2.6等腰三角形整合(1)

青岛版（新）数学八年级上册 2.6等腰三角形1. 等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。

在等腰三角形中，两边相等的边称为腰，另外一条边称为底边，而顶点所对的角称为顶角。

2. 等腰三角形的性质等腰三角形具有以下性质：•两腰所夹的角度相等，等于顶角的一半。

•顶角的两边上的高（垂直于底边的线段）相等。

•顶角的两边上的角平分线（过顶角并且垂直于底边的直线段）也是等腰三角形的高，同时也是底边的中线和中位线。

•两个底角（与底边相对的两个角）相等。

3. 验证等腰三角形的方法我们可以通过以下方法验证一个三角形是否为等腰三角形：•观察三角形的边长是否满足两边相等的条件。

•根据角度是否相等来判断。

•通过绘制高和垂直平分线来验证性质。

4. 等腰三角形的应用等腰三角形是几何学中常见的一种三角形，它具有许多重要的应用。

•在建筑设计中，等腰三角形常用于设计屋顶的斜坡。

•在航空导航中，等腰三角形的性质可以用于计算飞机的飞行高度和距离。

•在地理测量中，等腰三角形可以用来计算地球上不可测量的距离。

5. 青岛版（新）数学八年级上册 2.6等腰三角形的学习内容在青岛版（新）数学八年级上册的第2.6节中，学生将学习等腰三角形的性质和应用。

该节主要内容包括以下几个方面：•理解等腰三角形的定义和性质。

•学习如何验证一个三角形是否为等腰三角形。

•学习等腰三角形的应用。

通过学习本节内容，学生将能够掌握等腰三角形的基本概念、性质和应用，并能够灵活运用相关知识解决实际问题。

6. 总结等腰三角形是一种重要的几何概念，具有许多有用的性质和应用。

通过学习等腰三角形的定义、性质和应用，我们可以更好地理解几何学的基本原理和方法，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。

希望通过本文档的学习，您对青岛版（新）数学八年级上册2.6等腰三角形有了更加深入的了解。

青岛版数学八年级上册2.6《等腰三角形》教学设计3一. 教材分析《等腰三角形》是青岛版数学八年级上册第二章第六节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了三角形的性质和分类的基础上，进一步研究等腰三角形的性质。

等腰三角形是初中数学中的一个重要概念，它不仅涉及到三角形的性质，还涉及到对称性等数学思想。

本节课的教学内容不仅要求学生掌握等腰三角形的性质，还要培养学生的观察能力、推理能力以及运用数学知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了三角形的性质和分类，他们对三角形有了一定的认识。

但是，对于等腰三角形的性质，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我需要引导学生通过观察、操作、推理等方法，自主探索等腰三角形的性质，从而加深他们对三角形性质的理解。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生通过观察、操作、推理等方法，掌握等腰三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过自主探索、合作交流，培养学生的观察能力、推理能力以及运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生在探究等腰三角形性质的过程中，体验到数学的乐趣，增强对数学的兴趣。

四. 教学重难点1.重点：等腰三角形的性质。

2.难点：如何引导学生通过观察、操作、推理等方法，自主探索等腰三角形的性质。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置问题情境，引导学生自主探索等腰三角形的性质。

2.合作学习法：引导学生分组讨论，培养学生的合作意识。

3.引导发现法：教师引导学生发现问题，解决问题，培养学生的观察能力和推理能力。

六. 教学准备1.准备等腰三角形的模型或者图片，用于引导学生观察。

2.准备等腰三角形性质的习题，用于巩固知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示等腰三角形的图片，引导学生观察等腰三角形的特征。

