．已知3tan+tan2=1，sinβ=3sin（2α+β），则tan（α+β）=﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】3tan+tan2=1，利用倍角公式可得tanα=．由sinβ=3sin（2α+β），变形为：sin[（α+β）﹣α]=3sin[（α+β）+α]，展开即可得出．【解答】解：∵3tan+tan2=1，∴tanα==．∵sinβ=3sin（2α+β），∴sin[（α+β）﹣α]=3sin[（α+β）+α]，展开：sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα+3cos（α+β）sinα，化为：tan（α+β）+2tanα=0，则tan（α+β）=﹣2tanα=﹣．故答案为：﹣．9．甲、乙两人在5次体育测试中成绩见下表，其中●表示一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由已知得83+87+90+●+83+99=442+●＜450，由此利用列举法能求出甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率．【解答】解：甲的平均分为：=（89+91+90+88+92）=90，∵甲的平均成绩超过乙的平均成绩，∴83+87+90+●+83+99=442+●＜450，∴●＜8，∴●的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，7，共8个，∴甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为p==．故答案为：．10．在直角坐标系xOy中，点P（x，y）满足，向量=（1，﹣1），则•的最大值是1．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，令=（x，y），得到•=x﹣y，令x﹣y=z，问题转化为求z的最大值，结合图象求出即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（3，2），令=（x，y），则•=x﹣y，令x﹣y=z，则y=x﹣z，结合图象得直线y=x﹣z过A（3，2）时，z最大，z的最大值是z=3﹣2=1，故答案为：1．11．从抛物线y2=2x上的点A（x0，y0）（x0＞2）向圆（x﹣1）2+y2=1引两条切线分别与y 轴交B，C两点，则△ABC的面积的最小值是8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设B（0，y B），C（0，y C），A（x0，y0），其中x0＞2，写出直线AB的方程为（y0﹣y B）x﹣x0y+x0y B=0，由直线AB与圆相切可得（x0﹣2）y B2+2y0y B﹣x0=0，同理：（x0﹣2）y A2+2y0y A﹣x0=0，故y A，y B是方程（x0﹣2）y2+2y0y﹣x0=0的两个不同的实根，因为S=|y C﹣y B|x0，再结合韦达定理即可求出三角形的最小值．【解答】解：设B（0，y B），C（0，y C），A（x0，y0），其中x0＞2，所以直线AB的方程，化简得（y0﹣y B）x﹣x0y+x0y B=0直线AB与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，两边平方化简得（x0﹣2）y B2+2y0y B﹣x0=0 同理可得：（x0﹣2）y A2+2y0y A﹣x0=0，故y C，y B是方程（x0﹣2）y2+2y0y﹣x0=0的两个不同的实根，所以y C+y B=，y C y B=，所以S=|y C﹣y B|x0==（x0﹣2）++4≥8，所以当且仅当x0=4时，S取到最小值8，所以△ABC的面积的最小值为8．故答案为：8．12．若函数f（x）=|e x+|在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）．【考点】函数单调性的性质．【分析】可看出，为去掉绝对值号，需讨论a：（1）a＞0时，得出，求导数，根据题意f′（x）≤0在x∈[0，1]上恒成立，从而得到a≥e2x在x∈[0，1]上恒成立，从而得出a≥e2；（2）a=0时，显然不满足题意；（3）a＜0时，可看出函数在R上单调递增，而由可解得，从而得出f（x）在上单调递减，从而便可得出，这又可求出一个a的范围，以上a的范围求并集便是实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＞0时，，；∵f（x）在[0，1]上单调递减；∴x∈[0，1]时，f′（x）≤0恒成立；即x∈[0，1]时，a≥e2x恒成立；y=e2x在[0，1]上的最大值为e2；∴a≥e2；（2）当a=0时，f（x）=e x，在[0，1]上单调递增，不满足[0，1]上单调递减；∴a≠0；（3）当a＜0时，在R上单调递增；令得，；∴f（x）在上为减函数，在上为增函数；又f（x）在[0，1]上为减函数；∴；∴a≤﹣e2；∴综上得，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）．13．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与圆x2+y2=a2切于点P，|PF2|=3|PF1|，则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=t，可得|PF2|=3|PF1|=3t，运用直角三角形的勾股定理可得t=b，再在△PF1F2中，由余弦定理可得|PF1|2=a2+c2﹣2accos∠POF1，|PF2|2=a2+c2﹣2accos∠POF2，两式相加，结合诱导公式，以及离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设|PF1|=t，可得|PF2|=3|PF1|=3t，由OP⊥PF1，可得|OP|2+|PF1|2=|OF1|2，即a2+t2=c2，可得t=b，在△PF1F2中，由余弦定理可得|PF1|2=a2+c2﹣2accos∠POF1，|PF2|2=a2+c2﹣2accos∠POF2，两式相加可得b2+9b2=2a2+2c2﹣2ac（cos∠POF1+cos∠POF2）=2a2+2c2，即有a2+c2=5b2=5（c2﹣a2），即为6a2=4c2，可得e==．故答案为：．14．已知函数f n（x）=（n∈N*），关于此函数的说法正确的序号是①②④①f n（x）（n∈N*）为周期函数；②f n（x）（n∈N*）有对称轴；③（，0）为f n（x）（n∈N*）的对称中心：④|f n（x）|≤n（n∈N*）．【考点】的真假判断与应用．【分析】根据函数f n（x）=（n∈N*），对选项分别进行验证，即可得出结论．【解答】解：∵函数f n（x）=（n∈N*），∴①f n（x+2π）=f n（x）（n∈N*），f n（x为周期函数，正确；②f n（﹣x）==，f n（x）=（n∈N*）是偶函数，∴f n（x）=（n∈N*）有对称轴，正确；③n为偶数时，f n（）==0，∴（，0）为f n（x）（n∈N*）的对称中心，不正确；④∵|sinnx|≤|nsinx|，∴|f n（x）|≤n（n∈N*），正确．故答案为：①②④．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB+acosB=c．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知函数f（x）=λcos2（ωx+）﹣3（λ＞0，ω＞0）的最大值为2，将y=f（x）的图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍后便得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）的最小正周期为π．当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）△ABC中，利用三角恒等变换化简条件求得tanA的值，可得A的值．（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，求得g（x）的解析式，再利用g（x）的周期求得ω，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，∵，∴，∵C=π﹣（A+B），∴=，∴，∵0＜A＜π，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：=，∴λ﹣3=2，从而λ=5，∴，从而，∴，∴．当时，，∴，从而，∴f（x）的值域为．16．已知长方形ABCD中，AD=，AB=2，E为AB中点．将△ADE沿DE折起到△PDE，得到四棱锥P﹣BCDE，如图所示．（1）若点M为PC中点，求证：BM∥平面PDE；（2）当平面PDE⊥平面BCDE时，求四棱锥P﹣BCDE的体积；（3）求证：DE⊥PC．【考点】直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取PD的中点F，连接EF，FM，由中位线定理及平行四边形判定定理易得四边形EFMB是平行四边形，进而BM∥EF，再由线面垂直的判定定理，即可得到BM∥平面PDE；（2）以A为原点，分别以AB，AD为x，y轴正方向建立直角坐标系，连接AC，设AC交DE于点H，利用=0，可得PH⊥DE，从而可求PH是四棱锥P﹣BCDE的高，利用体积公式，即可求四棱锥P﹣BCDE的体积；（3）由（2）可得PH⊥DE，CH⊥DE，PH∩CH=H，即可证明DE⊥平面PHC，又PC⊂平面PHC，从而证明DE⊥PC．【解答】（本题满分为14分）证明：（1）如图，取PD的中点F，连接EF，FM，由条件知：FM平行且等于DC的一半，EB平行且等于DC的一半，∴FM∥EB，且FM=EB，则四边形EFMB是平行四边形，则BM∥EF，∵BM⊄平面PDE，EF⊂平面PDE，∴BM∥平面PDE．（2）如图，以A为原点，分别以AB，AD为x，y轴正方向建立直角坐标系，连接AC，设AC交DE于点H，∵长方形ABCD中，AD=，AB=2，E为AB中点．∴可得：A（0，0），C（2，），E（1，0），D（0，），∴=（2，），=（1，﹣），∴=2×1+（﹣）=0，可得：AC⊥DE，∴AH⊥DE，CD⊥DE，∴由平面PDE⊥平面BCDE，可得：PH⊥平面BCDE，则PH是四棱锥P﹣BCDE的高，由已知可得，在△PDE中，PD=，PE=1，则PH=．∵四边形BCDE是直角梯形，BE=1，DC=2，BC=，可得：四边形BCDE的面积S==，∴四棱锥P﹣BCDE的体积V=S•PH=×=．（3）∵由（2）可得：AH⊥DE，CH⊥DE，∴PH⊥DE，CH⊥DE，PH∩CH=H，∴可得：DE⊥平面PHC，PC⊂平面PHC，∴DE⊥PC．17．某公司经销某产品，第x天（1≤x≤30，x∈N*）的销售价格为p=a+|x﹣20|（a为常数）（元∕件），第x天的销售量为q=50﹣|x﹣16|（件），且公司在第18天该产品的销售收入为2016元．（1）求该公司在第20天该产品的销售收入是多少？（2）这30天中该公司在哪一天该产品的销售收入最大？最大收入为多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）设第x天的销售收入为W x，先求出第18天的销售价格p与销售量q，得第18天的销售收入W18=pq=2016，可得a的值，从而求得第20天的销售收入W20=p20•q20；（2）根据W x=pq=（a+|x﹣20|）（50﹣|x﹣16|），去掉绝对值，分别在1≤x≤16时，17≤x≤20时，21≤x≤30时求得函数W x的最大值，并通过比较得出，第几天该公司的销售收入最大．【解答】解：（1）设第x天的销售收入为W x，∵第18天的销售价格p=a+|18﹣20|=a+|18﹣20|=a+2，销售量q=50﹣|18﹣16|=48，∴第18天的销售收入W18=pq=48×（a+2）=2016（元），解得：a=40，∴p=40+|x﹣20|，q=50﹣|x﹣16|，∴第20天的销售收入为W20=p20•q20=40×46=1840（元）；（2）设第x天的销售收入为W x，当1≤x≤16时，W x=（60﹣x）（34+x）≤=2209（当且仅当x=13时取等号），∴当x=13时有最大值W13=2209；当17≤x≤20时，W x=（60﹣x）（56﹣x）=x2﹣116x+3360=（x﹣58）2﹣4，∴当x=17时有最大值W17=1677；当21≤x≤30时，W x=（x+20）（56﹣x）=﹣x2+36x+1120=﹣（x﹣18）2+1444，∴当x=21时有最大值W21=1435；由于W13＞W21＞W17，所以，第13天该公司的销售收入最大，最大值为2209元．18．已知函数f（x）=（a≠0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣﹣lnx，若g（x）在区间（0，2）上有两个极值点，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）将a=1代入f（x），求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出g（x）的导数，问题转化为即y=e x和y=在（0，2）有2个交点，画出函数的图象，结合图象求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，∴∴f（x）在（0，2）递减，在（﹣∞，0），（2，+∞）递增；（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣﹣lnx=﹣﹣lnx，x∈（0，2），g′（x）=，x∈（0，2），若g（x）在区间（0，2）上有两个极值点，则h（x）=ae x﹣x在（0，2）有2个实数根，即e x=在（0，2）有2个实数根，即y=e x和y=在（0，2）有2个交点，如图示：，由e2=，解得：a=，若g（x）在区间（0，2）上有两个极值点，则a＞．19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点（0，1），且长轴长是焦距的倍．过椭圆左焦点F的直线交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线AB垂直于x轴，判断点O与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）若点O在以线段AB为直径的圆内，求直线AB的斜率k的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得b=1，2a=2c，结合a，b，c的关系，可得a，c，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）原点在线段AB为直径的圆外．求出AB的方程，代入椭圆方程，求得A，B的坐标，可得圆心和半径，求得O与圆心的距离，即可判断；（Ⅲ）设直线AB的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程x2+2y2=2，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理，再求y1y2=k2（x1+1）（x2+1），由点O在以线段AB为直径的圆内，可得∠AOB为钝角，即为•＜0，即有x1x2+y1y2＜0，代入解不等式即可得到所求k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得b=1，2a=2c，即有a=c，a2﹣c2=b2=1，解得a=，c=1，则椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）原点在线段AB为直径的圆外．理由：由左焦点F（﹣1，0），可得直线AB的方程为x=﹣1，代入椭圆方程x2+2y2=2，可得y=±，即有A（﹣1，），B（﹣1，﹣），可得圆心为（﹣1，0），半径为，由原点到圆心的距离为1，且1＞，则原点在线段AB为直径的圆外；（Ⅲ）设直线AB的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程x2+2y2=2，可得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=k2（x1+1）（x2+1）=k2（x1x2+x1+x2+1）=k2（﹣+1）=﹣，由点O在以线段AB为直径的圆内，可得∠AOB为钝角，即为•＜0，即有x1x2+y1y2＜0，即﹣＜0，解得﹣＜k＜．则直线AB的斜率k的取值范围是（﹣，）．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，对任意的n∈N*都有a n+1=3a n+3n+1﹣2n，记b n=（n∈N*）．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）求S n；（3）证明：存在k∈N*，使得≤．【考点】数列的求和；数列与不等式的综合．【分析】（1）由已知数列递推式采用作差法证明数列{b n}为等差数列；（2）求出数列{b n}的通项公式，得到数列{a n}的通项公式，分组后分别利用等比数列的前n 项和与错位相减法求和得S n；（3）由数列{a n}的通项公式推测数列的第一项最大．求出，证明即可．【解答】（1）证明：∵，，∴==，∴数列{b n}是公差为1，首项为的等差数列；（2）解：由（1）可知b n=n﹣1，∴，则，，则．令数列{2n}的前n项和为S1（n）令数列{（n﹣1）×3n}的前n项和为S2，（n）=0×31+1×32+2×33+…+（n﹣2）×3n﹣1+（n﹣1）×3n则S2（n）∴，∴，=，∴S2（n）则；（3）证明：推测数列的第一项最大．下面证明．∵＞0，∴只需证2a n+1＜13a n，即2（2n+1+n×3n+1）＜13[2n+（n﹣1）×3n]，即9×2n+（7n﹣13）×3n＞0，∵n≥2，∴上式显然成立，∴．∴存在k=1，使得=对任意的k ∈N *均成立．附加题[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[几何证明选讲]21．如图，已知凸四边形ABCD 的顶点在一个圆周上，另一个圆的圆心O 在AB 上，且与四边形ABCD 的其余三边相切．点E 在边AB 上，且AE=AD ． 求证：O ，E ，C ，D 四点共圆．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】利用AD=AE ，可得，根据四边形ABCD 的顶点在一个圆周上，可得180°﹣∠A=∠BCD ，从而∠AED=∠DCO ，即可证明O ，E ，C ，D 四点共圆．【解答】证明：因为AD=AE ，所以，因为四边形ABCD 的顶点在一个圆周上， 所以180°﹣∠A=∠BCD ， 从而∠AED=∠DCO ，所以O ，E ，C ，D 四点共圆．B ．[矩阵与变换]22．在平面直角坐标系xOy 中，设点P （x ，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q （y﹣2，y ），求．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由题意得到，从而求出x，y，再由逆矩阵公式求出矩阵M的逆矩阵，由此能求出．【解答】解：∵点P（x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y﹣2，y），∴依题意，=，即解得由逆矩阵公式知，矩阵M=的逆矩阵，∴==．C．[极坐标与参数方程]23．在极坐标系中，设直线l过点A（，），B（3，0），且直线l与曲线C：ρ=acosθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】先求得直线l的普通方程，把曲线C：ρ=acosθ（a＞0）的极坐标方程化为直角坐标方程．因为直线l与曲线C有且只有一个公共点，可得圆心到直线的距离=，由此解得a的值．【解答】解：依题意，点A（，）、B（3，0）的直角坐标为A（，），B（3，0），从而直线l的普通方程为x+y﹣3=0．曲线C：ρ=acosθ（a＞0）的直角坐标方程为+y2=．因为直线l与曲线C有且只有一个公共点，所以=，解得a=2（负值已舍）．D．[不等式选讲]24．设正数a，b，c满足a+b+c≤3，求证： ++≥．【考点】不等式的证明．【分析】由于正数a，b，c满足a+b+c≤3，由柯西不等式，结合不等式的性质即可得证．【解答】证明：由于正数a，b，c满足a+b+c≤3，由柯西不等式得，=32，所以．五.[必做题]第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，且PA=AB=BC=AD=1，PA⊥平面ABCD．（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）棱PD上是否存在一点E满足∠AEC=90°？【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和平面PCD的法向量，则|cos＜＞|即为所求；（2）假设存在E符合条件，设，则，列出方程，判定方程在[0，1]上是否有解即可得出结论．【解答】解：（1）以A为坐标原点，以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系O ﹣xyz，则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），∴=（1，0，﹣1），=（1，1，﹣1），=（﹣1，1，0）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则•，且•=0，∴，不妨取z=2，得=（1，1，2），∴cos＜＞==﹣．∴PB与平面PCD所成角的正弦值为．（2）设，则E（0，2λ，1﹣λ），则，，由∠AEC=90°得，，即5λ2﹣4λ+1=0，方程无解，∴棱PD上不存在一点E满足∠AEC=90°．26．设整数n≥3，集合P={1，2，3，…，n}，A，B是P的两个非空子集．记a n为所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数．（1）求a3；（2）求a n．【考点】数列的求和；子集与真子集．【分析】（1）当n=3时，P={1，2，3}，由此能求出a3=5．（2）设A中的最大数为k，其中1≤k≤n﹣1，整数n≥3，则A中必含元素k，另元素1，2，…，k﹣1，可在A中，B中必不含元素1，2，…，k；元素k+1，k+2，…，k可在B中，但不能都不在B中．由此能求出a n．【解答】解：（1）当n=3时，P={1，2，3}，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，则所有满足题意的集合对（A，B）为：（{1}，{2}），（{1}，{3}），（{2}，{3}），（{1}，{2，3}），（{1，2}，{3}）共5对，∴a3=5．…（2）设A中的最大数为k，其中1≤k≤n﹣1，整数n≥3，则A中必含元素k，另元素1，2，…，k﹣1，可在A中，故A的个数为：，…B中必不含元素1，2，…，k，另元素k+1，k+2，…，n可在B中，但不能都不在B中，故B的个数为：=2n﹣k﹣1，…从而集合对（A，B）的个数为2k﹣1•（2n﹣k﹣1）=2n﹣1﹣2k﹣1，∴a n=（2n﹣1﹣2k﹣1）==（n﹣2）•2n﹣1+1．…2016年9月18日。
AB =_____________._____________.图1中,对角线1B D 与平面11A BC 交于2V ,则12V V 的值是_____________.图210.已知{}n a ,{}n b 均为等比数列,其前n 项和分别为,T n n S 若对任意的*n ∈N ,总有31=T 4n n S n +,则33a b =_____________.11.已知平行四边形ABCD 中.120,1,2BAD AB AD ∠===,点P 是线段BC 上的一个动点,则AP DP ⋅的取值范围是_____________.12.如图3,已知椭圆22221(0)x y ab a b+=>>上有一个点A ,它关于原点的对称点为B ,点F 为椭圆的右焦点,且满足AF BF ⊥,当1π2ABF ∠=时,椭圆的离心率为_____________.图313.在斜三角形ABC 中,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边,若111tan tan tan A B C +=,则2abc的最大值为_____________.14.对于实数,a b ,定义运算“□”：22,,a ab a ba b b ab a b⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩,设7()(4)(4)4f x x x =--,若关于x 的方程|()|1()f x m m ∈R －＝恰有四个互不相等的实数根,则实数m 的取值范围是为_____________.图4(1)求证：1BC ∥平面1A CD ；如图5,直线l 是湖岸线,O 是l 上一点,弧AB 是以O 为圆心的半圆形栈桥,C 为湖岸线l 上一观景亭,现规划在湖中建一小岛D ,同时沿线段CD 和DP (点P 在半圆形栈桥上且不与点,A B 重合)建栈桥.考虑到美观需要,设计方案为DP DC =,60CDP ∠=且圆弧栈桥BP 在CDP ∠的内部,已知22()BC OB km ==,沿湖岸BC 与直线栈桥CD ,DP 及圆弧栈桥BP 围成的区域(图中阴影部分)的面积为2,()S km BOP θ∠＝.图5(1)求S 关于θ的函数关系式；(2)试判断S 是否存在最大值,若存在,求出对应的cos θ的值,若不存在,说明理由.18.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的离心率是e ,定义直线by e =±为椭圆的“类准线”,已知椭圆C 的“类准线”方程为y =±长轴长为4. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 在椭圆C 的“类准线”上(但不在y 轴上),过点P 作圆223O x y :+=的切线l ,过点O 且垂直于OP 的直线与l 交于点A ,问点A 是否在椭圆C 上？证明你的结论. 19.(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足*122()n n n a a a k n k ∈∈N R ++=++，,且13524a a a =，+=-.(1)若0k =,求数列{}n a 的前n 项和n S ； (2)若41a =-,求数列{}n a 的通项公式n a . 20.(本小题满分16分)已知函数321[2(4)24]3()x x x e a a f x x -++-=-,其中,a e ∈R 为自然对数的底数. (1)关于x 的不等式4()3x f x e <-在(,0)-∞上恒成立,求a 的取值范围； (2)讨论函数()f x 极值点的个数.江苏省2017年高考考前押题卷数学(文)试卷(二)解：设椭圆的左焦点为1F ,连结11AF BF ,,由对称性及1AF BF ⊥可知,四边形1AFBF 是矩形,所以1|||2|AB F F c ==,所以在Rt ABF ∆中,π|2s |=12inAF c , π|2c |=osBF c ,由椭圆定义得)(2,4)二、解答题：本大题共题纸的指定区域内.15.解：(1)∵a 为锐角,∴(,π)663a +∈. 又π3cos()65a +=,故π4sin()65a +=.∴ππππ4cos()=cos[()]sin()32665a a a --+=+=.(2)又ππππ3sin()=sin[()]cos()32665a a a ---+=-+=-.故πππππππ344324cos(2)=cos[()()]cos()cos()sin()sin()=()6636363555525a a a a a a a -++-=+--+-⨯⨯⨯-=16.证明：(1)连结1AC ,设交1A C 于点O ,连结OD . ∵四边形11AA C C 是矩形,∴O 是1AC 的中点.在1ABC ∆中,,O D 分别是1AC AB ,的中点, ∴1OD BC ∥.又∵OD ⊂平面11ACD BC ⊄,平面1A CD , ∴1BC ∥平面1A CD .(2)∵CA CB =,D 是AB 的中点,∴CD AB ⊥.又∵在直三棱柱111ABC A B C -中,底面ABC ⊥侧面11AA B B ,交线为AB ,CD ⊂平面ABC ,∴CD ⊥平面11AA B B .∵AP ⊂平面11A B BA ,∴CD AP ⊥.∵111114BB BB AA BP BB ===,,,∴14BP ADBA AA ==,∴1Rt ABP Rt A AD ∆∆∽, 从而1AA D BAP ∠=∠,∴11190AA D A AP BAP A AP ∠+∠=∠+∠=, ∴1AP A D ⊥. 又∵1CDA D D CD =⊂,平面1A CD 平面1A CD ,∴AP ⊥平面1A CD .17.解：(1)在COP ∆中,2222cos 106cos CP CO OP CO OP θθ⋅=-=+-, 从而COP ∆的面积23co s )CDP S θ∆-. 又因为COP ∆的面积13==sin i 2s n 2COP S C OP O θθ∆⋅,所以1=()2=3sin CDP COP OBP S S S S θθθ∆∆---++扇形,00πθθ<≤<,0cos θ=. 注：当DP 所在直线与半圆相切时,设θ取得最大值0θ,此时在COP ∆中,=1,=330OP OC CPO CP ∠==,,00,6cos θθ=. (2)存在.由(1)知,=3cos i )n 1(S θθ'+-, 令=0S ',得π1sin()66θ+=. 当00θθ<<时,0S '>, 所以当0=θθ时,S 取得最大值.或因为0πθ<<,所以存在唯一的0π(,π)2θ∈,使得0π1sin()66θ+=.当00πθθ<<<时,0S '>,所以当0=θθ时,S 取得最大值.此时000πππcos()cos[()]666θθθ+==+-=. 18.解：(1)由题意知2,abc a ⎧=⎪⎨⎪=⎩又222=a b c +,解得1b c =,所以椭圆C 的方程为22=143x y +. (2)点A 在椭圆C 上.证明如下：设切点为000()0Q x y x ≠，,,则2200=3x y +,切线l 的方程为003=0x x y y +-,当=P y,03P x x -=,即03(P x -,则0OP k =,所以0022OA y k x =,直线OA的方程为0022y y x x =.