3.1从算式到方程
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第三章 一元一次方程
内容简介
本章为人教版义务教育教科书(依据教育部2011年版《义务教育数学课程标准》编写)七年级数学第三章，是继第一章“有理数”和第二章“整式的加减”之后，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域．
方程有悠久的历史，它随着实践需要而产生，并且具有极其广泛的应用．从数学科学本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数学的发展．从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是最简单的代数方程，也是所有代数方程的基础．
本章主要内容包括：一元一次方程及其相关概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析与解决实际问题．其中，以方程为工具分析问题、解决问题，即建立方程模型是全章的重点，同时也是难点．分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中的相等关系，是始终贯穿于全章的主线，而对一元一次方程的有关概念和解法的讨论，是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进行的．列方程中蕴涵的“数学建模思想”和解方程中蕴涵的“化归思想”，是本章始终渗透的主要数学思想．
课标解读
教育部2011年版《义务教育数学课程标准》有关一元一次方程部分的内容如下：
1．方程与方程组
（1）能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型．
（2）经历估计方程解的过程．
（3）掌握等式的基本性质．
（4）能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程．
与实验稿相比，正式稿的内容主要有以下几方面的变化：
一是文字的顺序作了调整，将“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”调整为“方程是刻画现实世界数量关系的有效模型”，使得表达更顺畅、更准确．
二是删去了实验稿的限制性定语“用观察、画图或计算器等手段”，使得估计方程解的方法更加宽泛．
三是新增加了一条，说明对解方程的理论依据“等式的基本性质”有明确的要求．
四是正式版（4）条较实验稿③条，将“会解”改为“能解”，要求有所提高；将会解“简单的二元一次方程组”抽出来单独列为一条；删去了原来会解“可化为一元一次方程的分式方程”后的限定“方程中的分式不超过两个”，使得分式方程的教学空间得以扩充．
教学目标
1．经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步．
2．通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法．
3．了解解方程的基本目标(使方程逐步转化为x＝a的形式)，熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想．
4．能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设未知数，列出方程表示问题中的等量关系”，体会建立数学模型的思想．
5．通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力．
课时安排
本章教学时间约需20课时，具体分配如下(仅供参考)：
3.1从算式到方程 约4课时
3.2一元一次方程（一） 约4课时
3.3一元一次方程（二） 约4课时
3.4实际问题与一元一次方程 约4课时
数学活动 小结 约2课时
复习检测 约2课时
3.1 从算式到方程
内容简介
本节先通过一个具体行程问题。引导学生尝试如何用算术方法解决它，然后再逐步引导学生列出含未知数的式子表示有关的量，并进一步依据相等关系列出含未知数的等式——方程．这样安排的目的在于，突出方程的根本特征．引出方程的定义，并使学生认识到从算式到方程使我们有了更有力、更方便的数学工具，从算术方法到代数方法是数学的进步．
教学目标
1．经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步．
2．经历估算求解方程的解的过程，培养估算能力，了解方程解的概念；
3．通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法；
4．能结合具体例子认识一元一次方程的定义，体会设未知数、列方程的过程，会用方程表示简单实际问题的相等关系；
5．能利用等式的性质求解简单的一元一次方程，了解方程求解的过程；
6．会将实际问题抽象为数学问题，通过列方程解决问题，增强数学的应用意识，激发学习数学的热情．
教学重点
本节重点是对建立方程模型思想的渗透，对一元一次方程及其概念的认识，了解等式的两条性质，并利用它们讨论一些较简单的一元一次方程的解法．方程是应用广泛的数学工具，在初中数学课程中占重要地位，小学对方程有一定的感性认识，本节着重让学生从实际问题中认识到方程的概念引入的必要性，并且能设未知数、列出方程，感受建立方程模型的一般步骤，由于没有整式运算的基础，求解方程不要过多，使学生整体上把握方程建立模型的思想，更好的建立方程的概念．等式的性质是求解方程的重要依据，理解等式的性质才能进一步研究方程的求解．