提问：你们观察到了等腰三角形的哪些特征？2.呈现（10分钟）呈现等腰三角形的性质，引导学生通过操作、推理等方法，验证这些性质。

2．6等腰三角形（1）
【预习目标】
1、经历探索等腰三角形的性质的过程，掌握等腰三角形的轴对称性、等腰三角形“三线合
一”、等腰三角形的两个底角想等等性质。

2、掌握等腰三角形性质，并会作出合理的说明。

【预习重难点】
重点：理解等腰三角形及等边三角形的性质。

难点：理解等腰三角形及等边三角形的性质。

【预习任务】
阅读课本P55实验与探究”，回答下面的问题，探索等腰三角形的性质的过程，掌握等腰三
角形的轴对称性、等腰三角形“三线合一”、等腰三角形的两个底角想等等性质。

1、想一想怎样用纸剪等腰三角形？阅读课本13页的“实验与探究”把问题写在下面：
（1） ; （2） ; （3） ; （4） ;
2、通过上面的问题，我们能不能试着总结一下等腰三角形的性质。

①等腰三角形是图形，等腰三角形的对称轴是。

②等腰三角形的、、（也称）
③等腰三角形的两个底角。

【预习诊断】
1、若一等腰三角形的底角是顶角的2倍，则各角的度数为
2、求右边三个等腰三角形中未
知角的度数。

（1）
（2）
（3）
3.顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，等腰直角三角形的两个底角分别是多少
度？
4.已知：线段a,h
求作：△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h
a
h。

2.6.2 等腰三角形【学习目标】1、掌握等腰三角形的判定方法，并能灵活运用解决实际问题；2、通过独立思考，交流讨论，发展推理能力和运用数学知识解决实际问题的能力。

学习重点：等腰三角形的判定方法学习难点：等腰三角形的判定和性质的区别，等腰三角形的判定的应用。

【教学过程】预习案一、旧知回顾：1、总结等腰三角形的性质。

2、等腰三角形的性质有什么作用？学习建议：复习上节内容并完成以下问题1、等腰三角形的两边长分别为6，8，则周长为2、等腰三角形的周长为14，其中一边长为6，则另两边分别为3、等腰三角形的一个角为70°，则另外两个角的度数是4、等腰三角形的一个角为120°则另外两个角的度数是5、如图，在△ABC中，AB=AC，（1）若AD平分∠BAC，那么、（2）若BD＝CD，那么、（3）若AD⊥BC,那么、二、阅读教材：1、具备什么条件的三角形是等腰三角形?为什么？2、等腰三角形的判定的作用是什么？三、预习自测：1、已知△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC是______三角形我的疑惑：请将你预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂与老师和同学探究解决。

探究案一、学始于疑——我思考、我收获1、可用什么方法证明一个三角形是等腰三角形？2、等腰三角形的判定方法与性质有什么区别与联系？学习建议请同学们用3分钟的时间认真思考这些问题，并结合预习中自己的疑惑开始下面的探究学习。

二、质疑探究——质疑解惑、合作探究基础知识探究探究点等腰三角形的判定方法如图，在△ABC中，若∠B=∠C，能否得出△ABC是等腰三角形？你能证明吗？思考：怎么作辅助线？目的是什么？在一般的三角形中，如果有两个角相等，•那么它们所对的边有什么关系？即如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的也相等（简写成）知识综合应用例3. 如下图，∠A=36°, ∠C= 72°∠DBC=36°.分别计算∠BDC、∠ABD的度数，并说明图中有哪些等腰三角形。

