高中数学知识点归纳

高中数学知识点归纳

一、集合与函数概念。

1. 集合。

- 集合的定义：一些元素组成的总体。

- 集合的表示方法：列举法（如{1,2,3}）、描述法（如{xx > 0}）。

- 集合间的关系：

- 子集：若集合A中的元素都在集合B中，则A⊆ B。

- 真子集：A⊆ B且A≠ B，则A⊂neqq B。

- 集合相等：A = B当且仅当A⊆ B且B⊆ A。

- 集合的运算：

- 交集：A∩ B={xx∈ A且x∈ B}。

- 并集：A∪ B ={xx∈ A或x∈ B}。

- 补集：设U为全集，A⊆ U，则∁_UA={xx∈ U且x∉ A}。

2. 函数及其表示。

- 函数的概念：设A,B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→

B为从集合A到集合B的一个函数，记作y = f(x),x∈ A。

- 函数的三要素：定义域、值域、对应关系。

- 函数的表示方法：解析法（如y = x^2+1）、图象法、列表法。

3. 函数的基本性质。 - 单调性：

- 增函数：设函数y = f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量的值x_1,x_2，当x_1时，都有f(x_1)，那么就说函数y = f(x)在区间D上是增函数。

- 减函数：当x_1时，都有f(x_1)>f(x_2)，则函数y = f(x)在区间D上是减函数。

- 奇偶性：

- 偶函数：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

- 奇函数：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= - f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

二、基本初等函数（Ⅰ）

1. 指数函数。

- 指数与指数幂的运算：

- 根式：sqrt[n]{a^m}=a^(m)/(n)(a > 0,m,n∈ N^*,n > 1)。

- 有理数指数幂的运算性质：a^r· a^s=a^r + s，(a^r)^s=a^rs，(ab)^r=a^rb^r(a

> 0,b > 0,r,s∈ Q)。

- 指数函数及其性质：

- 指数函数的定义：函数y = a^x(a > 0,a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量。

- 性质：当a > 1时，函数在R上单调递增；当0 < a < 1时，函数在R上单调递减，且指数函数的图象恒过点(0,1)。 2. 对数函数。

- 对数与对数运算：

- 对数的定义：若a^x=N(a > 0,a≠1)，则x=log_aN。

- 对数的运算性质：log_a(MN)=log_aM+log_aN，log_a(M)/(N)=log_aM-log_aN，log_aM^n=nlog_aM(a > 0,a≠1,M > 0,N > 0)。

- 换底公式：log_ab=frac{log_cb}{log_ca}(a > 0,a≠1,c > 0,c≠1)。

- 对数函数及其性质：

- 对数函数的定义：函数y=log_ax(a > 0,a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量。

- 性质：当a > 1时，函数在(0,+∞)上单调递增；当0 < a < 1时，函数在(0,+∞)上单调递减，且对数函数的图象恒过点(1,0)。

3. 幂函数。

- 幂函数的定义：一般地，函数y = x^α(α∈ R)叫做幂函数。

- 幂函数的性质：当α>0时，函数在[0,+∞)上单调递增；当α < 0时，函数在(0,+∞)上单调递减，不同的α值对应的幂函数图象具有不同的形状。

三、函数的应用。

1. 函数与方程。

- 方程的根与函数的零点：函数y = f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y = f(x)的图象与x轴交点的横坐标。

- 零点存在性定理：如果函数y = f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)· f(b)<0，那么函数y = f(x)在区间(a,b)内有零点。

2. 函数模型及其应用。 - 几类不同增长的函数模型：一次函数、指数函数、对数函数在增长速度上有很大差异，指数函数增长最快，对数函数增长最慢。

- 函数模型的应用实例：根据实际问题建立函数模型，解决如利润最大、成本最低等问题。

四、空间几何体。

1. 空间几何体的结构。

- 棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。

- 棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形。

- 棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。

- 圆柱：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。

- 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体。

- 圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分。

- 球：以半圆的直径所在直线为轴旋转，半圆面旋转一周形成的几何体。

2. 空间几何体的三视图和直观图。

- 三视图：主视图、左视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、左方、上方观察几何体得到的正投影图。

