6.4万有引力理论的成就导学案

【导学案】6.4 万有引力理论的成就课前预习一、预习目标1、了解万有引力定律在天文学上的重要应用。

2、会用万有引力定律计算天体质量。

3、理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路和方法。

二、预习内容1 计算天体的质量（1）．重力与万有引力：若不考虑地球的 ，地面上质量为m 的物体所受的 等于地球对物体的 ．关系式：mg ＝ ．地球质量：M＝ ．（2）．基本思路：行星绕太阳、卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力是它们间的 提供的．测量出环绕周期T 和环绕半径r , 公式：G Mm r 2＝ ，可得中心天体的质量M＝ ．（3）．观测行星的运动，可以计算 的质量；观测卫星的运动，可以计算 的质量．温馨提示 以上方法所求质量为中心天体的质量，中心天体指处于另一天体(或卫星)做圆周运动的圆心处的天体．2 发现未知天体（1）．被人们称为“笔尖下发现的行星”被命名为 ．（2）．海王星的发现和 的“按时回归”确立了万有引力定律的地位，也成为科学史上的美谈.3 万有引力定律在天体运动中的主要应用公式（1）天体运动常用公式，GMm r 2＝m v 2r ＝mr ω2＝mr 4π2T 2 ＝ma ＝mg r (2)对天体表面的物体m 0，在忽略自转时：GMm 0R 2＝ (式中R 为天体半径)可得 (黄金代换)。

课内探究一、学习目标1、了解万有引力定律在天文学上的重要应用。

2、会用万有引力定律计算天体质量。

3、理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路和方法。

二、学习重难点：会用万有引力定律计算天体质量, 运用万有引力定律处理天体问题。

三、当堂探究与讨论探究1 天体质量和密度估算(1)利用天体表面的重力加速度g和天体的半径R计算天体质量和密度？(2)利用天体的卫星：已知卫星的周期T(或线速度v)和卫星的轨道半径r计算天体质量和密度？探究2 人造卫星的a、v、ω、T与轨道半径的关系(1)已知中心天体质量Ｍ和万有引力常量Ｇ，卫星的轨道半径r推导人造卫星的a、v、ω、T与轨道半径的关系？当堂检测1 (2012·福建高考)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。

