高等代数教学大纲

⾼等代数教学⼤纲

⾼等代数课程教学⼤纲

⼀、课程说明1、课程性质：

⾼等代数是⾼等院校数学系数学与应⽤数学专业的⼀门重要基础课。对学⽣数学思想的形成有着重要意义，是进⼀步学习近世代数、常微分⽅程等后继课的基础，也为深⼊理解中学数学打下必要的基础。⾼等代数是现代数学的基础知识，是学习其它数学学科和现代科学知识的必备基础和重要⼯具，尤其在本世纪，计算机技术、通讯信息技术和现代⽣物⼯程技术已成为最热门的学科领域，这些学科的发展均需要代数学的知识与⽀持。

⾼等代数也是师范院校数学与应⽤数学专业的⼀门重要基础课程，既是中学代数的继续和提⾼，对于中学数学教学⼯作具有重要的理论指导作⽤，⼜是输送更⾼层次优秀⼈才的专业知识保证。2、课程教学⽬的要求

（1）使学⽣掌握多项式理论、线性代数理论的基础知识和基本理论，着重培养学⽣解决问题的基本技能。(2) 使学⽣熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想⽅法，提⾼其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能⼒。

(3) 使学⽣进⼀步掌握具体与抽象、特殊与⼀般、有限与⽆限等辩证关系，培养其辩证唯物主义观点。

(4) 逐步培养学⽣的对真理知识的发现和创新的能⼒，训练其对特殊实例的观察、分析、归纳、综合、抽象概括和探索性推理的能⼒。(5) 使学⽣对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识，以便能够居⾼临下地掌握和处理⾼级中学数学教材，进⼀步提⾼中学数学教学质量。(6) 根据教学的实际内容的需要，对⼤纲所列各章内容，分别提出了具体的⽬的要求，教学时必须着重抓住重点内容进⾏教学。

本课程分以⼀元多项式为主体的多项式理论和线性代数两部分。线性代数部分涉及⾏列式、矩阵、线性⽅程组、⼆次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧⼏⾥得空间等。

本课程教学重点应放在多项式理论与线性代数理论。多项式理论以⼀元多项式的因式分解唯⼀性定理为主体介绍了有关多项式的⼀些必要的知识，为后继课提供准备；线性代数部分则较为系统地介绍了线性⽅程组，线性空间与线性变换理论。本课程的难点有⾏列式的Laplace定理的展开定理，线性变换的值域与核、线性空间按特征值分解成不变⼦空间的直和，λ-矩阵和Jordan标准形的推导等。

3、先⾏或后继课

⾼等代数是在中学代数基础上在第⼀、第⼆学期开设的课程，是中学代数的深化与提⾼。后继课程有近世代数、群论、环论等课程，它也是数学专业其他课程的基础。4、教学时数分配表

本课程学分为12学分。

本课程讲授时间为⼀学年共186学时，第⼀学期84学时，第⼆学期102学时。其各章学时分配如下：

5、使⽤教材

本课程选⽤的教材是北京⼤学数学系编《⾼等代数》第三版6、教学⽅法与⼿段

采⽤课堂讲授及讨论的教学⽅法，本课程以⿊板讲授为主，辅以多媒体演⽰，由于该课程较抽象，在教学中要注重多举例⼦、多讲习题、多引导思考；要注重对教材内容各个知识点的理解，对教学内容、教学⽅法与教学⼿段的改⾰，要突出教材内容所体现的数学思想、⽅法，加强学⽣应⽤数学的能⼒；要注重对学⽣证明技巧、证明思路的训练；要增强以学⽣为主体的启发式、讨论式教学⽅法；要让学⽣多加练习、多加思考，提出问题，质疑解答。7、考核⽅式

考试成绩按百分制计算,其中考试成绩占80%,平时作业、课堂考核占20%8、主要参考书⽬

1.张⽲瑞、郝炳新. ⾼等代数.北京：⾼等教育出版社，1983.

2.姚慕⽣. ⾼等代数.上海：复旦⼤学出版社，2002.

3.蓝以中. ⾼等代数. 北京：北京⼤学出版社，2000.

4.陈志杰. ⾼等代数与解析⼏何. 北京：⾼等教育出版社，1996.

5.张贤科. ⾼等代数. 北京：清华⼤学出版社（第⼆版），2004.

6.李师正. ⾼等代数解题⽅法与技巧. 北京：⾼等教育出版社，2004.

7.王品超. ⾼等代数新⽅法.徐州：中国矿业⼤学出版社，2003.

