考点18 函数y=Asin(ωx φ)的图像-2020年领军高考数学一轮必刷题(江苏版)

辅导讲义――函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质教学内容1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图 五个特征点的取法：设X =ωx ＋φ，由X 取0，2π，π，23π，π2来求出相应的x 的值，及对应的y 值，再描点作图.如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：[例1] 函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是______________.[巩固1] 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则ω=______；ϕ=______知识模块1 y ＝A sin(ωx ＋φ)精典例题透析[巩固] 若关于x 的方程01sin sin 2=+-+m x x 有解，则实数m 的取值范围为_____________.[例5] 要得到)21sin(x y -=的图象，只需将)621sin(π--=x y 的图象_______________.[巩固1] 为得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象_____________________.[巩固2] 为得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象_____________________.[例6] 已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对的函数解析式为_____________.[巩固1] 函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为____________.[巩固2] 已知函数),0,)(sin()(πϕπωϕω<<->∈+=R x x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式 是_______________.[例7] 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)[例]（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝_____，φ＝_______.（2）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．[巩固] 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．题型三：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质[例] (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和φ的值；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．[巩固] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．1．(2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π42．(2013·浙江)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是__________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是______________.4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是_____________.5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________________.6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°， KL ＝1，则f (16)的值为________．，7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值 为________℃.夯实基础训练。

考向20 函数y=Asin(ωx +φ)的图象及其应用【2022·浙江·高考真题】为了得到函数2sin3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（ ） A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度 D ．向右平移π15个单位长度【2022·全国·高考真题（文）】将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．121．已知()()sin (0,0)f x A x A ωφω=+>>的部分图象求A 的方法： （1）利用极值点的纵坐标求A ；（2）把某点的坐标代入求A ． 2．已知()()sin (0,0)f x A x A ωφω=+>>的部分图象求ω的方法： 由2Tπω=，即可求出ω．常用结论：（1）相邻两个极大（小）值点之间的距离为T ；（2）相邻两个零点之间的距离为;2T （3）极值点到相邻的零点，自变量取值区间长度为4T．3．已知()()sin (0,0)f x A x A ωφω=+>>的部分图象求φ的方法： 求φ的值时最好选用最值点求． 峰点：22x k πωφπ+=+；谷点：22x k πωφπ+=-+．也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点． 升零点（图象上升时与x 轴的交点）：2x k ωφπ+=；降零点（图象下降时与x 轴的交点）：2x k ωφππ+=+（以上k z ∈）．此外也可以把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）．函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的物理意义简谐运动的图象所对应的函数解析式sin(),[0,)y A x x ωϕ=+∈+∞，其中0,0A ω>>．在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是2T πω=，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式1f T=给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；x ωϕ+称为相位；0x =时的相位ϕ称为初相．1．平移与伸缩由函数sin y x =的图像变换为函数2sin(2)33y x π=++的图像的步骤；方法一：(2)23x x x ππ→+→+．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．3sin y x π=−−−−−−→向左平移个单位的图像sin()3y x π=+的图像12−−−−−−−−−→所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变sin(2)3y x π=+的图像2−−−−−−−−−→所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变2sin(2)3y x π=+的图像 3−−−−−−→向上平移个单位2sin(2)33y x π=++方法二：(2)23x x x ππ→+→+．先周期变换，后相位变换，再振幅变换． sin y x =的图像12−−−−−−−−−→所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变6sin 2y x π=−−−−−−→向左平移个单位的图像sin 2()sin(2)62y x x ππ=+=+的图像2−−−−−−−−−→所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变32sin(2)3y x π=+−−−−−−→向上平移各单位的图像2sin(2)33y x π=++注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x 而言的，即图像变换要看“变量x ”发生多大变化，而不是“角wx φ+”变化多少．1．（2022·全国·模拟预测（理））函数()f x 的图象按以下次序变换：①横坐标变为原来的12；②向左平移23π个单位长度；③向上平移一个单位长度；④纵坐标变为原来的2倍，得到sin y x =的图象，则()f x 的解析式为（ ）A ．()112sin 1223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ B ．()11sin 1223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C ．()12sin 2123f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．()1sin 2123f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））已知点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心，其中()0,6ω∈，将函数()f x 的图象向右平移5π24个单位长度得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ） A ．π2sin 28x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．2sin 4x -C ．2cos2x -D ．2cos4x -3．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知直线8x π=是函数()2sin(2)||2πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭f x x 的图像的一条对称轴，为了得到函数()y f x =的图像，可把函数2cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像（ ）A ．向左平移24π个单位长度 B ．向右平移24π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度4．（2022·全国·高三专题练习（文））将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．125．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））将函数()πsin(2)6f x x =+的图象向右平移6π个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．π()sin 46g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()g x 在ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调C ．()g x 的图象关于直线π2x =对称D ．当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1．（2022·上海浦东新·二模）将函数()sin2f x x =的图像向左平移4π个单位后，得到函数()g x 的图像，设,,A B C 为以上两个函数图像不共线的三个交点，则ABC 的面积不可能为（ ） A ．22πB 2πC 2D 2 2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））将函数()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移6π个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的12 （纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域为（ ）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,1-D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知函数()2sin cos f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()sin 2cos g x x x =+的图象，则()g ϕ=（ ） A ．65B ．115C ．15D ．854．（2022·广东茂名·二模）已知函数π()3sin(2)(||)2f x x ϕϕ=+< 的部分图象如图所示．将函数()f x 的图象向左平移π12个单位得到()g x 的图象，则（ ）A ．()3sin(2)6g x x π+） B ．()3sin(2)12g x x 5π=+C ．()32g x x =D ．()32g x x =5．（2022·安徽省舒城中学三模（理））将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在π[0,]4上为增函数，则ω最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．526．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，且13π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的14，再向上平移一个单位长度，得到()g x 的图象．若()()129g x g x =，1x，[]20,4πx ∈，则21x x -的最大值为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π7．（多选题）（2022·全国·模拟预测）将函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=>的图象向右平移π3个单位，得到的图象关于y 轴对称，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 最小正周期的最大值为4π5 B ．()f x 最小正周期的最大值为4π11C ．当()f x 的最小正周期取最大值时，平移后的函数在π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．当()f x 的最小正周期取最大值时，平移后的函数在π0,11⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减8．（多选题）（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图像的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为34π，则（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为3πB ．将函数()f x 的图像向左平移π4个单位长度后所得图像关于原点对称 C ．函数()f x 在5π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数D ．设||3π()e 24x g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()g x 在(10π,10π)-内有20个极值点9．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知函数()()sin cos sin f x x x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 21-C ．()f x 的图像关于直线8x π=-对称 D ．将()f x 的图像向右平移8π个单位长度，再向上平移12个单位长度后所得图像对应的函数为奇函数10．（多选题）（2022·全国·模拟预测）函数()()()cos 02f x x ωϕϕπ=+≤<的部分图像如图所示，则（ ）A ．3ω=B ．65ϕπ=C ．函数()f x 在314,55ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 图像的对称轴方程为()315k x k ππ=-∈Z 11．（2022·上海闵行·二模）若函数3sin cos y x x =+的图像向右平移ϕ个单位后是一个奇函数的图像，则正数ϕ的最小值为___________；12．（2022·河北衡水·高三阶段练习）把函数()22cos cos 23f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位长度，得到的图像所对应的函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小正值为__________．13．（2022·山东潍坊·三模）已知函数()cos 2f x x =向右平移12π个单位长度后得到()g x ．若对于任意的1,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]2,x m n ∈，使得()()12f x g x =，则m n -的最小值为______．14．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知函数()π2sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()y f x =的图象上所有点横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），再将所得函数图象向左平移π4个单位长度，得到()y g x =图象，若()32gx =在[]0,2π有n 个不同的解12,,,n x x x ，则1tan n i i x =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑__________.15．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．当130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0g x a -=恰有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求实数a 的取值范围和1232x x x ++的值．16．（2022·全国·模拟预测）条件①：()()()f x g x h x =⋅；条件②：()()()2f x g x h x =．已知()3sin cos g x x x =-，()cos sin 44h x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为条件，求： (1)求()f x 的解析式；(2)将()y f x =的图象上的各点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移12π个单位长度，得到()y t x =的图象，求函数()y t x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调递减区间和最大值．17．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知数2()32sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的相邻两对称轴间的距离为2π.(1)求()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域；(3)对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为12,,n x x x ，若m =1231222n n x x x x x -+++++，试求n 与m 的值.18．（2022·()3cos 22sin 0011cos A A x A x A x>按第一列展开11213132M M M ++，记函数()1121f x M M =+，且()f x 的最大值是4． (1)求A ；(2)将函数()y f x =的图像向左平移12π个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在11,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域．19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知函数()()*sin ,2f x x N πωϕωϕ⎛⎫=+∈< ⎪⎝⎭的图像关于直线512x π=-对称，且在区间5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；(1)求()f x 解析式．(2)若02f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象所有的点向右平移12π个单位长度，再把所得图像上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到()g x 的图象；若()g x m =在,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，求m 的取值范围．1．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数2sin3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（ ） A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度 D ．向右平移π15个单位长度 2．（2022·全国·高考真题（文））将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．123．（2021·全国·高考真题（理））把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（ ）A ．7sin 212x π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭4．（2020·天津·高考真题）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③5．（2019·天津·高考真题（文））已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ．2-C ．2D ．26．（2014·辽宁·高考真题（文））将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 7．（2015·湖南·高考真题（理））将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的，，有，则ϕ=A ．512πB ．3π C ．4π D ．6π 8．（2012·天津·高考真题（文））将函数()sin f x x ω=（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值是A ．13B ．1C ．53D ．29．（2018·天津·高考真题（理））将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 10．（2018·天津·高考真题（文））将函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递减C ．在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．（2017·全国·高考真题（理））已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2。