2021-2022学年青岛版八年级数学上册《2.6等腰三角形》同步练习题（附答案）1．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若△BCD的周长是14，BC＝6，则AC 的长是（）A．6B．8C．10D．142．已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（）A．4cm B．6.5cm C．6.5cm或9cm D．4cm或6.5cm 3．如图，已知m∥n，等边△ABC的顶点B在直线n上，∠1＝25°，则∠2的度数是（）A．25°B．35°C．45°D．55°4．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF＝1：4：4，则AO的长度为（）A．5B．6C．D．5．如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，D为BC边上的中点，腰AB的垂直平分线EF交AD于M，交AC于点F，则BM+DM的值为（）A．2cm B．10cm C．6cm D．5cm6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线l交BC于点D．若∠BAD＝78°，则∠B的度数是（）A．34°B．30°C．28°D．26°7．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（）A．16B．32C．64D．1288．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，点E在边BC上，且满足AD＝BD，AE平分∠BAD，若∠CAE＝42°．求∠AEC和∠B的度数．9．已知：如图，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．10．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．11．如图，D为等边三角形ABC内一点，将△BDC绕着点C旋转成△AEC，则△CDE是怎样的三角形？请说明理由．12．如图，在△ABC中，BD、AE分别是AC、BC边上的高，它们相交于点F，且AF＝BC．求证：△ABD是等腰三角形．13．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．（1）求证：BE＝DE；（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．14．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BP，CQ是△ABC两腰上的高．求证：△BCO是等腰三角形．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A 作AE∥BC，交BD的延长线于点E．（1）求∠ADB的度数；（2）求证：△ADE是等腰三角形．16．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F．（1）求证：点O在AB的垂直平分线上；（2）若∠CAD＝20°，求∠BOF的度数．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：E为AB的中点．20．如图，在△ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，点D是AB边上一点，且CD＝CB，过点B 作BF⊥CD于点E，与AC交于点F．（1）求证：∠ABF＝∠BCD；（2）判断△BCF的形状，并说明理由．21．如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，连接AD、BE，且AD、BE相交于点P，∠AEB＝∠CDA．（1）求∠BPD的度数．（2）过点B作BQ⊥AD于Q，若PQ＝3，PE＝1，求BE的长．22．如图1，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D，E分别在CA，CB的延长线上，点F为线段BC上一点，连接AE，DE，DF，∠DEF+∠EDF＝90°．（1）图中与∠DEF相等的角为；（2）若∠CDF＝∠BAE，试判断∠AED与∠CDF之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，若点D在线段AC上，点F在BC延长线上，∠BAC＝∠BAE+∠AED，∠BAC＝2∠DEF，求∠CDF的度数．23．已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD ＝α，∠CDE＝β，（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝°；β＝°．（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由．24．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1．（1）求证：AD＝BE；（2）求AD的长．参考答案1．解：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD．∵△BCD的周长是14，BC＝6，∴AB＝BD+CD＝14﹣6＝8，∵AB＝AC，∴AC＝8．故选：B．2．解：①若4cm是腰长，则底边长为：20﹣4﹣4＝12（cm），∵4+4＜12，不能组成三角形，舍去；②若4cm是底边长，则腰长为：＝6.5（cm）．则腰长为6.5cm．故选：B．3．解：过G点作CD∥m，∴∠ACD＝∠1＝25°，∵m∥n，∴CD∥n，∴∠2＝∠DCB，∵∠ACD+∠DCB＝∠ACB，∴∠2＝∠ACB﹣25°，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠2＝60°﹣25°＝35°，故选：B．