联立00002=230,,x x y x y x y y ⎧-=+⎪⎨⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即A =.1+=, 所以点A 的坐标满足椭圆C 的方程.当P y =-,同理可得点A 的坐标满足椭圆C 的方程, 所以点A 在椭圆C 上.19.解：(1)当0k =时,122=n n n a a a +++,即211=n n n n a a a a +++--, 所以数列{}n a 是等差数列.设数列{}n a 的公差为d ,则112,264,a a d =⎧⎨+=⎩解得12,4,3a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以21(1)(1)8=242=2()=3233n n n n n S na d n n n --+-++⨯-. (2)由题意,435=2a a a k ++,即24k -=-+,所以=2k . 又432212226==3a a a a a ----,所以23=a . 由1222=n n n a a a ++++,得211()(2)=n n n n a a a a +++----.所以,数列1{}n n a a +-是以211=a a -为首项,2-为公差的等差数列. 所以1=23n n a a n +--+,当2n ≥时,有1=21(3)n n a a n ---+-. 于是,12=2()23n n a a n -----+,23=2()33n n a a n -----+,…32223=a a --⨯+, 21213=a a --⨯+,叠加得,12(121)3(1)(2=())n a a n n n ++⋯+-+-≥--, 所以2(1)=2312412()()2n n n a n n n n ++-⨯+--≥-=-. 又当=1n 时,12=a 也适合.所以数列{}n a 的通项公式为2*1=4n a n n n --+∈N ,.20.解：(1)由4()3x f x e <-,得321[2(4)2433]4x x x x a x a e e -++-<--, 即32631()2680x x a x a -++-<-对任意)2(x ∈-∞,恒成立, 即326361(28)x a x x x -+->-对任意)2(x ∈-∞,恒成立,因为2x <,所以3226128123(2)()3x x x a x x -+->=---－,记2)((2)g x x -=-,因为)(g x 在()2-∞,上单调递增,且0(2)=g , 所以0a ≥,即a 的取值范围为[0,)+∞.(2)由题意,可得32(1)()3x x x a e x ax f =-+-',可知()f x 只有一个极值点或有三个极值点. 令321()3g x x x ax a -+=-,①若()f x 有且仅有一个极值点,则函数)(g x 的图象必穿过x 轴且只穿过一次,即)(g x 为单调递增函数或者)(g x 极值同号.(ⅰ)当)(g x 为单调递增函数时,2()20g x x x a -'=+≥在R 上恒成立,得1a ≥. (ⅱ)当)(g x 极值同号时,设12x x ,为极值点,则12()()0g x g x ⋅≥,由2()20g x x x a -'=+=有解,得1a <,且2112=0x x a +-,2222=0x x a +-,所以12122,=x x x x a +=,所以11111111112()2=2=1331()()[()]3g x x x ax a x x a x ax a x a ax ax a a x a =-+=+--------+--, 同理,22[()]()1g x a x a --=,所以1212[()()()11])]0[(g x g x a x a a x a ---=-⋅≥, 化简得221212()()(110)a x x a a x x a --++≥-, 所以22()(1)120a a a a a ---≥+,即0a ≥,所以01a ≤<.所以,当0a ≥时,()f x 有且仅有一个极值点；②若()f x 有三个极值点,则函数)(g x 的图象必穿过x 轴且穿过三次,同理可得0a <. 综上,当0a ≥时,()f x 有且仅有一个极值点, 当0a <时,()f x 有三个极值点.江苏省2017年高考考前押题卷数学(文)试卷(二) =-A B x{|a i+=解：由19111AC F =1平面BDD 连结BD ,因为BF 是中线,又根据解：以为坐标原点,以所在的直线为轴,建立如图所示的直角坐标系,作,垂足为,∵120,1,2BAD AB AD ∠==＝,∴60ABC ∠=,∴12AE BE ==,∴15((22A D . ∵点P 是线段BC 上的一个动点,设点,0,0()2P x x ≤≤, ∴135(,),(,22AP x DP x =-=-,∴215331()()=()22424AP DP x x x =--+--,∴当32x =时,有最小值,最小值为14-,当时,有最大值,最大值为,则AP DP ⋅的取值范围为.63解：设椭圆的左焦点为1F ,连结11AF BF ,,由对称性及1AF BF ⊥可知,四边形1AFBF 是矩形,所以1|||2|AB F F c ==,所以在Rt ABF ∆中,π|2s |=12inAF c , π|2c |=osBF c ,由椭圆定义得222a b cab ab+-)(2,4)解：由题意得,7()4)(4)=4f x x -画出函数()f x 的大致图象如图所示.因为关于x 的方程|()|1()f x m m -=∈R ,即(1))(f x m m =±∈R 恰有四个互不相等的实数根,所以两直线(1)y m m =±∈R 与曲线(=)y f x 共有四个不同的交点,则03113,m m ⎧⎨<-<+>⎩或31001,m m -<<+<⎧⎨⎩或1=3,1=0m m ⎧⎨-+⎩得24m <<或11m <<-.二、解答题：本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15.解：(1)∵a 为锐角,∴ππ2(,π)663a +∈. 又π3cos()65a +=,故π4sin()65a +=.∴ππππ4cos()=cos[()]sin()32665a a a --+=+=.(2)又ππππ3sin()=sin[()]cos()32665a a a ---+=-+=-.故πππππππ344324cos(2)=cos[()()]cos()cos()sin()sin()=()6636363555525a a a a a a a -++-=+--+-⨯⨯⨯-=16.证明：(1)连结1AC ,设交1A C 于点O ,连结OD . ∵四边形11AA C C 是矩形,∴O 是1AC 的中点.在1ABC ∆中,,O D 分别是1AC AB ,的中点, ∴1OD BC ∥.又∵OD ⊂平面11ACD BC ⊄,平面1A CD , ∴1BC ∥平面1A CD .(2)∵CA CB =,D 是AB 的中点,∴CD AB ⊥.又∵在直三棱柱111ABC A B C -中,底面ABC ⊥侧面11AA B B ,交线为AB ,CD ⊂平面ABC ,∴CD ⊥平面11AA B B .∵AP ⊂平面11A B BA ,∴CD AP ⊥.∵111114BB BB AA BP BB ===,,,∴1BP ADBA AA ==,∴1Rt ABP Rt A AD ∆∆∽, 从而1AA D BAP ∠=∠,∴11190AA D A AP BAP A AP ∠+∠=∠+∠=, ∴1AP A D ⊥. 又∵1CDA D D CD =⊂,平面1A CD 平面1A CD ,∴AP ⊥平面1A CD .17.解：(1)在COP ∆中,2222cos 106cos CP CO OP CO OP θθ⋅=-=+-, 从而COP ∆的面积23co s )CDP S θ∆-. 又因为COP ∆的面积13==sin i 2s n 2COP S C OP O θθ∆⋅,所以1=()2=3sin CDP COP OBP S S S S θθθ∆∆---++扇形,00πθθ<≤<,01cos 12θ=. 注：当DP 所在直线与半圆相切时,设θ取得最大值0θ,此时在COP ∆中,=1,=330OP OC CPO CP ∠==,,00,6cos θθ=. (2)存在.由(1)知,=3cos i )n 1(S θθ'+-, 令=0S ',得π1sin()66θ+=. 当00θθ<<时,0S '>,所以当0=θθ时,S 取得最大值.或因为0πθ<<,所以存在唯一的0π(,π)2θ∈,使得0π1sin()66θ+=.当00πθθ<<<时,0S '>,所以当0=θθ时,S 取得最大值.此时000πππcos()cos[()]666θθθ+==+-=. 18.解：(1)由题意知2,abc a ⎧=⎪⎨⎪=⎩又222=a b c +,解得1b c =,所以椭圆C 的方程为22=143x y +. (2)点A 在椭圆C 上.证明如下：设切点为000()0Q x y x ≠，,,则2200=3x y +,切线l 的方程为003=0x x y y +-,当=P y,03P x x -=,即03(P x -,则0OP k =,所以0022OA y k x =,直线OA的方程为0022y y x x =.联立00002=230,,x x y x y x y y ⎧-=+⎪⎨⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即A =.1+=, 所以点A 的坐标满足椭圆C 的方程.当P y =-,同理可得点A 的坐标满足椭圆C 的方程,所以点A 在椭圆C 上.19.解：(1)当0k =时,122=n n n a a a +++,即211=n n n n a a a a +++--, 所以数列{}n a 是等差数列.设数列{}n a 的公差为d ,则112,264,a a d =⎧⎨+=⎩解得12,4,3a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以21(1)(1)8=242=2()=3233n n n n n S na d n n n --+-++⨯-. (2)由题意,435=2a a a k ++,即24k -=-+,所以=2k . 又432212226==3a a a a a ----,所以23=a . 由1222=n n n a a a ++++,得211()(2)=n n n n a a a a +++----.所以,数列1{}n n a a +-是以211=a a -为首项,2-为公差的等差数列. 所以1=23n n a a n +--+,当2n ≥时,有1=21(3)n n a a n ---+-. 于是,12=2()23n n a a n -----+,23=2()33n n a a n -----+,…32223=a a --⨯+, 21213=a a --⨯+,叠加得,12(121)3(1)(2=())n a a n n n ++⋯+-+-≥--, 所以2(1)=2312412()()2n n n a n n n n ++-⨯+--≥-=-. 又当=1n 时,12=a 也适合.所以数列{}n a 的通项公式为2*1=4n a n n n --+∈N ,.20.解：(1)由4()3x f x e <-,得321[2(4)2433]4x x x x a x a e e -++-<--,即32631()2680x x a x a -++-<-对任意)2(x ∈-∞,恒成立, 即326361(28)x a x x x -+->-对任意)2(x ∈-∞,恒成立,因为2x <,所以3226128123(2)()3x x x a x x -+->=---－,记2)((2)g x x -=-,因为)(g x 在()2-∞,上单调递增,且0(2)=g , 所以0a ≥,即a 的取值范围为[0,)+∞.(2)由题意,可得32(1)()3x x x a e x ax f =-+-',可知()f x 只有一个极值点或有三个极值点. 令321()3g x x x ax a -+=-,①若()f x 有且仅有一个极值点,则函数)(g x 的图象必穿过x 轴且只穿过一次,即)(g x 为单调递增函数或者)(g x 极值同号.(ⅰ)当)(g x 为单调递增函数时,2()20g x x x a -'=+≥在R 上恒成立,得1a ≥. (ⅱ)当)(g x 极值同号时,设12x x ,为极值点,则12()()0g x g x ⋅≥,由2()20g x x x a -'=+=有解,得1a <,且2112=0x x a +-,2222=0x x a +-,所以12122,=x x x x a +=,所以11111111112()2=2=1331()()[()]3g x x x ax a x x a x ax a x a ax ax a a x a =-+=+--------+--, 同理,22[()]()1g x a x a --=,所以1212[()()()11])]0[(g x g x a x a a x a ---=-⋅≥, 化简得221212()()(110)a x x a a x x a --++≥-, 所以22()(1)120a a a a a ---≥+,即0a ≥,所以01a ≤<.所以,当0a ≥时,()f x 有且仅有一个极值点；②若()f x 有三个极值点,则函数)(g x 的图象必穿过x 轴且穿过三次,同理可得0a <. 综上,当0a ≥时,()f x 有且仅有一个极值点, 当0a <时,()f x 有三个极值点.。
江苏省2017届普通高等学校高考数学模拟试卷（2）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2+x≤0}，则M∩N=．2．（5分）命题“∃x＞1，使得x2≥2”的否定是．3．（5分）已知i是虚数单位，复数z的共轭复数为，若2z=+2﹣3i，则z=．4．（5分）有4名学生A、B、C、D平均分乘两辆车，则“A，B两人恰好在同一辆车”的概率为．5．（5分）曲线f（x）=e x在x=0处的切线方程为．6．（5分）如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的第三项是．7．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2x﹣x2，则f（0）+f（﹣1）=．8．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5的方差为8，则d的值为．9．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则三棱锥A﹣B1D1D 的体积为cm3．10．（5分）已知α∈（0，），β∈（，π），cosα=，sin（α+β）=﹣，则cosβ=．11．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k（x+1）有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．12．（5分）圆心在抛物线y=x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为．13．（5分）已知点P是△ABC内一点（不包括边界），且，m，n∈R，则（m ﹣2）2+（n﹣2）2的取值范围是．14．（5分）已知a+b=2，b＞0，当+取最小值时，实数a的值是．二、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b cos C+c cos B=2a cos A．（1）求角A的大小；（2）若•=，求△ABC的面积．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，且P A=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面P AD；（Ⅱ）求证：EF⊥平面PDC．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（3，1）在椭圆上，△PF1F2的面积为2，点Q是PF2的延长线与椭圆的交点．（1）①求椭圆C的标准方程；②若∠PQF1=，求QF1•QF2的值；（2）直线y=x+k与椭圆C相交于A，B两点．若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．18．（16分）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，AB=20米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN（宽度不计），点M在线段AD 上，并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a元，单人弧形椅的造价每米为a元，记锐角∠NBE=θ，总造价为W元．（1）试将W表示为θ的函数W（θ），并写出cosθ的取值范围；（2）如何选取点M的位置，能使总造价W最小．19．（16分）在数列{a n}中，已知a1=2，a n+1=3a n+2n﹣1．（1）求证：数列{a n+n}为等比数列；（2）记b n=a n+（1﹣λ）n，且数列{b n}的前n项和为T n，若T3为数列{T n}中的最小项，求λ的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=x﹣ln x，g（x）=x2﹣ax．（1）求函数f（x）在区间[t，t+1]（t＞0）上的最小值m（t）；（2）令h（x）=g（x）﹣f（x），A（x1，h（x1）），B（x2，h（x2））（x1≠x2）是函数h（x）图象上任意两点，且满足＞1，求实数a的取值范围；（3）若∃x∈（0，1]，使f（x）≥成立，求实数a的最大值．【选做题】在21，22，23，24四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4—1：几何证明选讲]21．（10分）如图，△ABC是圆O的内接三角形，P A是圆O的切线，A为切点，PB交AC 于点E，交圆O于点D，若PE=P A，∠ABC=60°，且PD=1，PB=9，求EC．[选修4—2：矩阵与变换]22．（10分）已知=为矩阵A=属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A2．[选修4—4：坐标系与参数方程]23．自极点O任意作一条射线与直线ρcosθ=3相交于点M，在射线OM上取点P，使得OM•OP=12，求动点P的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程．[选修4—5：不等式选讲]24．已知：a≥2，x∈R．求证：|x﹣1+a|+|x﹣a|≥3．【必做题】第25，26题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）在一次游戏中：①求摸出3个白球的概率；②求获奖的概率；（2）在两次游戏中，记获奖次数为X：①求X的分布列；②求X的数学期望．26．（10分）已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），点R（1，2）在抛物线C上．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B．若直线AR，BR分别交直线l：y=2x+2于M，N两点，求线段MN最小时直线AB的方程．参考答案1．{﹣1，0}【解析】由N中不等式变形得：x（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤0，即N=[﹣1，0]，∵M={﹣1，0，1}，∴M∩N={﹣1，0}．故答案为：{﹣1，0}．2．∀x＞1，使得x2＜2【解析】命题是特称命题，则命题的否定是“∀x＞1，使得x2＜2”，故答案为：x＞1，使得x2＜2.3．2﹣i【解析】设z=a+b i（a，b∈R），则，∵2z=+2﹣3i，∴2（a+b i）=a﹣b i+2﹣3i，化为a﹣2+（3b+3）i=0，∴，解得，∴z=2﹣i．故答案为2﹣i．4．【解析】4名学生A、B、C、D平均分乘两辆车，用（XY，MN）表示X与Y同乘一车，MN同乘一车则共有（AB，CD），（AC，BD），（AD，BC），（BC，AD），（BD，AC），（CD，AB）6种情况其中（AB，CD），（CD，AB）两种情况满足“A，B两人恰好在同一辆车”故“A，B两人恰好在同一辆车”的概率P==故答案为：.5．x﹣y+1=0【解析】由f（x）=e x，得f′（x）=e x，∴f′（0）=e0=1，即曲线f（x）=e x在x=0处的切线的斜率等于1，又f（0）=1，∴曲线f（x）=e x在x=0处的切线方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．6．30【解析】模拟执行程序框图，可得a=3，n=1输出a的第一个值为3，n=2，满足条件n≤10，执行循环体，a=6，输出a的第二个值为6，n=3满足条件n≤10，执行循环体，a=6，输出a的第三个值为30，n=4…故这列数的第三项是30．故答案为：30．7．﹣1【解析】∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x）∴f（0）=0，f（﹣1）=﹣f（1），又∵当x＞0时，f（x）=2x﹣x2，∴f（0）+f（﹣1）=f（0）﹣f（1）=0﹣2+1=﹣1．故答案为：﹣1．8．±2【解析】∵等差数列{a n}的公差为d，a1，a2，a3，a4，a5的方差为8，∴这组数据的平均数是a3，∴（4d2+d2+0+d2+4d2）=2d2=8∴d2=4，∴d=±2，故答案为：±2．9．3【解析】长方体ABCD﹣A1B1C1D1中的底面ABCD是正方形．连接AC交BD于O，则AC⊥BD，又D1D⊥BD，所以AC⊥面B1D1D，AO 为A 到面B 1D 1D 的垂线段，且AO =． 又11B D D S =所以所求的体积V =cm 3． 故答案为：3.10．【解析】∵α∈（0，），β∈（，π）， ∴sin α＞0．cos β＜0，sin β＞0．∴sin α===．∴sin （α+β）=sin αcos β+cos αsin β=cos β+×=﹣， 解得cos β=． 故答案是：． 11．（0，）∪（，+∞）【解析】做出f （x ）的函数图象如图所示：过P（﹣1，0）做直线y=k1（x+1），使得该直线过点（1，1），则k1=，∴当0＜k＜时，直线y=k（x+1）与y=f（x）有两个交点，设y=k2（x+1）与y=f（x）相切，切点为（x0，y0），则，解得k2=．∴当k＞时，直线y=k（x+1）与y=f（x）有两个交点．综上，k的取值范围是（0，）∪（，+∞）．12．（x±1）2+（y﹣）2=1【解析】由题意知，设P（t，t2）为圆心，且准线方程为y=﹣，∵与抛物线的准线及y轴相切，∴|t|=t2+，∴t=±1．∴圆的标准方程为（x±1）2+（y﹣）2=1．故答案为：（x±1）2+（y﹣）2=1．13．【解析】由题意得：m＞0，n＞0，m+n＜1，可行域为一个直角三角形OAB内部，其中A（1，0），B（0，1），而（m﹣2）2+（n﹣2）2表示点C（2，2）到可行域内点（m，n）距离平方，则C（2，2）到直线m+n=1距离为d=，因此取值范围是（d，丨OC丨2），∴（m﹣2）2+（n﹣2）2的取值范围，故答案为：．14．﹣2或【解析】由题意可得：，当且仅当时等号成立，结合a+b=2可得：或，即实数a的值为﹣2或．故答案为﹣2或．15．解：（1）由正弦定理得sin B cos C+sin C cos B=2sin A cos A，即sin（B+C）=2sin A cos A，则sin A=2sin A cos A，在三角形中，sin A≠0，∴cos A=，即A=；（2）若•=，则AB•AC cos A=AB•AC=，即AB•AC=2，则△ABC的面积S=AB•AC sin A==．16．证明：（Ⅰ）连接AC，则F是AC的中点，在△CP A中，EF∥P A（3分）且P A⊂平面P AD，EF⊊平面P AD，∴EF∥平面P AD（6分）（Ⅱ）因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD=AD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面P AD，∴CD⊥P A（9分）又P A=PD=AD，所以△P AD是等腰直角三角形，且∠APD=，即P A⊥PD（12分）而CD∩PD=D，∴P A⊥平面PDC，又EF∥P A，所以EF⊥平面PDC（14分）17．解：（1）①由条件，可设椭圆的标准方程，把点P（3，1）代入椭圆方程，∴，由S=•2c•1=2，即c=2…（2分）又a2=b2+c2，∴a2=12，b2=4，∴椭圆的标准方程为：；…（4分）②当θ=时，由，=F 1F22可得QF1•QF2=.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得4x2+6kx+3k2﹣12=0．由韦达定理及直线方程可知：x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2．∵以AB为直径的圆经过坐标原点，则=k2﹣6=0解得：k=，此时△=120＞0，满足条件，因此k=…（14分）18．解：（1）过N作AB的垂线，垂足为F；过M作NF的垂线，垂足为G．在Rt△BNF中，BF=16cosθ，则MG=20﹣16cosθ在Rt△MNG中，，由题意易得，因此，，；（2）令W′（θ）=0，，因为，所以．设锐角θ1满足，当时，W，（θ）＜0，W（θ）单调递减；当时，W，（θ）＞0，W（θ）单调递增．所以当，总造价W最小，最小值为，此时，，，因此当米时，能使总造价最小．19．解：（1）证明：∵a n+1=3a n+2n﹣1，∴a n+1+n+1=3（a n+n）．又a1=2，∴a n＞0，a n+n＞0，故，∴{a n+n}是以3为首项，公比为3的等比数列…（4分）（2）由（1）知道，b n=a n+（1﹣λ）n，∴．…（6分）∴．…（8分）若T3为数列{T n}中的最小项，则对∀n∈N*有恒成立，即3n+1﹣81≥（n2+n﹣12）λ对∀n∈N*恒成立…（10分）1°当n=1时，有；2°当n=2时，有T2≥T3⇒λ≥9；…（12分）3°当n≥4时，n2+n﹣12=（n+4）（n﹣3）＞0恒成立，∴对∀n≥4恒成立．令，则对∀n≥4恒成立，∴在n≥4时为单调递增数列．∴λ≤f（4），即．…（15分）综上，．…（16分）20．解：（1），令f'（x）=0，则x=1，当t≥1时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，f（x）的最小值为f（t）=t﹣ln t；…（1分）当0＜t＜1时，f（x）在区间（t，1）上为减函数，在区间（1，t+1）上为增函数，f（x）的最小值为f（1）=1．综上，当0＜t＜1时，m（t）=1；当t≥1时，m（t）=t﹣ln t．…（3分）（2）h（x）=x2﹣（a+1）x+ln x，对于任意的x1，x2∈（0，+∞），不妨取x1＜x2，则x1﹣x2＜0，则由，可得h（x1）﹣h（x2）＜x1﹣x2，变形得h（x1）﹣x1＜h（x2）﹣x2恒成立，…（5分）令F（x）=h（x）﹣x=x2﹣（a+2）x+ln x，则F（x）=x2﹣（a+2）x+ln x在（0，+∞）上单调递增，故在（0，+∞）恒成立，…（7分）∴在（0，+∞）恒成立．∵，当且仅当时取“=”，∴；…（10分）（3）∵，∴a（x+1）≤2x2﹣x ln x．∵x∈（0，1]，∴x+1∈（1，2]，∴∃x∈（0，1]使得成立．令，则，…（12分）令y=2x2+3x﹣ln x﹣1，则由，可得或x=﹣1（舍）．当时，y'＜0，则y=2x2+3x﹣ln x﹣1在上单调递减；当时，y'＞0，则y=2x2+3x﹣ln x﹣1在上单调递增．∴，∴t'（x）＞0在x∈（0，1]上恒成立．∴t（x）在（0，1]上单调递增．则a≤t（1），即a≤1．…（15分）∴实数a的最大值为1．…（16分）21．解：弦切角∠P AE=∠ABC=60°，又P A=PE，∴△P AE为等边三角形，由切割线定理有P A2=PD•PB=9，…（5分）∴AE=EP=P A=3，ED=EP﹣PD=2，EB=PB﹣PE=6，由相交弦定理有：EC•EA=EB•ED=12，∴EC=12÷3=4，EC=4．．…（10分）22．解：由条件可知，∴，解得a=λ=2．…（5分）因此，所以．…（10分）23．解：设P（ρ，θ），M（ρ'，θ），∵OM•OP=12，∴ρρ'=12．∵ρ'cosθ=3，∴．则动点P的极坐标方程为ρ=4cosθ．∵极点在此曲线上，得ρ2=4ρcosθ．∴x2+y2﹣4x=0．24．证明：∵|m|+|n|≥|m﹣n|，∴|x﹣1+a|+|x﹣a|≥|x﹣1+a﹣（x﹣a）|=|2a﹣1|．又a≥2，故|2a﹣1|≥3．∴|x﹣1+a|+|x﹣a|≥3（证毕）．25．解：（1）记“在一次游戏中摸出k个白球”为事件A k（k=0，1，2，3）．①．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）②．﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）．①X的分布列为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）②X的数学期望．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）26．解：（1）∵点R（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，∴4=2p，解得p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x．（2）设A（x1，y1），B（x2y2），直线AB的方程为x=m（y﹣1）+1，m≠0，由，消去x，并整理，得：y2﹣4my+4（m﹣1）=0，∴y1+y2=4m，y1•y2=4（m﹣1），设直线AR的方程为y=k1（x﹣1）+2，由，解得点M的横坐标x M=，又k1==，∴x M==﹣，同理点N的横坐标x N=﹣，|y2﹣y1|==4，∴|MN|=|x M﹣x N|=|﹣+|=2||=8=2，令m﹣1=t，t≠0，则m=t=1，∴|MN|=2≥，即当t=﹣2，m=﹣1时，|MN|取最小值为，此时直线AB的方程为x+y﹣2=0.。
