函数的基本性质
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函数的基本性质
一．选择题（共8小题）
1．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）单调递减的函数是（ ）
A．y=﹣x3 B．y=ln|x| C．y=cosx D．y=2﹣|x|
2．下列函数中与f（x）=2x+2﹣x具有相同的奇偶性的是（ ）
A．y=sinx B．y=x2+x+1 C．y=|x| D．y=|lgx|
3．函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（4，+∞）
4．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知函数f（x）=x﹣2，g（x）=x3﹣tanx，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）•g（x）是奇函数 B．f（x）•g（x）是偶函数
C．f（x）+g（x）是奇函数 D．f（x）+g（x）是偶函数
6．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=lnx，则ef（﹣2）的值为（ ）
A． B． C． D．
7．设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（ ）
A．0.5 B．﹣0.5 C．1.5 D．﹣1.5
8．若函数是R上的单调函数，则实数a取值范围为（ ）
A．（1，+∞） B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）
二．填空题（共4小题）
9．当m= 时，函数f（x）=ex+me﹣x（m∈R）为奇函数．
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10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，则f（2）= ．
11．已知函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，定义域都是R，且f（x）+g（x）=3x﹣x3，则f（﹣1）+g（﹣2）= ．
12．已知函数，那么= ．
三．解答题（共4小题）
13．已知函数f（x）=+1是奇函数，其中a是常数．
（1）求函数f（x）的定义域和a的值；
（2）若f（x）＞3，求实数x的取值范围．
14．已知函数f（x）=x2+．
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）判断函数f（x）在（0，）和（，+∞）上的单调性并用定义法证明．
15．在R上定义运算⊗：x⊗y=x（2﹣y），已知关于x的不等式（x+1）⊗（x+1﹣a）＞0的解集是{x|b＜x＜1}．
（1）x求实数a，b
（2）对于任意的t∈A，不等式x2+（t﹣2）x+1＞0恒成立，求实数x的取值范围．
16．已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．
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2018年07月08日高中数学8的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）单调递减的函数是（ ）
A．y=﹣x3 B．y=ln|x| C．y=cosx D．y=2﹣|x|
【解答】解：A．y=﹣x3是奇函数，不是偶函数，∴该选项错误；
B．x∈（0，+∞）时，y=ln|x|=lnx单调递增，∴该选项错误；
C．y=cosx在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误；
D．y=2﹣|x|是偶函数；
x∈（0，+∞）时，单调递减，∴该选项正确．
故选：D．
2．下列函数中与f（x）=2x+2﹣x具有相同的奇偶性的是（ ）
A．y=sinx B．y=x2+x+1 C．y=|x| D．y=|lgx|
【解答】解：f（x）的定义域为R，f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），
∴f（x）是偶函数．
对于A，y=sinx是奇函数，
对于B，y=x2+x+1的对称轴为x=﹣，∴y=x2+x+1非奇非偶函数，
对于C，|﹣x|=|x|，∴y=|x|是偶函数，
对于D，y=|lgx|的定义域为（0，+∞），故y=|lgx|为非奇非偶函数．
故选：C．
3．函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（4，+∞）
【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），
令t=x2﹣2x﹣8，则y=lnt，
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∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t=x2﹣2x﹣8为减函数；
x∈（4，+∞）时，t=x2﹣2x﹣8为增函数；
y=lnt为增函数，
故函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），
故选：D．
4．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：由题意知，
f（﹣1）=log2（1+1）=1，
f（f（﹣1））=f（1）=1﹣3+4=2，
故选：C．
5．已知函数f（x）=x﹣2，g（x）=x3﹣tanx，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）•g（x）是奇函数 B．f（x）•g（x）是偶函数
C．f（x）+g（x）是奇函数 D．f（x）+g（x）是偶函数
【解答】解：∵f（x）=x﹣2，g（x）=x3﹣tanx，
∴f（﹣x）=x﹣2=f（x），g（﹣x）=﹣x3+tanx=﹣g（x），
∴f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，
∴f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）g（x），故是奇函数，显然B、C、D均错误；
故选：A．
6．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=lnx，则ef（﹣2）的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得 ef（﹣2）=e﹣f（2）=e﹣ln2==，
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故选：B．
7．设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（ ）
A．0.5 B．﹣0.5 C．1.5 D．﹣1.5
【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴可得f（x+4）=f（x），
∵f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数
∴f（﹣x）=﹣f（x）．
∴故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5．
故选：B．
8．若函数是R上的单调函数，则实数a取值范围为（ ）
A．（1，+∞） B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）
【解答】解：①若函数f（x）单调性递增，
则满足，解得4≤a＜8．
②若函数f（x）单调性递减，
则满足，此时无解．
综上实数a取值范围为：4≤a＜8．
故选：D．
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二．填空题（共4小题）
9．当m= ﹣1 时，函数f（x）=ex+me﹣x（m∈R）为奇函数．
【解答】解：f（x）为R上的奇函数；
∴f（0）=0；
即1+m=0；
∴m=﹣1．
故答案为：﹣1．
10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，则f（2）= 12 ．
【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，
∴f（﹣2）=﹣12，
又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（2）=12，
故答案为：12
11．已知函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，定义域都是R，且f（x）+g（x）=3x﹣x3，则f（﹣1）+g（﹣2）= ．
【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
f（x）+g（x）=3x﹣x3，
∴f（﹣x）+g（﹣x）=﹣f（x）+g（x）=3﹣x+x3，
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故g（x）=（3﹣x+3x），f（x）=（3x﹣3﹣x）﹣x3，
故f（﹣1）+g（﹣2）=（3﹣1﹣31）+1+（3﹣2+32）=，
故答案为：．
12．已知函数，那么=
．
【解答】解：∵，
∴f（）=
∴f（x）+f（）=1
∴f（2）+f（）=1，f（3）+f（）=1，f（4）+f（）=1，f（1）=
∴=
故答案为：
三．解答题（共4小题）
13．已知函数f（x）=+1是奇函数，其中a是常数．
（1）求函数f（x）的定义域和a的值；
（2）若f（x）＞3，求实数x的取值范围．
【解答】解：（1）由2x﹣1≠0得：x≠0，
即函数的定义域为{x|x≠0}，
∵函数f（x）=+1是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
即+1=﹣﹣1，
解得：a=2，
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（2）若f（x）＞3，得：＞2，
即0＜2x﹣1＜1，
即1＜2x＜2，
解得：x∈（0，1）
14．已知函数f（x）=x2+．
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）判断函数f（x）在（0，）和（，+∞）上的单调性并用定义法证明．
【解答】证明：（1）∵函数f（x）=x2+，
∴x≠0，且f（﹣x）=（﹣x）2+==f（x），
∴f（x）是偶函数．
解：（2）函数f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）上的单调递增．
证明如下：
在（0，）上任取x1，x2，且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=
=（）+
=（）（1﹣），
∵x1，x2∈（0，），且x1＜x2，
∴＜0，1﹣＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴函数f（x）在（0，）上单调递减．
在（，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=
=（）+
