2016年浙江省杭州市高考一模数学试卷(文科)【解析版】

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2016年浙江省杭州市高考数学一模试卷（文科）

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣2x≥0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（ ）

A．{x|0≤x≤2} B．{x|0＜x＜2} C．{x|﹣1≤x＜0} D．{x|﹣1＜x≤0}

2．（5分）若sinx

＝，则cos2x＝（ ）

A

．﹣ B

． C

．﹣ D

．

3．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面PAB的

面积是（ ）

A． B．2 C． D．

4．（5分）命题：“∃x

0∈R，x

0＞sinx

0”的否定是（ ）

A．∀x∈R，x≤sinx B．∀x∈R，x＞sinx

C．∃x

0∈R，x

0＜sinx

0 D．∃x

0∈R，x

0≤sinx

0

5．（5分）设函数f（x）＝|lnx|，满足f（a）＝f（b）（a≠b），则（注：选项中

的e为自然对数的底数）（ ）

A．ab＝ex B．ab＝e C．ab

＝ D．ab＝1

6．（5分）设抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴有两个交点A，B，顶点为C，

设△＝b2﹣4ac，∠ACB＝θ，则cosθ＝（ ）

A

． B

． C

． D

．

7．（5分）在Rt△ABC中，∠C是直角，CA＝4，CB＝3，△ABC的内切圆交

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CA，CB于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点（不包含边界）．若＝x+y，则x+y的值可以是（ ）

A．1 B．2 C．4 D．8

8．（5分）设U为全集，对集合A，B定义运算“*”，A*B＝∁

U（A∩B），若X，

Y，Z为三个集合，则（X*Y）*Z＝（ ）

A．（X∪Y）∩∁

UZ B．（X∩Y）∪∁

UZ

C．（∁

uX∪∁

UY）∩Z D．（∁

UX∩∁

UY）∪Z

二、填空题（共7小题，每小题4分，满分36分）

9．（4分）设ln2＝a，ln3＝b，则ea+eb＝ ．（其中e为自然对数的底数）

10．（6分）若函数f（x

）＝，则f（﹣1）＝ ；不等式f（x）

＜4的解集是 ．

11．（6分）设直线l

1：mx﹣（m﹣1）y﹣1＝0（m∈R），则直线l

1恒过定点 ；

若直线l

1为圆x2+y2+2y﹣3＝0的一条对称轴，则实数m＝ ．

12．（6分）设实数x，y

满足不等式组，若z＝2x+y，则z的最大值等

于 ，z的最小值等于 ．

13．（6分）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BCD＝90°，且BC＝CD＝3．将△ABC沿BC的边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，

若点M在△BCD内部（含边界），则点M的轨迹的最大长度等于 ；

在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB和CD所成的角的余弦值

等于 ．

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14．（4分）设x，y∈R，x2+2y2+xy＝1，则2x+y的最小值等于 ．

15．（4分）若点P在曲线C

1

：上，点Q在曲线C

2：（x﹣5）2+y2＝1

上，点R在曲线C

3：（x+5）2+y2＝1上，则|PQ|﹣|PR|的最大值是 ．

三、解答题（共5小题，满分74分）

16．（15分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c

，，，

（1）求C；

（2）若，求a，b，c．

17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为

直角梯形，BC∥AD，∠ADC＝90°，BC＝CD

＝AD＝1，PA＝PD，E，F

分别为线段AD，PC的中点．

（1）求证：PA∥平面BEF；

（2）若直线PC与AB所成的角为45°，求线段PE的长．

18．（15分）设数列{a

n}满足a

1

＝，a

n+1＝a

n2+a

n+1（n∈N*）．

（1

）证明：≥3；

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（2）设数列

{}的前n项和为S

n，证明：S

n＜3．

19．（15分）设点A，B分别是x，y轴上的两个动点，AB＝1，若．

（1）求点C的轨迹Γ；

（2）已知直线l：x+4y﹣2＝0，过点D（2，2）作直线m交轨迹Γ于不同的两

点E，F，交直线l于点K

．问

+的值是否为定值，请说明理由．

20．（14分）设函数f（x）＝（x﹣1）•|x﹣a|（a∈R）．

（1）当a＝2且x≥0时，关于x的方程f（x）＝kx

﹣有且仅有三个不同的实根

x

1，x

2，x

3，若t＝max|x

1，x

2，x

3|，求实数t的取值范围

（2）当a∈（﹣1

，）时，若关于x的方程f（x）＝2x

﹣a有且仅有三个不同

的实根x

1，x

2，x

3求x

1+x

2+x

3的取值范围．

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2016年浙江省杭州市高考数学一模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣2x≥0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（ ）

