苏教版数学高一苏教版必修3素材2.3.2方差与标准差

2.3.2方差与标准差（1）教学目标：1．正确理解样本数据方差、标准差的意义和作用，2．学会计算数据的方差、标准差；3．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．教学重点：用样本数据的方差和标准差估计总体的方差与标准差．教学难点：理解样本数据的方差、标准差的意义和作用，形成对数据处理过程进行初步评价的意识．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、创设情景，揭示课题有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2）,通过计算发现，两个样本的平均数均为125．提出问题：哪种钢筋的质量较好？二、学生活动由图可以看出，乙样本的最小值100低于甲样本的最小值100，最大值145高于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range ）．由图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极差小，数据点较集中，这说明甲比乙稳定．运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论．考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是方差和标准差． 三、建构数学 1．方差：一般地，设一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，其平均数为－x ，则称－　212)(1x x n s ni i -=∑=为这个样本的方差．因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差．2．标准差：21)(1-=-=∑x x n s ni i 标准差也可以刻画数据的稳定程度． 3．方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大． 四、数学运用例1 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为[（9.8－10）2 ＋（9.9－10）2＋（10.1－10）2＋（10－10）2＋（10.2－10）2]÷5＝0.02.乙品种的样本平均数也为10，样本方差为[（9.4－10）2＋（10.3－10）2＋（10.8－10）2＋（9.7－10）2＋（9.8－10）2]÷5＝0.24因为0.24＞0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定．例2为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差．分析用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均寿命．解：各组中值分别为165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均数约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)这些组中值的方差为1/100×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2128.60(天2)．故所求的标准差约462128 （天）6.答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天,标准差约为46天.巩固深化，反馈矫正：（1）课本第71页练习第2，4，5题；（2）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为；五、归纳整理，整体认识1．用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：（1）用样本平均数估计总体平均数．（2）用样本方差、标准差估计总体方差、标准差．样本容量越大，估计就越精确．2．方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

2.3。

2 方差与标准差的统计问题。

1．极差把一组数据的最大值与最小值的差称为极差．极差较大，数据点较分散;极差较小，数据点较集中，较稳定．运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但当两组数据的集中程度差异不大时,就不容易得出结论．预习交流1下列叙述不正确的序号是__________．①样本的平均数可以近似地描述总体的平均水平②极差描述了一组数据变化的幅度③样本的方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小④一个班级的数学成绩的方差越大，说明成绩越稳定提示：一个班级的数学成绩的方差越大,说明成绩越不稳定,故④不正确．2．样本方差、样本标准差的概念一般地，设一组样本数据x1，x2,…,x n,其平均数为错误!，则称s2＝错误!错误!(x i－错误!)2为这个样本的方差，其算术平方根s＝错误!为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差．标准差的单位与原始数据单位相同，方差的单位是原始数据单位的平方．预习交流2样本方差和样本标准差描述了样本数据的什么特征？提示：样本方差与样本标准差是刻画数据的离散程度的统计量,它反映了一组数据围绕其平均数波动的大小程度．方差、标准差越大，离散程度越大，方差、标准差越小，离散程度越小,就越稳定．因此方差、标准差也可以刻画一组数据的稳定程度．预习交流3（1)下列说法中正确的是__________．①在统计里，把所需考察对象的全体叫做总体②一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据③平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势④一组数据的方差越大说明这组数据的波动越大（2)在统计中，样本的标准差可以近似地反映总体数据的①平均状态②分布规律③离散程度④最大值和最小值其中正确的是__________．（3）若样本x1＋1,x2＋1，x3＋1，…，x n＋1的平均数为10，方差为2,则样本x1＋2,x2＋2，x3＋2，…，x n＋2的平均数、方差分别为__________，__________.提示：（1)①③④（2)③(3）11 2一、方差、标准差的计算某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2，3,4,5的学生进行投篮练习,每人投10次，投中的次数如下表：思路分析：解答本题的关键是掌握方差、标准差的公式和求解步骤．解：错误!＝错误!＝7，错误!＝错误!＝7，s错误!＝错误!［(6－7)2＋3×（7－7)2＋（8－7）2]＝错误!＝0。

