物理双星问题三个公式

一、容斥问题的3个公式

容斥原理是指一种计数方法。先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。

1.两个集合的容斥原理：n(A∪B)=n(A)+n(B) -n(A∩B)

2.三个集合的容斥原理：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|

3.n个集合的容斥原理：要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。

二、容斥问题的应用：

对于容斥问题，解题关键做到不重不漏，各个集合相加，理清各集合间的关系，扣掉重复补上遗漏的。用于理解的主要方法是画文氏图，但考试中应尽量避免画图，这样速度偏慢些。

【例1】：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向135人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，既看过甲、乙片为30人，既看过乙、丙片为31人，既看过甲、丙片为32人，其中有24人三部电影都看过，问多少人一部也没有看过呢?

【解析】：既看过甲、乙片为30人是包含只看过甲乙还有甲乙丙三人两个部分，以M、N、W为既看过甲、乙片的人，N既看过乙、丙片的人，既看过甲、丙片的人，X为三部都看过的人数，这里面W、N、X都是有包含三者这个区域，根据把重复数的次数变为1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则，则公式转化为I=A+B+C-(M+N+W)+X+Y，135=89+47+63-(30+31+32)+

24+Y，Y=5人。

结论：三者容斥问题，画图之后可知，三个圆相交的地方有1层、2层、3层三种情况，当将三个集合相加的时候，2层和3层区域分别多计算一次和两次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故三者容斥问题的公式为：A∪B∪C=A+B+C -A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。

三集合容斥原理按题型可以分为两种题型，一种为标准型公式，另一种为变异型公式，接下来，我们就着重看看三集合容斥原理的标准型公式。

集合Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，满足标准型公式：

三集合容斥原理标准型公式：Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ-Ⅰ·Ⅱ-Ⅰ·Ⅲ-Ⅱ·Ⅲ+Ⅰ·Ⅱ·Ⅲ=总个数-三者都不满足个数

通过观察公式，我们可以看到在公式中，出现了9个量，而这个式子的适用前提就是知8求1，即在题目中，若我们看到了8个已知量，要求1个未知量的时候，就要使用这个公式(注：而题目中有时候也是知7求1，其中的三者都不满足的个数可能为零)，具体题目如下：

(陕西2015)针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢黄山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有( )人。

A.20B.18C.17D.15

E.14F.13G.12H.10

解：通过观察，我们发现了八个已知量，还要我们求另一个未知量，故可以用上述公式，我们将数据逐个代入可得：28+30+42-8-10-5+3=100-x，其中x为我们要求的量，求得x=20，答案选择A。

接着，我们来看一下三集合变异型的公式，如下图示：

从上式中，我们可以看出，要使用变异型公式，题目中必须要出现仅满足2个情况的个数，这就是与标准型公式最大的不同，下面我们就看看具体的题目：

(广东2015)某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个项目。参加长跑的有49人，参加跳远的有36人，参加短跑的有28人，只参加其中两个项目的有13人，参加全部项目的有9人。那么参加该次运动会的总人数为( )。

A.75B.82

C.88D.95

解：由于题目中出现“只参加其中两个项目的有13人”，故使用变异型公式，得到下面列式：49+36+28-1×13-2×9=x，通过尾数法(若题目中选项的尾数都不一样的话，就可以用尾数法快速得到答案)，判断出答案为82，选B。

1 第17点 双星系统中的三个特点

宇宙中两个靠得比较近的天体，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动而不至因为万有引力的作用吸引到一起，从而使它们间的距离不变，这样的系统称为双星系统，双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立的系统处理.

双星系统具有的三个特点：

(1)两颗子星的向心力大小相等

由于圆心O处无物体存在，所以这两颗行星做圆周运动所需的向心力只能由它们之间的万有引力互相提供——m2给m1的引力F1使m1做圆周运动；m1给m2的引力F2使m2做圆周运动.根据牛顿第三定律可知F1＝F2，且方向相反，分别作用在m1、m2两颗星上.

