四种命题及其关系

最新中小学教案、试题、试卷

命题及其关系、充分条件与必要条件

【考点梳理】

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

(3)如果pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．

4．集合与充要条件

设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件．

(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件．

(3)若A＝B，则p是q的充要条件．

【考点突破】

考点一、四种命题的关系及其真假判断

【例1】(1) 命题“若4，则tan1”的逆否命题是( )

A.若4，则tan1 B.若4，则tan1

C.若tan1，则4 D.若tan1，则4 最新中小学教案、试题、试卷

(2) 给出下列命题：

①“∃x0∈R，x20－x0＋1≤0”的否定；

②“若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题；

③命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题.

其中真命题的个数是( )

A.0 B.1 C.2 D.3

[答案] (1)C (2)C

[解析] (1)命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，显然q：tan1，p：4，所以该命题的逆否命题是“若tan1，则4”.

(2) ①的否定是“∀x∈R，x2－x＋1>0”是真命题，①正确；②的否命题是“若x2＋x－6<0，则x≤2”，由x2＋x－6<0，得－3

命题及其关系、充分条件与必要条件专项训练

自主梳理

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是

原命题：若p则q(p⇒q)；

逆命题：若q则p(q⇒p)；

否命题：若綈p则綈q(綈p⇒綈q)；

逆否命题：若綈q则綈p(綈q⇒綈p)．

(2)四种命题间的关系

(3)四种命题的真假性

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．

②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件与必要条件

若p⇒q，则p叫做q的充分条件；若q⇒p，则p叫做q的必要条件；如果p⇔q，则p叫做q的充要条件．

自我检测

1．(2010·湖南)下列命题中的假命题是( )

A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝1

C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0

答案 C

解析 对于C选项，当x＝0时，03＝0，因此∀x∈R，x3>0是假命题．

2．(2010·陕西)“a>0”是“|a|>0”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 A

解析 a>0⇒|a|>0，|a|>0a>0，∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．

3．(2009·浙江)“x>0”是“x≠0”的( )

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案 A

解析 对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立，因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．

4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的( ) A．逆否命题 B．逆命题

1.1.2 四种命题

1.1.3 四种命题间的相互关系

学习目标：1.了解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系．(易混点)3.会利用命题的等价性解决问题．(难点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．四种命题的概念及表示形式

名称 定义 表示形式

互逆

命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. 原命题为“若p，则q”；逆命题为“若q，则p”

互否

命题 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题 原命题为“若p，则q”；否命题为“若p，则q”

互为

逆否

命题 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题 原命题为“若p，则q”；逆否命题为“若q，则p”

2.四种命题间的相互关系

(1)四种命题之间的关系

(2)四种命题间的真假关系

原命题 逆命题 否命题 逆否命题

真 真 真 真

真 假 假 真 假

真 真 假

假 假 假 假

由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？

(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？

[提示] (1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．

(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．

[基础自测]

1．思考辨析

(1)命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”． ( )

命题及其关系、充分条件与必要条件

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最新考纲 常见题型

1.理解命题的概念．

2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．

3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义. 多以选择题出现于第1、2题位置、占5分左右.

[知识梳理]

1．命题

概念 使用语言、符号或者式子表达的，可以判断 真假 的陈述句

特点 (1)能判断真假；(2)陈述句

分类 真 命题、 假 命题

2．四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系：

(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于 逆否命题 ，原命题的否命题等价于 逆命题 .在四种形式的命题中真命题的个数只能是 0,2,4 .

3．充要条件

若p⇒q，则p是q的 充分 条件，q是p的 必要

条件 p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为B

p是q的 充分不必要 条件 p⇒q且q/⇒p A是B的 真子集

集合与充要条件 p是q的 必要不充分 条件 p/⇒q且q⇒p B是A的 真子集

p是q的 充要 条件 p⇔q A＝B

p是q的 既不充分也不必要

条件 p/⇒q且q/⇒p A，B互不 包含

[知识感悟]

1．四种命题间关系的两条规律

(1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假．

(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注“特例法”的应用．

2．命题的充要关系的判断方法

(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．

(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

(3)集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件． [知识自测]

1．下列命题中为真命题的是( )

A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题