高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程学案(含解析)新人教A版必修2

教师课时教案

备课人 授课时间

课题 3.2.3 直线的一般式方程

课标要求 明确直线方程一般式的形式特征；

会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；

教

学

目

标 知识目标 明确直线方程一般式的形式特征；

技能目标 会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

情感态度价值观 认识事物之间的普遍联系与相互转化；

重点 直线方程的一般式。

难点 对直线方程一般式的理解与应用

教

学

过

程

及

方

法 问题与情境及教师活动 学生活动

1、（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于yx,的二元一次方程表示吗？

（2）每一个关于yx,的二元一次方程0CByAx（A，B不同时为0）都表示一条直线吗？

教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题（1），即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程。对于问题（2），教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线，只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式。为此要对B分类讨论，即当0B时和当B=0时两种情形进行变形。然后由学生去变形判断，得出结论：

关于yx,的二元一次方程，它都表示一条直线。

教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于yx,的二元一次方程表示；同时，任何一个关于yx,的二元一次方程都表示一条直线。

我们把关于关于yx,的二元一次方程0CByAx（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式。

2、直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？

学生通过对比、讨论，发现直线方程的一般式与其他形式的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线。

使学生理解直线和二元一次方程的关系。

1

教师课时教案

教

学

过

程

及

方

法 问题与情境及教师活动 学生活动

3.2.3 直线的一般式方程

一、教学目标

1、知识与技能

（1）明确直线方程一般式的形式特征；

（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；

（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

2、过程与方法

学会用分类讨论的思想方法解决问题。

3、情态与价值观

（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；

（2）用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点：

1、重点：直线方程的一般式。

2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。

三、教学设想

问 题 设计意图 师生活动

1、（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于yx,的二元一次方程表示吗？

（2）每一个关于yx,的二元一次方程0CByAx（A，B不同时为0）都表示一条直线吗？ 使学生理解直线和二元一次方程的关系。 教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题（1），即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程。对于问题（2），教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线，只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式。为此要对B分类讨论，即当0B时和当B=0时两种情形进行变形。然后由学生去变形判断，得出结论：

关于yx,的二元一次方程，它都表示一条直线。

教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于yx,的二元一次方程表示；同时，任何一个关于yx,的二元一次方程都表示一条直线。

我们把关于关于yx,的二元一次方程0CByAx（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）.

2、直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么使学生理解直线方程的一般 学生通过对比、讨论，发现直线方程的一般式与其他形式的直线方程的一优点？ 式的与其他形 个不同点是：

问 题 设计意图 师生活动

式的不同点。 直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线。

3.2.2 直线的两点式方程

一、教学目标

1. 知识与技能

（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；

（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.

2. 过程与方法

让学生掌握直线的两点式方程的推导过程，学会分析、比较，有特殊情况特殊处理的意识.

3. 情态与价值观

感受两点确定一条直线这一几何意义的代数转化，体验解析几何的代数美感.

二、教学重点、难点：

1. 重点：直线方程两点式。

2. 难点：两点式推导过程的理解及截据式方程.

三、教学方法

启发，引导探究，练习

四、教学过程

（一）复习旧知，导入课题

复习：已经学过的点斜式方程和斜截式方程及其特点

思考：已知直线经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，(x1x2 ,y1y2),如何求出这两个点的直线方程呢？

生：经过一点，且已知斜率的直线，可以写出它的点斜式方程. 可以先求出斜率，再选择一点，得到点斜式方程.

（二）师生互动，探究新知

1. 利用点斜式解答如下问题：

（1）已知直线l经过两点12(8,1),(2,4)PP,求直线l的方程.

（2）已知两点),(),,(222211yxPxxP其中),(2121yyxx，求通过这两点的直线方程.

教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：

（1）11(8)2yx

（2）)(112121xxxxyyyy

教师指出：当21yy时，方程可以写成

),(2121121121yyxxxxxxyyyy

由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）.

2. 若点),(),,(222211yxPxxP中有21xx，或21yy，此时这两点的直线方程是什么？

第课时 直线的一般式方程

[核心必知]

．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材～，回答下列问题：

()平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于，的二元一次方程表示吗？为什么？

提示：都可以，原因如下：

()直线和轴相交于点(，)时：此时倾斜角α≠，直线的斜率存在．直线可表示成＝＋，可转化为＋(－)＋＝，这是关于，的二元一次方程．

()直线和轴平行(包含重合)时：此时倾斜角α＝，直线的斜率不存在，不能用＝＋表示，而只能表示成－＝，它可以认为是关于，的二元一次方程，此时方程中的系数为.

()每一个关于，的二元一次方程＋＋＝(，不同时为零)都能表示一条直线吗？为什么？

提示：能表示一条直线，原因如下：当≠时，方程＋＋＝可变形为＝－－，它表示过点，斜率为－的直线．

当＝时，方程＋＋＝变成＋＝.

即＝－，它表示与轴平行或重合的一条直线．

()在方程＋＋＝(，不同时为零)中，，，为何值时，方程表示的直线①平行于轴；②平行于轴；③与轴重合；④与轴重合．

提示：当＝，≠时，方程变为＝－，当≠时表示的直线平行于轴，当＝时与轴重合；当≠，＝时，方程变为＝－，当≠时表示的直线平行于轴，当＝时与轴重合．

．归纳总结，核心必记

直线的一般式方程

叫做直线的一般式方程，简称)其中，不同时为(＋＋＝定义：关于，的二元一次方程()一般式．

()适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．

()系数的几何意义：当≠时，则－＝(斜率)，－＝(轴上的截距)；

当＝，≠时，则－＝(轴上的截距)，此时不存在斜率．

[问题思考]

当＝，或＝，或＝时，方程＋＋＝分别表示什么样的直线？ 提示：()若＝，则＝－，表示与轴垂直的一条直线．

()若＝，则＝－，表示与轴垂直的一条直线．

()若＝，则＋＝，表示过原点的一条直线．

[课前反思]

通过以上预习，必须掌握的几个知识点．

()直线方程的一般式的形式是什么？

；

()直线方程的一般式的适用范围是什么？