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4．2 分层随机抽样的均值与方差4．3 百分位数必备知识基础练知识点一分层随机抽样的平均数1．为了鉴定某种节能灯泡的质量，对其中100只节能灯泡的使用寿命进行测量，结果如下表：(单位：小时)2．某校规定：学生期末总评成绩由卷面成绩、研究性学习成绩、平日成绩三部分构成，各部分所占比例如图所示．小明本学期数学学科三部分成绩分别是90分、80分、85分，则小明的期末数学总评成绩为________分．知识点二分层随机抽样的方差3．为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了一次普法知识竞赛，统计局调查队从甲、乙两单位中各随机抽取了5名职工的成绩，如下：(1)哪个单位职工对法律知识的掌握更为稳定；(2)求被抽取的这10名职工成绩的平均数和方差．知识点三百分位数4．已知一组数据按从小到大排列为0，4，5，x，8，10，12，15，且这组数据的中位数是7，则这组数据的45%分位数、75%分位数分别是( )A．5.5，10 B．5.5，12C．6，11 D．6，105．某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：甲：95，81，75，91，86，89，71，65，76，88，94，110，107.乙：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，78，106，101.计算出学生甲、乙的25%分位数和50%分位数．关键能力综合练1．在一次“爱心互助”捐款活动中，高一某班第一小组8名同学捐款的金额(单位：元)如下表所示：则这8A．3.5元 B．6元C．6.5元 D．7元2．北京市2023年5月份某一周的日最高气温(单位：℃)分别为25，28，30，29，31，32，28，则这周的日最高气温的75%分位数为( )A．28℃ B．29℃C．31℃ D．32℃3．对某校高一年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分4个等级，将调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图．根据图中信息，这些学生的平均分数是( )A.2.2 B．2.5 C．2.95 D．3.04．某车间20名工人的年龄数据如下表：A．30，12.6 B．30，11.55 C．10.45，12.6 D．10.45，11.555．(易错题)从某中学高一年级中随机抽取100名学生的成绩(单位：分)，绘制成频率分布直方图(如图)，则这100名学生成绩的平均数为( )A．120 B．130 C．124.5 D．1256．高二(1)班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，172，175，176，180，则这7人的第40百分位数为( )A．168 B．170 C．172 D．1717．甲，乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为76，方差为96；乙班的平均成绩为85，方差为60.那么甲，乙两班全部90名学生成绩的方差是________．8．(探究题)为了帮助某市一名贫困学生，某校组织捐款，现从全校所有学生的捐款数额中随机抽取10名学生的捐款数统计如下表：①这10名学生捐款数的中位数是40元；②这10名学生捐款数的众数是90元；③这10名学生捐款数的25%分位数是30元；④这10名学生捐款数的方差是400.9．某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值(单位：cm)，计算得男生样本的均值为175，方差为20，女生样本均值为165，方差为30.(1)如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值和方差各为多少？(2)如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本均值和方差各为多少？核心素养升级练1．(多选题)某班有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班6名男生和4名女生在某次数学测验中的成绩，6名男生的成绩分别为86分，94分，88分，92分，90分，90分，4名女生的成绩分别为90分，93分，93分，88分，则下列说法正确的是( )A．这种抽样方法是分层随机抽样B．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数C．这6名男生成绩的方差大于这4名女生成绩的方差D．被抽取的10名学生成绩的平均数和方差分别为90.4分和6.042．(学科素养—数据分析)从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：7．9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.(1)分别求出这组数据的25%，75%，95%分位数；(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；(3)若用25%，75%，95%分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．4．2 分层随机抽样的均值与方差4．3 百分位数必备知识基础练1．答案：597.5解析：这些节能灯泡的平均使用寿命是450×20＋550×10＋600×30＋650×15＋700×25100 ＝597．5(小时).2．答案：87解析：小明的期末数学总评成绩为：90×60%＋80×20%＋85×20%＝87(分).3．解析：(1)甲单位5名职工成绩的平均数x －甲＝87＋88＋91＋91＋935 ＝90(分)，乙单位5名职工成绩的平均数x －乙＝85＋89＋91＋92＋935 ＝90(分)，甲单位5名职工成绩的方差s 2甲 ＝15 ×[(87－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝4.8，乙单位5名职工成绩的方差s 2乙 ＝15 ×[(85－90)2＋(89－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2＋(93－90)2]＝8.∵s 2甲 ＜s 2乙 ，∴甲单位职工对法律知识的掌握更为稳定．(2)∵甲单位职工的权重w 甲＝12 ，乙单位职工的权重w 乙＝12 ，x － 甲＝90分，x －乙＝90分，s 2甲 ＝4.8，s 2乙 ＝8，∴这10名职工成绩的平均数x － ＝12 ×90＋12×90＝90(分)，这10名职工成绩的方差s 2＝w 甲[s 2甲 ＋(x － 甲－x －)2]＋w 乙[s 2乙 ＋(x － 乙－x －)2]＝12 ×[4.8＋(90－90)2]＋12×[8＋(90－90)2]＝6.4.4．