23232017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I」、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上..(1) _________________________________________________________________________________________ 【2017年江苏，1, 5分】已知集合 A {1,2} , B {a,a 2 3} •若AI B 1，则实数a 的值为 ____________________________ . 【答案】1【解析】•••集合 A {1,2} , B {a,a 2 3} . AI B 1 ,.•. a 1 或 a 23 1，解得 a 1 .【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用.(2) 【2017年江苏，2, 5分】已知复数z 1 i 1 2i ,其中i 是虚数单位，则z 的模是 _____________________ . 【答案】.10【解析】复数 z 1 i 1 2i 1 2 3i 1 3i , A |z 1 2 3210 .【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.(3)【2017年江苏，3, 5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200, 400, 300,100件•为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ________ 件.【答案】18 【解析】产品总数为 200 400 300 100 1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为【答案】怎佥，则应从丙种型号的产品中抽取 300 —18件. 100【点评】本题的考点是分层抽样.分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致,即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取. 按照一定的比例,(4)【2017年江苏，4,5分】如图是一个算法流程图：若输入x 的值为 丄，则输出y 的值是16 【答案】【解析】 【点评】 1 丄 初始值x -，不满足x 1，所以y 2 log ；62 16 本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法,基础题. 2 4log 2 2.注意解题方法的积累，属于 ◎丫7-；心(5)【2017年江苏，5,5分】若tan1.则 tan6【解析】 Q tantan叫tan tan 11 tan tan —4 本题考查了两角差的正切公式，属于基础题.1,••• 6tan 6 tan 1，解得 tan6【点评】 (6)【2017年江苏，6, 5分】如如图，在圆柱 QO 2内有一个球O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。
2017年江苏数学高考真题(含答案)绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a，若A B ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z7.记函数2()6f x x x =+-的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是 8.在平面直角坐标系xoy 中 ,双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是9.等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为S n ，已知36763，44S S ==，则8a = 10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是11.已知函数()3x x 12x+e -e -f x =x ，其中e 是自然数对数的底数，若()()2a-1+2a ≤f f 0，则实数a 的取值范围是 。
12.如图，在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC ,的模分别为1,1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°。
2017年高考江苏卷数学试题和答案(2)2017年高考江苏卷数学试题解析版一、填空题本大题共14小题，每小题5分共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知集合，，若则实数的值为▲ .【考点】元素的互异性【名师点睛(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.2. 已知复数其中i是虚数单位，则的模是▲ .【考点】复数的模点睛. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取▲ 件.【解析】所求人数为，故答案为18.【考点】分层抽样点睛在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即niNi=nN.4. 右图是一个算法流程图，若输入的值为,则输出的的值是▲ .【解析】由题意，故答案为-2.【考点】循环结构流程图点睛5. 若则▲ .【考点】两角和正切公式点睛(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用;②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.6. 如图,在圆柱内有一个球,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱的体积为,球的体积为,则的值是▲ .【解析】设球半径为，则.故答案为.【考点】圆柱体积点睛(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.7. 记函数的定义域为.在区间上随机取一个数,则的概率是▲ .【考点】几何概型概率【名师点睛(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解.(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性.基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.8. 在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,,其焦点是,则四边形的面积是▲ .【答案】【名师点睛.已知双曲线方程求渐近线2.已知渐近线设双曲线方程3双曲线焦点到渐近线距离为为对应准线与渐近线的交点9. 等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则= ▲ .【答案】32【解析】当时，显然不符合题意;当时，，解得，则.【名师点睛在解决等差、等比数列的运算问题时，两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是▲ .【答案】30【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.【名师点睛在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.11. 已知函数, 其中e是自然对数的底数. 若,则实数的取值范围是▲ .【答案】函数性质解不等式点睛解函数不等式首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内12. 如图在同一个平面内，向量,,的模分别为1,1,与的夹角为且tan=7与的夹角为45°若则▲ .3【解析】由可得，，根据向量的分解，易得，即，即，即得，所以.【考点】向量表示点睛(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式方程、不等式(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题;②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.13. 在平面直角坐标系中点在圆上若则点的横坐标的取值范围是▲ .【考点】直线与圆线性规划点睛或纵坐标14. 设是定义在且周期为1的函数，在区间上其中集合，则方程的解的个数是▲ .8【解析】由于，则需考虑的情况范围内，且时，设，且互质，则由，可设，且互质，则，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此与方程点睛(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值;从图象的对称性，分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15(本小题满分14分)如图在三棱锥A-BCD中AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD平面BCD 点EF(E与AD不重合分别在棱ADBD上且EFAD.求证：(1)EF平面ABC;(2)ADAC.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】证明：(1)在平面内，因为ABAD，，.【考点】线面判定定理、判定与性质定理，面面垂直性质定理点睛垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(本小题满分14分)已知向量(1)若a∥b求x的值;(2)记求的最大值和最小值以及对应的的值【答案】(1)(2)时，取得最大值时，取得最值.【解析】解：因为，a∥b，(2).，，.于是，当，即时，取最大值3;当，即时，取最小值.共线，数量积点睛1)向量平行，,(2)向量垂直，(3)向量加减：(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂,过点作直线的垂线.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线的交点在椭圆上求点的坐标.(2)【解析】解从而直线的方程，①直线的方程. ②由①②，解得，所以因为点在椭圆上，，即或因此点P的坐标.【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系点睛要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点曲线上则点的坐标满足曲线方程18.(本小题满分1分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm容器Ⅱ的两底面对角线的长分别为14cm和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水水深均为12cm现有一根玻璃棒l其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将放在容器Ⅰ中的一端置于点A处另一端置于侧棱求没入水中部分的长度;(2)将放在容器Ⅱ中的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度.【解析】:(1)由正棱柱的定义，平面，所以平面，.记玻璃棒的另一端落在处.( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm)(2)如图，O，O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO1⊥平面EFGH，所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG.同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GK⊥E1G，K为垂足，则GK =OO1=32.因为EG = 14，E1G1= 62，所以KG1= ，从而.设则.因为，所以.在中，由正弦定理可得，解得.因为，所以.于是.记EN与水面的交点为P2，过 P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则P2Q2⊥平面 EFGH，故P2Q2=12，从而 EP2=.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm)【考点】正余弦定理【名师点睛解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第三步：求结果.19.(本小题满分16分)对于给定的正整,若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是数列”.(1)证明：等差数列是数列”;(2)若数列既是数列”，又是数列”，证明：是等差数列.当时，，①当时，.②由①知，，③，④所以数列是等差数列【考点】等差数列定义及通项公式点睛证明为等差数列的方法：(1)用定义证明：为常数;(2)用等差中项证明：;(3)通项法：为的一次函数;(4)前项和法：20.(本小题满分16分)已知函数有极值且导函数的极值点是的零点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)求关于的函数关系式，并写出定义域;证明：(3)若这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围【答案】(1)(2)见解析()解(1)由，得.当时，有极小值.因为的极值点是的零点.所以，又，故.因为有极值，故有实根，从而，即.时，，故在R上是增函数，没有极值;时，有两个相异的实根，.列表如下x + 0 – 0 + 极大值极小值故的极值点是.从而，因为，所以，故，即.因此.(3)由(1)知，的极值点是，且，.从而因此a的取值范围为.导数研究函数单调性、极值及零点点睛函数的零点问题方程解的通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，借助函数的大致图象零点归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路数学II21.【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4—1：几何证明选讲(本小题满分10分)如图，AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足.求证：(1)(2).【答案】见解析【解析(1)因为半圆O点，所以，所以性质，相似三角形点睛1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论;(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”.在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握.2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等.B选修4—2：矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵 A= ，B=.(1)求;(2)若曲线在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线,求的方程.【答案】(1)(2)【解析解(1)因为A==，所以AB==.(2)设曲线上的任意一点，AB对应的变换下,则，即，.因为在曲线上，所以从而，即因此曲线矩阵AB对应的变换下.【考点】矩阵乘法、线性变换点睛乘法注意对应：变换注意前后对应点：点在矩阵变换下变成点在平面坐标系中中已知直线的参考方程为为参数,曲线的参数方程为为参数设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值【答案】【解析解直线的普通方程为因此当点的坐标为时曲线到直线的距离.【考点】参数方程普通方程点睛1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法. 2.把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响.D.[选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)已知为实数，且证明【考点】柯西不等式【名师点睛柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn为实数，则(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2，当且仅当bi=0或存在一个数k，使ai=kbi(i=1,2，…，n)时，等号成立.【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题卡的指定区域内解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.如图, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求二面角B-A1D-A的正弦值【解析】解：在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2)平面A1DA的一个法向量为.设为平面BA1D的一个法向量，又，则即不妨取x=3，则，因此二面角B-A1D-A的正弦值为.、异面直线所成角及二面角点睛利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系;第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标;第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量;第四，破“应用公式关”.已知一个口袋有个白球个黑球),这些球除颜色外全部相同现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为的抽屉内，其中第次取球放入编号为的抽屉.2 3 (1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率;(2)随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数是的数学期望证明【答案】(1)(2)见解析【解析】解:(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为: .(2) 随机变量 X 的概率分布为:X … … P … … 随机变量 X 的期望为：随机变量分布、数学期望点睛求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义;第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率;第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.。
2017年江苏省高考数学预测卷（2）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）．1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中所有元素之和是．2．已知复数满足（1+2i）=i，其中i为虚数单位，则复数的虚部为．3．已知点M（﹣3，﹣1），若函数y=tan（∈（﹣2，2））的图象与直线y=1交于点A，则|MA|= ．4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9，则这组数据的标准差为．5．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S的值为．6．在区间[﹣1，2]内随机取一个实数a，则关于的方程2﹣4a+5a2+a=0有解的概率是．7．如图，在平面四边形ABCD中，若AC=3，BD=2，则= ．8．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，M 是AA 1的中点，则三棱锥A 1﹣MBC 1的体积为 ．9．已知函数f （）=|﹣2|，则不等式f （2﹣ln （+1））＞f （3）的解集为 ．10．曲线f （）=ln 在点P （1，0）处的切线l 与两坐标轴围成的三角形的面积是 ．11．设向量=（4sin ，1），=（cos，﹣1）（ω＞0），若函数f （）=•+1在区间[﹣，]上单调递增，则实数ω的取值范围为 ．12．设函数f （）=+cos ，∈（0，1），则满足不等式f （t 2）＞f （2t ﹣1）的实数t 的取值范围是 ．13．已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，抛物线E ：2=4y的焦点B 是双曲线虚轴上的一个顶点，若线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，且=3，则双曲线C 的离心率为 ．14．已知a ，b ，c ，d ∈R 且满足==1，则（a ﹣c ）2+（b ﹣d ）2的最小值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．在△ABC中，已知三内角A，B，C成等差数列，且sin（+A）=．（Ⅰ）求tanA及角B的值；（Ⅱ）设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．17．如图所示的矩形是长为100码，宽为80码的足球比赛场地．其中PH是足球场地边线所在的直线，AB是球门，且AB=8码．从理论研究及经验表明：当足球运动员带球沿着边线奔跑时，当运动员（运动员看做点P）所对AB的张角越大时，踢球进球的可能性就越大．（1）若PH=20，求tan∠APB的值；（2）如图，当某运动员P沿着边线带球行进时，何时（距离AB所在直线的距离）开始射门进球的可能性会最大？18．平面直角坐标系oy 中，直线﹣y+1=0截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O 的方程；（2）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ，E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程；（3）设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于轴的对称点为N ，若直线MP 、NP 分别交于轴于点（m ，0）和（n ，0），问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 19．已知函数f （）=aln （a ∈R ）．（Ⅰ）若函数g （）=2+f （）的最小值为0，求a 的值； （Ⅱ）设h （）=f （）+a 2+（a 2+2），求函数h （）的单调区间；（Ⅲ）设函数y=f （）与函数u （）=的图象的一个公共点为P ，若过点P有且仅有一条公切线，求点P 的坐标及实数a 的值．20．已知数列{a n }，{b n }的首项a 1=b 1=1，且满足（a n+1﹣a n ）2=4，|b n+1|=q|b n |，其中n ∈N *．设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ． （Ⅰ）若不等式a n+1＞a n 对一切n ∈N *恒成立，求S n ；（Ⅱ）若常数q ＞1且对任意的n ∈N *，恒有|b|≤4|b n |，求q 的值；（Ⅲ）在（2）的条件下且同时满足以下两个条件： （ⅰ）若存在唯一正整数p 的值满足a p ＜a p ﹣1；（ⅱ） T m ＞0恒成立．试问：是否存在正整数m ，使得S m+1=4b m ，若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．四.附加题部分【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A ．【选修4-1几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为线段OA上一点，BM的延长线交⊙O于点N，过点N的切线交CA的延长线于点P．求证：PM2=PA•PC．B．【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分0分）22．已知矩阵M=，N=，若MN=．求实数a，b，c，d的值．C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分0分）23．在极坐标系中，已知点A（2，），B（1，﹣），圆O的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）求圆O的直角坐标方程．D．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分0分）24．已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了100名学生进行调查．如图是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图．（Ⅰ）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数和众数m（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）已知样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生中，男生比女生多1人，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E （ξ）．26．已知数列{a n }的通项公式为a n =（n ≥1，n ∈N *）．（Ⅰ）求a 1，a 2，a 3的值；（Ⅱ）求证：对任意的自然数n ∈N *，不等式a 1•a 2…a n ＜2•n!成立．2017年江苏省高考数学预测卷（2）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）．1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中所有元素之和是 5 ．【考点】1D：并集及其运算．【分析】利用并集定义先求出A∪B，由此能求出集合A∪B中所有元素之和．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，3}，∴A∪B={﹣1，0，1，1，2，3}，∴集合A∪B中所有元素之和是：﹣1+0+1+2+3=5．故答案为：5．2．已知复数满足（1+2i）=i，其中i为虚数单位，则复数的虚部为．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法运算化为a+bi（a，b∈R）的形式，则答案可求【解答】解：∵（1+2i）=i，∴===+，∴复数的虚部为．故答案为3．已知点M（﹣3，﹣1），若函数y=tan（∈（﹣2，2））的图象与直线y=1交于点A，则|MA|= 2．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】解方程求出函数y与直线y=1的交点A的横坐标，再求线段的长|MA|．【解答】解：令y=tan=1，解得=1+4，∈；又∈（﹣2，2），∴=1，∴函数y与直线y=1的交点为A（1，1）；又M（﹣3，﹣1），∴|MA|==2．故答案为：2．4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9，则这组数据的标准差为．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】利用定义求这组数据的平均数、方差和标准差即可．【解答】解：数据12，8，10，11，9的平均数为：=×（12+8+10+11+9）=10，方差为：s2=×[（12﹣10）2+（8﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2+（9﹣10）2]=2；∴这组数据的标准差为s=．故答案为：．5．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S的值为﹣1 ．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=﹣1，n=2016时不满足条件n＜2016，退出循环，输出S的值为﹣1，即可得解．【解答】解：输入s=0，n=1＜2016，s=0，n=2＜2016，s=﹣1，n=3＜2016，s=﹣1，n=4＜2016，s=0，n=5＜2016，…，由2016=503×4+3得，输出s=﹣1，故答案为：﹣1．6．在区间[﹣1，2]内随机取一个实数a，则关于的方程2﹣4a+5a2+a=0有解的概率是．【考点】CF：几何概型．【分析】根据几何概型计算公式，用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，即可得到所求的概率．【解答】解：∵关于的方程2﹣4a+5a2+a=0有解，∴16a 2﹣20a 2﹣4a ≥0， ∴﹣1≤a ≤0时方程有实根， ∵在区间[﹣1，2]上任取一实数a ，∴所求的概率为P==．故答案为：7．如图，在平面四边形ABCD 中，若AC=3，BD=2，则=5 ．【考点】9V ：向量在几何中的应用． 【分析】先利用向量的加法把转化为，再代入原题整理后即可求得结论． 【解答】解：因为=（+）+（+）=+（）=．∴（）•（）=（）•（）=﹣=32﹣22=5． 故答案为58．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，M 是AA 1的中点，则三棱锥A 1﹣MBC 1的体积为 4 ．