1 第四章 指数函数与对数函数
4.2指数函数
第1课时指数函数的概念
【课程标准】
1. 了解指数函数的概念
2. 区分两类指数函数，了解不同点。
3. 掌握指数函数的性质
【知识要点归纳】
1.指数函数的定义
一般地，函数 (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
特别提醒：(1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：
①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值.因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
（2）要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数.
②指数函数的自变量必须位于指数的位置上.③ax的系数必须为1.
④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数.
2.指数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： 2 a>1 0
图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点 过定点 ，即x＝ 时，y＝1
函数值的变化 当x>0时， ；
当x<0时， 当x>0时， ；
当x<0时，
单调性 在R上是 在R上是
【经典例题】
判断一个函数是指数函数的方法
(1)形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征.
(2)看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要一个特征不具备,则该函数不是指数函数.
例1 下列函数中是指数函数的是________.(填序号)
[跟踪训练] 1 （1）函数f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则m＝________.
（2）若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝( )
A.(2)x B.2x C.12x D.22x 3 2123231=________.xxfxaaafxaaaf例2.函数是指数函数，则的取值范围是________.函数是指数函数,则
4.2.1 指数函数的概念及性质
制作：盛志磊 胶印：100份
一、新课程标准：通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念。
素养风向标：1.理解指数函数的概念和意义
2. 了解正整数指数函数的概念，理解具体的指数函数
的图象特征
3. 会用正整数指数函数解决某些实际问题.
二、研究以下两个实例，找出问题中y与x之间的函数关系式
问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成两个，2个分裂成4个一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x之间的关系是什么？
问题2：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩余的这种物质是原来的84％，那么经过x年之后的剩余量y与x的关系是什么？
问题3：你能从以上两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗？
1、前面我们学习过的一次函数和二次函数，它们的图象是连续不间断的，而正整数指数函数的图象是在第一象限内的一群______的点。
2、指数函数的定义
函数__________________叫做指数函数，其中____是自变量，定义域为_______.
思考：指数函数的解析式具有什么特征？判断下列函数关系式，哪些是指数函数.
①10xy；②110xy；③101xy；④210xy；⑤10xy；⑥1010,9xyaaa且；⑦10yx.
例1已知指数函数0,1xfxaaa且，且3f，求0,1-3.fff，的值
变式训练1.函数21xfxaaa是指数函数，求a的值,并求1f的值.
三.指数函数的图象与性质
问题1：请大家在同一坐标系内用描点法画出122xxyy与的图象.然后说出他们的函数性质.
问题2：由122xxyy与归纳出0,1xyaaa且的性质.
1a 01a
图
象
性
质 定义域
值域 过定点
- 1 - 第1课时 指数函数的概念、图象与性质
学
习
目 标 核 心 素 养
1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点)
2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点) 1.通过学习指数函数的图象，培养直观想象的数学素养．
2．借助指数函数的定义域、值域的求法，培养逻辑推理素养.
1．指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
2．指数函数的图象和性质
a的范围 a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝1
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称
思考1：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？
提示：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0
思考2：：指数函数值随自变量有怎样的变化规律？
提示：指数函数值随自变量的变化规律．
- 2 -
1．下列函数一定是指数函数的是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝x3
C．y＝3·2x D．y＝3－x
D [由指数函数的定义可知D正确．]
2．函数y＝3－x的图象是(
)
A B C D
B [∵y＝3－x＝13x，∴B选项正确．]
3．若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝12x D．f(x)＝x13
B [设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(3)＝8得
a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x，故选B.]
4．函数y＝ax(a>0且a≠1)在R上是增函数，则a的取值范围是________．
4.2.2 《指数函数图象及其性质》教学设计
一、教学目标：
1.掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。
2.通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。
3.在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
二、教学重点、难点：
教学重点：指数函数的图象和性质。
教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳出指数函数的性质。
三、教学过程：
（一）创设情景
情境1 2020年新冠疫情期间，各大媒体报道“疫情形式严峻，感染人数呈指数增长”。指数增长是什么？为什么会令人谈之色变呢？其实它有个更形象的名字，叫指数爆炸。指数怎么会爆炸呢？
老师引导:看完下面的视频，你应该有所体会。
情境2指数爆炸和指数衰减的视频。
老师：视频中提到的，对社会经济有重大影响的指数爆炸和指数衰减就是我们今天要研究的———指数函数图象及性质的一部分内容。
引导学生回答指数函数的概念
1．指数函数的定义：
一般地，函数10aaayx且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
强调：指数函数定义中，规定“10aa且”
师：根据之前研究幂函数的经验。得到概念之后，就探究其图象。再观察其图象，得到相关性质。你还记得画函数图象得步骤吗？
生：列表—描点—连线
师：根据这个步骤完成探究一
2．指数函数的图像及性质：
探究一 请用描点法画出函数y=2x 的函数图象，并讨论其定义域、值域、单调性等性质.
探究二 在以上坐标系中画出函数xy21的函数图象，并讨论其定义域、值域、单调性等性质.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
xy2
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
xy21