4．解：如图，连接AO，OB，OC，∵O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF＝1：4：4，∴O在∠BAC的角平分线上，∵AB＝AC，∴AO过D，且AD⊥BC，∵BC＝6，∴BD＝CD＝BC＝3，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝＝＝4，设OD＝x，则OE＝OF＝4x，∵S△ABC+S△OBC＝S△ABO+S△ACO，AB＝AC＝5，BC＝6，AD＝4，∴BC•AD+BC•OD＝AB•OF+AC•OE，∴×6×4+×6x＝×5×4x+×5×4x，解得：x＝，即OD＝，∴AO＝AD+OD＝4+＝，故选：D．5．解：∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝12，解得：AD＝6（cm），∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴BM+MD＝AM+DM＝AD＝6（cm），故选：C．6．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AC的垂直平分线l交BC于点D，∴AD＝DC，∴∠DAC＝∠C，∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，∴∠ADB＝2∠B，∵∠BAD＝78°，∴∠B+∠ADB+∠BAD＝∠B+2∠B+78°＝180°，∴∠B＝34°，故选：A．7．解：∵△A1B1A2为等边三角形，∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，∴∠A1B1O＝∠MON，∴A1B1＝OA1，∴A1B1＝A1A2＝OA1，同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22•OA1，A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23•OA1，…∴A n B n＝A n A n+1＝2n﹣1•OA1＝2n，∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64，故选：C．8．解：∵∠C＝90°，∠CAE＝42°，∴∠AEC＝90°﹣∠CAE＝48°，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，设∠DAE＝x，∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠B＝2x，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝3x∴3x＝48°，∴x＝16°，∴∠B＝2x＝32°．9．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等边对等角），∵DE⊥BC于E，∴∠FEB＝∠FEC＝90°，∴∠B+∠EDB＝∠C+∠EFC＝90°，∴∠EFC＝∠EDB（等角的余角相等），∵∠EDB＝∠ADF（对顶角相等），∴∠EFC＝∠ADF，∴AD＝AF，∴△ADF是等腰三角形．10．解：△APQ为等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC．在△ABP与△ACQ中，∵，∴△ABP≌△ACQ（SAS）．∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．∵∠BAC＝∠BAP+∠P AC＝60°，∴∠P AQ＝∠CAQ+∠P AC＝60°，∴△APQ是等边三角形．11．解：△CDE是等边三角形．理由：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°∴将△BDC绕着点C旋转成△AEC，旋转角为60°∴∠DCE＝60°∴DC＝EC∴△CDE是等边三角形．12．证明：∵BD、AE分别是AC、BC边上的高，∴BD⊥AC，AE⊥BC，∴∠BDC＝∠ADF＝90°，∠DBC+∠BFE＝∠DAF+∠AFD＝90°，∵∠BFE＝∠AFD，∴∠CBD＝∠DAF，在△BCD和△AFD中，，∴△BCD≌△AFD（AAS），∴BD＝AD，∴△ABD是等腰三角形．13．解：（1）证明：在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE．（2）∵∠A＝80°，∠C＝40°∴∠ABC＝60°，∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°，由（1）知∠EDB＝∠EBD＝30°，故∠BDE的度数为30°．14．证明：在△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB；∵BP、CQ分别是两腰AC、AB上的高，∴∠BQC＝∠CPB＝90°，∵∠OBC＝90°﹣∠ACB，∠OCB＝90°﹣∠ABC，∴∠OBC＝∠OCB；∴OB＝OC，∴△BCO为等腰三角形．15．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；（2）证明：∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠C＝72°，∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∴△ADE是等腰三角形．16．