答案：C解析：因为中位数为7，则x ＋82＝7⇒x ＝6.又数据共有8个，8×45%＝3.6，则45%分位数为从小到大第4个数据，即6； 8×75%＝6，则75%分位数为第6个数据与第7个数据的平均数，即10＋122 ＝11.故选C.5．解析：把甲、乙两名学生的数学成绩从小到大排序，可得 甲：65，71，75，76，81，86，88，89，91，94，95，107，110. 乙：78，79，83，86，88，93，98，98，99，101，103，106，114. 由13×25%＝3.25，13×50%＝6.5.可得数据的25%分位数，50%分位数为第4，7项数据， 即学生甲的25%分位数，50%分位数分别为76，88. 学生乙的25%分位数，50%分位数分别为86，98.关键能力综合练1．答案：C解析：这8名同学捐款的平均金额为5×2＋6×3＋7×2＋10×12＋3＋2＋1 ＝6.5(元)，故选C.2．答案：C解析：将数据由小到大排列为25，28，28，29，30，31，32，因为7×75%＝5.25，所以这周的日最高气温的75%分位数为31 ℃.故选C.3．答案：C解析：参加体能测试的人数是12÷30%＝40(人)，成绩为3分的人数是40×42.5%＝17(人)，成绩为2分的人数是40－3－17－12＝8(人)，所以这些学生的平均分是3×1＋8×2＋17×3＋12×440＝2.95(分).故选C.4．答案：A解析：这20名工人年龄的平均值为19×1＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40×120 ＝30，这20名工人年龄的方差为120 ×[(19－30)2＋3×(28－30)2＋3×(29－30)2＋5×(30－30)2＋4×(31－30)2＋3×(32－30)2＋(40－30)2]＝12.6.故选A.5．答案：D解析：由题图可知(a ＋a －0.005)×10＝1－(0.010＋0.015＋0.030)×10，解得a ＝0.025，则x ＝105×0.1＋115×0.3＋125×0.25＋135×0.2＋145×0.15＝125.6．答案：C解析：将所给数据从小到大排序得：168，170，172，172，175，176，180，7×0.4＝2.8，故这7人的第40百分位数为第三位数172.7．答案：100解析：由题意知：全部90名学生的平均成绩为：5090 ×76＋4090×85＝80，∴全部90名学生的方差为：5090 ×[]96＋（76－80）2 ＋4090 ×[]60＋（85－80）2＝100.8．答案：③④解析：这10名学生捐款数的中位数是30元，众数是30元，故①，②不正确；因为10×25%＝2.5，所以这10名学生捐款数的25%分位数是30元，故③正确；这10名学生捐款数的平均数＝20×2＋30×4＋50×3＋90×12＋4＋3＋1 ＝40(元)，这10名学生捐款数的方差＝110 ×[2×(20－40)2＋4×(30－40)2＋3×(50－40)2＋1×(90－40)2]＝400.故④正确．9．解析：(1)男、女的样本量按比例分配， 总样本的均值为300500 ×175＋200500 ×165＝171 cm ，总样本的方差为300500 ×[]20＋（175－171）2 ＋200500×[]30＋（165－171）2＝48 cm 2.(2)男、女的样本量都是25，总样本的均值为2550 ×175＋2550×165＝170 cm ，总样本的方差为2550 ×[]20＋（175－170）2 ＋2550×[]30＋（165－170）2 ＝50 cm 2.核心素养升级练1．答案：ACD解析：因为该班有30名男生和20名女生且抽取的男生和女生的比为3∶2，所以这种抽样方法是分层随机抽样，A 正确；抽取的6名男生成绩的平均数x －男＝86＋94＋88＋92＋90＋906 ＝90(分)，抽取的4名女生成绩的平均数x －女＝90＋93＋93＋884＝91(分)，虽然x － 男＜x －女，但并不一定能说明该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，B 不一定正确；这6名男生成绩的方差，s 2男 ＝16 ×[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2＋(90－90)2]＝203 ，这4名女生成绩的方差s 2女 ＝14 ×[(90－91)2＋(93－91)2＋(93－91)2＋(88－91)2]＝92 ，因为203 ＞92 ，所以C 正确；被抽取的10名学生成绩的平均数x －＝610 ×90＋410×91＝90.4(分)，被抽取的10名学生成绩的方差s 2＝610 ×[203 ＋(90－90.4)2]＋410 ×[92＋(91－90.4)2]＝4.096＋1.944＝6.04，D 正确．故选A 、C 、D.2．解析：(1)将所有数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×75%＝9，12×95%＝11.4，则25%分位数是8.0＋8.32 ＝8.15，75%分位数是8.6＋8.92 ＝8.75，95%分位数是第12个数据为9.9.(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则15%分位数是第2个数据7.9.所以产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8 g ，7.9 g.(3)由(1)可知样本数据的25%分位数是8.15 g ，75%分位数为8.75 g ，95%分位数是9.9 g ，所以质量小于或等于8.15 g 的珍珠为次品，质量大于8.15 g 且小于或等于8.75 g 的珍珠为合格品，质量大于8.75 g 且小于或等于9.9 g 的珍珠为优等品，质量大于9.9 g 的珍珠为特优品．。