2.3.2 方差与标准差1．理解样本数据方差与标准差的意义和作用，会计算数据的方差、标准差．(重点、难点)2．掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想．(难点)[基础·初探]教材整理方差与标准差阅读教材P69～P70“例4”上边的内容，并完成下列问题．1．极差的概念我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差．2．方差与标准差的概念(1)设一组样本数据x1，x2，…，x n，其平均数为x－，则称s2＝1n∑i＝1n(x i－x－)2为这个样本的方差．(2)方差的算术平方根s＝1n∑i＝1n(x i－x－)2为样本的标准差．填空：(1)已知样本方差为s2＝110∑i＝1n(x i－5)2，则样本的平均数x－＝________；x1＋x2＋…＋x10＝________. 【导学号：11032048】【解析】由题意得x＝5，n＝10，∴x ＝x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 1010＝5，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝50.【★答案★】 5 50(2)数据10,6,8,5,6的方差s 2＝________. 【解析】 5个数的平均数x ＝10＋6＋8＋5＋65＝7，所以s 2＝15×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2. 【★答案★】 3.2[小组合作型]方差与标准差的计算(1)某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图如图2-3-7， 则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．图2-3-7(2)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和标准差分别为________、________.【精彩点拨】 根据方差和均值的定义进行计算．【自主解答】 (1)依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均数为8＋9＋10＋13＋155＝11.故方差为s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝15(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.(2)样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值x ＝110(x 1＋x 2＋…＋x 10)＝1，方差s′2＝110[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2]＝4，新数据x1＋a，x2＋a，…，x10＋a的均值x＝110(x1＋a＋x2＋a＋…＋x10＋a)＝110(x1＋x2＋…＋x10)＋a＝1＋a.新数据x1＋a，x2＋a，…，x10＋a的方差s2＝110[(x1＋a－1－a)2＋(x2＋a－1－a)2＋…＋(x10＋a－1－a)2]＝110[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2]＝4.∴s＝2.【★答案★】(1)6.8(2)1＋a 2求样本方差或标准差的步骤：(1)求样本的平均数x－＝1n∑i＝1nx i；(2)利用公式s2＝1n∑i＝1n(x i－x－)2求方差s2；(3)利用s＝s2求标准差s.[再练一题]1．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．【解析】由题意知15(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1，所以样本方差为s2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.【★答案★】 2方差与标准差的应用加工的零件中抽取6件测量，所得数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数与方差；(2)根据计算的结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 【精彩点拨】 求平均数→计算方差 →根据方差的大小进行判断【自主解答】 (1)x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同．又s 2甲＞s 2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定．1．方差和标准差都是反映一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．方差、标准差越大，数据的离散程度越大；方差、标准差越小，数据的离散程度越小或数据越集中，稳定．2．比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及方差或标准差这两个方面考虑．[再练一题]2．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5次测试，成绩记录如下：甲：78 76 74 90 82 乙：90 70 75 85 80现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，应选择________同学．(填“甲”或“乙”)【解析】 x 甲＝80，x 乙＝80，而s 2甲＝15×[(78－80)2＋(76－80)2＋(74－80)2＋(90－80)2＋(82－80)2]＝32.s 2乙＝15×[(90－80)2＋(70－80)2＋(75－80)2＋(85－80)2＋(80－80)2]＝50. ∵x 甲＝x 乙，s 2甲＜s 2乙，∴从统计学的角度考虑，选甲参加更合适． 【★答案★】 甲[探究共研型]平均数、方差的性质 探究1 何？s ＝0表示怎样的意义？【提示】 由于方差进行了平方运算，故方差的单位是原始数据单位的平方，从而标准差的单位与原始数据的单位相同．由标准差的定义知s ≥0，当s ＝0时，表示所有的样本数据都相同．探究2 所有样本数据均加上一个常数，其平均数、方差改变吗？若所有样本数据均乘以一个非零常数时，结果又会怎样？【提示】 设样本x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，方差为s 2，则样本x 1＋b ，x 2＋b ，…，x n ＋b 的平均数为x －＋b ，方差为s 2；样本ax 1，ax 2，…，ax n 的平均数为a x －，方差为a 2s 2.从某班抽取5名学生测量身高(单位：cm)数据如下：161,163,162,165,164.求这5名学生身高的平均数及标准差． 【精彩点拨】 本题可用两种解法． 方法一是直接套公式计算．方法二把原数据统一减去一个常数160，通过新数据的平均数、方差求解． 【自主解答】 法一：身高的平均数x －＝ 161＋163＋162＋165＋1645＝163(cm)，标准差s ＝15[(161－163)2＋(163－163)2＋(162－163)2＋(165－163)2＋(164－163)2] ＝2(cm)．法二：将原数据都减去160之后得到一组新数据为1,3,2,5,4， 新数据的平均数x －′＝15(1＋3＋2＋5＋4)＝3，新数据的方差s ′2＝15[(1－3)2＋(3－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝2， 由平均数及方差的性质得原数据的平均数x －＝160＋3＝163(cm)， 原数据的标准差s ＝s ′2＝2(cm)．1．平均数、方差具有以下性质．(1)数据x 1，x 2，…，x n 与数据x 1′＝x 1＋a ，x 2′＝x 2＋a ，…，x n ′＝x n ＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变．(2)若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，方差为s 2，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数为m x －＋a ，方差为m 2s 2.2．利用以上性质可使平均数，方差的计算变得简单．[再练一题]3．已知k 1，k 2，…，k n 的方差为5，则3(k 1－4)，3(k 2－4)，…，3(k n －4)的方差为________.【导学号：11032049】【解析】 设k 1，k 2，…，k n 的平均数为k ，则3(k 1－4)，3(k 2－4)，…，3(k n －4)的平均数为3(k －4)，∴s 2＝1n ∑i ＝1n [3(k i －4)－3(k －4)]2＝1n ∑i ＝1n [3(k i －k )]2＝9×1n ∑i ＝1n (k i －k )2＝9×5＝45.【★答案★】 451．下列叙述不正确的是________．(填序号) ①样本的平均数可以近似地描述总体的平均水平； ②极差描述了一组数据变化的幅度；③样本的方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小； ④一个班级的数学成绩的方差越大说明成绩越稳定．【解析】 选项①②③都是对三个基本概念的正确描述，方差越大说明一组数据围绕平均数的波动越大，所以，一个班级的数学成绩的方差越大，说明成绩越不稳定，因此选项④是不正确的．故选④.【★答案★】 ④2．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差见表：甲 乙 丙 丁 平均数x － 8.5 8.8 8.8 8 方差s 23.53.52.18.7【解析】 由平均数及方差的定义知，丙的平均成绩较高且较稳定． 【★答案★】 丙3．若1,2,3，x 的平均数是5，而1,3,3，x ，y 的平均数是6，则1,2,3，x ，y 的方差是________．【解析】 由5＝1＋2＋3＋x4得x ＝14. 同理y ＝9.由s 2＝15(12＋22＋32＋142＋92)－5.82＝24.56. 【★答案★】 24.564．已知样本9,10,11，x ，y 的平均数是10，方差是4，则xy ＝________.【导学号：11032050】【解析】 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧9＋10＋11＋x ＋y 5＝10，15()92＋102＋112＋x 2＋y 2－102＝4，整理得⎩⎨⎧x ＋y ＝20， ①x 2＋y 2＝218， ②①2－②得2xy ＝182， ∴xy ＝91. 【★答案★】 915．假定下述数据是甲、乙两个供货商的交货天数， 甲：10,9,10,10,11,11,9,11,10,10； 乙：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12.根据两个供货商的交货情况．并计算哪个供货商交货时间短一些，哪个供货商交货时间较具一致性与可靠性？【解】 x －甲＝110(10＋9＋…＋10)＝10.1， s 2甲＝110(102＋92＋…＋102)－10.12＝0.49， x －乙＝110(8＋10＋…＋12)＝10.5， s 2乙＝110(82＋…＋122)－10.52＝6.05. ∴s 2甲<s 2乙.从交货天数的平均值来看，甲供货商的供货天数短一些，从方差来看，甲供货商的交货天数较稳定，因此甲是较具一致性与可靠性的厂商．。

