高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题2.24：指数函数(或复合)图象与性质的研究与拓展

《指数函数的图像及其性质》教学设计一、教材分析《指数函数的图像及其性质》选自人教版数学必修1中第二章《基本初等函数（I）》第一节第二课时。

第二章主要分为三个小节:第一节为指数函数，第二节为对数函数，最后一节为幂函数。

在学习指数函数的图像及其性质前，学生们已经学习了函数及指数函数，对指数函数有了一定的了解，后面我们将利用指数函数的性质对应的分析比较对数函数和幂函数的图像和性质，由此可见，指数函数的图像及其性质起着承上启下的作用。

指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。

函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置，并且指数函数的图像及其性质是高一函数部分的重点和难点。

如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望。

二、学情分析在学习指数函数的图像及其性质前，学生们已经学习了函数的知识，指数函数是函数知识中重要的一部分内容，学生若能将其与学过的正比例函数、一次函数、二次函数进行对比着去理解指数函数的概念、性质、图象，则一定能从中发现指数函数的本质，所以对已经熟悉掌握函数的学生来说，学习本课并不是太难。

学生通过对高中数学中函数的学习，对解决一些数学问题有一定的能力。

通过教师启发式引导，学生自主探究完成本节课的学习。

高一学生的认知水平从形象向抽象、从特殊向一般过渡，思维能力的提高是一个转折期，但是，学生的自主意识强，有主动学习的愿望与能力。

有好奇心、好胜心、进取心，富有激情、思维活跃。

三、教学目标：知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。

过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。

领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。

指数函数的性质与图像【教学过程】一、新知初探探究点1：求指数函数的解析式例1：已知指数函数f（）的图像过点（3，π），求函数f（）的解析式．解：设f（）＝a，将点（3，π）代入，得到f（3）＝π，即a3＝π，解得a＝π错误!，所以f（）＝π错误!．错误!规律方法：根据指数函数的定义，a是一个常数，a的系数为1，且a>0，a≠1．指数位置是，其系数也为1，凡是不符合这些要求的都不是指数函数．要求指数函数f（）＝a（a>0且a≠1）的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．探究点2：指数型函数的定义域、值域问题命题角度一：＝f（a）型例2：求下列函数的定义域和值域．（1）＝错误!；（2）＝4－2＋1．解：（1）函数＝错误!的定义域为R（因为对一切∈R，3≠－1）．因为＝错误!＝1－错误!，又因为3>0，1＋3>1，所以00，所以当2＝错误!时，即＝－1时，取最小值错误!，所以＝4－2＋1的值域为错误!．错误!规律方法：解此类题的要点是设a＝t，利用指数函数的性质求出t的范围．从而把问题转化为＝f（t）的问题．命题角度二：＝a f（）型例3：求函数y=的定义域与值域．解：要使函数有意义，则应满足32－1－错误!≥0，即32－1≥3－2．因为＝3在R上是增函数，所以2－1≥－2，解得≥－错误!．故所求函数的定义域为错误!．当∈错误!时，32－1∈错误!．所以32－1－错误!∈[0，＋∞）．所以原函数的值域为[0，＋∞）．错误!规律方法：＝a f（）的定义域即f（）的定义域，求＝a f（）的值域可先求f（）的值域，再利用＝a t的单调性结合t＝f（）的范围求＝a t的范围．探究点3：指数函数图像的应用命题角度一：指数函数整体图像例4：在如图所示的图像中，二次函数＝a2＋b＋c与函数＝错误!错误!的图像可能是（）解析：根据选项中二次函数图像可知c＝0，所以二次函数＝a2＋b，因为错误!>0，所以二次函数的对称轴为＝－错误!1．但前提是a>0且a≠1．此题主要考虑二次函数的系数与指数函数底数大小关系．命题角度二：指数函数局部图像例5：若直线＝2a与函数＝|2－1|的图像有两个公共点，求实数a的取值范围．解：＝|2－1|＝错误!0，且a≠1B．a≥0，且a≠1C．a>错误!，且a≠1D．a≥错误!答案：C3．函数＝3－2的值域是（）A．（0，＋∞）B．（－∞，0]C．（0，1]D．[－1，0）答案：C4．函数f（）＝a－b的图像如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是（）A．a>1，b1，b>0C．00D．0解得－30且a≠1．（2）指数函数＝a（a>0且a≠1）具有下列性质：①定义域是R．②值域是（0，＋∞），即对任何实数，都有a>0，也就是说函数图像一定在轴的上方．③函数图像一定过点（0，1）．④当a>1时，＝a是增函数；当00，且a≠1）；③＝1；④＝错误!错误!－1．A．0B．1C．3D．