A．{x|0≤x≤2} B．{x|0＜x＜2} C．{x|﹣1≤x＜0} D．{x|﹣1＜x≤0}

【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，

解得：x≤0或x≥2，即A＝{x|x≤0或x≥2}，

∵B＝{x|﹣1＜x＜2}，

∴A∩B＝{x|﹣1＜x≤0}，

故选：D．

2．（5分）若sinx

＝，则cos2x＝（ ）

A

．﹣ B

． C

．﹣ D

．

【解答】解：∵sinx

＝，则cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2

•

＝，

故选：B．

3．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面PAB的

面积是（ ）

A． B．2 C． D．

【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，底面是一个正三角形，后

面的侧棱与底面垂直．

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∴该几何体的侧面PAB

的面积＝＝．

故选：D．

4．（5分）命题：“∃x

0∈R，x

0＞sinx

0”的否定是（ ）

A．∀x∈R，x≤sinx B．∀x∈R，x＞sinx

C．∃x

0∈R，x

0＜sinx

0 D．∃x

0∈R，x

0≤sinx

0

【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是：∀x∈R，x≤sinx，

故选：A．

5．（5分）设函数f（x）＝|lnx|，满足f（a）＝f（b）（a≠b），则（注：选项中

的e为自然对数的底数）（ ）

A．ab＝ex B．ab＝e C．ab

＝ D．ab＝1

【解答】解：作出函数f（x）的通项如图，

在若f（a）＝f（b）（a≠b）

则设a＜b，则0＜a＜1，b＞1，

即|lna|＝|lnb|，

则﹣lna＝lnb，则lna+lnb＝lnab＝0，

即ab＝1，

故选：D．

6．（5分）设抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴有两个交点A，B，顶点为C，

设△＝b2﹣4ac，∠ACB＝θ，则cosθ＝（ ）

A

． B

． C

． D

．

【解答】解：如图示：

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，

∵|AB|＝

＝

＝，

∴|AD|

＝，

而|CD|＝

||

＝，

∴AC2＝|AD|2+|CD|2

＝

+

＝

∴cosθ

＝

＝1

﹣

＝1

﹣，

＝，

故选：A．

7．（5分）在Rt△ABC中，∠C是直角，CA＝4，CB＝3，△ABC的内切圆交

CA，CB于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点（不包含边界）．若＝x+y，则x+y的值可以是（ ）

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A．1 B．2 C．4 D．8

【解答】解：设圆心为O，半径为r，则OD⊥AC，OE⊥BC，∴3﹣r+4﹣r＝5，

解得r＝1．

连结DE，则当x+y＝1时，P在线段DE上，排除A；

在AC上取点M，在CB上取点N，使得CM＝2CD，CN＝2CE，连结MN，∴＝+．

则点P在线段MN

上时，

+＝1，故x+y＝2．

同理，当x+y＝4或x+y＝8时，P点不在三角形内部．排除C，D．

故选：B．

8．（5分）设U为全集，对集合A，B定义运算“*”，A*B＝∁

U（A∩B），若X，

Y，Z为三个集合，则（X*Y）*Z＝（ ）

A．（X∪Y）∩∁

UZ B．（X∩Y）∪∁

UZ

C．（∁

uX∪∁

UY）∩Z D．（∁

UX∩∁

UY）∪Z

【解答】解：∵X*Y＝∁

U（X∩Y），

∴对于任意集合X，Y，Z，

（ X*Y ）*Z＝∁

U（X∩Y）*Z