函数的基本性质

函数的基本性质

 1。 函数的奇偶性

 （1） 函数的奇偶性的定义。

 （2） 函数的奇偶性的判断与证明。

 （3） 奇、偶函数图象的特征。

 2。 函数的单调性

 （1） 函数的单调性的定义。

 （2） 函数的单调性的判断与证明。

 复合函数的单调性

 （3） 求函数的单调区间。

3．函数的周期性

(1)定义:设函数的定义域是D，若存在非零常数T，使得对任何x∈D，都有x+T ∈D且f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期。

定理:设函数的定义域是D，a,b为不相等的常数，若对任何x∈D，都有x+a∈D,x+b∈D,且f(x+a)=f(x+b)，则函数f(x)为周期函数，a-b为f(x)的一个周期。

(2)最小正周期:

(3)定理:若T是函数f(X)的一个周期,则nT也是函数f(x)的一个周期.(n为非零整数.)

4．函数图象的对称性

 一·中心对称：

 (1) 奇函数的图象关于原点对称；

 一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,-y)，则曲线f(x,y)=0关于原点对称

（2）函数y=f(x)的图象关于点（a,b）对称的充要条件为：对函数定义域中的任意x均满足 2b-y=f(2a-x)

(3)函数的图象关于点(a,0)对称的充要条件为: f(x) =- f(2a-x)  f(a+x)=- f(a-x)

(4)设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图象关于点((a+b)/2,0)成中心对称.

二． 轴对称：

（1）偶函数的图象关于Y轴对称；

一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,y)，则曲线f(x,y)=0关于Y轴对称

（2）设a是非零常数，如果对函数定义域中的任意值x均满足f(x)=f(2a-x)

 f(a+x)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。

一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(2a-x,y)，则曲线f(x,y)=0关于直线x=a对称

设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x=(a+b)/2对称．

(3)反函数的图象

 函数y=f(x)的图象与y=f -1(x)的图象关于直线y=x对称；

 函数y=f(x)的图象与y=-f-1 (-x)的图象关于直线y= - x对称；

 设函数y=f(x)有反函数y=f – 1(x)，则其图象关于直线y=X对称的充要条件是：

f(x)=f – 1(x).

5．函数图象的对称性与函数的周期性有着密切的内在联系，我们有下面的结论：

 命题1：如果函数的图象关于直线x=a和直线x=b(a ≠b)对称，那么函数是以2(a-b)为周期的周期函数。  命题2：如果函数的图象关于点(a,0)和直线x=b (a ≠b)对称，那么函数是周期函数，

4(a-b)为函数的一个周期。

 命题：如果函数的图象关于点(a,m)和直线x=b对称，那么函数是周期函数，4(a-b)为函数的一个周期。

命题3：如果函数y=f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，那么函数y＝f(x)是周期函数，2(a-b)为函数的一个周期。(a>b)

命题：如果函数f(x)的图象关于两点(a,b)和(c,d)对称，那么：当a ≠ c，b=d时，f(x)是周期函数，2(a-c)为函数的一个周期。当a ≠ c， b≠d时，f(x)不是周期函数。

高考题例

1.（95）已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减

函数，则a的取值范围是（ B ）

(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(0.2) (D) [2,+∞)

 2.(96）设f(x)是R上的奇函数，f(x+2)=

 -f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)等于（B ）

 (A) 0.5 (B)-0,.5 (C)1.5 (D)-1.5

 3，（97）定义在 R的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合。设a>b>0，给出下列不等式：

 ① f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ② f(b)-f(-a)

 ③ f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) ④ f(a)-f(-b)

 其中成立的是（ ）

 (A)①④ (B)②③ (C)①③ (D)②④

 竞赛试题

 4．（第九届希望杯）f(x)是定义域为R的奇函数，方程f(x)=0的解集为M，且M中有有限个元素，则M（ ）

 (A)可能是 Φ (B)元素的个数是偶数

 (C)元素的个数是奇数

 (D)元素的个数可以是奇数，也可以是偶数

 5.（第十届希望杯）已知f(x)=2x-2-x-2，f(a)=0，则f(-a)的值为（ C ）

 (A) -a-4 (B)-2 (C)-4 (D)-2a

6．（92全国联赛）设f(x)是定义在实数集上的函数，且满足下列关系：

f(10+x)=f(10-x),f(20-x)= -f(20+x)。则f(x)是（ C ）

(A)偶函数，又是周期函数

(B)偶函数，但不是周期函数

(C)奇函数，又是周期函数

(D)奇函数，但不是周期函数

更上一层楼

 例１（２00０高考理）设函数 f(x)=(x2+1)1/2-ax，其中a>0。

 （Ⅰ）解不等式f(x)≤1；

 （Ⅱ）求a的取值范围，使函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调函数。

例２（02高考理）设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R。

（Ⅰ）讨论f(x)的奇偶性；

（Ⅱ）求f(x)的最小值。

例３．设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1,x2∈[0,1/2]，都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，且f(1)=a>0。 （Ⅰ）求f(1/2)及f(1/4)；

（Ⅱ）证明f(x)是周期函数。（01高考）

 分析（１）由已知条件：f(1)=f(1/2+1/2)=…并应注意证明f(1/2)>0.

 (2)由命题１得函数的周期为２．由周期性的定义证明．

例４．22.（2004.江苏）已知函数))((Rxxf满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有

)]()()[()(λ2121221xfxfxxxx和2121)()(xxxfxf，其中λ是大于0的常数.设实数a0，a，b满足 0)(0af和)(λafab

(Ⅰ)证明1λ，并且不存在00ab，使得0)(0bf；

(Ⅱ)证明20220))(λ1()(aaab；

(Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([afbf.

解：（1）不妨设12xx，由2121212()()()()xxxxfxfx

可知12()()0fxfx，

()fx是R上的增函数

不存在00ba，使得0()0fb

又2212121212()()()()()xxxxfxfxxx

1

（2）要证：222000()(1)()baaa

即证：2200()()2()()aafafaaa (*)

不妨设0aa，

由2121212()()()()xxxxfxfx

得00()()()fafaaa，

即0()()faaa，

则2002()()2()faaaaa （1）

由1212()()fxfxxx得00()()fafaaa

即0()faaa， 则22200()()2()aafaaa （2）

由（1）（2）可得2200()()2()()aafafaaa

222000()(1)()baaa

（3）220[()]()faaa,

22220(1)[()](1)()faaa

220[()]()fbba

又由（2）中结论222000()(1)()baaa

222[()](1)[()]fbfa

