动点问题探究1

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对于初中几何中“动点问题”的剖析

所谓“动点型问题”是符合《新课标》下中考命题的新特点和新方向，是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目。它的特点是图形中的某个点，按某种规律在运动，在运动中考察我们的几何分析能力和解决问题的能力，发展学生的发散性思维和解题创新能力。当然也使部分学生对此类问题颇感棘手，倍感困惑。

较常见的“动点问题”题型有：一种根据题目所给条件，形成一定的运动规律，顺藤摸瓜，直接找出结论。如求满足条件的点、随动点变化的两变量间的函数关系。如点在直线上运动、点在折线上运动、点在曲线上运动，一个点动、两个点动等。另一种是根据题目所给条件得出结论，问“是否存在这样的条件，能使结论成立，请你给予说明”，以这样的形式出现，这类题在分析时是一般从结论出发，得出已知。

在解决“动点问题”时，学生不要被“动”所迷惑，关键是要了解题目的条件和结论，用动态的眼光去实验去探究，要把运动的点在每一时刻都可以看成是静止的，要“以静制动”， 在动中找出抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，就可以将运动问题转化为不动的问题，即把动态问题，变为静态问题来解。

一、我就常见的一个几何“动点”案例进行剖析： 中学数学 单位：梁平县虎城初中

姓名：唐朝阳 男

电话：53654113 2 图1 A B C D

E F G

H 已知：如图1，在边长为4cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别按A→B，B→C，C→D，D→A的方向同时出发，以1cm/s的速度匀速运动．在运动过程中，设四边形EFGH的面积为Scm2，运动时间为t(s)．问题：

（1）、试证明四边形EFGH是正方形；

（2）、写出S关于t的函数关系式，并求运动几秒钟时，面积最小？最小值是多少？

（3）、是否存在某一时刻t，使四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积比是5：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

（一）、试题的分析：（1）、（2）、（3）题都是动点问题。

要解决第（1）小题先证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，那么就需要先得到AE＝BF＝CG＝DH。而如何得到AE＝BF＝CG＝DH，就必须把点EFGH，，，这四个动点转化为静点。因为这四个点运动的速度相同，运动的时间相等，所以转化为静点后得到AE＝BF＝CG＝DH。

第（2）小题仍然要点E,F,G,H这四个动点转化为静点，然后在直角三角形中用勾股定量或用正方形ABCD的面积减去四个小直角三角形的面积表示出来，最后用二次函数最小值来解决。

第（3）小题是动点问题中的存在型问题，它使试题形式更活泼、新颖，同时还能更好地考查学生的思维能力与探索创新能力，仍然按由“动化静”的思想分析，把它转化成一元二次方程解决即可。

（二）、试题的详细解答：如图2

（1）、∵ 点E,F,G,H在四条边上的运动速度相同 GHBDACEF图2 3 ∴ AE＝BF＝CG＝DH

在正方形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，

且AB＝BC＝CD＝DA

∴EB＝FC＝GD＝HA

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG （S.A.S.）

∴EH＝FE＝GF＝HG

∠AEH＝∠BFE

∴四边形EFGH是菱形。 （四条边相等的四边形是菱形）

又 ∵∠BEF ＋∠BFE＝90°

∴∠BEF＋∠AEH＝90°

∴∠FEH＝180°－（∠BEF＋∠AEH）＝90°

∴四边形EFGH为正方形。（有一个角是直角的菱形是正方形）

（2）、 ∵ 运动时间为t（s），运动速度为1cm/s

∴ AE＝tcm，AH＝(4－t)cm，

方法1： 由（1）知 四边形EFGH为正方形，

∴22222)4(ttAHAEEHS

即8)2(2168222tttS

当2t秒时,S有最小值，最小值是8cm2。

方法2：由（1）知，△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG

∴S△AEH = S△BFE = S△CGF = S△DHG

∴)4(21416ttSSSAEHABCD正方形

即 8)2(2168222tttS

当2t秒时,S有最小值，最小值是8cm2。 4 （3）、存在某一时刻t，使四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积比是5：8.

∵ ABCDSS正方形85

∴ 16858)2(22t

∴ 11t，32t

当1t或3时，四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积的比是5：8。

（三）、题型拓展与变式：

我认为，对动点问题的教学可以启发学生摸索解题途径、寻找解题方法、总结解题规律。同时还可以举一反三，对于学生克服畏难情绪、提高解题能力、优化解题方法、特化创造性思维、吸取科学素养都会起到良好的效果。所以，在上述问题的条件不变的情况下，教师可以根据学生的具体情况将原题的结论进行改编、拓展。

变式1：在试题的基础上还可以追加一问：若将条件“以1cm/s的速度匀速运动”改为“点E、G以1cm/s的速度匀速运动，点F、H以2cm/s的速度匀速运动。”那么四边形EFGH的面积有最大值或最小值吗？若有，请求出这个值，若没有，请说明理由。