2.3.2方差与标准差整体设计教材分析“方差与标准差”这节课在上节课平均数的基础上，从实例“有甲、乙两种钢筋，检查它们的抗拉强度”中平均数不是反映总体质量、水平的唯一特征数，在平均值相差不大的情况下，数据的稳定程度可以作为评价对象质量高低的又一重要因素，从而说明引入方差、标准差的必要性，同时使学生养成从多个角度看问题的习惯，锻炼了学生的创造性思维.为了让学生充分体会“稳定性”的意义，教材中用数轴表示两组数据，形象地表现出数据的“聚散”程度，并用极差反映数据的稳定性.当两组数据的极差相差不大时，就不适宜用极差来表示稳定性，这时可用“方差与标准差”作为比较数据稳定性的特征数.初中已学过方差概念，现在的教学不能停留在原有的水平上，要将用方差刻画数据的稳定程度的理由讲清楚，充分揭示用方差作为比较数据稳定性水平的特征数的思维过程.通过方差的单位与原数据的单位的比较,通过实际问题的分析,让学生了解到用方差反映稳定性水平的不足之处是与原数据单位不一致,且平方后可能夸大偏差的程度等,从而引入“标准差”的概念,这一过程应让学生在形成问题和解决问题的过程中加以探索.三维目标1.通过对具体案例的分析掌握样本数据的平均数、方差与标准差的基本概念和计算方法，培养学生分析问题和解决问题的能力,激发学生探究数学问题的兴趣和动机.2.在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.3.引导学生对一些生活中实际问题的学习, 进一步培养学生的数学素养和增强学生的数学应用意识及认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.4.渗透数学来源于实践，反过来又作用于实践的观点.重点难点教学重点：1.通过实例理解样本数据方差与标准差的意义和作用,学会计算数据的样本方差与标准差.2.根据方差与标准差对事件进行科学的决策，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.教学难点：1.方差与标准差的计算方法及运算的准确性.2.用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,从中进一步理解统计的基本思想.课时安排1课时教学过程导入新课平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是，平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断.某地区的统计报表显示，此地区的年平均家庭收入是10万元，给人的印象是这个地区的家庭收入普遍比较高.但是，如果这个平均数是从200户贫困家庭和20户极富有的家庭收入计算出来的，那么它就既不能代表贫困家庭的年收入，也不能代表极富有家庭的年收入.因为这个平均数掩盖了一些极端情况.而这些极端情况显然是不能被忽视的.因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际情况.举例：有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本（如下表）检查他们的抗拉强度（单位：kg/mm2），通过计算发现，两个样本的平均数均为125.哪种钢筋的质量较好？两种钢筋的平均数都是125，那么,它们有没有什么差异呢?推进新课作出图形，作直观比较：直观上看，还是有差异的.乙的强度比较分散，甲的强度相对集中.因此，我们还需要从另外的角度来考察这两组数据.例如，在作统计图、表时提到过的极差甲的强度极差＝135-110=25,乙的强度极差＝145-100=45.它在一定程度上表明了样本数据的分散程度，与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息，显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略.新知探究1.方差(variance)的概念：考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是方差，一般用s 2表示.假设样本数据是x 1,x 2,…,x n ，x 表示这组数据的平均数.结合上节课有关离差的讨论可知,离差越小,稳定性就越高. 因此，通常用如下公式计算方差：∑=-=ni i x x n s 122)(1. 因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了离差的程度,因此将其算术平方根∑=-=ni i x x n s 12)(1 作为样本的标准差（standard deviation ）,分别简称样本方差、样本标准差.2.计算样本数据x 1,x 2,…,x n 的标准差的算法是：S1 算出样本数据的平均数x ；S2 算出每个样本数据与样本平均数的差x i -x(i=1,2,…，n)；S3 算出S2中x i -x(i=1,2,…，n)的平方；S4 算出S3中n 个平方数的平均数；S5 算出S4中平均数的算术平方根，即为样本标准差.关于方差、标准差的一点说明：（1）方差、标准差是用来描述样本数据的离散程度的，它反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度.方差与标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，方差标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散.（2）在实际应用中，方差与标准差常被理解为稳定性.例如在上面的比较两种钢筋的抗拉强度时，方差与标准差越小意味着该产品的质量越稳定；在描述成绩时，方差与标准差越小，说明成绩越稳定.