考点十八 函数y =A sin(ωx +φ)的图象和性质知识梳理1．五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用“五点法”作图，就是令ωx ＋φ取下列5个特殊值：0, π2, π, 3π2, 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象 2．三角函数图象变换3．函数y =A sin(ωx +φ)的几个概念若函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．典例剖析题型一 三角函数的图象变换例1 (2015山东文)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象________．(填序号)① 向左平移π12个单位 ②向右平移π12个单位 ③向左平移π3个单位 ④向右平移π3个单位答案 ②解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位．变式训练 把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为________．答案 x ＝－π2解析 将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x＋π6)；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2)，故x ＝－π2是其图象的一条对称轴方程．解题要点 图象平移时要注意平移量的求解，由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，两种变换区别在于：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 题型二 三角函数的五点法作图 例2 设函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(2)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的． 解析 (1) 列表，描点画出图象：(2) 方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 方法二 将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝sin2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 解题要点 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 题型三 由图象求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例3 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图象如图所示． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6时，求f (x )的取值范围．解析 (1)由题中图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1，又－π2<φ<π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (2)由于－π≤x ≤－π6，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 解题要点 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.题型四 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称性、周期性、奇偶性 例4 函数f (x )＝cos(2x －π6)的最小正周期是________．答案 π解析 最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.变式训练 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2(x ∈R )，下面结论错误的是________．(填序号) ① 函数f (x )的最小正周期为π ② 函数f (x )是偶函数③ 函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称④ 函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 答案 ③解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故①正确；易知函数f (x )是偶函数，②正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，③错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，④正确，故选③. 解题要点 1.三角函数的奇偶性的判断技巧：首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．2.求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.③利用图象． 3.三角函数的对称性：正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．另外函数y ＝A sin(ωx ＋φ)、余弦函数y ＝A cos(ωx ＋φ)在对称轴处必取极值±A ，在对称轴处必取0，借助这一性质可快速解题．当堂练习1．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．答案 2，－π3解析 由图象可得，3T 4＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3＝3π4， ∴T ＝π，则ω＝2ππ＝2，再将点⎝⎛⎭⎫5π12，2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)中得，sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1， 令5π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 解得，φ＝2k π－π3，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则取k ＝0，∴φ＝－π3. 2．(2014·辽宁卷) 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数________．(填序号)①在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 ②在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增③在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 ④在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 答案 ②解析 由题可知，将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图象，令－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z 时，函数单调递增，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，可知当k ＝0时，函数在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增．3. (2014·四川卷)为了得到函数y ＝sin (2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点________．(填序号)①向左平行移动12个单位长度 ②向右平行移动12个单位长度③向左平行移动1个单位长度 ④向右平行移动1个单位长度 答案 ①解析 因为y ＝sin(2x ＋1)＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋12，所以为得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需要将y ＝sin 2x 的图象向左平行移动12个单位长度．4．(2014·安徽卷)若将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 答案3π8解析 将f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图象，由该函数的图象关于y 轴对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，所以当φ>0时，φmin ＝3π8.5．(2015新课标Ⅰ文)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为________．答案 ⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析 由已知图象可求得ω与φ的值，然后利用余弦函数的单调区间求解． 由图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z . 课后作业一、 填空题1．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向左平移π12个单位，得到函数g (x )＝sin(2x ＋φ)0＜φ＜π2的图象，则φ等于________. 答案 π6解析 由题意g (x )＝sin 2(x ＋π12)＝sin(2x ＋π6)，又g (x )＝sin(2x ＋φ)，0＜φ＜π2，∴φ＝π6.2．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为________. 答案 π4解析 由函数横向平移规律“左加右减”则y ＝sin(2x ＋φ)向左平移π8个单位得y ＝sin(2x ＋π4＋φ).由y ＝sin(2x ＋π4＋φ)为偶函数得π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，则φ＝π4＋k π，k ∈Z ，则φ的一个可能值为π4.3．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是________.①y ＝sin(2x ＋π2) ②y ＝cos(2x ＋π2) ③y ＝sin(x ＋π2) ④y ＝cos(x ＋π2)答案 ①解析 对于选项①，注意到y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 的周期为π，且在[π4，π2]上是减函数，故选①.4．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为________. 答案 －sin x解析 由图象的平移得g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－sin x . 5．已知函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则________.① ω＝1，φ＝2π3② ω＝1，φ＝－2π3③ ω＝2，φ＝2π3④ ω＝2，φ＝－2π3答案 ④解析 由题图可知14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，又T ＝2πω，∴ω＝2，又f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π3，1，∴cos ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝1，∴2π3＋φ＝2k π，令k ＝0，得φ＝－23π. 6．要得到函数y ＝sin(x －π6)的图象可将函数y ＝sin(x ＋π6)的图象上的所有点________.答案 向右平移π3个长度单位解析 由y ＝sin[(x －π3)＋π6]＝sin(x －π6)知应向右平移π3个长度单位.7．(2015陕西理)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________.答案 8解析 由图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.8．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________. 答案 2解析 ∵y ＝sin ω(x －π4)过点(34π，0)，∴sin π2ω＝0，∴π2ω＝k π，ω＝2k ，当k ＝1时，ω最小值为2.9．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f (x )＝________.答案 2sin(π8x ＋π4)解析 依题意得，A ＝2，2πω＝2×(6＋2)＝16，ω＝π8， sin(π8×2＋φ)＝1，又|φ|<π2，因此φ＝π4，f (x )＝2sin(π8x ＋π4)． 10．设y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ＜(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点(π4，0)对称； ②图象关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数； ④在[－π6，0]上是增函数．正确结论的编号为________． 答案 ②④解析 ∵T ＝π，∴ω＝2，∴y ＝sin(2x ＋φ)，∵图象关于直线x ＝π12对称，∴π6＋φ＝π2＋k π，(k ∈Z )，∴φ＝π3＋k π(k ∈Z )，又∵φ∈(－π2，π2)，∴φ＝π3. ∴y ＝sin(2x ＋π3).当x ＝π4时，y ＝sin(π2＋π3)＝12，故①不正确．当x ＝π3时，y ＝0，故②正确；当x ∈[0，π6]时，2x ＋π3∈[π3，2π3]，y ＝sin(2x ＋π3)不是增函数，即③不正确；当x ∈[－π6，0]时，2x ＋π3∈[0，π3]⊆[0，π2]，故④正确．11． (2015湖南文)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________. 答案 π2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx得sin ωx ＝cos ωx ，∴tan ωx ＝1，ωx ＝k π＋π4 (k ∈Z )．∵ω>0，∴x ＝k πω＋π4ω(k ∈Z )．设距离最短的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，不妨取x 1＝π4ω，x 2＝5π4ω，则|x 2－x 1|＝⎪⎪⎪⎪5π4ω－π4ω＝πω.又结合图形知|y 2－y 1|＝⎪⎪⎪⎪2×⎝⎛⎭⎫－22－2×22＝22， 且(x 1，y 1)与(x 2，y 2)间的距离为23， ∴(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(23)2， ∴⎝⎛⎭⎫πω2＋(22)2＝12，∴ω＝π2. 二、解答题12． 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象．解析 (1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.(2)图象如图所示．13．(2015湖北文)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) f (x )的解析式； (2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解析 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 因此g (x )＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0.。

