10.2 排列与组合

������!
������ 写出C������ .
������!(������-������)!
3. 常用的几个恒等式
������ ������ ������ ������ ������+1 (1) C������ + C������ +1+ C������ +2+„+ C������ +������= C������ +������+1; ������-1
2 重复数字的三位数中奇数的个数为C3 × 4=, 3, 5 中任选两个所组成的无重复数字的三位
2 数中奇数的个数为C3 × 2=6.
故满足条件的奇数的总个数为 12+6=18.
5. 2012年上海春季高考有 8 所高校招生, 如果某 3 位同学恰好被其中 2所高 校录取, 那么录取方法的种数为 . 【答案】168
0!=1 , 所以
0 C������ =1. ������ -������ ������ (4) 组合数的性质: ①C������ = C������ ������ -1 ������ ������ ; ②C������ +1=C������ + C������
.
(1 ) 要搞清组合与排列的区别与联系: 组合与顺序无关, 排列与顺序有关; 排列可以分成先选取( 组合) 后排列两个步骤进行. (2)组合数公式有两种形式: ①乘积形式; ②阶乘形式. 前者多用于数字 计算, 后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算. 注意公式的逆用. 即 由
������ 个数, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数, 用符号C������ 表示 .
������ A ������! ������ ������ ������(������-1)(������ -2)„(������-������+1) (3) 组合数公式: C������ = ������= = , 由于 A������ ������! ������!(������-������)!

2排列与组合一、选择题(每小题6分，共30分)1．已知{1,2}⊆X⊆{1,2,3,4,5}，满足这个关系式的集合X共有()A．2个B．6个C．4个D．8个2．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有() A．36种B．42种C．48种D．54种3．某电视台连续播放6个广告，其中有三个不同的商业广告，两个不同的奥运宣传广告，一个公益广告．要求最后播放的不能是商业广告，且奥运宣传广告与公益广告不能连续播放，两个奥运宣传广告也不能连续播放，则不同的播放方式有()A．48种B．98种C．108种D．120种4．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有() A．36种B．30种C．42种D．60种5．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．30种B．35种C．42种D．48种二、填空题(每小题5分，共30分)6．2010年上海世博会某国将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品不同的方案有________种．(用数字作答)7．刘、李两家各带一个小孩一起到公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要有两位爸爸，另外，两位小孩一定要排在一起，则这6人入园的顺序排法种数为________．8．用数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的6位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________．9．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．10．在2010年广州亚运会即将到来之际，有一个12人的旅游团在亚运会某场馆附近合影留念，他们先站成了前排4人，后排8人的队形，现在摄影师准备保留前排顺序不变，从后排调2人到前排，且所调的2人在前排不相邻，则不同的调整方法数为________．(用数字作答)11．如图圆形花坛被分成5个扇形区域，现种植三种不同的花卉．一块区域内只种植一种花卉，每种花卉至少种一块区域，而且相邻(有公共边)的两块区域不能种同一种花卉，那么最多有________种不同的种法．三、解答题(共40分)12．(13分)某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？13．(13分)有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，共有多少种不同排法？14．(14分)用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？(1)被4整除；(2)比21 034大的偶数；(3)左起第二、四位是奇数的偶数．答案1.D2.B3.C4.A5.A6.247.248.409.336 10.560 11.3012. 解可先分组再分配，根据题意分两类，一类：先将3个项目分成两组，一组有1个项目，另一组有2个项目，然后再分配给4个城市中的2个，共有C23A24种方案；另一类1个城市1个项目，即把3个元素排在4个不同位置中的3个，共有A34种方案．由分类加法计数原理可知共有C23A24＋A34＝60(种)方案．13. 解∵前排中间3个座位不能坐，∴实际可坐的位置前排8个，后排12个．(1)两人一个前排，一个后排，方法数为C18·C112·A22种；(2)两人均在后排左右不相邻，共A212－A22·A111＝A211(种)；(3)两人均在前排，又分两类：①两人一左一右，共C14·C14·A22种；②两人同左同右，有2(A24－A13·A22)种．