（3）学生思考“标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有什么特点？”由标准差的定义容易得出标准差是非负的；标准差为0意味着所有的样本数据都相等的特性，且与样本平均数也相等，可以构造一个样本容量为2的样本：x 1,x 2(x 1<x 2)，这样可以体会出两个样本数据分散程度与样本标准差应用示例例1 根据下列四组样本数据，说明它们的异同点.(1) 555555555；(2) 444555666；(3) 334456677；(4) 222258888.分析：从数据的数字特征出发.解：四组数据的平均数都是5.0，标准差分别是0.00，0.82，1.49，2.83.虽然它们有相同的平均数，但是它们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的.点评：样本的方差、标准差能说明数据的分散程度.例2 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2）,试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.分析：巩固求方差和标准差的方法.解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为［(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2］÷5=0.02,乙品种的样本平均数也为10，样本方差为［(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2］÷5=0.24.因为0.24>0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.点评：1.本题若仅由x甲=x乙，易产生这两种水稻的产量一样稳定的错觉.这表明在实际问题中，仅靠期望值（即平均数）不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度（及方差或标准差）：标准差大说明取值分散性大，标准差小说明取值分散性小或者说取值比较稳定、集中.2.要对“根据这组数据估计…”的统计意义作必要的说明：第一，统计研究是以一定的样本为依据的，对于确定的样本得到确定的统计结果；第二，统计结果具有随机性，选择不同的样本可能得到不同的统计结果.最后还可让学生思考除了品种的优劣，影响水稻产量还有哪些因素？根据一组数据得到的结果是否可靠？这些问题的提出会激发学生对统计学理论的兴趣.例3 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用了一段时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差.分析：用每一个区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均使用寿命.解：各组中值分别为165.5，195.5，225.5，255.5,285.5，315.5，345.5，375.5，由此算165.5×1%+195.5×11%+225.5×18%+255.5×20%+285.5×25%+315.5×16%+345.5×7%+375.5×2%=268.4≈268（天）.这些组中值的方差为1001×［1×(165.5-268.4)2+11×(195.5-268.4)2+18×(225.5-268.4)2+20×(255.5-268.4)2+ 25×(285.5-268.4)2+16×(315.5-268.4)2+7×(345.5-268.4)2+2×(375.5-268.4)2］=2 128.60(天2)， 故所求的标准差约为6.2128≈46（天）.答：估计这种日光灯的平均寿命约为268天，标准差约为46天.点评：此例的目的是：掌握连续性随机变量的平均值和标准差的一种估计方法，即组中值估计法.因为前一节例3已介绍了连续性随机变量的平均值的估计方法，所以处理此例时应让学生回忆前例并主动探索解决问题的方法.例4 容量是40的样本中各数据与30的差的平方和是250，样本标准差是1.5，求样本平均数.分析：根据样本平均数、样本方差、样本标准差的公式解题.解：∵(x 1-30)2+(x 2-30)2+…+(x 40-30)2=250,所以(x 12+x 22+…+x 402)-60(x 1+x 2+…+x 40)+40×302=250.即(x 12+x 22+…+x 402)-60×40x +40×900=250， ①又∵140［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x 40-x )2］=1.52=2.25，即(x 12+x 22+…+x 402)-2x(x 1+x 2+…+x 40)+40x 2=90，即(x 12+x 22+…+x 402)-80x 2+40x 2=90，②①-②得40x 2-2 400x+40×900=160， 即x 2-60x +896=0,( x -32)( x -28)=0， 所以，x =32或x =28.点评：理解样本方差的含义，抓住关键点：x 1+x 2+…+x 40=40x ，通过数形结合，结合消元x 1+x 2+…+x 40合理解决问题.例5 已知一组数据的方差是s 2，将这组数据的每个数据都加上10，求所得新数据的方差.分析：利用方差公式解题.解：设原数据：x 1,x 2,…,x n ，平均数是x ，方差是s 2，则新数据为：x 1+10,x 2+10,…,x n +10，平均数为则方差为n 1［(x 1+10-x -10)2+(x 2+10-x -10)2+…+(x n +10-x -10)2］ =n1［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2］=s 2.