§4.4函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像及应用1.y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点3.函数y＝sin x的图像经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像的两种途径概念方法微思考1.怎样从y ＝sin ωx 的图像变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的图像？ 提示 向左平移φω个单位长度.2.函数y ＝sin(ωx ＋φ)图像的对称轴是什么？ 提示 x ＝k πω＋π2ω－φω(k ∈Z ).题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图像向右平移π2个单位长度得到的.( √ ) (2)将函数y ＝sin ωx 的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图像.( × )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ ) (4)函数y ＝sin x 的图像上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图像对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( × )题组二 教材改编2.为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，可以将函数y ＝2sin 2x 的图像向 平移 个单位长度. 答案 右 π63.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为 . 答案 2，14π，－π34.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为 .答案 y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14] 解析 从题图中可以看出，从6～14时的是函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期， 所以A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20， 又12×2πω＝14－6， 所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，取φ＝3π4， 所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]. 题组三 易错自纠5.要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( ) A.向左平移π12个单位长度B.向右平移π12个单位长度C.向左平移π3个单位长度D.向右平移π3个单位长度答案 A解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x ＋π12， ∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像向左平移π12个单位长度. 6.将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为 . 答案 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期，即π4个单位长度，所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 7.y ＝cos(x ＋1)图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是 . 答案π2＋4解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4.8.若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图像如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为 .答案3解析 由题干图像可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2，∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 则f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及变换例1 (2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2的最小正周期是π，且当x ＝π6时，f (x )取得最大值2.(1)求f (x )的解析式；(2)作出f (x )在[0，π]上的图像(要列表).解 (1)因为函数f (x )的最小正周期是π，所以ω＝2. 又因为当x ＝π6时，f (x )取得最大值2.所以A ＝2，同时2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)因为x ∈[0，π]，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，13π6， 列表如下：描点、连线得图像：引申探究在本例条件下，若将函数f (x )的图像向右平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图像，且y ＝g (x )是偶函数，求m 的最小值.解 由已知得y ＝g (x )＝f (x －m )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2(x －m )＋π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2x －⎝⎛⎭⎫2m －π6是偶函数，所以2m －π6＝π2(2k ＋1)，k ∈Z ，m ＝k π2＋π3，k ∈Z ，又因为m >0，所以m 的最小值为π3.思维升华 (1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标.(2)由函数y ＝sin x 的图像通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.跟踪训练1 (1)若把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的图像向左平移π3个单位长度，所得到的图像与函数y ＝cos ωx 的图像重合，则ω的一个可能取值是( ) A.2 B.32 C.23 D.12答案 A解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋ω3π－π6和函数y ＝cos ωx 的图像重合，可得ω3π－π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，则ω＝6k ＋2，k ∈Z .∴2是ω的一个可能值.(2)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(0<ω<2)满足条件：f ⎝⎛⎭⎫－12＝0，为了得到函数y ＝f (x )的图像，可将函数g (x )＝cos ωx 的图像向右平移m (m >0)个单位长度，则m 的最小值为( ) A.1 B.12 C.π6 D.π2答案 A解析 由题意得sin ⎝⎛⎭⎫－12ω＋π6＝0，即－12ω＋π6＝k π(k ∈Z )，则ω＝π3－2k π(k ∈Z )，结合0<ω<2，得ω＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－π3x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π3(x －1)，所以只需将函数g (x )＝cos π3x 的图像向右至少平移1个单位长度，即可得到函数y ＝f (x )的图像，故选A. 题型二 由图像确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则y ＝ .答案 2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6解析 由题图可知，A ＝2，T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为 .答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π－π3，k ∈Z 解析 根据题干所给图像，周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，故π＝2πω，∴ω＝2， 因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图像经过点⎝⎛⎭⎫7π12，0，代入有2×7π12＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )， 再由|φ|<π2，得φ＝－π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值. 思维升华 y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.跟踪训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，将函数f (x )的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，32对称，则m的值可能为( )A.π6B.π2C.7π6D.7π12答案 D解析 依题意得⎩⎨⎧A ＋B ＝332，－A ＋B ＝－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝32，T 2＝πω＝2π3－π6＝π2， 故ω＝2，则f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋32. 又f ⎝⎛⎭⎫π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＋32＝332， 故π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z ). 因为|φ|<π2，故φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32. 将函数f (x )的图像向左平移m 个单位长度后得到g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2m ＋32的图像，又函数g (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，32对称，即h (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2m 的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，故3sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π6＋2m ＝0，即5π6＋2m ＝k π(k ∈Z )，故m ＝k π2－5π12(k ∈Z ).令k ＝2，则m ＝7π12.题型三 三角函数图像、性质的综合应用命题点1 图像与性质的综合问题例3 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，若f (0)＝3，且AB →·BC →＝π28－8，B ，C 分别为最高点与最低点.(1)求函数f (x )的递增区间；(2)若将f (x )的图像向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)由f (0)＝3，可得2sin φ＝3，即sin φ＝32. 又∵|φ|<π2，∴φ＝π3.由题意可知，AB →＝⎝⎛⎭⎫14T ，2，BC →＝⎝⎛⎭⎫12T ，－4， 则AB →·BC →＝T28－8＝π28－8，∴T ＝π.故ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z . (2)由题意将f (x )的图像向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图像，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤－1，32. ∴当2x ＋2π3＝2π3，即x ＝0时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝32，g (x )取得最大值3， 当2x ＋2π3＝3π2，即x ＝5π12时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝－1，g (x )取得最小值－2.命题点2 函数零点(方程根)问题例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是 . 答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为 m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π， ∴题目条件可转化为m2＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π有两个不同的实数根. ∴y ＝m2和y ＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π的图像有两个不同交点，如图：由图像观察知，m2的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，－12， 故m 的取值范围是(－2，－1). 引申探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是 . 答案 [－2,1)解析 由上例题知，m2的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12， ∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1). 命题点3 三角函数模型例5 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低，为5千元，则7月份的出厂价格为 元. 答案 6 000解析 作出函数简图如图：三角函数模型为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知A ＝12(9 000－5 000)＝2 000，B ＝7 000，T ＝2×(9－3)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6.将(3,9 000)看成函数图像的第二个特殊点， 则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2 000sin π6x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N ＋).∴f (7)＝2 000×sin7π6＋7 000＝6 000(元). 故7月份的出厂价格为6 000元.思维升华 (1)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.(2)方程根的个数可转化为两个函数图像的交点个数.跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )的解析式为 . 答案 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6解析 根据已知两个相邻最高点和最低点的距离为22， 可得⎝⎛⎭⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋φ. 又函数图像过点⎝⎛⎭⎫2，－12， 故f (2)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6. (2)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)满足f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且函数在⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个零点，则f (x )的最小正周期为 . 答案 π解析 ∵f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3，∴x ＝π6是f (x )图像的一条对称轴，∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝±1， ∴π6×ω＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴ω＝6k ＋2，k ∈Z ， ∴T ＝π3k ＋1(k ∈Z ).又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个零点， ∴π6<T 4≤π2－π6， ∴2π3<T ≤4π3， ∴2π3<π3k ＋1≤4π3(k ∈Z )， ∴－112≤k <16，又∵k ∈Z ，∴k ＝0，∴T ＝π.三角函数图像与性质的综合问题例 (12分)已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π). (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图像向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值. 规范解答解 (1)f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [3分] ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，[5分] 于是T ＝2π1＝2π.[6分](2)由已知得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，[8分] ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，[10分] ∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈[－1,2].[11分] 故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]解决三角函数图像与性质的综合问题的一般步骤 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式； 第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2· ⎝⎛⎭⎪⎫sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·b a 2＋b 2； 第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质.1.为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图像，可以将函数y ＝sin 2x 的图像( ) A.向右平移π6个单位长度B.向右平移π12个单位长度C.向左平移π6个单位长度D.向左平移π12个单位长度答案 B解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝sin 2x 的图像向右平移π12个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图像.2.(2018·洛阳统考)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8 B.π4 C.3π8 D.5π4答案 C解析 f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，将函数f (x )的图像向右平移φ个单位长度后所得图像对应的函数为y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4－2φ，且该函数为偶函数， 故2φ＋π4＝k π(k ∈Z )，所以φ的最小正值为3π8.3.(2019·合肥模拟)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期是π，则其图像向右平移π3个单位长度后对应函数的递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z ) 答案 B解析 由题意知ω＝2ππ＝2，将函数f (x )的图像向右平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 的图像，由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得所求函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4 (k ∈Z ). 4.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，则f (x )的递增区间为( )A.[－1＋4k π，1＋4k π](k ∈Z )B.[－3＋8k π，1＋8k π](k ∈Z )C.[－1＋4k ，1＋4k ](k ∈Z )D.[－3＋8k ，1＋8k ](k ∈Z ) 答案 D解析 由题图知，T ＝4×(3－1)＝8，所以ω＝2πT ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ.把(1,1)代入，得sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，即π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.由2k π－π2≤π4x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得8k －3≤x ≤8k ＋1(k ∈Z )，所以函数f (x )的递增区间为[8k －3,8k ＋1](k ∈Z ).5.将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图像沿着x 轴向右平移a (a >0)个单位长度，所得函数图像关于y 轴对称，则a 的最小值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 答案 B解析 依题意得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 因为函数f (x －a )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －a －π6的图像关于y 轴对称， 所以sin ⎝⎛⎭⎫－a －π6＝±1，a ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ， 即a ＝k π＋π3，k ∈Z ，又a >0，所以a ＝k π＋π3，k ∈N .因此正数a 的最小值是π3，故选B.6.将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图像向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( )A.－32B.－12C.12D.32答案 A解析 将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图像向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ的图像，该图像关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－32. 