8.钱吉林. ⾼等代数题解精粹. 北京：中央民族⼤学出版社，2002.

9.张⽲瑞. 近世代数基础. 北京：⾼等教育出版社，1992.

10、冯克勤等. 近世代数引论.合肥：中国科学技术⼤学出版社，2002.

11、熊全淹. 近世代数. 武汉：武汉⼤学出版社，1999.

⼆、课程内容

第⼀章多项式（27课时）1、教学⽬的及要求：掌握带余除法、因式分解定理、复系数与实系数的因式分解及有理系数多项式的有关结论。

2、教学重点：因式分解及唯⼀性定理，有理系数多项式的因式分解。

3、教学难点：有理系数多项式的因式分解。

4、主要内容教学要求：

知识⽬标：

（1）掌握⼀元多项式的概念和运算规则，整除互素的概念及简单性质并能进⾏相关论证。

（2）掌握最⼤公因式概念和求法，因式分解定理及有关因式的条件，在复数实数范围内进⾏因式分解的理论结果。

（3）掌握多项式有理根判别，有理不可约多项式的概念，艾森斯坦判别法及应⽤。

能⼒⽬标：

（1）训练学⽣领会和把握多项式的概念和运算规则。

（2）掌握多项式的基本理论中的公理化定义、性质，并且能应⽤这些理论进⾏推理论证、计算和解决问题。5、各章节主要知识点及教学时间分配:

§1 数域(1学时)

§2⼀元多项式(1学时)

(⼀)有关多项式的概念

(⼆)多项式的代数性质

§3整除的概念(2学时)(⼀)整除概念

(⼆)整除性⼏个常⽤性质

(三)不可约多项式

§4最⼤公因式(2学时)

(⼀)最⼤公因式的定义及唯⼀性

(⼆)最⼤公因式的存在性及求法

(三)互素的概念

(四)最⼤公因式、互素概念的推⼴

§5因式分解定理(2学时)

(⼀)不可约多项式及其性质

(⼆)因式分解唯⼀性定理

§6重因式(2学时)

(⼀)⼀些概念：重因式、单因式、微商等

(⼆)重因式的判别及求法

(三)去掉因式重数的⽅法

§7多项式函数(2学时)

(⼀)多项式的根

(⼆)多项式的根的个数

§8复系数与实系数多项式的因式分解(2学时)

(⼀)复数域上多项式的分解

(⼆)实数域上多项式的分解

§9有理系数多项式(3学时)

(⼀)有理系数多项式的根

1）本原多项式及Gauss引理

2）确定整系数多项式有理根的范围

3）求有理系数多项式根的⽅法

(⼆)Eisenstein判别法

§10多元多项式(2学时)

(⼀)基本概念

(⼆)多元多项式中单项式的排列次序

(三)两个结论(关于乘积⾸项和次数)

(四)多元多项式函数

§11对称多项式(2学时)

(⼀)基本概念、对称多项式环、初等对称多项式

(⼆)对称多项式的基本定理(三)⼀元多项式的判别式

习题课（6课时）

第⼆章⾏列式（17课时）1、教学⽬的和要求：通过本章学习，使学⽣熟练掌握计算⾏列式的三种⽅法：利⽤定义、利⽤性质、降阶，并会运⽤Gramer法则求线性⽅程组的解。2、教学重点：n阶⾏列式的定义，⾏列式的性质，⾏列式的⼀些计算及关于Gramer法则。

3、教学难点：Laplace定理，⾏列式乘法规则。

4、主要内容教学要求：

知识⽬标：

（1）掌握排列、n阶⾏列式的定义和基本性质

（2）掌握⼦式、余⼦式、代数余⼦式及⾏列式的依⾏依列展开，克拉默定理。

（3）熟练掌握⽤化上三⾓形式，依⾏依列展开法，以及⽤⾏列式性质，建⽴递推公式，克拉默定理等⽅法计算⾏列式，证明⾏列式的性质及基本理论。

能⼒⽬标：

（1）训练学⽣领会和把握n阶⾏列式的定义和基本性质。

（2）掌握n阶⾏列式的基本理论、性质，并且能应⽤这些理论进⾏n阶⾏列式的计算以及论证问题。5、各章节主要知识点及教学时间分配:

§1引⾔

§2排列(2学时)

(⼀)基本概念：n级排列，逆序数，偶(奇)排列，对换

(⼆)排列的奇偶性

§3 n级⾏列式(2学时)

