河南省南阳市第一中学2017-2018学年高二下学期第一次

南阳一中2018年春期高二年级第一次月考

数学（理科）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知i是虚数单位，则复数512ii=（ ）

A．2i B．12i C．2i D．12i

2. 设1111()(*)1232fnnNnnnn，那么(1)()fnfn等于（ ）

A．112122nn B．112122nn C．122n D．121n

3.曲线()31xfxex在点(0,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）

A．2 B．32 C．54 D．1

4.定义*,*,*,*ABBCCDDA的运算分别对应下面图中的（1），（2），（3），（4），则图中（5），（6）对应的运算是（ ）

A．*,*BDAD B．*,*BDAC C. *,*BCAD D．*,*CDAD

5.设()fx在0x可导，则000()(3)limxfxxfxxx等于（ ）

A．04'()fx B．0'()fx C. 02'()fx D．03'()fx

6.已知1i是关于x的方程220(,)axbxabR的一个根，则ab（ ）

A．-1 B．1 C.-3 D．3

7.以正弦曲线sinyx上一点P为切点得切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（ ）

A．30,,44 B．0, C. 3,44 D．30,,424

8.在下列命题中，正确命题的个数是（ ）

①两个复数不能比较大小；

②复数1zi对应的点在第四象限；

③若22(1)(32)xxxi是纯虚数，则实数1x；

④若221223()()0zzzz，则123zzz.

A．0 B．1 C.2 D．3

9.已知函数21()sincos2fxxxxx，则其导函数'()fx的图象大致是（ ）

A． B． C.

D．

10.“一支医疗救援队里的医生和护士，包括我在内，总共是13名.下面讲到的人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化.在这些医务人员中：①护士不少于医生；②男医生多于女护士；③女护士多于男护士；④至少有一位女医生.”由此推测这位说话人的性别和职务是（ ）

A．男护士 B．女护士 C.男医生 D．女医生

11.给出定义：设'()fx是函数()yfx的导函数，''()fx是函数'()fx的导函数，若方程''()0fx有实数解0x，则称点00,()xfx为函数()yfx的“拐点”.已知函数()34sincosfxxxx的拐点是00,()Mxfx，则点M（ ）

A．在直线3yx上 B．在直线3yx上 C.在直线4yx上 D．在直线4yx上

12.若自然数n使得作竖式加法(1)(2)nnn均不产生进位现象，则称n为“开心数”.例如：32是“开心数”.因32+33+34不产生进位现象；23不是“开心数”，因23+24+25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（ ）

A．9 B．10 C.11 D．12

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.复数cos75sin75zi（i是虚数单位），则在复平面内2z对应的点位于第

象限．

14.已知函数()fx的导函数为'()fx，且满足关系式1()3'(1)fxxfx，则'(2)f的值等于 ．

15.我们知道，在边长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值 ．

16.二维空间中圆的一维测量（周长）2lr，二维测量（面积）2Sr，观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积）24Sr，三维测度（体积）343Vr，观察发现'VS.已知四维空间中“超球”的三维测度38Vr，猜想其四维测度W= ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 求下列函数的导数.

（1）xeyx； （2）2(21)(31)yxx； （3）sin(1)cos2xyx.

18. m为何实数时，复数2(2)3(1)2(1)zimimi满足下列要求：

（1）z是纯虚数；

（2）z在复平面内对应的点在第二象限；

（3）z在复平面内对应的点在直线50xy上.

19. 设函数2()fxaxbxc且(1),3222afacb.

（1）试用反证法证明：0a；

（2）证明：334ba.

20. 若存在过点(1,0)的直线与曲线3yx和21594yaxx都相切，求实数a的值.

21. 设函数()bfxaxx，曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程为74120xy.

（1）求()yfx的解析式；

（2）证明：曲线()yfx上任一点处的切线与直线0x和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值.

22.已知数列na的前n项和1122nnnSa（n为正整数）.

（1）令2nnnba，求证数列nb是等差数列，并求数列na的通项公式；

（2）令121,nnnnncaTcccn，试比较nT与521nn的大小，并予以证明.

试卷答案

一、选择题

1-5:CADBA 6-10:AAACA 11、12：AD

二、填空题

13.二 14. 54 15. 63a 16. 42r

三、解答题

17.（1）222(1)xxxxxxexexeexeexyxxxx.

（2）因为232(21)(31)6231yxxxxx，

所以32322(6231)(6)(2)(3)(1)1843yxxxxxxxx.

（3）函数sin(1)yx看作sinyu和1ux的复合复数，

(sin)(1)coscos(1)xuxyyuuxux，同样的可以求出cos2xy的导数1sin22xy，所以题中函数的导数为1cos(1)sin22xyx.

18.（1）222(2)3(1)2(1)23322zimimimmimimi

22(232)(32)mmmmi.

222320320mmmm，得12m，即12m时，z是纯虚数.

（2）由222320320mmmm，得112m，

即1,12m时，z在复平面内对应的点在第二象限.

（3）由22(232)(32)50mmmm，得3m，

即3m时，z在复平面内对应的点在直线50xy上.

19.（1）假设0a，

322,30,20,20,acbacb

将上述不等式相加得3220acb，

(1),32202afacb，

这与3220acb矛盾，假设不成立，0a.

（2）3(1),22afabccab，

3232,3acabab.

322,34.0,34bcbabaa.

20.设直线与曲线3yx的切点坐标为00(,)xy，

则300200031yxyxx，则切线的斜率2030kx或274k，若0k，此时切线的方程为0y，

由201594yyaxx，消去y，可得215904axx，其中0，即2153604a，

解可得2564a；若274k，其切线方程为27(1)4yx，

由227(1)41594yxyaxx，消去y可得29304axx，又由0，即990a，

解可得1a.故2564a或1.

21.（1）方程74120xy可化为734yx.当2x时，12y.

又2()bfxax，于是1222744baba，解得13ab，故3()fxxx.

（2）设00(,)Pxy为曲线上任一点，由231yx知曲线在点00(,)Pxy处的切线方程为002031yyxxx，即00200331yxxxxx.

令0x得06yx，从而得切线与直线0x的交点坐标为060,x.

令yx得02yxx，从而得切线与直线yx的交点坐标为002,2xx.

所以点00(,)Pxy处的切线与直线0x，yx所围成的三角形面积为016262xx.

故曲线()yfx上任一点处的切线与直线0x，yx所围成的三角形面积为定值，此定值为6.

22.（1）在1122nnnSa中，令1n，可得1112nSaa，即112a.

当2n时，211122nnnSa，11112nnnnnnaSSaa，

11122nnnaa，即11221nnnnaa，

12,1nnnnnbabb，即当2n时，11nnbb.

又1121ba，数列nb是首项和公差均为1的等差数列，

于是1(1)12,2nnnnnnbnnaa.

（2）由（1）得11(1)2nnnncann，所以

231111234(1)2222nnTn

234111111234(1)22222nnTn，

得231111111(1)22222nnnTn