综上可知，不同排法种数为C18·C112·A22＋A211＋C14·C14·A22＋2(A24－A13·A22)＝346(种)．14. 解(1)被4整除的数，其特征应是末两位数是4的倍数，可分为两类：当末两位数是20、40、04时，其排列数为3A33＝18，当末两位数是12、24、32时，其排列数为3A12·A22＝12.故满足条件的五位数共有18＋12＝30(个)．(2)方法一可分五类，当末位数是0，而首位数是2时，有A12A22＋A22＝6(个)；当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有A12A33＝12(个)；当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有A12A33＝12(个)；当末位数字是4，而首位数字是2时，有A22＋A11＝3(个)；当末位数字是4，而首位数字是3时，有A33＝6(个)；故有(A12A22＋A22)＋A12A33＋A12A33＋(A22＋A11)＋A33＝39(个)．方法二不大于21 034的偶数可分为三类：万位数字是1的偶数，有A13·A33＝18(个)；万位数字是2，而千位数字是0的偶数，有A22个；还有一个为21 034本身．而由0,1,2,3,4组成的五位偶数有，A44＋A12·A13·A33＝60(个)，故满足条件的五位偶数共有60－A13·A33－A22－1＝39(个)．(3)方法一可分为两类：末位数是0，有A22·A22＝4(个)；末位数是2或4，有A22·A12＝4(个)；故共有A22·A22＋A22·A12＝8(个)．方法二第二、四位从奇数1,3中取，有A22个；首位从2,4中取，有A12个；余下的排在剩下的两位，有A22个，故共有A22A12A22＝8(个)．。

(B)48种
【解析】选C.分步完成这件事.第一步排最后位置一个奥运宣 传广告有2种不同的方法；第二步排另一个奥运宣传广告，有3 个位置可选，共有3种方法；第三步排3个商业广告，共有 A 3 3 种不同的方法.由分步乘法计数原理可知：共有2×3× A 3 ＝ 3 36(种)不同的播放方式.
3.某班级有一个7人小组，现任选3人相互交换座位，其余4人座 位不变，则不同的调整方式有( (A)12种 (B)70种 ) (D)105种
【提醒】区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于
是否与顺序有关.
【变式训练】(2012·广州模拟)如图，∠MON的边OM上有四点
A1,A2,A3,A4，ON上有三点B1,B2,B3,则以O，A1,A2,A3,A4，B1,B2,
B3为顶点的三角形个数为(
)
(A)30
(B)42
(C)54
(D)56
2 2 入到9个空中，有 A 9 种排法，因此共有 A8 A9 种排法． 8
(2)选C．分步完成，先将每家“绑在一起”，看成3个元素，全
排列，共有 A 3 ＝3!(种)坐法；然后每家3口人，再各自全排 3 列，则有 A 3 A 3 A 3 ＝(3!)3(种)坐法； 3 3 3 据分步乘法计数原理，共有 A 3 A 3 A 3 A 3 ＝(3!)4(种)坐法. 3 3 3 3 (3)选D.左边有几个数，顺序数就为几，故8一定在从左面起第 三个位置；而且对其他数的顺序数没有影响，因为8最大.6可能
3 4 4 C6 A5 种；若含有两个字母A，则有 C3 A5 种；若含有三个字母 6 2 2 4 4 3 2 2 A，则有 C6 A5 种.综上所述，共有 A5 C6 A5 C3 A5 C6 A5 6 6

§10.2 排列与组合基本知识1．排列与排列数1．判断题(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(3)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．()(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.()(5)A m n＝n A m－1.()n－1(6)C k n＝n C k－1n－1.()2．填空题(1)A、B、C、D、E五人并排站成一排，不同的排法共有________种．(2)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言________条．(3)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙两人所选的课程中恰有1门相同的选法有________种．(4)方程3A3x＝2A2x＋1＋6A2x的解为________．(5)已知1C m5－1C m6＝710C m7，则m＝________.全析考法考点一排列问题例1(1)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种(2)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．方法技巧求解排列问题的六种主要方法组合问题的常见题型及解题思路人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为( ) A ．85 B ．86 C ．91D ．90(2)设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( ) A ．130 B ．120 C ．90D ．60(3)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)． 方法技巧有限制条件的组合问题的解法组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有几个元素：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型．