变式训练某班有50名学生，某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数是70分，标准差是s ，后来发现登记有误，某甲得70分却记为40分，某乙50分误记为80分，更正后重新计算得标准差为s 1，则s 与s 1之间的大小关系是（ ）A.s=s 1B.s<s 1C.s>s 1D.不能确定解析：由题意，平均数不变，所以只要看与平均数的离差的平方的变化情况.因为方差刻画了数据相对于平均值的平均偏离程度.s 中有：(40-70)2+(80-70)2=1 000，s 1中有：(70-70)2+(50-70)2=400所以s>s 1.答案：C点评：由本例及变式可推理归纳方差的性质：（1）若给定一组数据x 1,x 2,…,x n ，方差为s 2，则ax 1,ax 2,…,ax n 的方差为a 2s 2；（2）若给定一组数据x 1,x 2,…,x n ，方差为s 2，则ax 1+b,ax 2+b,…,ax n +b 的方差为a 2s 2，特别地，当a=1时，则有x 1+b,x 2+b,…,x n +b 的方差为s 2，这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性；（3）方差刻画了数据相对于平均值的平均偏离程度.对于不同的数据集，当离散程度越大时，方差越大；（4）方差的单位是原始测量数据单位的平方，对数据中的极值较为敏感.知能训练课本本节练习解答：1.甲、乙两个班的样本平均数为160，但甲班的极差为3，乙班的极差为30，故甲班的波动较小.2.已知 s 2=3=81［(k 1-k )2+(k 2-k )2+…+(k 8-k )2］， 而 883)...(28)3(2...)3(2)3(2821821⨯-+++=-+-+-k k k k k k =2k -3, s 12=18［(2k 1-6-2k+6)2+(2k 2-6-2k+6)2+…+(2k 8-6-2k+6)2］=4s 2=12.3.甲较稳定.4.甲的平均值为10，方差为0.055；乙的平均值为10，方差为0.105.点评：从练习中再次体会数据的离散程度影响对事件的客观判断，体会从平均数、离散程度的角度对事件作出科学判断的方法.课堂小结1.数据的离散程度影响对事件的客观判断，体会从平均数、离散程度的角度对事件作出科学判断的方法，方差与标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，方差与标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散；2.衡量离散程度的常用计算方法——方差与标准差，熟悉用计算器计算方差与标准差的方法，切实掌握相关的计算公式、方法、步骤并对有关数据进行合理解释；3.样本的有效选择对判断有重要影响，知道影响判断、决策的因素是多方面的，在对总体作出判断之前，要充分考虑各种因素，切实体会统计的思想方法；4.样本数据既具有随机性又具有规律性，在很广泛的条件下，简单随机抽样样本的数字特征如众数、中位数、平均数、方差与标准差随样本容量的增加及时稳定于总体相应的数字特征，总体的数字特征是一定的，不存在随机性.作业课本习题2.3 3、5、7.设计感想本节课一定要让学生体会平均数反映的是一组数据的平均水平，而方差和标准差则反映了一组数据的波动大小.在实际学习、工作中用得非常多，比如选择运动员参加大型比赛时，要看他以前的每次测试的平均成绩，但成绩的稳定性也非常重要；学习上也是如此，稳定了可以给最后的考试提供稳定心理.用这种与生活的息息相关性激发学生学数学的无限兴趣就是老师最大的收获.习题详解习题2.31. x =301(2×5.1+3×5.2+6×5.3+8×5.4+7×5.5+3×5.6+1×5.7)≈5.39. 该厂这个月的平均日产值约为5.39万元.2.在全部数据中找出最小值4.0和最大值7.4，两者之差为3.4，确定全距为3.5，以组距0.5将区间［4.0,7.5］分成7个组.x =1001(4.25×1+4.75×2+5.25×15+5.75×28+6.25×33+6.75×18+7.25×3)=6.03，估计试验田里麦穗的平均长度约为6.0 cm.3.（1）甲机床次品数的平均值为1.5，乙机床次品数的平均值为1.2，故乙机床次品数的平均值较小；（2）甲的方差为1.65，乙的方差为0.82，故乙机床的生产状况较为稳定.4.估计甲机床平均次品率约为(0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1)÷1 000=0.06%，乙机床平均次品率约为(0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0)÷1 000=0.07%，故甲机床的产品质量较好.5.（1）此样本中金属棒的平均长度约为5.99； （2）频率分布表如下：频率直方图如下：（3）6×(1-0.2%)≈5.99，6×(1+0.2%)≈6.01，故合格的金属棒有15根，合格率约为15÷40≈37.5%.6.（1）频率分布表如下：频率分布直方图如下：(2)由组中值估计的总体平均数为(57×5+65×14+73×25+81×11+89×5)×601=72.6，约73次. 实际总体平均数约为72，误差约为1.7.施了新化肥的土地的平均每块土地产量为20.52 kg ，未施新化肥的土地平均每块土地产量为17.36 kg ，且施了新化肥的土地产量的方差约为83.33，未施新化肥的土地产量的方差约为154.88，说明用了新化肥不仅平均产量高，而且产量稳定，故可认为新化肥取得了成功.。