《分层随机抽样》教学设计◆教学目标1．结合具体的实际问题，理解分层抽样的必要性和重要性；2．通过解决实际统计问题的过程，学会辨别适用分层抽样的实际问题，并会用分层抽样的方法抽取样本．◆教学重难点◆重点：理解分层抽样的必要性和重要性，以及分层随机抽烟过的方法选取和应用．难点：根据分层抽样的特点应用在实际问题上，理解分布的意义．◆教学过程一、情境导入情境：某学校开展学生对教师任教满意度的调查活动，首先，通过问卷对全体学生进行普查，然后根据普查结果，抽取一部分学生进行访谈．下表是该学校在普查中对某位教师任教的所有班级(4个班级)的满意度调查结果：班级编号 1 2 3 4满意度/% 98 97 90 91现在，想从这4个班级中选取一部分学生进行访谈，有4名同学是这样操作的：同学甲从2号班级、4号班级中抽取一部分同学进行访谈．同学乙从1号班级、2号主级中抽取一部分同学进行访谈．同学丙从1号班级、3号班级中抽取一部分同学进行访谈．同学丁从3号班级、4号班级中分别抽取一部分同学进行访谈．你认为哪名同学的调查更合理?答案：在这个调查中，总体是该教师任教班级每一名同学对其任教的满意度，从普查结果来看，总体的分布呈现了满意度“高高低低”的现象，因此，在选取访谈学生的抽样时，既不能只选择两个满意度高的班级，也不能只选择两个满意度低的班级，而是要让样本的分布与总体的分布近似相同，也就是说同学甲和同学丙的抽样更合理一些．设计意图：通过学生身边的简单具体实例，从直观感受的基础上体会分层抽样的必要性，为下面的学习做铺垫．二、新知探究问题1：某市有大、中、小型的商店共1 500家，且这三种类型商店的数量之比为1 : 5 : 9．要调查全市商店的每日零售额情况，要求抽取30家商店进行调查，你认为应该怎样抽取？探究：方案一：将1 500家商店编号，采用随机数表进行简单随机抽样．方案二：将1 500家商店编号，大中小型商店分别采用随机数表法抽10家．追问1：上述两种抽样过程中，每家商店被抽到的概率相等么？答案：相等，都是采用简单随机抽样．追问2：上面两个方案得出的结论是否准确？为什么？答案：上面两个方案得出的结论都具有一定的片面性．这是因为三种类型商家的数量不同，大型商店最少，小型商店最多，方案一抽取出的样本与总体中的三种类型商店的比例不一定相同．方案二得到的样本中的三种商店数量是1 : 1 : 1，与1 : 5 : 9不同．如果总体是由差异明显的几类个体构成，并且知道每一类个体在总体中所占的百分比，那么按照这个比例抽取每一类个体，样本就能很好地反映总体的规律，也会提高对总体推断的准确性．定义：将总体按其属性特征分成互不交叉的若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的个体，这种抽样方法通常叫作分层随机抽样．想一想：你能提出一个更好的方案么？答案：在随机抽样过程中，抽取的样本中三种类型商店的比例，应与总体中三种类型的商店比例相同．可以在方案二的基础上改进，三种类型商店抽取的数量可以按照1 : 5 : 9进行抽取．所以，可以抽取130=2159⨯++（家）大型商店，530=10159⨯++（家）中型商店，930=18159⨯++（家）小型商店，组成样本． 思考：你能总结出分层抽样的操作具体步骤吗？分层抽样的步骤：（1）分层；（2）求比；（3）定数；（4）抽样．问题2：样本容量与总体的个体数之比是分层抽样的比例常数，按照这个比例可以确定各层应抽取的个体数，如果各层应抽取的个体数不都是整数该如何处理？比如：大型商店有11家，中型商店有20家，小型商店有50家，需要抽取8家商店进行调查，该如何抽取？ 答案：11888=11205081⨯++，不是整数，需要调节样本容量，可以利用简单随机抽样剔除一家大型商店，再进行分层抽样．说一说：试总结一下分层抽样的特点？答案：分层抽样的特点：（1）分层要求每层的各个个体互不交叉（不重复，不遗漏，样本结构与总体结构一致）；（2）等比抽样；（3）各层按照简单随机抽样的方法抽取．问题4：简单随机抽样和分层抽样既有共性，又有不同，你能做一个比较么？答案：样的一般步骤，体现了从特殊到一般的思维过程．三、应用举例例1：某地农田分布在山地、丘陵、平原、洼地不同的地形上，要对这个地区的农作物产量进行调查，应当如何抽样？解：因为不同类型农田的产量有较大差异，所以应当采用分层随机抽样的方法，对不同类型的农田按其占总数的比例抽取样本．例2：某公司有1000名员工，其中50名属于高收入者，150名属于中等收人者，800名属于低收入者，要对该公司员工的具体收人情况进行调查，欲抽取100名员工，应当怎样抽样比较合理？并写出具体过程．解：可以采用分层随机抽样的方法．具体过程如下：（1）按照该公司员工收入水平分成三层：高收人者、中等收人者、低收入者．（2）按照样本容量的比例随机抽取各层次员工．高等收入者：中等收入者：低收入者=50 : 150 : 800=1 : 3 : 16（3）高收入者1100=520⨯（人），中等收入者3100=1520⨯（人），低收入者16100=8020⨯（人）．（4）将100人组到一起，得到一个样本．设计意图：帮助学生了解分层抽样，熟悉分层抽样抽取样本的过程，进一步积累基本活动经验．四、课堂练习1、某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则适合的抽取方法是( )A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.先从老人中刷除1人，然后再分层抽样2、某校有500名学生，其中O型血的有200人，A型血的人有125人，B型血的有125人，AB型血的有50人，为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个20人的样本，按分层抽样，O型血应抽取的人数为______人，A型血应抽取的人数为______人，B型血应抽取的人数为人，AB型血应抽取的人数为_______人．3、对某单位1000名职工进行某项专门调查，调查的项目与职工任职年限有关，人事部门提供了如下资料:试利用上述资料设计一个样本容量为100人的抽样方法．参考答案：1．解析：由题意知，总体中几类人群有明显的差异，考虑采用分层抽样；又36×2828+54+81=1008163(人)不是整数，所以需要剔除一部分，由D可知，当剔除1名老人时，老年人抽取36×2728+54+81=6(人)，中年人抽取36×5428+54+81=12(人)，青年人抽取36×8128+54+81=18(人)，都是整数，所以选D．答案：D．2、解析：O型：A型：B型：AB型=200 : 125 : 125 : 50=8 : 5 : 5 : 2，所以样本中O型人数20×820=8(人)，A型人数20×520=5(人)，B型人数20×520=5(人)，AB型人数20×220=2(人)．答案：8，5，5，2．3.解：由于总体中的个体差异由年限不同差异较大，宜采用分层抽样．（1）确定抽样个数．由于样本容量为100，所以5年以下的职工应抽取300×110=30(人)，5年至10年的职工抽取500×110=50(人)，10年以上的职工抽取200×110=20(人)．（2）在每组中采取简单随机抽样抽取样本即可．五、课堂小结设计意图：引导学生对本节课所学知识方法有一个全面的认识，培养学生的归纳总结能力，帮助学生深化对知识的理解与掌握，体会研究解决实际问题的思路、途径、方法，为进一步学习打下坚实基础．六、布置作业教材第157页练习第1题．。
高中数学《抽样方法》教案北师大版必修一、教学目标：1. 让学生理解掌握简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的基本方法。
2. 培养学生运用抽样方法解决实际问题的能力。
3. 让学生体会数学与现实生活的联系，培养学生的数学应用意识。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的方法及其应用。
