高中数学基础知识归类
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高中数学基础知识归类——献给2012年高三(理科)考生
一.集合与简易逻辑
1.注意区分集合中元素的形式.如：{|lg}xyx—函数的定义域；{|lg}yyx—函数的值域；
{(,)|lg}xyyx—函数图象上的点集.
2.集合的性质： ①任何一个集合A是它本身的子集,记为AA.
②空集是任何集合的子集,记为A.
③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为AB,在讨论的时候不要遗忘了A的情况
如：}012|{2xaxxA,如果AR,求a的取值.(答：0a)
④()UUUCABCACB,()UUUCABCACB；ABCABC（）（）；
ABCABC（）（）.
⑤ABAABBUUABCBCAUACBUCABR.
⑥AB元素的个数：()()cardABcardAcardBcardAB.
⑦含n个元素的集合的子集个数为2n；真子集(非空子集)个数为21n；非空真子集个数为22n.
3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
如：已知函数12)2(24)(22ppxpxxf在区间]1,1[上至少存在一个实数c,使
0)(cf,求实数p的取值范围.(答：32(3,))
4.原命题: pq；逆命题: qp；否命题: pq；逆否命题: qp；互为逆否的两
个命题是等价的.如：“sinsin”是“”的
条件.(答：充分非必要条件)
5.若pq且qp,则p是q的充分非必要条件(或q是p的必要非充分条件).
6.注意命题pq的否定与它的否命题的区别: 命题pq的否定是pq；否命题是pq.
命题“p或q”的否定是“p且q”；“p且q”的否定是“p或q”.
如：“若a和b都是偶数，则ba是偶数”的否命题是“若a和b不都是偶数,则ba是奇数”
否定是“若a和b都是偶数,则ba是奇数”.
7.常见结论的否定形式
二.函数 1.①映射f:AB是：⑴ “一对一或多对一”的对应；⑵集合A中的元素必有象且A中不
同元素在B中可以有相同的象；集合B中的元素不一定有原象(即象集B).
②一一映射f:AB： ⑴“一对一”的对应；⑵A中不同元素的象必不同,B中元素都有原象.
2.函数f: AB是特殊的映射.特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴
的垂线至多有一个公共点,但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.
3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.
4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母0;偶次根式被开方数非负;对数真数0,底数0
且1；零指数幂的底数0)；实际问题有意义；若()fx定义域为[,]ab,复合函数[()]fgx定义
域由()agxb解出；若[()]fgx定义域为[,]ab,则()fx定义域相当于[,]xab时()gx的值域.
5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元的范围).
④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；
⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；
⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).
6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑵代换(配凑)法；
⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于()fx及另外一个函数的方程组。
7.函数的奇偶性和单调性
⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；
⑵若()fx是偶函数,那么()()(||)fxfxfx；定义域含零的奇函数必过原点((0)0f)；
⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：()()0fxfx或()()1(()0)fxfxfx；
⑷复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个
(如()0fx定义域关于原点对称即可).
⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；
⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等.
⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域）
如：函数122log(2)yxx的单调递增区间是_____________.(答：(1,2))
8.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移---------“左加右减”（注意是针对x而言）；
上下平移----“上加下减”(注意是针对()fx而言).⑵翻折变换：()|()|fxfx；()(||)fxfx.
⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.
②证明图像1C与2C的对称性,即证1C上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C上,反之亦然.
③函数()yfx与()yfx的图像关于直线0x(y轴)对称；函数()yfx与函数
()yfx的图像关于直线0y(x轴)对称； 原结论 否定 原结论 否定
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有1n个
小于 不小于 至多有n个 至少有1n个
对所有x,成立 存在某x,不成立 p或q p且q
对任何x,不成立 存在某x,成立 p且q p或q 蚂蚁文库
④若函数()yfx对xR时，()()faxfax或()(2)fxfax恒成立,则()yfx图像关
于直线xa对称；
⑤若()yfx对xR时,()()faxfbx恒成立,则()yfx图像关于直线2abx对称；
⑥函数()yfax,()yfbx的图像关于直线2bax对称(由axbx确定)；
⑦函数()yfxa与()yfbx的图像关于直线2abx对称；
⑧函数()yfx,()yAfx的图像关于直线2Ay对称(由()()2fxAfxy确定)；
⑨函数()yfx与()yfx的图像关于原点成中心对称；函数()yfx,()ynfmx
的图像关于点22(,)mn对称；
⑩函数()yfx与函数1()yfx的图像关于直线yx对称；曲线1C：(,)0fxy,关于
yxa,yxa的对称曲线2C的方程为(,)0fyaxa(或(,)0fyaxa；
曲线1C：(,)0fxy关于点(,)ab的对称曲线2C方程为：(2,2)0faxby.
9.函数的周期性：⑴若()yfx对xR时()()fxafxa恒成立,则 ()fx的周期为2||a；
⑵若()yfx是偶函数,其图像又关于直线xa对称,则()fx的周期为2||a；
⑶若()yfx奇函数,其图像又关于直线xa对称,则()fx的周期为4||a；
⑷若()yfx关于点(,0)a,(,0)b对称,则()fx的周期为2||ab；
⑸()yfx的图象关于直线xa,()xbab对称,则函数()yfx的周期为2||ab；
⑹()yfx对xR时,()()fxafx或1()()fxfxa,则()yfx的周期为2||a；
10.对数：⑴loglognnaabb(0,1,0,)aabnR；⑵对数恒等式log(0,1,0)aNaNaaN；
⑶log()loglog;logloglog;loglognaaaaaaaaMNMNMNMNMnM；
1loglognaaMnM；⑷对数换底公式logloglogbbaNaN(0,1,0,1)aabb；
推论：121123logloglog1loglogloglognabcaaananbcaaaaa.
(以上120,0,0,1,0,1,0,1,,,0nMNaabbccaaa且12,,naaa均不等于1)
11.方程()kfx有解kD(D为()fx的值域)；()afx恒成立[()]afx最大值,
()afx恒成立[()]afx最小值.
12.恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)； ⑵转化为一元二次方程根的分布问题；
13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：
一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；
14.二次函数解析式的三种形式： ①一般式：2()(0)fxaxbxca；②顶点式： 2()()(0)fxaxhka； ③零点式：12()()()(0)fxaxxxxa.
15.一元二次方程实根分布:先画图再研究0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;
16.复合函数：⑴复合函数定义域求法：若()fx的定义域为[,]ab,其复合函数[()]fgx的定义域可由
不等式()agxb解出；若[()]fgx的定义域为[,]ab,求()fx的定义域，相当于[,]xab时,求
()gx的值域；⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定.
17.对于反函数,应掌握以下一些结论：⑴定义域上的单调函数必有反函数；⑵奇函数的反函数
也是奇函数；⑶定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；⑷周期函数不存在反函数；
⑸互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；⑹()yfx与1()yfx互为
反函数,设()fx的定义域为A,值域为B,则有1[()]()ffxxxB,1[()]()ffxxxA.
18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：
()()()0fugxuhx(或0)()aub()0()0fafb(或()0()0fafb)；
19.函数(0,)axbcxdycadbc的图像是双曲线：①两渐近线分别直线dcx(由分母为零确定)和
直线acy(由分子、分母中x的系数确定)；②对称中心是点(,)dacc；③反函数为bdxcxay；
20.函数(0,0)bxyaxab：增区间为(,],[,)bbaa,减区间为,,[,0),(0]bbaa.
如：已知函数12()axxfx在区间(2,)上为增函数,则实数a的取值范围是_____(答：12(,)).
