2020-2021中考数学综合题专练∶直角三角形的边角关系附详细答案
- 格式：doc
- 大小：1.32 MB
- 文档页数：22
2020-2021中考数学综合题专练∶直角三角形的边角关系附详细答案
一、直角三角形的边角关系
1．已知在平面直角坐标系中，点3,0,3,0,3,8ABC，以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交Ee于点D，连接OD.
（1）求证：直线OD是Ee的切线；
（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交Ee于点G，连接BG：
①当1an7tACF时，求所有F点的坐标 （直接写出）；
②求BGCF的最大值.
【答案】（1）见解析；（2）①143,031F，2(5,0)F；② BGCF的最大值为12.
【解析】
【分析】
（1）连接DE，证明∠EDO=90°即可；
（2）①分“F位于AB上”和“F位于BA的延长线上”结合相似三角形进行求解即可；
②作GMBC于点M，证明1~ANFABC，得12BGCF，从而得解.
【详解】
（1）证明：连接DE，则：
∵BC为直径
∴90BDC
∴90BDA
∵OAOB
∴ODOBOA
∴OBDODB
∵EBED
∴EBDEDB ∴EBDOBDEDBODB
即：EBOEDO
∵CBx轴
∴90EBO
∴90EDO
∴直线OD为Ee的切线.
（2）①如图1，当F位于AB上时：
∵1~ANFABC
∴11NFAFANABBCAC
∴设3ANx，则114,5NFxAFx
∴103CNCAANx
∴141tan1037FNxACFCNx，解得：1031x
∴150531AFx
1504333131OF
即143,031F
如图2，当F位于BA的延长线上时：
∵2~AMFABC
∴设3AMx，则224,5MFxAFx
∴103CMCAAMx
∴241tan1037FMxACFCMx
解得：25x ∴252AFx
2325OF
即2(5,0)F
②如图，作GMBC于点M，
∵BC是直径
∴90CGBCBF
∴~CBFCGB
∴8BGMGMGCFBC
∵MG半径4
∴41882BGMGCF
∴BGCF的最大值为12.
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
2．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD．
（1）求证：△MED∽△BCA；
（2）求证：△AMD≌△CMD；
（3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2=175S1时，求cos∠ABC的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC=57.
【解析】
【分析】
（1）易证∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED∽△BCA；
（2）由∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，可知MB=MC=AM，从而可证明∠AMD=∠CMD，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD；
（3）易证MD=2AB，由（1）可知：△MED∽△BCA，所以2114ACBSMDSABV，所以S△MCB=12S△ACB=2S1，从而可求出S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=25S1，由于1EBDSMESEBV，从而可知52MEEB，设ME=5x，EB=2x，从而可求出AB=14x，BC=72，最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】
（1）∵MD∥BC，
∴∠DME=∠CBA，
∵∠ACB=∠MED=90°，
∴△MED∽△BCA；
（2）∵∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，
∴MB=MC=AM，
∴∠MCB=∠MBC，
∵∠DMB=∠MBC，
∴∠MCB=∠DMB=∠MBC，
∵∠AMD=180°﹣∠DMB， ∠CMD=180°﹣∠MCB﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC，
∴∠AMD=∠CMD，
在△AMD与△CMD中，
MDMDAMDCMDAMCM，
∴△AMD≌△CMD（SAS）；
（3）∵MD=CM，
∴AM=MC=MD=MB，
∴MD=2AB，
由（1）可知：△MED∽△BCA，
∴2114ACBSMDSABV，
∴S△ACB=4S1，
∵CM是△ACB的中线，
∴S△MCB=12S△ACB=2S1，
∴S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=25S1，
∵1EBDSMESEBV，
∴1125SMEEBS，
∴52MEEB，
设ME=5x，EB=2x，
∴MB=7x，
∴AB=2MB=14x，
∵12MDMEABBC，
∴BC=10x，
∴cos∠ABC=105147BCxABx.
【点睛】
本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.
3．某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：3≈1.7，2≈1.4）．
【答案】车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速
【解析】
分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解直角三角形即可.
详解：如图，由题意知∠CAB=75°，∠CAP=45°，∠PBD=60°，
∴∠PAH=∠CAB–∠CAP=30°，
∵∠PHA=∠PHB=90°，PH=50，∴AH=tanPHPAH=5033=503，
∵AC∥BD，∴∠ABD=180°–∠CAB=105°，∴∠PBH=∠ABD–∠PBD=45°，
则PH=BH=50，∴AB=AH+BH=503+50，
∵60千米/时=503米/秒，∴时间t=50350503=3+33≈8.1（秒），
即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速．
点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即实际路程，并进行判断相关的量。
4．水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长和面积．
【答案】故大坝的截面的周长是（634+305+98）米，面积是1470平方米．
【解析】
试题分析：先根据两个坡比求出AE和BF的长，然后利用勾股定理求出AD和BC，再由大坝的截面的周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC，梯形的面积公式可得出答案．
试题解析：∵迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，DE=30m，
∴AE=18米，
在RT△ADE中，AD=22DEAE=634米
∵背水坡坡比为1：2，
∴BF=60米，
在RT△BCF中，BC=22CFBF=305米，
∴周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC=634+10+305+88=（634+305+98）米，
面积=（10+18+10+60）×30÷2=1470（平方米）．
故大坝的截面的周长是（634+305+98）米，面积是1470平方米．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC的延长上，A′D′与CD相交于点E．
（1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图1中阴影部分A′B′CE）的面积；
（2）将△A′B′D′以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△AA′B′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．
【答案】（1）452；（2）详见解析；（3）使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0秒、32 秒、6695 ．
【解析】
【分析】 （1）根据旋转的性质可知B′D′＝BD＝10，CD′＝B′D′﹣BC＝2，由tan∠B′D′A′＝'''''ABCEADCD可求出CE，即可计算△CED′的面积，SABCE＝SABD′﹣SCED′；
（2）分类讨论，当0≤x≤115时和当115＜x≤4时，分别列出函数表达式；
（3）分类讨论，当AB′＝A′B′时；当AA′＝A′B′时；当AB′＝AA′时，根据勾股定理列方程即可．
【详解】
解：（1）∵AB＝6cm，AD＝8cm，
∴BD＝10cm，
根据旋转的性质可知B′D′＝BD＝10cm，CD′＝B′D′﹣BC＝2cm，
∵tan∠B′D′A′＝'''''ABCEADCD
∴682CE
∴CE＝32cm，
∴S ABCE＝SABD′﹣SCED′＝8634522222（cm2）；
（2）①当0≤x＜115时，CD′＝2x+2，CE＝32（x+1），
∴S△CD′E＝32x2+3x+32，
∴y＝12×6×8﹣32x2﹣3x﹣32＝﹣32x2﹣3x+452；
②当115≤x≤4时，B′C＝8﹣2x，CE＝43（8﹣2x）
∴214y8223x＝83x2﹣643x+1283．
（3）①如图1，当AB′＝A′B′时，x＝0秒；
②如图2，当AA′＝A′B′时，A′N＝BM＝BB′+B′M＝2x+185，A′M＝NB＝245，
∵AN2+A′N2＝36，
∴（6﹣245）2+（2x+185）2＝36，
解得：x＝6695，x＝6695（舍去）；
③如图2，当AB′＝AA′时，A′N＝BM＝BB′+B′M＝2x+185，A′M＝NB＝245，
