人教课标版高中数学选修1-1《双曲线及其标准方程(第1课时)》教学设计
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2.2.1双曲线及标准方程（第1课时）
一、教学目标
1.核心素养
发展数学抽象、直观想象素养,培养解析法解题能力,提高数学运算素养.
2.学习目标
（1）了解双曲线的定义、图象、标准方程,会求双曲线的标准方程.
（2）进一步理解坐标法的应用,并在研究双曲线的过程中注意与椭圆比较,明确两者的联系与区别.
3.学习重点
双曲线的定义及其标准方程.
4.学习难点
双曲线与椭圆的联系与比较.
二、教学设计
（一）课前预习
1.预习任务
任务1 预习教材4548PP,双曲线的定义应该注意什么?双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有那些区别?双曲线的,,abc与椭圆的,,abc有何区别?
任务2 完成48P相应练习题
2.预习自测
1.已知两定点1(5,0)F、2(5,0)F,动点P满足122PFPFa,则当3a和5时,P点的轨迹为（ ）
A.双曲线与一条直线
B.双曲线与一条射线
C.双曲线一支和一条直线
D.双曲线一支和一条射线
答案:D
解析:考查双曲线定义
2. 已知点(,)Pxy的坐标满足2222(1)(1)(3)(3)4xyxy,则动点 2 / 15
P的轨迹为（ ）
A.椭圆
B.双曲线
C.两条射线
D.以上都不对
答案:B
解析:考查双曲线定义
3. 已知两定点1(5,0)F、2(5,0)F,求与两定点1F、2F的距离差的绝对值等于6的点的轨迹方程______________.
答案:221916xy
解析:由题意可知,所求点的轨迹是双曲线,其方程可设为22221xyab,这里26a,210c,∴3a,5c,由此得4b.从而求得双曲线的方程为221916xy.
（二）课堂设计
1.知识回顾
(1)已知点111222,,(,)PxyPxy则22121212PPxxyy
(2)我们预习本课的双曲线的标准方程得两种形式是怎样的?
2.问题探究
问题探究一 双曲线的定义
●活动一 什么是双曲线?与之相关的概念有哪些?
在平面内到两个定点21,FF距离之差的绝对值等于定值a2(大于0且小于||21FF)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距.
●活动二 12FF与a之间有何大小关系?去掉定义中“绝对值”三个字,对结论有影响吗?
在双曲线的定义中,条件||2021FFa不应忽视,若||221FFa,则动点的轨迹是两条射线;若｜21|2FFa,则动点的轨迹不存在.双曲线定义中应注意关键词“绝对值”, 3 / 15
若去掉定义中“绝对值”三个字,动点轨迹只能是双曲线一支.
问题探究二 双曲线的标准方程
●活动一 焦点在x轴上的双曲线的标准方程为222210,0xyabab
焦点在y轴上的双曲线的标准方程为222210,0yxabab
其中a、b、c的关系为222cab
●活动二 椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系.
椭圆 双曲线
定义aMFMF2||||21 定义aMFMF2||||21
0ac,
222(0)acbb
0ac,
222(0)cabb
2222222211(0)xyyxababab或 2222222211xyyxabab或
(aba,0,0不一定大于b)
★▲问题探究三 确定双曲线的标准方程,掌握运用待定系数法,定义法求双曲线的标准方程
例1.过双曲线22144xy左焦点1F的直线交双曲线的左支于,MN两点,2F为其右焦点,则22MFNFMN________.
【知识点:双曲线的定义及标准方程】
分析: 由双曲线定义及条件知212124MFNFNFNFa.
详解: 根据双曲线的定义,有
22MFNFMN2221=()()=2248MFNFNFNFaaa
例2.（1）双曲线的一个焦点坐标是），（60,经过点)6,5(A, 求双曲线的标准方程.
【知识点:双曲线的定义及标准方程】
(1) 详解一:由已知得,6c,且焦点在y轴上,则另一焦点坐标是0,6.
因为点)6,5(A在双曲线上,所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数a2,即 4 / 15 2222222222|(5)(66)(5)(66)||135|8,4,6420.aabca
因此,所求的双曲线标准方程是221.1620xy
详解二:由焦点坐标知,36,6c22ba
∴双曲线方程为22221.36yxaa
∵双曲线过点)6,5(A,222236251,16,20.36abaa
双曲线方程为221.1620yx
（2）已知双曲线通过(1,1)M、(2,5)N两点,求双曲线的标准方程.
