第一章_复变函数_chenlz
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i 1
2e
i 2
1 2 e
i ( 1 2 )
12[cos( 1 2 ) i sin(1 2 )]
z1 z 2 z1 z 2
arg(z1 z2 ) arg z1 arg z2
13
★代数 形式
3、复数的除法 z1 x1 y1i ( x1 y1i)(x2 y2i) z2 x2 y2i ( x2 y2i)(x2 y2i)
★性质
x2 x1 x2
z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
12
2、复数的乘法 z z ( x y i )( x y i ) 1 2 1 1 2 2 ★代数
形式
(x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1)
★指数 形式
z1 z 2 1e
b sin sin 2 sin 3 sin n cos( / 2) cos(n 1/ 2) 2sin( / 2)
23
§1.2 12
复变函数
一、复变函数的定义 、 定
★对于复数平面（球面）上存在的集合E 中的 每一复数（每一个z），按照一定的规律， 有一个或多个复数值，
n
z 1/ n ei ( 4 ) / n z e
1/ n i ( 2 / n )
e
1/ n i / n
★所以，根式函数是多值函数 ★所以 根式函数是多值函数 ——详细见§1.6 多值函数讨论；
16
kn
n
z e e
1/ n i ( 2 / n )
1/ n i / n
例2： 3 8 8 1// 3 e i ( 2 k ) / 3
k 0
3
8 8 e 8 8
1/ 3
1 / 3 i / 3
1 i 3
2
k 1 k 2
3
e
i
3
8 8
1/ 3 i 5 / 3
e
1 i 3
17
★讨论与交流：为什么不取k =3了？
(k 0,1,2,3)
z
取不同值，因为幅角不同；
15
★故 k 取不同值，幅角不同； 取不同值 幅角不同
n
z
1 / n i ( 2 k ) / n
e
k 0
n
z e
1/ n i / n
k 1
k 2 k n
n n
z 1/ n ei ( 2 ) / n
e 1 i 1 e
ie (2k 3 / 2) i i e
( k 0,1, )
例1：求 z 1
3 i 的Argz与argz
解 z 位于第二象限 解：
y 2 arg z arctg arctg( 3) x 3 2 A z arg z 2k 2k Arg 3
21
i ( n 1)
(e e ) W i / 2 i / 2 i / 2 e (e e ) e (e e ) i / 2 i / 2 (e e )
i ( n 1/ 2) i / 2
i / 2
i ( n 1 / 2 )
i / 2
←运用欧拉公式！
1 1 cos(n ) i sin(n ) cos( ) i sin( ) 2 2 2 2
2
参考书目
1、郭敦仁，《数学物理方法》，高等教育出版社 郭敦仁 《数学物理方法》 高等教育出版社 2、周明儒，《数学物理方法》，高等教育出版社 3、姚端正等，《数学物理方法》，武汉大学出版社 姚端正等 《数学物理方法》 武汉大学出版社
如何学好《数学物理方法》？
1、数学分析的知识要比较扎实； 2、普通物理学基本概念、原理比较清晰； 3、物理实际问题与数学模型相结合，进行思考； 4、多做练习； 5、记住：数学物理方法不学好，不算读了物理学！ 理论物理学也读不懂！
(第四版)
梁昆淼 编
高等教育出版社
1
数 学 物 理 方 法
第一篇 第 篇 复变函数论
复变函数；（复函数项）级数；（第一～四章） 积分变换（第五 六章） 积分变换（第五、六章）
第二篇 数学物理方程
定解问题：数学物理方程及其分类;（第七章） 定解问题 数学物理方程及其分类 （第七章） 解法一：分离变量法及解的性质;（第八、九章） 解法二：球坐标下的分离变量法;（第十章） 解法三：柱坐标下的分离变量法;（第十一章） 解法四：积分法求解数理方程;（第十二、十三章） 解法五：复变函数法求解数理方程;（第十四章） 解法六：近似法求解数理方程;（第十五章）
z (cos i sin )
6、复数的指数形式
★复平面
z x iy
y
z e
i
i
★交流与讨论：为什么有关系式？
x 复平面
A( x, y)
e cos i sin
★复数的模：
z x y
2
2
★复数的幅角：
arctg( y x ) A rg z
5
第一章
§1.1
复变函数
3、复数的几何表示 ★复平面
复数与复数运算
一、复数的基本概念
1、什么是复数？ 什么是复数？
2、复数的代数表示——直角坐标
z x iy
★式中
z x iy y
y
i 1
y Im( z )
★ x、y为实数，称为 复数的实部与虚部
r
x 复平面
A( x, y)
W a ib cos cos 2 cos 3 cos n i( (sin sin 2 sin 3 sin n )
(cos i sin ) (cos 2 i sin 2 ) (cos n i sin n )
1 ( ) 2 在复平面上的意义。 例3：讨论 Re( z 解： R e ( 1 ) 2 z x y yi z
1 1 x yi 2 2 z x yi x y
1 x Re( ) 2 2 2 z x y
x x y 2
2 2
18
1 2 1 2 2 ★为 ( x ) y ( ) 圆心在（1/4，0）圆上各点 4 4
x Re( z )
6
4、复数的极坐标表示 复数的极坐标表示
x2 y2 y arctg( ) x
★直角坐标与极坐标的换算
★复平面
z x iy y
y
x cos y s in
x
复平面
A( x, y)
7
5、复数的三角函数形式 复数的三角函数形式
3
第一篇 复变函数论
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 复变函数 复变函数的积分 幂级数展开 留数定理 傅里叶变换 拉普拉斯变换
4
第一篇 复变函数论
第一章 第 章 复变函数 §1.1 1 1 复数与复数运算 §1.2 1 2 复变函数 §1.3 导数 §1.4 解析函数 §1.5 平面标量场 §1.6 1 6 多值函数
例5：计算
cos cos 2 cos 3 cos n sin sin 2 sin 3 sin n a cos cos 2 cos 3 cos n 解： 令 b sin sin 2 sin 3 sin n
8
7、复数辐角 Arg z 的主值:主辐角 arg z
x cos y sin
y arctg( ) Arg z x
★由于辐角的周期性，辐角有无穷多个。
Arg z a rg z 2 k
★定义主辐角
( k 0, 1, 2 )
14
4、复数的乘方
n
z ( e ) e n (cosn i sin n )
n
i n
n in
★故：
(cos i sin) cos n i sin n
n
5、复数的方根
z
n
e
n
i
1/ n
e
i / n
★故k取不同值，
1/ n
e
i ( 2 k ) / n
11
二、复数的运算
1、复数的加减法
z1 z2 x1 y1i ( x2 y2i) y1 y2 y1 (x1 x2 ) ( y1 y2 )i
y
z1 z2 z1 z2 x1
x
z1 z2 (x1 x2 ) ( y1 y2 )
2
2
y2
arg z arctg[( y1 y2 ) / ( x1 x2 )]
或 ←易于理解
arg z
0 arg z 2
A z 的主值， ★为辐角 为辐角 Arg 的主值 或主辐角，记为 或主辐角 为
arg z
9
8、共轭复数 共轭复数
(cos i sin ) ★复数：z (
★其共轭复数规定为
e
i
z (cos i sin ) (cos ( i sin i )
例4：计算 W 解： 令
a ib
z a2 b2
sin b a 2 b2 a
z a ib z (cos i sin )
W a ib
z [cos(
1 2
z (cos i sin )
) i sin(
