当前位置：文档之家 › 第二节 命题及逻辑联结词

第二节 命题及逻辑联结词

  • 格式：doc
  • 大小：443.50 KB
  • 文档页数：5

第2课 命题及逻辑联结词

【考点导读】

1. 了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．

2. 了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．

3. 理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

【基础练习】

1.下列语句中：①230x；②你是高三的学生吗？③315；④536x．

其中，不是命题的有____①②④_____．

2.一般地若用p和q分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q则p ，否命题可表示为

pq若则，逆否命题可表示为qp若则；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．

3.有下列命题：①对角线不垂直的平行四边形不是菱形；②“若0xy，则0xy”的逆命题；③“若0x，则20x”的否命题；④“若方程20axbxc有两个不相等的实根，则0ac”的逆否命题．其中真命题的序号有____①④____．

4.有下列命题：①2,2340xRxx；②{1,0,1},210xx；③2,xNxx使；④*,29xNx使为的约数．其中真命题的序号有___①③④___．

5.对原命题及其逆命题，否命题，逆否命题这四个命题而言，假命题的个数是____0或2或4___．

6.命题“若0ab，则a，b至少有一个为零”的逆否命题是 ．

【范例解析】

例1. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.

（1） 平行四边形的对边相等；

（2） 菱形的对角线互相垂直平分；

（3） 设,,,abcdR，若,abcd，则acbd.

分析：先将原命题改为“若p则q”，在写出其它三种命题.

解：（1）原命题：若一个四边形是平行四边形，则其对边相等；真命题；

逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；假命题；

否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其对边不相等；假命题；

逆否命题：若一个四边形的两组对边不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题.

（2）原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；

逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；假命题；

否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；假命题；

逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题.

（3）原命题：设,,,abcdR，若,abcd，则acbd；真命题； 若0a且0b，则0ab 逆命题：设,,,abcdR，若acbd，则,abcd；假命题；

否命题：设,,,abcdR，若ab或cd，则acbd；假命题；

逆否命题：设,,,abcdR，若acbd，则ab或cd；真命题.

点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p则q”的形式，找出其条件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p的否定即p时，要注意对p中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.

例2.写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断真假.

（1）p：2是4的约数，q：2是6的约数；

（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；

（3）p：方程210xx的两实根的符号相同，q：方程210xx的两实根的绝对值相等.

分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.

解：（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；

p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题；

非p：2不是4的约数，假命题.

（2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；

p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；

非p：矩形的对角线不相等，假命题.

（3）p或q：方程210xx的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；

p且q：方程210xx的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；

非p：方程210xx的两实根的符号不同，真命题.

点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p，q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.

例3.写出下列命题的否定，并判断真假.

（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；

（2）p：每一个非负数的平方都是正数；

（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于180°；

（4）p：有的四边形没有外接圆；

（5）p：某些梯形的对角线互相平分.

分析：全称命题“,()xMpx”的否定是“,()xMpx”，特称命题“,()xMpx”的否定是“,()xMpx” .

解：（1）p：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题；

（2）p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；

（3）p：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题；

（4）p：所有四边形都有外接圆，假命题； （5）p：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.

点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：

正面词语 等于 大于 小于 是 都是

否定词语 不等于 不大于 不小于 不是 不都是

正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 „

否定词语 至少有两个 一个也没有 某个 某些 „

例4.已知0c且1c，设:p函数(21)xycc在R上为减函数，:q不等式2(2)1xxc的解集为R.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数c的取值范围.

分析：由p，q为真求出c的取值范围，结合“p或q”为真命题，“p且q”为假命题得出p，q一真一假，从而得出c的取值范围.

解：当p为真时，

函数(21)xycc在R上为减函数，

210,1,cc或210,得11.2c

当q为真时，

不等式2(2)1xxc的解集为R，即xR时，22(41)(41)0xcxc恒成立.

22(41)4(41)0cc，得58c.

 “p或q”为真命题，“p且q”为假命题，

当p为真q为假时，11,25.8cc解得1528c.

当p为假q为真时，101,25.8ccc或解得1c.

综上所述，实数c的取值范围是15(,](1,)28.

点评：由条件分析得到p，q一真一假，学生多会先写命题的假命题，再求c的取值范围，这样会增加计算量，而且容易出错.

【反馈演练】

1．命题“若aM，则bM”的逆否命题是__________________.2．已知命题p：1sin,xRx，则:p,sin1xRx.

