9年级 数学北师大版下 册教案第 3章《垂径定理》

第1页/共4页 课题 垂径定理

目 标

（三维目标）

1．知识与技能

（1）探索并理解垂径定理

(2)熟练掌握垂径定理及其逆定理

2．过程与方法

（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．•理解定理的推导，掌握定理及公式．

（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．

3．情感、态度与价值观

经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．

重点

难点 1．重点：垂径定理及其运用．

2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．

教法 讲授法 演示法

学法 示范指导法 启迪思维法

教学过程：（详案） 讨论修改

一、复习引入

（学生活动）请同学口答下面问题（提问一、两个同学）

复习上节课内容:包括圆的概念以及与圆相关的概念

二、探索新知

（实践）把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？

结论：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．

（学生活动）请同学按下面要求完成下题：

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M． 第2页/共4页 BACDOM

（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）将圆O沿CD所在直线折叠，你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．

（老师点评）

（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．

（2）AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD，即直径CD平分弦AB，并且平分弧ACB和弧ADB．

这样，我们就得到下面的定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

下面我们用逻辑思维给它证明一下：

已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M

*3.3 垂径定理

1．理解垂径定理和推论的内容，并会证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题；(重点)

2．利用垂径定理及其推论解决实际问题．(难点)

一、情境导入

如图①某公园中央地上有一些大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧(如图②所示)，他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，聪明的你能算出大石头的半径吗？

二、合作探究

探究点一：垂径定理

【类型一】

利用垂径定理求直径或弦的长度

如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是( )

A．23cm B．32cm

C．42cm D．43cm

解析：∵直径AB⊥DC，CD＝6，∴DP＝3.连接OD，∵P是OB的中点，设OP为x，则OD为2x，在Rt△DOP中，根据勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝3.∴OD＝23，∴AB＝43.故选D.

方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

【类型二】 垂径定理的实际应用

如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB︵)，点O是这段弧的圆心，C是AB︵上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m.

解析：本题考查垂径定理，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.设半径为R，根据勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.故答案为250.

方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

【类型三】 垂径定理的综合应用

如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.(1)请证明：点E是OB的中点；(2)若AB＝8，求CD的长．

1 / 5 教学设计

切线长定理

教材分析：

这节课是北师大版九年级下册第三章第七节的内容，是直线与圆位置关系中重点内容，是在学习了切线的性质和判定的基础上，继续对切线性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次认识。体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合，为我们证明线段、角、弧、垂直关系等提供了一个基本图形和证明依据，为进一步研究圆的数量关系做好了铺垫，起着承上启下的作用。

数学核心素养：

主要体现在对学生直观想象、逻辑推理方面的培养

数学思想或能力：

转化思想、方程思想、数形结合思想、用代数方法解决几何问题的思想，合情推理能力和初步的演绎推理能力，有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。

教学目标：

1、知识与技能目标：

了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算；在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。

2、过程与方法目标：

经历添线、猜想、证明等数学活动过程，让学生体验到知识的生成、联系及转化过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。在解题中形成解决问题的基本策略，体验问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。

3、情感与态度目标：

了解数学的价值，对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 2 / 5 教学重点：

理解切线长定理

教学难点：

应用切线长定理解决问题

教法：

教学方法采用引导发现法，辅之以讨论法。利用“大胆添线—提出猜想—推理验证—应用拓展”的模式进行教学。本节课是概念、定理、解题的教学，因此，要把概念教学、定理教学、解题教学有机组合，完成本节课的教学。

学法：

研究性学习，学生在教师引导下，去思考、猜想、探索、讨论。

教学流程：

复习回顾 总结方法，二、大胆添线 猜想验证，三、学以致用 自我检验，四、总结反思 自我升华，五、完成作业 自我巩固

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《圆》章节知识点复习

一、圆的概念

集合形式的概念：

1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内  dr  点C在圆内；

2、点在圆上  dr  点B在圆上；

3、点在圆外  dr  点A在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离  dr  无交点； 2

2、直线与圆相切  dr  有一个交点；

3、直线与圆相交  dr  有两个交点；

四、圆与圆的位置关系

外离（图1） 无交点  dRr；

外切（图2） 有一个交点  dRr；

相交（图3） 有两个交点  RrdRr；

内切（图4） 有一个交点  dRr；

内含（图5） 无交点  dRr；

五、垂径定理 3

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：