四种命题的形式及等价关系(一)

教学资源信息表

标题： 1.4 命题的形式及等价关系

描述：

教学目标：

能判断什么样的语句是命题，理解推出关系及命题证明的意义，掌握真命题与假命题证明的思想方法,理解命题的四种形式及其相互关系，能写出一个简单命题的逆命题、否命题与逆否命题，掌握等价命题的概念,通过利用互为逆否命题的等价性来解决一些简单命题的的证明。

通过学习，进一步领会分类、判断、推理的思想方法.

通过证明命题的过程，让学生初步掌握逻辑推理的能力,同时体会到数学的严谨性。

数学重点：

真命题与假命题证明的思想方法,理解命题的四种形式及其相互关系。

数学难点：

写否命题时，将原命题的条件和结论采用否定形式表达。

学科： 高中数学十年级>数学第一册>1.4 语种： 汉语

作者： 王志杰 秦丽 黄鹰

黄志瑾 徐文芳 凌伟栋 单位： 上海市高桥中学

地址： 浦东新区高桥镇小浜路199号

E-Mail： weula@

1.4 命题的形式及等价关系

上市高桥中学

一、 教学内容分析：

根据1.4 命题的形式及等价关系的内容，教科书上分为三个课时.第一课时学习的内容是命题与推出关系；第二课时学习的内容是命题的四种形式；第三课时学习的内容是等价命题。根据师训时黄老师提出的要求及考虑到本校学生的实际情况，我将这节课的内容分为了两课时，第一课时学习的内容是命题与推出关系及命题的四种形式，理解推出关系及命题证明的意义，会写出命题的四种形式.第二课时学习的内容先着重强调否命题的否定形式（既是新课，又是复习，同时也作为第二课时的引入部分），让学生发现命题的四种形式之间的相互关系，掌握等价命题的概念，能利用互为逆否命题的等价性来解决一些简单命题的证明。

命题的概念在初中已经出现，所以命题概念的教学不应是第一节课的重点，只须强调命题是一个可以判断真假的陈述句。本节的教学重点是真命题与假命题证明的思想方法。

真命题的证明方法：可以从已知条件出发，根据已学的公理、定理、公式等应用推出关系，得出所要证明的结论。也可应用间接证法，如反证法等证明方法。

命题及其关系、充分条件与必要条件

1．命题

概念 使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句

特点

(1)能判断真假；(2)陈述句

分类 真命题、假命题

2．四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系：

(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.

3．充要条件

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为B

p是q的充分不必要条件

p⇒q且qp A是B的真子集

集合与

充要条件 p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p B是A的真子集

p是q的充要条件 p⇔q A＝B

p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp A，B互不包含

[小题体验]

1．下列命题是真命题的为( )

A．若1x＝1y，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1

C．若x＝y，则x＝y D．若x

若x＝y<0，则x与y均无意义；

若x＝－2，y＝1，虽然xy2.

所以真命题为A.

2．已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝3”是“A∩B＝{4}”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A A∩B＝{4}⇒m2＋1＝4⇒m＝±3，故“m＝3”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．

3．已知命题：若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根．则其逆否命题为________________________________________________________________________．

答案：若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0

1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．

2．易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/B)两者的不同．

1.4.1命题的形式及等价关系（1）---命题与推出关系

【学习目标】：

1．了解命题、真命题、假命题，理解命题的推出关系、等价关系，推出关系的传递性；

2．在探究命题推出关系的过程中，体会举反例判断假命题的要领，初步会用推出关系的传递性证明一个命题是真命题的方法；

3．在认识一些基本的逻辑关系及其运用活动中，体会逻辑语言在数学表达和论证中的作用，

确立真命题必须作出证明的数学意识.

【预习导学】

【问题导引】

问题1.在命题“如果2x，那么24x”中，条件和结论分别指的什么？

提示：“2x”是条件，“24x”是结论.

问题2.命题“如果x+y=2,那么x≥1且y≥1”是真命题吗？为什么？

提示：假命题；反例：x=1.3,y=0.7满足命题的条件2xy，但不满足命题结论11xy且

问题3.如何判断命题“末两位数是12的正整数能被4整除”是真命题吗？为什么？

提示：是真命题；

理由：因为末两位数是12的正整数可以写成10012k的形式(*kN)，而100124(253)kk，所以10012k能被4整除.即命题“末两位数是12的正整数能被4整除”是一个真命题.

【知识梳理】

知识点1命题，真命题，假命题的概念

1.命题的构成：在数学中常见的命题由条件与结论两部分组成.

2.判断一个命题的假命题，只需举出一个反例即可

3.确定一个命题是真命题：必须证明若满足命题条件就一定能推出命题的结论.

4.推出关系：一般地说，如果命题成立可以推出命题成立，那么就说由可以推出，并用记号“”，读作“推出”.

也就是说，表示以为条件、为结论的命题是真命题.

如果成立不能推出成立，记为“”，读作“推不出”.换言之，表示以为条件、为结论的命题是假命题.

(2)推出关系“”是一种关系符号，具有传递性，推出关系的传递性证明一个命题是真命题的基本方法.

常用逻辑用语：命题及其关系 要求层次 重难点

“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题 A 理解四种命题的相互关系；掌握充要条件的判定 四种命题的相互关系 B

充要条件 C

（一） 知识内容

1．对于“如果p，则q”形式的命题，p称为命题的条件，q称为命题的结论．

定理：经过证明为真的命题．

当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说则p可以推出q，记作pq，读作“p推出q”．

2．命题的四种形式：

命题“如果p，则q”是由条件p和结论q组成的，对pq，进行“换位”和“换质（否定）”后，可以构成四种不同形式的命题．

⑴原命题：如果p，则q；

⑵原命题的逆命题：如果q，则p；

⑶原命题的否命题：如果非p，则非q；

⑷原命题的逆否命题：如果非q，则非p．

否逆为互逆为互否互否互逆互否互逆如果非q,则非p如果非p,则非q如果 q,则 p如果 p,则 q

3．命题“如果p，则q”的四种形式之间有如下关系：

⑴互为逆否命题的两个命题等价（同真或同假）．因此证明原命题，也可以改证它的逆否命题． 例题精讲 高考要求

常用逻辑用语：命题及其关系

板块一：命题的四种形式 ⑵互逆或互否的两个命题不等价．

注意命题的否定与否命题之间的区别，前者是命题的反面，且与命题的真假恰好相反；后者是对条件与结论同时进行否定，它的真假与原命题的真假没有绝对的联系．

（二）典例分析

【例1】 判断下列语句是否是命题：

⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220xx；⑷260x；⑸112；

【例2】 判断下列命题的真假．

⑴空间中两条不平行的直线一定相交；

⑵垂直于同一个平面的两个平面互相垂直；

⑶每一个周期函数都有最小正周期；

⑷两个无理数的乘积一定是无理数；

⑸若AB，则ABB；

⑹若1m，则方程220xxm无实数根．

⑺已知abcdR，，，，若ac或bd，则abcd；