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】推导出A 1C 1⊥平面A 1MB ，从而三棱锥A 1﹣MBC 1的体积=，由此能求出结果．【解答】解：∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，∴A 1C 1⊥AA 1，AC 2+AB 2=BC 2，∴A 1C 1⊥A 1B 1，∵AA 1∩A 1B 1=A 1，∴A 1C 1⊥平面A 1MB ，∵M 是AA 1的中点，∴===3， ∴三棱锥A 1﹣MBC 1的体积：====4． 故答案为：4．9．已知函数f （）=|﹣2|，则不等式f （2﹣ln （+1））＞f （3）的解集为 {|﹣1＜＜﹣1} ．【考点】7E ：其他不等式的解法．【分析】由题意，f （）=，在（2，+∞）单调递增，＜2，f （）ma =1＜f （3）=3．f （2﹣ln （+1））＞f （3）化为2﹣ln （+1）＞3，即可解不等式．【解答】解：由题意，f （）=，在（2，+∞）单调递增，＜2，f（）=1＜f（3）=3．ma∵f（2﹣ln（+1））＞f（3），∴2﹣ln（+1）＞3，∴ln（+1）＜﹣1，∴0＜+1＜，∴﹣1＜＜﹣1，∴不等式f（2﹣ln（+1））＞f（3）的解集为{|﹣1＜＜﹣1}，故答案为{|﹣1＜＜﹣1}．10．曲线f（）=ln在点P（1，0）处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积是．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，计算切线与坐标轴的交点坐标，即可得出三角形面积．【解答】解：f′（）=ln+•=ln+1，∴在点P（1，0）处的切线斜率为=1，∴在点P（1，0）处的切线l为y﹣0=﹣1，即y=﹣1，∵y=﹣1与坐标轴交于（0，﹣1），（1，0）．∴切线y=﹣1与坐标轴围成的三角形面积为S=×1×1=．故答案为：．11．设向量=（4sin，1），=（cos，﹣1）（ω＞0），若函数f（）=•+1在区间[﹣，]上单调递增，则实数ω的取值范围为（0，2] ．【考点】9R：平面向量数量积的运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】化简f（）=sinω，根据正弦函数的单调性得出f（）的单调增区间，从而列出不等式解出ω的范围．【解答】解：f（）=+1=2sin cos=sinω，令﹣+2π≤ω≤+2π，解得﹣+≤≤+，∈，∵ω＞0，∴f（）的一个单调增区间为[﹣，]，∴，解得0＜ω≤2．故答案为（0，2]．12．设函数f（）=+cos，∈（0，1），则满足不等式f（t2）＞f（2t﹣1）的实数t的取值范围是＜t＜1 ．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】求导，求导函数的单调性，将不等式转化为具体不等式，即可得出结论．【解答】解：∵f（）=+cos，∈（0，1），∴f′（）=1﹣sin＞0，函数单调递增，∵f（t2）＞f（2t﹣1），∴1＞t2＞2t﹣1＞0，∴＜t＜1，故答案为＜t＜1．13．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，抛物线E：2=4y 的焦点B是双曲线虚轴上的一个顶点，若线段BF与双曲线C的右支交于点A，且=3，则双曲线C的离心率为．【考点】C：双曲线的简单性质．【分析】由题意可知b=1，求出A点坐标，代入双曲线方程化简即可得出a，c的关系，从而得出离心率的值．【解答】解：F（c，0），B（0，1），∴b=1．设A（m，n），则=（m，n﹣1），=（c﹣m，﹣n），∵=3，∴，解得，即A（，），∵A在双曲线﹣y2=1的右支上，∴﹣=1，∴=．∴e==．故答案为：．14．已知a，b，c，d∈R且满足==1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为ln．【考点】4H：对数的运算性质．【分析】根据题意可将（a，b），（c，d）分别看成函数=+3ln与y=2+3上任意一点，然后利用两点的距离公式，结合几何意义进行求解．【解答】解：因为==1，所以可将P：（a，b），Q：（c，d）分别看成函数y=+3ln与y=2+3上任意一点，问题转化为曲线上的动点P与直线上的动点Q之间的最小值的平方问题，设M（t，t+3lnt）是曲线y=+3ln的切点，因为y′=1+，故点M处的切斜的斜率=1+，由题意可得1+=2，解得t=3，也即当切线与已知直线y=2+3平行时，此时切点M（3，3+3ln3）到已知直线y=2+3的距离最近，最近距离d==，也即（a﹣c）2+（b﹣d）2==ln，故答案为：ln二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．在△ABC中，已知三内角A，B，C成等差数列，且sin（+A）=．（Ⅰ）求tanA及角B的值；（Ⅱ）设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）根据等差数列的性质可得B=，再根据诱导公式和同角的三角函数的关系即可求出tanA．（Ⅱ）根据正弦定理求出b，再根据余弦定理求出c．【解答】解：（Ⅰ）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，则B=，∵sin（+A）=，∴cosA=，∴sinA==，∴tanA==；（Ⅱ）由正弦定理可得=，∴b==7，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，即25=49+c2﹣11c，解得c=3或c=8，∵cosA=＞cos，∴A＜，∴C＞，∴c=3舍去，故c=8．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，AF∥平面PCE；（Ⅱ）由（Ⅰ）得EG∥AF，只需证明AF⊥面PDC，即可得到平面PEC⊥平面PCD．【解答】证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，∴FG为△CDP的中位线，FG∥CD，FG=CD．∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE∥CD，AE=CD．∴FG=AE，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，∴AF∥平面PCE；（Ⅱ）∵PA=AD．∴AF⊥PDPA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又因为CD⊥AB，AP∩AB=A，∴CD⊥面APD∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，∴AF⊥面PDC由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC又EG⊂平面PCE，∴平面PEC⊥平面PCD．17．如图所示的矩形是长为100码，宽为80码的足球比赛场地．其中PH是足球场地边线所在的直线，AB是球门，且AB=8码．从理论研究及经验表明：当足球运动员带球沿着边线奔跑时，当运动员（运动员看做点P）所对AB的张角越大时，踢球进球的可能性就越大．（1）若PH=20，求tan∠APB的值；（2）如图，当某运动员P沿着边线带球行进时，何时（距离AB所在直线的距离）开始射门进球的可能性会最大？【考点】74：一元二次不等式的解法；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）计算tan∠APH与tan∠BPH的值，利用两角差的正切公式求出tan∠APB的值；（2）设PH=，∈（0，100），计算tan∠APH、tan∠BPH的值，求出tan∠APB 的解析式，利用基本不等式求出它的最大值即可．【解答】解：（1）AB=8，AH=40﹣4=36，PH=20，∴tan∠APH==，tan∠BPH==，∴tan∠APB=tan（∠BPH﹣∠APH）==；即PH=20，tan∠APB的值为；（2）设PH=，∈（0，100），∴tan∠APH=，tan∠BPH=，∴tan∠APB=tan（∠BPH﹣∠APH）===≤==，当且仅当=12时取“=”；∴当运动员P沿着边线带球行进时，离AB所在直线的距离为12码开始射门进球的可能性会最大．18．平面直角坐标系oy中，直线﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于轴的对称点为N，若直线MP、NP 分别交于轴于点（m ，0）和（n ，0），问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】JE ：直线和圆的方程的应用；J8：直线与圆相交的性质．【分析】（1）求出O 点到直线﹣y+1=0的距离，进而可求圆O 的半径，即可得到圆O 的方程；（2）设直线l 的方程，利用直线l 与圆O 相切，及基本不等式，可求DE 长最小时，直线l 的方程；（3）设M （1，y 1），P （2，y 2），则N （1，﹣y 1），，，求出直线MP 、NP 分别与轴的交点，进而可求mn 的值．【解答】解：（1）因为O 点到直线﹣y+1=0的距离为，所以圆O 的半径为， 故圆O 的方程为2+y 2=2．（2）设直线l 的方程为，即b+ay ﹣ab=0，由直线l 与圆O 相切，得，即，，当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l 的方程为+y ﹣2=0．（3）设M （1，y 1），P （2，y 2），则N （1，﹣y 1），，，直线MP 与轴交点，，直线NP 与轴交点，，===2，故mn 为定值2．19．已知函数f （）=aln （a ∈R ）．（Ⅰ）若函数g （）=2+f （）的最小值为0，求a 的值； （Ⅱ）设h （）=f （）+a 2+（a 2+2），求函数h （）的单调区间；（Ⅲ）设函数y=f （）与函数u （）=的图象的一个公共点为P ，若过点P有且仅有一条公切线，求点P 的坐标及实数a 的值．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值；6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）函数整理为g （）=aln+2，求导，由题意可知，函数的最小值应在极值点处取得，令f ′（）=0，代入求解即可；（Ⅱ）函数整理为h （）=aln+a 2+（a 2+2），求导得h ′（），对参数a 进行分类讨论，逐一求出单调区间；（Ⅲ）设出公共点坐标P （m ，n ）的坐标，求出坐标间的关系，得到lnm ﹣m+1=0，通过讨论函数ω（）=lnm ﹣m+1的单调性解方程即可． 【解答】解：（Ⅰ）g （）=f （）+2=aln+2，（＞0），g ′（）=+2，a ≥0时，g ′（）＞0，函数在（0，+∞）递增，无最小值，a ＜0时，g ′（）=，令g ′（）＞0，解得：＞﹣，令g ′（）＜0，解得：0＜＜﹣，∴函数g （）=f （）+2在（0，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，故函数在=﹣处取得最小值，∴aln（﹣）﹣a=0，解得：a=﹣2e；（Ⅱ）h（）=f（）+a2+（a2+2）=aln+a2+（a2+2），∴h′（）=，当a=0时，h（）=2，定义域内递增；当a≠0时，令h′（）=0，∴=﹣或=﹣，当a＞0时，h′（）＞0，h（）定义域内递增；当a＜0时，当a＞﹣时，函数的增区间为（0，﹣），（﹣，+∞），减区间为（﹣，﹣）；当a＜﹣时，函数的增区间为（0，﹣），（﹣，+∞），减区间为（﹣，﹣）；当a=﹣时，定义域内递增．（Ⅲ）a=符合题意，理由如下：此时P（1，0）设函数f（）与u（）上公共点P（m，n），依题意有f（m）=u（m），f′（m）=u′（m），即，⇒得到lnm﹣m+1=0，构造函数ω（）=lnm﹣m+1，（＞0）ω′（）=，可得函数ω（）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，而ω（1）=0∴方程lnm﹣m+1=0有唯一解，即m=1，a=20．已知数列{an }，{bn}的首项a1=b1=1，且满足（an+1﹣an）2=4，|bn+1|=q|bn|，其中n ∈N *．设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ． （Ⅰ）若不等式a n+1＞a n 对一切n ∈N *恒成立，求S n ；（Ⅱ）若常数q ＞1且对任意的n ∈N *，恒有|b|≤4|b n |，求q 的值；（Ⅲ）在（2）的条件下且同时满足以下两个条件： （ⅰ）若存在唯一正整数p 的值满足a p ＜a p ﹣1；（ⅱ） T m ＞0恒成立．试问：是否存在正整数m ，使得S m+1=4b m ，若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【分析】（I ）{a n }是公差为2的等差数列，代入求和公式即可得出S n ；（II ）用q 表示出|b|和4|b n |，根据q 的范围及恒等式得出q ﹣2=0；（III ）利用条件可得{a n }，{b n }的通项，求出S m+1，4b m ，从而得出m 的存在性．【解答】解：（I ）∵（a n+1﹣a n ）2=4，a n+1＞a n ，∴a n+1＞a n =2， ∴{a n }是以a 1=1为首项，以2为公差的等差数列， ∴a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1．∴S n ==n 2．（II ）∵|b n+1|=q|b n |，∴|b n |=q|b n ﹣1|=q 2|b n ﹣2|=q n ﹣1|b 1|=q n ﹣1．|b|=1+q+q 2+…+q n =，∵常数q ＞1且对任意的n ∈N *，恒有|b|≤4|b n |，∴≤4q n ﹣1，即1﹣q n+1≥4q n ﹣1﹣4q n ，∴q n ﹣1（q 2﹣4q+4）≤1，即q n ﹣1（q ﹣2）2≤1恒成立， ∴q=2．（III ）由（II ）可知{|b n |}是以1为首项，以2为公比的等比数列， ∵T m ＞0，∴{b n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，即b n =2n ﹣1，∵（a n+1﹣a n ）2=4，∴a n+1﹣a n =2或a n+1﹣a n =﹣2， ∵存在唯一正整数p 的值满足a p ＜a p ﹣1，∴当n ≤p ﹣1或n ≥p 时，{a n }是公差为2的递增数列， ∴p ≥2，①若p=2，则a n =，∴S m =（m ﹣2）2，∴S m+1=（m ﹣1）2，而4b m =4•2m ﹣1=2m+1， ∴4b m ﹣S m+1=2m+1﹣（m ﹣1）2＞0， 下面用数学归纳法给出证明： 当m=1时，结论显然成立，假设m=时，结论成立，即2+1﹣（﹣1）2＞0， 则2+2﹣2＞2•2+1﹣（﹣1）2＞2+1﹣（﹣1）2＞0， 即当m=+1时，结论也成立，∴4b m ﹣S m+1＞0恒成立，即不存在正整数m 使得S m+1=4b m ． ②若p ≥3，则a 1=1，a 2=3， ∴S 2=1+3=4=4b 1，∴P ≥3时，存在正整数m=1，使得S m+1=4b m ． 综上，当p=2时，不存在正整数m 使得S m+1=4b m ； 当p ≥3时，存在正整数m 使得S m+1=4b m ，此时m=1．四.附加题部分【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A ．【选修4-1几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为线段OA 上一点，BM 的延长线交⊙O 于点N ，过点N 的切线交CA 的延长线于点P ．求证：PM 2=PA •PC ．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】做出辅助线连接ON，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论【解答】证明：连接ON，则∵PN切⊙O于N，∴∠ONP=90°，∴∠ONB+∠BNP=90°∵OB=ON，∴∠OBN=∠ONB，∵OB⊥AC于O，∴∠OBN+∠BMO=90°，故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN，∴PM2=PN2=PA•PC．B．【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分0分）22．已知矩阵M=，N=，若MN=．求实数a，b，c，d的值．【考点】OE：矩阵与矩阵的乘法的意义．【分析】利用矩阵的乘法公式，建立方程，即可求实数a，b，c，d的值．【解答】解：由题意，，∴a=1，b=﹣1，c=2，d=2．C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分0分）23．在极坐标系中，已知点A（2，），B（1，﹣），圆O的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）求圆O的直角坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）求出A，B的直角坐标，即可求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）将原极坐标方程ρ=4sinθ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）点A（2，），B（1，﹣），=﹣（4+）直角坐标为A（0，2），B（，﹣），∴直线AB的直角坐标方程为y=﹣（4+）+2；（Ⅱ）将原极坐标方程ρ=4sinθ，化为：ρ2=4ρsinθ，化成直角坐标方程为：2+y2﹣4y=0，即2+（y﹣2）2=4．D．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分0分）24．已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．【考点】R6：不等式的证明．【分析】利用基本不等式，再相加，即可证得结论．【解答】证明：∵a，b，c都是正数，∴a2b2+b2c2≥2ab2c，a2b2+c2a2≥2a2bc，c2a2+b2c2≥2abc2∴2（a2b2+b2c2+c2a2）≥2ab2c+2a2bc+2abc2∴a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+a2bc+abc2∴≥abc．【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了100名学生进行调查．如图是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图．（Ⅰ）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数和众数m（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）已知样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生中，男生比女生多1人，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E（ξ）．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中，[30，40）对应的小矩形最高，能求出m，由频率分布直方图，能求出抽取样本的平均数．（Ⅱ）样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生为5人，其中男生3人，女生2人，则ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵频率分布直方图中，[30，40）对应的小矩形最高，∴m=35，由频率分布直方图，得：．（Ⅱ）样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生为0.05×100=5人，其中男生3人，女生2人，则ξ的可能取值为1，2，3，，，∴ξ的分布列为：所以．26．已知数列{a n }的通项公式为a n =（n ≥1，n ∈N *）．（Ⅰ）求a 1，a 2，a 3的值；（Ⅱ）求证：对任意的自然数n ∈N *，不等式a 1•a 2…a n ＜2•n!成立． 【考点】8：数列与不等式的综合；81：数列的概念及简单表示法． 【分析】（Ⅰ）代值计算即可，（Ⅱ）先利用分析法，要证明不等式成立，只需要证明等式（1﹣）（1﹣）（1﹣） (1)）≥1﹣（+++…+）恒成立即可，用数学归纳法证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a n =（n ≥1），∴a 1==，a 2==，a 3==，（Ⅱ）∵a n ==，可得a 1•a 2…a n =，因此欲证明不等式a 1•a 2…a n ＜2•n!成立，只需要证明对一切非零自然数n ，不等式（1﹣）（1﹣）（1﹣） (1)）＞恒成立即可，显然左端每个因式都为正数，且因1﹣（+++…+）=1﹣（）=1﹣（1﹣）＞1﹣=，故只需要证明对非零自然数，不等式（1﹣）（1﹣）（1﹣） (1)）≥1﹣（+++…+）恒成立即可，下面用数学归纳法证明该不等式成立，①显然当n=1时，不等式1﹣≥1﹣成立，②假设当n=时不等式成立，即（1﹣）（1﹣）（1﹣） (1)）≥1﹣（+++…+）成立，那么当n=+1时，（1﹣）（1﹣） (1)）（1﹣）≥[1﹣（+++…+）]（1﹣），即不等式右边=1﹣（+++…+）﹣+（+++…+），注意到（+++…+）＞0，所以，（1﹣）（1﹣） (1)）（1﹣）≥1﹣（+++…++），这说明当n=+1时，不等式也成立，由①②可知，不等式对一切非零自然数都成立，2017年5月24日。
1.5.2.51. 3.52. 4.2. 5.1-. 6.31. 7.5 8.4.9.)11,1(--e . 10.21. 11.(0,2]. 12.)1,21(. .13.317. 14.e 9ln 59.16.【解析】证明：（1）取PC 的中点G ，连EG GF ,则CD FG GC PG FD PF 21//⇒⎭⎬⎫==，------（2分） 又CD AE 21//，所以FG AE //，所以四边形AEGF 是平行四边形，----------------（3分） 则////AF PEC EG PEC AF EGAF ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄平面平面平面PEC .------------------（6分） （2）因⊂⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥AF PAD CD A PA AD AD CD CD PA ABCD CD ABCD PA ，平面平面平面 ,平面PAD ，故AF CD ⊥---（8分）又因为D CD PD PD AF FD PF AP AD =⊥⇒⎭⎬⎫== ,，故⊥AF 平面PCD ；------------（10分）因为AF EG //，所以⊥EG 平面PCD ，----------------------------------（12分）又⊂EG 平面PEC ，所以平面⊥PCD 平面PEC .------------------------（14分）DB答：当运动员在边线上，且距离AB 所在直线的距离为1112码时，此时射门进球的可能性最大.（14分）B AHP（Ⅱ）设),(),,(0011y x P y x M ，由题意),(11y x N -，则1010x x y y k MP --=，直线)(:010100x x x x y y y y MP ---=-，----------------（10分）令0=y ，解之得0010001100010010010101()y x x x y x y x y x y x y x y x x y y y y y y ----+-=+==---，∴100101x y x y m y y -=-；------（12分）又因为则1010x x y y k NP -+=，直线)(:010100x x x x y y y y NP --+=-，--------------（13分） 令0=y 可得0010001001001100010101()y x x x y x y x y x y x y x y x x y y y y y y --+-++=+==+++，∴011001x y x y n y y +=+------（14分）212021202021100110101001y y y x y x y y y x y x y y y x y x mn --=++⋅--=，--------------（15分） 由于202021212,2y x y x -=-=，故22222)2()2(212021202120212021202120212021202021=--=-+--=----=y y y y y y y y y y y y y y y y y y mn ，∴mn 为定值2.-----（16分）学科*网（Ⅱ）因x a ax x a x h )2(ln )(22+++=（0x >），故xax a x x a x a ax a ax x a x h )1)(2()2(2)2(2)(222/++=+++=+++=----------（5分） ①若0≥a ，则0)(/>x h ，函数)(x h 在),0(+∞上单调递增；--------（6分）②若0<a ，则当aa 12->-，即22>a ，也即2-<a 时，在1(0,)x a ∈-时，0)(/<x h ，函数)(x h 单调递减；在)2,1(a a x --∈时，0)(/>x h ，函数)(x h 单调递增；在),2(+∞-∈a x 时，0)(/<x h ，函数)(x h 单调递减；------------------------------------------------------（8分） 当aa 12-<-，即22<a ，也即02<<-a 时，在(0,)2ax ∈-时，0)(/<x h ，函数)(x h 单调递减；在)1,2(a a x --∈时，0)(/>x h ，函数)(x h 单调递增；在),1(+∞-∈ax 时，0)(/<x h ，函数)(x h 单调递减.---------------------------------------------------（10分） 综上：当0≥a ，函数)(x h 的单调递增区间是),0(+∞；当02<<-a 时，函数)(x h 的单调增区间是)1,2(a a --，单调减区间是(0,)2a-和),1(+∞-a当2-=a 时，函数)(x h 的单调递减区间是),0(+∞； 当2-<a 时，函数)(x h 的单调递增区间是)2,1(a a --；单调递减区间是1(0,)a -和),2(+∞-a .--------（11分）20.【解析】（Ⅰ）由题设数列}{n a 的首项11=a ，公差为2=d ， 则2(1)22n n n S n n -=+=，-------------------------（3分） （Ⅱ）因为1n n b q b +=,11b =，所以1n n b q -=，11111n n k k q b q ++=-=-∑，故11141n n q q q +--≤-， 又因为1q >，得12(2)1n qq --≤，所以211(2)()n q q--≤，因为1q >，所以11()0n q-→，所以2(2)0q -≤，故2q =，------------------（6分）（Ⅲ）因为1||2m m b -=，所以12m m b -=或者12m m b -=-， 若12m m b -=-时，12112(1242)21012m m m m m T b ----≤+++++=-+=-<-舍去 若12m m b -=时，12112(1242)221012m m m m m m T b ----≥-++++=-=->-， 故12m m b -= ，-------------------------------------------------------------------（9分），而2113(21)(1)m S m m +≤++++=+，因为14m m S b +=，所以122(1)m m +≤+，令122(1)m m d m +=+，则21221(1)m m d m d m +=≤+，解之得2,3m =， 故满足122(1)m m +≤+的m 值为1,2,3，------------------------ ---------------------------（12分）所以存在正整数m ，使得14m m S b +=， 此时35m p =⎧⎨≥⎩，或者13m p =⎧⎨≥⎩. -----------------------（16分）学科*网21.【答案】A .【解析】如图，连ON ，因为PN 是切线，所以090=∠ONP ，即090=∠+∠PNM ONM ， 又因为AC OB ⊥，所以090=∠+∠OMB OBM ，注意到OBM ONM ∠=∠，因此OMB PNM ∠=∠---（4分）PCB又因为OMB PMN ∠=∠，所以PNM PMN ∠=∠，则有PN PM =，---------------------（6分）由切割线定理可得：PC PA PN ⋅=2，即PC PA PM ⋅=2.-------------------（10分）21.【答案】B ． 【解析】因为⎢⎣⎡=b MN 1⎢⎣⎡⎥⎦⎤21c a ⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤-221bc a c d ⎥⎦⎤+-+-d b ad 1，-------------（4分） 故由题设可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+=+-=+0224122d b bc ad a c -----------（6分），解之可得3,34,3,35=-===d c b a .--------（10分）21. 【答案】C.21. 【答案】D .【解析】因为c b a ,,均为正数，所以ab b a 222≥+且02>c ，则22222)(abc b a c ≥+--------（2分），同理c ab c a b 22222)(≥+--------（4分）；bc a c b a 22222)(≥+--------（6分）， 将以上三式两边相加可得bc a c ab abc a c c b b a 222222222222)(2++≥++--------（8分），即)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++，也即abc cb a ac c b b a ≥++++222222.------------（10分）学科*网22.【解析】解：（Ⅰ）35=m ，-----------------------（1分）2.2905.0552.04525.03522.02518.0151.05=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x --------------（3分）（Ⅱ）样本中玩电脑游戏时长在]60,50[内的学生为510005.0=⨯人，---------------------（4分）其中男生3人，女生2人，则ξ 的可能取值为3,2,1，则,103)1(352213===C C C P ξ,53106)2(351223====C C C P ξ101)3(3533===C C P ξ--------------（7分） ξ的分布列为---------------------------------------------（8分） 所以5910135321031)(=⨯+⨯+⨯=x E .----------------（10分） 23.【解析】下用数学归纳法证明该不等式成立：（1）显然当1=n 时，不等式（*）恒成立；----------------------------------（6分） （2）假设当k n =时不等式（*）也成立，即不等式)313131(1)311()311)(311(22kk +⋅⋅⋅++-≥-⋅⋅⋅--成立，那么当1+=k n 时，]311)][313131(1[)311)(311()311)(311(1212++-+⋅⋅⋅++-≥--⋅⋅⋅--k k k k ， 即)313131(3131)313131(1)311()311)(311(211212kk k k k +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅++-≥-⋅⋅⋅--+++， 注意到0)313131(3121>+⋅⋅⋅+++k k ，所以)31313131(1)311()311)(311(1212++++⋅⋅⋅++-≥-⋅⋅⋅--k k k ， 这说明当1+=k n 时，不等式不等式（*）也成立.----------------------------------------（9分）因此由数学归纳法可知：不等式（*）对一切非零自然数都成立；即21)313131(1)311()311)(311(22>+⋅⋅⋅++-≥-⋅⋅⋅--n n 恒成立，故欲证不等式!221n a a a n ⋅<⋅⋅⋅⋅对一切非零自然数都成立.-----------------------------（10分）学科*网数学第11页（共11页）。
