２ＯＯ８年第４期
作 ＢＣＯ的平分线，交 轴于点Ｍ，交Ｙ轴于
点 ，作△ＯＢＣ的 ＢＣＯ外角的平分线，交Ｙ轴于
点 ，反向延长交 轴于点眠．
点 、 、帆、眠就是到直线ＯＢ、ＯＣ、ＢＣ距
离相等的点．
可证△ＯＢＭ２、△ＢＣＭ４、△０ 均为等边三
角形．则
① ＝譬叩＝ ，故Ｍ１（一学，０）．
②点 与点Ａ重合，故 （０，２）；
③点飓与点Ａ关于 轴对称，故Ｍ３（０，一２）；
④设抛物线的对称轴与 轴的交点为Ⅳ，则
眠Ⅳ： ： ．
又ＯＮ＝Ｍ４Ｎ，所以，尬（一２４３，０）．
综上，到直线ＯＢ、ＯＣ、ＢＣ距离相等的点的坐标为
（一 ，ｏ）、 （ｏ，２）、坞（０，一２）、眠（一 ，０）．
说明：在几何与二次函数综合题中，求满足特殊 条件的点的坐标时，直接用代数方程的方法会非常
困难．一般地，这类题目所给的几何图形都是特殊图
形，可以充分利用他们的特殊几何性质求解．
练习题
１．已知抛物线Ｙ：（ｍ＋ｊ） 一２ｍｘ＋ｍ（ｍ为
实数）经过点Ａ（ｊ，１），顶点为Ｐ，且与 轴有两个不
同的交点．
（１）判断点尸是否在线段 上（０为坐标原 点），并说明理由；
（２）设抛物线与 轴的两个交点的横坐标分别
为 Ｉ、 ２，且 Ｉ＜Ｘ２．是否存在实数ｍ，使 Ｉ＜ｍ＜
：？若存在，求出ｍ的取值范围；若不存在，请说明
理由． ２．已知抛物线Ｙ＝口（ —ｔ．１） ＋ｔ２（口，ｔ是常‘
数，口≠Ｏ，ｆ≠Ｏ）的顶点是Ａ，抛物线Ｙ： 一２ｘ＋１
的顶点是曰．
（１）判断点Ａ是否在抛物线Ｙ： 一２ｘ＋１上，
为什么？
（２）若抛物线Ｙ：口（ —ｔ—１） ＋ｔ 经过点曰．
①求０的值；
②这条抛物线与 轴的两个交点和它的顶点Ａ
能否构成直角三角形？若能，求出ｔ的值；若不能， 请说明理由．
３．已知抛物线Ｙ： １ 一百３懈一２ｍ交 轴于
Ａ（ Ｉ，０）、Ｂ（ ２，０），交Ｙ轴于点ｃ，且 ｌ＜０＜ ２，
（ａｏ＋ｏＢ） ＝１２０Ｃ＋１．
２００６年第４期 Ｊ５
练习题
１．在Ｒｌ△ＡＢＣ中，已知 ：９０￣，ｎ、ｂ、ｃ分别 是 Ａ、 曰， Ｇ的对边，ｔａｎ Ａ、ｔａｎ Ｂ是一元 次方
程 ！一 ＋１２ｋ！一３７ｋ＋２６＝０的两个实数根．
（１）求 的值；
（２）当ｃ：ｌ０，Ｈ ｎ＞ｂ时，求 ，４ Ｇ的周长．
２．如图６．已知
直径为ｌ０的。 与 轴交于Ａ．曰两点，
圆心Ｍ的坐标为（３， ｏ）．（三） 与＇，轴的负
半轴交于点Ｃ．抛物
线，，＝ ｘ２＋ ＋ｃ
经过点Ｃ，且与 轴 交于Ｄ、 两点，点Ａ Ｊ ｌ
＼ ，， 一
Ａ ｜ 》Ｂ） ｜
Ｃ
【刳６
在此抛物线的对称轴上．
（１）求此抛物线的解析式；
（２）在 轴的正半轴上是否存在点Ｐ，使以点
Ｐ、Ｏ、Ｃ为顶点的三角形与△ＡＯＣ相似？如果存 在，求出点Ｐ的坐标；如果不存在，请说明理由；
（３）判断过Ｄ、Ｃ两点的直线与。肘的位置关 系，并说明理由． ３．如图７，在Ｒｌ△ＡＢＣ
中， Ａ（ ：９０￣，，４ ：ｌ０，ＢＣ
＝８，点Ｄ在ＢＣ上运动（不运 动到点Ｂ、Ｃ），ＤＥ∥ＣＡ，交
，４ 于点 ．设ＢＤ： ， ＡＤＥ的面积为’，．
（１）求Ｙ关于 的函数
关系式及自变量 的取值范
围； Ｃ Ｄ ８
Ｉ｛５ｌ ７
（２）何时△ＡＤＥ的面积最大？最大面积是多
少？ ４．一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每 份０．７０元．销售价是每份ｌ元．卖不掉的报纸还可
以以０．２０元的价格退回报社，在一个月内（以３０天 计算）有２０天每天可以卖出１００份，其余ｌ０天每天
只能卖出印份，但每天报亭从报社订购的份数必须 相同．若以报亭每天从报社订购的报纸份数为自变
量 ．每月所获得的利润为函数ｙ， （１）写出Ｙ与 之间的函数关系式，并指出自变
量 的取值范围； （２）报亭应该每天从报社订购多少份报纸．才能 使每月获得的利润最大？最大利润是多少？
参考答案或提示
１．（Ｉ）由 Ｃ：９０￣，ｔａｎ Ａ・ｔａｎ Ｂ＝Ｉ，有１２ｋ 一 ３７ｋ＋２６：Ｉ．解得 Ｉ： ， ！：Ｉ．仙当 ：Ｉ时．△＜
几何综合题、几何与代数综合题姓名
一、应用题
1.在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF
绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；
（Ⅱ）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；
（Ⅲ）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．
2.如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．
（1）①∠MPN=_________；
②求证：PM+PN=3a；
（2）如图2，点O是AD的中点，连接OM、ON，求证：OM=ON；
（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形？并说明理由．
3.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．
（1）求MP的值；
（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）
4.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B
作BD⊥y轴于点D，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣12x+36=0的两根，BC=4，∠BAC=45°．
（1）求点A，C的坐标；
（2）反比例函数
y=的图象经过点B，求k的值；
（3）在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似？若存在，请写出满足
条件的点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5.如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直
1
几何综合题
【题型特征】 以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.
【解题策略】 解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等.
【小结】 几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决.
【提醒】 几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势.
为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题.
类型一 以三角形为背景的综合题
典例1 (2014·江苏泰州)如图,BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在BC,AB上,且DE∥AB,EF∥AC.
(1)求证:BE=AF;
(2)若∠ABC=60°,BD=6,求四边形ADEF的面积.
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【技法梳理】 (1)由DE∥AB,EF∥AC,可证得四边形ADEF是平行四边形,∠ABD=∠BDE,又由BD是△ABC的角平分线,易得△BDE是等腰三角形,即可证得结论;