2. 教学难点：分层抽样和系统抽样的原理及其操作。
三、教学过程：1. 导入：通过现实生活中的实例，引发学生对抽样方法的思考，激发学生的学习兴趣。
2. 自主学习：学生通过阅读教材，理解简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的基本方法。
3. 课堂讲解：讲解简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的原理，并通过例题演示其操作过程。
4. 动手实践：学生分组进行抽样实践，运用所学方法解决实际问题。
5. 归纳总结：教师引导学生总结抽样方法的应用及注意事项。
四、课后作业：1. 完成教材课后练习题。
五、教学评价：1. 课堂讲解评价：评价学生对抽样方法的理解掌握程度。
2. 课后作业评价：评价学生运用抽样方法解决实际问题的能力。
3. 实践操作评价：评价学生在动手实践中的操作技能及团队协作能力。
六、教学内容与目标：章节名称：简单随机抽样教学内容：1. 理解简单随机抽样的概念。
2. 学会使用抽签法和随机数法进行简单随机抽样。
3. 理解简单随机抽样的特点及其在实际应用中的重要性。
教学目标：1. 学生能正确理解简单随机抽样的定义和原理。
2. 学生能够运用抽签法和随机数法进行简单的随机抽样。
3. 学生能够分析简单随机抽样在实际研究中的作用和意义。
七、教学内容与目标：章节名称：分层抽样教学内容：1. 理解分层抽样的概念。
2. 学会根据不同层次进行抽样的方法。
3. 掌握分层抽样的比例分配原则。
教学目标：1. 学生能正确理解分层抽样的概念和原理。
2. 学生能够根据不同层次的特点选择合适的抽样方法。
3. 学生能够运用比例分配原则进行分层抽样，并解释其合理性。
《分层随机抽样的均值与方差》教学设计教学设计一、创设情境某学校高一年级，如果只知道甲班和乙班的数学平均成绩和方差，以及甲班和乙班的人数，而缺少每名学生的成绩，如何计算整个高一年级数学的平均成绩和方差？教师提出问题，引入本节课的课题.设计意图：如果不知道样本中的每一个数据，只知道分层随机抽样中各层的平均数和方差，以及各层所占的比例（权重），如何计算样本的平均数和方差？这是一个新问题.提出问题，引发学生思考，激发学生学习兴趣，引入课题.二、温故知新1.我们前面学习了哪些抽样的方法？如何选择恰当的方法进行抽样？ 提示：简单随机抽样与分层随机抽样，当总体有明显的层次差异时用分层随机抽样.2.如何计算样本数据的均值、方差和标准差？（1）如果在n 个数据中，1x 出现1f 次，2x 出现2f 次k x 出现k f 次()12k f f f n +++=，那么这n 个数的加权平均数是()11221k k x x f x f x f n=+++.（2）方差：()()(2222121)n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦.（3）标准差：(n s x =+-三、探索分层抽样的平均数例1、某公司的高收入员工月平均工资是11000元，中等收入员工月平均工资是6500元，低收入员工月平均工资是2900元.能否认为该公司员工的月平均工资收入是110006500290068003++=（元）？这样计算平均数的方法合理吗？教师追问：（1）如果该公司有90名员工，其中高收入者、中等收入者和低收入者分别是30名，这种计算方法合理吗？（2）如果该公司有10名员工，其中50名属于高收入者，150名属于中等收入者，800名属于低收入者，这种计算方法合理吗？先找几名学生分析，根据学生分析的情况进行点评总结.对于问题（1），由于高收入者、中等收入者和低收入者占的比例相同，这种计算方法是合理的.对于问题（2），由于每一类员工所占比例不同，特别是高收入者很少，他们的月平均工资对该公司员工的月平均工资影响较小.因此，上述计算方法显然不合理.设计意图：让学生从感性上认识平均数并不是简单的几个数字相加除以数字的个数，还要考虑数字所占的比例（权重）.例2、甲、乙两位同学相约晚上在某餐馆吃饭.他们分别在A ，B 两个网站查看同一家餐馆的好评率.甲在网站A 查到的好评率是98%，而乙在网站B 查到的好评率是85%.综合考虑这两个网站的信息，应该如何得到这家餐馆的总好评率？教师追问：（1）根据给出的信息，你能计算出这家餐馆的好评率吗？ （不能计算）（2）假设网站A 有100人进行评价，网站B 也有100人进行评价，你能计算这家餐馆的总好评率吗？（好评率为98%85%91.5%2+=） （3）假设网站A 有100人进行评价，网站B 有200人进行评价，你能计算这家餐馆的总好评率吗？（好评率为10098%20085%89.3%300⨯+⨯≈）（4）假设网站A 有1n 人进行评价，网站B 有2n 人进行评价，你能计算这家餐馆的总好评率吗？（好评率为：设在网站A 评价该餐馆的人数为1n ，其中给出好评的人数为1m ；在网站B 评价该餐馆的人数为2n ，其中给出好评的人数为2m .由题目条件，1198%m n =，2285%mn =.综合A ，B 两个网站的信息，这家餐馆的总好评率应为1212m m n n ++，化简得 12121212120.980.850.980.85n n n n n n n n n n +=⋅+⋅+++.其中，112n n n +和212n n n +分别是各自的权重，总好评率等于相应的好评率与其权重乘积的和.所以除非再知道A ，B 两个网站评价人数的比例关系，否则并不能求出总好评率.设计意图：通过问题设计，给学生搭建台阶，使问题的跨度减小，引导学生逐步深入思考，最后得出结论这样使一般的学生比较容易接受.抽象概括：1.一般地，将样本12,,,m a a a 和样本12,,,n b b b 合并成一个新样本，则这个新样本的平均数为12121212m nm ma a ab b b a a a b b b m n m nm n m m n n+++++++++++++=⋅+⋅+++12m nx x m n m n =+++. 其中样本12,,,m a a a 的平均数为1x ，样本12,,,n b b b 的平均数为2x ，记12,m nw w m n m n==++称为权重. 2.设样本中不同层的平均数和相应权重分别为12,,,n x x x 和12,,,n w w w ，则这个样本的平均数如何计算？设样本中不同层的平均数和相应权重分别为12,,,n x x x 和12,,,n w w w ，则这个样本的平均数为1122n n w x w x w x +++，为了简化表示，引进求和符号，记作11221nn n i i i w x w x w x w x =+++=∑四、探索分层抽样的方差例3、甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？让学生自己完成甲、乙两班全部90名学生的平均成绩的计算，教师可以找两名学生板演计算过程.