教学难点
本节难点是培养由实际问题抽象出方程模型的能力，正确的设未知数，列出方程．虽然小学对方程有一定认识，但本节的问题更贴近实际，背景、数据更复杂，如何抽象出数学需要的数据以及之间的各种关系对七年级的学生有一定的难度．
教学时数
4课时．
教案A
第1课时
教学内容
3.1.1 一元一次方程．
教学目标
1．了解什么是方程，什么是一元一次方程．
2．体会字母表示数的好处、画示意图有利于分析问题、找相关关系是列方程的重要一步，从算式到方程是数学的一大进步．
3．通过用方程解决实际问题，总结用方程解决实际问题的一般步骤．
教学重点
一元一次方程概念．
教学难点
实际问题的数学化过程．
教学过程
一、设计问题 导入新课
问题 一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同一方向行驶，客车的行驶速度是70 km/h，卡车的行驶速度是60 km/h，客车比卡车早1 h经过B地，A、B两地间的路程是多少？
教师展示问题，让学生充分发表意见，并给予肯定或帮助，对各种解法给予解释． 学生可自由发表意见，或与同伴交流．
二、合作探究 定义方程
如果设A，B两地相距x km，你能分别列式表示客车和卡车从A地到B地的行驶时间吗？
匀速运动中，时间＝路程/速度． 根据问题的条件，客车和卡车从A地到B地的行驶时间，可以分别表示为70xh和60xh．
因为客车比卡车早 1 h 经过B地，所以70x比60x小1，即．
60x－70x＝1． ① 我们已经知道，方程是含有未知数的等式，上面等式中的 x 是未知数，这个等式是一个方程．
通过本章的学习，我们将能够从上面的方程解出未知数的值x＝420，从而求出A、B两地间的路程为420 km．
教师结合上面的过程，给出方程的定义．
列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式——方程．
这是首次出现方程的定义，这里所说的等式指其中只有一个等号的式子，等号两边分别叫做等式的左边和右边．
三、实例分析 归纳总结
例 根据下列问题，设未知数并列出方程：
（1）用一根长24 cm 的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？
（2）一台计算机已使用1 700 h，预计每月再使用150 h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2 450 h？
（3）某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？
解：（1）设正方形的边长为x cm．
列方程
4 x＝24．
（2）设 x 月后这台计算机的使用时间达到2 450 h，那么在 x 月里这台计算机使用了150x h．
列方程
1 700＋150x＝2 450．
（3）设这个学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，男生数为(1－0.52)x．
列方程
0.52x－(1－0.52)x＝80．
观察所列的几个方程，有什么共同点？
上面各方程都只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．
说明：该例安排了三个实际问题，让学生设未知数、列出方程．这样安排一方面是要分散列方程这一教学难点，化整为零地培养由实际问题抽象出方程模型的能力．另一方面是由一些具体的方程归纳出一元一次方程的概念．在本节的前面部分，重点是对建立方程模型思想的渗透和对于一元一次方程及其有关概念的认识．解方程还未成为主要内容，
通过定义、举例，进一步巩固一元一次方程的概念．
归纳：
上面的分析过程可以表示如下：
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法．
四、小结
1．本节课学习了方程和一元一次方程．
2．还学习了将实际问题转化为数学问题的一般过程．
五、课堂练习
根据下列问题，设未知数，列出方程，并指出是不是一元一次方程：
（1）环行跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，可以跑3 000 m？
（2）甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20支，两种铅笔各买了多少支？
学生练习，教师进行指导．
答案：（1）设跑x周，则400x＝3 000．
（2）设买甲种铅笔x支，乙种铅笔(20－x)支，则0.3x＋0.6(20－x)＝9．
六、作业
教科书第83页习题3.1第1、5、6题．
第2课时
教学内容
3.1.1 一元一次方程．(方程的解)
教学目标
1．深化对方程的理解．
2．对例题进行深入分析，通过计算和比较，从特殊到一般，从具体到抽象地引出方程的解的概念．
3．根据方程解的概念，会估算出简单的一元一次方程的解．
教学重点
通过具体数值的计算引出方程的解的概念的过程．
教学难点
由具体、实际问题抽象出方程的解的概念．
教学过程
一、设计问题 导入新课
1．我们上节课探讨了方程和一元一次方程的概念，请同学们对这两个概念复述一遍．