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备课资料
备用习题
1.甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛，它们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是（）
A.甲
B.乙
C.甲、乙相同
D.不能确定
2.观察两球队对比表说法正确的是（）
A.平均说来一队比二队技术好
B.二队比一队技术水平更稳定
C.一队有时表现很差，有时很好
D.二队很少不失球
3.甲、乙两人在相同的条件下，各射靶10次，命中环数如下：
甲：86951074895
乙：9658696877
由以上数据可以估计（）
A.甲比乙的射击情况稳定
B.乙比甲的射击情况稳定
C.两人的射击情况没有区别
D.无法判定
4.下列说法错误的是（）
A.在统计里，把所需考察对象的全体叫做总体
B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D.一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
5.下列说法中，正确的是（）
A.数据5，4，4，3，5，2的众数是4
B.一组数据的标准差是这组数据的方差的平方
C.数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半
D.频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数
答案：1.B 2.B 3.B 4.B 5.C
(设计者：王慧）
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2.3.2 方差与标准差[学习目标] 1.会求样本标准差、方差.2.理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法.3.会应用相关知识解决简单的统计实际问题．知识点一 极差定义：一组数据的最大值与最小值的差称为极差． 知识点二 标准差、方差 1．标准差(1)平均距离与标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．假设样本数据是x 1，x 2，…，x n ，x 表示这组数据的平均数．x i 到x 的距离是|x i －x |(i ＝1,2，…，n )，则用如下公式来计算标准差： s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. (2)计算标准差的步骤 ①求样本数据的平均数x ；②求每个样本数据与样本平均数的差x i －x (i ＝1,2，…，n )； ③求(x i －x )2(i ＝1,2，…，n )；④求s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]；⑤求s ＝s 2，即为标准差． 2．方差标准差的平方s 2叫做方差．s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中，x i (i ＝1,2，…，n )是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数．题型一 极差例1 2013年5月31日，A ，B 两地的气温变化如图所示．(1)这一天A，B两地的平均气温分别是多少？(2)A地这一天气温的极差是多少？B地呢？(3)A，B两地气候各有什么特点？解(1)从2013年5月31日，A地的气温变化图可读取数据：18℃，17.5℃，17℃，16℃，16.5℃，18℃，19℃，20.5℃，22℃，23℃，23.5℃，24℃，25℃，25.5℃，24.5℃，23℃，22℃，20.5℃，20℃，19.5℃，19.5℃，19℃，18.5℃，18℃，所以A地平均气温为x A＝20＋124(－2－2.5－3－4－3.5－2－1＋0.5＋2＋3＋3.5＋4＋5＋5.5＋4.5＋3＋2＋0.5＋0－0.5－0.5－1－1.5－2)＝20＋124×10＝20.4(℃)同理可得B地的平均气温为x B＝21.4(℃)．(2)A地这一天的最高气温是25.5℃，最低气温是16℃，极差是25.5－16＝9.5(℃)．B地这一天的最高气温是24℃，最低气温是18℃，极差是24℃－18℃＝6℃.(3)A，B两地气温的特点：A地早晨和深夜较凉，而中午比较热，昼夜温差较大；B地一天气温相差不大，而且比较平缓．反思与感悟极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．跟踪训练1以下四个叙述：①极差与方差都反映了数据的集中程度；②方差是没有单位的统计量；③标准差比较小时，数据比较分散；④只有两个数据时，极差是标准差的2倍．其中正确的是________．★答案★ ①④解析 只有两个数据时，极差等于|x 2－x 1|，标准差等于12|x 2－x 1|.故④正确．由定义可知①正确，②③错误．题型二 方差与标准差的计算例2 已知一个样本为1,3,2,5，x ，它的平均数是3，则这个样本的标准差是多少？ 解 方法一 ∵x ＝1＋3＋2＋5＋x5＝3，∴x ＝4. 由方差公式有：s 2＝15[(1－3)2＋(3－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝2，∴s ＝ 2.方法二 ∵x ＝1＋3＋2＋5＋x5＝3，∴x ＝4，由方差公式的变形形式有：s 2＝15(12＋32＋22＋52＋42)－32＝2，∴s ＝ 2.反思与感悟 1.标准差公式及变形要记忆牢固，运用熟练． 2．方差、标准差单位不一致，要注意区别．跟踪训练2 将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7★答案★367解析 ∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的数据是87,90,90,91,91,94,90＋x .∴这组数据的平均数是87＋90＋90＋91＋91＋94＋90＋x7＝91，∴x ＝4.∴这组数据的方差是17(16＋1＋1＋0＋0＋9＋9)＝367.题型三 方差与标准差的应用例3 甲、乙两机床同时加工直径为100cm 的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：99 100 98 100 100 103乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 解 (1)x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73， s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s 2甲＞s 2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定． 反思与感悟 1.极差、方差与标准差的区别与联系： 数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述．(1)极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．(2)方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差，即样本方差的算术平方根，是样本数据到平均数的一种平均距离． 2．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．跟踪训练3 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)： 甲：102 101 99 98 103 98 99 乙：110115908575115110 (1)这种抽样方法是哪一种方法？(2)试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定． 解 (1)采用的抽样方法是：系统抽样．(2)x 甲＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100；x 乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100；x 2甲＝17[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2]＝17(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43； s 2乙＝17[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110－100)2]＝17(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100) ≈228.57.所以s 2甲＜s 2乙，故甲车间产品较稳定．1．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为________． ★答案★2解析 ∵样本容量n ＝5， ∴x ＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，∴s ＝15[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2] ＝ 2.2．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________． ★答案★ 0.1解析 x －＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，则方差s 2＝15[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.3．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________． ★答案★ (1)7 (2)2解析 利用平均值和标准差公式求解． (1)x ＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋410＝7.(2)s 2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s ＝2.4．已知样本x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差为3，则样本4x 1＋1,4x 2＋1,4x 3＋1,4x 4＋1,4x 5＋1的标准差是________． ★答案★ 4 3解析 若数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差为s 2，则样本ax 1＋b ，ax 2＋b ，ax 3＋b ，ax 4＋b ，ax 5＋b 的方差为a 2s 2.由题意知4x 1＋1,4x 2＋1,4x 3＋1,4x 4＋1,4x 5＋1的方差为42×3＝48. ∴其标准差为48＝4 3.5．若1,2,3，x 的平均数是5，而1,3,3，x ，y 的平均数是6，则1,2,3，x ，y 的方差是________． ★答案★ 24.56解析 由5＝1＋2＋3＋x 4得x ＝14.同理y ＝9.由s 2＝15(12＋22＋32＋142＋92)－5.82＝24.56.1.标准差的平方s 2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．2．现实中，总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性． 3．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性．用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一★答案★．。