解：设甲班50名学生的成绩分别是1250,,,a a a ，那么甲班的平均成绩、权重和方差分别为()1250 5080.5,5090a a a x w +++===甲甲分， ()()()2221250250050a x a x a x s -+-++-==甲甲甲甲.设乙班40名学生的成绩分别是1240,,,b b b ，那么乙班的平均成绩、权重和方差分别为()12404085,4090b b b x w +++===乙乙分 ()()()2221240236040b x b x b x s -+-++-==乙乙乙乙.如果不知道1250,,,a a a 和1240,,,b b b ，只知道甲、乙两班的平均成绩、方差及权重，那么根据前面的分析，全部90名学生的平均成绩应为504080.58582.59090x x x ωω=+=⨯+⨯=甲甲乙乙（分） 提出问题：如何计算90名学生的方差？先让学生进行充分的思考讨论，然后引导学生利用方差公式进行推导. 全部90名学生的方差可以用式子()()22222s w s x x w s x x ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦乙乙乙甲甲甲①进行计算，因此，()()22222 s w s x x w s x x ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦乙乙乙甲甲甲 225040500(80.582.5)360(8582.5)9090⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-⎣⎦⎣⎦ 505005044036040 6.25442.7890⨯+⨯+⨯+⨯=≈.根据方差的意义，全部90名学生的方差为()()50402211190i i i i a x b x ==⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦∑∑，它与运用式子①得出的结果是否一致呢？ 实际上()()50502211i i i i a x a x x x ==-=-+-∑∑甲甲()()()()502212i i i a x a x x x x x =⎡⎤=-+--+-⎣⎦∑甲甲甲甲()()()()50502211250i i i i a x x x a x x x ===-+--+-∑∑甲甲甲甲.因为()5012501500i i a x a a a x =-=+++-=∑甲甲，所以()()()50502221150i i i i a x a x x x ==-=-+-∑∑甲甲.同理()()()40402221140i i i i b x b x x x ==-=-+-∑∑乙乙.于是()()5040221190iii i a x b x ==-+-∑∑()()()()5040222211504090i i i i a x x x b x x x ==-+-+-+-=∑∑乙甲甲乙()()()()504022221150405040905090904090i i i i a x b x x x x x ==----=⨯++⨯+∑∑甲乙甲乙()()2222w s x x w s x x ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦甲甲甲乙乙乙.让学生代入公式求全部90名学生的方差教师找两名学生板演计算过程. 抽象概括：设样本中不同层的平均数分别为12,,,n x x x ，方差分别为22212,,,n s s s ，相应的权重分别为12,,,n ωωω，则这个样本的方差为()2221ni i i i s s x x ω=⎡⎤=+-⎣⎦∑，其中x 为这个样本的平均数.设计意图：分层随机抽样样本方差公式的推导，运算量比较大，对学生的计算能力要求比较高，教师要根据学生的具体情况，进行必要的引导，帮助学生完成推导过程由于推导过程比较烦琐，推导出公式后，要求学生记住这个公式.五、课堂总结引导学生从两个方面进行归纳：1.分层随机抽样的均值与方差公式的推导.2.分层随机抽样的均值与方差公式的应用. 六、课后作业1.教材第171页练习第1题.2.教材第173页练习第1题.板书设计,m a 和样本n b ,合并成一个新样本，则这1212m n ma b b b a a a m m n m n m+++++++++=⋅++212m b b m n x x n m n m n++=+++. 其中样本12,,,m a a a 的平均数为1x ，样本12,,,n b b b 的平均数为2nw m n=+称为权重 设样本中不同层的平均数和相应权重分别为2,,n x x 和w 则这个样本的平均数为11n n w x w w x ++，为了简化表示，引进求和符号，n n w x +=二、分层随机抽样的方差,,n x ，方差分别为2,,n s ，相,n ω，则这个样本的方差为)2i x x ⎤-⎦，为这个样本的平均数教学研讨本案例通过设计问题情境，引发学生思考，激发学生探索欲望.分层随机抽样的均值的学习，由例4的感性认识到例5的理论推导，在推导过程中，设计层层递进的问题，给学生的思维搭建台阶，体现数学由特殊到一般的思维过程，学生比较容易接受.分层随机抽样的方差，公式的推导运算量比较大，要求学生有一定的运算能力，特别是刚接触求和符号“Σ”，学生对含有求和符号的式子的处理更加困难，因此教师对于分层随机抽样方差公式的推导要根据学生的情况做合理的要求，不要统一要求，但是要求学生要记住公式，在具体问题中能够直接运用.。
《用样本估计总体分布》教学设计二教学设计一、创设情境，引入新课在NBA的某赛季中，甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：甲运动员得分：12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50.乙运动员得分：8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33.请问从上面的数据中你能否看出甲、乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容—用样本的频率分布估计总体分布.二、探究新知（一）从频数到频率问题：甲运动员得分大于30分的频数是多少？他得分大于30分的频率是多少？频数与频率哪个能更好地反映运动员的得分水平？师生活动：教师展示问题，学生思考回答.在总体容量不大并且总体个数确定的情况下，频数与频率都能够反映运动员的水平.但在总体容量不明确或总体容量较大的情况下，只知道某个指标的频数是不够的，需要用频率来刻画.频率表示频数与总数的比值，能更好地反映样本和总体的相应特征.学生阅读教材第159~160页内容，思考、讨论、交流教材的例1与例2.教师引导学生分析不同年份的情况，从不同角度进行分析.教师引导学生进行抽象概括：频率反映了相对总数而言的相对强度，其所携带的总体信息远超过频数.