函数的基本性质(教案)

[课题 ]：第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质

主备人：高一数学 备课组 陈伟坚 编写时间： 2013 年 9 月 30 日 使用班级（ 21）（ 22）

计划上课时间： 2013-2014 学年第 一学期 第 6 周 星期 一至三 （四至六月考）

[课标、大纲、考纲内容 ]：

课标要求 教学大纲要求 广东考试说明的内容

①通过已学过的函数特别是二次函 ①了解函数的单调性的概念， ①理解函数的单调性、最大值、

数，理解函数的单调性、最大（小） 掌握判断一些简单函数的单 最小值及其几何意义；结合具体

值及其几何意义；结合具体函数，了 调性的方法。 函数，了解函数奇偶性的含义．

解奇偶性的含义。 ②能够运用函数的性质解决 ②会运用函数图象理解和研究

②学会运用函数图象理解和研究函 某些简单的实际问题。 函数的性质．

数的性质。

【教材与学情分析】

学生在初中已学过一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，通过这些基本初等函数引入函数的单调性和最值，学生还是容易接受的，但很多学生的二次函数的性质还不过关，需要加强。学生的阅读理解能力还是较弱，教师需要引导学生对函数的单调性、奇偶性的定义理解透彻。

[教学目标 ]：

知识目标： 能力目标： 情感态度与价值观目标：

1． 运用已学过的函数特别是二次函 1． 会用定义证明函数的单 1.树立用数形结合思想解决

数的图象，理解函数的单调性、 调性，会求函数的单调区 问题的意识 .

最大（小）值及其几何意义； 间及求函数的最值； 2.通过学习数学推理的能力，

2． 会用定义证明函数的单调性，会 2．会判定简单函数的奇偶性； 体会数学推理的严谨性。

求函数的单调区间及求函数的最 3.进一步体会数学语言的简

值； 洁性与明确性， 发展运用数学

3． 结合具体函数，了解奇偶性的含 语言交流问题的能力。

义，会判定简单函数的奇偶性；

[教学重难点 ]： 1、重点： 理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；求函数的单调区间和最值；奇偶性的定义，判定函数的奇偶性的方法；运用函数图象理解和研究函数的性质。

2、难点： 运用函数图象理解函数单调性和奇偶性的定义，研究基本函数的单调性和奇偶性。

[课的类型、教具、教法、教时 ]： 课的类型 教具 主要教法 教时

新授课 多媒体课件 阅读交流、合作探究 5

1 / 7

第 1 课时 1.3.1 单调性与最大（小）值（ 1）

【教学目标 】

1. 运用已学过的函数特别是二次函数的图象，理解函数的单调性的定义及其几何意义； 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3. 会用定义证明函数的单调性

【教学重难点】

教学重点 : 理解函数的单调性的含义及其几何意义 .

教学难点 : 用定义证明函数的单调性 .

【教学过程】

一、引入课题

1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

y y y

1 1

-1 1 x -1 1 x -1 -1

○1 随 x 的增大， y 的值有什么变化？

○2 能否看出函数的最大、最小值？

2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：

1． f(x) = x

○1 从左至右图象上升还是下降 ______?

○2 在区间 ____________ 上，随着 x 的增

大， f(x) 的值随着 ________ ．

2． f(x) = -2x+1

○1 从左至右图象上升还是下降 ______?

○2 在区间 ____________ 上，随着 x 的增

大， f(x) 的值随着 ________ ．

3． f(x) = x 2

○1 在区间 ____________ 上， f(x) 的值随

着 x 的增大而 ________ ．

○2 在区间 ____________ 上， f(x) 的值随

着 x 的增大而 ________ ．

二、新课教学

（一）函数单调性定义

1．增函数

一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为 I ，

1

-1 1 x -1

y

1

-1 1 x -1

y

1

-1 1 x -1

如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 ，x2，当 x1

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义． （学生活动）

注意：

○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

2 / 7

○2 必须是对于区间

D 内的任意两个自变量的值

x1 ， x2；当

x1

f(x 1 )

．

2．函数的单调性定义

如果函数 y=f(x) 在区间 D 上是增函数或减函数， 那么就说函数 y=f(x) 在这一区间具有 （严格的）

单调性，区间 D 叫做 y=f(x) 的单调区间：

3．判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数 f(x) 在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：

○1 任取 x1， x2∈ D ，且 x1

○2 作差 f(x 1)－ f(x 2)；

○3 变形（通常是因式分解和配方） ；

○4 定号（即判断差 f(x 1 )－ f(x 2)的正负）；

○5 下结论（即指出函数 f(x) 在给定的区间 D 上的单调性） ．

（二）典型例题

例 1．（教材 P29 例 1）根据函数图象说明函数的单调性．

解：（略）

巩固练习：课本 P32 练习第 3 题

例 2．（教材 P29 例 2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．解：（略）

巩固练习：

○1 课本 P32 练习第 4 题；

2 y = x + 1 ○ 证明函数 在（ 1， +∞）上为增函数．

x

思考：画出反比例函数 y = 1 的图象．

x

○1 这个函数的定义域是什么？

○2 它在定义域 I 上的单调性怎样？证明你的结论． 三、归纳小结，强化思想

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取值→作差→变形→定号→下结论

四、 作业布置

课本 P39 习题 1．3（ A 组） 第 1、2 题．

五、教学反思：利用定义证明函数的单调性的变形过程是难点。

第 2 课时 1.3.1 单调性与最大（小）值（ 2）

【教学目标 】

1．理解函数的最大（小）值及其几何意义；

2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

【教学重难点】

3 / 7

教学重点 ：函数的最大（小）值及其几何意义．

教学难点 ：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．

【教学过程】

一、引入课题

画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：

○1 说出 y=f(x) 的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；

○2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

（ 1） f ( x) = - 2 x + 3 （ 2） f ( x) = - 2x + 3 x ? [1,2]

（ 3） f ( x) = x2 + 2x + 1 （ 4） f ( x) = x2 + 2 x + 1 x ? [0,2]

二、新课教学

（一）函数最大（小）值定义

1．最大值

一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足：

（ 1）对于任意的 x∈ I ，都有 f(x) ≤ M ；

（ 2）存在 x0∈ I ，使得 f(x 0) = M

那么，称 M 是函数 y=f(x) 的最大值（ Maximum Value ）．

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数 y=f(x) 的最小值（ Minimum Value ）的定义．（学生活动）

注意： x0∈ I ，使得 f(x 0) = M ； ○ 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在

1 ○ 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 x∈ I ，都有 f(x) ≤M （ f(x) ≥

2

M ）．

2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

1

○ 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

2 ○ 利用图象求函数的最大（小）值

3 ○ 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值

如果函数 y=f(x) 在区间 [a，b]上单调递增，在区间 [b ，c]上单调递减则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最大值

f(b) ；

如果函数 y=f(x) 在区间 [a，b]上单调递减，在区间 [b， c]上单调递增则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最小值

f(b) ；

（二）典型例题

例 1．（教材 P30 例 3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．解：（略）

说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然

后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．

巩固练习：如图，把截面半径为

25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为 x，面积为 y 试将 y 表示成 x 的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？

例 2．（新题讲解）

25

旅馆定价

一个星级旅馆有 150 个标准房， 经过一段时间的经营， 经理得到一些定价和住房率的数据如下：

房价（元） 住房率（ %）

4 / 7