人教课标版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程(第1课时)》教学设计

1 / 13 2.2.1 椭圆及其标准方程（第一课时）

一、教学目标

（一）学习目标

1.掌握椭圆的定义；

2.掌握椭圆标准方程的推导和标准方程.

（二）学习重点

椭圆的定义及椭圆标准方程.

（三）学习难点

椭圆标准方程的建立和推导.

二、教学设计

（一）预习任务设计

1.预习任务

写一写：

（1）定义：平面内与两个定点12,FF 距离的和 等于常数 c，大于12||FF 的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的 焦点 ，两定点间距离叫做 椭圆的焦距 .

（2）椭圆的标准方程： 焦点在x轴上： 22221(0)xyabab .

焦点在y轴上： 22221(0)yxabab .

2.预习自测

判断分别满足下列条件的动点M的轨迹是否为椭圆

（1）到点12,0F和点22,0F的距离之和为6的点的轨迹；

（2）到点12,0F和点2(2,0)F的距离之和为4的点的轨迹；

（3）到点12,0F和点2(2,0)F的距离之和为3的点的轨迹.

【解题过程】当12||||2MFMFa，且122||aFF的常数时M点的轨迹为椭圆， 2 / 13 故（2）（3）不是.

【思路点拨】注意把握椭圆的定义.

【答案】（1）是；（2）不是；（3）不是.

（4）已知动圆P过定点(3,0)A，并且与定圆22:(3)64Bxy内切，则动圆的圆心P的轨迹是（ ）

A.线段 B.直线 C.圆 D.椭圆

【解题过程】设动圆P与定圆B内切于M，由条件知：

||||||||||8PAPBPMPBBM，故P的轨迹是以,AB为焦点的椭圆.

【思路点拨】利用椭圆的定义解题.

【答案】D

（二）课堂设计

1.新知讲解

探究一 创设情景，认识椭圆

●活动① 归纳提炼概念

画一画：①将一条绳子的两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷紧，围绕定点旋转，笔尖形成的轨迹是什么？

②将绳子的两端分别固定在两个定点上，笔尖勾直绳子，移动笔尖，得到的是轨迹是什么？

动画演示作图过程.

提出问题：①作图过程中，哪些量没有变？哪些量变了？

②为什么要求作图过程中笔尖要绷紧？

③笔尖所对应的动点M到定点的距离有什么长度之间的关系？

总结：笔尖对应的动点M到直线两个端点的长度之和固定不变.

【设计意图】学生可通过动手实践的过程去体会“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”，从而对椭圆定义中的条件有直观深刻的认识.

提出问题：根据刚才动手实践的过程，能否总结椭圆的定义？（同学自由发言，再由学生进一步补充完善）

我们把平面内到两个定点1F，2F的距离之和等于常数（大于21FF）的点的集合 3 / 13 叫作椭圆.

●活动② 辨析概念

问题1：定义中的常数等于21FF，则动点的轨迹是什么？

问题2：定义中的常数小于21FF，则动点的轨迹是什么？

椭圆相关概念：两个定点1F，2F叫作椭圆的焦点．．．．．，两个焦点1F，2F间的距离叫作椭圆的焦距．．．．．.

【设计意图】使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风.

探究二 推导椭圆的标准方程

●活动① 利用定义求方程

动手演算：让学生动手，求推导焦点在x轴上的椭圆的标准方程

①建系：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？（利用椭圆的对称性特征）

以直线21FF为x轴，以线段21FF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.

②设点：设焦距为20cc，则12,0,0FcFc.设,Mxy为椭圆上任意一点，点M与点12FF、的距离之和为222aac.

③列式：动点M满足的几何约束条件: 122MFMFa

坐标化为：22222xcyxcya

④化简：aycxycx22222 xyO1F 2F 1F2F 4 / 13 22222ycxaycx

两边同时平方、整理得：222ycxacxa

将上式两边平方、整理得：2222222222422yacacxaxaxccxaa

22222222caayaxca

122222cayax

分析22ca的几何含义，令222bca

得到焦点在x轴上的椭圆的标准方程为012222babyax

焦点在y轴上的椭圆的标准方程是什么？

（由学生动手列式，acyxcyx22222，引导学生观察焦点在x轴上与焦点在y轴上式子的差异，从而用类比的方法得到焦点在y轴上椭圆的标准方程）

如果椭圆的焦点在y轴上，其焦点坐标为cF,01，cF,02，用同样的方法可以推出它的标准方程012222babxay

●活动② 归纳梳理、理解提升

椭圆的标准方程及方程特点

焦点在x轴上 焦点在y轴上

标准方程： 12222byax（0ba） 12222bxay（0ba）

学生思考：（1）椭圆的标准方程中三个参数bca,,的关系怎样？

（2）如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置？

总结方程特征：（1）.0,0222cabacba，

（2）哪个变量下的分母大，焦点就在哪个轴上.