4解析：选B．由指数函数的定义可判定，只有②正确．2．函数＝错误!的定义域是（）A．（－∞，0）B．（－∞，0]C．[0，＋∞）D．（0，＋∞）解析：选C．由2－1≥0，得2≥2021以≥0．3．当a＞0，且a≠1时，函数f（）＝a＋1－1的图像一定过点（）A．（0，1）B．（0，－1）C．（－1，0）D．（1，0）解析：选C．当＝－1时，显然f（）＝0，因此图像必过点（－1，0）．4．函数f（）＝a与g（）＝－＋a的图像大致是（）解析：选A．因为g（）＝－＋a的斜率为－1，所以g（）＝－＋a在定义域内单调递减，所以C、D选项错误．当a＞1时，函数f（）＝a单调递增，当＝0时，g（0）＝a＞1，此时两函数的图像大致为选项A．5．指数函数＝a与＝b的图像如图，则（）A．a＜0，b＜0B．a＜0，b＞0C．0＜a＜1，b＞1D．0＜a＜1，0＜b＜1解析：选C．由图像知，函数＝a在R上单调递减，故0＜a＜1；函数＝b在R上单调递增，故b＞1．6．若函数f（）＝（a2－2a＋2）（a＋1）是指数函数，则a＝________．解析：由指数函数的定义得错误!解得a＝1．答案：17．已知函数f（）＝a＋b（a＞0，且a≠1）经过点（－1，5），（0，4），则f（－2）的值为________．解析：由已知得错误!解得错误!所以f（）＝错误!错误!＋3，所以f（－2）＝错误!错误!＋3＝4＋3＝7．答案：78．若函数f（）＝错误!则函数f（）的值域是________．解析：由＜0，得0＜2＜1；由＞0，所以－＜0，0＜2－＜1，所以－1＜－2－＜0．所以函数f （）的值域为（－1，0）∪（0，1）．答案：（－1，0）∪（0，1）9．求下列函数的定义域和值域：（1）＝2错误!－1；（2）＝错误!错误!．解：（1）要使＝2错误!－1有意义，需≠0，则2错误!＞0且2错误!≠1，故2错误!－1＞－1且2错误!－1≠0，故函数＝2错误!－1的定义域为{|≠0}，函数＝2错误!－1的值域为（－1，0）∪（0，＋∞）．（2）函数＝错误!错误!的定义域为实数集R，由于22≥0，则22－2≥－2，故0＜错误!错误!≤9，所以函数＝错误!错误!的值域为（0，9]．10．已知函数f（）＝a－1（≥0）的图像经过点错误!，其中a＞0且a≠1．（1）求a的值；（2）求函数＝f（）（≥0）的值域．解：（1）函数图像经过点错误!，所以a2－1＝错误!，则a＝错误!．（2）由（1）知f（）＝错误!错误!（≥0），由≥0，得－1≥－1．于是0＜错误!错误!≤错误!错误!＝2，所以函数的值域为（0，2]．【教学过程】一、新知初探探究1：:解指数方程例1：解下列关于的方程：（1）81×32＝错误!错误!；（2）22＋2＋3×2－1＝0．解：（1）因为81×32＝错误!错误!，所以32＋4＝3－2（＋2），所以2＋4＝－2（＋2），所以＝－2．（2）因为22＋2＋3×2－1＝0，所以4×（2）2＋3×2－1＝0．令t＝2（t＞0），则方程可化为4t2＋3t－1＝0，解得t＝错误!或t＝－1（舍去）．所以2＝错误!，解得＝－2．错误!规律方法：（1）a f（）＝b型方程通常化为同底来解．（2）解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍．探究点2：指数函数单调性的应用命题角度一：比较大小例2：比较下列各题中两个值的大小：（1）－，－3；（2），；（3），解：（1）因为＞1，所以＝1．7在（－∞，＋∞）上是增函数．因为－＞－3，所以－＞－3．（2）法一：因为＞，所以在（0，＋∞）上，＝的图像位于＝的图像的上方．而＞0，所以法二：因为，且错误!错误!，又错误!＞1，＞0，所以错误!错误!＞1，所以（3）因为，，所以规律方法：当两个指数底数相同时，利用指数函数的单调性直接比较大小；当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1．命题角度二：解指数不等式例3：解关于的不等式：a2＋1≤a－5（a>0，且a≠1）．解：（1）当01时，因为a2＋1≤a－5，所以2＋1≤－5，解得≤－6．综上所述，当01时，不等式的解集为{|≤－6}．错误!规律方法：解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响．命题角度三：与指数函数复合的单调性问题例4：（1）求函数＝错误!错误!的单调区间；（2）求函数＝错误!错误!－8·错误!错误!＋17的单调区间．解：（1）＝错误!错误!的定义域为R．在（－∞，3]上，＝2－6＋17是减函数，所以＝错误! \u122－6＋17在（－∞，3]上是增函数．在（3，＋∞）上，＝2－6＋17是增函数，所以＝错误!\u122－6＋17在（3，＋∞）上是减函数．所以＝错误!错误!的增区间是（－∞，3]，减区间是（3，＋∞）．（2）设t＝错误!错误!，又＝t2－8t＋17在（－∞，4]上单调递减，在（4，＋∞）上单调递增．令错误!错误!≤4，得≥－2．所以当－2≤1错误!错误!2，即4≥t1>t2，所以t错误!－8t1＋17a22＋2－3的解集为________．解析：因为0＜a＜1，所以＝a在R上是减函数，又因为a22－3＋2>a22＋2－3，所以22－3＋2＜22＋2－3，解得＞1．答案：（1，＋∞）。