考虑逆向思维，用间接法处理． 考点三 分组分配问题分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，都应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．例3 (1)教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．(2)某 室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为________．(3)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．方法技巧 分组分配问题的三种类型及求解策略1.某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行．则安排这6项工程的不同方法种数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．402.世界华商大会的某分会场有A ，B ，C 三个展台，将甲、乙、丙、丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为( ) A ．12 B ．10 C ．8D ．63.某局安排3名副局长带5名职工去3地调研，每地至少去1名副局长和1名职工，则不同的安排方法总数为( ) A ．1 800 B ．900 C ．300D ．1 4404.用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)5.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________． 集中演练1．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A ．12种 B ．18种 C ．24种D ．36种2．如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A ．24B ．18C ．12D ．93．定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意 ≤2m ，a1，a2，…，a中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有() A．18个B．16个C．14个D．12个4．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组．则不同的选法共有()A．60种B．70种C．75种D．150种参考答案基本知识1.按照一定的顺序排成一列所有不同排列的个数3. n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) n！C n－mn基本能力1．【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√(6)√2．填空题(1)【答案】120 (2)【答案】1 560【解析】由题意，得毕业留言共A 240＝1 560(条)． (3)【答案】24【解析】依题意得知，满足题意的选法共有C 14·C 13·C 12＝24(种)．(4) 【答案】5【解析】由排列数公式可知3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)， ∵x ≥3且x ∈N *，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)， 解得x ＝5或x ＝23(舍去)，∴x ＝5.(5) 【答案】2【解析】由已知得m 的取值范围为{}m |0≤m ≤5，m ∈Z ，原等式可化为m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，整理可得m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝21(舍去)或m ＝2.全析考法 考点一 排列问题例1 【答案】 (1)B (2)36【解析】 (1)第一类：甲在最左端，有A 55＝120种排法； 第二类：乙在最左端，有4A 44＝96种排法， 所以共有120＋96＝216种排法．(2)记其余两种产品为D ，E ，由于A ，B 相邻，则视为一个元素，先与D ，E 排列，有A 22A 33种方法．再将C 插入，仅有3个空位可选，共有A 22A 33C 13＝2×6×3＝36种不同的摆法．考点二 组合问题例2 【答案】 (1)B (2)A (3)660【解析】 (1)法一(直接法)：由题意，可分三类考虑：第1类，男生甲入选，女生乙不入选的方法种数为：C 13C 24＋C 23C 14＋C 33＝31；第2类，男生甲不入选，女生乙入选的方法种数为：C 14C 23＋C 24C 13＋C 34＝34； 第3类，男生甲入选，女生乙入选的方法种数为：C 23＋C 14C 13＋C 24＝21. 所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86.法二(间接法)：从5名男生和4名女生中任意选出4人，男、女生都有的选法有C 49－C 45－C 44＝120种；男、女生都有，且男生甲与女生乙都没有入选的方法有C 47－C 44＝34种．所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为120－34＝86.(2)易知|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝1或2或3，下面分三种情况讨论．