7.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝ .答案3解析 由题干图像知πω＝2×⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π2， 所以ω＝2.因为2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4，这时f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 又函数图像过点(0,1)，代入上式得A ＝1，所以f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 所以f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝ 3. 8.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝ .答案32解析 由题图可知，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又－π6＋π32＝π12，所以f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，1， 即sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝1， 所以2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，可得φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 由f (x 1)＝f (x 2)，x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3， 可得x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3 ＝sin 2π3＝32.9.(2018·洛阳模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是 . 答案 ⎣⎡⎦⎤2π9，5π18解析 画出函数的图像如图所示.由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3， 因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎡⎦⎤2π9，5π18. 10.已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内是增加的，且函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝ω对称，则ω的值为 . 答案π2解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内是增加的，且函数图像关于直线x ＝ω对称， 所以f (ω)必为一个周期上的最大值， 所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2. 11.已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6(其中0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图像的一个对称中心. (1)求ω的值，并求出函数f (x )的递增区间； (2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图像. 解 (1)因为点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图像的一个对称中心， 所以－ωπ3＋π6＝k π(k ∈Z )，ω＝－3k ＋12(k ∈Z )，因为0<ω<1，所以当k ＝0时，可得ω＝12.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 令2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z ). (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈[－π，π]，列表如下：作出函数部分图像如图所示：12.(2017·山东)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3.已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值. 解 (1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0， 所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0<ω<3， 所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.13.将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2的图像向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g (x )的图像，若f (x )，g (x )的图像都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值为 . 答案5π6解析 g (x )＝sin [2(x －φ)＋θ]＝sin(2x －2φ＋θ)， 若f (x )，g (x )的图像都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32， 所以sin θ＝32，sin(－2φ＋θ)＝32， 又－π2<θ<π2，所以θ＝π3，sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝32. 又0<φ<π，所以－5π3<π3－2φ<π3，所以π3－2φ＝－4π3.即φ＝5π6.14.(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为 .答案 π解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0). 由2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝1， 得sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝12， ∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋5π6(k ∈Z ). 令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝5π6， ∴x 1＝0，x 2＝2π3ω. 由|x 1－x 2|＝π3， 得2π3ω＝π3，∴ω＝2. 故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.15.已知函数y ＝M sin(ωx ＋φ)(M >0，ω>0,0<φ<π)的图像关于直线x ＝13对称.该函数的部分图像如图所示，AC ＝BC ＝22，C ＝90°，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为 .答案 34解析 依题意知，△ABC 是直角边长为22的等腰直角三角形，因此其边AB 上的高是12，函数f (x )的最小正周期是2，故M ＝12，2πω＝2，ω＝π，f (x )＝12sin(πx ＋φ). 又f (x )的图像关于直线x ＝13对称， ∴f ⎝⎛⎭⎫13＝12sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±12. ∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0<φ<π， ∴φ＝π6，∴f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝34.16.已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－12⎝⎛⎭⎫A >0，0<φ<π2的图像在y 轴上的截距为1，且关于直线x ＝π12对称，若存在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，使m 2－3m ≥f (x )成立，则实数m 的取值范围为 . 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析 ∵函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－12⎝⎛⎭⎫A >0，0<φ<π2的图像在y 轴上的截距为1， ∴A sin φ－12＝1， 即A sin φ＝32. ∵函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－12的图像关于直线x ＝π12对称， ∴2×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 又0<φ<π2，∴φ＝π3， ∴A ·sin π3＝32， ∴A ＝3，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－12. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3， ∴当2x ＋π3＝4π3， 即x ＝π2时，f (x )min ＝－32－12＝－2. 令m 2－3m ≥－2，解得m ≥2或m ≤1.。

第4讲 正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用【2015年高考会这样考】1．考查正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换．2．结合三角恒等变换考查y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及简单应用． 3．考查y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种变换途径． 【复习指导】本讲复习时，重点掌握正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题．基础梳理1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A2．函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤3．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相． 4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形．一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定． 一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )．A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8 D ．2，12π，－π8答案 A2.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生我爱学习网 文言文网/wenyanwen/A ．T ＝6π，φ＝π6 B ．T ＝6π，φ＝π3 C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π3解析 由题图象知T ＝2(4－1)＝6⇒ω＝π3，由图象过点(1,2)且A ＝2，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×1＋φ＝1，又|φ|＜π2，得φ＝π6.答案 C3．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x 解析 由图象的平移得g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x .答案 A4．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32 D ．3解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2向右平移4π3个单位后得到y 1＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－4π3ω＋2，又y 与y 1的图象重合，则－4π3ω＝2k π(k ∈Z )． ∴ω＝－32k .又ω＞0，k ∈Z ，∴当k ＝－1时，ω取最小值为32，故选C. 答案 C5．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.解析 由题意设函数周期为T ，则T 4＝23π－π3＝π3，故T ＝43π.∴ω＝2πT ＝32. 答案 32考向一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象． [审题视点] (1)由已知条件可求ω，φ；(2)采用“五点法”作图，应注意定义域[0，π]．解 (1)周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32， ∵－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.(2)由(1)知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表如下：2x －π3－π3π2π32π53π我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生我爱学习网 文言文网/wenyanwen/x 0π6 512π 23π 1112π π f (x )121－112图象如图：(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可．(2)变换法作图象的关键看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω来确定平移单位． 【训练1】 已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？ 解 (1)列表取值：x π2 32π 52π 72π 92π 12x －π4 0 π2 π 32π 2π f (x )3－3描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象．考向二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．[审题视点] 由最高、最低点确定A ，由周期确定ω，然后由图象过的特殊点确定φ.解析 由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝2k π＋π，∴φ＝2k π＋π3，令k ＝0，ω＝2πT ＝2，又函数图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝62.答案 62解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．【训练2】 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)， 即sin φ＝12.∵|φ|＜π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生我爱学习网 文言文网/wenyanwen/点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)设2x ＋π6＝B ，则函数y ＝2sin B 的对称轴方程为 B ＝π2＋k π，k ∈Z ， 即2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )， 解上式得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．考向三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2时，求f (x )的值域．[审题视点] 先由图象上的一个最低点确定A 的值，再由相邻两个交点之间的距离确定ω的值，最后由点M 在图象上求得φ的值，进而得到函数的解析式；先由x 的范围，求得2x ＋π6的范围，再求得f (x )的值域． 解 (1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1.故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－11π6(k ∈Z )． 又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1. 故函数f (x )的值域为[－1,2]．利用三角函数图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的12个最小正周期，去求解参数ω的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A 的值等．在求函数值域时，由定义域转化成ωx ＋φ的范围，即把ωx ＋φ看作一个整体．【训练3】 (2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5.(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．解 (1)依题意得：A ＝5，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，∴5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6 ∴y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生我爱学习网 文言文网/wenyanwen/得：－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的递增区间为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．规范解答8——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】 (1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误．(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．【解决方案】 ①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角φ⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，将原式化为y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)＋c 的形式后，再求值域(或最值)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值．【示例】►(本题满分12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f(x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．首先化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，由T ＝2πω求得：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4，求得ωx ＋φ的范围，从而求得最值． [解答示范] (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝ 3 sin 2x ＋cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，(4分)所以f (x )的最小正周期为π.(6分)(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.(8分) 于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时， f (x )取得最大值2；(10分)当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.(12分)解决这类问题常常借助三角函数的有界性或转化为我们所熟悉的函数，如二次函数等来解决．【试一试】 是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由． [尝试解答] y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －12a 2＋a 24＋58a －12，当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1，令t ＝cos x ，则0≤t ≤1，∴y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1.当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，则当t ＝a 2，即cos x ＝a2时． y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)． 当a2＜0，即a ＜0时，则当t ＝0，即cos x ＝0时， y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125(舍去)．当a2＞1，即a ＞2时，则当t ＝1，即cos x ＝1时， y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013(舍去)． 综上知，存在a ＝32符合题意．。