指数函数的图像与性质教案一、教学目标1. 理解指数函数的定义和基本性质。

2. 能够绘制和分析指数函数的图像。

3. 掌握指数函数在实际问题中的应用。

二、教学内容1. 指数函数的定义与表达式指数函数是一种特殊类型的函数，形式为f(x) = a^x，其中a 是底数，x 是指数。

指数函数的定义域是所有实数，值域是正实数。

2. 指数函数的图像特点(1) 当a > 1 时，指数函数的图像上升。

(2) 当0 < a < 1 时，指数函数的图像下降。

(3) 指数函数的图像经过点(0, 1)。

3. 指数函数的性质(1) 单调性：当a > 1 时，指数函数单调递增；当0 < a < 1 时，指数函数单调递减。

(2) 指数函数的值域为正实数。

(3) 指数函数的图像具有无限多条切线，且切线斜率恒为a。

三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析和解决实际问题，深入理解指数函数的图像与性质。

2. 利用数学软件或图形计算器绘制指数函数的图像，帮助学生直观地感受指数函数的特点。

3. 设计具有挑战性的练习题，激发学生的思考和探索能力，巩固所学知识。

四、教学评估1. 通过课堂讲解、练习题和小组讨论，评估学生对指数函数定义、图像和性质的理解程度。

2. 布置课后作业，要求学生绘制指数函数的图像，并运用指数函数解决实际问题，以评估学生的应用能力。

3. 在课程结束后，进行一次小测验，检验学生对指数函数的整体掌握情况。

五、教学资源1. 教学PPT或教案文档，包含指数函数的定义、图像和性质的相关知识点。

2. 数学软件或图形计算器，用于绘制指数函数的图像。

3. 练习题和案例分析题，供学生巩固所学知识和应用实践。

六、教学步骤1. 引入指数函数的概念，引导学生思考指数函数在实际生活中的应用场景。

2. 讲解指数函数的定义与表达式，引导学生理解指数函数的基本形式。

3. 利用数学软件或图形计算器，绘制不同底数的指数函数图像，引导学生观察和分析指数函数的图像特点。

指数函数的图像和性质
一、教学目标：
1、知识与技能：
（1）掌握
x
x y
y⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
=
2
1
2和的图像和性质。

（2）掌握指数函数的图像和性质。

（3）底数a对指数函数单调性的影响。

2、过程与方法：
通过观察图像，总结归纳指数函数的性质。

掌握数形结合的思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。

3、情感态度与价值观：
在学习指数函数的图像和性质的过程中，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。

二、教学重点、难点：
教学重点：
1、指数函数的图像和性质。

2、底数a对指数函数单调性的影响。

教学难点：
指数函数性质的总结归纳及应用。

三、重难点创新教学方法
采用启发式教学，借助几何画板来突出教学重点，突破教学难点。

让学生
掌握数形结合的思想，学会观察底数a 对指数函数单调性的影响，总结归纳指数函数的性质。

利用几何画板画出x a y = 的图像，当改变底数a 的值时，让学生观察函
数图像的变化过程，总结底数a 对指数函数单调性的影响，总结归纳指数函数的性质。

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设计意图：培养学生的观察能力，让学生掌握数形结合的方法。