其一：|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝1，此时，从x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中任取一个让其等于1或－1，其余等于0，于是有C 15C 12＝10种情况；其二：|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝2，此时，从x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中任取两个让其都等于1或都等于－1或一个等于1、另一个等于－1，其余等于0，于是有2C 25＋C 25C 12＝40种情况；其三：|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝3，此时，从x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中任取三个让其都等于1或都等于－1或两个等于1、另一个等于－1或两个等于－1、另一个等于1，其余等于0，于是有2C 35＋C 25C 13＋C 15C 24＝80种情况．所以满足条件的元素个数为10＋40＋80＝130.(3)从8人中选出4人，且至少有1名女学生的选法种数为C 48－C 46＝55.从4人中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人的选法为A 24＝12种． 故总共有55×12＝660种选法． 考点三 分组分配问题例3 【答案】 (1)90 (2)36 (3)360【解析】 (1)先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故将6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90种不同的分派方法．(2)分两步完成：第一步，将4名调研员按2,1,1分成三组，其分法有C 24C 12C 11A 22种；第二步，将分好的三组分配到3个学校，其分法有A 33种，所以满足条件的分配方案有C 24C 12C 11A 22·A 33＝36种．(3)将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C 16种分法； 第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C 25种分法； 第3步，余下的3名教师作为一组，有C 33种分法．根据分步乘法计数原理，共有C 16C 25C 33＝60种分法．再将这3组教师分配到3所中学，有A 33＝6种分法， 故共有60×6＝360种不同的分法．全练题点 1. 【答案】B【解析】因为工程丙完成后立即进行工程丁，若不考虑与其他工程的顺序，则安排这6项工程的不同方法数为A 55，对于甲、乙、丙、丁所处位置的任意排列有且只有一种情况符合要求，因此，符合条件的安排方法种数为A 55A 33＝5×4＝20.2. 【答案】D【解析】∵甲、乙两人被分配到同一展台，∴可以把甲与乙捆在一起，看成一个人，然后将3个人分到3个展台上进行全排列，即有A 33种，∴甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为A 33＝6. 3. 【答案】B【解析】选B 分三步：第一步，将5名职工分成3组，每组至少1人，则有⎝⎛⎭⎫C 35C 12C 11A 22＋C 15C 24C 22A 22种不同的分组方法；第二步，将这3组职工分到3地有A 33种不同的方法；第三步，将3名副局长分到3地有A 33种不同的方法．根据分步乘法计数原理，不同的安排方案共有⎝⎛⎭⎫C 35C 12C 11A 22＋C 15C 24C 22A 22·A 33A 33＝900(种)，故选B. 4. 【答案】1 080【解析】(1)有一个数字是偶数的四位数有C 14C 35A 44＝960个． (2)没有偶数的四位数有A 45＝120个． 故这样的四位数一共有960＋120＝1 080个． 5. 【答案】472【解析】第一类，含有1张红色卡片，不同的取法有C 14C 212＝264种．第二类，不含有红色卡片，不同的取法有C 312－3C 34＝220－12＝208种．由分类加法计数原理，不同的取法种数为264＋208＝472. 集中演练 1．【答案】D【解析】第一步：将4项工作分成3组，共有C 24种分法．第二步：将3组工作分配给3名志愿者，共有A 33种分配方法，故共有C 24·A 33＝36种安排方法． 2．【答案】B【解析】分两步：第一步，从E →F ，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F →G ，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B. 3．【答案】C【解析】当m ＝4时，数列{a n }共有8项，其中4项为0,4项为1，要满足对任意 ≤8，a 1，a 2，…，a 中0的个数不少于1的个数，则必有a 1＝0，a 8＝1，a 2可为0，也可为1.(1)当a 2＝0时，分以下3种情况：①若a 3＝0，则a 4，a 5，a 6，a 7中任意一个为0均可，则有C 14＝4种情况；②若a 3＝1，a 4＝0，则a 5，a 6，a 7中任意一个为0均可，有C 13＝3种情况；③若a 3＝1，a 4＝1，则a 5必为0，a 6，a 7中任意一个为0均可，有C 12＝2种情况；(2)当a 2＝1时，必有a 3＝0，分以下2种情况：①若a 4＝0，则a 5，a 6，a 7中任一个为0均可，有C 13＝3种情况；②若a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C12＝2种情况．综上所述，不同的“规范01数列”共有4＋3＋2＋3＋2＝14(个)，故选C.4．【答案】C【解析】从6名男医生中选出2名有C26种选法，从5名女医生中选出1名有C15种选法，由分步乘法计数原理得不同的选法共有C26·C15＝75(种)．故选C.。