【设计意图】通过归纳总结让学生对两种方程进行对比分析，强化对椭圆方程的 5 / 13 理解.有助于教学目标的实现，培养学生的总结归纳能力，而且使学生体会和学习类比的思想方法.

●活动③ 互动交流、初步实践

判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上，并写出焦点的坐标

（1）1162522yx（在x轴上，焦点为0,3，0,3）

（2）116914422yx（在y轴上，焦点为5,0，5,0）

（3）112222mymx（在y轴上，焦点为1,0，1,0）

●活动④ 巩固基础、检查反馈

例1.已知13a，23c，则椭圆的标准方程为（ ）

A.2211312xy B.2211325xy或2212513xy

C.22113xy D.22113xy或22113yx

【知识点】椭圆的标准方程.

【解题过程】由222abc知21b.

【思路点拨】通过焦点的位置判断方程.

【答案】D

同类训练 已知椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)，点(2,0)P在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）

A.22143xy B.2214xy C.22143yx D.2214yx

【知识点】椭圆的标准方程.

【解题过程】由222abc知23b.

【思路点拨】通过焦点的位置判断方程.

【答案】A

例2 椭圆22125xy上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为（ ） 6 / 13 A.5 B.6 C.7 D.8

【知识点】椭圆的定义.

【解题过程】由210a知P到另一个焦点的距离为8.

【思路点拨】通过定义122PFPFa计算.

【答案】D

同类训练 已知F1、F2是椭圆 192522yx的两个焦点，过F1的直线交椭圆于M、N两点，则三角形MF2N的周长为

.

【知识点】椭圆的定义.

【解题过程】由221212101020MNMFNFMFMFNFNF.

【思路点拨】通过定义122PFPFa计算.

【答案】20.

3.课堂总结

知识梳理

（1）椭圆的定义：平面内到两个定点1F，2F的距离之和等于常数（大于21FF）的点的集合叫作椭圆.

（2）椭圆的标准方程：焦点在x轴上：12222byax（0ba）；

焦点在y轴上：12222bxay（0ba）.

重难点归纳

（1）区分焦点：哪个变量下的分母大，焦点就在哪个轴上； 7 / 13 （2）标准方程中,,abc的关系：.0,0222cabacba，

（三）课后作业

基础型 自主突破

1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是（ ）

A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段

【知识点】椭圆的几何性质.

【解题过程】∵|MF1|＋|MF2|＝6，|F1F2|＝6，

∴|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，

∴点M的轨迹是线段F1F2.

【思路点拨】几何性质判断图形.

【答案】D.

2.椭圆x2m＋y24＝1的焦距是2，则m的值是（ ）

A.5 B.3或8 C.3或5 D.20

【知识点】椭圆的标准方程.

【解题过程】2c＝2，c＝1，故有m－4＝1或4－m＝1，∴m＝5或m＝3，故选C.

【思路点拨】确定焦点位置再结合222abc可得m的值.

【答案】C

3.椭圆ax2＋by2＋ab＝0(a

A.(±a－b，0) B.(±b－a，0) C.(0，±a－b) D.(0，±b－a)

【知识点】椭圆的标准方程.

【解题过程】ax2＋by2＋ab＝0可化为x2－b＋y2－a＝1，

∵a－b>0，

∴焦点在y轴上，c＝－a＋b＝b－a，

∴焦点坐标为(0，±b－a).

【思路点拨】将方程整理为椭圆的标准形式.

【答案】D 8 / 13 4.中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是（ ）

A.x281＋y245＝1

B.x281＋y29＝1 C.x281＋y272＝1 D.x281＋y236＝1

【知识点】椭圆的标准方程.

【解题过程】由长轴长为18知a＝9，∵两个焦点将长轴长三等分，∴2c＝13(2a)＝6，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝72，故选C.

【思路点拨】由几何性质即可.

【答案】C

5.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________.

【知识点】椭圆的标准方程.

【解题过程】由题意可得 a＋c＝3，a－c＝1.∴ a＝2，c＝1.

故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为x24＋y23＝1.

【思路点拨】由椭圆定义及几何关系可得,,abc的值.

【答案】x24＋y23＝1

6.如图所示，F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为3的正三角形，则b2＝________________.

【知识点】椭圆的标准方程.

【解题过程】由题意S△POF2＝34c2＝3，∴c＝2，∴a2＝b2＋4.

∴点P坐标为(1，3)，把x＝1，y＝3代入椭圆方程x2b2＋4＋y2b2＝1中得，