解：（1）△DEF是等边三角形，理由如下：∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，∵CE∥AB，∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°，∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE，∴△DEF是等边三角形；（2）连接AC交BD于点O，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°，∴AE＝CE＝8，∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4，∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE＝4，∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4．17．（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵AD是BC的垂直平分线，∴BO＝CO，∵OE是AC的垂直平分线，∴AO＝CO，∴BO＝AO，∴点O在AB的垂直平分线上；（2）解：∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD平分∠BAC，∵∠CAD＝20°，∴∠BAD＝∠CAD＝20°，∠CAB＝40°，∵OE⊥AC，∴∠EF A＝90°﹣40°＝50°，∵AO＝CO，∴∠OBA＝∠BAD＝20°，∴∠BOF＝∠EF A﹣∠OBA＝50°﹣20°＝30°．18．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°∴∠1+∠2＝110°∴∠3+∠2＝110°∴∠DEF＝70°19．证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°，∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠BDE，∴DE＝BE，∴E为AB的中点．20．（1）证明：过点C作CG⊥AB于点G，∴∠DCG+∠CDG＝90°，∵BC＝DC，∴∠BCG＝∠DCG＝∠BCD，∵BF⊥CD于点E，∴∠ABF+∠CDG＝90°，∴∠ABF＝∠DCG＝∠BCD；（2）解：如上图，△BCF是等腰三角形，理由：∵∠A＝45°，CG⊥AB，∴∠ACG＝45°，∵∠ACB＝∠ACG+∠BCG，∠BFC＝∠A+∠ABF，∴∠ACB＝45°+∠BCG，∠BFC＝45°+∠ABF，∵∠BCG＝∠DCG＝∠ABF，∴∠BCF＝∠BFC，∴BC＝BF，∴△BCF是等腰三角形．21．解：（1）由△ABC是等边三角形可得，∠ABC＝∠C＝60°，∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD，∠AEB＝∠C+∠EBC，∠AEB＝∠CDA，∴∠BAD＝∠EBC，∵∠BPD＝∠ABE+∠BAD，∴∠BPD＝∠ABE+∠EBC＝∠ABC＝60°；（2）∵BQ⊥AD于Q，∴∠BQP＝90°，∵∠BPD＝60°，∴∠PBQ＝90°﹣∠BPD＝30°，在Rt△BPQ中，∵PQ＝3，∠PBQ＝30°，∴BP＝2PQ＝6，又∵PE＝1，∴BE＝BP+PE＝6+1＝7．22．解：（1）如图1中，过点D作DH⊥EF于H．∵∠DHE＝90°，∴∠DEF+∠EDH＝90°，∵∠DEF+∠EDF＝90°，∴∠EDH＝∠EDF，∴∠EDH＝∠FDH，∵∠DEF+∠EDH＝90°，∠DFE+∠FDH＝90°，∴∠DEF＝∠DFE，故答案为：∠DFE．（2）设∠ABC＝∠C＝x，∠CDF＝∠EAB＝y，∵∠ABC＝∠AEB+∠EAB，∴∠AEB＝x﹣y，∵∠DEF＝∠DFE，∴∠DEA+∠AEB＝∠C+∠CDF，∴∠DEA+x﹣y＝x+y，∴∠DEA＝2y，∴∠DEA＝2∠CDF．（3）如图2中，设AB交DE于T．设∠DEF＝α．∵∠ATD＝∠AET+∠EAT，∠BAC＝∠AET+∠EAT，∴∠BAC＝∠ATD＝∠ETB，∵∠BAC＝2∠DEF＝2α，∴∠ETB＝∠ATD＝∠BAC＝2α，∴∠ABC＝∠ACB＝∠DEF+∠ETB＝3α，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴8α＝180°，α＝22.5°，∵∠ACB＝∠F+∠CDF，∠F＝∠DEF＝α，∴∠CDF＝3α﹣α＝2α，∴∠CDF＝45°．23．解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AD＝AE，∠ADE＝70°，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，故答案为：20，10；（2）设∠ABC＝x，∠AED＝y，∴∠ACB＝x，∠AED＝y，在△DEC中，y＝β+x，在△ABD中，α+x＝y+β＝β+x+β，∴α＝2β；（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图1设∠ABC＝x，∠ADE＝y，∴∠ACB＝x，∠ACE＝y，在△ABD中，x+α＝β﹣y，在△DEC中，x+y+β＝180°，∴α＝2β﹣180°，②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．24．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝CA＝BC，∠BAE＝∠ACD＝60°；在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AD＝BE；（2）解：∵△ABE≌△CAD，∴∠CAD＝∠ABE，∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAE＝60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB＝90°，∴∠PBQ＝90°﹣60°＝30°，∵PQ＝3，∴在Rt△BPQ中，BP＝2PQ＝6，又∵PE＝1，∴AD＝BE＝BP+PE＝6+1＝7．。

