随机变量独立性判断随机变量的独立性和相关性

第３９卷第４期　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＳｏｕｔｈｗ西ｅｓｔ南Ｕｎ民ｉｖ族ｅｒｓ大ｉｔｙ　Ｎ报ａｔｉｏ‘ｎ自ａｌ然ｉｔｉｅ　ｓ　Ｎ学ａｔ版ｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ　Ｊｕ１．２ｏｌ３　ｌ　ｆ０ｒ　・　ｌ　

ｄｏｉ：ｌ０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００３－４２７１．２０Ｉ　３．０４．Ｉ３　

二维随机变量独立性的研究　

赵文彬，杨栋辉，郭龙飞，田崇强，董若斌　

（太原科技大学应用科学学院数学系，山西太原０３００２４）　

摘要：主要研究了二维离散型随机变量和二维连续型随机变量的独立性问题．给出了二维离散型随机变量相互独立　

的充分必要条件是其联合分布矩阵的秩等于１：二维连续型随机变量相互独立的充分必要条件是其联合概率密度为可　

分离变量．同时，对其应用进行了举例说明．　关键词：独立性：联合分布矩阵；秩：联合概率密度　

中图分类号：０２ｌ１．５　文献标识码：Ａ　文章编号：ｌ００３－４２７ｌ（２０１３）０４—０５４３—０４　

随机变量的独立性是概率统计中十分重要的概念，也是许多数学模型的基本前提条件　卜　，但到目前为止，　关于随机变量独立性研究的文献较少，而且概率参考书中对此问题介绍也比较少，一般仅给出定义　引．以二维随　

机变量为例，给出判别二维随机变量相互独立的几个方法．　

１预备知识　

对于二维随机变量的相互独立，文献［１］中已给出下述结论：　定理１设二维连续型随机变量　，】，）的联合分布函数为Ｆ　，Ｙ），其边缘分布函数为　（　），　（　），则　

与Ｊ，相互独立的充要条件是：对一切　和），，有　

Ｆ（ｘ，　）＝Ｆｘ（　）　（　）．　

定理２设二维连续型随机变量　，】，）的联合概率密度函数厂　，Ｙ），而关于　与ｙ的边缘概率密度分别为　

（　），．　（Ｙ），贝　与】，相互独立的充要条件是：对任意的　，有　

ｆ（ｘ，Ｙ）＝ｉｘ（　）Ｉ厂ｙ（　）．　

定理３设二维离散型随机变量　，】，）的联合分布律为Ｐ　，＝Ｐ（Ｘ＝誓，Ｙ＝Ｙｊ）ｆ，Ｊ＝１，２，…，而关于　

3. 随机变量的独立性

随机变量的独立性是一个十分重要的概念。在这一节中，我们利用两个事件相互独立的概念引出两个随机变量的独立性，并推导到有限多个随机变量的独立性。

1. 两个随机变量的独立性

定义3.6 若二维随机变量(X , Y )对任意实数均有

成立，则称随机变量与是相互独立的。

设随机变量(X , Y )的联合分布函数和边缘分布函数分别为和,则与相互独立等价于对任意实数有。

若(X , Y ) 是离散型随机变量，则X与Y相互独立的充分必要条件是

即

这里分别是(X , Y )，X，Y的分布律。

若(X , Y )是连续性随机变量，则由分布函数与概率密度函数关系知，X与Y独立，即

成立的充分必要条件是

这里分别是(X , Y )，X，Y 的密度函数.

10.已知随机变量

的联合分布律为

1 2 3

1

1/3

2

1/6 1/9 1/18

试确定常数a，b，使X与Y相互独立

解 先求出(X , Y )关于X和Y的边缘分布律

X

Y 1

2 3 p. j

1 1/3 1/3+a+b

2 1/6 1/9 1/18 1/3

1/2 1/9+a 1/18+b

因要使与相互独立，故可用

来确定常数a，b。由

即

解得 因此(X , Y )的联合分布律和边缘分布律为

X

Y 1 2 3

1

2

经检验，此时X与Y是相互独立的。

例11 设随机变量(X , Y )在矩形区域上服从均匀分布，若

试求(U, V)的联合分布律，并判断U与 V是否独立.

解 区域G如图3-7所示，因(X , Y )在G上服从均匀分布，其联合密度函数

于是得(U, V)的联合分布律和边缘分布律:

U

V 0 1

0

1 0

其中所以U与V是不相互独立的。

例12 设随机变量的联合密度函数为

试问X与Y 是否相互独立? 解 因为（X，Y）关于X 的边缘密度函数

所以，对任意实数x，y均有故X与Y 是相互独立的。

概率论与数理统计期末复习重要知识点

第二章知识点：

1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散随机变量。

2.常用离散型分布：

（1）两点分布（0-1分布）：

若一个随机变量X只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)PXxpPXxpp，

则称X服从12,xx处参数为p的两点分布。

两点分布的概率分布：12{},{}1(01)PXxpPXxpp

两点分布的期望：()EXp；两点分布的方差：()(1)DXpp

（2）二项分布：

若一个随机变量X的概率分布由式 {}(1),0,1,...,.kknknPxkCppkn

给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。记为X~b(n,p)(或B(n,p)).

两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.kknknPxkCppkn

二项分布的期望：()EXnp；二项分布的方差：()(1)DXnpp

（3）泊松分布：

若一个随机变量X的概率分布为{},0,0,1,2,...!kPXkekk，则称X服从参数为的泊松分布，记为X~P ()

泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kPXkekk

泊松分布的期望：()EX；泊松分布的方差：()DX

4.连续型随机变量：

如果对随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数()fx，使得对于任意实数x，有(){}()xFxPXxftdt，则称X为连续型随机变量，称()fx为X的概率密度函数，简称为概率密度函数。

5.常用的连续型分布：

（1）均匀分布： 若连续型随机变量X的概率密度为其它,0,1)(bxaabxf，则称X在区间（a,b）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)

均匀分布的概率密度：其它,0,1)(bxaabxf

概率中的相关性与独⽴性

⾸先，概率中的相关性指的是线性相关，（见《概率论与数理统计》盛骤 中“协⽅差与相关系数”⼀节）。

其次，概率中的(线性)相关性与独⽴性是不等价的，独⽴=》不（线性）相关；不（线性）相关=》独⽴。

其实很好理解，相关有线性相关和⾮线性相关，在⾮线性相关的情况下，变量之间仍有联系，因此不独⽴。

（1）独⽴=》不相关，很简单，如下：

（2）不线性相关的情况，两个变量也不独⽴，可以举个反例。

X 是在-2，-1，1，2上等可能取值的随机变量，即Pr(X=?)=1/4 for all ?，E(X)=0

Y=X^2，则Pr(Y=1)=1/2，Pr(Y=4)=1/2，E(Y)=5/2

XY=X^3的分布，是在-8，-1，1，8上等可能取值的随机变量，即Pr(XY=?)=1/4 for all ?，E(XY)=0

E(XY)-EXEY=0

X与Y是不（线性）相关。

但是显然他们不是独⽴的

当然，在某些特殊的情况下，不相关可以推出独⽴，这时候不相关和独⽴等价

1. X，Y的联合分布服从⼆元⾼斯分布

2. X，Y都是两值随机变量（Bernoulli random variable）