3．若命题m的否命题n，命题n的逆命题p，则p是m的____逆否命题____. 若bM，则aM 4．已知下列四个命题：

①“若1xy，则,xy互为倒数”的逆命题；

②“面积相等的三角形全等”的否命题；

③“若1m，则方程220xxm有实根”的逆否命题；

④“若ABB，则AB”的逆否命题．

其中真命题的是____①②③____.

5．已知全集UR，AU，若命题:3pAB，则p：3()()UUAB痧.

6．命题“若ba，则122ba”的否命题为________________________．

7．命题“四边形的内角中至少有一个不大于90°”，下列命题中：

①假设四内角都不大于90°；

②假设四内角都大于90°；

③假设四内角中至多有一个大于90°；

④假设四内角中至多有三个大于90°．

其中正确的命题的否定有_____________．

8．命题:p方程210xmx有两个不相等的实根，命题:q方程244(2)10xmx无实根，若pq为真，pq为假，则实数m的取值范围______ ___．

9．设A，B为两个集合，下列四个命题：

①AB对任意xA，有xB；

②ABAB；

③ABBA

④AB存在xA，使得xB．

其中真命题的序号有 ．

10．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．

（1）设,abR，若0ab，则0a或0b；

（2）设,abR，若0,0ab，则0ab．

解：（1）逆命题：设,abR，若0a或0b，则0ab；真命题；

否命题：设,abR，若0ab，则0a且0b；真命题；

逆否命题：设,abR，若0a且0b，则0ab；真命题；

（2）逆命题：设,abR，若0ab，则0,0ab；假命题；

否命题：设,abR，若0a或0b，则0ab；假命题；

逆否命题：设,abR，若0ab，则0a或0b；真命题．

11．设命题p：函数3()()2xfxa是R上的减函数，命题q：2()43fxxx在[0,]a上的值域为[1,3]，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

解：由3012a得3522a，

又22()43(2)1fxxxx，在[0,]a上的值域为[1,3]，得24a．

又“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，

当p为真q为假时，解得322a. (,2)(1,2][3,) ②

④ 若ab，则221ab

合集下载

高考数学复习 逻辑联结词 四种命题 充分必要条件

高考数学复习 逻辑联结词 四种命题 充分必要条件

2008高考数学复习 逻辑联结词 四种命题 充分必要条件

一、基本知识体系：

1、 命题、简单命题、复合命题；逻辑联结词：

2、 复合命题的真假与构成它的简单命题的真假之间的关系：p或q：__，p且q：___；p与p：___

3、 四种命题及它们之间的关系：原命题与逆否命题，否命题与逆命题分别为等价的命题

4、 关于充要条件：

5、 注意：命题的否定与否命题的区别：如果原命题是“若p则q”，那么它的否命题是：“若非p则非q”，即既否定条件，又否定结论；而命题的否定形式是：“若p则非q”，即只否定命题的结论。若一个命题的条件与结论不明显时，可以先把它改写为“若p则q”的形式，再去确定其否命题或否定形式。

二、典型例题剖析：

【★题1】写出下列命题的否定及否命题：

① 两组对边平行的四边形是平行四边形。

解：（否定形式：两组对边平行的四边形不是平行四边形；否命题：若一个四边形至少有一组对边不平行，则它不是平行四边形。

② 正整数1既不是质数也不是合数。

解：（否定形式：正整数1是质数或者是合数。否命题：若一个正整数不是1，则它是质数或者是合数。

③ 命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为_____(若a≤b, 则2a≤2b-10

【★题2】已知c>0,设P：函数y=cx在R上单调递减；Q：不等式x+|x-2c|>1的解集为R；如果P和Q有且只有一个正确，求c的取值范围

解、c的取值范围为（0，12]∪[1，+∞）

【★题3】（正难则反）若二次函数（x）=4x2-2(t-2)x-2t2-t+1,在[-1，1]内至少存在一个实数c,使得（c）>0，求实数t的取值范围

解、正难则反：考查反面“对[-1，1]内任意一个实数c,都有（c）≤0成立的t的范围”，而此范围则对应为；（-1）≤0且（1）≤0从而有｛t|t≤-3或t≥32｝∴所求为t|-3

【★题4】① 如果不等式|x-m|≤1成立的充分不必要条件是1

命题与逻辑联结词知识点

命题与逻辑联结词知识点

命题与逻辑联结词

一、命题与逻辑联结词

1、命题定义

可以判断真假的语句叫“命题”

2、分类

简单命题

复合命题（由简单命题与逻辑联结词构成）

p或q：qp

p且q：qp

非p：p（命题p的否定）

3、判断复杂命题的真假

一真或真，一假且假.