在实际问题中，如果总体容量比较小，频数也可以较客观地反映总体分布；当总体容量较大时，频率就更能客观地反映总体分布.设计意图：通过NBA篮球运动员比赛得分的情况，引出频数与频率，为用样本的频率分布估计总体频率分布作准备.（二）频率分布直方图例1895年，在英国伦敦有106块男性头盖骨被挖掘出土.经考证，头盖骨的主人死于1665年-1666年的大瘟疫.人类学家分别测量了这些头盖骨的宽度，数据如下所示（单位mm）：146 141 139 140 145 141 142 131 142 140 144 140138 139 147 139 141 137 141 132 140 140 141 143134 146 134 142 133 149 140 140 143 143 149 136141 143 143 141 138 136 138 144 136 145 143 137142 146 140 148 140 140 139 139 144 138 146 153148 152 143 140 141 145 148 139 136 141 140 139158 135 132 148 142 145 145 121 129 143 148 138149 146 141 142 144 137 153 148 144 138 150 148138 145 145 142 143 143 148 141 145 141请大家思考：用什么统计图可以直观表示上述数据的分布状况？你能根据上述数据估计在1665年-1666年英国男性头盖骨宽度的分布情况吗？师生活动：教师展示问题.问题1：我们学习了哪些统计图？不同的统计图适合描述什么样的数据？问题2：这道题目我们用什么统计图描述比较合适？问题3：如何画频数分布条形图？学生回忆初中学习的统计图表知识回答上述问题.设计意图：问题引领，调动学生的思维积极性，使学生的主体作用得到发挥.问题4：如教材图6-5，图中每个小矩形的底边长是该组的组距，每个小矩形的高是该组的频率与组距的比，从而每个小矩形的面积等于该组的频率，即每个小矩形的面积=组距 频率组距=频率.我们把这样的图叫作频率分布直方图.你能不能画出给定数据的频率分布直方图？基本步骤是什么？提示：（1）计算最大值和最小值的差；（2）决定组距和组数，通常第一组起点稍微减小一点；组距：把所有数据等距离地分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）.（3）分组，确定分点，将数据分组；（4）列频率分布表，对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数（叫作频数），再计算出每一组出现的频率，整理可得频率分布表；（5）画频率分布直方图.教师引导学生明确：（1）纵坐标表示频率与组距的比值，小长方形的面积=组距 频率组距=频率.（2）由于各组频率之比等于小矩形的面积之比，也等于各矩形的高度之比，所以我们画频率分布直方图的时候，通常先确定高度最低的矩形，然后再按比例画其他矩形.（3）频率分布直方图中的每个小矩形的面积代表数据落在这个区域的频率，所有小矩形的面积之和=1.（4）频率分布表和频率分布直方图是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度来表示数据分布的规律，可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况（原有的具体数据信息就被抹掉了）.问题5：你能根据上述数据估计在1665年-1666年英国男性头盖骨宽度的分布情况吗？解：如果把总体看作是1665年-1666年英国男性头盖骨的宽度，就要通过上面出土得到的样本信息来估计总体的分布情况.但从上面的数据很难直接估计出总体的分布情况，为此，先将以上数据按每个数据出现的频数和频率绘成表.从表格中，我们就能估计出总体大致的分布情况了，但是，这些关于分布情况的描述仍不够形象，为了得到更为直观的信息，可以再将表中的数据按照下面的方式分组，做出频率分布表.从而得到频数分布条形图、频率分布直方图.给学生留充足的时间完成绘制频率分布直方图.观察直方图，回答问题：（1）头盖骨的宽度位于哪个范围的最多？提示：[)140,145（2）头盖骨的宽度位于[)140,145的频率约是多少？提示：43.4%（3）头盖骨的宽度小于140mm 的频率约是多少？提示：28.3%（4）头盖骨的宽度位于[)137,142的频率约是多少？提示：320.2080.4340.298429.84%55⨯+⨯==.归纳总结：1.频率分布表和频率分布直方图是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度来表示数据分布的规律，可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况，但是，原有的具体数据信息就被抹掉了.2.画频率分布直方图的步骤：（1）计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差；（2）决定组距与组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图.设计意图：这是本节课的核心.一是训练学生的动手操作能力，积累实践经验，培养学生处理数据的能力，训练学生自主分析、解决问题的能力；二是发现学生实际解决问题中的障碍，及时点拨、讨论，训练学生的批判思维能力；三是在学生的交流、探究中培养学生相互协作的能力.（三）频率折线图在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间.从所加左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端的中点，直至所加的右边区间的中点，就得到频率折线图.问题1：阅读教材第163~164页内容.想一想，频率折线图能否大致反映总体的情况？如果不断增大样本容量，分组数也随之增多，频率折线图会有怎样的变化？提示：一般地，样本容量越大，用样本的频率分布去估计总体的分布就越精确.随着样本容量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线.设计意图：培养学生的抽象概括能力，进一步体会无限逼近的思想、统计的随机性与概率的稳定性的关系.三、巩固应用例1 为了了解高二学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二组频数为12.（1）第二组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高二学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个组内？请说明理由.解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各组内的频率大小，因此第二组的频率为：40.08 24171593=+++++.