等腰三角形的性质（一）等腰三角形是一种具有特殊性质的三角形。

在等腰三角形中，两个边的长度相等，两个底角（与两个边相对的角）也相等。

1. 等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边长相等的三角形。

在等腰三角形中，两条边相等的那两边通常称为“腰”，而较短的那条边则称为“底”。

等腰三角形的底角通常也是相等的。

2. 等腰三角形的性质2.1 两边性质在等腰三角形中，两条腰的长度相等。

这意味着如果我们将等腰三角形的两条腰进行任意交换位置，得到的仍然是一个等腰三角形。

2.2 底角性质在等腰三角形中，两个底角的大小相等。

这也可以理解为等腰三角形的对称性，两个底角相互对应。

2.3 高的性质等腰三角形中的高是腰中线、腰高和底边的三边中最短的边。

高的长度可以通过应用勾股定理或使用三角函数来计算。

2.4 对称性质等腰三角形具有对称性。

如果我们绕等腰三角形的对称轴（通常为高线）旋转180度，等腰三角形将与原来的位置完全重叠。

2.5 直角三角形在等腰三角形中，如果两个底角之一为直角（90度），则这个等腰三角形也是一个直角三角形。

2.6 等边三角形等腰三角形中的特殊情况是等边三角形。

等边三角形即三边长度相等的三角形，也是一种等腰三角形。

3. 等腰三角形的应用等腰三角形在几何学中有广泛的应用。

下面列举一些等腰三角形的应用场景：•建筑设计：在建筑设计中，等腰三角形常用于设计房屋的屋顶或者侧面的装饰图案。

•地理测量：在地理测量中，等腰三角形可用于计算高度、距离和角度等参数。

•航海导航：在航海导航中，等腰三角形可用于计算经纬度、航向和航速等信息。

•数学证明：在数学证明中，等腰三角形的性质常用于推导其他几何定理或性质。

4. 总结等腰三角形是一种具有特殊性质的三角形。

在等腰三角形中，两条边的长度相等，两个底角也相等。

等腰三角形的性质包括两边性质、底角性质、高的性质、对称性质、直角三角形和等边三角形等。

等腰三角形在几何学、建筑设计、地理测量、航海导航和数学证明等领域都有广泛的应用。

青岛版八年级数学上册第二章2.6等腰三角形同步练习（2）一．选择题（共10小题）1．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（）A．等边对等角B．垂线段最短C．等腰三角形“三线合一”D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是45°，则这个三角形的底角为（）A．67°31′B．22°30′C．67°30′D．22°30′或67°30′3．等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（）A．55°，55°B．70°，40°或70°，55°C．70°，40°D．55°，55°或70°，40°4．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则底角的度数为（）A．40°B．70°C．40°或140°D．70°或20°5．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，AB∥CD，AB＝AC，∠1＝40°，则∠ACE的度数为（）A．80°B．100°C．120°D．160°7．已知，在△ABC中，AB＝AC，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；（2）作射线AD，连接BD，CD．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD•BC8．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论，其中正确的有（）①△BDF是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③若∠A＝50°，则∠BFC＝115°；④DF＝EF．A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD 于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN ＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线，那么图中的等腰三角形有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题（共9小题）11．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝73°，若点P是等腰△ABC的腰上的一点，则当△EDP为以DE为腰的等腰三角形时，∠EDP的度数是．12．如图，△ABC为正三角形，BD是角平分线，点F在线段BD上移动，直线CF与AB交于点E，连结AF，当AE＝AF时，∠BCE＝度．13．如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形ABC，其中B，C的坐标分别为（1，0）和C（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿着x轴向右滚动，则在滚动的过程中，这个正三角形的顶点A，B，C中，会过点（2020，1）的是点．14．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，BC＝BD，若∠ABC＝∠BAD＝α，则∠BCD＝（用含α的代数式表示）．15．如图，若BD为等边△ABC的一条中线，延长BC至点E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE＝．16．如图，在第一个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，在边A1B上任取一D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D，在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第三个△A2A3E，…按此做法继续下去，第n个等腰三角形的底角的度数是度．17．如图，直线l1∥l2∥l3，等边△ABC的顶点B、C分别在直线l2、l3上，若边BC与直线l3的夹角∠1＝25°，则边AB与直线l1的夹角∠2＝．18．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF，∠ABD＝24°．若△DFC为等腰三角形，则∠A的度数为．19．如图，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，若△ABC的面积等于10，则△ADC的面积等于．三．解答题（共12小题）20．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E为BC边上一点，以E为顶点作∠AEF，∠AEF的一边交AC 于点F，使∠AEF＝∠B．（1）如果∠ABC＝40°，则∠BAC＝；（2）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；（3）当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．21．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．（1）如图1，连接BE、CE，则BE＝CE吗？说明理由；（2）若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，如图2，BD＝AE吗？说明理由．22．如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．（1）若∠1＝50°，求∠2；（2）连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3．23．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）24．如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD交EC′于点G．（1）求∠CEF的度数；（2）求证：△EFG是等腰三角形．25．已知△ABC，△EFG是边长相等的等边三角形，点D是边BC，EF的中点．（1）如图①，连接AD，GD，则∠ADC的大小＝（度）；∠GDF的大小＝（度）；AD与GD的数量关系是；DC与DF的数量关系是；（2）如图②，直线AG，FC相交于点M，求∠AMF的大小．。