押题卷(二)参考公式样本数据1，2，…，n的方差s2＝1ni＝1n(i－x)2，其中x＝1ni＝1nx i.棱柱的体积V＝Sh，其中S是棱柱的底面积，h是高．棱锥的体积V＝13Sh，其中S是棱锥的底面积，h是高．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．已知集合A＝{|2－－2≤0}，集合B＝{|1＜≤3}，则A∪B＝________.{|－1≤≤3} [由2－－2≤0，解得－1≤≤2.∴A＝{|－1≤≤2}，又集合B＝{|1＜≤3}，∴A∪B＝{|－1≤≤3}．]2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a＋i＝1－bi，则(a＋bi)8＝________.16 [由a＋i＝1－b i可得a＝1，b＝－1，从而(a＋b i)8＝(1－i)8＝(－2i)4＝16.]3．从某班抽取5名学生测量身高(单位：cm)，得到的数据为160,162,159,160,159，则该组数据的方差s2＝________.6 5[数据160,162,159,160,159的平均数是160，则该组数据的方差s2＝15(02＋22＋12＋02＋12)＝6 5 .]4．若双曲线2＋my2＝1过点(－2，2)，则该双曲线的虚轴长为________．【导学号：91632082】4 [∵双曲线2＋my2＝1过点(－2，2)，∴2＋4m＝1，即4m＝－1，m＝－1 4，则双曲线的标准方程为2－y24＝1，则b＝2，即双曲线的虚轴长2b＝4.]5．根据下列的伪代码，可知输出的结果S为________．i←1While i＜100i←i＋2S←2i＋3End WhilePrint S205 [该程序的作用是输出满足条件i＝2n＋1，n∈N，i＝i＋2≥100时，S ＝2i＋3的值．∵i＋2＝101时，满足条件，∴输出的S值为S＝2×101＋3＝205.] 6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________．13[设一、二等奖各用A，B表示，另1张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB，AC，BA，BC，CA，CB共6个，其中两人都中奖的有AB，BA，共2个，故所求的概率P＝26＝13.]7．已知函数y＝Asin(ω＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象如图1所示，则该函数的解析式是________．图1y＝2sin 27x＋π6[由图知A＝2，y＝2sin(ω＋φ)，∵点(0,1)在函数的图象上，∴2sin φ＝1，解得sin φ＝12，∴利用五点作图法可得φ＝π6 .∵点－7π12，0在函数的图象上，∴2sin－7π12ω＋π6＝0，∴－7π12ω＋π6＝π，∈，解得ω＝27－12k7，∈.∵ω＞0，∴当＝0时，ω＝27，∴y＝2sin 27x＋π6.]8．如图2，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E-A1B1C1D1的体积为V1，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V2，则V1V2的值是________．图219[连结B1D1，设B1D1∩A1C1＝F，再连结BF，平面A1BC1∩平面BDD1B1＝BF，因为E∈平面A1BC1，E∈平面BDD1B1，所以E∈BF，连结BD，因为F是A1C1的中点，所以BF是中线，又根据B1F═∥12BD，所以EFEB＝12，所以E是△A1BC1的重心，那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的13，所以V1＝13SA1B1C1D1×13BB1，而V2＝SA1B1C1D1×BB1，所以V1V2＝19.]9．已知实数，y满足x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1，则y＋1x的取值范围是________．1，52[作出不等式组对应的平面区域，y＋1x的几何意义是区域内的点到定点D(0，－1)的斜率，由图象知，AD的斜率最大，BD的斜率最小，此时最小值为1，由x＝1，x＋2y－4＝0，得x＝1，y＝32，即A1，32，此时AD的斜率＝32＋11＝52，即1≤y＋1x≤52，故y＋1x的取值范围是1，52.]10．已知{a n}，{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，总有S nT n＝3n＋14，则a3b3＝________.9 [设{a n}，{b n}的公比分别为q，q′，∵S nT n＝3n＋14，∴n＝1时，a1＝b1.n＝2时，a1＋a1qb1＋b1q′＝52.n＝3时，a1＋a1q＋a1q2b1＋b1q′＋b1q′2＝7.∴2q－5q′＝3,7q′2＋7q′－q2－q＋6＝0，解得q＝9，q′＝3，∴a3b3＝a1q2b1q′2＝9.]11．已知平行四边形ABCD 中．∠BAD ＝120°，AB ＝1，AD ＝2，点P 是线段BC 上的一个动点，则AP →·DP →的取值范围是________．【导学号：91632083】－14，2[以B 为坐标原点，以BC 所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，作AE ⊥BC ，垂足为E ，∵∠BAD ＝120°，AB ＝1，AD ＝2，∴∠ABC ＝60°，∴AE ＝32，BE ＝12，∴A 12，32，D 52，32.∵点P 是线段BC 上的一个动点，设点P (,0)，0≤≤2，∴AP →＝x －12，－32，DP →＝x －52，－32，∴AP →·DP →＝x －12x －52＋34＝x －322－14，∴当＝32时，有最小值，最小值为－14，当＝0时，有最大值，最大值为2，则AP →·DP →的取值范围为－14，2.]12．如图3，已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)上有一个点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF ⊥BF ，当∠ABF ＝π12时，椭圆的离心率为________．图363[设椭圆的左焦点为F 1，连结AF 1，BF 1，由对称性及AF ⊥BF 可知，四边形AFBF 1是矩形，所以|AB |＝|F 1F |＝2c ，所以在Rt △ABF 中，|AF |＝2c sin π12，|BF |＝2c cos π12，由椭圆定义得2c cos π12＋sin π12＝2a ，即e ＝ca＝1cos π12＋sin π12＝12sinπ4＋π12＝63.]13．在斜三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若1tan A ＋1tan B ＝1tan C，则ab c 2的最大值为________．32[由1tan A ＋1tan B ＝1tan C 可得，cos A sin A ＋cos B sin B ＝cos Csin C，即sin B cos A ＋cos B sin A sin Asin B ＝cos C sin C ，∴sin B ＋A sin A sin B ＝cos C sin C ，即sin Csin Asin B ＝cos C sin C，∴sin 2C ＝sin A sin B cos C ．根据正弦定理及余弦定理可得，c 2＝ab·a2＋b2－c22ab，整理得a2＋b2＝3c2，∴abc2＝aba2＋b23＝3aba2＋b2≤3ab2ab＝32，当且仅当a＝b时等号成立．]14．对于实数a，b，定义运算“□”：a□b＝a2－ab，a≤b，b2－ab，a＞b.设f()＝(－4)□74x－4，若关于的方程|f()－m|＝1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．(－1,1)∪(2,4)[由题意得，f()＝(－4)□74x－4＝－34x2＋3x，x≥0，2116x2－3x，x＜0，画出函数f()的大致图象如图所示．因为关于的方程|f()－m|＝1(m∈R)，即f()＝m±1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根，所以两直线y＝m±1(m∈R)与曲线y＝f()共有四个不同的交点，则m＋1＞3，0＜m－1＜3或0＜m＋1＜3，m－1＜0或m＋1＝3，m－1＝0，得2＜m＜4或－1＜m＜1.]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)设α为锐角，且cosα＋π6＝35.(1)求cosα－π3的值；(2)求cos2α－π6的值．[解] (1)∵α为锐角，∴α＋π6∈π6，23π.又cosα＋π6＝35，故sinα＋π6＝45. 4分∴cosα－π3＝cosπ2－α＋π6＝sinα＋π6＝45. 6分(2)又sinα－π3＝－sinπ2－α＋π6＝－cosα＋π6＝－35. 8分故cos2α－π6＝cosα＋π6＋α－π3＝cosα＋π6cosα－π3－sinα＋π6sinα－π3＝35×45－45×－35＝2425. 14分16．(本小题满分14分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，AA1＝2AB，D 是AB的中点．图4(1)求证：BC1∥平面A1CD；(2)若点P在线段BB1上，且BP＝14BB1，求证：AP⊥平面A1CD.[证明] (1)连结AC1，设交A1C于点O，连结OD. 2分∵四边形AA1C1C是矩形，∴O是AC1的中点．在△ABC1中，O，D分别是AC1，AB的中点，∴OD∥BC1. 4分又∵OD?平面A1CD，BC1?平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD. 6分(2)∵CA＝CB，D是AB的中点，∴CD⊥AB.又∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC⊥侧面AA1B1B，交线为AB，CD?平面ABC，∴CD⊥平面AA1B1B. 10分∵AP?平面A1B1BA，∴CD⊥AP.∵BB1＝2BA，BB1＝AA1，BP＝14BB1，∴BPBA＝24＝ADAA1，∴Rt△ABP∽Rt△A1AD，12分从而∠AA1D＝∠BAP，∴∠AA1D＋∠A1AP＝∠BAP＋∠A1AP＝90°，∴AP⊥A1D.又∵CD∩A1D＝D，CD?平面A1CD，A1D?平面A1CD，∴AP⊥平面A1CD. 14分17．(本小题满分14分)如图5，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧AB是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP(点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合)建栈桥．考虑到美观需要，设计方案为DP＝DC，∠CDP＝60°且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部，已知BC＝2OB＝2(m)，沿湖岸BC与直线栈桥CD，DP及圆弧栈桥BP围成的区域(图中阴影部分)的面积为S(m2)，∠BOP＝θ.图5(1)求S关于θ的函数关系式；(2)试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cos θ的值，若不存在，说明理由．[解] (1)在△COP中，CP2＝CO2＋OP2－2CO·OP cos θ＝10－6cos θ，从而△CDP的面积S△CDP＝34CP2＝32(5－3cos θ). 4分又因为△COP的面积S△COP＝12OC·OP sin θ＝32sin θ，所以S＝S△CDP＋S△COP－S扇形OBP＝12(3sin θ－33cos θ－θ)＋532，0＜θ≤θ0＜π，cos θ0＝1－10512. 6分注：当DP所在直线与半圆相切时，设θ取得最大值θ0，此时在△COP中，OP＝1，OC＝3，∠CPO＝30°，CP＝10－6cos θ0，由正弦定理得10－6cos θ0＝6sin θ0，cos θ0＝1±10512.(2)存在．由(1)知，S′＝12(3cos θ＋33sin θ－1)，令S′＝0，得sinθ＋π6＝16.当0＜θ＜θ0时，S′＞0，所以当θ＝θ0时，S取得最大值. 10分或因为0＜θ＜π，所以存在唯一的θ0∈π2，π，使得sinθ0＋π6＝16.当0＜θ＜θ0＜π时，S′＞0，所以当θ＝θ0时，S取得最大值．此时cosθ0＋π6＝－356，cos θ0＝cosθ0＋π6－π6＝1－10512. 14分18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系Oy中，设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率是e，定义直线y＝±be为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为y＝±２3，长轴长为 4.(1)求椭圆C的方程；(2)点P在椭圆C的“类准线”上(但不在y轴上)，过点P作圆O：2＋y2＝3的切线l，过点O且垂直于OP的直线与l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论．[解] (1)由题意知abc＝23，a＝2，又a2＝b2＋c2，解得b＝3，c＝1，4分所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1. 6分(2)点A在椭圆C上．证明如下：设切点为Q(0，y0)，0≠0，则20＋y20＝3，切线l的方程为0＋y0y－3＝0，当y P＝23时，P＝3－23y0x0，即P 3－23y0x0，23，10分则OP＝233－23y0x0＝2x03－2y0，所以OA＝2y0－32x0，直线OA的方程为y＝2y0－32x0.联立y＝2y0－32x0x，x0x＋y0y－3＝0，解得x＝6x06－3y0，y＝32y0－36－3y0，即A6x06－3y0，32y0－36－3y0. 13分因为6x06－3y024＋32y0－36－3y023＝93－y20＋34y20－43y0＋33y20－123y0＋36＝3y20－123y0＋363y20－123y0＋36＝1，所以点A的坐标满足椭圆C的方程．当y P＝－23时，同理可得点A的坐标满足椭圆C的方程，所以点A在椭圆C上. 16分19．(本小题满分16分)已知数列{a n}满足2a n＋1＝a n＋a n＋2＋(n∈N*，∈R)，且a1＝2，a3＋a5＝－4.(1)若＝0，求数列{a n}的前n项和S n；(2)若a4＝－1，求数列{a n}的通项公式a n.[解] (1)当＝0时，2a n＋1＝a n＋a n＋2，即a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，所以数列{a n}是等差数列. 4分设数列{a n}的公差为d，则a1＝2，2a1＋6d＝－4，解得a1＝2，d＝－43，所以S n＝na1＋n n－12d＝2n＋n n－12×－43＝－23n2＋83n. 6分(2)由题意，2a4＝a3＋a5＋，即－2＝－4＋，所以＝2. 又a4＝2a3－a2－2＝3a2－2a1－6，所以a2＝3.由2a n＋1＝a n＋a n＋2＋2，得(a n＋2－a n＋1)－(a n＋1－a n)＝－2.所以，数列{a n＋1－a n}是以a2－a1＝1为首项，－2为公差的等差数列．所以a n＋1－a n＝－2n＋3，10分当n≥2时，有a n－a n－1＝－2(n－1)＋3.于是，a n－1－a n－2＝－2(n－2)＋3，a n－2－a n－3＝－2(n－3)＋3，…a3－a2＝－2×2＋3，a2－a1＝－2×1＋3，叠加得，a n－a1＝－2(1＋2＋…＋(n－1))＋3(n－1)(n≥2)，所以a n＝－2×n n－12＋3(n－1)＋2＝－n2＋4n－1(n≥2). 14分又当n＝1时，a1＝2也适合．所以数列{a n}的通项公式为a n＝－n2＋4n－1，n∈N*. 16分20．(本小题满分16分)已知函数f()＝e 13x3－2x2＋(a＋4)－2a－4，其中a∈R，e为自然对数的底数．(1)关于的不等式f()＜－43e在(－∞，2)上恒成立，求a的取值范围；(2)讨论函数f()极值点的个数．[解] (1)由f()＜－43e，得e13x3－2x2＋a＋4x－2a－4＜－43e，即3－62＋(3a＋12)－6a－8＜0对任意∈(－∞，2)恒成立，即(6－3)a＞3－62＋12－8对任意∈(－∞，2)恒成立， 4分因为＜2，所以a＞x3－6x2＋12x－8－3x－2＝－13(－2)2，记g()＝－13(－2)2，因为g()在(－∞，2)上单调递增，且g(2)＝0，所以a≥0，即a的取值范围为[0，＋∞). 6分(2)由题意，可得f′()＝e 13x3－x2＋ax－a，可知f()只有一个极值点或有三个极值点．令g()＝133－2＋a－a，①若f()有且仅有一个极值点，则函数g()的图象必穿过轴且只穿过一次，即g()为单调递增函数或者g()极值同号．(ⅰ)当g()为单调递增函数时，g′()＝2－2＋a≥0在R上恒成立，得a≥1. (ⅱ)当g()极值同号时，设1，2为极值点，则g(1)·g(2)≥0，由g′()＝2－2＋a＝0有解，得a＜1，且21－21＋a＝0，22－22＋a＝0，所以1＋2＝2，12＝a，10分所以g(1)＝1331－21＋a1－a＝131(21－a)－21＋a1－a＝－13(21－a)－13a1＋a1－a＝23[(a－1)1－a]，同理，g(2)＝23[(a－1)2－a]，所以g(1)g(2)＝23[(a－1)1－a]·23[(a－1)2－a]≥0，化简得(a－1)212－a(a－1)(1＋2)＋a2≥0，所以(a－1)2a－2a(a－1)＋a2≥0，即a≥0，所以0≤a＜1.所以，当a≥0时，f()有且仅有一个极值点；②若f()有三个极值点，则函数g()的图象必穿过轴且穿过三次，同理可得a＜0.综上，当a≥0时，f()有且仅有一个极值点，当a＜0时，f()有三个极值点. 16分。
1．(－∞，1)【解析】 由题意得，函数满足101x>-，解得1x <，所以函数的定义域为(),1-∞。
2．2【解析】 由题意得，复数满足()()()2121111i i i z i i i i +===-+--+，所以1z i =--， 所以()()112z z i i ⋅=-+--=。
6．31【解析】 由等比数列的求和公式，由1421,50a S S =-=，得()()4211115011a q a q qq---=--，即()()22140qq --=，又因为正数等比数列，解得2q =，所以()5515112)31112a q S q--===--。
7【解析】 由题意得，将函数()sin f x x =的图象向右平移3π个单位，得()sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()()3sin sin sin 326y f x g x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，8．6【解析】由抛物线方程为26y x =，所以焦点坐标3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为32x =-，因为AF 的斜率为AF 的方程为32y x ⎫=-⎪⎭，当32x =-时， y =(A -，因为,PA l A ⊥为垂足，所以点P 的纵坐标为，可得P 点的坐标为92⎛⎝， 根据抛物线的定义可知93622PF PA ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭。
由,,n m n αβαβ⊥⋂=⊥，则m β⊥或m β⊂，所以③不正确；由,,n n m αβα⊥⊥⊥，根据直线垂直平行平面中一个也必垂直于另一个平面，所以m β⊥ 是正确的，所以真个的命题为①④11． 由题意得，直线1:20l kx y -+=的斜率为k ，且经过点()0,2A , 直线2:20l x ky +-=的斜率为1k-，且经过点()2,0B ，且直线12l l ⊥所以点P 落在以AB 为直径的圆C 上，其中圆心坐标()1,1C ，半径为r =则圆心到直线40x y --=的距离为d ，所以点P 到直线40x y --=的最大距离为d r +==。
2017年江苏省高考数学押题试卷（二）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上）1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B={x|1＜x≤3}，则A∪B=．2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=1﹣bi，则（a+bi）8=．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差s2=．4．若双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），则该双曲线的虚轴长为．5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．7．已知函数y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则该函数的解析式是．8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E﹣A1B1C1D1的体积为V1，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V2，则的值是．9．已知实数x，y满足，则的取值范围是．10．已知{a n}，{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，总有=，则=．11．已知平行四边形ABCD中．∠BAD=120°，AB=1，AD=2，点P是线段BC上的一个动点，则•的取值范围是．12．如图，已知椭圆+=1（a＞b＞0）上有一个点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足AF⊥BF，当∠ABF=时，椭圆的离心率为．13．在斜三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若+=，则的最大值为．14．对于实数a，b，定义运算“□”：a□b=设f（x）=（x﹣4）□（x﹣4），若关于x的方程|f（x）﹣m|=1（m∈R）恰有四个互不相等的实数根，则实数m的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．设α为锐角，且cos（α+）=．（1）求cos（）的值；（2）求cos（2α﹣）的值．16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证：AP⊥平面A1CD．17．如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP（点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为DP=DC，∠CDP=60°且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部，已知BC=2OB=2（km），设湖岸BC与直线栈桥CD，DP是圆弧栈桥BP围成的区域（图中阴影部分）的面积为S（km2），∠BOP=θ（1）求S关于θ的函数关系式；（2）试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值，若不存在，说明理由．18．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆（a＞b＞0）的离心率是e，定义直线y=为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为y=，长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：x2+y2=3的切线l，过点O且垂直于OP的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论．19．已知数列{a n}满足2a n+1=a n+a n+2+k（n∈N*，k∈R），且a1=2，a3+a5=﹣4．（1）若k=0，求数列{a n}的前n项和S n；（2）若a4=﹣1，求数列{a n}的通项公式a n．20．已知函数f（x）=e x（x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣4），其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）关于x的不等式f（x）＜﹣e x在（﹣∞，2）上恒成立，求a的取值范围；（2）讨论函数f（x）极值点的个数．2017年江苏省高考数学押题试卷（二）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上）1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B={x|1＜x≤3}，则A∪B={x|﹣1≤x ≤3} ．【考点】1D：并集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简集合A，然后直接利用并集运算得答案．【解答】解：由x2﹣x﹣2≤0，解得﹣1≤x≤2．∴A={x|﹣1≤x≤2}，又集合B={x|1＜x≤3}，∴A∪B={x|﹣1≤x≤3}，故答案为：{x|﹣1≤x≤3}，2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=1﹣bi，则（a+bi）8=16．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数相等求得a，b的值，代入（a+bi）8，再由复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：由a+i=1﹣bi，得a=1，b=﹣1，从而（a+bi）8=（1﹣i）8=（﹣2i）4=16．故答案为：16．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差s2=．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】求出数据的平均数，从而求出方差即可．【解答】解：数据160，162，159，160，159的平均数是：160，则该组数据的方差s2=（02+22+12+02+12）=，故答案为：．4．若双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），则该双曲线的虚轴长为4．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据条件求出双曲线的标准方程即可得到结论．【解答】解：∵双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），∴2+4m=1，即4m=﹣1，m=﹣，则双曲线的标准范围为x2﹣=1，则b=2，即双曲线的虚轴长2b=4，故答案为：4．