高中数学必修二 圆与圆的位置关系 答案解析版
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第 1 页 4.2.2 圆与圆的位置关系
（时间90分钟，满分120分）
一、选择题（每小题5分，共50分）
1.圆C1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系是（ ）
A.外离 B.相交 C.内切 D.外切
【解析】圆C1的圆心是C1(-2,2),半径r1=1,
圆C2的圆心是C2(2,5),半径r2=4,
则圆心距|C1C2|=5.
因为|C1C2|=r1+r2,所以两圆外切.
【答案】D
2.圆C1:x2+y2+4x+8y-5=0与圆C2:x2+y2+4x+4y-1=0的位置关系为（ ）
A.相交 B.外切 C.内切 D.外离
【解析】由已知,得C1(-2,-4),r1=5,C2(-2,-2),r2=3,
则d=|C1C2|=2,所以d=|r1-r2|.故两圆内切.
【答案】C
3.已知圆A与圆B相切,圆心距为10 cm,其中圆A的半径为4 cm,则圆B的半径为（ ）
A.6 cm或14 cm B.10 cm C.14 cm D.无解
【解析】令圆A、圆B的半径分别为r1,r2,
当两圆外切时,r1+r2=10,所以r2=10-r1=10-4=6;
当两圆内切时,|r1-r2|=10,即|4-r2|=10,r2=14或r2=-6(舍),
即圆B的半径为6 cm或14 cm.
【答案】A
4.已知圆O1的方程为x2+y2=4,圆O2的方程为(x-a)2+y2=1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是（ ）
A.{1,-1} B.{3,-3} C.{1,-1,3,-3} D.{5,-5,3,-3}
【解析】因为两个圆有且只有一个公共点,所以两个圆内切或外切.当两圆内切时,|a|=1;
当两圆外切时,|a|=3,即实数a的取值集合是{1,-1,3,-3}.故选C.
【答案】C
5.圆x2+y2+4x-4y+7=0与圆x2+y2-4x+10y+13=0的公切线的条数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】两圆的圆心分别为C1(-2,2),C2(2,-5),则两圆的圆心距22222565d,
又半径分别为r1=1,r2=4,则d>r1+r2,即两圆外离,因此它们有4条公切线.
【答案】D
6.已知以C(4,-3)为圆心的圆与圆O:x2+y2=1相切,则圆C的方程为（ ）
A.(x-4)2+(y+3)2=16 B.(x+4)2+(y-3)2=36
C.(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36 D.(x+4)2+(y-3)2=16或(x+4)2+(y-3)2=36
【解析】设所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0).
因为圆C与圆O相切,所以|r-1|=5或r+1=5,
解得r=6或r=4(负值舍去).
故所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36.
【答案】C 第 2 页 7.圆C1:(x+1)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+2)2+(y+3)2=1的位置关系是（ ）
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
【解析】圆心距2221322d,两圆半径的和为2+1=3,
两圆半径之差的绝对值为1,1212rrdrr,所以两圆的位置关系是相交.
【答案】C
8.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+ay-2=0的公共弦的长度为23,则常数a的值为（ ）
A.2 B.2 C.-2 D.4
【解析】两圆方程左右两边分别相减得公共弦所在直线的方程为ay+2=0.由题意知0a.
圆x2+y2=4的圆心到直线ay+2=0的距离为2a,
又公共弦长为23,所以242324a,解得2a.
【答案】A
9.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得90APB,则m的最大值为（ ）
A.7 B.6 C.5 D.4
【解析】因为A(-m,0),B(m,0)(m>0),所以使90APB的点P在以线段AB为直径的圆上,
该圆的圆心为O(0,0),半径为m.而圆C的圆心为C(3,4),半径为1.
由题意知点P在圆C上,故两圆有公共点.所以两圆的位置关系为外切、相交或内切,
故11mCOm,即151mm,解得46m.所以m的最大值为6.故选B.
【答案】B
★10.若圆(x-a)2+(y-a)2=4上,总存在不同的两点到原点的距离等于1,则实数a的取值范围是（
）
A.232,22 B.322,22 C.322232,,2222U D.22,22
【解析】圆(x-a)2+(y-a)2=4的圆心C(a,a),半径r=2,
到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆,
这个圆的圆心是原点O,半径R=1,则这两个圆相交,圆心距222daaa,
则|r-R|
所以32222a或23222a.
【答案】C
二、填空题（每小题5分，共20分）
11.圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是 .
【解析】两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0.
【答案】4x+3y-2=0
12.若圆C1:(x-3)2+(y-4)2=16与圆C2:x2+y2=m(m>0)内切,则实数m= .
【解析】圆心距2203045d,由题意得两圆半径差的绝对值45m, 第 3 页 解得m=81.
【答案】81
13.已知圆O:x2+y2=25和圆C:x2+y2-4x-2y-20=0相交于A,B两点,则公共弦AB的长为 .
【解析】两圆方程相减得弦AB所在的直线方程为4x+2y-5=0.
圆x2+y2=25的圆心到直线AB的距离55220d.
故公共弦AB的长为2252225954ABrd.
【答案】95
14.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是 .
【解析】因为点A(a,b)在圆x2+y2=4上,所以a2+b2=4.
又圆x2+(y-b)2=1的圆心C1(0,b),半径r1=1,
圆(x-a)2+y2=1的圆心C2(a,0),半径r2=1,
则221242dCCab,
所以d=r1+r2.所以两圆外切.
【答案】外切
三、解答题（15-17每小题12分，18题14分，共50分）
15.求与圆O:x2+y2=1外切,切点为13,22P,半径为2的圆的方程.
【解析】设所求圆的圆心为C(a,b),则所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=4.
因为两圆外切,切点为13,22P,所以|OC|=r1+r2=1+2=3,|CP|=2.
所以2222913422abab, 解得32332ab.
所以圆心C的坐标为333,22,
所求圆的方程为22333422xy.
16.求和圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点(4,-1)且半径为1的圆的方程.
【解析】设所求圆的圆心为(a,b),则22411ab. ①
若两圆外切,则有2221123ab. ②
由①②,解得5,1ab,所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.
若两圆内切,则有2221211ab. ③
由①③,解得3,1ab,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.
综上,可知所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.
17.一动圆与圆C1:x2+y2+6x+8=0外切,与圆C2:x2+y2-6x+8=0内切,求动圆圆心的轨迹方程. 第 4 页 【解析】圆C1:(x+3)2+y2=1,所以圆心为(-3,0),半径r1=1;
圆C2:(x-3)2+y2=1,所以圆心为(3,0),半径r2=1.
设动圆圆心为(x,y),半径为r,由题意得
2231xyr,2231xyr,
所以2222332xyxy,
化简并整理,得8x2-y2=8(1x).
所以动圆圆心的轨迹方程是8x2-y2=8(1x).
★（附加题）18.圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心O2(2,1).
(1)若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程;
(2)若圆O2与圆O1交于A,B两点,且22AB,求圆O2的方程.
【解析】(1)设圆O1的半径为r1,圆O2的半径为r2.
因为两圆外切,所以|O1O2|=r1+r2,r2=|O1O2|-r1=2(21),
故圆O2的方程是(x-2)2+(y-1)2=4(21)2.
(2)设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=22r.
因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,
将两圆的方程相减,
即得两圆公共弦AB所在直线的方程224480xyr, ①
作O1H⊥AB,则|AH|=12|AB|=2,O1H=2,
由圆心O1(0,-1)到直线①的距离得2212242r,得224r或2220r,
故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.