八年级数学等腰三角形知识点整理及重点题型梳理一、等腰三角形含义：有两条边相等的三角形。

常见题：已知两边长和第三边，求周长。

例题：两条边长分别为3和4，求周长，注意：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

二、 等腰三角形的性质：1.等边对等角，例如：已知AB=AC ，∠B=∠C 等腰三角形的性质：2等腰△的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）。

注意：只有等腰三角形才有三线合一。

[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，且BD=DC=AD ，求：△ABC 各角的度数．D CAB3. 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．4. [例2]求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么 这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）． 求证：AB=AC ． 证明：∵AD ∥BC ，∴∠1=∠B （两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠C （两直线平行，内错角相等）．又∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C ， ∴AB=AC （等角对等边）． 练习：已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ． 求证：AB=AD ．证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC （两直线平行，内错角相等）． 又∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD=∠DBC ， ∴∠ABD=∠ADB ， ∴AB=AD （等角对等边）．[例3]如图（1），标杆AB 的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C•向地面上与点B 距离相等21EDABDCAB的D 、E 两点拉两条绳子，使得D 、B 、E 在一条直线上，量得DE=4米，•绳子CD 和CE 要多长？(1)EDCA B (2)分析：这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题． 一、复习知识要点1．有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．2．三角形按边分类：三角形()⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形正三角形 3．等腰三角形是轴对称图形，其性质是：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．4．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 二、例题例：如图，五边形ABCDE 中AB=AE ，BC=DE ，∠ABC=∠AED ，点F 是CD 的中点．•求证：AF ⊥CD.分析：要证明AF ⊥CD ，而点F 是CD 的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，•于是连接AC 、AD ，证明AC=AD ，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论．证明：连接AC 、AD 在△ABC 和△AED 中()()()AB AE ABC AED BC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知已知已知 ∴△ABC ≌△AED （SAD ）∴AC=AD （全等三角形的对应边相等） 又∵△ACD 中AF 是CD 边的中线（已知）EDCABF ∴AF ⊥CD （等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合） 三、练习 （一）、选择题1．等腰三角形的对称轴是（ ）A ．顶角的平分线B ．底边上的高C ．底边上的中线D ．底边上的高所在的直线2．等腰三角形有两条边长为4cm 和7cm ，则该三角形的周长是（ ） A ．17cm B ．22cm C ．18cm 或15cm D ．18cm 3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．30° B ．50° C ．60° D ．40° 4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40° C ．40° D ．80°5．如图1，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．108°E DCABHFG如图1答案:1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 如图2 （二）、填空题6．等腰△ABC 的底角是60°，则顶角是________度． 7．等腰三角形“三线合一”是指___________．8．等腰三角形的顶角是n °，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________．9．如图2，△ABC 中AB=AC ，EB=BD=DC=CF ，∠A=40°，则∠EDF•的度数是_____． 10．△ABC 中，AB=AC ．点D 在BC 边上（1）∵AD 平分∠BAC ，∴_______=________；________⊥_________； （2）∵AD 是中线，∴∠________=∠________；________⊥________； （3）∵AD ⊥BC ，∴∠________=∠_______；_______=_______．11．△ABC 中，∠A=65°，∠B=50°，则AB ：BC=_________．12．