因为第二组频率=第二组频数÷样本容量，所以样本容量为121500.08=. （2）估计该学校高二学生的达标率约为17159388%24171593+++=+++++. （3）由已知可得各组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四组内.例2 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表（1）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,94,2,94102,4,102,t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩计算生产100件B 产品获得的利润.解：（1）由试验结果可知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为2280.3100+=， 所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果可知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.（2）用B 配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90,94),[94,102),[102,110]的频数分别为4，54，42，因此生产100件B 产品获得的利润为4(2)542424268⨯-+⨯+⨯=（元）.设计意图：例题的设计，让学生感受到数学问题的变化，能用所学知识解决新问题是数学学习的主旨.当学生用自己的知识解决问题后，会有极大的成就感，提高了学习兴趣，体验了数学学习的真谛.四、课堂总结1.频率分布直方图、频率折线图.2.绘制频率分布直方图的一般步骤.3.频率分布直方图的特征：（1）从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势.（2）从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了.设计意图：通过回顾所学内容总结并加深对知识的掌握.板书设计教学研讨本节课力争体现新课标的理念，给学生足够的时间，进行思考、动手操作，让学生们相互交流，参与到教学的过程中，体验数据处理、信息分析、到最后进行决策等统计思维的整个过程，使学生始终保持较高的学习积极性.特别是问题情境的创设与统计方法、统计思想的渗透实现了“无缝对接”，使学生感受不到设计的痕迹，而是全身心投入到问题的解决过程中，在“润物无声”中，体会了统计的思想、方法在现实生活中的作用，完成本节课的教学目标.有条件的学校可以让学生利用信息技术工具（excel）绘制频率分布直方图.学生使用信息技术工具绘制频率分布直方图的环节，针对不同的分组情况，如选出有代表性的几名学生的不同分组方法，画出不同的频率分布直方图可以使学生体会到不同的组距对作图的影响，更有利于学生体会数据处理的灵活性及科学性.若将题目中的原始数据改为200个，再让学生体会不同的分组对作图的影响，课堂效果会更好.。
《分层随机抽样的均值与方差》教学设计教学设计一、创设情境某学校高一年级，如果只知道甲班和乙班的数学平均成绩和方差，以及甲班和乙班的人数，而缺少每名学生的成绩，如何计算整个高一年级数学的平均成绩和方差？教师提出问题，引入本节课的课题.设计意图：如果不知道样本中的每一个数据，只知道分层随机抽样中各层的平均数和方差，以及各层所占的比例（权重），如何计算样本的平均数和方差？这是一个新问题.提出问题，引发学生思考，激发学生学习兴趣，引入课题.二、温故知新1.我们前面学习了哪些抽样的方法？如何选择恰当的方法进行抽样？ 提示：简单随机抽样与分层随机抽样，当总体有明显的层次差异时用分层随机抽样.2.如何计算样本数据的均值、方差和标准差？（1）如果在n 个数据中，1x 出现1f 次，2x 出现2f 次k x 出现k f 次()12k f f f n +++=，那么这n 个数的加权平均数是()11221k k x x f x f x f n=+++.（2）方差：()()(2222121)n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦.（3）标准差：(n s x =+-三、探索分层抽样的平均数例1、某公司的高收入员工月平均工资是11000元，中等收入员工月平均工资是6500元，低收入员工月平均工资是2900元.能否认为该公司员工的月平均工资收入是110006500290068003++=（元）？这样计算平均数的方法合理吗？教师追问：（1）如果该公司有90名员工，其中高收入者、中等收入者和低收入者分别是30名，这种计算方法合理吗？（2）如果该公司有10名员工，其中50名属于高收入者，150名属于中等收入者，800名属于低收入者，这种计算方法合理吗？先找几名学生分析，根据学生分析的情况进行点评总结.对于问题（1），由于高收入者、中等收入者和低收入者占的比例相同，这种计算方法是合理的.对于问题（2），由于每一类员工所占比例不同，特别是高收入者很少，他们的月平均工资对该公司员工的月平均工资影响较小.因此，上述计算方法显然不合理.设计意图：让学生从感性上认识平均数并不是简单的几个数字相加除以数字的个数，还要考虑数字所占的比例（权重）.例2、甲、乙两位同学相约晚上在某餐馆吃饭.他们分别在A ，B 两个网站查看同一家餐馆的好评率.甲在网站A 查到的好评率是98%，而乙在网站B 查到的好评率是85%.综合考虑这两个网站的信息，应该如何得到这家餐馆的总好评率？教师追问：（1）根据给出的信息，你能计算出这家餐馆的好评率吗？ （不能计算）（2）假设网站A 有100人进行评价，网站B 也有100人进行评价，你能计算这家餐馆的总好评率吗？（好评率为98%85%91.5%2+=） （3）假设网站A 有100人进行评价，网站B 有200人进行评价，你能计算这家餐馆的总好评率吗？（好评率为10098%20085%89.3%300⨯+⨯≈）（4）假设网站A 有1n 人进行评价，网站B 有2n 人进行评价，你能计算这家餐馆的总好评率吗？（好评率为：设在网站A 评价该餐馆的人数为1n ，其中给出好评的人数为1m ；在网站B 评价该餐馆的人数为2n ，其中给出好评的人数为2m .由题目条件，1198%m n =，2285%mn =.综合A ，B 两个网站的信息，这家餐馆的总好评率应为1212m m n n ++，化简得 12121212120.980.850.980.85n n n n n n n n n n +=⋅+⋅+++.其中，112n n n +和212n n n +分别是各自的权重，总好评率等于相应的好评率与其权重乘积的和.所以除非再知道A ，B 两个网站评价人数的比例关系，否则并不能求出总好评率.