学生观察图像，通过讨论的形式，互相启发，学会合作交流。

高中数学教案：探究指数函数的性质和图像变化一、介绍指数函数及其重要性指数函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学和实际应用中都具有广泛的应用。

指数函数的概念最早由历来名噪一时的瑞士数学家欧拉于18世纪提出，随后经过多位数学家的研究和发展，逐渐成为现代数学的一部分。

指数函数的定义为f(x) = a^x，其中a为底数，x为幂数。

在指数函数中，底数a是一个常数，而指数x可以是实数。

指数函数的最大特点是它的自变量x在变化时，函数值f(x)以倍数的形式增长或衰减。

指数函数的研究可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，在实际问题中能够做出正确的分析和决策。

二、探究指数函数的性质1. 定义域和值域指数函数的定义域为全体实数，即所有实数都可以作为指数函数的自变量。

而值域则取决于底数a的正负情况。

当a大于0且不等于1时，指数函数的值域为正实数；当a小于0且不等于-1时，指数函数的值域为负实数。

2. 单调性对于指数函数来说，当底数a大于1时，指数函数是递增的；当底数a在0和1之间时，指数函数是递减的。

这是因为当底数a大于1时，随着指数x的增加，函数值f(x)也会随之增加；而当底数a在0和1之间时，随着指数x的增加，函数值f(x)会逐渐变小。

3. 对称性指数函数具有轴对称性。

具体来说，当底数a大于1时，指数函数关于y轴对称；当底数a在0和1之间时，指数函数关于x轴对称。

4. 渐近线和极限指数函数在x轴上有渐近线y=0，即当x趋近于负无穷或正无穷时，函数值f(x)趋近于0。

另外，指数函数的极限为：- 当底数a大于1时，x趋近于负无穷时，极限为0；x趋近于正无穷时，极限为正无穷。

- 当底数a在0和1之间时，x趋近于负无穷时，极限为正无穷；x趋近于正无穷时，极限为0。

三、探究指数函数的图像变化1. 底数a大于1时图像的性质当底数a大于1时，指数函数的图像呈现出以下特点：- 函数图像上任意两点的连线斜率大于0，即函数图像是递增的。

高中数学备课教案指数与对数函数的复合函数与方程高中数学备课教案指数与对数函数的复合函数与方程一、复合函数的概念及性质在数学中，复合函数是将一个函数的输出作为另一个函数的输入的过程。

指数函数和对数函数是数学中的重要函数，它们可以进行函数的复合运算。

下面我们来探讨指数函数与对数函数的复合函数及相关的性质。

1. 复合函数的定义设函数f(x)和g(x)分别是定义在实数集上的两个函数，那么当g(x)的定义域包含f(x)的值域时，可以定义函数h(x) = (g∘f)(x)。

其中g∘f表示复合函数，读作g合成f。

2. 复合函数的性质（1）结合律：对于函数f(x)、g(x)和h(x)，有(h∘g)∘f = h∘(g∘f)。

（2）单位元：对于任何函数f(x)，有f(x)∘i(x) = i(x)∘f(x) = f(x)，其中i(x)为恒等函数。

（3）逆元：对于任何函数f(x)，它的逆函数是一个有限或无限集合，即(f∘f^(-1))(x) = (f^(-1)∘f)(x) = x。

二、指数函数与对数函数的复合函数1. 指数函数与对数函数的定义指数函数通常表示为f(x) = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1。

对数函数通常表示为g(x) = logₐ(x)，其中a为常数且大于0且不等于1。

2. 指数函数与对数函数的复合函数（1）指数函数与对数函数的复合设f(x) = a^x，g(x) = logₐ(x)，那么复合函数可以表示为h(x) =logₐ(a^x) = x。

（2）对数函数与指数函数的复合设f(x) = a^x，g(x) = logₐ(x)，那么复合函数可以表示为h(x) =a^(logₐ(x)) = x。

三、指数函数与对数函数的复合函数的图像分析1. 复合函数的图像变换通过分析复合函数的图像变换，我们可以更好地了解指数函数与对数函数的复合函数。

对于h(x) = (g∘f)(x)，由于对数函数和指数函数在图像上是互为镜像，所以复合函数的图像与指数函数和对数函数的图像呈镜像关系。