(⼀)⼀般⾏列式的定义

(⼆)⾏与列的地位是对称的

§4 n级⾏列式的性质(2学时)

(⼀)⾏列式的性质

(⼆)应⽤实例

§5⾏列式的计算(2学时)

(⼀)矩阵的初等变换

(⼆)⾏列式计算

§6⾏列式按⼀⾏(列)展开(2学时)

(⼀)⾏列式按⼀⾏展开的性质

(⼆)展开性质的应⽤

§7 Cramer法则(2学时)

§8 Laplace 定理、⾏列式乘法法则(2学时)

(⼀)Laplace定理(⼆)⾏列式乘法规则

习题课（4课时）

第三章线性⽅程组（22课时）1、教学⽬的及要求：使学⽣掌握n维向量的线性运算及线性⽅程组的求解⽅法。

2、教学重点：以线性相关性概念及线性⽅程组有解判定定理为重点。

3、教学难点：线性相关性理论和线性⽅程组解的理论为难点。

4、主要内容教学要求：

知识⽬标：

（1）掌握矩阵三种初等变换的意义

（2）掌握消去法解线性⽅程组的⽅法

掌握矩阵的秩，线性⽅程组可解的判别法及有解、⽆解、唯⼀解的理论和解法。

能⼒⽬标：

（1）训练学⽣理解和领会矩阵三种初等变换的意义

（2）能应⽤消去法解线性⽅程组、以及能熟练应⽤矩阵的秩，线性⽅程组可解的判别法的理论。5、各章节主要知识点及教学时间分配:：

§1消元法(2学时)

(⼀)⽅程组的初等变换

(⼆)⽅程组的有解判别

§2 n维向量空间(2学时)

(⼀)n维向量概念

(⼆)n维向量的运算

§3线性相关性(4学时)

(⼀)⼀些概念：线性组合、向量组等价、线性相关(⽆关)

(⼆)线性相关性的判定

(三)极⼤线性⽆关组及向量组的秩

§4矩阵的秩(2学时)

(⼀)矩阵的秩

(⼆)矩阵秩的求法

§5线性⽅程组有解判定定理(2学时)

(⼀)有解判定定理

(⼆)线性⽅程组解的求法

§6线性⽅程组的结构(4学时)

(⼀)齐次线性⽅程组解的结构

(⼆)⼀般线性⽅程组解的结构

(三)线性⽅程组解的⼏何意义习题课（6课时）

第四章矩阵（17课时）1、教学⽬的及要求：使学⽣熟练掌握矩阵的基本运算和初等变换的应⽤。

2、教学重点：矩阵的乘法规则及可逆矩阵求逆的⽅法要重点掌握。

3、教学难点：理解初等变换与矩阵乘法的联系和⼏种求逆矩阵的⽅法。

4、主要内容教学要求：

知识⽬标：

（1）掌握矩阵加法，数乘、乘法运算规则，分块运算规则。

（2）掌握逆矩阵的定义，可逆的条件及简单的运算性质。

（3）熟练掌握⽤伴随矩阵及初等变换两种求逆矩阵的⽅法，会⽤初

变换⽅法求矩阵的秩，能⽤分块矩阵求某些分块阵的逆矩阵。

（4）了解初等变换与初等矩阵的关系，掌握矩阵秩定义及等价叙述

掌握矩阵等价分解的形式。

（5）能⽤某些概念和性质进⾏初等的推理和证明，特别是⽤等价分解的⽅法证明某些问题。

能⼒⽬标：

（1）训练学⽣能熟练进⾏矩阵运算，矩阵三种初等变换，求逆矩阵。

（2）能应矩阵三种初等变换，初等矩阵以及矩阵的秩和⾏列式，矩阵可逆的条件等理论论证问题。5、各章节主要知识点及教学时间分配:

§1矩阵的概念(1学时)

§2矩阵的运算(2学时)

§3矩阵乘积的⾏列式与秩(2学时)

§4矩阵的逆(2学时)

(⼀)可逆矩阵

(⼆)可逆矩阵的性质

(三)可逆矩阵的两个应⽤

§5矩阵的分块(2学时)

(⼀)分块矩阵的乘积

(⼆)分块矩阵的应⽤

§6初等矩阵(2学时)

(⼀)初等矩阵与初等变换

(⼆)逆矩阵的求法

§7分块乘法的初等变换及应⽤举例(2学时)

(⼀)分块乘法的初等变换

(⼆)应⽤举例

习题课（4课时）