4 万有引力理论的成就一、计算天体的质量 1.称量地球的质量(1)思路：若不考虑地球自转，地球表面的物体的重力等于 . (2)关系式： .(3)结果：M ＝gR 2G ，只要知道g 、R 、G 的值，就可计算出地球的质量.2.太阳质量的计算(1)思路：质量为m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时， 充当向心力. (2)关系式： .(3)结论： ，只要知道行星绕太阳运动的周期T 和半径r 就可以计算出太阳的质量.(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期T 和卫星与行星之间的距离r ，可计算行星的质量M . 二、发现未知天体1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星.2.其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了、阋神星等几个较大的天体.1.判断下列说法的正误.(1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力.()(2)若知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的半径，就可以求出太阳的质量.()(3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量.()(4)海王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的.()(5)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道.()(6)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性.()2.已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则可知地球的质量约为()A.2×1018 kgB.2×1020 kgC.6×1022 kgD.6×1024 kg一、天体质量和密度的计算1.卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”.(1)他“称量”的依据是什么？(2)若还已知地球表面重力加速度g，地球半径R，求地球的质量和密度.2.如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？天体质量和密度的计算方法例1过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120.该中心恒星与太阳的质量的比值约为()A.110 B.1 C.5 D.10例2假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星.若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G.(1)则该天体的密度是多少？(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？求解天体质量和密度时的两种常见错误1.根据轨道半径r 和运行周期T ，求得M ＝4π2r 3GT 2是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量.2.混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R 表示，轨道半径用r 表示，这样就可以避免如ρ＝3πr 3GT 2R 3误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r 才可以认为等于天体半径R . 二、天体运动的分析与计算1.基本思路：一般行星(或卫星)的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供，即F 引＝F 向.2.常用关系(1)G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T2r .(2)忽略自转时，mg ＝G Mm R 2(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR 2＝GM ，该公式通常被称为“黄金代换式”. 3.天体运动的物理量与轨道半径的关系 (1)由G Mmr 2＝m v 2r 得v ＝GMr，r 越大，v 越小. (2)由G Mmr2＝mω2r 得ω＝GMr 3，r 越大，ω越小. (3)由G Mmr2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r 得T ＝2πr 3GM，r 越大，T 越大.(4)由G Mm r 2＝ma n 得a n ＝GMr2，r 越大，a n 越小.例3 2015年9月20日“长征六号”火箭搭载20颗小卫星成功发射，如图所示.在多星分离时，小卫星分别在高度不同的三层轨道被依次释放.假设释放后的小卫星均做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( ) A.20颗小卫星的轨道半径均相同 B.20颗小卫星的线速度大小均相同 C.同一圆轨道上的小卫星的周期均相同 D.不同圆轨道上的小卫星的角速度均相同针对训练 2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯利亚上空约805 km 处发生碰撞，这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件.碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境.假定有甲、乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是( )A.甲的运行周期一定比乙的长B.甲距地面的高度一定比乙的高C.甲的向心力一定比乙的小D.甲的向心加速度一定比乙的大例4如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径).下列说法中正确的是()A.a、b的线速度大小之比是2∶1B.a、b的周期之比是1∶2 2C.a、b的角速度大小之比是36∶4D.a、b的向心加速度大小之比是9∶21.(天体质量的估算)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径为1.2×106 km.已知引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，则土星的质量约为( ) A.5×1017 kg B.5×1026 kg C.7×1033 kgD.4×1036 kg2.(天体质量的计算)(2018·宁波市高三上学期期末十校联考)已知地球半径为R ，地球质量为m ，太阳与地球中心间距为r ，地球表面的重力加速度为g ，地球绕太阳公转的周期为T ，则太阳的质量为( ) A.4π2r 3T 2R 2g B.4π2mr 3T 2R 2g C.4π2mgr 3T 2R3D.T 2R 2g 4π2mr3 3.(天体密度的估算)一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要( )A.测定飞船的运行周期B.测定飞船的环绕半径C.测定行星的体积D.测定飞船的运行速度4.(天体运动分析)(2016·浙江10月选考科目考试)如图4所示，“天宫二号”在距离地面393 km 的近圆轨道运行.已知万有引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，地球质量M ＝6.0×1024 kg ，地球半径R ＝6.4×103 km.由以上数据可估算( ) A.“天宫二号”的质量 B.“天宫二号”的运行速度 C.“天宫二号”受到的向心力 D.地球对“天宫二号”的引力名称周期/天5.(天体运动分析)伽利略用他自制的望远镜发现了围绕木星的四颗卫星，假定四颗卫星均绕木星做匀速圆周运动，它们的转动周期如表所示，关于这四颗卫星，下列说法正确的是( ) A.木卫一角速度最小 B.木卫四线速度最大 C.木卫四轨道半径最大D.木卫一受到的木星的万有引力最大一、选择题考点一 天体质量和密度的计算1.已知引力常量G 、月球中心到地球中心的距离R 和月球绕地球运行的周期T ，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有( ) A.月球的质量 B.地球的质量 C.地球的半径D.地球的密度2.若地球绕太阳的公转周期及公转轨道半径分别为T 和R ，月球绕地球的公转周期和公转轨道半径分别为t 和r ，则太阳质量与地球质量之比为( ) A.R 3t 2r 3T 2 B.R 3T 2r 3t 2 C.R 3t 2r 2T3 D.R 2T 3r 2t33.如图所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道.若“卡西尼”号探测器在半径为R 的土星上空离土星表面高h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n 周飞行时间为t ，已知引力常量为G ，则下列关于土星质量M 和平均密度ρ的表达式正确的是( )A.M ＝4π2(R ＋h )3Gt 2，ρ＝3π(R ＋h )3Gt 2R 3B.M ＝4π2(R ＋h )2Gt 2，ρ＝3π(R ＋h )2Gt 2R 3C.M ＝4π2t 2(R ＋h )3Gn 2，ρ＝3πt 2(R ＋h )3Gn 2R 3D.M ＝4π2n 2(R ＋h )3Gt 2，ρ＝3πn 2(R ＋h )3Gt 2R 34.有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处的重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的( )A.14倍B.4倍C.16倍D.64倍5.2015年7月23日，美国宇航局通过开普勒太空望远镜发现了迄今“最接近另一个地球”的系外行星开普勒－452b ，开普勒－452b 围绕一颗类似太阳的恒星做匀速圆周运动，公转周期约为385天(约 3.3×107 s)，轨道半径约为1.5×1011 m ，已知引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，利用以上数据可以估算出类似太阳的恒星的质量约为( )A.1.8×1030 kgB.1.8×1027 kgC.1.8×1024 kgD.1.8×1021 kg6. “天宫二号”在2016年秋季发射成功，其绕地球运行的轨道可近似看成是圆轨道.设每经过时间t ，“天宫二号”通过的弧长为l ，该弧长对应的圆心角为θ弧度，已知引力常量为G ，则地球的质量是( )A.l 3Gθt 2 B.θ3Gl 2t C.t 2Gθl 3 D.l 2Gθ3t 考点二 天体运动分析7.如图所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的( )A.速度大B.向心加速度大C.运行周期小D.角速度小8.我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.2018年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km ，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km ，它们都绕地球做圆周运动.与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )A.周期B.角速度C.线速度D.向心加速度9.据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行的圆形工作轨道距月球表面分别约为200 km 和100 km ，运行速率分别为v 1和v 2.那么，v 1和v 2的比值为(月球半径取1 700 km)( ) A.1918 B.1918 C.1819 D.181910.a 、b 、c 、d 是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星.其中a 、c 的轨道相交于P ，b 、d 在同一个圆轨道上，b 、c 轨道在同一平面上.某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图所示，下列说法中正确的是( )A.a 、c 的加速度大小相等，且大于b 的加速度B.b 、c 的角速度大小相等，且小于a 的角速度C.a 、c 的线速度大小相等，且小于d 的线速度D.a 、c 存在在P 点相撞的危险11.两颗行星A 和B 各有一颗卫星a 和b ，卫星轨道接近各自行星的表面，如果两行星的质量之比为M A M B ＝p ，两行星的半径之比为R A R B ＝q ，则两个卫星的周期之比T a T b为( ) A.pqB.q pC.p p qD.q q p二、非选择题12.(天体质量、密度的计算)若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地.若羽毛和铁锤是从高度为h 处下落，经时间t 落到月球表面.已知引力常量为G ，月球的半径为R .求：(不考虑月球自转的影响)(1)月球表面的自由落体加速度大小g 月.(2)月球的质量M .(3)月球的密度ρ.13.(天体运动的分析与计算)如图4所示，A 、B 为地球周围的两颗卫星，它们离地面的高度分别为h 1、h 2，已知地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，求：(1)A 的线速度大小v 1；(2)A 、B 的角速度大小之比ω1∶ω2.14.(天体质量计算、天体运动分析)我国发射了绕月运行探月卫星“嫦娥一号”，该卫星的轨道是圆形的，若已知绕月球运动的周期为T及月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g月，引力常量为G. 求：(1)月球质量；(2)探月卫星“嫦娥一号”离月球表面的高度.。