2020年高考文科数学一轮总复习：函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用第6讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( )(2)将y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象．( ) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A .( )(4)如果y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(5)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×(教材习题改编)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，－π4B ．2，12π，－π4C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π8答案：A函数y ＝cos x |tan x |⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π且x ≠π2的图象为( )解析：选C.因为|tan x |≥0，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，cos x ≥0，y ≥0， 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，cos x ≤0，y ≤0.由图可知，故选C.若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则得到的图象对应的函数表达式为f (x )＝________．解析：函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为f (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 答案：2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________．解析：由题图可知，T 4＝2π3－π3＝π3，即T ＝4π3，所以2πω＝4π3，故ω＝32.答案：32五点法作图及图象变换(典例迁移)(2019·济南高三模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2的最小正周期是π，且当x ＝π6时，f (x )取得最大值2.(1)求f (x )的解析式；(2)作出f (x )在[0，π]上的图象(要列表)．【解】 (1)因为函数f (x )的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为x ＝π6时，f (x )取得最大值2.所以A ＝2，同时2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)因为x ∈[0，π]，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，13π6， 列表如下：[迁移探究1] (变结论)在本例条件下，函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移________个单位得到y ＝f (x )的图象．解析：将函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，可得函数y ＝2sin 2x 的图象，再将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象，综上可得，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象可以由函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到． 答案：π6[迁移探究2] (变问法)在本例条件下，若将函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图象，且y ＝g (x )是偶函数，求m 的最小值．解：由已知得y ＝g (x )＝f (x －m )＝2sin[2(x －m )＋π6]＝2sin ⎣⎡⎦⎤2x －⎝⎛⎭⎫2m －π6是偶函数，所以2m －π6＝π2(2k ＋1)，k ∈Z ，m ＝k π2＋π3，k ∈Z ，又因为m >0，所以m 的最小值为π3.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种作法加减多少值．1．(2018·高考天津卷)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，5π4上单调递增B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎡⎦⎤5π4，3π2上单调递增 D ．在区间⎣⎡⎦⎤3π2，2π上单调递减 解析：选 A.把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度得函数g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π10＋π5＝sin 2x 的图象，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z )得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π(k ∈Z )，令k ＝1，得3π4≤x ≤5π4，即函数g (x )＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎡⎦⎤3π4，5π4，故选A.2．(2019·河南周口模拟)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π12 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π12 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π12D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π24解析：选 B.将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12的图象，再把所得图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋5π12的图象，故选B.由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式(师生共研)(2019·重庆六校联考)函数f (x )＝A sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎫A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫－π3＝________．【解析】 由函数的图象可得A ＝2，14×2πω＝7π12－π3，可得ω＝2，则2×π3＋φ＝k π(k ∈Z )，又0<φ<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－62.【答案】 －62确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ， 则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ ＝π2＋2k π(k ∈Z )；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )．1．(2019·兰州实战考试)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________．解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又因为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，由0<φ<π，取k ＝0，则φ＝π2，所以f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π2，所以f (1)＝－ 3. 答案：－ 32．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象上有一个最高点的坐标为(2，2)，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x 轴交于点(6，0)，则此解析式为________________．解析：由题意得：A ＝2，T 4＝6－2，T ＝16，ω＝2πT ＝π8，又sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1，π4＋φ＝π2＋2kπ(k ∈Z )， 又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4. 答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4三角函数模型的简单应用(师生共研)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)，则实验室这一天的最大温差为________℃.【解析】 因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3， 又0≤t <24， 所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1； 当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 【答案】 4三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，4]的部分图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．解：连接MP (图略)． 依题意，有A ＝23，T4＝3，又T ＝2πω，所以ω＝π6，所以y ＝23sin π6x .当x ＝4时，y ＝23sin2π3＝3， 所以M (4，3)．又P (8，0)， 所以|MP |＝（－4）2＋32＝5. 即M ，P 两点相距5 km.函数与方程思想在三角函数中的应用已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．【解析】 方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0⇔m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 要使原方程在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同实根， 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6与y ＝m 在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同交点， 如图，需满足1≤m <2.【答案】 [1，2)本题是将方程根的问题转化为函数y ＝m 和y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6图象的交点，再利用数形结合进行求解，充分体现数学思想．函数f (x )＝3sin π2x －log 12x 的零点的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D.函数f (x )零点个数即为y ＝3sin π2x 与y ＝log 12x 交点个数，如图，函数y ＝3sinπ2x 与y ＝log 12x 有5个交点．[基础题组练]1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A.令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C.2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( )A ．－3B ．33C ．1D ． 3解析：选D.由题意可知该函数的周期为π2，所以πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x ，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝tan π3＝ 3. 3．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位长度，则所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π24 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π12D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 解析：选B.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象经伸长变换得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象，再将所得图象作平移变换得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －π6－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的图象，故选B. 4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列为f (x )的单调递减区间的是( )A.⎣⎡⎦⎤－5π3，－7π6B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π3C.⎣⎡⎦⎤5π6，πD.⎣⎡⎦⎤π，4π3 解析：选 B.由12T ＝2π3－π6＝π2，得T ＝π＝2πω，所以ω＝2.当x ＝π6时，f (x )＝1，可得sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1.因为|φ|<π2，所以φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.由图象可得f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z ，结合选项可知⎣⎡⎦⎤－5π6，－π3为f (x )的单调递减区间，选B. 5．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π2，f (x )的最小正周期为π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________．解析：由函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)，又由f (0)＝3且|φ|<π2得到φ＝π3.答案：2 π36．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：解析：设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω， 所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ＋6.因为当x ＝1时，y ＝6，所以6＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＋6， 结合表中数据得π2＋φ＝2k π，k ∈Z ，可取φ＝－π2，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x . 答案：y ＝6－cos π2x7．(2019·河北石家庄毕业班模拟)函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最小值为－1，其图象相邻两个最高点之间的距离为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值． 解：(1)因为函数f (x )的最小值为－1， 所以－A ＋1＝－1，即A ＝2.因为函数f (x )的图象的相邻两个最高点之间的距离为π， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝π，所以ω＝2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＋1.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12. 因为0<α<π2，所以－π6<α－π6<π3，所以α－π6＝π6，得α＝π3.8．(2019·湖北八校联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在它的某一个周期内的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤5π12，11π12.将y ＝f (x )的图象先向左平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)求g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值．解：(1)T 2＝1112π－512π＝12π，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2，又sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝1， |φ|<π2，所以φ＝－π3，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)由正弦函数的性质可得，g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π12上为增函数，在⎣⎡⎦⎤π12，π4上为减函数， 所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫π12＝1. 又g (0)＝12，g ⎝⎛⎭⎫π4＝－12，所以g (x )min ＝－12，故函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值分别为1和－12. [综合题组练]1．(2019·潍坊统一考试)函数y ＝3sin 2x －cos 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的值为( )A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：选B.由题意知y ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，其图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ－π6的图象，因为g (x )为偶函数，所以2φ＋π6＝π2＋kπ，k ∈Z ，所以φ＝π6＋k π2，k ∈Z ，又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6.2．(2019·惠州第二次调研)函数f (x )＝A sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫|θ|≤π2，A >0的部分图象如图所示，且f (a )＝f (b )＝0，对不同的x 1，x 2∈[a ，b ]，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝3，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是减函数B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是增函数C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是减函数D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是增函数解析：选B.