参考答案：7)23(4)(2tSSSSSSDHGCGFBFEAEHABCDEFGH正方形正方形

∴四边形EFGH的面积有最小值，最小值为7，此时23t。

变式2：还提出下面一个问题：在运动过程中，连结EG（如图3）试猜想线段EG一定会经过哪一点，并说明理由。 5 OFGBCADEH

A H D

E

G

B F C

①

参考答案：易证四边形AECG是平行四边形，AC、EG是对角线，所以EG一定经过AC的中点。

变式3：已知，如图①，点E、F、G、H按照AE＝CG，BF＝DH，BF＝nAE（n是正整数）的关系，分别在两邻边长为a，na的矩形ABCD各边上运动，设AE＝x，四边形EFGH的面积为S。

问题Ⅰ：当n＝1，2时，如图②，如图③，观察运动情况，写出四边形EFGH各顶点运动到何位置，使ABCDSS矩形21?

参考答案：（1）当n＝1时，如图②，要使ABCDSS矩形21

则E、F、G、H四点应恰好为各对应边的中点；

当n＝2时，如图③，要使ABCDSS矩形21

仍必须有E、F、G、H为矩形ABCD各边中点。

问题Ⅱ：当n＝3时，如图④，求S与x之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围）探索S随x增大而变化的规律，猜想四边形EFGH各顶点运动到何位置使ABCDSS矩形21? 图3

A

H D A H D

E G E G

B F C B F C

② ③ 6 参考答案：（2）当n＝3时，如图④，

由题意可得：

23)2(622aaxS，

∴2ax， 即点E为AB中点，

同理，点F、G、H也应分别是BC、CD、DA的中点

即 当E、F、G、H运动至矩形ABCD各边中点，有ABCDSS矩形21

问题Ⅲ：当n＝k（k≥1）时，你所得到的规律和猜想是否成立？为什么？

参考答案：（3）当n＝k（k≥1）时，上述规律和猜想是成立的。

理由：2)2(222kaaxkS

当2ax 时，S随x的增大而减小；当2ax 时，S随x的增大而增大。

且当 2ax时，ABCDSkaakaS矩形212122 。

二、命题特点：

以上例题的典型之处是几个点的运动，并且相互牵制，非常有特色，有规可循。通过点在正方形上的运动，将三角形全等、直角三角形、二次函数、一元二次方程等知识有机结合在一起，涉及内容丰富，综合性强。问题（1）、（2）（3）根据点的运动规律和已知求解；变式1、2、3是题型的拓展，同时变式3进行了分类讨论，并且揭示解“结论开放性试题”的逆向思维方法：假设结论成立——从结论出发，结合已知，探究所求条件——得出所求条件。 A H D

E G

B F C

④ 7 三、反思与建议

1、反思过程，形成方法：

从上述动点问题可以看出，其步骤是深入浅出，循序渐进。似乎是一个“动”字，但实际上却是从“静”字上做文章。 “动”中求“静”，“静”中解“动”，相互衬托。解题中要注意：（1）模拟整个运动过程，把整个运动过程的不同范围划分出来，这样就把运动问题转化为静止问题了。（2）无论如何运动、求什么问题，定要求出一些随之变化的线段的长，并和几何图形结合起来。（3）若是直角坐标系，注意将随之运动的点的坐标转化为线段的长，再与几何图形联系在一起。（4）若是与函数图像结合的，注意合理运用点在函数图像上，点的坐标适合函数解析式等特点。

在教学中，采用多媒体进行辅助引导学生，抓住“静”的瞬间以制“动”，则能深入浅出，题目可迎刃而解。

2、反思规律，形成能力。动点问题均有规可循，如运动的点有运动的轨迹、图形的平移或旋转则可以体现对称或全等。解决动点问题关键要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，，并懂得动点在运动中的每一时刻又是相对静止的，抓住其中等量和变量关系，通过方程模型来求解。这样，抓住动点问题中运动的本质，紧扣图形与数据的变化，从而体验、把握、认知数学的美感，揭示数学规律，结论也会柳暗花明，自然也培养学生的创造思维能力。

3、反思生活，形成趋势。我认为动点问题在中考试卷中的出现是一种必然的趋势。数学知识不再是单纯而木纳的公式或定理，因为在动点问题的教学中，如果能联系实际生活，形成实际操作，那么这 8 些无味的数学知识将会变的有趣、有味，甚至形成有情的生活载体。

4、归纳总结，形成思想。在解决动点问题当中同样会运用到分类思想、函数思想、方程思想、数形结合思想等数学思想，培育良好数学价值观。

总之，几年来，几何动点问题类试题基本上都是以图形或点的平移、旋转、对称等变换作为命题重点，突出考查学生的动手操作能力和空间想象能力，试题也更加贴近生活，具有时代性和可操作性。因此，在教学中，我们必须要有意识地引导，对解题后的反思和总结，能进一步理解问题的本质、命题者的意图，优化解题过程，探索规律，形成有自己独特的解题风格，提高自己的数学能力。

参考文献：《初中数学新课程标准》