【知识点:双曲线的定义及标准方程】
详解一:若焦点在x轴上,则设双曲线的标准方程为22221xyab.
∵(1,1)M、(2,5)N在双曲线上,
∴222222111(2)51abab,解得22787ab.
若焦点在y轴上,设双曲线的标准方程为22221yxab.
同理有2222221115(2)1abab,解得22778ab,舍去.
故所求双曲线的标准方程为221778xy.
详解二:设所求双曲线的方程为2210AxByAB.
将点(1,1)M、(2,5)N代入上述方程,得 5 / 15
14251ABAB,解得:8717AB.
故所求双曲线的标准方程为221778xy.
点拔:求双曲线的标准方程时,可以根据其焦点位置设出标准方程的形式,然后用待定系数法求出a,b的值;若双曲线的焦点位置难以确定,可设出双曲线方程的一般式2210AxByAB,利用条件,通过待定系数法求出系数的值,从而可写出双曲线的标准方程.
例3.求与双曲线221164xy共焦点,且过点(32,2)的双曲线方程
【知识点:双曲线的定义及标准方程】
详解:由于所求的双曲线与已知双曲线共焦点,从而可设所求的双曲线方程为221164xykk.
由于点(32,2)在所求的双曲线上,从而有1841164kk.
整理得210560kk,∴4k或14k.
又160,40kk,∴416k.从而仅有4k.
故所求双曲线的方程为221128xy.
点拔:与22221xyab共焦点的双曲线方程可设为2222221xybkaakbk,然后根据条件确定待定系数k即可.
3.课堂总结
【知识梳理】
（1）平面内点M到两定点12,FF的距离之差的绝对值为常数,即122MFMFa 6 / 15
当122aFF时,点M的轨迹是双曲线;
当122=aFF时,点M的轨迹是两条射线;
当122aFF时,点M的轨迹不存在
（2）双曲线222210,0xyabab,222210,0yxabab的相同点为它们的形状、大小都相同,都有222cab,不同点为它们在坐标系中位置不同,焦点坐标也不相同。
【重难点突破】
（1）对于双曲线定义的理解,要抓住双曲线上的点所要满足的条件,即双曲线上点的几何性质,可以类比椭圆的定义来理解.
还要注意到对“定值”的限定.即定值大于零且小于12FF.这样就能避免两种特殊情况,即:“当定值等于12FF时,轨迹是两条射线;当定值大于12FF时,点不存在.”
（2）类比椭圆标准方程的推导方法,建立适当坐标系,推导出双曲线的标准方程,但要注意在椭圆标准方程推导中,是令222bac,而在双曲线标准方程的推导过程中,是令222bca.
（3）用待定系数法求双曲线方程
利用待定系数法求双曲线的标准方程时,应先判断焦点所在位置,不能确定时应分类讨论.在求过两定点的椭圆方程时,我们曾经将椭圆方程设为2210,0mxmymn以简化运算,同理求经过两定点的双曲线方程也可设为2210mxnymn.
（4）在椭圆的标准方程中,判断焦点在哪个轴上是看22xy、项分母的大小,而在双曲线标准方程中,判断焦点在哪个轴上,是看22xy、系数的符号.
4.随堂检测
1. 已知双曲线的方程为22221xyab,点AB、在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点2F,ABm,1F为另一个焦点,则△1ABF的周长为（ ）.
A.22am
B.42am 7 / 15
C.am
D.24am.
答案:B
解析:【知识点:双曲线的定义及标准方程】
2.已知点124,0,4,0FF,曲线C上的动点P到F1、F2距离之差为6,则曲线C的方程为( )
A. 22197xy
B. 221097xyy
C. 2222119779xyxy或
D. 221097xyx
答案:D
解析:【知识点:双曲线的定义及标准方程】
3. 以椭圆221169144xy的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线的标准方程是________________.
答案:22125144xy
解析:【知识点:双曲线标准方程】
（三）课后作业
基础型 自在突破
1. 双曲线方程为2221xy,则它的右焦点坐标为( )
A.2,02
B.5,02
C.6,02
D.3,0