由题图知A ＝2，设m ∈[a ，b ]，且f (0)＝f (m )，则f (0＋m )＝f (m )＝f (0)＝3，所以2sin θ＝3，sin θ＝32，又|θ|≤π2，所以θ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，此时f (x )单调递增，所以选项B 正确．3．(创新型)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．解析：由题图可知，M ⎝⎛⎭⎫12，1，N (x N ，－1)， 所以OM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0， 解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎫2－12＝3. 答案：34．(2019·武汉部分学校调研)已知函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫a ≠0，ω>0，|φ|≤π2，直线y ＝a 与f (x )的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题：①该函数在[2，4]上的值域是[a ，2a ]；②在[2，4]上，当且仅当x ＝3时函数取得最大值； ③该函数的最小正周期可以是8.其中是真命题的为________(写出序号即可)．解析：对于①，因为直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别为2和4，所以结合图象可以看出，当a >0时，f (x )在[2，4]上的值域为[a ，2a ]，当a <0时，f (x )在[2，4]上的值域为[2a ，a ]，①错误；对于②，根据三角函数图象的对称性，显然x ＝2和x ＝4的中点是x ＝3，即当a >0时，f (x )在x ＝3处有最大值f (3)＝2a ，当a <0时，f (x )在x ＝3处有最小值f (3)＝2a ，②错误；对于③，因为函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的最小正周期T ＝2ππω＝2ω，当ω＝14时，T＝8，此时f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ，由⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝a ，f （4）＝a ，解得cos φ＝22，sin φ＝－22，满足|φ|≤π2，故f (x )的最小正周期可以是8，③正确． 答案：③5．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6(其中0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)试求ω的值，并求出函数的单调增区间；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象．解：(1)因为点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心，所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，所以ω＝－3k ＋12，k ∈Z ，因为0<ω<1，所以当k ＝0时，可得：ω＝12.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，令2k π－π2<x ＋π6<2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－2π3<x <2k π＋π3，k ∈Z ，所以函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z .(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈[－π，π]，列表如下：6．(应用型)如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0，0<φ<π)．(1)求解析式；(2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－52，20＋52]之间为最佳营业时间，那么该行业在6～14时，最佳营业时间为多少小时．解：(1)由图象知A ＝10，12·2πω＝14－6，所以ω＝π8，所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫πt8＋φ＋b .① y max ＝10＋b ＝30，所以b ＝20. 当t ＝6时，y ＝10代入①得φ＝3π4，所以解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8t ＋3π4＋20，t ∈[6，14]．(2)由题意得，20－52≤10sin ⎝⎛⎭⎫π8t ＋3π4＋20≤20＋52，即－22≤sin ⎝⎛⎭⎫π8t ＋3π4≤22， 所以k π－π4≤π8t ＋3π4≤k π＋π4，k ∈Z .即8k －8≤t ≤8k －4，k ∈Z ，因为t ∈[6，14]，所以k ＝2，即8≤t ≤12， 所以最佳营业时间为12－8＝4小时．。

考点19 函数y=Asin （ωx+φ）的图像1、为了得到函数y=sin 3x+cos 3x 的图像,可以将函数y=cos 3x 的图像( ) A.向右平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向左平移个单位 【答案】A【解析】y=sin 3x+cos 3x=sin =sin 3,函数y=cos 3x=sin =sin 3,故将函数y=cos 3x 的图像向右平移个单位, 得到函数y=sin 3x+cos 3x 的图像.2、已知函数f (x )=cos(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图像( ) A.关于点对称 B.关于直线x=对称 C.关于点对称 D.关于直线x=对称 【答案】D【解析】由题意知ω=2,函数f (x )的对称轴满足2x+=k π(k ∈Z),解得x=- (k ∈Z),当k=1时,x=,故选D . 3、已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12 B ．32C ．22D ．1【答案】B【解析】由题图可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2.又－π6＋π32＝π12， ∴f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1，得φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.∵x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3∴0<2x ＋π3<π，∴f (x )的对称轴方程为x ＝π12.又f (x 1)＝f (x 2)，∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32.4.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin +k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( ) A.5B.6C.8D.10【答案】C【解析】因为sin ∈[-1,1],所以函数y=3sin +k 的最小值为k-3,最大值为k+3. 由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5. 所以y 的最大值为k+3=5+3=8,故选C .5、先把函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移π3个单位，得到y ＝g (x )的图象．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4时，函数g (x )的值域为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1C.⎝⎛⎭⎪⎫－32，32 D ．[－1,0)【答案】A【解析】依题意得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4时，2x －5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1，此时g (x )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1.故选A.6、将函数f (x )=2sin4x-的图像向左平移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g (x )的图像,则下列关于函数y=g (x )的说法错误的是 ( )A.最小正周期为πB.图像关于直线x=对称C.图像关于点对称D.初相为【答案】C 由题意,图像平移后的解析式为y=2sin,图像横坐标伸长后的解析式为y=2sin,∴g (x )=2sin .易判断选项A,D 都正确,对于选项B,C,∵g=2sin =2≠0, ∴选项B 对C 错,故选C .7、下列函数同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x ＝π6对称；(3)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上是减函数”的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋5π12B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝cos(2x ＋2π3)D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 【答案】D【解析】易知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋5π12的最小正周期为4π，故排除A ；当x ＝π6时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝0，故排除B ；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，2x ＋2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，4π3，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3单调递增，故排除C ；对于函数y ＝sin(2x ＋π6)，可知其最小正周期T ＝2π2＝π，将x ＝π6代入得，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝1，是最大值，可知该函数的图象关于直线x ＝π6对称，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，化简整理可得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，可知函数y ＝sin(2x ＋π6)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上是减函数．故选D.8、函数y=A sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则( ) A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin【答案】A【解析】由题图知,A=2,周期T=2-=π, 所以ω==2,y=2sin(2x+φ). 方法一:因为函数图像过点, 所以2=2sin .所以+φ=2k π+(k ∈Z). 令k=0,得φ=-, 所以y=2sin,故选A . 方法二:因为函数图像过点, 所以-2=2sin,所以2×+φ=2k π-,k ∈Z, 即φ=2k π-,k ∈Z . 令k=0,得φ=-, 所以y=2sin .故选A .9、已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，则f (x )图象的一个对称中心是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0D ．⎝⎛⎭⎪⎫5π3，【答案】A【解析】由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，∴12×π3＋φ＝π2＋2m π(m ∈Z )，即φ＝π3＋2m π(m ∈Z )．由|φ|＜π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时， f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0.故选A.10、已知函数()πsin 0,0,2y A x B A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的周期为T ，如图为该函数的部分图象，则正确的结论是（ ）A ．3A =，2πT =B ．1B =-，2ω=C ．3A =D ．4πT =，【答案】D【解析】()2412B +-==-，4π2π2π233T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，4πT ∴=，2π232ππk ϕ∴+=+0k ∴=时，D ．11、将奇函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ≠0，ω＞0，π2＜φ＜π2的图象向左平移π6个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为( ) A ．6 B ．3 C ．4 D ．2【答案】A【解析】由函数为奇函数得φ＝k π(k ∈Z )，又－π2＜φ＜π2，∴φ＝0，∴y ＝A sin ωx .由函数图象向左平移π6个单位得到函数y ＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6ω，其图象关于原点对称，∴有π6ω＝k π(k∈Z )，即ω＝6k (k ∈Z )，当k ＝1时， ω＝6.故选A.12、已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的值域是________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3【解析】 f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎣⎢⎡π2－⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2π3，∵f (x )与g (x )的图象完全相同，∴ω＝2， 则f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－32≤f (x )≤3.13、如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，|φ|≤π2)的图象与坐标轴的三个交点P ，Q ，R满足P (1,0)，∠PQR ＝π4，M (2，－2)为线段QR 的中点，则A 的值为________．【答案】833【解析】依题意得，点Q 的横坐标是4，点R 的纵坐标是－4，T ＝2πω＝2|PQ |＝6，∴ω＝π3，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋42＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×52＋φ＝A ＞0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1.又|φ|≤π2，∴π3≤5π6＋φ≤4π3，因此5π6＋φ＝π2，φ＝－π3.又点R (0，－4)在f (x )的图象上，所以A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－4，A ＝8 33. 14、设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 【答案】π【解析】因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，所以T 2≥π2－π6，即T ≥2π3.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， 所以x ＝π2和x ＝2π3均不是f (x )的对称轴，其对称轴应为x ＝π2＋2π32＝7π12.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，且f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，所以f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.故函数f (x )的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π. 15、已知ππ2α<<，3cos 5α=-． （1）求sin α的值；（2）求()()()sin π2cos 2sin cos ππαααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭-+-的值． 【答案】（1）45；（2）12． 【解析】（1）因为ππ2α<<，3cos 5α=-，所以4sin 5α． （2）()()()4sin π2cos 3sin 2sin 3sin 251243sin cos πsin cos sin co πs 55ααααααααααα⎛⎫---⨯⎪-⎝⎭====-+---+-． 16、已知函数()()2sin 2f x x ϕ=+（0πϕ<<） （1，用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数()f x 在[0,π]上的图象．（2）若()f x 偶函数，求ϕ；（3）在（2）的前提下，将函数()y f x =的图象向右平移为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[]0,π的单调递减区间． 【答案】（1）见解析；（2）π2ϕ=；（3）2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】（1()2sin 2π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，列表：函数()y f x =在区间[]0,π上的图象是：（2∴sin 1ϕ=，ππ2k ϕ∴=+，又0πϕ<<，π2ϕ∴=． （3）由（2）知()π2sin 22cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移π6个单位后，得到π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，再将横坐标变为原来的4倍，得到()π46x g x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()ππ2cos 4623x x g x f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()π2π2ππ23x k k k ≤-≤+∈Z ，即()2π8π4π+4π33k x k k ≤≤+∈Z 时，()g x 的单调递减， 因此()g x 在[]0,π的单调递减区间2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．17 （1）求A ，ω的值及()f x 的单调增区间； （2）求()f x 在区间【答案】（1）见解析；（2）最大值为2，最小值为1-． 【解析】（1）由图象可得1A =，最小正周期为k ∈Z ，k ∈Z ， ，所以函数()f x 的单调递增区间为k ∈Z ．（2∴函数()f x 在区间2，最小值为1-． 18、的图像与直线2y =两相邻交点之间的距离为π，且图（1）求()y f x =的解析式； （2）先将函数()f x 的图象向左平移再将图像上所有横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x 的图象．求()g x 的单调递增区间以及的x 取值范围．【答案】（1（2）见解析． 【解析】（1）由已知可得πT =，又()f x 的图象关于，k ∈Z（2）由（1()g x 的单调递增区间为，k ∈Z ．19、在已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，x ∈R (其中0A >，0ω>，π02ϕ<<)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为2π23M ⎛⎫- ⎪⎝⎭， （1）求()f x 的解析式；（2）当ππ122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求()f x 的值域；（3）求()f x 在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的单调区间．【答案】（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）[]1,2-；（3）见解析．【解析】（1）由最低点为2π23M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得2A =．