5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为205．【考点】E5：顺序结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值，∵i+2=101时，满足条件，∴输出的S值为S=2×101+3=205．故答案为：205．6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】利用列举法求出甲、乙两人各抽取1张的基本事件的个数和两人都中奖包含的基本事件的个数，由此能求出两人都中奖的概率．【解答】解：设一、二等奖各用A，B表示，另1张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB，AC，BA，BC，CA，CB共6个，其中两人都中奖的有AB，BA共2个，故所求的概率P=．故答案为：．7．已知函数y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则该函数的解析式是y=2sin（x+）．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图可知，A=2，由点（0，1）在函数的图象上，可得sinφ=，利用五点作图法可解得φ，又点（﹣，0）在函数的图象上，可得﹣ω+=kπ，k∈Z，进而解得ω，从而得解该函数的解析式．【解答】解：∵由图知A=2，y=2sin（ωx+φ），∵点（0，1），在函数的图象上，∴2sinφ=1，解得：sinφ=，∴利用五点作图法可得：φ=，∵点（﹣，0），在函数的图象上，可得：2sin（﹣ω+）=0，∴可得：﹣ω+=kπ，k∈Z，解得：ω=﹣，k∈Z，∵ω＞0，∴当k=0时，ω=，∴y=2sin（x+）．故答案为：y=2sin（x+）．8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E﹣A1B1C1D1的体积为V1，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V2，则的值是．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】连接B1D1∩A1C1=F，证明以E是△A1BC1的重心，那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的，利用体积公式，即可得出结论．【解答】解：连接B1D1∩A1C1=F，平面A1BC1∩平面BDD1B1=BF，因为E∈平面A1BC1，E∈平面BDD1B1，所以E∈BF，连接BD，因为F是A1C1的中点，所以BF是中线，又根据B1F平行且等于BD，所以=，所以E是△A1BC1的重心，那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的，所以V1=×BB1，而V2=×BB1，所以=．故答案为：．9．已知实数x，y满足，则的取值范围是[1，] ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到定点D（0，﹣1）的斜率，由图象知，AD的斜率最大，BD的斜率最小，此时最小值为1，由得，即A（1，），此时AD的斜率k==，即1≤≤，故的取值范围是[1，]故答案为：[1，]10．已知{a n}，{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，总有=，则=9．【考点】8E：数列的求和．【分析】设{a n}，{b n}的公比分别为q，q′，利用=，求出q=9，q′=3，可得=3，即可求得结论．【解答】解：设{a n}，{b n}的公比分别为q，q′，∵=，∴n=1时，a1=b1．n=2时，．n=3时，．∴2q﹣5q′=3，7q′2+7q′﹣q2﹣q+6=0，解得：q=9，q′=3，∴．故答案为：9．11．已知平行四边形ABCD中．∠BAD=120°，AB=1，AD=2，点P是线段BC上的一个动点，则•的取值范围是[﹣，2] ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】以为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所述的直角坐标系，作AE⊥BC，垂足为E，求出A（，），D（，），设点P（x，0），0≤x ≤2，根据向量的坐标运算以及向量的数量积的运算得到•=（x﹣）2﹣，根据二次函数的性质即可求出答案．【解答】解：以B为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所述的直角坐标系，作AE⊥BC，垂足为E，∵∠BAD=120°，AB=1，AD=2，∴∠ABC=60°，∴AE=，BE=，∴A（，），D（，），∵点P是线段BC上的一个动点，设点P（x，0），0≤x≤2，∴=（x﹣，﹣），=（x﹣，﹣），∴•=（x﹣）（x﹣）+=（x﹣）2﹣，∴当x=时，有最小值，最小值为﹣，当x=0时，有最大值，最大值为2，则•的取值范围为[﹣，2]，故答案为：[﹣，2]．12．如图，已知椭圆+=1（a＞b＞0）上有一个点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足AF⊥BF，当∠ABF=时，椭圆的离心率为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的左焦点为F1，连结AF1，BF1，通过|AB|=|F1F|=2c，所以在Rt △ABF中，|AF|=2csin，|BF|=2ccos，由椭圆定义，转化求解离心率即可．【解答】解：设椭圆的左焦点为F1，连结AF1，BF1，由对称性及AF⊥BF可知，四边形AFBF1是矩形，所以|AB|=|F1F|=2c，所以在Rt△ABF中，|AF|=2csin，|BF|=2ccos，由椭圆定义得：2c（cos+sin）=2a，即：e====．故答案为：．13．在斜三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若+=，则的最大值为．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由+=可得， +=，通分化简，根据正弦定理及余弦定理在化简，利用基本不等式的性质求解．【解答】解：由+=可得， +=，即=，∴=，即=，∴sin2C=sinAsinBcosC．根据正弦定理及余弦定理可得，c2=ab•，整理得a2+b2=3c2，∴=≤=，当且仅当a=b时等号成立．故答案为．14．对于实数a，b，定义运算“□”：a□b=设f（x）=（x﹣4）□（x﹣4），若关于x的方程|f（x）﹣m|=1（m∈R）恰有四个互不相等的实数根，则实数m的取值范围是（﹣1，1）∪（2，4）．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】根据新定义得出f（x）的解析式，作出f（x）的函数图象，则f（x）与y=m±1共有4个交点，根据图象列出不等式组解出．【解答】解：解不等式x﹣4≤﹣4得x≥0，f（x）=，画出函数f（x）的大致图象如图所示．因为关于x的方程|f（x）﹣m|=1（m∈R），即f（x）=m±1（m∈R）恰有四个互不相等的实数根，所以两直线y=m±1（m∈R）与曲线y=f（x）共有四个不同的交点，∴或或，解得2＜m＜4或﹣1＜m＜1．故答案为（﹣1，1）∪（2，4）．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．设α为锐角，且cos（α+）=．（1）求cos（）的值；（2）求cos（2α﹣）的值．【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】（1）由已知及同角三角函数基本关系式可求sin（α+），利用诱导公式即可得解cos（）的值．（2）利用诱导公式可求sin（），由2α=（α+）﹣（），利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵α为锐角，∴α+∈（，）．又cos（α+）=，故sin（α+）=，…4分∴cos（）=cos[﹣（α+）]=sin（α+）=，…6分（2）又sin（）=﹣sin[﹣（α+）]=﹣cos（α+）=﹣，…8分故cos（2α）=cos[（α+）﹣（）]=cos（α+）cos（）﹣sin（α+）sin（）=×﹣×（﹣）=…14分16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证：AP⊥平面A1CD．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD，由O为AC1的中点，D 是AB的中点，可得OD∥BC1，即可证明BC1∥平面A1CD．（2）法一：设AB=x，则证明△ABP∽△ADA1，可得AP⊥A1D，又由线面垂直的性质可得CD⊥AP，从而可证AP⊥平面A1CD；法二：由题意，取A1B1的中点O，连接OC1，OD，分别以OC1，OA1，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA1=a，OC1=b，由题意可得各点坐标，可求=（b，﹣a，2），=（0．﹣a，2），=（0，﹣2a，﹣），由•=0，•=0，即可证明AP⊥平面A1CD．【解答】证明：（1）如图，连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O为AC1的中点，∵D是AB的中点，∴△ABC1中，OD∥BC1，又∵OD⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．（2）法一：由题意，设AB=x，则BP=x，AD=x，A1A=x，由于=，∴△ABP∽△ADA1，可得∠BAP=∠AA1D，∵∠DA1A+∠ADA1=90°，可得：AP⊥A1D，又∵CD⊥AB，CD⊥BB1，可得CD⊥平面ABA1B1，∴CD⊥AP，∴AP⊥平面A1CD．法二：由题意，取A1B1的中点O，连接OC1，OD，分别以OC1，OA1，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA1=a，OC1=b，则：由题意可得各点坐标为：A1（0，a，0），C（b，0，2a），D（0，0，2），P（0，﹣a，），A（0，a，2），可得：=（b，﹣a，2），=（0．﹣a，2），=（0，﹣2a，﹣），所以：由•=0，可得：AP⊥A1C，由•=0，可得：AP⊥A1D，又：A1 C∩A1 D=A1，所以：AP⊥平面A1CD17．如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP（点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为DP=DC，∠CDP=60°且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部，已知BC=2OB=2（km），设湖岸BC与直线栈桥CD，DP是圆弧栈桥BP围成的区域（图中阴影部分）的面积为S（km2），∠BOP=θ（1）求S关于θ的函数关系式；（2）试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值，若不存在，说明理由．【考点】HN：在实际问题中建立三角函数模型．【分析】（1）根据余弦定理和和三角形的面积公式，即可表示函数关系式，（2）存在，存在，S′=（3cosθ+3sinθ﹣1），根据两角和差的余弦公式即可求出．【解答】解：（1）在△COP中，CP2=CO2+OP2﹣2OC•OPcosθ=10﹣6cosθ，从而△CDP得面积S△CDP=CP2=（5﹣3cosθ），又因为△COP得面积S△COP=OC•OP=sinθ，所以S=S△CDP +S△COP﹣S扇形OBP=（3sinθ﹣3cosθ﹣θ）+，0＜θ＜θ0＜π，cosθ0=，当DP所在的直线与半圆相切时，设θ取的最大值为θ0，此时在△COP中，OP=1，OC=3，∠CPO=30°，CP==6sinθ0，cosθ0=，（2）存在，S′=（3cosθ+3sinθ﹣1），令S′=0，得sin（θ+）=，当0＜θ＜θ0＜π，S′＞0，所以当θ=θ0时，S取得最大值，此时cos（θ0+）=﹣，∴cosθ0=cos[（θ0+）﹣]=cos（θ0+）cos+sin（θ0+）sin=18．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆（a＞b＞0）的离心率是e，定义直线y=为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为y=，长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：x2+y2=3的切线l，过点O且垂直于OP的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程，联立方程组求得a2=4，b2=3，c2=1，则椭圆方程可求；（2）设P（x0，2）（x0≠0），当x0=时和x0=﹣时，求出A的坐标，代入椭圆方程验证知，A在椭圆上，当x0≠±时，求出过点O且垂直于0P的直线与椭圆的交点，写出该交点与P点的连线所在直线方程，由原点到直线的距离等于圆的半径说明直线是圆的切线，从而说明点A在椭圆C上．【解答】解：（1）由题意得：==2，2a=4，又a2=b2+c2，联立以上可得：a2=4，b2=3，c2=1．∴椭圆C的方程为+y2=1；（2）如图，由（1）可知，椭圆的类准线方程为y=±2，不妨取y=2，设P（x0，2）（x0≠0），则k OP=，∴过原点且与OP垂直的直线方程为y=﹣x，当x0=时，过P点的圆的切线方程为x=，过原点且与OP垂直的直线方程为y=﹣x，联立，解得：A（，﹣），代入椭圆方程成立；同理可得，当x0=﹣时，点A在椭圆上；当x0≠±时，联立，解得A1（，﹣），A2（﹣，），PA1所在直线方程为（2+x0）x﹣（x0﹣6）y﹣x02﹣12=0．此时原点O到该直线的距离d==，∴说明A点在椭圆C上；同理说明另一种情况的A也在椭圆C上．综上可得，点A在椭圆C上．19．已知数列{a n}满足2a n+1=a n+a n+2+k（n∈N*，k∈R），且a1=2，a3+a5=﹣4．（1）若k=0，求数列{a n}的前n项和S n；（2）若a4=﹣1，求数列{a n}的通项公式a n．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）若k=0，则数列{a n}满足2a n+1=a n+a n+2（n∈N*，k∈R），则数列{a n}是等差数列，利用等差数列的前n项和公式即可得出．（2）2a n+1=a n+a n+2+k（n∈N*，k∈R），a3+a5=﹣4，a4=﹣1，可得2a4=a3+a5+k，k=2．数列{a n}满足2a n+1=a n+a n+2+2，利用递推关系可得：2（a n+1﹣a n）=（a n﹣a n﹣1）+（a n+2﹣a n+1），令b n=a n+1﹣a n，则2b n=b n﹣1+b n+1．数列{b n}是等差数列，即可得出．【解答】解：（1）若k=0，则数列{a n}满足2a n+1=a n+a n+2（n∈N*，k∈R），∴数列{a n}是等差数列，设公差为d，∵a1=2，a3+a5=﹣4．∴2×2+6d=﹣4，解得d=．∴S n=2n×=．（2）2a n+1=a n+a n+2+k（n∈N*，k∈R），a3+a5=﹣4，a4=﹣1，则2a4=a3+a5+k，﹣2=﹣4+k，解得k=2．数列{a n}满足2a n+1=a n+a n+2+2，当n≥2时，2a n=a n﹣1+a n+1+2，相减可得：2（a n+1﹣a n）=（a n﹣a n﹣1）+（a n+2﹣a n+1），令b n=a n+1﹣a n，则2b n=b n﹣1+b n+1．∴数列{b n}是等差数列，公差=b4﹣b3=（a5﹣a4）﹣（a4﹣a3）=﹣2．首项为b1=a2﹣a1，b2=a3﹣a2，b3=a4﹣a3，由2b2=b1+b3，可得2（a3﹣a2）=a2﹣2﹣1﹣a3，解得3（a3﹣a2）=﹣3，b2=a3﹣a2=﹣1．∴b n=b2+（n﹣2）（﹣2）=﹣2n+3．∴a n+1﹣a n=﹣2n+3．∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=[﹣2（n﹣1）+3]+[﹣2（n﹣2）+3]+…+（﹣2+3）+2=+2=﹣n2+4n﹣1．20．已知函数f（x）=e x（x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣4），其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）关于x的不等式f（x）＜﹣e x在（﹣∞，2）上恒成立，求a的取值范围；（2）讨论函数f（x）极值点的个数．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；3R：函数恒成立问题．【分析】（1）原不等式转化为所以a＞﹣（x﹣2）2，根据函数的单调性即可求出a的范围，（2）先求导，再构造函数，进行分类讨论，利用导数和函数的极值的关系即可判断．【解答】解：（1）由f（x）＜﹣e x，得e x（x3﹣2x2+（a+4）x﹣2a﹣4）＜﹣e x，即x3﹣6x2+（3a+12）x﹣6a﹣8＜0对任意x∈（﹣∞，2）恒成立，即（6﹣3x）a＞x3﹣6x2+12x﹣8对任意x∈（﹣∞，2）恒成立，因为x＜2，所以a＞=﹣（x﹣2）2，记g（x）=﹣（x﹣2）2，因为g（x）在（﹣∞，2）上单调递增，且g（2）=0，所以a≥0，即a的取值范围为[0，+∞）；（2）由题意，可得f′（x）=e x（x3﹣x2+ax﹣a），可知f（x）只有一个极值点或有三个极值点．令g（x）=x3﹣x2+ax﹣a，①若f（x）有且仅有一个极值点，则函数g（x）的图象必穿过x轴且只穿过一次，即g（x）为单调递增函数或者g（x）极值同号．（ⅰ）当g（x）为单调递增函数时，g′（x）=x2﹣2x+a≥0在R上恒成立，得a ≥1．（ⅱ）当g（x）极值同号时，设x1，x2为极值点，则g（x1）•g（x2）≥0，由g′（x）=x2﹣2x+a=0有解，得a＜1，且x12﹣2x1+a=0，x22﹣2x2+a=0，所以x1+x2=2，x1x2=a，所以g（x1）=x13﹣2x12﹣2+ax1﹣a=x1（2x1﹣a）﹣x1+ax1﹣a=﹣（2x1﹣a）﹣ax1+ax1﹣a= [（a﹣1）x1﹣a]，同理，g（x2）= [（a﹣1）x2﹣a]，所以g（x1）g（x2）= [（a﹣1）x1﹣a]• [（a﹣1）x2﹣a]≥0，化简得（a﹣1）2x1x2﹣a（a﹣1）（x1+x2）+a2≥0，所以（a﹣1）2a﹣2a（a﹣1）+a2≥0，即a≥0，所以0≤a＜1．所以，当a≥0时，f（x）有且仅有一个极值点；②若f（x）有三个极值点，则函数g（x）的图象必穿过x轴且穿过三次，同理可得a＜0．综上，当a≥0时，f（x）有且仅有一个极值点，当a＜0时，f（x）有三个极值点．2017年5月29日。
1,1)(2,4)二、解答题（本大题共（本题满分为14分））∵α为锐角，可得：1(,AC b=-，1(0,A D=-(0,2AP=-所以：由10AP AC=，可得：AP⊥A，由10AP A D=，可得：AP11AC A D A =AP ⊥平面A 1CDcos OC OP θ=4CDP 13sin 2OC OP =(3sin 3θ-2)()0g x ≥，2][(1)3a x -所以22(1)2(1)0a a a a a ---+≥，即0a ≥， 所以01a ≤<．所以，当0a ≥时，f （x ）有且仅有一个极值点；②若f （x ）有三个极值点，则函数g （x ）的图像必穿过x 轴且穿过三次，同理可得0a <． 综上，当0a ≥时，f （x ）有且仅有一个极值点，当0a <时，f （x ）有三个极值点．江苏省2017年高考押题数学试卷（二）解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上）1．【考点】1D：并集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简集合A，然后直接利用并集运算得答案．【解答】解：由x2﹣x﹣2≤0，解得﹣1≤x≤2．∴A={x|﹣1≤x≤2}，又集合B={x|1＜x≤3}，∴A∪B={x|﹣1≤x≤3}，故答案为：{x|﹣1≤x≤3}，2．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数相等求得a，b的值，代入（a+bi）8，再由复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：由a+i=1﹣bi，得a=1，b=﹣1，从而（a+bi）8=（1﹣i）8=（﹣2i）4=16．故答案为：16．3．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】求出数据的平均数，从而求出方差即可．【解答】解：数据160，162，159，160，159的平均数是：160，则该组数据的方差s2=（02+22+12+02+12）=，故答案为：．4．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据条件求出双曲线的标准方程即可得到结论．【解答】解：∵双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），∴2+4m=1，即4m=﹣1，m=﹣，则双曲线的标准范围为x2﹣=1，则b=2，即双曲线的虚轴长2b=4，故答案为：4．5．【考点】E5：顺序结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值，∵i+2=101时，满足条件，∴输出的S值为S=2×101+3=205．故答案为：205．6．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】利用列举法求出甲、乙两人各抽取1张的基本事件的个数和两人都中奖包含的基本事件的个数，由此能求出两人都中奖的概率．【解答】解：设一、二等奖各用A，B表示，另1张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB，AC，BA，BC，CA，CB共6个，其中两人都中奖的有AB，BA共2个，故所求的概率P=．故答案为：．7．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图可知，A=2，由点（0，1）在函数的图象上，可得sinφ=，利用五点作图法可解得φ，又点（﹣，0）在函数的图象上，可得﹣ω+=kπ，k∈Z，进而解得ω，从而得解该函数的解析式．【解答】解：∵由图知A=2，y=2sin（ωx+φ），∵点（0，1），在函数的图象上，∴2sinφ=1，解得：sinφ=，∴利用五点作图法可得：φ=，∵点（﹣，0），在函数的图象上，可得：2sin（﹣ω+）=0，∴可得：﹣ω+=kπ，k∈Z，解得：ω=﹣，k∈Z，∵ω＞0，∴当k=0时，ω=，∴y=2sin（x+）．故答案为：y=2sin（x+）．8．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】连接B1D1∩A1C1=F，证明以E是△A1BC1的重心，那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的，利用体积公式，即可得出结论．【解答】解：连接B1D1∩A1C1=F，平面A1BC1∩平面BDD1B1=BF，因为E∈平面A1BC1，E∈平面BDD1B1，所以E∈BF，连接BD，因为F是A1C1的中点，所以BF是中线，又根据B1F平行且等于BD，所以=，所以E是△A1BC1的重心，那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的，所以V1=×BB1，而V2=×BB1，所以=．故答案为：．9．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到定点D（0，﹣1）的斜率，由图象知，AD的斜率最大，BD的斜率最小，此时最小值为1，由得，即A（1，），此时AD的斜率k==，即1≤≤，故的取值范围是[1，]故答案为：[1，]10．【考点】8E：数列的求和．【分析】设{a n}，{b n}的公比分别为q，q′，利用=，求出q=9，q′=3，可得=3，即可求得结论．【解答】解：设{a n}，{b n}的公比分别为q，q′，∵=，∴n=1时，a1=b1．n=2时，．n=3时，．∴2q﹣5q′=3，7q′2+7q′﹣q2﹣q+6=0，解得：q=9，q′=3，∴．故答案为：9．11．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】以为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所述的直角坐标系，作AE⊥BC，垂足为E，求出A（，），D（，），设点P（x，0），0≤x≤2，根据向量的坐标运算以及向量的数量积的运算得到•=（x﹣）2﹣，根据二次函数的性质即可求出答案．【解答】解：以B为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所述的直角坐标系，作AE⊥BC，垂足为E，∵∠BAD=120°，AB=1，AD=2，∴∠ABC=60°，∴AE=，BE=，∴A（，），D（，），∵点P是线段BC上的一个动点，设点P（x，0），0≤x≤2，∴=（x﹣，﹣），=（x﹣，﹣），∴•=（x﹣）（x﹣）+=（x﹣）2﹣，∴当x=时，有最小值，最小值为﹣，当x=0时，有最大值，最大值为2，则•的取值范围为[﹣，2]，故答案为：[﹣，2]．12．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的左焦点为F1，连结AF1，BF1，通过|AB|=|F1F|=2c，所以在Rt△ABF中，|AF|=2csin，|BF|=2ccos，由椭圆定义，转化求解离心率即可．【解答】解：设椭圆的左焦点为F1，连结AF1，BF1，由对称性及AF⊥BF可知，四边形AFBF1是矩形，所以|AB|=|F1F|=2c，所以在Rt△ABF中，|AF|=2csin，|BF|=2ccos，由椭圆定义得：2c（cos+sin）=2a，即：e====．故答案为：．13．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由+=可得，+=，通分化简，根据正弦定理及余弦定理在化简，利用基本不等式的性质求解．【解答】解：由+=可得，+=，即=，∴=，即=，∴sin2C=sinAsinBcosC．根据正弦定理及余弦定理可得，c2=ab•，整理得a2+b2=3c2，∴=≤=，当且仅当a=b时等号成立．故答案为．14．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】根据新定义得出f（x）的解析式，作出f（x）的函数图象，则f（x）与y=m±1共有4个交点，根据图象列出不等式组解出．【解答】解：解不等式x﹣4≤﹣4得x≥0，f（x）=，画出函数f（x）的大致图象如图所示．因为关于x的方程|f（x）﹣m|=1（m∈R），即f（x）=m±1（m∈R）恰有四个互不相等的实数根，所以两直线y=m±1（m∈R）与曲线y=f（x）共有四个不同的交点，∴或或，解得2＜m＜4或﹣1＜m＜1．故答案为（﹣1，1）∪（2，4）．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】（1）由已知及同角三角函数基本关系式可求sin（α+），利用诱导公式即可得解cos（）的值．（2）利用诱导公式可求sin（），由2α=（α+）﹣（），利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．16．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD，由O为AC1的中点，D是AB的中点，可得OD ∥BC1，即可证明BC1∥平面A1CD．（2）法一：设AB=x，则证明△ABP∽△ADA1，可得AP⊥A1D，又由线面垂直的性质可得CD⊥AP，从而可证AP⊥平面A1CD；法二：由题意，取A1B1的中点O，连接OC1，OD，分别以OC1，OA1，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA1=a，OC1=b，由题意可得各点坐标，可求=（b，﹣a，2），=（0．﹣a，2），=（0，﹣2a，﹣），由•=0，•=0，即可证明AP⊥平面A1CD．17．【考点】HN：在实际问题中建立三角函数模型．【分析】（1）根据余弦定理和和三角形的面积公式，即可表示函数关系式，（2）存在，存在，S′=（3cosθ+3sinθ﹣1），根据两角和差的余弦公式即可求出．18．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程，联立方程组求得a2=4，b2=3，c2=1，则椭圆方程可求；（2）设P（x0，2）（x0≠0），当x0=时和x0=﹣时，求出A的坐标，代入椭圆方程验证知，A在椭圆上，当x0≠±时，求出过点O且垂直于0P的直线与椭圆的交点，写出该交点与P点的连线所在直线方程，由原点到直线的距离等于圆的半径说明直线是圆的切线，从而说明点A在椭圆C上．19．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）若k=0，则数列{a n}满足2a n+1=a n+a n+2（n∈N*，k∈R），则数列{a n}是等差数列，利用等差数列的前n项和公式即可得出．（2）2a n+1=a n+a n+2+k（n∈N*，k∈R），a3+a5=﹣4，a4=﹣1，可得2a4=a3+a5+k，k=2．数列{a n}满足2a n+1=a n+a n+2+2，利用递推关系可得：2（a n+1﹣a n）=（a n﹣a n﹣1）+（a n+2﹣a n+1），令b n=a n+1﹣a n，则2b n=b n﹣1+b n+1．数列{b n}是等差数列，即可得出．20．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；3R：函数恒成立问题．【分析】（1）原不等式转化为所以a＞﹣（x﹣2）2，根据函数的单调性即可求出a的范围，（2）先求导，再构造函数，进行分类讨论，利用导数和函数的极值的关系即可判断．。