4、四种命题

（1）原命题.

若p，则q.

（2）逆命题

若q，则p.

（3）否命题

若p，则q.

（4）逆否命题

若q，则p.

5、四种命题关系

（1）原命题与逆否命题同真同假.

（2）逆命题与否命题同真同假.

6、命题的否定与否命题.

（1）命题的否定：（只否定结论）.

p表示命题，非p叫做命题的否定；

若p则q，则命题的否定为：若p则q

（2）否命题（既否定条件，又否定结论）

若p则q的否命题为： 若p则q.

二、充分条件与必要条件.

1、充分条件

若qp，则p是q的充分条件（q的充分条件p）

2、必要条件

若qp，则q是p的充分条件（p的充分条件q）

3、充要条件

若qp且pq（或qp）则p是q的充要条件。

4、充分条件与必要条件判定

（1）数轴法

（2）集合法 （3）等价法

三：全称量词与存在量词

1、 全称量词：“所有的”.“任意一个”.“每个”，用“”表示。

存在量词：“存在一个”.“至少有一个”.“有些”，用“”表示.

2、 全称命题（含有全称量词的命题）：;,xpMx

特称命题（含有存在量词的命题）：.,00xpMx

3、含有一个量词的命题的否定.

命题 命题的否定

XPMx, 00,xpMx

00,xpMx xpMx,

4、一些常用正面描述的词语的否定形式：

正面词语 = > < 是 都是 一定

否定词语    不是 不都是 不一定

正面词语 至多有一个 至少有一个 至多有n个 至少有n个 P或q P且q

高考一轮复习专题2 命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件

高考一轮复习专题2 命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件

1 第一章 集合与常用逻辑用语

第02节 命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件

]

【知识清单】

1．命题及其关系

（1）命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． （2）四种命题及相互关系

（3）四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；@网

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

2．逻辑联结词

（1）用联结词“且”联结命题p和命题q，记作____，读作______”．

（2）用联结词“或”联结命题p和命题q，记作_____，读作“____”．

（3）对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作_____，读作“_____”．

（4）命题p且q、p或q、非p的真假判断

3．充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．

2 【重点难点突破】

考点1四种命题的关系及真假判断

【1-1】【北京卷理】能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．

【1-2】命题“若,xy都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是（ ）

A．若xy是偶数，则x与y不都是偶数

B．若xy是偶数，则x与y都不是偶数

C．若xy不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若xy不是偶数，则x与y都不是偶数

【领悟技法】

1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：

（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；

（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；

（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。

第2讲 命题、量词与简单逻辑联结词

第2讲 命题、量词与简单逻辑联结词

第2讲 命题、量词与简单逻辑联结词

知识梳理

一、 命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的，可以________的陈述句叫做命题．其中________的语句叫真命题，________的语句叫假命题．

二、 命题p∧q，p∨q，﹁p的真假关系表

p q p∧q p∨q ﹁q

真 真 真 ________ ________

真 假 ________ 真 ________

假 真 ________ ________ 假

假 假 假 ________ ________

三、量词与含有一个量词的命题的否定

1．全称量词和存在量词

量词名称 常见量词 表示符号

全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ____

存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等 ____

2．全称命题和存在性命题

命题名称 命题结构 命题简记

全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ________

特称命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ________

3．全称命题和特称命题的否定

命题 命题的否定

∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，

∃x0∈M，p(x0) ________________ 疑难辨析

1．对于命题的理解

(1)一个命题非真即假．( )

(2)语句“x>20吗？”是一个命题．( )

2．含逻辑联结词的命题中的问题

(1)若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题p∧q为真命题．( )

(2)命题p，﹁ p至少有一个真命题．( )

(3)命题p∧q的否定是(﹁p) ∨(﹁q)，命题p∨q的否定是（﹁p)∧(﹁q)( )

3．含有量词的命题问题

(1)如果一个全称命题是真命题，则这个命题就是一个一般性结论．( )

(2)[2012·青岛模拟] 命题“∃x∈R，x3－2x＋1＝0”的否定是“不存在x∈R，x3－2x＋1≠0”．( )