由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2，得π22T =，即πT =，∴2π2π2πT ω===． 由点2π23M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在图象上得2π2sin 223ϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，即4πsin 13ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故()4ππ+2π32k k ϕ=-∈Z ，∴()11π2π6k k ϕ=-∈Z ， 又π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴π6ϕ=．故()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）∵ππ,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ7π2,636x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值2；当π7π266x +=，即π2x =时，()f x 取得最小值1-， 故()f x 的值域为[]1,2-． （3）由sin y x =的单调性知πππ2262x -≤+≤，即ππ36x -≤≤时，()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 结合该函数的最小正周期，在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．20、已知sin 44x x ⎫=⎪⎭，m ，sin sin 44x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n ，设函数()f x =⋅m n ．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC △的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且a b c ，，成等比数列，求()f B 的取值范围． 【答案】（1）2π4π4π4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，k ∈Z ；（2）102⎛⎤⎥⎝⎦，．【解析】（1）()π1sin sin sin sin 4444262x x x x x f x ⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=-+⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭，，m n ，令πππ2π2π2262x k k -≤-≤+，则2π4π4π4π33k x k -≤≤+，k ∈Z ， 所以函数()f x 的单调递增区间为2π4π4π4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，k ∈Z ．（2）由2b ac =可知2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，（当且仅当a c =时取等号）， 所以π03B <≤，ππ0626B -<-≤，()102f B <≤，综上，()f B 的取值范围为102⎛⎤⎥⎝⎦，．21、已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －12.(1)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3上的最大值和最小值及相应的自变量x 的值； (2)在直角坐标系中做出函数f (x )在区间[0，π]上的图象．【答案】(1) －32－1 (2)【解析】(1)f (x )＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，7π6.故当2x －π6＝π2，即x ＝π3时， f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3上取得最大值0，当2x －π6＝－π3，即x ＝－π12时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3上取得最小值－32－1. (2)当x ∈[0，π]时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，11π6.列表：。

高考数学第一轮复习：《函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用》最新考纲2.会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.【教材导读】1．得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象有哪些方法？提示：有两种方法：一是用五点作图法，列表、描点、连线成图，二是由y＝sin x平移伸缩变换得到．2．如果将函数y＝A sin ωx的图象向左平移m个单位或向右平移m(m＞0)个单位，得函数y＝A sin(ωx＋m)或y＝A sin(ωx－m)的图象吗？提示：不是，常说的“左加右减”指的是向左平移m个单位时，x加上m，向右平移m 个单位时，x减去m，而不是ωx加上或减去m，即由y＝A sin ωx向左平移m个单位得y＝A sin [ω(x＋m)]，由y＝A sin ωx向右平移m个单位得y＝A sin [ω(x－m)]．3．利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移长度一致吗？提示：不一致，“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为|φ|ω.故当ω≠1时平移的长度不相等．1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ(1)定点：如表.【重要结论】1．“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为T 4.2．在正弦函数图象、余弦函数图象中，相邻的两个对称中心以及相邻的两条对称轴之间的距离均为半个周期．3．正弦函数和余弦函数一定在对称轴处取得最值．1．如果函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为T，且当x＝2时，f(x)取得最大值，那么()(A)T＝2，θ＝π2(B)T＝1，θ＝π(C)T＝2，θ＝π (D)T＝1，θ＝π2A解析：T＝2ππ＝2，当x＝2时，由π×2＋θ＝π2＋2kπ(k∈Z)得θ＝－3π2＋2kπ(k∈Z)，又0＜θ＜2π，∴θ＝π2.故选A.2. 若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω等于()(A)5(B)4(C)3(D)2B 解析：由图象可知T 2＝x 0＋π4－x 0＝π4，即T ＝π2＝2πω，故ω＝4.3．定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2x cos 2x 1 3，则将f (x )的图象向右平移π3个单位所得曲线的一条对称轴的方程是( )(A)x ＝π6 (B)x ＝π4 (C)x ＝π2(D)x ＝πA 解析：由定义可知，f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，将f (x )的图像向右平移π3个单位得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6，由2x －5π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得对称轴为x ＝2π3＋k π2(k ∈Z )，当k ＝－1时，对称轴为x ＝2π3－π2＝π6.故选A.4．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )(A)y ＝f (x )是奇函数 (B)y ＝f (x )的周期为π(C)y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 (D)y ＝f (x )的图象关于点－π2，0对称D 解析：函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位， 得到函数f (x )＝sin x ＋π2＝cos x 的图象，f (x )＝cos x 为偶函数，排除选项A ；f (x )＝cos x 的周期为2π，排除选项B ；因为f π2＝cos π2＝0，所以f (x )＝cos x 的图象不关于直线x ＝π2对称，排除选项C ；f －π2＝cos －π2＝0， 所以f (x )＝cos x 的图象关于点－π2，0对称．5．若将函数f (x )＝sin2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．解析：由题意知，平移后所得函数为f (x )＝sin 2x －2φ＋π4，若其图象关于y 轴对称，则sin －2φ＋π4＝±1，所以－2φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝－k π2－π8(k ∈Z )， 当k ＝－1时，φ取得最小正值3π8. 答案：3π8考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0) 的图象及其变换(1)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.(2)已知函数f (x )＝2cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋2(x ∈R )，该函数的图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？解：(1)先将y ＝sin x 按照题目中相反的方向变换可得函数f (x )的表达式，再求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值．将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x ＋π6.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.(2)f (x )＝2cos x (12sin x ＋32cos x )－3sin 2x ＋sin x cos x ＋2＝2sin x cos x ＋3(cos 2x －sin 2x )＋2＝sin 2x ＋3cos 2x ＋2＝2sin(2x ＋π3)＋2.变换途径为：将y ＝sin x 的图像向左平移π3个单位，得到y ＝sin(x ＋π3)的图像，保持图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到y ＝sin(2x ＋π3)的图像，保持图像上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y ＝2sin(2x ＋π3)的图像，将所得图像向上平移2个单位，得到y ＝2sin(2x ＋π3)＋2的图像．【反思归纳】 (1)要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；(2)要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；(3)当ω＜0时，先利用诱导公式化为“ω＞0”型，再确定平移方向．【即时训练】 (1)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin(2x ＋2π3)，则下面结论正确的是( ) (A)把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2(B)把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2(C)把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2(D)把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )(A)11 (B)9 (C)7(D)5解析：(1)易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图像，再把所得函数的图像向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图像，即曲线C 2，故选D. (2)先根据函数的零点及图象对称轴，求出ω，φ满足的关系式，再根据函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36的区间长度不大于Z (x )周期的12，然后结合|φ|≤π2计算ω的最大值．因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个零点为x ＝－π4，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以T 4·k ＝π2(k 为奇数)．又T ＝2πω，所以ω＝k (k 为奇数)． 又函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以π12≤12×2πω，即ω≤12.若ω＝11，又|φ|≤π2，则ω＝－π4，此时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减，不满足条件． 若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4，此时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调的条件．故选B.答案：(1)D (2)B考点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的解析式已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则f (x )的解析式是( )(A)f (x )＝2sin(2x ＋π3) (B)f (x )＝2sin(x ＋π3) (C)f (x )＝2sin(2x ＋π6) (D)f (x )＝2sin(x ＋π6)B 解析：由图像知函数的最大值为2，即A ＝2，函数的周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－2π3＝2π＝2πω，解得ω＝1，即f (x )＝2sin(x ＋φ)，由题图知2π3＋φ＝π，解得φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.【反思归纳】 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式的步骤 (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2. (2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT . (3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．【即时训练】 (1)如图所示，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)离y 轴最近的零点与最大值均在抛物线y ＝－32x 2＋12x ＋1上，则f (x )＝( )(A)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫16x ＋π3 (B)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3(C)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3 (D)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点2，－12，则函数的解析式为____________．解：(1)令y ＝0，得－32x 2＋12x ＋1＝0，解得x ＝－23或x ＝1，∴点(－23，0)在函数f (x )的图象上，∴－23ω＋φ＝0，即φ＝23 ω ①.令ωx ＋φ＝π2，得ωx ＝π2－φ ②.把①代入②得，x ＝π2ω－23 ③，令y ＝1，得－32x 2＋12x ＋1＝1，解得x ＝0或x ＝13，即π2ω－23＝13，解得ω＝12π，∴φ＝23ω＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3.故选C.(2)据已知两个相邻最高点和最低点距离为22， 可得T 22＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4， 故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin πx2＋φ. 又函数图象过点2，－12， 故f (2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－12. 又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin πx 2＋π6.答案：(1)C (2)f (x )＝sin πx 2＋π6 考点三 三角函数模型的应用青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔，拥有长580米，宽40余米的沙滩，是亚洲较大的海水浴场．这里三面环山，绿树葱茏，现代的高层建筑与传统的别墅建筑巧妙地结合在一起，景色非常秀丽．海湾内水清浪小，滩平坡缓，沙质细软，自然条件极为优越．已知海湾内海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时刻记录的浪高数据：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对沖浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内8∶00至20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？解：(1)由表中数据，知周期T ＝12， ∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5； 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1，∴A ＝0.5，∴振幅为12，y ＝12cos π6t ＋1. (2)由题知，当y ＞1时才可对冲浪者开放， 令12cos π6t ＋1＞1，即cos π6t ＞0， ∴2k π－π2＜π6t ＜2k π＋π2，k ∈Z . 即12k －3＜t ＜12k ＋3，k ∈Z .①∵0≤t ≤24，故可令①中的k 分别为0,1,2， 得0≤t ＜3，或9＜t ＜15，或21＜t ≤24.∴在规定时间8∶00到20∶00之间，有6小时的时间可供冲浪者运动，即9∶00到15∶00.【反思归纳】 三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．【即时训练】 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为( )(A)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6(B)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6(C)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6(D)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3答案：C三角函数图象与性质的交汇命题分析若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D ．π审题指导解析：f (x )＝cos x －sin x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4，f (x )递减时，2k π≤x ＋π4≤2k π＋π(k ∈Z )， ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4(k ∈Z )．即[－a ，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4.∴0＜a ≤π4，a 的最大值是π4.命题意图：(1)本题由函数解析式结合函数图象求单调区间，考查三角函数性质的应用能力；(2)在数学思想上，用转化与化归思想把条件转化为结果．