高中数学 第二章 概率 2.3 条件概率与独立事件学案(含解析)北师大版选修2-3-北师大版高二选修

§3 条件概率与独立事件

知识点一 条件概率

[填一填]

(1)求已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时，A发生的条件概率，记为P(A|B)，P(A|B)＝PA∩BP B (其中，A∩B也可写成AB)．

(2)A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝PA∩BPA．

[答一答]

1．如何判断条件概率？

提示：题目中出现“已知在……前提下(或条件下)”等字眼时，一般为求条件概率．题目中没有出现上述明显字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，一般也为条件概率．如：从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，其中一张放到验钞机上发现是假钞．求2张都是假钞的概率．题目中没有明显的条件提示，但“其中一张放到验钞机上发现是假钞”，此事件的出现影响了所求事件的概率，故此题为求条件概率．

2．任意向区间(0,1)上投掷一个点，用x表示该点的坐标，设事件A＝{x|0

提示：P(B|A)＝PA∩BPA＝1412＝12＝0.5.

知识点二 独立事件

[填一填] 一般地，对两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．可以证明，如果A，B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立．

[答一答]

3．若事件A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)，与P(AB)＝P(A|B)·P(B)矛盾吗？

提示：不矛盾，若事件A与B相互独立，则P(A|B)＝P(A)．

4．求相互独立事件的概率应注意的问题是什么？

提示：求相互独立事件的概率，首先要分析题意，判断所给事件是否相互独立，然后选用公式求解．在具体解题时，常常与互斥事件、古典概型等联系在一起，要注意正确地选择解题方法．

1．如何理解条件概率？

(1)事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的；

(2)应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，而这里所说的条件概率，则是当试验结果的—部分信息已知(即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率；

(3)若B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．

2．怎样求解条件概率？

求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)＝nABnA，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含的基本事件个数．

二是直接根据定义计算，P(B|A)＝PABPA特别要注意P(AB)的求法．

3．如何理解事件的相互独立性？

(1)对于事件A，B，如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，则称这两个事件相互独立．例如：甲袋中装有3个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲袋中摸出1个球，得到白球”记为事件A，把“从乙袋中摸出1个球，得到白球”记为事件B，显然A与B相互独立； (2)一般地，如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都是相互独立的；

(3)如果事件A1，A2，A3，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2)…P(An)．

4．如何判断事件是否相互独立？

(1)定义法：事件A、B相互独立⇔P(AB)＝P(A)·P(B)；

(2)利用性质：若A与B互相独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立；

(3)有时通过计算P(B|A)＝P(B)可以判断事件A，与B相互独立.

5．相互独立事件与互斥事件的区别与联系

(1)事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生对另一个事件是否发生没有影响．

(2)事件的独立性是对两个任意事件而言，而事件的互斥是对一个试验中的两个事件而言．

(3)相互独立事件不是对立事件，一般情况下必定不是互斥事件；相互对立事件是互斥事件，不能是相互独立事件；互斥事件有可能是对立事件，一定不是相互独立事件．

(4)在实际应用中，事件的独立性常常不是根据定义判断，而是根据实际问题(意义)来加以判断，如在一部仪器上工作的两个元器件，它们各自的工作状况是互相独立的；两个人同时射击一个目标，各自命中状况也是互相独立的．

题型一 条件概率问题

[例1] 甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名．设甲班有30名同学，其中女同学15名，则在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率为( )

A.12 B.13

C.14 D.15

[解析] 设“碰到甲班同学”为事件A，“碰到甲班女同学”为事件B，则P(A)＝37，P(AB)＝37×12，所以P(B|A)＝PABPA＝12，故选A.

[答案] A

规律方法 本题为直接条件概率公式求解，要注意分清谁是条件．

[例2] 在10个球中有6个红球和4个白球(除颜色外完全相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸到红球的条件下，求第二次也摸到红球的概率．

[思路探究]

思路一 由题意易知第一次摸到红球后剩余9个球，其中有5个红球→利用A|B的含义直接求解

思路二 求出相关事件发生的概率→代入公式求解

[解] 记A表示“第二次摸到红球”，B表示“第一次摸到红球”，则A|B表示“第一次摸到红球，第二次也摸到红球”．

方法一：直接利用A|B的含义求解．

由题意，事件B发生后，袋中还有9个球，其中5个红球，4个白球，则A发生的概率为59，即P(A|B)＝59.

方法二：用公式求解．

P(B)＝610＝35，而AB表示两次都摸到红球，则P(AB)＝C26C210＝13.所以P(A|B)＝PABPB＝1335＝59.

规律方法 计算P(A|B)的两种方法

(1)利用条件概率的计算公式计算．分别计算P(AB)，P(B)，将它们相除即得．

(2)利用缩小基本事件范围的观点计算．即将原来的基本事件空间Ω缩小为B，原来的事件A缩小为AB，每个基本事件发生的概率相等，从而利用古典概型的概率公式可得P(A|B)＝nABnB，其中n(B)，n(AB)分别表示事件B，事件AB所包含的基本事件个数．

甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问： (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？

(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？

解：设“甲地为雨天”为事件A，“乙地为雨天”为事件B，由题意，得P(A)＝0.20，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12.

(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是

P(A|B)＝PABPB＝0.120.18≈0.67.

(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是

P(B|A)＝PABPA＝0.120.2＝0.60.

题型二 相互独立性的判断

[例3] 判断下列各对事件是否是相互独立事件：

(1)甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；

(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；

(3)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的苹果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”．

[思路探究] 解答本题可先看两个事件中其中一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，再判断两事件是否相互独立．

[解] (1)“从甲组选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．

(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57， 可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．

(3)由于把取出的苹果又放回筐内，故对“从中任意取出1个，取出的是梨”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．

规律方法 相互独立事件的特点是：(1)对两个事件而言；(2)其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．

一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：

(1)家庭中有两个小孩；

(2)家庭中有三个小孩．

解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，

它有4个基本事件，由等可能性知概率各为14.

这时A＝{(男，女)，(女，男)}，

B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，

AB＝{(男，女)，(女，男)}，

于是P(A)＝12，P(B)＝34，P(AB)＝12，

由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，

所以事件A、B不相互独立．

(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，

由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时

A中含有6个基本事件，

B中含有4个基本事件， AB中含有3个基本事件．

于是P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝12，P(AB)＝38，

显然有P(AB)＝38＝P(A)P(B)成立．

从而事件A与B是相互独立的．

题型三 相互独立事件的概率

[例4] 某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲，乙，丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测，则

(1)三人都合格的概率；

(2)三人都不合格的概率；

(3)出现几人合格的概率最大？

[思路探究] 若用A，B，C表示甲，乙，丙三人100米跑的成绩合格，则事件A，B，C相互独立．

[解] 记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，

则P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13.

设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3)．

(1)三人都合格的概率：

P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝25×34×13＝110.

(2)三人都不合格的概率：

P0＝P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＝35×14×23＝110.

(3)恰有两人合格的概率：

P2＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360.