2.3.2 方差与标准差学习目标1.理解样本数据方差、标准差的意义，会计算方差、标准差；2.会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计总体的基本数字特征；3.体会用样本估计总体的思想．知识点一用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征1．样本的基本数字特征包括________、__________、__________、__________、________. 2．平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的．因此，还需要刻画数据的分散程度．3．一组数据的____________________的差称为极差，用极差刻画数据的分散程度简便易行，但集中程度差异不大时，不易得出结论． 知识点二方差、标准差思考若两名同学的两门学科的平均分都是80分，一名是两门均为80分，另一名是一门40分，一门120分，如何刻画这种差异？ 梳理标准差与方差： 一般地，(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. (2)标准差的平方s 2叫做方差．s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2](x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数)．(3)标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近．s ＝0时，每一组样本数据均为x .类型一感受数据的离散程度例1分别计算下列四组样本数据的平均数，并画出条形图，说明它们的异同点． (1)5，5，5，5，5，5，5，5，5； (2)4，4，4，5，5，5，6，6，6； (3)3，3，4，4，5，6，6，7，7； (4)2，2，2，2，5，8，8，8，8.反思与感悟标准差能够衡量样本数据的稳定性，标准差越大，数据的离散程度就越大，也就越不稳定．标准差越小，数据的离散程度就越小，也就越稳定．跟踪训练1有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：78795491074乙：9578768677试求出甲、乙两人本次射击的平均成绩，并画出两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？类型二方差、标准差的计算例2从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下：甲：25，41，40，37，22，14，19，39，21，42；乙：27，16，44，27，44，16，40，40，16，40.试计算甲、乙两组数据的方差和标准差．反思与感悟计算方差(或标准差)时要先计算平均数．跟踪训练2求出跟踪训练1中的甲、乙两运动员射击成绩的标准差，结合跟踪训练1的条形图体会标准差的大小与数据离散程度的关系．类型三标准差及方差的应用例3甲、乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件．为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下(单位：mm)：甲25．4625.3225.4525.3925.3625．3425.4225.4525.3825.4225．3925.4325.3925.4025.4425．4025.4225.3525.4125.39乙25．4025.4325.4425.4825.4825．4725.4925.4925.3625.3425．3325.4325.4325.3225.4725．3125.3225.3225.3225.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高？(结果保留小数点后3位)反思与感悟比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及标准差这两个方面考虑．其中标准差与样本数据单位一样，比方差更能直观地刻画出与平均数的平均距离．跟踪训练3甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．1．下列说法正确的是________．①在两组数据中，平均值较大的一组方差较大；②平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小；③方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和；④在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高．2．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为________．3．如果数据x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，则(1)新数据x1＋b，x2＋b，…，x n＋b的平均数为________，方差为________．(2)新数据ax1，ax2，…，ax n的平均数为______，方差为________．(3)新数据ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b的平均数为____，方差为______．4．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4.则：(1)平均命中环数为________；(2)命中环数的标准差为________．5．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．1．标准差的平方s 2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．2．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．3．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性．用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案．答案精析问题导学 知识点一1．众数中位数平均数标准差极差 3．最大值与最小值 知识点二思考可以通过考察样本数据的分散程度的大小． 题型探究例1解四组样本数据的条形图如下：四组数据的平均数都是5，但数据的离散程度不一样，其中(1)最集中，(4)的离散程度最大． 跟踪训练1解x 甲＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，同理可得x 乙＝7.条形图如下：通过频率分布条形图直观地看，虽然平均数相同，还是有差异的．甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中．例2解x 甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30，s 2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋… ＋(42－30)2]＝104.2， s 甲＝104.2＝10.208.x 乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31，同理s 2乙＝128.8， s 乙＝128.8＝11.349.跟踪训练2解x 甲＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，同理可得x 乙＝7.根据标准差的公式，得 s 甲＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋…＋(4－7)2]＝2； 同理可得s 乙≈1.095.所以s 甲>s 乙． 因此说明离散程度越大，标准差就越大． 例3解用计算器计算可得x 甲≈25.401，x 乙≈25.406；s 甲≈0.037，s 乙≈0.068.从样本平均数看，甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40mm)，差异很小；从样本标准差看，由于s 甲＜s 乙，因此甲生产的零件内径尺寸比乙的稳定程度高得多．于是，可以作出判断，甲生产的零件的质量比乙的高一些．跟踪训练3解甲品种的样本平均数为10，样本方差为[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02.乙品种的样本平均数也为10，样本方差为[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]÷5＝0.244.因为0.244>0.02，所以由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定． 当堂训练 1．②解析①中平均值和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；③中求和后还需取平均数；④中方差越大，射击越不平稳，水平越低． 2.367解析由题意知这组数据平均数是 87＋94＋90＋91＋90＋90＋x ＋917＝91，解得x ＝4.所以这组数据的方差是s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝367. 3．(1)x ＋bs 2(2)a x a 2s 2 (3)a x ＋ba 2s 2 4．(1)7(2)2 解析(1)x ＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7010＝7. (2)s 2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s ＝2.∴命中环数标准差为2. 5．2解析由题意知15(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a ＝－1，所以样本方差为s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.。

