高考数学函数的单调性-

导数与函数单调性

一、回顾： 将函数xxfysin)(的图象向左平移4个单位，得到函数xy2sin21的图象，则)(xf是 ▲ （写出一个即可）

二、08~12年江苏数学命题研究及13年走势分析

2012年江苏省高考说明中，《导数及其应用》属于必做题部分，其中导数的概念是A级要求，导数的几何意义，导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值，以及导数在实际问题中的应用是B级要求.

导数与函数、数列、三角、不等式、解析几何等知识有着密切的联系，导数作为工具在研究函数的性质及在实际生活中有着广泛的应用, 导数是高中数学中与高等数学联系最密切的知识之一,所以备受高考命题老师的重视.

2008年14题考查 导数在函数单调性的综合运用

2009年03题考查 导数研究函数单调性

2010年14题考查 导数研究函数性质

2011年12题考查 指数函数、导数的几何意义

2012年考查 导数研究函数零点

导数— 导数作为新增内容应为考查的重点内容。利用导数刻划函数,或已知函数性质求参数范围等，2008年江苏考了一道“导数应用题”，理科加试考了“导数与定积分混合型”题,2009年未考大题。那么2013年仍应重视导数题的考查,以中档题为主。小题中两年都考了三次函数,应该更加关注指、对数函数,三角函数的导数及相关的超越函数.

三、知识点梳理：

函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数)(xfy在某个区间内可导，如果)('xf＞0，则)(xfy为增函数；如果)('xf＜0，则)(xfy为减函数.

⑵常数的判定方法；

如果函数)(xfy在区间I内恒有)('xf=0，则)(xfy为常数.

注：①)('xf＞0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如32xy在),(上并不是都有)('xf＞0，有一个点例外即x=0时)('xf = 0，同样)('xf＜0是f（x）递减的充分非必要条件.

1 高考数学复习 第14讲 导数与函数的单调性

函数的单调性与导数

导数到

单调性 单调递增 在区间(a,b)上,若f'(x)>0,则f(x)在这个区间上单调

单调递减 在区间(a,b)上,若f'(x)<0,则f(x)在这个区间上单调

单调性

到导数 单调递增 若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f'(x)

单调递减 若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则f'(x)

“函数y=f(x)在区间(a,b)上的导数大(小)于0”是“其单调递增(减)”的 条件

题组一 常识题

1.[教材改编] 函数f(x)=ex-x的单调递增区间是 .

2.[教材改编] 比较大小:x ln x(x∈(1,+∞)).

3.[教材改编] 函数y=ax3-1在(-∞,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围为 .

4.[教材改编] 已知f(x)是定义在R上的可导函数,函数y=ef'(x)的图像如图2-14-1所示,则f(x)的单调递减区间是 .

图2-14-1

2 题组二 常错题

◆索引:可导函数在某区间上单调时导数满足的条件;利用单调性求解不等式时不能忽视原函数的定义域;求单调区间时忽略定义域;讨论函数单调性时分类标准有误.

5.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上为增函数,则k的取值范围是 .

6.若函数f(x)=ln x-1𝑥,则不等式f(1-x)>f(2x-1)的解集为 .

7.函数f(x)=x+ln(2-x)的单调递增区间为 .

8.讨论函数y=ax3-x在R上的单调性时,a应分 、 、 三种情况讨论.

探究点一 函数单调性的判断或证明

例1 [2018·商丘二模] 已知函数f(x)=(x-1)ex+1+mx2,其中m为常数,且m>-e2.讨论函数f(x)的单调性.

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年 级 高三 学 科 数学 版 本 人教版（文）

内容标题 函数的单调性

编稿老师 孙力

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

函数的单调性

1. 概念：设函数)(xf的定义域为I

（1）增函数：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值21,xx，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么称函数)(xf在这个区间上是增函数。

（2）减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值21,xx，当21xx时，都有)()(21xfxf，则称)(xf在这个区间上是减函数。

（3）单调区间：如果函数)(xfy在某个区间是增函数或减函数，则称函数)(xfy在这一区间上具有（严格的）单调性，该区间叫做)(xfy的单调区间。

注：①

中学单调性是指严格单调的，即不能是)()(21xfxf或)()(21xfxf

② 单调性刻画的是函数的“局部”性质。如xy1在)0,(与),0(上是减函数，不能说xy1在),0()0,(上是减函数。

③

单调性反映函数值的变化趋势，反映图象的上升或下降

2.

单调性的判定方法（定义法、复合函数单调性结论，函数单调性性质，导数，图象）

（1）定义法

[例1] 证明函数1)(31xxf在R上是增函数

证：设21xx，则3223123113212131231121)()(xxxxxxxxxfxf

而分子021xx 分母043)21(3222312311322312311321xxxxxxx

故0)()(21xfxf 得证

补：讨论函数22)(xxaxf的单调性)10(a

解：设1a时，对任Rx，022xxa，设121xx 2 / 12 2112222212)()(xxxxaxfxf，而)](2)[(221212211222xxxxxxxx0

重难点第10讲函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性

10大题型

【命题趋势】

函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点

考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求

参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查

难度较大。

第1天认真研究满分技巧及思考热点题型

【满分技巧】

一、单调性定义的等价形式:

1、函数

xf在区间

ba,上是增函数:

任取

baxx,,

21，且

21xx，都有

0

21xfxf；

任取

baxx,,

21，且

21xx，

0

2121



xxxfxf

；

任取

baxx,,

21，且

21xx，

0

2121xfxfxx；

任取

baxx,,

21，且

21xx，

0

2121



xfxfxx

.

2、函数

xf在区间

ba,上是减函数:

任取

baxx,,

21，且

21xx，都有

0

21xfxf；任取

baxx,,

21，且

21xx，

0

2121



xxxfxf

；

任取

baxx,,

21，且

21xx，

0

2121xfxfxx；

任取

baxx,,

21，且

21xx，

0

2121



xfxfxx

.

二、判断函数奇偶性的常用方法

1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇

函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()fx与()fx

之一是否相等.

2、验证法：在判断()fx与()fx的关系时，只需验证()fx()fx=0及

()

1

()fx

fx

是否成立.

3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y轴）对称.

4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇

函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是

奇函数.