设计意图：通过问题设计，给学生搭建台阶，使问题的跨度减小，引导学生逐步深入思考，最后得出结论这样使一般的学生比较容易接受.抽象概括：1.一般地，将样本12,,,m a a a 和样本12,,,n b b b 合并成一个新样本，则这个新样本的平均数为12121212m nm ma a ab b b a a a b b b m n m nm n m m n n+++++++++++++=⋅+⋅+++12m nx x m n m n =+++. 其中样本12,,,m a a a 的平均数为1x ，样本12,,,n b b b 的平均数为2x ，记12,m nw w m n m n==++称为权重. 2.设样本中不同层的平均数和相应权重分别为12,,,n x x x 和12,,,n w w w ，则这个样本的平均数如何计算？设样本中不同层的平均数和相应权重分别为12,,,n x x x 和12,,,n w w w ，则这个样本的平均数为1122n n w x w x w x +++，为了简化表示，引进求和符号，记作11221nn n i i i w x w x w x w x =+++=∑四、探索分层抽样的方差例3、甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？让学生自己完成甲、乙两班全部90名学生的平均成绩的计算，教师可以找两名学生板演计算过程.解：设甲班50名学生的成绩分别是1250,,,a a a ，那么甲班的平均成绩、权重和方差分别为()1250 5080.5,5090a a a x w +++===甲甲分， ()()()2221250250050a x a x a x s -+-++-==甲甲甲甲.设乙班40名学生的成绩分别是1240,,,b b b ，那么乙班的平均成绩、权重和方差分别为()12404085,4090b b b x w +++===乙乙分 ()()()2221240236040b x b x b x s -+-++-==乙乙乙乙.如果不知道1250,,,a a a 和1240,,,b b b ，只知道甲、乙两班的平均成绩、方差及权重，那么根据前面的分析，全部90名学生的平均成绩应为504080.58582.59090x x x ωω=+=⨯+⨯=甲甲乙乙（分） 提出问题：如何计算90名学生的方差？先让学生进行充分的思考讨论，然后引导学生利用方差公式进行推导. 全部90名学生的方差可以用式子()()22222s w s x x w s x x ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦乙乙乙甲甲甲①进行计算，因此，()()22222 s w s x x w s x x ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦乙乙乙甲甲甲 225040500(80.582.5)360(8582.5)9090⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-⎣⎦⎣⎦ 505005044036040 6.25442.7890⨯+⨯+⨯+⨯=≈.根据方差的意义，全部90名学生的方差为()()50402211190i i i i a x b x ==⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦∑∑，它与运用式子①得出的结果是否一致呢？ 实际上()()50502211i i i i a x a x x x ==-=-+-∑∑甲甲()()()()502212i i i a x a x x x x x =⎡⎤=-+--+-⎣⎦∑甲甲甲甲()()()()50502211250i i i i a x x x a x x x ===-+--+-∑∑甲甲甲甲.因为()5012501500i i a x a a a x =-=+++-=∑甲甲，所以()()()50502221150i i i i a x a x x x ==-=-+-∑∑甲甲.同理()()()40402221140i i i i b x b x x x ==-=-+-∑∑乙乙.于是()()5040221190iii i a x b x ==-+-∑∑()()()()5040222211504090i i i i a x x x b x x x ==-+-+-+-=∑∑乙甲甲乙()()()()504022221150405040905090904090i i i i a x b x x x x x ==----=⨯++⨯+∑∑甲乙甲乙()()2222w s x x w s x x ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦甲甲甲乙乙乙.让学生代入公式求全部90名学生的方差教师找两名学生板演计算过程. 抽象概括：设样本中不同层的平均数分别为12,,,n x x x ，方差分别为22212,,,n s s s ，相应的权重分别为12,,,n ωωω，则这个样本的方差为()2221ni i i i s s x x ω=⎡⎤=+-⎣⎦∑，其中x 为这个样本的平均数.设计意图：分层随机抽样样本方差公式的推导，运算量比较大，对学生的计算能力要求比较高，教师要根据学生的具体情况，进行必要的引导，帮助学生完成推导过程由于推导过程比较烦琐，推导出公式后，要求学生记住这个公式.五、课堂总结引导学生从两个方面进行归纳：1.分层随机抽样的均值与方差公式的推导.2.分层随机抽样的均值与方差公式的应用. 六、课后作业1.教材第171页练习第1题.2.教材第173页练习第1题.板书设计,m a 和样本n b ,合并成一个新样本，则这1212m n ma b b b a a a m m n m n m+++++++++=⋅++212m b b m n x x n m n m n++=+++. 其中样本12,,,m a a a 的平均数为1x ，样本12,,,n b b b 的平均数为2nw m n=+称为权重 设样本中不同层的平均数和相应权重分别为2,,n x x 和w 则这个样本的平均数为11n n w x w w x ++，为了简化表示，引进求和符号，n n w x +=二、分层随机抽样的方差,,n x ，方差分别为2,,n s ，相,n ω，则这个样本的方差为)2i x x ⎤-⎦，为这个样本的平均数教学研讨本案例通过设计问题情境，引发学生思考，激发学生探索欲望.分层随机抽样的均值的学习，由例4的感性认识到例5的理论推导，在推导过程中，设计层层递进的问题，给学生的思维搭建台阶，体现数学由特殊到一般的思维过程，学生比较容易接受.分层随机抽样的方差，公式的推导运算量比较大，要求学生有一定的运算能力，特别是刚接触求和符号“Σ”，学生对含有求和符号的式子的处理更加困难，因此教师对于分层随机抽样方差公式的推导要根据学生的情况做合理的要求，不要统一要求，但是要求学生要记住公式，在具体问题中能够直接运用.。