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绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分,考试时间为120分钟。
考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
2。
答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0。
5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3。
请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。
5。
如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a ，若AB ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位,则z 的模是__________3。
某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300，100件，为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件4。
2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)1.(2017·江苏,1)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为.1∈B,2∉B,显然a2+3≥3,所以a=1,此时a2+3=4,满足题意,故答案为1.2.(2017·江苏,2)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,故|z|=√(-1)2+32=√10,答案为√10.√103.(2017·江苏,3)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件.抽取比例为601000=350,故应从丙种型号的产品中抽取300×350=18(件),答案为18.4.(2017·江苏,4)下图是一个算法流程图.若输入x的值为116,则输出y的值是.y=2+log2116=2-4=-2,答案为-2.25.(2017·江苏,5)若tan(α-π4)=16,则tan α=.:tan α=tan[(α-π4)+π4]=tan(α-π4)+tanπ41-tan(α-π4)·tanπ4=16+11-16×1=75.方法二:因为tan(α-π4)=tanα-tanπ41+tanα·tanπ4=tanα-11+tanα=16,所以tan α=75,答案为75.6.(2017·江苏,6)如图,在圆柱O 1O 2内有一个球O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O 1O 2的体积为V 1,球O 的体积为V 2,则V 1V 2的值是 .O 的半径为r ,则圆柱O 1O 2的高为2r ,故V1V 2=πr 2·2r 43πr3=32,答案为32.7.(2017·江苏,7)记函数f (x )=√6+x -x 2的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ,则x ∈D 的概率是 .6+x-x 2≥0,即x 2-x-6≤0得-2≤x ≤3,所以D=[-2,3]⊆[-4,5],由几何概型的概率公式得x ∈D 的概率P=3-(-2)5-(-4)=59,答案为59.8.(2017·江苏,8)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 23-y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是F 1,F 2,则四边形F 1PF 2Q 的面积是 .x=√10=3√1010,两条渐近线方程为y=±√33x ,得P (3√1010,√3010),Q (3√1010,-√3010),又c=√10,所以F 1(-√10,0),F 2(√10,0),四边形F 1PF 2Q 的面积S=2√10×√3010=2√3.√39.(2017·江苏,9)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8= .q ,则S 6-S 3=634−74=14,即a 4+a 5+a 6=14.①∵S 3=74,∴a 1+a 2+a 3=74. 由①得(a 1+a 2+a 3)q 3=14,∴q 3=1474=8,即q=2.∴a 1+2a 1+4a 1=74,a 1=14,∴a 8=a 1·q 7=14×27=32.10.(2017·江苏,10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是 .4x+600x ×6=4(x +900x )≥4×2√900=240,当且仅当x=900x ,即x=30时等号成立.11.(2017·江苏,11)已知函数f (x )=x 3-2x+e x -1e x ,其中e 是自然对数的底数.若f (a-1)+f (2a 2)≤0,则实数a 的取值范围是 .f (-x )=(-x )3-2(-x )+e -x -1e-x =-f (x ),所以f (x )为奇函数.因为f'(x )=3x 2-2+e x +e -x ≥3x 2-2+2√e x ·e -x ≥0(当且仅当x=0时等号成立),所以f (x )在R 上单调递增,因为f (a-1)+f (2a 2)≤0可化为f (2a 2)≤-f (a-1),即f (2a 2)≤f (1-a ),所以2a 2≤1-a ,2a 2+a-1≤0,解得-1≤a ≤12,故实数a 的取值范围是[-1,12].-1,12] 12.(2017·江苏,12)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若OC⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ,n ∈R ),则m+n= .OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,由tan α=7,α∈[0,π]得0<α<π2,sin α>0,cos α>0,tan α=sinαcosα,sin α=7cos α,又sin 2α+cos 2α=1,得sin α=7√210,cos α=√210,OC⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA⃗⃗⃗⃗⃗ =15,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =cos (α+π4)=-35,得方程组{m -35n =15,-35m +n =1,解得{m =54,n =74,所以m+n=3.13.(2017·江苏,13)在平面直角坐标系xOy 中,A (-12,0),B (0,6),点P 在圆O :x 2+y 2=50上.若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20,则点P 的横坐标的取值范围是 .P (x ,y ),由PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20,易得x 2+y 2+12x-6y ≤20. 把x 2+y 2=50代入x 2+y 2+12x-6y ≤20得2x-y+5≤0.由{2x -y +5=0,x 2+y 2=50,可得{x =-5,y =-5或{x =1,y =7.由2x-y+5≤0表示的平面区域及P 点在圆上,可得点P在圆弧EPF 上,所以点P 横坐标的取值范围为[-5√2,1].-5√2,1]14.(2017·江苏,14)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f (x )={x 2,x ∈D ,x ,x ∉D ,其中集合D={x |x =n -1n,n ∈N *},则方程f (x )-lg x=0的解的个数是 .15.(2017·江苏,15)如图,在三棱锥A-BCD 中,AB ⊥AD ,BC ⊥BD ,平面ABD ⊥平面BCD ,点E ,F (E 与A ,D 不重合)分别在棱AD ,BD 上,且EF ⊥AD. 求证:(1)EF ∥平面ABC ; (2)AD ⊥AC.在平面ABD 内,因为AB ⊥AD ,EF ⊥AD ,所以EF ∥AB.又因为EF ⊄平面ABC ,AB ⊂平面ABC , 所以EF ∥平面ABC. (2)因为平面ABD ⊥平面BCD ,平面ABD ∩平面BCD=BD ,BC ⊂平面BCD ,BC ⊥BD , 所以BC ⊥平面ABD.因为AD ⊂平面ABD ,所以BC ⊥AD.又AB ⊥AD ,BC ∩AB=B ,AB ⊂平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC,所以AD⊥AC.16.(2017·江苏,16)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-√3),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.因为a=(cos x,sin x),b=(3,-√3),a∥b,所以-√3cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.于是tan x=-√33.又x∈[0,π],所以x=5π6.(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-√3)=3cos x-√3sin x=2√3cos(x+π6).因为x∈[0,π],所以x+π6∈[π6,7π6],从而-1≤cos(x+π6)≤√32.于是,当x+π6=π6,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+π6=π,即x=5π6时,f(x)取到最小值-2√3.17.(2017·江苏,17)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为12,两准线之间的距离为8,所以ca =12,2a 2c =8,解得a=2,c=1,于是b=√a 2-c 2=√3,因此椭圆E 的标准方程是x 24+y 23=1. (2)由(1)知,F 1(-1,0),F 2(1,0).设P (x 0,y 0),因为P 为第一象限的点,故x 0>0,y 0>0. 当x 0=1时,l 2与l 1相交于F 1,与题设不符.当x 0≠1时,直线PF 1的斜率为y 0x 0+1,直线PF 2的斜率为y0x 0-1.因为l 1⊥PF 1,l 2⊥PF 2,所以直线l 1的斜率为-x 0+1y 0,直线l 2的斜率为-x 0-1y 0, 从而直线l 1的方程:y=-x 0+1y 0(x+1), ① 直线l 2的方程:y=-x 0-1y 0(x-1). ②由①②,解得x=-x 0,y=x 02-1y 0,所以Q (-x 0,x 02-1y 0).因为点Q 在椭圆上,由对称性,得x 02-1y 0=±y 0,即x 02−y 02=1或x 02+y 02=1.又P 在椭圆E 上,故x 024+y 023=1.由{x 02-y 02=1,x 024+y 023=1,解得x 0=4√77,y 0=3√77;{x 02+y 02=1,x 024+y 023=1,无解. 因此点P 的坐标为(4√77,3√77). 18.(2017·江苏,18)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm,容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为10√7 cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG ,E 1G 1的长分别为14 cm 和62 cm .分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12 cm .现有一根玻璃棒l ,其长度为40 cm .(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱CC 1上,求l 没入水中部分的长度; (2)将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处,另一端置于侧棱GG 1上,求l 没入水中部分的长度.容器Ⅰ容器Ⅱ由正棱柱的定义,CC1⊥平面ABCD,所以平面A1ACC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC.记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.因为AC=10√7,AM=40,所以MC=√402-(10√7)2=30,从而sin∠MAC=34.记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1⊥AC,Q1为垂足,则P1Q1⊥平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1=P1Q1sin∠MAC=16.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24 cm)(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO1⊥平面EFGH,所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,O1O⊥EG.同理,平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GK⊥E1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.因为EG=14,E1G1=62,所以KG1=62-142=24,从而GG1=√KG12+GK2=√242+322=40.设∠EGG1=α,∠ENG=β,则sin α=sin(π2+∠KGG1)=cos∠KGG1=45.因为π2<α<π,所以cos α=-35.在△ENG中,由正弦定理可得40sinα=14sinβ,解得sin β=725.因为0<β<π2,所以cos β=2425.于是sin∠NEG=sin(π-α-β)=sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=45×2425+(-35)×725=35.记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2⊥EG,Q2为垂足,则P2Q2⊥平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2=P2Q2sin∠NEG=20.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20 cm)19.(2017·江苏,19)对于给定的正整数k,若数列{a n}满足:a n-k+a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k=2ka n 对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{a n}是“P(3)数列”;(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{a n}是等差数列.因为{a n}是等差数列,设其公差为d,则a n=a1+(n-1)d,从而,当n≥4时,a n-k+a n+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2a n,k=1,2,3,所以a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n,因此等差数列{a n}是“P(3)数列”.(2)数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n≥3时,a n-2+a n-1+a n+1+a n+2=4a n,①当n≥4时,a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n.②由①知,a n-3+a n-2=4a n-1-(a n+a n+1),③a n+2+a n+3=4a n+1-(a n-1+a n).④将③④代入②,得a n-1+a n+1=2a n,其中n≥4,所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d'.在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d',在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d',所以数列{a n}是等差数列.20.(2017·江苏,20)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f'(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b 2>3a ;(3)若f (x ),f'(x )这两个函数的所有极值之和不小于-72,求a 的取值范围.由f (x )=x 3+ax 2+bx+1,得f'(x )=3x 2+2ax+b=3(x +a 3)2+b-a 23.当x=-a3时,f'(x )有极小值b-a 23.因为f'(x )的极值点是f (x )的零点, 所以f (-a 3)=-a 327+a 39−ab3+1=0,又a>0,故b=2a 29+3a.因为f (x )有极值,故f'(x )=0有实根, 从而b-a 23=19a (27-a 3)≤0,即a ≥3.当a=3时,f'(x )>0(x ≠-1),故f (x )在R 上是增函数,f (x )没有极值; 当a>3时,f'(x )=0有两个相异的实根x 1=-a -√a 2-3b 3,x 2=-a+√a 2-3b 3. 列表如下:故f (x )的极值点是x 1,x 2. 从而a>3. 因此b=2a 29+3a ,定义域为(3,+∞). (2)由(1)知,√a=2a √a 9+a √a . 设g (t )=2t 9+3t ,则g'(t )=29−3t2=2t 2-279t 2. 当t ∈(3√62,+∞)时,g'(t )>0,从而g (t )在(3√62,+∞)上单调递增. 因为a>3,所以a √a >3√3,故g (a √a )>g (3√3)=√3,即√a>√3.因此b 2>3a.(3)由(1)知,f (x )的极值点是x 1,x 2,且x 1+x 2=-23a ,x 12+x 22=4a 2-6b9.从而f (x 1)+f (x 2)=x 13+a x 12+bx 1+1+x 23+a x 22+bx 2+1=x13(3x 12+2ax 1+b )+x 23(3x 22+2ax 2+b )+13a (x 12+x 22)+23b (x 1+x 2)+2=4a 3-6ab 27−4ab 9+2=0.记f (x ),f'(x )所有极值之和为h (a ), 因为f'(x )的极值为b-a 23=-19a 2+3a ,所以h (a )=-19a 2+3a ,a>3.因为h'(a )=-29a-3a 2<0,于是h (a )在(3,+∞)上单调递减. 因为h (6)=-72,于是h (a )≥h (6),故a ≤6. 因此a 的取值范围为(3,6].21.(2017·江苏,21)A .[选修4—1:几何证明选讲]如图,AB 为半圆O 的直径,直线PC 切半圆O 于点C ,AP ⊥PC ,P 为垂足. 求证:(1)∠PAC=∠CAB ; (2)AC 2=AP ·AB.因为PC 切半圆O 于点C ,所以∠PCA=∠CBA. 因为AB 为半圆O 的直径, 所以∠ACB=90°.因为AP ⊥PC ,所以∠APC=90°. 因此∠PAC=∠CAB. (2)由(1)知,△APC ∽△ACB ,故AP AC=AC AB, 即AC 2=AP ·AB. B .[选修4—2:矩阵与变换] 已知矩阵A =[0 11 0],B =[1 00 2]. (1)求AB ; (2)若曲线C 1:x 28+y 22=1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2,求C 2的方程.因为A =[0 11 0],B =[1 00 2],所以AB =[0 11 0][1 00 2]=[0 21 0]. (2)设Q (x 0,y 0)为曲线C 1上的任意一点,它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P (x ,y ),则[0 21 0][x 0y 0]=[x y ],即{2y 0=x ,x 0=y ,所以{x 0=y ,y 0=x 2. 因为点Q (x 0,y 0)在曲线C 1上,则x 028+y 022=1, 从而y 28+x 28=1,即x 2+y 2=8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2:x 2+y 2=8.C .[选修4—4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为{x =-8+t ,y =t 2(t 为参数),曲线C 的参数方程为{x =2s 2,y =2√2s(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值.l 的普通方程为x-2y+8=0.因为点P 在曲线C 上,设P (2s 2,2√2s ),从而点P 到直线l 的距离d=2√2s+8√1+(-2)=√2)2√5.当s=√2时,d min =4√55.因此当点P 的坐标为(4,4)时,曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值4√55.D .[选修4—5:不等式选讲]已知a ,b ,c ,d 为实数,且a 2+b 2=4,c 2+d 2=16,证明:ac+bd ≤8.:(ac+bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2).因为a 2+b 2=4,c 2+d 2=16,所以(ac+bd )2≤64,因此ac+bd ≤8.22.(2017·江苏,22)如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AA 1⊥平面ABCD ,且AB=AD=2,AA 1=√3,∠BAD=120°.(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值;(2)求二面角B -A 1D -A 的正弦值.ABCD 内,过点A 作AE ⊥AD ,交BC 于点E.因为AA 1⊥平面ABCD ,所以AA 1⊥AE ,AA 1⊥AD.如图,以{AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为正交基底,建立空间直角坐标系A-xyz.因为AB=AD=2,AA 1=√3,∠BAD=120°,则A (0,0,0),B (√3,-1,0),D (0,2,0),E (√3,0,0),A 1(0,0,√3),C 1(√3,1,√3).(1)A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,-1,-√3),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,√3),则cos <A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(√3,-1,-√3)·(√3,1,√3)7=-17, 因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17.(2)平面A 1DA 的一个法向量为AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,0). 设m =(x ,y ,z )为平面BA 1D 的一个法向量,又A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,-1,-√3),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,3,0). 则{m ·A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{√3x -y -√3z =0,-√3x +3y =0. 不妨取x=3,则y=√3,z=2,所以m =(3,√3,2)为平面BA 1D 的一个法向量,从而cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m >=AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·m |AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m | =√3,√3,√3×4=34.设二面角B-A 1D-A 的大小为θ,则|cos θ|=34. 因为θ∈[0,π],所以sin θ=√1-cos 2θ=√74.因此二面角B-A 1D-A 的正弦值为√74.23.(2017·江苏,23)已知一个口袋中有m 个白球,n 个黑球(m ,n ∈N *,n ≥2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n 的抽屉内,其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(k=1,2,3,…,m+n ). 1 2 3 … m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ;(2)随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E (X )是X 的数学期望,证明:E (X )<n (m+n )(n -1).编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为:p=C m+n -1n -1C m+n n =n m+n. (2)随机变量X 的概率分布为:随机变量X 的期望为:E (X )=∑k=n m+n 1k ·C k -1n -1C m+n n =1C m+n n ∑k=n m+n 1k ·(k -1)!(n -1)!(k -n )!. 所以E (X )<1C m+n n ∑k=n m+n (k -2)!(n -1)!(k -n )!=1(n -1)C m+n n ∑k=n m+n (k -2)!(n -2)!(k -n )!=1(n -1)C m+n n (1+C n -1n -2+C n n -2+…+C m+n -2n -2) =1(n -1)C m+n n (C n -1n -1+C n -1n -2+C n n -2+…+C m+n -2n -2) =1(n -1)C m+n n (C n n -1+C n n -2+…+C m+n -2n -2)=…=1(n -1)C m+nn (C m+n -2n -1+C m+n -2n -2) =C m+n -1n -1(n -1)C m+n n =n (m+n )(n -1),即E (X )<n (m+n )(n -1).。