6.4 万有引力理论的成就
教学要求
1、了解万有引力定律在天文学上的重要应用。

2、了解“称量地球质量”的基本思路。

3、了解计算太阳质量的基本思路，会用万有引力定律计算天体质量。

4、（发展要求）认识万有引力定律的成就，体会科学的迷人魅力。

称量地球质量
如果不考虑地球自转的影响，地面上物体的重力mg 等于万有引力:
mg =
可得 M =
已知g= ， R =6.4×106m ， G= ，代入公式，可得： 地球质量M =
计算地球的平均密度：
称量太阳的质量
把地球绕太阳公转看做是匀速圆周运动，平均半径为R =1.5×1011 m ，已知引力常量为：G =6.67×10-11 N ·m 2/kg 2，则可估算出太阳的质量大约是多少千克?
提示：还有没有已知的常识数据？
思考：可否用同样的办法测地球和月球的质量？
你能证明开普勒第三定律k T
r =23
中的k 与谁有关吗？
发现未知天体：人们运用万有引力定律发现了 ，预言了 的回归。

例1、宇航员站在一个星球表面上的某高处h自由释放一小球，经过时间t落地，该星球的半径为R，你能求解出该星球的质量吗？
例2、已知海王星的直径为地球直径的4倍，海王星表面的重力加速度与地球表面重力加速度大致相等，试估算海王星的质量是地球质量的几倍。

《万有引力理论的成就》导学案一、学习目标1、了解万有引力定律在天文学上的重要应用。

2、会用万有引力定律计算天体的质量和密度。

3、理解并能够运用万有引力定律发现未知天体。

二、知识回顾1、万有引力定律的内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 m1 和 m2 的乘积成正比，与它们之间距离 r 的二次方成反比，其表达式为 F ＝Gm1m2/r²，其中 G 为引力常量，G ＝ 667×10⁻¹¹ N·m²/kg²。

2、向心力的表达式：F向＝ m v²/r ＝m ω²r ＝ m （2π/T)²r 。

三、新课导入在浩瀚的宇宙中，天体的运动遵循着一定的规律。

万有引力定律的发现，为我们揭示了天体运动的奥秘。

那么，如何运用万有引力定律来解决天体运动中的实际问题，计算天体的质量、密度，甚至发现未知天体呢？这就是我们本节课要探讨的内容。

四、新课讲授（一）计算天体的质量1、“称量”地球的质量若不考虑地球自转的影响，地面上质量为 m 的物体所受的重力等于地球对物体的引力，即 mg ＝ G Mm/R²，其中 M 表示地球的质量，R 表示地球的半径。

由此可得地球的质量 M ＝ gR²/G 。

思考与讨论：知道了地球表面的重力加速度 g 和地球的半径 R，就可以计算出地球的质量。

那么，要计算太阳的质量，该怎么办呢？2、计算太阳的质量假设某一行星绕太阳做匀速圆周运动，行星的轨道半径为 r，公转周期为 T，太阳对行星的引力提供行星做圆周运动的向心力，即 F引＝ F向。

根据万有引力定律 F引＝ G Mm/r²，向心力 F向＝ m （2π/T)²r ，可得 G Mm/r²＝ m （2π/T)²r ，则太阳的质量 M ＝4π²r³/GT² 。