2020中考数学解直角三角形专题复习(含解析)
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解直角三角形一.选择题
1. （2019?江苏苏州？ 3分）如图，小亮为了测量校园里教学楼 AB的高度，将测角仪 CD竖直放置在与 教学楼水平距离为18、，13 m的地面上，若测角仪的高度为 1.5 m ,测得教学楼的顶部 A处的仰角为30°,
则教学楼的高度是（）
A. 55.5 m B . 54
m
A C. 19.5 m D . 18
m
D1，30。
C B
【分析】考察30°角的三角函数值，中等偏易题目
【解答】过D作DE AB交AB于E ,
DE BC 18.3
在 RtVADE 中，tan30
AE 18 3 — 18m 3
AB 18 1.5 19.5m
故选C AE
DE
D| 30
C
2. （2019?浙江嘉兴？3分）如图，已知。O上三点A, B, C,半径OC = 1, /ABC = 30 ,切线PA交OC 2
【分析】连接OA,根据圆周角定理求出/ AOP,根据切线的性质求出/ OAP = 90° ,解直角三角形求出
AP即可.
【解答】解：连接OA,
. zABC=30° ,
. zAOC=2ZABC=60° ,
••・过点A作。O的切线交OC的延长线于点P,
. .zOAP = 90° ,
OA=OC=1,
. AP= OAtan 60 °Tx百匹，
故选：B.
【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点， 能熟记切线的性质是解此题的
关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径.
3. （2019?浙江名g兴？4分）如图1,长、宽均为3,高为8的长方体容器,
水，水面高为6,绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图
【分析】设DE=x,则AD = 8-x,由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出
理求出CD,过点C作CF, BG于F,由△CDEs/BCF的比例线段求得结果即可.
解得：x= 4, (8 x+8 ) X3X3 =3 X3 X6 放置在水平桌面上，里面盛有
2是此时的示意图，则图
DE,再由勾股定
【解答】解：过点 C作CF± BG于F,如图所示:
根据题意得: 3
. DE= 4,4
,.士=90 ° ,
由勾股定理得： CD=JDE'+CE 纣二5 . zBCE= /DCF=90° ,
. zDCE=/BCF,
.zDEC=ZBFC= 90。，
WDEs ZBCF,
CE CD
CF CB
故选：A.
【点评】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长 方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键.
4 (2019 ?江苏泰州？ 10分)某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区 AC的坡度i为1 : 2,顶端C离 水平地面AB的高度为10 m,从顶棚的D处看E处的仰角a= 18°30',竖直的立杆上C.D两点间的距 离为4m, E处到观众区底端 A处的水平距离 AF为3m.求：
(1)观众区的水平宽度 AB；
(2)顶棚的E处离地面的高度 EF. (sin18°30‘ 0.32 ,
(2)作CM，EF于M, DNLEF于N,根据正切的定义求出 EN,结合图形计算即可.
【解答】解：(1);.观众区AC的坡度i为1： 2,顶端C离水平地面 AB的高度为10m,
. AB = 2BC=20 (m),
答：观众区的水平宽度 AB为20 m；
(2)作 CMLEF 于 M , DNLEF于 N,
则四边形MFBC.MCDN为矩形,
..MF = BC=10, MN =CD=4, DN=MC = BF=23,
贝U EN= DN ?tan /EDN =7.59 ,
EF= EN+MN + MF =7.59+4+10 -21.6 (m), 答：顶棚的E处离地面的高度 EF约为21.6m. tanl8°30' 0.33,结果精确到 0.1m)
【分析】(1)根据坡度的概念计算;
在 RtAEND 中，tan/EDN 5
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度 的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
5. （2019?湖南长沙？3分）如图，一艘轮船从位于灯塔 C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A
出发，沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A
D. (30+30 nmile
【分析】过点C作CDXAB,则在RtMCD中易得AD
AB的长.
【解答】解：过C作CDLAB于D点,
. zACD = 30° , zBCD= 45 ° ,AC=60.L/Q
. CD=AC?cos/ACD= 60
2
在 RtMCB 中，. ZBCD = ZB=45° ,
..CD=BD=30 百，
. AB = AD+BD = 30+30 Vj.
答：此时轮船所在的 B处与灯塔P的距离是（30+30寸5）nmile .