已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，要使AD•∥BC ，•则△ABC•的边一定满足________． 13．△ABC 中，∠C=∠B ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，•AE=•2cm ，•且DE•∥BC ，•则AD=________． 答案:6．60 7．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 8．（90+12n ）° 9．70° 10．略 11．1 12．AB=AC 13．2cm 14．30海里 （三）、解答题15．如图，CD 是△ABC 的中线，且CD=12AB ，你知道∠ACB 的度数是多少吗？由 此你能得到一个什么结论？请叙述出来与你的同伴交流．DCAB16．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，求证：∠ABC=∠ADC.DCAB17．如图，△ABC 中BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，• 求证：△DBE 是等腰三角形．ED CABF答案:15．∠ACB=90°．结论：若一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形16．连接BD ，∵AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB ．∵CB=CD ，∴∠CBD=∠CDB ． ∴∠ABC=∠ADC 17．证明∠D=∠BED等边三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=12AB ． ABDC AB分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD ．[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m ，∠A=30°，立柱BD 、DE 要多长？分析：观察图形可以发现在Rt △AED 与Rt △ACB 中，由于∠A=30°，所以DE=12AD ，BC=12AB ，又由D 是AB 的中点，所以DE=14AB ． [例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高． 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高． 求：CD 的长．分析：观察图形可以发现，在Rt △ADC 中，AC=2a ，而∠DAC 是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出CD ．等边三角形一、复习知识要点1．三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．2．等边三角形的性质：•等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°3．等边三角形的判定方法：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．4．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．D C AEBDCA二、练习（一）、选择题1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF•的形状是（）A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形DA B F21EDCAB4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状答案：1．C 2．D 3．A 4．C 5．B（二）、填空题6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．7．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，•则CD•的长度是_______．答案：6．60° 7．60°8．三；三边的垂直平分线 9．1cm （三）、解答题10．已知D 、E 分别是等边△ABC 中AB 、AC 上的点，且AE=BD ，求BE 与CD•的夹角是多少度？ 11．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC•于点D ， •求证：•BC=3AD.D CAB12．如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ；③判断△CFH•的形状并说明理由．EDABHF13．如图，点E 是等边△ABC 内一点，且EA=EB ，△ABC 外一点D 满足BD=AC ，且BE 平分∠DBC ，求∠BDE 的度数．（提示：连接CE ）EDCA答案：10．60°或120°11．∵AB=AC ，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∴在Rt △ADC 中CD=•2AD ，•∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°， ∴∠B=∠BAD ，∴AD=BD ，∴BC=3AD 12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD ． 又∵BC=AC ，CE=CD ， ∴△BCE ≌△ACD ； ②证明△BCF ≌△ACH ； ③△CFH 是等边三角形．13．连接CE ，先证明△BCE ≌△ACE 得到∠BCE=∠ACE=30°，再证明△BDE•≌△BCE 得到∠BDE=∠BCE=30° Ⅲ、随堂练习，变式训练练习1：请同学们做课本51页的练习第一题，同时教师在黑板上补充一下题目： 求等腰三角形个角度数：（1）在等腰三角形中，有一个角的度数为36°. （2）在等腰三角形中，有一个角的度数为110°.学生思考，练习，教师指导，并给出答案，之后引导学生对以上这种类型的题目存在的规律进行归纳总结。