- 直观图：斜二测画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半。

3. 空间几何体的表面积与体积。 - 表面积：

- 棱柱、棱锥、棱台的表面积是各个面的面积之和。

- 圆柱的表面积S = 2π r(r + l)（r为底面半径，l为母线长）。

- 圆锥的表面积S=π r(r + l)。

- 圆台的表面积S=π(r^2+R^2+rl + Rl)（r为上底面半径，R为下底面半径，l为母线长）。

- 球的表面积S = 4π R^2（R为球的半径）。

- 体积：

- 棱柱V=Sh（S为底面积，h为高）。

- 棱锥V=(1)/(3)Sh。

- 棱台V=(1)/(3)h(S+√(SS')+S')（h为高，S为下底面积，S'为上底面积）。

- 圆柱V=π r^2h。

- 圆锥V=(1)/(3)π r^2h。

- 圆台V=(1)/(3)π h(r^2+rR+R^2)。

- 球V=(4)/(3)π R^3。

五、点、直线、平面之间的位置关系。

1. 空间点、直线、平面之间的位置关系。

- 平面的基本性质：

- 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

- 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 - 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

- 空间中直线与直线的位置关系：平行、相交、异面。

- 空间中直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。

- 空间中平面与平面的位置关系：平行、相交。

2. 直线、平面平行的判定及其性质。

- 直线与平面平行的判定：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

- 直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

- 平面与平面平行的判定：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

- 平面与平面平行的性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

3. 直线、平面垂直的判定及其性质。

- 直线与平面垂直的判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

- 直线与平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。

- 平面与平面垂直的判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直。

- 平面与平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 六、直线与方程。

1. 直线的倾斜角与斜率。

- 倾斜角：直线l向上的方向与x轴正方向所成的最小正角α，α∈[0,π)。

- 斜率：k = tanα(α≠(π)/(2))，经过两点P_1(x_1,y_1)，P_2(x_2,y_2)的直线的斜率k=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x_1≠ x_2)。

2. 直线的方程。

- 点斜式：y - y_1=k(x - x_1)（直线l过点P_1(x_1,y_1)，斜率为k）。

- 斜截式：y = kx + b（k为斜率，b为直线在y轴上的截距）。

- 两点式：frac{y - y_1}{y_2-y_1}=frac{x - x_1}{x_2-x_1}(x_1≠ x_2,y_1≠

y_2)。

- 截距式：(x)/(a)+(y)/(b)=1(a≠0,b≠0)（a为x轴上的截距，b为y轴上的截距）。

- 一般式：Ax + By+C = 0(A,B不同时为0)。

3. 两直线的位置关系。

- 平行：l_1:y = k_1x + b_1，l_2:y = k_2x + b_2，当k_1=k_2且b_1≠ b_2时，l_1∥ l_2；对于l_1:A_1x + B_1y + C_1=0，l_2:A_2x + B_2y + C_2=0，当frac{A_1}{A_2}=frac{B_1}{B_2}≠frac{C_1}{C_2}时，l_1∥ l_2。

- 垂直：l_1:y = k_1x + b_1，l_2:y = k_2x + b_2，当k_1· k_2=- 1时，l_1⊥

l_2；对于l_1:A_1x + B_1y + C_1=0，l_2:A_2x + B_2y + C_2=0，当A_1A_2+B_1B_2=0时，l_1⊥ l_2。

4. 距离公式。 - 两点间距离公式：设P_1(x_1,y_1)，P_2(x_2,y_2)，则d=√((x_2)-x_{1)^2+(y_2-y_1)^2}。

- 点到直线的距离公式：设点P(x_0,y_0)，直线Ax + By + C = 0，则d=frac{|

Ax_0+By_0+C|}{√(A^2)+B^{2}}。

- 两平行线间的距离公式：设l_1:Ax + By + C_1=0，l_2:Ax + By + C_2=0，则d=frac{| C_1-C_2|}{√(A^2)+B^{2}}。

七、圆与方程。

1. 圆的方程。

- 圆的标准方程：(x - a)^2+(y - b)^2=r^2（圆心为(a,b)，半径为r）。

- 圆的一般方程：x^2+y^2+Dx + Ey+F = 0(D^2+E^2-4F>0)，圆心为(-(D)/(2),-(E)/(2))，半径\(r=\frac{1。