(2)两颗子星的圆心相同，且两轨道半径之和等于两星间距

如图1所示，由于F1和F2提供向心力，所以它们都必须永远指向圆心O，又因两颗星的距离总是L，所以两颗星的连线必须始终通过圆心O，于是r1＋r2＝L.

图1

(3)两颗子星的运行周期相同

两颗子星之间的距离总是恒定不变，且圆心总是在两星连线上，两星好像用一根无形的杆连着，所以这两颗星的运行周期必须相等，即T1＝T2.

对点例题 在天体运动中，将两颗彼此相距较近的星体称为双星.它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动.如果双星间距为L，质量分别为M1和M2，引力常量为G，试计算：

(1)双星的轨道半径R1、R2；(2)双星的运行周期T；(3)双星的线速度v1、v2.

解题指导 因为双星受到同样大小的万有引力作用，且保持距离不变，绕同一圆心做匀速圆 2 周运动，所以具有周期、转速和角速度均相同，而轨道半径和线速度不同的特点.

(1)根据万有引力定律F＝M1ω2R1＝M2ω2R2及L＝R1＋R2可得：R1＝M2M1＋M2L，R2＝M1M1＋M2L.

(2)同理，GM1M2L2＝M12πT2R1＝M22πT2R2

所以，周期T＝4π2L2R1GM2＝4π2L2R2GM1＝2πL LGM1＋M2.

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交变电流的几个典型问题

交变电流在日常生活中的应用非常广泛，它可以很方便地利用变压器进行升压或降压，从而进行远距离输电或满足使用不同电压的用电器的需要；它能够产生旋转磁场，从而制成结构简单、运行可靠的电动机，以满足工农业生产和入们生活的需要。因此，交变电流跟生产和生活实践有着密切的联系。在高中阶段，学生掌握一定的交变电流知识，不但有利于培养学生理论联系实践的能力，而且也会提高学生学习物理的兴趣。

交变电流这一部分的内容，一直都是高中物理教学的一个难点。学生在学习时普遍反映这一部分内容的概念多、公式多、各种关系复杂。笔者认为，如果在教学中能让学生分清下列几个概念，便可以取得良好的教学效果。

一、交变电流和恒定电流

交变电流是指大小和方向都随时间作周期性变化的电流，恒定电流是指强弱和方向都不随时间改变的电流。交变电流一般是由线圈在磁场中匀速转动或者磁场围绕线圈匀速转动产生的，恒定电流是由干电池、铅蓄电池或稳压电源提供的。在日常生活中，照明电路和动力电路中都使用的是交变电流。由于交变电流的大小和方向都随时间作周期性变化，所以要描述交变电流的特性，就不像恒定电流那样简单，需要用最大值、有效值、瞬时值、平均值、周期和频率等物理量。

例1 下列各图中表示交变电流的是（ ）

分析与解：根据交变电流的定义，A、C、D，图中电流的大小和方向都随时间作周期性变化，是交变电流。B图中电流的大小随时间作周期性变化，但方向始终不变，是脉动直流，而不是交变电流。故正确答案选A、C、D。

二、最大值和有效值

交变电流的最大值是指交变电流在一个周期内所能达到的最大值，它可以用来表示交变电流的强弱或电压的高低。当矩形线圈在匀强磁场中匀速转动到与磁场方向平行时，产生的感应电动势具有最大值。此时电路中的电流强度及用电器两端的电压都具有最大值，即，。但是，交变电流的最大值不能用来表示交变电流产生的效果，在实际应用中通常用有效值来表示交变电流产生的效果。 交变电流的有效值是根据电流的热效应来定义的，让交变电流和恒定电流通过相同阻值的电阻，如果在相同的时间内产生的热量相等，我们就把这一恒定电流的数值叫做这一交变电流的有效值。通过计算表明，正弦交变电流的有效值与最大值之间的关系为：