2017年江苏省高考数学预测卷（2）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）．1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中所有元素之和是．2．已知复数z满足（1+2i）z=i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为．3．已知点M（﹣3，﹣1），若函数y=tan x（x∈（﹣2，2））的图象与直线y=1交于点A，则|MA|=．4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9，则这组数据的标准差为．5．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S的值为．6．在区间[﹣1，2]内随机取一个实数a，则关于x的方程x2﹣4ax+5a2+a=0有解的概率是．7．如图，在平面四边形ABCD中，若AC=3，BD=2，则=．8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，M是AA1的中点，则三棱锥A1﹣MBC1的体积为．9．已知函数f（x）=x|x﹣2|，则不等式f（2﹣ln（x+1））＞f（3）的解集为．10．曲线f（x）=xlnx在点P（1，0）处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积是．11．设向量=（4sin x，1），=（cos x，﹣1）（ω＞0），若函数f（x）=•+1在区间[﹣，]上单调递增，则实数ω的取值范围为．12．设函数f（x）=x+cosx，x∈（0，1），则满足不等式f（t2）＞f（2t﹣1）的实数t的取值范围是．13．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，抛物线E：x2=4y的焦点B是双曲线虚轴上的一个顶点，若线段BF与双曲线C的右支交于点A，且=3，则双曲线C 的离心率为．14．已知a，b，c，d∈R且满足==1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．在△ABC中，已知三内角A，B，C成等差数列，且sin（+A）=．（Ⅰ）求tanA及角B的值；（Ⅱ）设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．17．如图所示的矩形是长为100码，宽为80码的足球比赛场地．其中PH是足球场地边线所在的直线，AB是球门，且AB=8码．从理论研究及经验表明：当足球运动员带球沿着边线奔跑时，当运动员（运动员看做点P）所对AB的张角越大时，踢球进球的可能性就越大．（1）若PH=20，求tan∠APB的值；（2）如图，当某运动员P沿着边线带球行进时，何时（距离AB所在直线的距离）开始射门进球的可能性会最大？18．平面直角坐标系xoy中，直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x 轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．19．已知函数f（x）=alnx（a∈R）．（Ⅰ）若函数g（x）=2x+f（x）的最小值为0，求a的值；（Ⅱ）设h（x）=f（x）+ax2+（a2+2）x，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）设函数y=f（x）与函数u（x）=的图象的一个公共点为P，若过点P有且仅有一条公切线，求点P的坐标及实数a的值．20．已知数列{a n}，{b n}的首项a1=b1=1，且满足（a n+1﹣a n）2=4，|b n+1|=q|b n|，其中n∈N*．设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n．（Ⅰ）若不等式a n+1＞a n对一切n∈N*恒成立，求S n；（Ⅱ）若常数q＞1且对任意的n∈N*，恒有|b k|≤4|b n|，求q的值；（Ⅲ）在（2）的条件下且同时满足以下两个条件：；（ⅰ）若存在唯一正整数p的值满足a p＜a p﹣1=4b m，若存在，求m的值；若不（ⅱ）T m＞0恒成立．试问：是否存在正整数m，使得S m+1存在，请说明理由．四.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．【选修4-1几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为线段OA上一点，BM的延长线交⊙O于点N，过点N的切线交CA的延长线于点P．求证：PM2=PA•PC．B．【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分0分）22．已知矩阵M=，N=，若MN=．求实数a，b，c，d的值．C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分0分）23．在极坐标系中，已知点A（2，），B（1，﹣），圆O的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）求圆O的直角坐标方程．D．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分0分）24．已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了100名学生进行调查．如图是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图．（Ⅰ）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数和众数m（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）已知样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生中，男生比女生多1人，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E（ξ）．26．已知数列{a n}的通项公式为a n=（n≥1，n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；（Ⅱ）求证：对任意的自然数n∈N*，不等式a1•a2…a n＜2•n!成立．2017年江苏省高考数学预测卷（2）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）．1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中所有元素之和是5．【考点】1D：并集及其运算．【分析】利用并集定义先求出A∪B，由此能求出集合A∪B中所有元素之和．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，3}，∴A∪B={﹣1，0，1，1，2，3}，∴集合A∪B中所有元素之和是：﹣1+0+1+2+3=5．故答案为：5．2．已知复数z满足（1+2i）z=i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法运算化为a+bi（a，b∈R）的形式，则答案可求【解答】解：∵（1+2i）z=i，∴z===+，∴复数z的虚部为．故答案为3．已知点M（﹣3，﹣1），若函数y=tan x（x∈（﹣2，2））的图象与直线y=1交于点A，则|MA|=2．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】解方程求出函数y与直线y=1的交点A的横坐标，再求线段的长|MA|．【解答】解：令y=tan x=1，解得x=1+4k，k∈Z；又x∈（﹣2，2），∴x=1，∴函数y与直线y=1的交点为A（1，1）；又M（﹣3，﹣1），∴|MA|==2．故答案为：2．4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9，则这组数据的标准差为．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】利用定义求这组数据的平均数、方差和标准差即可．【解答】解：数据12，8，10，11，9的平均数为：=×（12+8+10+11+9）=10，方差为：s2=×[（12﹣10）2+（8﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2+（9﹣10）2]=2；∴这组数据的标准差为s=．故答案为：．5．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S的值为﹣1．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=﹣1，n=2016时不满足条件n＜2016，退出循环，输出S的值为﹣1，即可得解．【解答】解：输入s=0，n=1＜2016，s=0，n=2＜2016，s=﹣1，n=3＜2016，s=﹣1，n=4＜2016，s=0，n=5＜2016，…，由2016=503×4+3得，输出s=﹣1，故答案为：﹣1．6．在区间[﹣1，2]内随机取一个实数a，则关于x的方程x2﹣4ax+5a2+a=0有解的概率是．【考点】CF：几何概型．【分析】根据几何概型计算公式，用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，即可得到所求的概率．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4ax+5a2+a=0有解，∴16a2﹣20a2﹣4a≥0，∴﹣1≤a≤0时方程有实根，∵在区间[﹣1，2]上任取一实数a，∴所求的概率为P==．故答案为：7．如图，在平面四边形ABCD中，若AC=3，BD=2，则=5．【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】先利用向量的加法把转化为，再代入原题整理后即可求得结论．【解答】解：因为=（+）+（+）=+（）=．∴（）•（）=（）•（）=﹣=32﹣22=5．故答案为58．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，M是AA1的中点，则三棱锥A1﹣MBC1的体积为4．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】推导出A1C1⊥平面A1MB，从而三棱锥A1﹣MBC1的体积=，由此能求出结果．【解答】解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，∴A1C1⊥AA1，AC2+AB2=BC2，∴A1C1⊥A1B1，∵AA1∩A1B1=A1，∴A1C1⊥平面A1MB，∵M是AA1的中点，∴===3，∴三棱锥A1﹣MBC1的体积：====4．故答案为：4．9．已知函数f（x）=x|x﹣2|，则不等式f（2﹣ln（x+1））＞f（3）的解集为{x|﹣1＜x＜﹣1} ．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】由题意，f（x）=，在（2，+∞）单调递增，x＜2，f（x）max=1＜f （3）=3．f（2﹣ln（x+1））＞f（3）化为2﹣ln（x+1）＞3，即可解不等式．【解答】解：由题意，f（x）=，在（2，+∞）单调递增，x＜2，f（x）max=1＜f（3）=3．∵f（2﹣ln（x+1））＞f（3），∴2﹣ln（x+1）＞3，∴ln（x+1）＜﹣1，∴0＜x+1＜，∴﹣1＜x＜﹣1，∴不等式f（2﹣ln（x+1））＞f（3）的解集为{x|﹣1＜x＜﹣1}，故答案为{x|﹣1＜x＜﹣1}．10．曲线f（x）=xlnx在点P（1，0）处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积是．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，计算切线与坐标轴的交点坐标，即可得出三角形面积．【解答】解：f′（x）=lnx+x•=lnx+1，∴在点P（1，0）处的切线斜率为k=1，∴在点P（1，0）处的切线l为y﹣0=x﹣1，即y=x﹣1，∵y=x﹣1与坐标轴交于（0，﹣1），（1，0）．∴切线y=x﹣1与坐标轴围成的三角形面积为S=×1×1=．故答案为：．11．设向量=（4sin x，1），=（cos x，﹣1）（ω＞0），若函数f（x）=•+1在区间[﹣，]上单调递增，则实数ω的取值范围为（0，2] ．【考点】9R：平面向量数量积的运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】化简f（x）=sinωx，根据正弦函数的单调性得出f（x）的单调增区间，从而列出不等式解出ω的范围．【解答】解：f（x）=+1=2sin xcos x=sinωx，令﹣+2kπ≤ωx≤+2kπ，解得﹣+≤x≤+，k∈Z，∵ω＞0，∴f（x）的一个单调增区间为[﹣，]，∴，解得0＜ω≤2．故答案为（0，2]．12．设函数f（x）=x+cosx，x∈（0，1），则满足不等式f（t2）＞f（2t﹣1）的实数t的取值范围是＜t＜1．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】求导，求导函数的单调性，将不等式转化为具体不等式，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=x+cosx，x∈（0，1），∴f′（x）=1﹣sinx＞0，函数单调递增，∵f（t2）＞f（2t﹣1），∴1＞t2＞2t﹣1＞0，∴＜t＜1，故答案为＜t＜1．13．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，抛物线E：x2=4y的焦点B是双曲线虚轴上的一个顶点，若线段BF与双曲线C的右支交于点A，且=3，则双曲线C 的离心率为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可知b=1，求出A点坐标，代入双曲线方程化简即可得出a，c的关系，从而得出离心率的值．【解答】解：F（c，0），B（0，1），∴b=1．设A（m，n），则=（m，n﹣1），=（c﹣m，﹣n），∵=3，∴，解得，即A（，），∵A在双曲线﹣y2=1的右支上，∴﹣=1，∴=．∴e==．故答案为：．14．已知a，b，c，d∈R且满足==1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为ln．【考点】4H：对数的运算性质．【分析】根据题意可将（a，b），（c，d）分别看成函数=x+3lnx与y=2x+3上任意一点，然后利用两点的距离公式，结合几何意义进行求解．【解答】解：因为==1，所以可将P：（a，b），Q：（c，d）分别看成函数y=x+3lnx 与y=2x+3上任意一点，问题转化为曲线上的动点P与直线上的动点Q之间的最小值的平方问题，设M（t，t+3lnt）是曲线y=x+3lnx的切点，因为y′=1+，故点M处的切斜的斜率k=1+，由题意可得1+=2，解得t=3，也即当切线与已知直线y=2x+3平行时，此时切点M（3，3+3ln3）到已知直线y=2x+3的距离最近，最近距离d==，也即（a﹣c）2+（b﹣d）2==ln，故答案为：ln二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．在△ABC中，已知三内角A，B，C成等差数列，且sin（+A）=．（Ⅰ）求tanA及角B的值；（Ⅱ）设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）根据等差数列的性质可得B=，再根据诱导公式和同角的三角函数的关系即可求出tanA．（Ⅱ）根据正弦定理求出b，再根据余弦定理求出c．【解答】解：（Ⅰ）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，则B=，∵sin（+A）=，∴cosA=，∴sinA==，∴tanA==；（Ⅱ）由正弦定理可得=，∴b==7，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，即25=49+c2﹣11c，解得c=3或c=8，∵cosA=＞cos，∴A＜，∴C＞，∴c=3舍去，故c=8．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．【考点】L Y：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，AF∥平面PCE；（Ⅱ）由（Ⅰ）得EG∥AF，只需证明AF⊥面PDC，即可得到平面PEC⊥平面PCD．【解答】证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，∴FG为△CDP的中位线，FG∥CD，FG=CD．∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE∥CD，AE=CD．∴FG=AE，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，∴AF∥平面PCE；（Ⅱ）∵PA=AD．∴AF⊥PDPA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又因为CD⊥AB，AP∩AB=A，∴CD⊥面APD∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，∴AF⊥面PDC由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC又EG⊂平面PCE，∴平面PEC⊥平面PCD．17．如图所示的矩形是长为100码，宽为80码的足球比赛场地．其中PH是足球场地边线所在的直线，AB是球门，且AB=8码．从理论研究及经验表明：当足球运动员带球沿着边线奔跑时，当运动员（运动员看做点P）所对AB的张角越大时，踢球进球的可能性就越大．（1）若PH=20，求tan∠APB的值；（2）如图，当某运动员P沿着边线带球行进时，何时（距离AB所在直线的距离）开始射门进球的可能性会最大？【考点】74：一元二次不等式的解法；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）计算tan∠APH与tan∠BPH的值，利用两角差的正切公式求出tan∠APB的值；（2）设PH=x，x∈（0，100），计算tan∠APH、tan∠BPH的值，求出tan∠APB的解析式，利用基本不等式求出它的最大值即可．【解答】解：（1）AB=8，AH=40﹣4=36，PH=20，∴tan∠APH==，tan∠BPH==，∴tan∠APB=tan（∠BPH﹣∠APH）==；即PH=20，tan∠APB的值为；（2）设PH=x，x∈（0，100），∴tan∠APH=，tan∠BPH=，∴tan∠APB=tan（∠BPH﹣∠APH）===≤==，当且仅当x=12时取“=”；∴当运动员P沿着边线带球行进时，离AB所在直线的距离为12码开始射门进球的可能性会最大．18．平面直角坐标系xoy中，直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x 轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】JE：直线和圆的方程的应用；J8：直线与圆相交的性质．【分析】（1）求出O点到直线x﹣y+1=0的距离，进而可求圆O的半径，即可得到圆O的方程；（2）设直线l的方程，利用直线l与圆O相切，及基本不等式，可求DE长最小时，直线l的方程；（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），，，求出直线MP、NP分别与x轴的交点，进而可求mn的值．【解答】解：（1）因为O点到直线x﹣y+1=0的距离为，所以圆O的半径为，故圆O的方程为x2+y2=2．（2）设直线l的方程为，即bx+ay﹣ab=0，由直线l与圆O相切，得，即，，当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l的方程为x+y﹣2=0．（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），，，直线MP与x轴交点，，直线NP与x轴交点，，===2，故mn为定值2．19．已知函数f（x）=alnx（a∈R）．（Ⅰ）若函数g（x）=2x+f（x）的最小值为0，求a的值；（Ⅱ）设h（x）=f（x）+ax2+（a2+2）x，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）设函数y=f（x）与函数u（x）=的图象的一个公共点为P，若过点P有且仅有一条公切线，求点P的坐标及实数a的值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）函数整理为g（x）=alnx+2x，求导，由题意可知，函数的最小值应在极值点处取得，令f′（x）=0，代入求解即可；（Ⅱ）函数整理为h（x）=alnx+ax2+（a2+2）x，求导得h′（x），对参数a进行分类讨论，逐一求出单调区间；（Ⅲ）设出公共点坐标P（m，n）的坐标，求出坐标间的关系，得到lnm﹣m+1=0，通过讨论函数ω（x）=lnm﹣m+1的单调性解方程即可．【解答】解：（Ⅰ）g（x）=f（x）+2x=alnx+2x，（x＞0），g′（x）=+2，a≥0时，g′（x）＞0，函数在（0，+∞）递增，无最小值，a＜0时，g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞﹣，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜﹣，∴函数g（x）=f（x）+2x在（0，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，故函数在x=﹣处取得最小值，∴aln（﹣）﹣a=0，解得：a=﹣2e；（Ⅱ）h（x）=f（x）+ax2+（a2+2）x=alnx+ax2+（a2+2）x，∴h′（x）=，当a=0时，h（x）=2x，定义域内递增；当a≠0时，令h′（x）=0，∴x=﹣或x=﹣，当a＞0时，h′（x）＞0，h（x）定义域内递增；当a＜0时，当a＞﹣时，函数的增区间为（0，﹣），（﹣，+∞），减区间为（﹣，﹣）；当a＜﹣时，函数的增区间为（0，﹣），（﹣，+∞），减区间为（﹣，﹣）；当a=﹣时，定义域内递增．（Ⅲ）a=符合题意，理由如下：此时P（1，0）设函数f（x）与u（x）上公共点P（m，n），依题意有f（m）=u（m），f′（m）=u′（m），即，⇒得到lnm﹣m+1=0，构造函数ω（x）=lnm﹣m+1，（x＞0）ω′（x）=，可得函数ω（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，而ω（1）=0∴方程lnm﹣m+1=0有唯一解，即m=1，a=20．已知数列{a n}，{b n}的首项a1=b1=1，且满足（a n+1﹣a n）2=4，|b n+1|=q|b n|，其中n∈N*．设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n．（Ⅰ）若不等式a n+1＞a n对一切n∈N*恒成立，求S n；（Ⅱ）若常数q＞1且对任意的n∈N*，恒有|b k|≤4|b n|，求q的值；（Ⅲ）在（2）的条件下且同时满足以下两个条件：（ⅰ）若存在唯一正整数p的值满足a p＜a p﹣1；（ⅱ）T m＞0恒成立．试问：是否存在正整数m，使得S m+1=4b m，若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（I）{a n}是公差为2的等差数列，代入求和公式即可得出S n；（II）用q表示出|b k|和4|b n|，根据q的范围及恒等式得出q﹣2=0；（III）利用条件可得{a n}，{b n}的通项，求出S m+1，4b m，从而得出m的存在性．【解答】解：（I）∵（a n+1﹣a n）2=4，a n+1＞a n，∴a n+1＞a n=2，∴{a n}是以a1=1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∴S n==n2．（II）∵|b n+1|=q|b n|，∴|b n|=q|b n﹣1|=q2|b n﹣2|=q n﹣1|b1|=q n﹣1．|b k|=1+q+q2+…+q n=，∵常数q＞1且对任意的n∈N*，恒有|b k|≤4|b n|，∴≤4q n﹣1，即1﹣q n+1≥4q n﹣1﹣4q n，∴q n﹣1（q2﹣4q+4）≤1，即q n﹣1（q﹣2）2≤1恒成立，∴q=2．（III）由（II）可知{|b n|}是以1为首项，以2为公比的等比数列，∵T m＞0，∴{b n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，即b n=2n﹣1，∵（a n+1﹣a n）2=4，∴a n+1﹣a n=2或a n+1﹣a n=﹣2，∵存在唯一正整数p的值满足a p＜a p﹣1，∴当n≤p﹣1或n≥p时，{a n}是公差为2的递增数列，∴p≥2，①若p=2，则a n=，∴S m=（m﹣2）2，∴S m+1=（m﹣1）2，而4b m=4•2m﹣1=2m+1，∴4b m﹣S m+1=2m+1﹣（m﹣1）2＞0，下面用数学归纳法给出证明：当m=1时，结论显然成立，假设m=k时，结论成立，即2k+1﹣（k﹣1）2＞0，则2k+2﹣k2＞2•2k+1﹣（k﹣1）2＞2k+1﹣（k﹣1）2＞0，即当m=k+1时，结论也成立，∴4b m﹣S m+1＞0恒成立，即不存在正整数m使得S m+1=4b m．②若p≥3，则a1=1，a2=3，∴S2=1+3=4=4b1，∴P≥3时，存在正整数m=1，使得S m+1=4b m．综上，当p=2时，不存在正整数m使得S m+1=4b m；当p≥3时，存在正整数m使得S m+1=4b m，此时m=1．四.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．【选修4-1几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为线段OA上一点，BM的延长线交⊙O于点N，过点N的切线交CA的延长线于点P．求证：PM2=PA•PC．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】做出辅助线连接ON，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论【解答】证明：连接ON，则∵PN切⊙O于N，∴∠ONP=90°，∴∠ONB+∠BNP=90°∵OB=ON，∴∠OBN=∠ONB，∵OB⊥AC于O，∴∠OBN+∠BMO=90°，故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN，∴PM2=PN2=PA•PC．B．【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分0分）22．已知矩阵M=，N=，若MN=．求实数a，b，c，d的值．【考点】OE：矩阵与矩阵的乘法的意义．【分析】利用矩阵的乘法公式，建立方程，即可求实数a，b，c，d的值．【解答】解：由题意，，∴a=1，b=﹣1，c=2，d=2．C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分0分）23．在极坐标系中，已知点A（2，），B（1，﹣），圆O的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）求圆O的直角坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）求出A，B的直角坐标，即可求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）将原极坐标方程ρ=4sinθ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）点A（2，），B（1，﹣），直角坐标为A（0，2），B（，﹣），k AB=﹣（4+）∴直线AB的直角坐标方程为y=﹣（4+）x+2；（Ⅱ）将原极坐标方程ρ=4sinθ，化为：ρ2=4ρsinθ，化成直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4．D．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分0分）24．已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．【考点】R6：不等式的证明．【分析】利用基本不等式，再相加，即可证得结论．【解答】证明：∵a，b，c都是正数，∴a2b2+b2c2≥2ab2c，a2b2+c2a2≥2a2bc，c2a2+b2c2≥2abc2∴2（a2b2+b2c2+c2a2）≥2ab2c+2a2bc+2abc2∴a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+a2bc+abc2∴≥abc．【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了100名学生进行调查．如图是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图．（Ⅰ）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数和众数m（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）已知样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生中，男生比女生多1人，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E（ξ）．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中，[30，40）对应的小矩形最高，能求出m，由频率分布直方图，能求出抽取样本的平均数．（Ⅱ）样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生为5人，其中男生3人，女生2人，则ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵频率分布直方图中，[30，40）对应的小矩形最高，∴m=35，由频率分布直方图，得：．（Ⅱ）样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生为0.05×100=5人，其中男生3人，女生2人，则ξ的可能取值为1，2，3，，，∴ξ的分布列为：ξ123P（ξ）所以．26．已知数列{a n}的通项公式为a n=（n≥1，n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；（Ⅱ）求证：对任意的自然数n∈N*，不等式a1•a2…a n＜2•n!成立．【考点】8K：数列与不等式的综合；81：数列的概念及简单表示法．【分析】（Ⅰ）代值计算即可，（Ⅱ）先利用分析法，要证明不等式成立，只需要证明等式（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）≥1﹣（+++…+）恒成立即可，用数学归纳法证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a n=（n≥1），∴a1==，a2==，a3==，（Ⅱ）∵a n==，可得a1•a2…a n=，因此欲证明不等式a1•a2…a n＜2•n!成立，只需要证明对一切非零自然数n，不等式（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）＞恒成立即可，显然左端每个因式都为正数，且因1﹣（+++…+）=1﹣（）=1﹣（1﹣）＞1﹣=，故只需要证明对非零自然数，不等式（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）≥1﹣（+++…+）恒成立即可，下面用数学归纳法证明该不等式成立，①显然当n=1时，不等式1﹣≥1﹣成立，②假设当n=k时不等式成立，即（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）≥1﹣（+++…+）成立，那么当n=k+1时，（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）≥[1﹣（+++…+）]（1﹣），即不等式右边=1﹣（+++…+）﹣+（+++…+），注意到（+++…+）＞0，所以，（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）≥1﹣（+++…++），这说明当n=k+1时，不等式也成立，由①②可知，不等式对一切非零自然数都成立，2017年5月24日。