2.3.2《方差与标准差》导学案教学目标:（1）通过实例是学生理解样本数据的方差、标准差的意义和作用； （2）学会计算数据的方差、标准差；（3）使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想。

教学重点: 用样本数据的方差和标准差估计总体的方差与标准差。

教学难点: 理解样本数据的方差、标准差的意义和作用，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

教学过程: 一、问题情境1．上图显示的是上海2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气温，如何对这两段时间的气温进行比较呢?２．有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm 2）,通过计算发现，两个样本的平均数均为125．哪种钢筋的质量较好？二、学生活动表20.2.1 上海每日最高气温统计表 （单位：℃）由图可以看出，哪种钢筋的抗拉强度稳定?三、建构数学1、极差：2、方差：3、标准差：4、方差和标准差的意义：四、数学运用例1．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定。

例2．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换。

已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差。

五、课堂练习：（1）课本第68页练习第1、2、3、4题 ；（2）____3,,3,34,,,2121的方差为，那么的方差为若+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅n n x x x x x x （3）____42,,,21后的方差为，那么这组数据均乘以的方差为若n x x x ⋅⋅⋅（4）若k 1,k 2,….k 8的方差为3，则2（k 1-3)， 2(k 2-3), ….2（k 8-3)的方差为________0D. 0x x C.x x x x .B 0A..x 0x ,x ,x ..______3X 5231).6(.D .C .B .A )5(n 21n 21n 21总体方差一定是　）（，则表示的方差为，若样本是，则这个样本的标准差，若它的平均数是，，，，已知一个样本以上都不对 标准差 方差极差 ）（的指标是一组数据变化范围大小在数据统计中，能反映======== （7）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为________、_______. 六、回顾小结：七、课外作业：课本第69页第3， 4，5，7题．。