故选：D. B. 60nmile
的长，再在直角^ BCD中求出BD,相加可得
= 30^3. C. 120
nmile
在 RtMCD 中，cos ZACD 6
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题， 求三角形的边或高的问题一般可以转化为 解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线.
（2019?湖南长沙？ 3分）如图，4ABC中，AB = AC=10, tanA=2, BE，AC于点E, D是线段BE上
A. 2/5 B. 4诉 C. 5-/3 D. 10
【分析】如图，作 DH XAB于H , CM ±AB于M .由tanA =常=2,设AE=a, BE= 2a,利用勾股 定理构建方程求出 a,再证明DH=[^BD,推出CD+答BD=CD+DH ,由垂线段最短即可解决问 题.
【解答】解：如图，作 DHLAB于H, CM，AB于M.
..WBE = 90
则有：100 = a2+4 a2,
.•.a2= 20 ,
. .a=2 J后或2（舍弃），
- BE= 2a = 4M &, 6.
-.tanA = BE
AE =2 设 AE=a, BE= 2a, 的一个动点，则 CD+乜$BD的最小值是（ ）
BEX AC, 7
AB = AC, BE，AC, CM，AC,
CM = BE= 4/5 （等腰三角形两腰上的高相等））
. zDBH = /ABE, /BHD =/BEA,
. sinZDBH =坦=例_=匹，
ED AB 5
.•.DH = _yiBD,
：CD+^_BD = CD+DH,
. CD+ DH >CM ,
：CD+左 BD>4听，
：CD+答BD的最小值为4-75.
故选：B.
【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用 辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.
10.
二.填空题
1. （2019?浙江金华？4分）图2.图3是某公共汽车双开门的俯视示意图， ME, EF, FN是门轴的滑动轨
道，/E= /F=90 ° ,两门AB, CD的门轴A, B, C, D都在滑动轨道上.两门关闭时（图 2）, A, D分别
在E, F处，门缝忽略不计（即 B, C重合）；两门同时开启，A, D分别沿E-M, F-N的方向匀速滑动，
带动B, C滑动；B到达E时，C恰好到达F,此时两门完全开启。已知 AB=50cm, CD=40 cm .
(1)如图 3,当/ABE=30 ° 时，BC=cm .
（2）在（1）的基础上，当 A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为 _______________ cm2
【答案】 （1 ） 90-45亚
(2) 2256
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：(1) ..AB=50cm, CD=40 cm , EF=AD = AB+ CD=50+40=90 (cm),
. &BE=30
同理可得：CF=20
(2 )作AGXFN,连结AD,如图,. cos
30
BE。BE
=.IB
BC=EFBE-CF=90-25 -20 =90-45 枢(cm); Mt y
圈工 旭3 8
依题可得：AE=25+15=40 （cm）,
,. AB=50 ,
. BE=30 ,
DF=32 , CF=24 ,
S 四边形 ABCD= S 矩形 AEFG- S4AEB— S/CFD — S/ADG ,
=3600-600-384-360 =2256.
故答案为：90-45 6, 2256.
【分析】（1）根据题意求得 EF=AD=90cm,根据锐角三角函数余弦定义求得 BE=25 收，
同理可得：CF=20 6，由BC=EF-BECF即可求得答案.（2）作AG，FN ,连结AD ,根据题意可得
AE=25+15=40 cm,由勾股定理得 BE=30 ,由锐角三角函数正弦、余弦定义可求得 DF=32 , CF=24 ,由
S四边形ABCD = S矩形AEFG- SZAEB- SZCFD-S/ADG ,代入数据即可求得答案.
2. （2019?浙江宁波？ 4分）如图，某海防哨所 O发现在它的西北方向，距离哨所 400米的A处有一艘船
向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东 60 °方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离 OB约
为456 米.（精确到1米，参考数据： 血F.414，心F.732 ）
/匕
【分析】通过解直角△ OAC求得OC的长度，然后通过解直角^ OBC求得OB的长度即可.
【解答】解：如图，设线段 AB交y轴于C,
在直角4OAC 中，/ACO = /CAO = 45° ,则AC=OC.
•. OA = 400 米,
：OC = OA?COS45I00><=200 2
;在直角AOBC中，/COB”
0C | W2
OB=，cos60Q =上
故答案是：456 .
』 C B 又「CD=40 ,
• .sin
=40 X90- X30 X40- 3x24 X32- 1x8X90,
,OC=200 6米,
400^2-456 （米） 3 CF
cos/ABE= 5 = cn