课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )(A)－32 (B)－12 (C)12(D)32A 解析：函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2向左平移π6个单位后得到函数为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，因为此时函数为奇函数，所以π3＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋k π(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以当k ＝0时，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，即当2x －π3＝－π3时，函数f (x )＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3有最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32.故选A.2．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π2)的图象的一个对称中心为(3π8，0)，则函数f (x )的单调递减区间是( )(A)[2k π－3π8，2k π＋π8](k ∈Z ) (B)[2k π＋π8，2k π＋5π8](k ∈Z ) (C)[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z ) (D)[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )D 解析：由题可得sin(2×3π8＋φ)＝0，又0＜φ＜π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin(2x ＋π4)，由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．故选D.3．函数f (x )＝sin 23x ＋cos 23x 的图象中相邻的两条对称轴间距离为( ) (A)3π (B)43π (C)32π(D)76πC 解析：由题意得f (x )＝2sin(23x ＋π4)，则其图像中相邻的两条对称轴间的距离为半个周期T 2＝π23＝3π2.故选C.4．若函数y ＝cos 2x 与函数y ＝sin(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性相同，则φ的一个值为( )(A)π6 (B)π4 (C)π3(D)π2D 解析：易知y ＝cos 2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，所以y ＝sin(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，则x ＋φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z ，经验证，得φ＝π2符合题意，故选D.5．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图像的一个对称中心是( )(A)⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0 (B)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0 (C)⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 (D)⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0 A 解析：2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴x ＝k π2＋π12，k ∈Z . 故答案为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0.6．如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图像，将该图像向右平移m (m ＞0)个单位后，所得图像关于直线x ＝π4对称，则m 的最小值为( )(A)π12 (B)π6 (C)π4(D)π3B 解析：令f (x )＝y ＝sin(ωx ＋φ)，由三角函数图像知，T ＝56π＋π6＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2.因为函数f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，且0＜φ＜π2，所以－π6×2＋φ＝0，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将该函数图像向右平移m 个单位后，所得图像的解析式是g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2m ，因为函数g (x )的图像关于直线x ＝π4对称，所以2×π4＋π3－2m ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得m ＝π6－k π2(k ∈Z )，又m ＞0，所以m 的最小值为π6.故选B.7．将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)的图象向左平移π6个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则φ的值是________．解析：函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位后， 得y ＝sin2x ＋π3＋φ，则π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . 又0≤φ＜π， 故φ＝π6. 答案：π68．若函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x2，则函数f (x )的最小正周期为________；函数f (x )在区间[－π，0]上的最小值是________．解析：因为f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2＝22(sin x ＋cos x －1)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以函数f (x )的最小正周期为2π；因为x ∈[]－π，0，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，则当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，函数f (x )在区间[－π，0]上取最小值－1－22；故填2π；－1－22.答案：2π －1－229．已知f 1(x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋x cos x ，f 2(x )＝sin x sin(π＋x )，若设f (x )＝f 1(x )－f 2(x )，则f (x )的单调递增区间是________．解析：由题知，f 1(x )＝－cos 2x ，f 2(x )＝－sin 2x ，故f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，令2x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )，故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )10．设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋2cos 2x ，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度后得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在[0，π2]上的最小值．解析：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋2cos 2x ＝－12cos 2x －32sin 2x ＋1＋cos 2x ＝12cos 2x －32sin 2x＋1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π≤2x ＋π3≤(2k ＋1)π(k ∈Z )，可得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )， 所以函数f (x )的单调递减区间是[k π－π6，k π＋π3]，k ∈Z . (2)由(1)得g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＋1 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1， 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，因此12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1≤2，所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为12.能力提升练(时间：15分钟)11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则φ的值为( )(A)π3或2π3 (B)2π3 (C)4π3(D)π3或4π3D 解析：由题意可得函数的周期T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3×23＝π，则ω＝2πT ＝2， 当x ＝－2π3时，ωx ＋φ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋φ＝2k π(k ∈Z )，则φ＝2k π＋43π(k ∈Z )，令k ＝0可得：φ＝43π. 本题选择C 选项．12．已知函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b的最大值为3，最小值为－1，两条对称轴间最短距离为π2，直线x＝π6是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式为()(A)y＝4sin⎝⎛⎭⎪⎫2x＋π6(B)y＝－2sin⎝⎛⎭⎪⎫2x＋π6＋1(C)y＝－2sin(2x＋π3)(D)y＝2sin(2x＋π3)＋1B解析：由⎩⎪⎨⎪⎧A＋b＝3－A＋b＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧A＝2b＝1又T2＝π2，∴T＝π，∴ω＝2.又2·π6＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，∴φ＝π6＋kπ，k∈Z∴y＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫2x＋7π6＋1＝－2sin⎝⎛⎭⎪⎫2x＋π6＋1，故选B.13．已知点(a，b)在圆x2＋y2＝1上，则函数f(x)＝a cos2x＋b sin x cos x－a2－1的最小正周期和最小值分别为()(A)2π，－32(B)π，－32(C)π，－52(D)2π，－52B解析：因为点(a，b)在圆x2＋y2＝1上，所以a2＋b2＝1，可设a＝cos φ，b＝sinφ，代入原函数f(x)＝a cos2x＋b sin x cos x－a2－1，得f(x)＝cos φcos2x＋sin φsin x cos x－12cos φ－1＝12cos φ(2cos2x－1)＋12sin φsin2x－1＝12cosφcos 2x ＋12sin φsin 2x －1＝12cos(2x －φ)－1，故函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，函数f (x )的最小值f (x )min ＝－12－1＝－32，故选B.14．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则下列命题：①f (x )的图像关于直线x ＝π3对称；②f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称；③f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数；④把f (x )的图像向右平移π12个单位，得到一个奇函数的图像．其中正确的命题为________(把所有正确命题的序号都填上)．解析：对于①，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝sin 5π6＝12，不是最值，所以x ＝π3不是函数f (x )的图像的对称轴，该命题错误；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝1≠0，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0不是函数f (x )的图像的对称中心，故该命题错误；对于③，函数f (x )的周期为T ＝2π2＝π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，令t ＝2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，显然函数y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上为增函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数，所以该命题正确；对于④，把f (x )的图像向右平移π12个单位后所对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＝sin 2x ，是奇函数，所以该命题正确．故填③④. 答案：③④15．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2(ω＞0)，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个长度单位得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间． 解析：(1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2＝32sin2ωx －12cos2ωx －4×1－cos2ωx 2＋2＝32sin 2ωx ＋32cos2ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3(ω＞0)，根据函数f (x )的图像与x 轴相邻两个交点的距离为π2，可得函数f (x )的最小正周期为T ＝2×π2＝2π2ω，得ω＝1，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)将f (x )的图像向左平移m (m ＞0)个长度单位得到函数g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋m )＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2m ＋π3的图像， 根据g (x )的图像恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，可得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －π3＝0， 所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，因为m ＞0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6.此时，g (x )＝3sin(2x ＋2π3)． 令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，故函数g (x )的单调递增区间为[k π－7π12，k π－π12]，k ∈Z .结合x ∈[－π6，7π12]，可得g (x )在[－π6，7π12]上的单调递增区间为[－π6，－π12]和[5π12，7π12]． 16. 如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2的部分图象，M ，N 是它与x 轴的两个交点，D ，C 分别为它的最高点和最低点，点F (0,1)是线段MD 的中点，M D →·M N →＝π218.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．解：(1)由已知F (0,1)是线段MD 的中点，可知A ＝2，因为MD →·MN →＝T 4·T 2＝π218(T 为f (x )的最小正周期)，所以T ＝2π3，ω＝3， 所以f (x )＝2sin(3x ＋φ)． 设D 点的坐标为(x D,2)，则由已知得点M 的坐标为(－x D,0)， 所以x D －(－x D )＝14T ＝14×2π3，则x D ＝π12， 则点M 的坐标为－π12，0， 所以sin π4－φ＝0.因为0＜φ＜π2，所以φ＝π4，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin3x ＋π4. (2)由2k π－π2≤3x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π－3π4≤3x ≤2k π＋π4(k ∈Z )， 得2k π3－π4≤x ≤2k π3＋π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )的单调递增区间为 2k π3－π4，2k π3＋π12(k ∈Z )．。

考点19 函数y=Asin（ωx+φ）的图像1．已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中，则函数g（x）=cos（2x-φ）的图象（）A．关于点对称 B．关于轴对称C．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到 D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到【答案】A2．设，函数的图像向左平移个单位后与原图重合，则的最小值是（）A． B． C． D． 3【答案】D【解析】∵图象向左平移个单位后与原图象重合∴是一个周期∴ω≥3 所以最小是3故选：D．3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】B【解析】,故应向右平移个单位长度.故选B.4．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有点（）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【答案】B5．将函数y=3sin（2x+）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（，0）中心对称A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】B6．把的图像向左平移个单位，再把所得图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，所得的图像的解析式为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，得y=sin（2x+），即y=cos2x的图象，把y=cos2x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cosx的图象；故选：B．7．将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则a的值可以为（）A． B． C． D．【答案】C8．如图，己知函数的图象关于点M(2，0)对称，且f(x)的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象；则下列是g(x)的单调递增区间的为( )A． B． C． D．【答案】D【解析】由图象可知，因为的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，9．已知函数，的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是【答案】D10．函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则的值为A． B． C． D．【答案】B【解析】把函数的图象向右平移哥单位后，得到的图象，根据所得图象与函数的图象重合，可得，令时，，故选B.11．函数的最小正周期为，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于直线对称【答案】C12．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】C13．函数其中（）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平衡个长度单位【答案】A14．已知函数的周期为，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位，所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】15．为了得函数的图象，只需把函数的图象（）A．向左平移个单位 B．向左平移单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【答案】A不妨设函数的图象沿横轴所在直线平移个单位后得到函数的图象。